REEL ANALİZ. Tunç Mısırlıoğlu

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "REEL ANALİZ. Tunç Mısırlıoğlu"

Transkript

1 REEL ANALİZ Tunç Mısırlıoğlu 9 Ocak 2011

2 Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: CC $\ BY: Tunç Mısırlıoğlu C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy İstanbul

3 Cezir de kuma bir satır yazdım O satıra aklımı, ruhumu koydum Medd de okumak için geri döndüm O vakit cehaletimi gördüm. HALİL CİBRAN

4

5 İçindekiler Önsöz vii 1 Ön Bilgiler Kümeler ve fonksiyonlar Sayılabilirlik R içinde kümelerin topolojik özellikleri Riemann integrali Ölçü Kavramı Ölçüsü sıfır olan kümeler Dış ölçü (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü Lebesgue ölçüsünün özellikleri Borel kümeleri Ölçülebilir Fonksiyonlar Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri Lebesgue İntegrali Tanım Monoton yakınsaklık teoremleri İntegrallenebilir fonksiyonlar Sınırlı yakınsaklık teoremi Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki Çeşitli Problemler Kaynakça 37 Dizin 38 v

6

7 Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi nin Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu sıkıntısı çekilen Türkiye de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde vermekte olduğum Reel Analiz dersinin Kaynakça kısmında belirtilen eserler temel alınarak oluşturulmuş notlarından oluşan ve bundan ötürü özgün olma iddiası taşımayan bu derleme, her türlü eleştiri ve yoruma açık bir denemedir. Okuyucunun ilgisini ölçü teorisinin temel kavramlarına yönlendirebilirse, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Bu ders notunda Teoremler ve Önermeler ispatsız olarak verilmektedir. Bunun amacı, hem ispatların derste yapılacak olması ve hem de öğrenciyi dersten önce kendi kendilerine ispatlamalaya teşvik etmesidir. Ayrıca okuyucunun bu notlar içerisindeki Problemleri çözmeye çalışması konuları pekiştirmek açısından çok yararlı olacaktır. İstanbul, Ekim 2010 Tunç Mısırlıoğlu vii

8

9 1 Ön Bilgiler Ölçü teorisinde, verilen keyfi bir kümenin alt kümelerinin aileleri ve reel sayıları bu ailelere ait kümelere götüren fonksiyonlar ile uğraşılır. Dolayısıyla bu bölümde kümelerin bazı temel yapıları ve bunların üzerinde tanımlı fonksiyonların özellikleri, sonsuz kümelerin sayılabilirliği ve sayılamazlığı, yine analizden bildiğimiz R (reel sayılar) de dizilerin yakınsaklığı, seriler, açık ve kapalı kümeler gibi topolojik kavramlar, ve ayrıca Riemann integralinin tanımı ve temel özelliklerini hatırlayacağız. 1.1 Kümeler ve fonksiyonlar Tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi E ile göstereceğiz. Hiç bir elemanı olamayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. E ye ait herhangi bir A alt kümesinin tüm alt kümelerinin ailesine A nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ya da 2 A ile gösterilir. A, B E olsun. A ile B nin arakesiti : A B = {x : x A ve x B} A ile B nin birleşimi : A B = {x : x A veya x B} A ile B nin farkı : A B = {x A : x B} = B A c A nın tümleyeni : A c = E A A ile B nin simetrik farkı : A B = (A B) (B A) A B = olması için gerek ve yeter koşul (gyk) A = B olmasıdır. Λ herhangi bir indeks kümesi olsun. \α Λ A α = {x : x A α, α Λ},[α Λ A α = {x : x A α, α Λ} Aşağıdaki iki özellik, de Morgan kuralları olarak bilinir. ([α Λ A α ) c =\α Λ A c α, (\α Λ A α ) c =[α Λ A c α 1

10 2 1 Ön Bilgiler A B = ise, A ile B kümelerine ayrıktır denir. Eğer α, β Λ olmak üzere, α β iken A α A β = ise, (A α ) α Λ küme ailesine ikişer ikişer ayrıktır denir. A ile B nin kartezyen çarpımı : A B = {(a, b) : a A, b B} A B nin herhangi f : A B alt kümesi, "(a, b), (a, c) f iken b = c" koşulunu sağlarsa, f ye bir fonksiyon denir. f nin tanım kümesi D f = {a A : (a, b) f, b B} ve değer kümesi R f = {b B : (a, b) f, a A} şeklinde tanımlanır. Herhangi bir X A alt kümesinin görüntüsü f(x) = {b B : b f (a), a X} ve herhangi bir Y B alt kümesinin ters görüntüsü f 1 (Y ) = {a A : f(a) Y } şeklindedir. Bir g fonksiyonunun bir f fonksiyonunu genişletmesi, D f D g ve D f üzerinde g = f olması demektir. Bir başka ifade ile, f, g yi D f ye kısıtlıyor demektir. A kümesinin işaret fonksiyonu, 1 A (x) = 1; x A 0 ; x / A şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyona ait bazı özellikler aşağıdaki şekildedir: 1 A B = 1 A.1 B, 1 A B = 1 A + 1 B 1 A.1 B, ve 1 A c = 1 1 A. Herhangi bir A E kümesi verilsin. A A nın bir R alt kümesine bir bağıntı denir. Notasyonel olarak (x, y) R elemanını x y ile ifade edeceğiz. bağıntısı aşağıdaki 3 özelliği de sağlıyorsa bu bağıntıya eşdeğerlik bağıntısı denir. 1. (Yansıma) x A, x x 2. (Simetrik) x y ise, y x 3. (Geçişme) x y ve y z ise, x z A üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısı A yı (ayrık) eşdeğerlik sınıflarına parçalar. Verilen bir x A elemanının eşdeğerlik sınıfı ˆx = {z : z x} şeklindedir (yani, A nın x e eşdeğer olan tüm elemanlarının kümesi). Şu halde, x ˆx dir ve böylece A =Sx A ˆx dir. Bu birleşim ayrık bir birleşimdir (Göster!). Bu şekilde elde edilen tüm eşdeğerlik sınıflarının kümesi A/ ile gösterilir. 1.2 Sayılabilirlik Herhangi bir A kümesi ile N doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi arasında birebir bir tekabül kurulabiliyorsa A ya sayılabilirdir denir. Böyle bir tekabül kurulamıyorsa kümeye sayılamaz denir. Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimleri de sayılabilirdir (Göster!). Dahası, Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. Buna karşın Cantor, R nin sayılamaz olduğunu göstermiştir. Bunu göstermek için [0, 1]

11 1.3 R içinde kümelerin topolojik özellikleri 3 kapalı aralığının sayılamazlığını göstermemiz yeterlidir (Neden?). Gerçekten, [0, 1] aralığı sayılabilir olsaydı, bu aralığın elemanlarını x n = 0.a n1 a n2 a n3...a nn... olacak şekilde bir (x n ) dizisi şeklinde gözönüne alabilirdik. Burada a ij ler rakamlardan oluşmaktadır. Bu durumda, x 1 = 0.a 11 a 12 a x 2 = 0.a 21 a 22 a x 3 = 0.a 31 a 32 a olur. Şimdi b n rakamlarını a nn lerden farklı olacak şekilde seçersek, y = 0.b 1 b 2 b 3... şeklinde [0, 1] aralığına ait bir y eleman bulurduk ki bu eleman x n lerden farklıdır ve dolayısıyla çelişki elde ederiz. Q sayılabilirdir ve sayılabilir kümelerin birleşimi de sayılabilir olduğundan, R Q sayılamazdır. 1.3 R içinde kümelerin topolojik özellikleri Bir A R alt kümesi verilsin. Eğer A, açık aralıkların bir birleşimi ise, yani açık aralıkların (I α ) α Λ ailesi için, A =Sα Λ I α ise, A ya açık küme denir. Bütünleyeni açık olan kümeye kapalı küme denir. R n (n > 1) deki açık kümeler, aralıkların n defa çarpımlarının birleşimi şelindedir. Sonlu sayıda açık kümenin arakesiti de açıktır. Bununla birlikte, sayılabilir sayıda açık kümenin arakesiti açık olmak zorunda değildir. Örneğin, n 1 olmak üzere, A n = ( 1 n, 1) için,t n=1 A n = [0, 1) açık değildir. f : R R bir fonksiyon olmak üzere, her açık A R alt kümesi için, f 1 (A), R de açık ise f fonksiyonuna süreklidir denir. Kapalı ve sınırlı bir küme üzerinde tanımlı her sürekli reel fonksiyon, bu küme üzerinde bir maksimum ve bir minimum değere sahiptir (Göster!). Örneğin, eğer f : [a, b] R fonksiyonu sürekli ise, öyle x max, x min [a, b] noktaları vardır ki, M = sup{f(x) : x [a, b]} = f(x max ) ve m = inf{f(x) : x [a, b]} = f(x min ) dir. Ara değer teoreminden bildiğimiz gibi, her sürekli fonksiyon tüm ara değerlerini uç noktalar arasında alır. Yani, her y [m, M] için öyle bir θ [a, b] vardır ki y = f(θ) dır. (x n ) R herhangi bir dizi olsun. (x n ) nin üst limiti lim sup x n := inf{ sup x m : n N} n m n

12 4 1 Ön Bilgiler (x n ) nin alt limiti lim inf n x n := sup{ inf m n x m : n N} şeklinde tanımlanır. (x n ) dizisinin yakınsak olması için gyk alt ve üst limitlerin birbirine eşit olmasıdır (Göster!) ve bunların ortak değeri bu dizinin limitidir. Eğer her ε > 0 sayısına karşılık öyle bir N N vardır ki her n N için x n x < ε oluyorsa, (x n ) dizisi yakınsaktır denir. x noktasına bu dizinin limiti denir ve lim n x n = x yazılır. Eğer (x n ) dizisinin kısmi toplamlar dizisi olan s n =Pn k=1 x k yakınsak ise P n=1 x n serisine yakınsaktır denir ve bu durumda kısmi toplamlar dizisinin limiti bu serinin toplamıdır. 1.4 Riemann integrali Bu kısımda Analiz den bildiğimiz Riemann integralinin kısa bir tekrarını yapıp bazı (daha ileri) durumlarda neden yatersiz kaldığına dair sebepleri göreceğiz. f : [a, b] R sınırlı bir fonksiyon olsun. [a, b] aralığının, a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b olmak üzere, sonlu bir P = {x 0, x 1, x 2,..., x n } alt kümesini gözönüne alalım. Bu P alt kümesine [a, b] aralığının bir parçalanışı denir. P parçalanışı, sırasıyla, U(P, f) = nxi=1 M i x i ve L(P, f) = nxi=1 m i x i üst ve alt Riemann toplamlarını doğurur. Burada x i = x i x i 1, her 1 i n için, alt aralıkların uzunlukları, ve her bir i n için, M i = sup ai 1 x a i f(x) ve m i = inf ai 1 x a i f(x) dir. (Not: M i ve m i ler daima mevcutturlar zira f, her bir [a i 1, a i ] aralığı üzerinde sınırlıdır.) f nin Riemann integralini tanımlamak için öncelikle verilen herhangi bir P parçalanışı için L(P, f) U(P, f) olduğunu ve daha sonra P yi kapsayan herhangi bir P parçalanışı için L(P, f) L(P, f) ve U(P, f) U(P, f) olduğunu göstermemiz gereklidir. Sonunda, herhangi iki P 1 ve P 2 parçalanışları için P 1 P 2, P 1 ve P 2 yi kapsayan bir parçalanış olduğundan herhangi iki P ve Q parçalanışları için L(P, f) U(Q, f) olduğu görülür. Böylece {L(P, f) : P, [a, b] nin bir parçalanışı} kümesi R de üstten sınırlıdır, ve bu kümenin supremumuna f nin [a, b] üzerinderb a f alt integrali denir. Benzer şekilde, üst toplamların kümesinin infimumunarb a f üst integrali denir. Eğer bu iki sayı eşit oluyorsa, bu durumda

13 1.4 Riemann integrali 5 f fonksiyonuna [a, b] üzerinde Riemann anlamında integrallenebilir denir. Bu sayıların ortak değerine f nin Riemann integrali denir verb a f(x)dx ile gösterilir. Bu tanım, bazı fonksiyonların integrallenebilirliğini kontrol etmek için uygun bir kriter değildir ancak aşağıda bunun için uygun bir kriter vardır. Teorem (Riemann kriteri). f : [a, b] R fonsiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk her ε > 0 için öyle bir P ε parçalanışı vardır ki U(P ε, f) L(P ε, f) < ε olmasıdır. Örnek. f(x) = x içinr1 0 f(x)dx integralini hesaplayalım. [0, 1] aralığının parçalanışlarının bir dizisi olarak P n = {0, ( 1 n )2, ( 2 n )2,..., ( i n )2,..., 1} dizisini seçelim. Bu durumda, U(P n, f) = ( nxi=1 i n )[( i n )2 ( i 1 n )2 ] = 1 n 3 (2i nxi=1 2 i) L(P n, f) = ( nxi=1 i 1 n )[( i n )2 ( i 1 n )2 ] = 1 n 3 (2i nxi=1 2 3i + 1) U(P n, f) L(P n, f) = 1 n 3 (2i 1) = nxi=1 1 n bulunur. n yi yeterince büyük seçerek bu farkı verilen herhangi bir ε > 0 sayısından küçük yapabiliriz. Bu ise bize f nin integrallenebilir olduğunu gösterir. Ayrıca integralin sonucu 2 3 tür çünkü kolayca görülebileceği gibi U(P n, f) ve L(P n, f) bu değere yakınsarlar. Not. Her sınırlı monoton fonksiyon ve her sürekli fonksiyon Riemann integrallenebilirdir. (Göster!) Teorem (İntegral Hesabın Esas Teoremi). f : [a, b] R fonksiyonu sürekli olsun. Eğer F : [a, b] R fonksiyonunun türevi (a, b) de f ise, F (b) F (a) =Rb a f(x)dx dir. Burada F fonksiyonuna f nin ilkeli denir ve F (x) =Rx a f(x)dx yazılır. Sınırlı f : [a, b] R fonksiyonunu [a, b] deki sonlu sayıdaki nokta dışında sürekli olarak alırsak, f Riemann anlamında integrallenebilir olur. Gerçekten, aralığı f nin sürekli olduğu alt aralıklara parçalarsak, f her bir aralıkta integrallenebilir olur ve dolayısıyla bütün aralıkta integrallenebilir olur. Buna bir örnek olarak, x = a f(x) = 1; 1,..., a n 0 ; x [0, 1] {a 1,..., a n }

14 6 1 Ön Bilgiler fonksiyonu gösterilebilir. Bu fonksiyon [0, 1] üzerinde integrallenebilirdir ve integrali 0 a eşittir. Bununla birlikte, ileride, Lebesgue ölçüsünü ve "hemen hemen her yerde" kavramlarını tanımlayarak, "Sınırlı bir f : [a, b] R fonksiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk f in, [a, b] aralığının Lebesgue ölçüsüne göre hemen hemen her noktasında sürekli olmasıdır" şeklindeki sonucu kanıtlayacağız. Bu sonuçtan yararlanarak, örneğin Dirichlet fonksiyonu olarak bilinen f(x) = 1 n ; x = m n Q 0 ; x R Q fonksiyonunun [0, 1] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğunu gösterebileceğiz. Burada şunu belirtmek gerekir ki, f nin rasyonel olmayan noktalarda sürekli ve her rasyonel noktada süreksiz olduğu (Göster!) aşikar olmakla birlikte bu fonksiyonun, Riemann integralinin tanımını kullanarak integralini almak mümkün değildir (Lütfen deneyiniz). Şimdi, bu dersin amacının integrasyon kavramının Lebesgue teorisini ortaya koymak olduğundan, yeni bir integrasyon teorisine neden ihtiyaç duyduğumuzu ortaya koymamız gerekir. Yani yukarıda anlattığımız Riemann integralinin yetersiz kaldığı durumu anlamamız gerekiyor. Bunun için bir çok sebep sayılabilir. Biz bunlardan birini anlatmağa çalışalım. Öncelikle Riemann integrali aralıklara bağlıdır. Ancak daha genel kümeler üzerinde ya da dağınık duran ayrık olmayan bir çok aralığın birleşimi veya başka bir şekli üzerinde integrali almak her zaman mümkün olmayabilir. Örneğin, [0, 1] aralığındaki rasyonel sayılar kümesinin 1 Q işaret fonksiyonu için alt ve üst Riemann toplamlarını gözönüne alalım. [0, 1] aralığını parçaladığımızda herbir alt aralık mutlaka rasyonel ve irrasyonel noktalar içerir. Şu halde, herbir üst toplam 1 ve herbir alt toplam da 0 olur. Böylece bu fonksiyonun [0, 1] aralığı üzerinde Riemann anlamında integrali yoktur. Ölçü, R de uzunluk kavramının, R 2 de alan kavramının, R 3 te ise hacim kavramının, genelleştirilmesidir. Bu dersin amacı Lebesgue integrali kavramını tanımak olacaktır. Bu kavramı 3 aşamada tanıyacağız: Öncelikle ölçü kavramı ve ölçülebilir kümeleri, daha sonra ölçülebilir fonksiyonları ve nihayet ölçülebilir fonksiyonların integralini vereceğiz. Riemann integralinde [a, b] aralığı aralıklara ayrılırken ve nokta seçerken fonksiyon hiç kullanılmıyor. Buna karşın Lebesgue integralinde aralığı verilen fonksiyona göre ayrı ayrı kümelere ayırıyoruz. Yani Riemann integralinde aralığın parçalanması fonksiyondan bağımsız olarak yapılmaktadır. Ayrıca bu parçalanış herhangi alt kümeler olarak değil sıralanmış alt aralıklar olarak seçilmektedir. Buna karşın

15 1.4 Riemann integrali 7 Lebesgue integralinde aralık, fonksiyonun değerlerine bağlı olarak, sıralanmış alt aralıklara değil, kümelere ayrılır. Örneğin, aralık, [a, b] = A 1 A 2... A n şeklinde kümelerin bir ayrışımına sahip olsun. Her bir A i kümesinden rasgele c i noktalarını seçelim. Bu durumda Riemann toplamı,pn i=1 f(c i) A i şeklinde olacaktır. Burada A i, Riemann ile karşılaştırdığımızda A i kümelerinin uzunluğu olmalıdır. Ancak bir kümenin uzunluğunun ne olduğu hakkında hiç bir bilgimiz bulunmamaktadır. Bilindiği gibi uzunluk kavramı sadece aralıklar için tanımlıdır. Bu nedenle uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak ölçü kavramını vereceğiz. x Q D(x) = 1; 0 ; x R Q fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyonun hiç bir yerde sürekli değildir (Göster!).Pn i=1 D(c i) x i toplamının limiti c i noktalarının seçimine bağlıdır. Gerçekten, c i Q nxi=1 D(c i ) x i = D(c i ) x i = 1 Z1 D(x)dx = 1 nxi=1 0 c i R Q D(c i ) x i = 0 Z1 D(x)dx = 0 nxi=1 olur. Sonuçta integral toplamının limiti c i lerin seçimine bağlıdır. Dolayısıyla tanımdan dolayı D(x) fonksiyonunun Riemann integrali yoktur. Bu fonksiyonun Lebesgue integralini vermek için aralığın başka türlü bir parçalanışını seçmeliyiz. Örneğin bu aralığı, bu aralığa ait rasyonel irrasyonel noktaların birleşimi olarak alalım. Bu durumda integral toplamı, c 1 irrasyonel ve c 2 rasyonal olmak üzere, D(c 1 ). (R Q) + D(c 2 ). (Q) şeklinde olur. Burada (R Q) ve (Q) yerine ne yazacağımızı bilmiyoruz. Dolayısıyla, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ölçülerini belirlememiz gerekir. Sonuç olarak bir kümenin ölçüsü ne demektir, öncelikle bunu tanımlamamız gerekir. 0

16

17 2 Ölçü Kavramı Önceki bölümde sözünü ettiğimiz gibi, örneğin Q ya da R Q gibi kümeler aralıklardan çok daha farklı kümelerdir ve bunların uzunluklarını nasıl ölçebileceğimiz pek açık değildir. Bu bölümün amacı herhangi bir küme üzerinde ölçü kavramını vermek olacaktır. Bunun için öncelikle reel sayılardaki sınırlı aralıklarının uzunluğunu verme R de ölçü, uzunluk kavramının genelleştirilmesi olduğundan R deki kümeleri iki sınıfa ayırabiliriz: 1. Uzunluğu belli olan kümeler sınıfı -ki bunlar aralıklardır-. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü uzunluğuna eşit kabul ediyoruz. 2. Aralıklar sınıfının dışındaki kümeler. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü aralıklar yardımıyla buluyoruz. I, R de herhangi bir sınırlı aralık (yani I = [a, b], (a, b], [a, b) veya (a, b)) olmak üzere, I aralığının uzunluğu l(i) = b a olarak tanımlanır. Her nokta bir aralıktır ve uzunluğu sıfırdır. Gerçekten, [a, b] aralığında a = b seçersek aralık {a} noktasına denk gelir. Dahası, l({a}) = l([a, a]) = 0 elde edilir. Dolayısıyla sonlu kümelerin de uzunluğu sıfırdır. R de bir kümeyi aşikar olmayan bir takım aralıklara bölmemiz her zaman mümkün olmayabiliyor. Bu nedenle bu kümeyi örten bir takım (hatta sayılabilir sayıda) aralıkların bir sistemini gözönüne alabiliriz. Buradan yola çıkarak, aşağıda verilen tanım ile ölçü yolculuğumuza başlayabiliriz. 2.1 Ölçüsü sıfır olan kümeler Tanım A R alt kümesi verilsin. Verilen herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık, A I n [n=1 ve l(i n ) < ε Xn=1 olacak şekilde aralıkların bir {I n : n 1} dizisi bulabiliyorsa A kümesine ölçüsü sıfır olan küme ya da kısaca sıfır kümesi denir. 9

18 10 2 Ölçü Kavramı Açıklama Üstteki tanımda aralıklar olarak açık, kapalı ya da yarı-açık aralılar alınabilir.ayrıca, aralıkların ayrık olmaları gerekmez. Şu halde, tanımdan boş kümenin bir sıfır kümesi olduğu kolaylıkla görülebilir. Örnek Tek-elemanlı kümeler sıfır kümesidir. Gerçekten, ε > 0 verilsin. I 1 = (x ε 4, x + ε 4 ) ve n 2 için I n = [0, 0] alalım. Bu durumda,p n=1 l(i n) = l(i 1 ) = ε 2 < ε bulunur. Daha genel olarak, herhangi bir sayılabilir A = {x 1, x 2,...} kümesi sıfır kümesidir. Aslında, aralıkları I n = [x n, x n ] alarak bunu göstermek mümkündür. Ancak biz bunu, A kümesini örten aralıkları açık aralıklar alarak göstereceğiz. Şimdi, ε > 0 verilsin ve A kümesini örten aralıların dizisini aşağıdaki şekilde alalım: I 1 = (x 1 ε 8, x 1 + ε 8 ), l(i 1) = ε P n=1 I 2 = (x 2 ε 16, x 2 + ε 16 ), l(i 2) = ε I 3 = (x 3 ε 32, x 3 + ε 32 ), l(i 3) = ε I n = (x n ε 2.2 n, x n + ε 2.2 n ), l(i n) = ε n 1 2 = 1 olduğundan,p n n=1 l(i n) = ε 2 < ε bulunur. Yukarıdaki örnekteki A kümesi, sayılabilir sayıda tek-elemanlı kümenin birleşimi şeklindedir. Tek-elemanlı kümeler sıfır kümelerdir ve A kümesi de sıfır kümesi olmaktadır. Bu durumu aşağıdaki teorem ile genelleştirebiliriz. Teorem {N n } n 1 sıfır kümelerin bir dizisi ise, bunların birlesimi olan N =S n=1 N n kümesi de sıfır kümesidir. Sayılabilir kümeler sıfır kümeler olmakla birlikte, sayılamayan kümeler için aynı şeyi söyleyemeyiz. Buna karşın, sayılamayan sıfır kümeleri mevcuttur. Bununla ilgili Cantor kümesi olarak bilinen aşağıdaki örneği verebiliriz. Örnek [0, 1] aralığını üç eşit parçaya bölelim ve ortadaki ( 1 3, 2 3 ) aralığını atarak elde ettiğimiz kümeye C 1 diyelim. Bu durumda, C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1] olur. Daha sonra C 1 deki iki aralığı da üçer eşit parçaya bölelim ve ortalarındaki aralıkları atalım ve geri kalan kümeye C 2 diyelim. Bu durumda C 2, uzunlukları 1 9 olan dört tane aralıktan oluşur. Bu şekilde devam ederek, herbirinin uzunluğu 1 3 olan 2 n tane ayrık kapalı aralıkların birleşimi olan C n n kümesini elde ederiz.

19 2.2 Dış ölçü 11 Kolayca görülebileceği gibi, C n kümesinin toplam uzunluğu ( 2 3 )n dir. C n lerin arakesiti olan C = C n \n=1 kümesine Cantor kümesi denir. Cantor kümesi sayılamazdır (Göster!) ve sıfır kümesidir. Gerçekten, verilen herhengi bir ε > 0 sayısına karşılık yeterince büyük n için ( 2 3 )n < ε dur. C C n ve C n kümeleri, toplam uzunlukları ε dan küçük olan aralıkların sonlu bir dizisi olduğundan, C nin sıfır kümesi olduğu görülür. 2.2 Dış ölçü Tanım A R alt kümesi verilsin. Z A = { l(i n ) : I n ler aralıklar, A Xn=1 I n } [n=1 olmak üzere, m (A) = inf Z A sayısına A kümesinin (Lebesgue) dış ölçüsü denir. Herhangi bir A R alt kümesi için m (A) 0 dır. Bazı A alt kümeleri için, A nın her örtülüşüne karşınp n=1 l(i n) serisi ıraksak olabileceğinden, m (A) = olabilir. Z A kümesi 0 ile alttan sınırlıdır. Dolayısıyla, sözü edilen infimum daima mevcuttur. Eğer r Z A ise, [r, + ] Z A dır. Şu halde Z A, ya {+ } ya da bir x real sayısı için (x, + ] veya [x, + ] aralığıdır. Dolayısıyla, Z A nın infimumu sadece x olur. Teorem A R alt kümesinin sıfır kümesi olması için gyk m (A) = 0 olmasıdır. Üstteki teoremdem, m ( ) = 0, her x R için m ({x}) = 0, m (Q) = 0, ve daha genel olarak, X sayılabilir bir küme olmak üzere, m (X) = 0 olduğu görülür. Aşağıdaki teoremden görülebileceği gibi dış ölçü monotondur. Teorem A B ise, m (A) m (B) dır. Teorem Bir aralığın dış ölçüsü uzunluğuna eşittir.

20 12 2 Ölçü Kavramı Teorem Dış ölçü sayılabilir alttoplamsaldır; yani, herhangi bir {E n } kümeler dizisi için, m ( E n ) [n=1 m Xn=1 (E n ) dir. Problem m (A) = 0 ise, her B için, m (A B) = m (B) dir. Gösteriniz. Problem Eğer m (A B) = 0 ise, m (A) = m (B) dir. Gösteriniz. Önerme Her A R alt kümesi ve her t R reel sayısı için, dir. m (A) = m (A + t) 2.3 (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü Tanım E R alt kümesi verilsin. Her A R için, m (A) = m (A E) + m (A E c ) ise, E kümesine (Lebesgue anlamında) ölçülebilirdir denir ve E M yazılır. Herhangi A ve E kümeleri için daima A = (A E) (A E c ) dır. Şu halde, dış ölçünün alttoplamsallık özelliğinden (bkz. Teorem 2.2.5), m (A) m (A E) + m (A E c ) olur. Dolayısıyla, bir kümenin ölçülebilirliğini aşağıdaki şekilde test etmemiz yeterli olacaktır: "E M olması için gyk her A R için m (A) m (A E) + m (A E c ) olmasıdır." Teorem (i) Her sıfır kümesi ölçülebilirdir. (ii) Her aralık ölçülebilirdir. Teorem (i) R M dir.

21 2.4 Lebesgue ölçüsünün özellikleri 13 (ii) E M ise, E c M dir. (iii) Her n = 1, 2,... için, E n M ise,s n=1 E n M dir. Dahası, her n = 1, 2,... için, E n M ve j k için E j E k = ise, m ( E n ) = [n=1 m Xn=1 (E n ) (2.3.1) dir. (Sayılabilir toplamsallık özelliği) Açıklama Üstteki teorem bu bölümün en önemli teoremidir ve bundan sonrakilere de temel teşkil etmektedir. X herhangi bir küme olmak üzere X in alt kümelerinin bir alt ailesi C olsun. Eğer (i) X C, (ii) C C için C c C ve (iii) C 1, C 2,... C içins n=1 C n C ise, C ailesine bir σ-cismi denir. Dolayısıyla, teoremdeki (i), (ii) ve (iii) özelikleri ile birlikte M ailesi bir σ-cismidir. Bir σ- cismi üzerinde tanımlı [0, ]-değerli µ fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık kümeler için sayılabilir toplamsallık özelliğine sahip (yani (2.3.1) eşitliğini sağlıyor) ise, bu fonksiyona bir ölçü denir. Bu durumda, (X, C, µ) üçlüsüne bir ölçü uzayı denir. Şu halde, (R, M, m ) bir ölçü uzayıdır. Önerme k = 1, 2,... için E k M ise, E =T k=1 E k M dir. Tanım Herhangi bir E M için, m (E) yerine m(e) yazacağız ve m(e) ye de Lebesgue ölçüsü diyeceğiz. Dolayısıyla, m : M [0, ] Lebesgue ölçüsü, ölçülebilir M σ-cismi üzerinde tanımlı sayılabilir toplamsal küme fonksiyonudur. Bir aralığın Lebesgue ölçüsü uzunluğuna eşittir. Bir sıfır kümenin Lebesgue ölçüsü sıfırdır. 2.4 Lebesgue ölçüsünün özellikleri Lebesgue ölçüsü dış ölçünün kümelerin özel bir sınıfına kısıtlanışı olduğundan, dış ölçünün bazı özellikleri Lebesgue ölçüsü için de geçerlidir: Önerme A, B M olsun. (i) A B ise, m(a) m(b) dir. (ii) A B ve m(a) sonlu ise, m(b A) = m(b) m(a) dır. (iii) Her t R için, m(a + t) = m(a) dır.

22 14 2 Ölçü Kavramı M olduğundan, (2.3.1) de her i > n için E i = alarak, Lebesgue ölçüsünün toplamsal olduğu sonucunu çıkarabiliriz: E i M ler ikişer ikişer ayrık kümeler ise, m( E i ) = n[n=1 m(e i ) nxn=1 dir. Problem m(a B) ve m(a B C) için birer formül çıkarınız. Önerme A M ve m(a B) = 0 ise, B M ve m(a) = m(b) dir. Bilindiği gibi R deki her açık küme sayılabilir sayıda açık aralıkların birleşimi olarak yazılabilir. Dolayısıyla, R deki açık kümeler, Lebesgue anlamında ölçülebilirdir çünkü M ailesi aralıkları içerir ve sayılabilir birlerşimler altında kapalıdır. Aşağıdaki theorem yardımı ile,herhangi bir A M kümesinin Lebesgue ölçüsüne, A kümesini içeren açık kümeler dizisinin ölçüleri ile üstten yaklaşabiliriz. Teorem (i) A M olsun. Herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık A kümesini kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(o) m (A) + ε dur. Şu halde, herhangi bir E M için E kümesinin kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(o E) < ε dur. (ii) Herhangi bir A M için, açık kümelerin O n dizisi vardır ki A \n O n, m(\n O n ) = m (A) dır. Teorem Her n 1 için A n M olsun. Bu durumda, (i) Eğer her n 1 için A n A n+1 ise, m([n A n ) = lim n m(a n) dir. (ii) Eğer her n 1 için A n+1 A n ve m(a 1 ) sonlu ise, m(\n A n ) = lim n m(a n) dir.

23 2.5 Borel kümeleri 15 Teorem (i) m sonlu toplamsaldır. Yani, ikişer ikişer ayrık (A i ) n i=1 kümeleri için, m(sn i=1 A i) =Pn i=1 m(a i) dir. (ii) m, boş kümede süreklidir. Yani (B n ), boş kümeye doğru azalan bir dizi ise, m(b n ), sıfıra doğru azalır. 2.5 Borel kümeleri Teorem σ-cisimlerinden oluşan bir ailenin elemanlarının arakesiti de bir σ-cismidir. Tanım B =T{F : F, tüm aralıkları içeren bir σ -cismi} ailesi tanımlansın. Bu durumda B, üstteki teoremden, tüm aralıklar tarafından üretilen σ- cismidir. B ailesinin elemanlarına Borel kümeleri denir. B ailesi, tüm aralıkları içeren en küçük σ-cismidir. Daha genel olarak, A kümelerin bir ailesi olmak üzere, eğer G :=T{F : F, A ailesini kapsayan bir σ -cismi} ise, G ailesine A tarafından üretilen σ-cismi denir. Örnekler 1. Aşağıdaki örnekler, B σ-cisminin kapanış özelliklerinin, R deki bilinen kümelerin B ye ait olması ile ilgili, nasıl kullanılabileceklerini göstermektedir. (i) Tüm aralıklar B ye aittir ve B bir σ-cismi olduğundan, tüm açık kümeler B ye aittir çünkü herhangi bir açık küme (açık) aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. (ii) Sayılabilir kümeler Borel kümeleridir çünkü her sayılabilir küme [a, a] şeklindeki kapalı aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. Dahası, Doğal sayılar ve rasyonel sayılar Borel kümeleridir. Şu halde, Borel kümelerinin tümleyenleri de Borel kümeleri olduğundan, irrasyonel sayılar da Borel kümesidir. Benzer şekilde, sonlu ve tümleyeni sonlu olan kümeler de Borel kümeleridir. Teorem Eğer tüm aralıkların ailesi yerine tüm açık aralıkların, tüm kapalı aralıkların, (a, ) (veya [a, ) veya (, b) veya (, b]) şeklindeki aralıkların, tüm açık kümelerin, ya da tüm kapalı kümelerin ailesini alırsak, bunlar tarafından üretilen σ-cismi B ile aynı olur. Problem (a, b] (veya [a, b)) şeklindeki aralıkların ailesinin de Borel kümelerin σ-cismini ürettiğini gösteriniz.

24 16 2 Ölçü Kavramı Açıklama M, tüm aralıkları içeren bir σ-cismi olduğundan ve B, bu şekildeki en küçük σ-cismi cismi olduğundan, B M dir. Yani, R deki her Borel kümesi Lebesgue anlamında ölçülebilirdir. Dolayısıyla, bu şekildeki σ- cisimlerinin aynı olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Aslında B, M nin öz alt kümesidir. Teorem (ii) den, verilen herhangi bir E M için, O n ler açık kümeler olamak üzere B =Tn O n olacak şekilde öyle bir B E Borel kümesi bulabiliriz ki m(e) = m(b) olur. Dahası, m(b E)m(B E) = 0 dır. Böylece m, ölçülebilir E kümesi ve inşa ettiğimiz B Borel kümesi arasındaki farkı ayırt edemez. Gördüğümüz gibi, verilen bir Lebesgue anlamında ölçülebilir E kümesine karşılık daima bir B Borel kümesi bulabiliriz ki E B simetrik farkı sıfır kümesi olur. E B M olduğunu biliyoruz. Ayrıca, açıktır ki, sıfır kümelerin alt kümeleri de sıfır kümelerdir ve dolayısıyla ölçülebilirdirler yani M dedir. Bunula birlikte, buradan, her sıfır kümesinin bir Borel kümesi olduğu sonucunu çıkaramayız (eğer B tüm sıfır kümelerini içermiş olsaydı, Teorem (ii) den, B = M olurdu). Tanım (X, F, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer µ(f ) = 0 olan her F F ve her N F için N F (ve dolayısıyla µ(n) = 0) ise, bu ölçü uzayına tamdır denir. Tanım Verilen bir µ ölçüsüne göre bir G σ-cisminin tamamlanışı, G yi içeren en küçük F σ-cismidir öyle ki eğer N G G ve µ(g) = 0 ise, N F dir. Bu tanımlardan yola çıkarak, M, R üzerindeki en küçük σ-cismi olup, m ölçüsüne göre B nin tamamlanışı olur. Ayrıca, (R, M, m) ölçü uzayı tam olmakla birlikte, (R, B, m) ölçü uzayı tam değildir. Önerme Bir G σ-cisminin tamamlanışı, şeklindedir. {G N : G F, N F F, µ(f ) = 0} Bu Önermeden yola çıkarak, µ ölçüsünü F üzerindeki bir µ ölçüsüne, G G için µ(g N) = µ(g) yardımıyla, tek bir şekilde genişletebiliriz. Teorem M, B nin tamamlanışıdır. Teorem E M ise, herhangi bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F E alt kümesi vardır ki m(e F ) < ε olur. Böylece, F n ler kapalı kümeler olmak üzere, B =Sn F n olacak şekilde öyle bir B E alt kümesi vardır ki m(e B) = 0 olur.

25 2.5 Borel kümeleri 17 Problem E M olsun. Aşağıdakilerin eşdeğer olduğunu gösteriniz. (i) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir açık O E kümesi vardır ki m (O E) < ε olur. (ii) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F E kümesi vardır ki m (E F ) < ε olur. Tanım µ, B üzerinde tanımlı negatif olmayan sayılabilir toplamsal küme fonksiyonu olsun. Eğer her B Borel kümesi için ve µ(b) = inf{µ(o) : B O (açık)} µ(b) = sup{µ(f ) : F (kapalı) B} ise, µ fonsiyonuna düzenli Borel ölçüsü denir. Teorem ve Teorem de, bu ilişkilerin Lebesgue ölçüsü için sağlandığını gösterdik. Düzenli Borel ölçüleri ile ilgili diğer örnekleri daha ileride göreceğiz.

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ANALİZ III. Mert Çağlar

ANALİZ III. Mert Çağlar ANALİZ III Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI

ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 12. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 015-016 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 1. SINIFLAR SEÇMELİ MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK DERS PLANI AY HAFTA SAAT KAZANIMLAR BÖLÜMLER (ALT ÖĞRENME ALANLARI) ÖĞRENME

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2.

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2. . + - + + - x y x y x y x y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - B) - C) - x y x y x y D) - E ) 5 - x y x y + - + + - 5 - x y x y x y x y x y. Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? 1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için HAHN-BANACH TEOREMİ VE SONUÇLARI G.F.Simmons 1963 tarihli Introduction to Topology and Modern Analysis adlı mükemmel kitabında soyut bir matematisel yapıyı anlamanın en iyi yollarından biri olarak o matematiksel

Detaylı

Yüksek Lisans Cebir (in Turkish) Başlık: Grup Teorisi I Seviye: - İçerik: Gruplar, bölüm grupları, temel izomorfizma teoremleri, alterne, simetrik ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, otomorfizma grupları

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze Dersin

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

Newton un F = ma eşitliğini SD den türete bilir miyiz?

Newton un F = ma eşitliğini SD den türete bilir miyiz? burada yine kısmi integrasyon kullanıldı ve ± da Ψ ın yok olduğu kabul edildi. Sonuç olarak, p = p, yani p ˆ nin tüm beklenti değerleri gerçeldir. Bir özdeğer kendisine karşı gelen kararlı durumun beklenti

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

1956 da bla bla... Ali Nesin

1956 da bla bla... Ali Nesin 1956 da bla bla... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz II İçindekiler Önsöz................................... 1 I Süreklilik ve Limit 3 1 Süreklilik 5 1.1 Tanım ve Tanımın Tartışması...................

Detaylı

ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ. 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız.

ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ. 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. OLASILIĞA GİRİŞ IDERSİ ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. A B = A (B A) =A (B A c ) A B C = A (B A) (C (A B)) = A (B A c ) (C B

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 108 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analiz Yazar: Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Editör: Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN Bu kitabın basım, yayım

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Bölüm 2 Matematik Dili

Bölüm 2 Matematik Dili Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler p Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir p Kümenin elemanları element olarak adlandırılır p Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde p Örnek: A = {,3,5,7}

Detaylı

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır.

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır. . KÜMELERİN YAPILARI. Açık Kümeler-Kapalı Kümeler vereceğiz. Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç ylla labilir. Biz bu ylların birkaçını.. Tanım: (X, ) metrik uzay x0 (i) B(x, r) { x X : (x, x)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı