REEL ANALİZ. Tunç Mısırlıoğlu

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "REEL ANALİZ. Tunç Mısırlıoğlu"

Transkript

1 REEL ANALİZ Tunç Mısırlıoğlu 9 Ocak 2011

2 Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: CC $\ BY: Tunç Mısırlıoğlu C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy İstanbul

3 Cezir de kuma bir satır yazdım O satıra aklımı, ruhumu koydum Medd de okumak için geri döndüm O vakit cehaletimi gördüm. HALİL CİBRAN

4

5 İçindekiler Önsöz vii 1 Ön Bilgiler Kümeler ve fonksiyonlar Sayılabilirlik R içinde kümelerin topolojik özellikleri Riemann integrali Ölçü Kavramı Ölçüsü sıfır olan kümeler Dış ölçü (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü Lebesgue ölçüsünün özellikleri Borel kümeleri Ölçülebilir Fonksiyonlar Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri Lebesgue İntegrali Tanım Monoton yakınsaklık teoremleri İntegrallenebilir fonksiyonlar Sınırlı yakınsaklık teoremi Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki Çeşitli Problemler Kaynakça 37 Dizin 38 v

6

7 Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi nin Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu sıkıntısı çekilen Türkiye de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde vermekte olduğum Reel Analiz dersinin Kaynakça kısmında belirtilen eserler temel alınarak oluşturulmuş notlarından oluşan ve bundan ötürü özgün olma iddiası taşımayan bu derleme, her türlü eleştiri ve yoruma açık bir denemedir. Okuyucunun ilgisini ölçü teorisinin temel kavramlarına yönlendirebilirse, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Bu ders notunda Teoremler ve Önermeler ispatsız olarak verilmektedir. Bunun amacı, hem ispatların derste yapılacak olması ve hem de öğrenciyi dersten önce kendi kendilerine ispatlamalaya teşvik etmesidir. Ayrıca okuyucunun bu notlar içerisindeki Problemleri çözmeye çalışması konuları pekiştirmek açısından çok yararlı olacaktır. İstanbul, Ekim 2010 Tunç Mısırlıoğlu vii

8

9 1 Ön Bilgiler Ölçü teorisinde, verilen keyfi bir kümenin alt kümelerinin aileleri ve reel sayıları bu ailelere ait kümelere götüren fonksiyonlar ile uğraşılır. Dolayısıyla bu bölümde kümelerin bazı temel yapıları ve bunların üzerinde tanımlı fonksiyonların özellikleri, sonsuz kümelerin sayılabilirliği ve sayılamazlığı, yine analizden bildiğimiz R (reel sayılar) de dizilerin yakınsaklığı, seriler, açık ve kapalı kümeler gibi topolojik kavramlar, ve ayrıca Riemann integralinin tanımı ve temel özelliklerini hatırlayacağız. 1.1 Kümeler ve fonksiyonlar Tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi E ile göstereceğiz. Hiç bir elemanı olamayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. E ye ait herhangi bir A alt kümesinin tüm alt kümelerinin ailesine A nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ya da 2 A ile gösterilir. A, B E olsun. A ile B nin arakesiti : A B = {x : x A ve x B} A ile B nin birleşimi : A B = {x : x A veya x B} A ile B nin farkı : A B = {x A : x B} = B A c A nın tümleyeni : A c = E A A ile B nin simetrik farkı : A B = (A B) (B A) A B = olması için gerek ve yeter koşul (gyk) A = B olmasıdır. Λ herhangi bir indeks kümesi olsun. \α Λ A α = {x : x A α, α Λ},[α Λ A α = {x : x A α, α Λ} Aşağıdaki iki özellik, de Morgan kuralları olarak bilinir. ([α Λ A α ) c =\α Λ A c α, (\α Λ A α ) c =[α Λ A c α 1

10 2 1 Ön Bilgiler A B = ise, A ile B kümelerine ayrıktır denir. Eğer α, β Λ olmak üzere, α β iken A α A β = ise, (A α ) α Λ küme ailesine ikişer ikişer ayrıktır denir. A ile B nin kartezyen çarpımı : A B = {(a, b) : a A, b B} A B nin herhangi f : A B alt kümesi, "(a, b), (a, c) f iken b = c" koşulunu sağlarsa, f ye bir fonksiyon denir. f nin tanım kümesi D f = {a A : (a, b) f, b B} ve değer kümesi R f = {b B : (a, b) f, a A} şeklinde tanımlanır. Herhangi bir X A alt kümesinin görüntüsü f(x) = {b B : b f (a), a X} ve herhangi bir Y B alt kümesinin ters görüntüsü f 1 (Y ) = {a A : f(a) Y } şeklindedir. Bir g fonksiyonunun bir f fonksiyonunu genişletmesi, D f D g ve D f üzerinde g = f olması demektir. Bir başka ifade ile, f, g yi D f ye kısıtlıyor demektir. A kümesinin işaret fonksiyonu, 1 A (x) = 1; x A 0 ; x / A şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyona ait bazı özellikler aşağıdaki şekildedir: 1 A B = 1 A.1 B, 1 A B = 1 A + 1 B 1 A.1 B, ve 1 A c = 1 1 A. Herhangi bir A E kümesi verilsin. A A nın bir R alt kümesine bir bağıntı denir. Notasyonel olarak (x, y) R elemanını x y ile ifade edeceğiz. bağıntısı aşağıdaki 3 özelliği de sağlıyorsa bu bağıntıya eşdeğerlik bağıntısı denir. 1. (Yansıma) x A, x x 2. (Simetrik) x y ise, y x 3. (Geçişme) x y ve y z ise, x z A üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısı A yı (ayrık) eşdeğerlik sınıflarına parçalar. Verilen bir x A elemanının eşdeğerlik sınıfı ˆx = {z : z x} şeklindedir (yani, A nın x e eşdeğer olan tüm elemanlarının kümesi). Şu halde, x ˆx dir ve böylece A =Sx A ˆx dir. Bu birleşim ayrık bir birleşimdir (Göster!). Bu şekilde elde edilen tüm eşdeğerlik sınıflarının kümesi A/ ile gösterilir. 1.2 Sayılabilirlik Herhangi bir A kümesi ile N doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi arasında birebir bir tekabül kurulabiliyorsa A ya sayılabilirdir denir. Böyle bir tekabül kurulamıyorsa kümeye sayılamaz denir. Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimleri de sayılabilirdir (Göster!). Dahası, Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. Buna karşın Cantor, R nin sayılamaz olduğunu göstermiştir. Bunu göstermek için [0, 1]

11 1.3 R içinde kümelerin topolojik özellikleri 3 kapalı aralığının sayılamazlığını göstermemiz yeterlidir (Neden?). Gerçekten, [0, 1] aralığı sayılabilir olsaydı, bu aralığın elemanlarını x n = 0.a n1 a n2 a n3...a nn... olacak şekilde bir (x n ) dizisi şeklinde gözönüne alabilirdik. Burada a ij ler rakamlardan oluşmaktadır. Bu durumda, x 1 = 0.a 11 a 12 a x 2 = 0.a 21 a 22 a x 3 = 0.a 31 a 32 a olur. Şimdi b n rakamlarını a nn lerden farklı olacak şekilde seçersek, y = 0.b 1 b 2 b 3... şeklinde [0, 1] aralığına ait bir y eleman bulurduk ki bu eleman x n lerden farklıdır ve dolayısıyla çelişki elde ederiz. Q sayılabilirdir ve sayılabilir kümelerin birleşimi de sayılabilir olduğundan, R Q sayılamazdır. 1.3 R içinde kümelerin topolojik özellikleri Bir A R alt kümesi verilsin. Eğer A, açık aralıkların bir birleşimi ise, yani açık aralıkların (I α ) α Λ ailesi için, A =Sα Λ I α ise, A ya açık küme denir. Bütünleyeni açık olan kümeye kapalı küme denir. R n (n > 1) deki açık kümeler, aralıkların n defa çarpımlarının birleşimi şelindedir. Sonlu sayıda açık kümenin arakesiti de açıktır. Bununla birlikte, sayılabilir sayıda açık kümenin arakesiti açık olmak zorunda değildir. Örneğin, n 1 olmak üzere, A n = ( 1 n, 1) için,t n=1 A n = [0, 1) açık değildir. f : R R bir fonksiyon olmak üzere, her açık A R alt kümesi için, f 1 (A), R de açık ise f fonksiyonuna süreklidir denir. Kapalı ve sınırlı bir küme üzerinde tanımlı her sürekli reel fonksiyon, bu küme üzerinde bir maksimum ve bir minimum değere sahiptir (Göster!). Örneğin, eğer f : [a, b] R fonksiyonu sürekli ise, öyle x max, x min [a, b] noktaları vardır ki, M = sup{f(x) : x [a, b]} = f(x max ) ve m = inf{f(x) : x [a, b]} = f(x min ) dir. Ara değer teoreminden bildiğimiz gibi, her sürekli fonksiyon tüm ara değerlerini uç noktalar arasında alır. Yani, her y [m, M] için öyle bir θ [a, b] vardır ki y = f(θ) dır. (x n ) R herhangi bir dizi olsun. (x n ) nin üst limiti lim sup x n := inf{ sup x m : n N} n m n

12 4 1 Ön Bilgiler (x n ) nin alt limiti lim inf n x n := sup{ inf m n x m : n N} şeklinde tanımlanır. (x n ) dizisinin yakınsak olması için gyk alt ve üst limitlerin birbirine eşit olmasıdır (Göster!) ve bunların ortak değeri bu dizinin limitidir. Eğer her ε > 0 sayısına karşılık öyle bir N N vardır ki her n N için x n x < ε oluyorsa, (x n ) dizisi yakınsaktır denir. x noktasına bu dizinin limiti denir ve lim n x n = x yazılır. Eğer (x n ) dizisinin kısmi toplamlar dizisi olan s n =Pn k=1 x k yakınsak ise P n=1 x n serisine yakınsaktır denir ve bu durumda kısmi toplamlar dizisinin limiti bu serinin toplamıdır. 1.4 Riemann integrali Bu kısımda Analiz den bildiğimiz Riemann integralinin kısa bir tekrarını yapıp bazı (daha ileri) durumlarda neden yatersiz kaldığına dair sebepleri göreceğiz. f : [a, b] R sınırlı bir fonksiyon olsun. [a, b] aralığının, a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b olmak üzere, sonlu bir P = {x 0, x 1, x 2,..., x n } alt kümesini gözönüne alalım. Bu P alt kümesine [a, b] aralığının bir parçalanışı denir. P parçalanışı, sırasıyla, U(P, f) = nxi=1 M i x i ve L(P, f) = nxi=1 m i x i üst ve alt Riemann toplamlarını doğurur. Burada x i = x i x i 1, her 1 i n için, alt aralıkların uzunlukları, ve her bir i n için, M i = sup ai 1 x a i f(x) ve m i = inf ai 1 x a i f(x) dir. (Not: M i ve m i ler daima mevcutturlar zira f, her bir [a i 1, a i ] aralığı üzerinde sınırlıdır.) f nin Riemann integralini tanımlamak için öncelikle verilen herhangi bir P parçalanışı için L(P, f) U(P, f) olduğunu ve daha sonra P yi kapsayan herhangi bir P parçalanışı için L(P, f) L(P, f) ve U(P, f) U(P, f) olduğunu göstermemiz gereklidir. Sonunda, herhangi iki P 1 ve P 2 parçalanışları için P 1 P 2, P 1 ve P 2 yi kapsayan bir parçalanış olduğundan herhangi iki P ve Q parçalanışları için L(P, f) U(Q, f) olduğu görülür. Böylece {L(P, f) : P, [a, b] nin bir parçalanışı} kümesi R de üstten sınırlıdır, ve bu kümenin supremumuna f nin [a, b] üzerinderb a f alt integrali denir. Benzer şekilde, üst toplamların kümesinin infimumunarb a f üst integrali denir. Eğer bu iki sayı eşit oluyorsa, bu durumda

13 1.4 Riemann integrali 5 f fonksiyonuna [a, b] üzerinde Riemann anlamında integrallenebilir denir. Bu sayıların ortak değerine f nin Riemann integrali denir verb a f(x)dx ile gösterilir. Bu tanım, bazı fonksiyonların integrallenebilirliğini kontrol etmek için uygun bir kriter değildir ancak aşağıda bunun için uygun bir kriter vardır. Teorem (Riemann kriteri). f : [a, b] R fonsiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk her ε > 0 için öyle bir P ε parçalanışı vardır ki U(P ε, f) L(P ε, f) < ε olmasıdır. Örnek. f(x) = x içinr1 0 f(x)dx integralini hesaplayalım. [0, 1] aralığının parçalanışlarının bir dizisi olarak P n = {0, ( 1 n )2, ( 2 n )2,..., ( i n )2,..., 1} dizisini seçelim. Bu durumda, U(P n, f) = ( nxi=1 i n )[( i n )2 ( i 1 n )2 ] = 1 n 3 (2i nxi=1 2 i) L(P n, f) = ( nxi=1 i 1 n )[( i n )2 ( i 1 n )2 ] = 1 n 3 (2i nxi=1 2 3i + 1) U(P n, f) L(P n, f) = 1 n 3 (2i 1) = nxi=1 1 n bulunur. n yi yeterince büyük seçerek bu farkı verilen herhangi bir ε > 0 sayısından küçük yapabiliriz. Bu ise bize f nin integrallenebilir olduğunu gösterir. Ayrıca integralin sonucu 2 3 tür çünkü kolayca görülebileceği gibi U(P n, f) ve L(P n, f) bu değere yakınsarlar. Not. Her sınırlı monoton fonksiyon ve her sürekli fonksiyon Riemann integrallenebilirdir. (Göster!) Teorem (İntegral Hesabın Esas Teoremi). f : [a, b] R fonksiyonu sürekli olsun. Eğer F : [a, b] R fonksiyonunun türevi (a, b) de f ise, F (b) F (a) =Rb a f(x)dx dir. Burada F fonksiyonuna f nin ilkeli denir ve F (x) =Rx a f(x)dx yazılır. Sınırlı f : [a, b] R fonksiyonunu [a, b] deki sonlu sayıdaki nokta dışında sürekli olarak alırsak, f Riemann anlamında integrallenebilir olur. Gerçekten, aralığı f nin sürekli olduğu alt aralıklara parçalarsak, f her bir aralıkta integrallenebilir olur ve dolayısıyla bütün aralıkta integrallenebilir olur. Buna bir örnek olarak, x = a f(x) = 1; 1,..., a n 0 ; x [0, 1] {a 1,..., a n }

14 6 1 Ön Bilgiler fonksiyonu gösterilebilir. Bu fonksiyon [0, 1] üzerinde integrallenebilirdir ve integrali 0 a eşittir. Bununla birlikte, ileride, Lebesgue ölçüsünü ve "hemen hemen her yerde" kavramlarını tanımlayarak, "Sınırlı bir f : [a, b] R fonksiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk f in, [a, b] aralığının Lebesgue ölçüsüne göre hemen hemen her noktasında sürekli olmasıdır" şeklindeki sonucu kanıtlayacağız. Bu sonuçtan yararlanarak, örneğin Dirichlet fonksiyonu olarak bilinen f(x) = 1 n ; x = m n Q 0 ; x R Q fonksiyonunun [0, 1] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğunu gösterebileceğiz. Burada şunu belirtmek gerekir ki, f nin rasyonel olmayan noktalarda sürekli ve her rasyonel noktada süreksiz olduğu (Göster!) aşikar olmakla birlikte bu fonksiyonun, Riemann integralinin tanımını kullanarak integralini almak mümkün değildir (Lütfen deneyiniz). Şimdi, bu dersin amacının integrasyon kavramının Lebesgue teorisini ortaya koymak olduğundan, yeni bir integrasyon teorisine neden ihtiyaç duyduğumuzu ortaya koymamız gerekir. Yani yukarıda anlattığımız Riemann integralinin yetersiz kaldığı durumu anlamamız gerekiyor. Bunun için bir çok sebep sayılabilir. Biz bunlardan birini anlatmağa çalışalım. Öncelikle Riemann integrali aralıklara bağlıdır. Ancak daha genel kümeler üzerinde ya da dağınık duran ayrık olmayan bir çok aralığın birleşimi veya başka bir şekli üzerinde integrali almak her zaman mümkün olmayabilir. Örneğin, [0, 1] aralığındaki rasyonel sayılar kümesinin 1 Q işaret fonksiyonu için alt ve üst Riemann toplamlarını gözönüne alalım. [0, 1] aralığını parçaladığımızda herbir alt aralık mutlaka rasyonel ve irrasyonel noktalar içerir. Şu halde, herbir üst toplam 1 ve herbir alt toplam da 0 olur. Böylece bu fonksiyonun [0, 1] aralığı üzerinde Riemann anlamında integrali yoktur. Ölçü, R de uzunluk kavramının, R 2 de alan kavramının, R 3 te ise hacim kavramının, genelleştirilmesidir. Bu dersin amacı Lebesgue integrali kavramını tanımak olacaktır. Bu kavramı 3 aşamada tanıyacağız: Öncelikle ölçü kavramı ve ölçülebilir kümeleri, daha sonra ölçülebilir fonksiyonları ve nihayet ölçülebilir fonksiyonların integralini vereceğiz. Riemann integralinde [a, b] aralığı aralıklara ayrılırken ve nokta seçerken fonksiyon hiç kullanılmıyor. Buna karşın Lebesgue integralinde aralığı verilen fonksiyona göre ayrı ayrı kümelere ayırıyoruz. Yani Riemann integralinde aralığın parçalanması fonksiyondan bağımsız olarak yapılmaktadır. Ayrıca bu parçalanış herhangi alt kümeler olarak değil sıralanmış alt aralıklar olarak seçilmektedir. Buna karşın

15 1.4 Riemann integrali 7 Lebesgue integralinde aralık, fonksiyonun değerlerine bağlı olarak, sıralanmış alt aralıklara değil, kümelere ayrılır. Örneğin, aralık, [a, b] = A 1 A 2... A n şeklinde kümelerin bir ayrışımına sahip olsun. Her bir A i kümesinden rasgele c i noktalarını seçelim. Bu durumda Riemann toplamı,pn i=1 f(c i) A i şeklinde olacaktır. Burada A i, Riemann ile karşılaştırdığımızda A i kümelerinin uzunluğu olmalıdır. Ancak bir kümenin uzunluğunun ne olduğu hakkında hiç bir bilgimiz bulunmamaktadır. Bilindiği gibi uzunluk kavramı sadece aralıklar için tanımlıdır. Bu nedenle uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak ölçü kavramını vereceğiz. x Q D(x) = 1; 0 ; x R Q fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyonun hiç bir yerde sürekli değildir (Göster!).Pn i=1 D(c i) x i toplamının limiti c i noktalarının seçimine bağlıdır. Gerçekten, c i Q nxi=1 D(c i ) x i = D(c i ) x i = 1 Z1 D(x)dx = 1 nxi=1 0 c i R Q D(c i ) x i = 0 Z1 D(x)dx = 0 nxi=1 olur. Sonuçta integral toplamının limiti c i lerin seçimine bağlıdır. Dolayısıyla tanımdan dolayı D(x) fonksiyonunun Riemann integrali yoktur. Bu fonksiyonun Lebesgue integralini vermek için aralığın başka türlü bir parçalanışını seçmeliyiz. Örneğin bu aralığı, bu aralığa ait rasyonel irrasyonel noktaların birleşimi olarak alalım. Bu durumda integral toplamı, c 1 irrasyonel ve c 2 rasyonal olmak üzere, D(c 1 ). (R Q) + D(c 2 ). (Q) şeklinde olur. Burada (R Q) ve (Q) yerine ne yazacağımızı bilmiyoruz. Dolayısıyla, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ölçülerini belirlememiz gerekir. Sonuç olarak bir kümenin ölçüsü ne demektir, öncelikle bunu tanımlamamız gerekir. 0

16

17 2 Ölçü Kavramı Önceki bölümde sözünü ettiğimiz gibi, örneğin Q ya da R Q gibi kümeler aralıklardan çok daha farklı kümelerdir ve bunların uzunluklarını nasıl ölçebileceğimiz pek açık değildir. Bu bölümün amacı herhangi bir küme üzerinde ölçü kavramını vermek olacaktır. Bunun için öncelikle reel sayılardaki sınırlı aralıklarının uzunluğunu verme R de ölçü, uzunluk kavramının genelleştirilmesi olduğundan R deki kümeleri iki sınıfa ayırabiliriz: 1. Uzunluğu belli olan kümeler sınıfı -ki bunlar aralıklardır-. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü uzunluğuna eşit kabul ediyoruz. 2. Aralıklar sınıfının dışındaki kümeler. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü aralıklar yardımıyla buluyoruz. I, R de herhangi bir sınırlı aralık (yani I = [a, b], (a, b], [a, b) veya (a, b)) olmak üzere, I aralığının uzunluğu l(i) = b a olarak tanımlanır. Her nokta bir aralıktır ve uzunluğu sıfırdır. Gerçekten, [a, b] aralığında a = b seçersek aralık {a} noktasına denk gelir. Dahası, l({a}) = l([a, a]) = 0 elde edilir. Dolayısıyla sonlu kümelerin de uzunluğu sıfırdır. R de bir kümeyi aşikar olmayan bir takım aralıklara bölmemiz her zaman mümkün olmayabiliyor. Bu nedenle bu kümeyi örten bir takım (hatta sayılabilir sayıda) aralıkların bir sistemini gözönüne alabiliriz. Buradan yola çıkarak, aşağıda verilen tanım ile ölçü yolculuğumuza başlayabiliriz. 2.1 Ölçüsü sıfır olan kümeler Tanım A R alt kümesi verilsin. Verilen herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık, A I n [n=1 ve l(i n ) < ε Xn=1 olacak şekilde aralıkların bir {I n : n 1} dizisi bulabiliyorsa A kümesine ölçüsü sıfır olan küme ya da kısaca sıfır kümesi denir. 9

18 10 2 Ölçü Kavramı Açıklama Üstteki tanımda aralıklar olarak açık, kapalı ya da yarı-açık aralılar alınabilir.ayrıca, aralıkların ayrık olmaları gerekmez. Şu halde, tanımdan boş kümenin bir sıfır kümesi olduğu kolaylıkla görülebilir. Örnek Tek-elemanlı kümeler sıfır kümesidir. Gerçekten, ε > 0 verilsin. I 1 = (x ε 4, x + ε 4 ) ve n 2 için I n = [0, 0] alalım. Bu durumda,p n=1 l(i n) = l(i 1 ) = ε 2 < ε bulunur. Daha genel olarak, herhangi bir sayılabilir A = {x 1, x 2,...} kümesi sıfır kümesidir. Aslında, aralıkları I n = [x n, x n ] alarak bunu göstermek mümkündür. Ancak biz bunu, A kümesini örten aralıkları açık aralıklar alarak göstereceğiz. Şimdi, ε > 0 verilsin ve A kümesini örten aralıların dizisini aşağıdaki şekilde alalım: I 1 = (x 1 ε 8, x 1 + ε 8 ), l(i 1) = ε P n=1 I 2 = (x 2 ε 16, x 2 + ε 16 ), l(i 2) = ε I 3 = (x 3 ε 32, x 3 + ε 32 ), l(i 3) = ε I n = (x n ε 2.2 n, x n + ε 2.2 n ), l(i n) = ε n 1 2 = 1 olduğundan,p n n=1 l(i n) = ε 2 < ε bulunur. Yukarıdaki örnekteki A kümesi, sayılabilir sayıda tek-elemanlı kümenin birleşimi şeklindedir. Tek-elemanlı kümeler sıfır kümelerdir ve A kümesi de sıfır kümesi olmaktadır. Bu durumu aşağıdaki teorem ile genelleştirebiliriz. Teorem {N n } n 1 sıfır kümelerin bir dizisi ise, bunların birlesimi olan N =S n=1 N n kümesi de sıfır kümesidir. Sayılabilir kümeler sıfır kümeler olmakla birlikte, sayılamayan kümeler için aynı şeyi söyleyemeyiz. Buna karşın, sayılamayan sıfır kümeleri mevcuttur. Bununla ilgili Cantor kümesi olarak bilinen aşağıdaki örneği verebiliriz. Örnek [0, 1] aralığını üç eşit parçaya bölelim ve ortadaki ( 1 3, 2 3 ) aralığını atarak elde ettiğimiz kümeye C 1 diyelim. Bu durumda, C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1] olur. Daha sonra C 1 deki iki aralığı da üçer eşit parçaya bölelim ve ortalarındaki aralıkları atalım ve geri kalan kümeye C 2 diyelim. Bu durumda C 2, uzunlukları 1 9 olan dört tane aralıktan oluşur. Bu şekilde devam ederek, herbirinin uzunluğu 1 3 olan 2 n tane ayrık kapalı aralıkların birleşimi olan C n n kümesini elde ederiz.

19 2.2 Dış ölçü 11 Kolayca görülebileceği gibi, C n kümesinin toplam uzunluğu ( 2 3 )n dir. C n lerin arakesiti olan C = C n \n=1 kümesine Cantor kümesi denir. Cantor kümesi sayılamazdır (Göster!) ve sıfır kümesidir. Gerçekten, verilen herhengi bir ε > 0 sayısına karşılık yeterince büyük n için ( 2 3 )n < ε dur. C C n ve C n kümeleri, toplam uzunlukları ε dan küçük olan aralıkların sonlu bir dizisi olduğundan, C nin sıfır kümesi olduğu görülür. 2.2 Dış ölçü Tanım A R alt kümesi verilsin. Z A = { l(i n ) : I n ler aralıklar, A Xn=1 I n } [n=1 olmak üzere, m (A) = inf Z A sayısına A kümesinin (Lebesgue) dış ölçüsü denir. Herhangi bir A R alt kümesi için m (A) 0 dır. Bazı A alt kümeleri için, A nın her örtülüşüne karşınp n=1 l(i n) serisi ıraksak olabileceğinden, m (A) = olabilir. Z A kümesi 0 ile alttan sınırlıdır. Dolayısıyla, sözü edilen infimum daima mevcuttur. Eğer r Z A ise, [r, + ] Z A dır. Şu halde Z A, ya {+ } ya da bir x real sayısı için (x, + ] veya [x, + ] aralığıdır. Dolayısıyla, Z A nın infimumu sadece x olur. Teorem A R alt kümesinin sıfır kümesi olması için gyk m (A) = 0 olmasıdır. Üstteki teoremdem, m ( ) = 0, her x R için m ({x}) = 0, m (Q) = 0, ve daha genel olarak, X sayılabilir bir küme olmak üzere, m (X) = 0 olduğu görülür. Aşağıdaki teoremden görülebileceği gibi dış ölçü monotondur. Teorem A B ise, m (A) m (B) dır. Teorem Bir aralığın dış ölçüsü uzunluğuna eşittir.

20 12 2 Ölçü Kavramı Teorem Dış ölçü sayılabilir alttoplamsaldır; yani, herhangi bir {E n } kümeler dizisi için, m ( E n ) [n=1 m Xn=1 (E n ) dir. Problem m (A) = 0 ise, her B için, m (A B) = m (B) dir. Gösteriniz. Problem Eğer m (A B) = 0 ise, m (A) = m (B) dir. Gösteriniz. Önerme Her A R alt kümesi ve her t R reel sayısı için, dir. m (A) = m (A + t) 2.3 (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü Tanım E R alt kümesi verilsin. Her A R için, m (A) = m (A E) + m (A E c ) ise, E kümesine (Lebesgue anlamında) ölçülebilirdir denir ve E M yazılır. Herhangi A ve E kümeleri için daima A = (A E) (A E c ) dır. Şu halde, dış ölçünün alttoplamsallık özelliğinden (bkz. Teorem 2.2.5), m (A) m (A E) + m (A E c ) olur. Dolayısıyla, bir kümenin ölçülebilirliğini aşağıdaki şekilde test etmemiz yeterli olacaktır: "E M olması için gyk her A R için m (A) m (A E) + m (A E c ) olmasıdır." Teorem (i) Her sıfır kümesi ölçülebilirdir. (ii) Her aralık ölçülebilirdir. Teorem (i) R M dir.

21 2.4 Lebesgue ölçüsünün özellikleri 13 (ii) E M ise, E c M dir. (iii) Her n = 1, 2,... için, E n M ise,s n=1 E n M dir. Dahası, her n = 1, 2,... için, E n M ve j k için E j E k = ise, m ( E n ) = [n=1 m Xn=1 (E n ) (2.3.1) dir. (Sayılabilir toplamsallık özelliği) Açıklama Üstteki teorem bu bölümün en önemli teoremidir ve bundan sonrakilere de temel teşkil etmektedir. X herhangi bir küme olmak üzere X in alt kümelerinin bir alt ailesi C olsun. Eğer (i) X C, (ii) C C için C c C ve (iii) C 1, C 2,... C içins n=1 C n C ise, C ailesine bir σ-cismi denir. Dolayısıyla, teoremdeki (i), (ii) ve (iii) özelikleri ile birlikte M ailesi bir σ-cismidir. Bir σ- cismi üzerinde tanımlı [0, ]-değerli µ fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık kümeler için sayılabilir toplamsallık özelliğine sahip (yani (2.3.1) eşitliğini sağlıyor) ise, bu fonksiyona bir ölçü denir. Bu durumda, (X, C, µ) üçlüsüne bir ölçü uzayı denir. Şu halde, (R, M, m ) bir ölçü uzayıdır. Önerme k = 1, 2,... için E k M ise, E =T k=1 E k M dir. Tanım Herhangi bir E M için, m (E) yerine m(e) yazacağız ve m(e) ye de Lebesgue ölçüsü diyeceğiz. Dolayısıyla, m : M [0, ] Lebesgue ölçüsü, ölçülebilir M σ-cismi üzerinde tanımlı sayılabilir toplamsal küme fonksiyonudur. Bir aralığın Lebesgue ölçüsü uzunluğuna eşittir. Bir sıfır kümenin Lebesgue ölçüsü sıfırdır. 2.4 Lebesgue ölçüsünün özellikleri Lebesgue ölçüsü dış ölçünün kümelerin özel bir sınıfına kısıtlanışı olduğundan, dış ölçünün bazı özellikleri Lebesgue ölçüsü için de geçerlidir: Önerme A, B M olsun. (i) A B ise, m(a) m(b) dir. (ii) A B ve m(a) sonlu ise, m(b A) = m(b) m(a) dır. (iii) Her t R için, m(a + t) = m(a) dır.

22 14 2 Ölçü Kavramı M olduğundan, (2.3.1) de her i > n için E i = alarak, Lebesgue ölçüsünün toplamsal olduğu sonucunu çıkarabiliriz: E i M ler ikişer ikişer ayrık kümeler ise, m( E i ) = n[n=1 m(e i ) nxn=1 dir. Problem m(a B) ve m(a B C) için birer formül çıkarınız. Önerme A M ve m(a B) = 0 ise, B M ve m(a) = m(b) dir. Bilindiği gibi R deki her açık küme sayılabilir sayıda açık aralıkların birleşimi olarak yazılabilir. Dolayısıyla, R deki açık kümeler, Lebesgue anlamında ölçülebilirdir çünkü M ailesi aralıkları içerir ve sayılabilir birlerşimler altında kapalıdır. Aşağıdaki theorem yardımı ile,herhangi bir A M kümesinin Lebesgue ölçüsüne, A kümesini içeren açık kümeler dizisinin ölçüleri ile üstten yaklaşabiliriz. Teorem (i) A M olsun. Herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık A kümesini kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(o) m (A) + ε dur. Şu halde, herhangi bir E M için E kümesinin kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(o E) < ε dur. (ii) Herhangi bir A M için, açık kümelerin O n dizisi vardır ki A \n O n, m(\n O n ) = m (A) dır. Teorem Her n 1 için A n M olsun. Bu durumda, (i) Eğer her n 1 için A n A n+1 ise, m([n A n ) = lim n m(a n) dir. (ii) Eğer her n 1 için A n+1 A n ve m(a 1 ) sonlu ise, m(\n A n ) = lim n m(a n) dir.

23 2.5 Borel kümeleri 15 Teorem (i) m sonlu toplamsaldır. Yani, ikişer ikişer ayrık (A i ) n i=1 kümeleri için, m(sn i=1 A i) =Pn i=1 m(a i) dir. (ii) m, boş kümede süreklidir. Yani (B n ), boş kümeye doğru azalan bir dizi ise, m(b n ), sıfıra doğru azalır. 2.5 Borel kümeleri Teorem σ-cisimlerinden oluşan bir ailenin elemanlarının arakesiti de bir σ-cismidir. Tanım B =T{F : F, tüm aralıkları içeren bir σ -cismi} ailesi tanımlansın. Bu durumda B, üstteki teoremden, tüm aralıklar tarafından üretilen σ- cismidir. B ailesinin elemanlarına Borel kümeleri denir. B ailesi, tüm aralıkları içeren en küçük σ-cismidir. Daha genel olarak, A kümelerin bir ailesi olmak üzere, eğer G :=T{F : F, A ailesini kapsayan bir σ -cismi} ise, G ailesine A tarafından üretilen σ-cismi denir. Örnekler 1. Aşağıdaki örnekler, B σ-cisminin kapanış özelliklerinin, R deki bilinen kümelerin B ye ait olması ile ilgili, nasıl kullanılabileceklerini göstermektedir. (i) Tüm aralıklar B ye aittir ve B bir σ-cismi olduğundan, tüm açık kümeler B ye aittir çünkü herhangi bir açık küme (açık) aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. (ii) Sayılabilir kümeler Borel kümeleridir çünkü her sayılabilir küme [a, a] şeklindeki kapalı aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. Dahası, Doğal sayılar ve rasyonel sayılar Borel kümeleridir. Şu halde, Borel kümelerinin tümleyenleri de Borel kümeleri olduğundan, irrasyonel sayılar da Borel kümesidir. Benzer şekilde, sonlu ve tümleyeni sonlu olan kümeler de Borel kümeleridir. Teorem Eğer tüm aralıkların ailesi yerine tüm açık aralıkların, tüm kapalı aralıkların, (a, ) (veya [a, ) veya (, b) veya (, b]) şeklindeki aralıkların, tüm açık kümelerin, ya da tüm kapalı kümelerin ailesini alırsak, bunlar tarafından üretilen σ-cismi B ile aynı olur. Problem (a, b] (veya [a, b)) şeklindeki aralıkların ailesinin de Borel kümelerin σ-cismini ürettiğini gösteriniz.

24 16 2 Ölçü Kavramı Açıklama M, tüm aralıkları içeren bir σ-cismi olduğundan ve B, bu şekildeki en küçük σ-cismi cismi olduğundan, B M dir. Yani, R deki her Borel kümesi Lebesgue anlamında ölçülebilirdir. Dolayısıyla, bu şekildeki σ- cisimlerinin aynı olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Aslında B, M nin öz alt kümesidir. Teorem (ii) den, verilen herhangi bir E M için, O n ler açık kümeler olamak üzere B =Tn O n olacak şekilde öyle bir B E Borel kümesi bulabiliriz ki m(e) = m(b) olur. Dahası, m(b E)m(B E) = 0 dır. Böylece m, ölçülebilir E kümesi ve inşa ettiğimiz B Borel kümesi arasındaki farkı ayırt edemez. Gördüğümüz gibi, verilen bir Lebesgue anlamında ölçülebilir E kümesine karşılık daima bir B Borel kümesi bulabiliriz ki E B simetrik farkı sıfır kümesi olur. E B M olduğunu biliyoruz. Ayrıca, açıktır ki, sıfır kümelerin alt kümeleri de sıfır kümelerdir ve dolayısıyla ölçülebilirdirler yani M dedir. Bunula birlikte, buradan, her sıfır kümesinin bir Borel kümesi olduğu sonucunu çıkaramayız (eğer B tüm sıfır kümelerini içermiş olsaydı, Teorem (ii) den, B = M olurdu). Tanım (X, F, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer µ(f ) = 0 olan her F F ve her N F için N F (ve dolayısıyla µ(n) = 0) ise, bu ölçü uzayına tamdır denir. Tanım Verilen bir µ ölçüsüne göre bir G σ-cisminin tamamlanışı, G yi içeren en küçük F σ-cismidir öyle ki eğer N G G ve µ(g) = 0 ise, N F dir. Bu tanımlardan yola çıkarak, M, R üzerindeki en küçük σ-cismi olup, m ölçüsüne göre B nin tamamlanışı olur. Ayrıca, (R, M, m) ölçü uzayı tam olmakla birlikte, (R, B, m) ölçü uzayı tam değildir. Önerme Bir G σ-cisminin tamamlanışı, şeklindedir. {G N : G F, N F F, µ(f ) = 0} Bu Önermeden yola çıkarak, µ ölçüsünü F üzerindeki bir µ ölçüsüne, G G için µ(g N) = µ(g) yardımıyla, tek bir şekilde genişletebiliriz. Teorem M, B nin tamamlanışıdır. Teorem E M ise, herhangi bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F E alt kümesi vardır ki m(e F ) < ε olur. Böylece, F n ler kapalı kümeler olmak üzere, B =Sn F n olacak şekilde öyle bir B E alt kümesi vardır ki m(e B) = 0 olur.

25 2.5 Borel kümeleri 17 Problem E M olsun. Aşağıdakilerin eşdeğer olduğunu gösteriniz. (i) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir açık O E kümesi vardır ki m (O E) < ε olur. (ii) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F E kümesi vardır ki m (E F ) < ε olur. Tanım µ, B üzerinde tanımlı negatif olmayan sayılabilir toplamsal küme fonksiyonu olsun. Eğer her B Borel kümesi için ve µ(b) = inf{µ(o) : B O (açık)} µ(b) = sup{µ(f ) : F (kapalı) B} ise, µ fonsiyonuna düzenli Borel ölçüsü denir. Teorem ve Teorem de, bu ilişkilerin Lebesgue ölçüsü için sağlandığını gösterdik. Düzenli Borel ölçüleri ile ilgili diğer örnekleri daha ileride göreceğiz.

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları

Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Reel Analiz I MATH 244 Bahar 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin Türü

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

ANALİZ III. Mert Çağlar

ANALİZ III. Mert Çağlar ANALİZ III Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

İstatistik I Ders Notları

İstatistik I Ders Notları İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 015-016 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 1. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI AY HAFTA SAAT KAZANIMLAR BÖLÜMLER (ALT ÖĞRENME ALANLARI) ÖĞRENME

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı