ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ AYRIŞIMLARIN KONGRUANS ÖZELLİKLERİ. Göksal BİLGİCİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007

Transkript

2 i ÖZET Doktora Tezi AYRIŞIMLARIN KONGRUANS ÖZELLİKLERİ Göksal BİLGİCİ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof.Dr. Ali Bülent EKİN Pozitif n tamsayısının bir ayrışımı, λ, λ,..., λ r şeklinde pozitif tamsayıların r artmayan bir dizisidir öyle ki λ i = n dir. n nin ayrışımları sayısı p(n) ile gösterilir. { } p(n) n 0 p(n)q n = n=0 i= dizisinin üreteç fonksiyonu q r ( q < ) dir. p(n)q n serisidir ve Ramanujan 99 yılında p(5 n + 4) 0 (mod 5), p(7 n + 5) 0 (mod 5) ve p(n + 6) 0 (mod ) kongruanslarını vermiş ve analitik olarak ispatlamıştır. 954 yılında m = 5, 7 ve modülleri için p(mn + k) formundaki sayıların kongruans özellikleri, Atkin ve Swinnerton-Dyer tarafından hesaplanmıştır. Atkin ve Swinnerton-Dyer temel olarak, p(n)q n serisini, katsayıları y de (y := q m ) n=0 kuvvet serileri olan q nun (m )- dereceden bir polinomu olarak ele almışlardır. Bu çalışmada, sonsuz çarpımı m = 5, 7, ve durumları için yukarıda qr belirttiğimiz tipte bir polinom olarak ifade edilmiştir. Bu polinom ifadeleri kullanılarak kongruans özellikleri farklı bir yolla elde edilmiştir. Bu ifadelere bakıldığında aralarındaki ilişkiler farkedilmektedir. Bu ilişkiler SL (Z) modüler grubunun bir kongruans altgrubunun hareketi ile açıklanmıştır. Son olarak, polinom katsayılarını sadeleştirmek için Atkin ve Swinnerton ın verdiği kullanışlı bir özdeşlik, eliptik fonksiyonlar ve theta fonksiyonları teorileri kullanılarak genelleştirilmiştir. n=0 007, 75 sayfa Anahtar Kelimeler : Ayrışım, rank, crank, modüler form, eliptik fonksiyon, theta fonksiyonları

3 ii ABSTRACT Ph.D. Thesis CONGRUENCE PROPERTIES of PARTITION Göksal BİLGİCİ Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Ali Bülent EKİN A partition of a positive integer n is a finite nonincreasing sequence of positive r integers λ, λ,..., λ r such that λ i = n. The number of partitions of n is denoted i= by p(n). The generating function of the sequence known that p(n)q n = n=0 ( q < ). qr { } p(n) is n 0 p(n)q n and it is In 99, Ramanujan gave the congruences p(5n + 4) 0 (mod 5), p(7n + 5) 0 (mod 5) and p(n + 6) 0 (mod ) and proved them analytically. For modulo m = 5, 7 and congruence properties of the numbers of the form p(mn + k) were calculated by Atkin and Swinnerton-Dyer in 954. Basically, Atkin and Swinnerton- Dyer considered the series p(n)q n as a polynomial of degree m in q, whose n=0 coefficients are power series in y (y := q m ). In this work, the infinite product is expressed as a polynomial of the type qr stated above, for the cases m = 5, 7, and. Using these polynomial expressions, we obtained the congruence properties in a completely different way. By looking at these expressions one can realize the relations between them. These relations have been explained by an action of a certain subgroup of modular group SL (Z). Finally, an identity given by Atkin and Swinnerton-Dyer, which is very useful to simplify the coefficients of the polynomial expressions, is generalized by using Eliptic functions and theta functions theory. 007, 75 pages Key Words : Partiton, rank, crank, modular form, eliptic function, theta functions n=0

4 iii TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli vaktini ve yardımlarını benden hiçbir zaman esirgemeyen danışman hocam sayın Prof.Dr. Ali Bülent EKİN e şükranlarımı sunmayı bir borç bilirim. Bu tezi, çalışmalarım süresince fedakarlıklarıyla beni daima destekleyen, bana sınırsızlık kavramını sevgisiyle öğreten, yakın zamanda kaybettiğim biricik eşim, herşeyim Sema ya atfediyorum. Göksal BİLGİCİ Ankara, Temmuz 007

5 iv İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER DİZİNİ v ÇİZELGELER DİZİNİ vi. GİRİŞ Rank Crank ( q r ) ÇARPIMININ KONGRUANS ÖZELLİKLERİ. 6. m = 5 Durumunda Kongruanslar m = 7 Durumunda Kongruanslar m = Durumunda Kongruanslar m = 5, 7 ve İÇİN ( q r ) ÇARPIMININ POLİNOM OLARAK YAZILMASI ve KONGRUANS ÖZELLİKLERİ m = 5 Durumunda Bileşenler ve Kongruanslar m = 7 Durumunda Bileşenler ve Kongruanslar m = Durumunda Bileşenler ve Kongruanslar ( q r ) NiN BİLEŞENLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİLER Modüler Formlar m = Durumunda Bileşenler Arasındaki İlişkiler THETA FONKSİYONLARI ve ELİPTİK FONKSİYONLAR 6 5. Theta Fonksiyonları Eliptik Fonksiyonlar Theta Fonksiyonları ve P (a) Kuvvet Serileri KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ

6 v SİMGELER DİZİNİ Z Z Z n SL (Z) U n p(n) F (n) D(n) N(m, n) N(r, m, n) N V (m, n) N V (r, m, n) M(m, n) M(r, m, n) F H P (z, q) P (a) P (0) Tamsayılar kümesi Pozitif tamsayılar kümesi Kalan sınıflarının kümesi Girişleri tamsayı ve determinantları olan matrislerin grubu Z n halkasının birim grubu n nin ayrışımları sayısı n nin sıralı çarpanlara ayırma sayısı n nin double perfect ayrışımları sayısı n nin rankı m ye eşit olan ayrışımları sayısı n nin rankı m modülüne göre r ye kongruent olan ayrışımları sayısı n nin crankı m ye eşit olan vektör ayrışımları sayısı n nin crankı m modülüne göre r ye kongruent vektör ayrışımları sayısı n nin crankı m ye eşit olan ayrışımları sayısı n nin crankı m modülüne göre r ye kongruent olan ayrışımları sayısı sonsuz çarpımı qr Kompleks üst yarı düzlem ( zq r )( z q r ) çarpımı ( y m(r )+a )( y mr a ) çarpımı ( y mr ) çarpımı

7 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge. Grafik gösterimi... 5 Çizelge. n < 30 için p(n) ayrışım sayısı... 6 Çizelge.3 4 ün ayrışımlarının ranka göre tasnifi... 8 Çizelge.4 5 in ayrışımlarının ranka göre tasnifi... 9 Çizelge.5 6 nın ayrışımlarının ranka göre tasnifi... 9 Çizelge.6 6 sayısının ayrışımlarının cranka göre tasnifi...4 vi

8 . GİRİŞ Bir objeyi alt objelere ayırmak her bilim dalında önemli bir problemdir. Böyle bir problem tamsayıları parçalamaktır. Bir tamsayı iki şekilde parçalanır: çarpımsal ve toplamsal olarak. Bir tamsayıyı toplamsal olarak parçalamak Ayrışım Teorisinin konusudur. Bir ayrışımın ne anlama geldiğini incelemek için 3 sayısını alalım. 3, kaç şekilde bir veya daha fazla pozitif tam sayıya parçalanabilir? 3, tek parça olarak bırakılabilir, bir parça olarak ve kalan de bir parça olarak alınabilir veya büyüklüğünde üç parçaya ayırılabilir. Bu ise yukarıdaki elementer sorunun cevabının; 3 ün üç tane tamsayı ayrışımı vardır. olduğunu gösterir. Tanım. λ λ... λ r > 0 ve r i= λ i = n olmak üzere sonlu λ=(λ λ...λ r ) dizisine n nin bir ayrışımı ve bu dizideki her bir λ i pozitif tamsayısına parça denir. p(n) ile n nin ayrışımları sayısı gösterilir ve p(0) := olarak tanımlanır. Yukarıdaki örnekten p(3) = 3 tür. Örnek. 5 in ayrışımları (p(5) = 7); (5), (4 ), (3 ), (3 ), ( ), ( ), ( ) şeklindedir. n büyüdükçe p(n) oldukça hızlı büyüyen bir sayıdır. p(5) = 7, p(0) = 4,

9 p(0) = 67, p(50) = 046, p(00) = ve p(00) = (3 basamak) dir. { } p(n) dizisinin üreteç fonksiyonu n 0 n= p(n)q n serisidir ve p(n)q n = n=0, q < (.) qr dir (Hardy and Wright, 938). Bunu izah etmek için q r çarpımını q 4 e kadar açalım (bazen kolaylık için gösterimi yerine sadece kullanılacaktır). q r = q q q 3 q 4 = ( + q + q. + q 3. + q 4. + ) ( + q. + q. + ) ( + q.3 + ) ( + q.4 + ) = + q + ( q. + q.) + ( q 3. + q.+ + q.3) + ( q.4 + q.3+ + q. + q 4. + q.+.) + = + q + q + 3q 3 + 5q 4 + Dikkat edilirse q i nin sayısı, i nin ayrışım sayısı kadardır. Euler Pentagonal Sayı Teoremi ( q n ) = + ( ) m q m(3m ) ( + q m ) = ( ) m q m(3m ) (.) n= m= m= şeklindedir (.) ve (.) kullanılarak bir tamsayının ayrışımlarının sayısını hesaplamak için aşağıdaki formül elde edilir:

10 3 p(n) = p(n ) + p(n ) p(n 5) p(n 7) + + ( ) m p (n ) m(3m ) + ( ) m p (n ) m(3m + ) + (.3) (.3) eşitliği sonsuz bir ifade gibi görünmesine rağmen n < 0 durumunda p(n) = 0 olduğundan dolayı aslında sonludur. Şimdi bu formülü kullanarak e kadar olan sayıların ayrışım sayısını hesaplayalım: p(0) = p() = p(n ) = p(0) = p() = p() + p(0) = + = p(3) = p() + p() = + = 3 p(4) = p(3) + p() = 3 + = 5 p(5) = p(4) + p(3) p(0) = = 7 p(6) = p(5) + p(4) p() = = p(7) = p(6) + p(5) p() p(0) = + 7 = 5 p(8) = p(7) + p(6) p(3) p() = = p(9) = p(8) + p(7) p(4) p() = = 30 p(0) = p(9) + p(8) p(5) p(3) = = 4 p() = p(0) + p(9) p(6) p(4) = = 56. Pozitif n tamsayısının çok büyük olduğu durumlarda bu formülü kullanmak zor olacaktır. Böyle durumlarda p(n) sayısının hesabı için kullanılan bir yöntem Hardy ve Ramanujan (98) tarafından verilen p(n) 4n 3 eπ n/3

11 4 formülüdür. Ayrışımlar ile çarpanlara ayırma arasında güzel bir ilişki vardır. Şimdi bunu açıklayalım: 8 tamsayısı çarpımsal olarak, 8, 4.,.4 ve.. şeklinde ifade edilebilir. Bu şekilde çarpanlara ayırmaya sıralı çarpanlara ayırma (ordered factorization) adı verilir. F (n) ile n pozitif tamsayısının sıralı çarpanlara ayrılışları sayısını gösterelim (F (0) := 0 olarak tanımlanır). Bir ayrışım λ = (λ m λ m...λ m l) şeklinde artan bir diziyle de gösterilebilir. Burada l m i ler λ i parçasının ayrışımdaki sayısıdır. λ = (λ m λ m...λ m l), n nin bir ayrışımı olsun. n den küçük her m tamsayısı m = l i= α iλ i (α i {0,,..., m i }) şeklinde tek türlü yazılabiliyorsa λ ayrışımına perfect ayrışım denir. m n olan her m tamsayısı m = l i= α iλ i (α i {0,,..., m i }) şeklinde tam olarak iki türlü yazılıyorsa λ ayrışımına double-perfect ayrışım adı verilir. Örneğin 7 nin ( 7 ), ( 3 4) ve ( 4) ayrışımları perfect ve ( 3) ise double-perfect ayrışımdır. D(n) ile n nin double-perfect ayrışımlarının sayısını gösterelim. l D(n) ile F (n) arasında ( ) n F (n ) F, n (mod 4) ise D(n) = 4 F (n ), n (mod 4) ise şeklinde bir ilişki vardır (Lee, 006). Ayrışımlar cebirin başka konularında da karşımıza çıkmaktadır. Örneğin S n simetrik grubunun eşlenik sınıflarının sayısı p(n) sayısına eşittir. Bir ayrışım noktaların bir dizisiyle de gösterilebilir. Örneğin 3 ün ( ) ayrışımı

12 5 Çizelge. Grafik gösterimi şeklinde gösterilebilir. Bu gösterime grafik gösterimi veya Ferrer grafiği adı verilir. Bu tablo sütun olarak okunursa 3 ün bir başka ayrışımı (8 5 4 ) bulunur. Bu yöntemle elde edilen ayrışımlara birbirlerinin eşleniği denir. Ayrışımlarla ilgili birçok sonuç grafik gösterimi kullanılarak kolayca ispatlanır. Ayrışım teorisinin çok ilginç bir hikayesi vardır. Bu hikaye Ortaçağa kadar uzanmasına rağmen ilk önemli sonuçlar onsekizinci yüzyılda bu teorinin kurucusu olarak bilinen Euler tarafından verilmiştir. Bir çok matematikçi bu teoriye katkılarda bulunmuştur. Bunlardan bazıları Legendre, Ramanujan, Hardy, Rademacher, Sylvester, Selberg ve Dyson dır. Bu çalışmamızın ana teması 99 da Hindistan asıllı matematikçi Ramanujan ın vermiş olduğu p(5n + 4) 0 (mod 5) (.4) p(7n + 5) 0 (mod 7) (.5) p(n + 6) 0 (mod ) (.6) kongruanslarına dayanmaktadır.

13 6 Hardy ve Ramanujan p(n) sayısını incelerken n 00 olmak üzere p(n) değerleri için P.A. MacMahon ın hazırlamış olduğu tabloyu kullandılar. Bu tabloyu daha okunabilir yapmak için aşağıdaki gibi 5 erli bloklara ayırdılar; Çizelge. n < 30 için p(n) ayrışım sayısı n p(n) n p(n) n p(n) Ramanujan, blokların en sonunda bulunan sayıların ayrışımları sayısının 5 in bir katı olduğunu farketti ve aşağıdaki tahmini yaptı: p(5n + 4) 0 (mod 5) Bu beklenmedik ilişkiden sonra tabloyu biraz daha inceleyerek p(7n + 5) 0 (mod 7) p(n + 6) 0 (mod ) kongruanslarını da ekledi. Daha sonra Ramanujan bu üç kongruansı analitik yöntemlerle

14 7 ispatladı (Ramanujan, 97). Son olarak Ramanujan bu üç kongruansı aşağıdaki şekilde genelleştirdi: δ := 5 a 7 b c ve 4λ (mod δ) olmak üzere p(λ), p(λ + δ), p(λ + δ), 0 (mod δ) S. Chowla, H. Gupta tarafından verilen genişletilmiş p(n) tablosunu incelerken 4.43 (mod 7 3 ) kongruansına rağmen p(43) = (mod 7 3 ) olduğunu farketti. 938 yılında ise G.N. Watson bu sonucun aşağıdaki şekilde düzeltilebileceğini belirtti (Watson, 938): 4n (mod 5 c 7 d e ) ise p(n) 0 (mod 5 c 7 [(d+)/] e ) (.7) Bu sonuç son olarak 967 yılında A.O.L. Atkin tarafından ispatlandı (Atkin, 967) ( Lehner tarafından da farklı yöntemlerle ispatlandı (Lehner, 949)). Daha sonra Freeman Dyson tarafından bu kongruansların kombinatorial izahları yapıldı (Dyson, 944). Sonraki kısımda bunu anlatacağız.. Rank F.J. Dyson, Fizik bölümünde öğrenci iken Ramanujan ın kongruanslarını anlayabilmek için tablolar yapıp, ayrışımları tasnif ederek bir sayma yöntemi bulmaya çalıştı ve 5n + 4 ile 7n + 5 formundaki tamsayıların ayrışımlarını sırasıyla 5 ve 7 eşit parçaya bölen bir sayma yöntemi geliştirdi. n pozitif tamsayısının bir ayrışımı λ = (λ λ...λ l ) olsun. λ nın parça sayısı l ve en büyük parçası λ dir. Dyson, λ nın rankını, rank(λ) := λ l

15 8 olarak tanımlamıştır. n nin rankı m olan ayrışımları sayısını N(m, n) ile ve n nin rankı m modülüne göre r ye denk olan ayrışımları sayısını ise N(r, m, n) ile gösterelim. n nin bir ayrışımı π := π + π + π π k olsun. rank(π) = π k olur. π ayrışımın eşleniği π = k + π + π π π ve rank(π ) = k π olur. Yani herhangi bir ayrışımın rankı, eşleniğinin rankının ters işaretlisidir. Dolayısıyla N(m, n) = N( m, n), N(r, m, n) = N(m r, m, n) (.8) yazılabilir ve dir. N(r, m, n) = N(r + km, n) (.9) k= Şimdi 5, 7 ve sayılarının ayrışımlarını ranka göre tasnif edelim. Burada yapılan şey aynı ranka sahip ayrışımları bir kümeye koymaktır. Çizelge.3 4 ün ayrışımlarının ranka göre tasnifi 4 ün ayrışımı Rank Rank mod 5 (4) 3 3 (3 ) ( ) 0 0 ( ) - 4 ( ) -3

16 9 Çizelge.4 5 in ayrışımlarının ranka göre tasnifi 5 in ayrışımı Rank Rank mod 7 (5) 4 4 (4 ) (3 ) (3 ) 0 0 ( ) - 6 ( ) - 5 ( ) -4 3 Çizelge.5 6 nın ayrışımlarının ranka göre tasnifi 6 nın ayrışımı Rank Rank mod (6) 5 5 (5 ) 3 3 (4 ) (4 ) (3 3) (3 ) 0 0 (3 ) - 0 ( ) - 0 ( ) - 9 ( ) -3 8 ( ) -5 6 Dyson, Çizelge.3 ve Çizelge.4 ü kullanarak N(0, 5, 5n + 4) = N(, 5, 5n + 4) = = N(4, 5, 5n + 4) = N(0, 7, 7n + 5) = N(, 7, 7n + 5) = = N(3, 7, 7n + 5) = p(5n + 4) 5 p(7n + 5) 7

17 0 tahminlerini yaptı. Çizelge.5 de görüldüğü gibi 6 sayısının ayrışımları, ranklarına göre kümelere dağıtıldığında rankı ve - olan ikişer ayrışım varken diğer kümelere birer ayrışım düşmektedir. Ramanujan ın son kongruansını ispatmak için, n + 6 formundaki sayılara henüz ilk örnek olan 6 için rankın, uygun bir sayma yöntemi olmadığı görülmektedir. Fakat p(n + 6) 0 (mod n) kongruansı ise, ranka benzer bir tasnif yönteminin bulunabileceğini göstermektedir. Bunun üzerine Dyson böyle bir yöntem bulunabileceğini belirterek bu yönteme crank adını verdi ve matematikte bir ilki gerçekleştirmiş oldu. Dyson, ayrıca rankın üreteç fonksiyonunu verdi; N(m, n)q n = n=0 q r ( ) n q n(3n )+mn ( q n ). (.0) n= (.9) ve (.0) kullanılarak N(r, m, n)q n = n=0 bulunur. Burada s= alındığı gösterilmektedir. Dyson ayrıca; ( ) n q q s n(3n+) qrn + q n(m r) (.) q mn n sembolü ile n nin sıfır hariç tüm tamsayı değerleri üzerinden N(, 5, 5n + ) = N(, 5, 5n + ) N(0, 5, 5n + ) = N(, 5, 5n + ) N(0, 5, 5n + 4) = N(, 5, 5n + 4) = N(, 5, 5n + 4) (.) N(, 7, 7n) = N(3, 7, 7n) N(, 7, 7n + ) = N(, 7, 7n + ) = N(3, 7, 7n + ) N(0, 7, 7n + ) = N(3, 7, 7n + ) N(0, 7, 7n + 3) = N(, 7, 7n + 3), N(, 7, 7n + 3) = N(3, 7, 7n + 3) N(0, 7, 7n + 4) = N(, 7, 7n + 4) = N(3, 7, 7n + 4)

18 N(0, 7, 7n + 5) = N(, 7, 7n + 5) = N(, 7, 7n + 5) = N(3, 7, 7n + 5) (.3) N(0, 7, 7n + 6) + N(, 7, 7n + 6) = N(, 7, 7n + 6) + N(3, 7, 7n + 6) tahminlerini yaptı. (.8) ile (.) ve (.3), Ramanujan ın (.4) ve (.5) kongruanslarını ispatlamaktadır. Dyson ın bu iddiaları 954 yılında A.O.L. Atkin ve P. Swinnerton-Dyer tarafından ispatlandı (Atkin and Swinnerton-Dyer, 954). Bölüm de Atkin ve Swinnerton- Dyer ın metodlarını kısaca izah edeceğiz.. Crank Dyson ın crank ına benzer bir yöntemi 987 yılında Garvan, doktora tezinde vektörel ayrışım kavramı ile verdi (Garvan,987). Tanım.. π herhangi bir ayrışım olmak üzere #(π), π nin parçalarının sayısı ve σ(π), π nin parçalarının toplamı olsun (0 ın, ayrışımı için #( ) = σ( ) = 0 ). V = {(π, π, π 3 ) π parçaları farklı bir ayrışım, π, π 3 herhangi iki ayrışım} olmak üzere V nin elemanlarına vektör ayrışımları denir. π = (π, π, π 3 ) V için s( π) = σ(π ) + σ(π ) + σ(π 3 ) ω( π) = ( ) #(π ) r( π) = #(π ) #(π 3 ) s( π), π nin parçaları toplamı, ω( π), π nin ağırlığı ve r( π) ise π nin crankı şeklinde tanımlanır. Örnek.. π = 9 un bir vektör ayrışımıdır. ( ) (5 3 ), ( ), ( ) ise s( π) = 9, ω( π) =, r( π) = 0 ve π, n nin crankı m olan vektör ayrışımları sayısı N V (m, n) ile gösterilirse (ω ağırlığına göre sayıldığında)

19 N V (m, n) = π V s( π)=n r( π)=m ω( π) olur. Örnek..3 sayısının 8 tane vektörel ayrışımı yazılabilir: π = (, 0, 0) r( π ) = 0 π = (0,, 0) r( π ) = π 3 = (0, 0, ) r( π 3 ) = π 4 = (,, 0) r( π 4 ) = π 5 = (, 0, ) r( π 5 ) = π 6 = (0,, ) r( π 6 ) = 0 π 7 = (0, ( ), 0) r( π 7 ) = π 8 = (0, 0, ( )) r( π 8 ) = Buna göre N V (0, ) = ω( π ) + ω( π 6 ) = + = 0, N V (, ) = ω( π ) + ω( π 4 ) = = 0 N V (, ) = ω( π 3 ) + ω( π 5 ) = = 0, N V (, ) = ω( π 7 ) = ve N V (, ) = ω( π 8 ) = dir. n nin crankı m modülüne göre r ye kongruent olan ayrışımlarının sayısı N V (r, m, n) ile gösterilirse N V (r, m, n) = t= (N V (tm + r, n)) = π V s( π)=n r( π)=r mod m ω( π) olur. π ve π 3 yer değiştirilirse N V (m, n) = N V ( m, n)

20 3 ve N V (m r, m, n) = N V (r, m, n) elde edilir. N V (m, n) nin üreteç fonksiyonu m= n=0 N V (m, n)z m q n = n= q n ( zq n )( z q n ) (.4) şeklindedir (Garvan, 987). (.4) de, z = yazılırsa N V (m, n) = p(n) elde edilir. m= Vektörel ayrışımlar için N V (0, 5, 5n + 4) = N V (, 5, 5n + 4) = = N V (4, 5, 5n + 4) N V (0, 7, 7n + 5) = N V (, 7, 7n + 5) = = N V (6, 7, 7n + 5) (.5) N V (0,, n + 6) = N V (,, n + 6) = = N V (4,, n + 6) dir ve bu eşitlikleri ispatlamak için aşağıdaki Lemma kullanılır; Lemma..4 t = 5, 7, ve 4δ t mod t olmak üzere N V (0, t, tn + δ t ) = N V (, t, tn + δ t ) = = N V (t, t, tn + δ t ) = p(tn + δ t) t (.6) olsun. ζ t = e πi t ve n= q n ( ζ t q n )( ζ t q n ) (.7) olmak üzere t asal sayısı için (.6) nin doğru olması, (.7) de q tn+ζt nin katsayısının sıfır olmasına denktir. Doğru crank 988 yılında, Garvan ve Andrews tarafından bulundu (Andrews and Garvan, 988);

21 4 Tanım..5 π herhangi bir ayrışım olmak üzere l(π), π nin en büyük parçası, ω(π), π deki birlerin sayısı, µ(π), π nin ω(π) den büyük parçalarının sayısı olsun. π nin crankı; olarak tanımlanır. l(π) c(π) := µ(π) ω(π) ω(π) = 0 ise ω(π) > 0 ise n nin crankı m olan ayrışımları sayısı M(m, n) ile ve n nin crankı m modülüne göre r ye kongruent olan ayrışımları sayısı ise M(r, m, n) ile gösterelim. Teorem..6 (Andrews and Garvan, 988) n > için M(m, n) = N V (m, n) dir. Bu teorem ve (.5) Ramanujan kongruanslarını ispatlar. 6 nın ayrışımlarını cranka göre tasnif edelim: Çizelge.6 6 sayısının ayrışımlarının cranka göre tasnifi 6 nın ayrışımı l(π) ω(π) µ(π) c(π) c(π) mod (6) (5 ) (4 ) (4 ) 4-0 (3 3) (3 ) 3 (3 ) ( ) 0 3 ( ) 0-9 ( ) ( )

22 5 Daha sonra bir crank tanımı da Dyson tarafından verildi (Dyson,989): Tanım..7 π = π 0 + π + π + + π s, s parçalı ve parçaları artan olmayan sırada yazılan bir ayrışım ve t = π 0 π olmak üzere s t = 0 ise crank(π) = t π t t > 0 ise ve r s ise π r = 0 dır. π ayrışımı için Andrews ve Garvan ın crankı, π nin eşleniğinin Dyson ın crankının ters işaretlisidir. Dolayısıyla iki tanım da n = hariç M(m, n) için aynı değerleri vermektedir. Bu tanımda M(0, ) = ve M(, ) = düzenlemeleri yapılırsa her m, n için M(m, n) = N V (m, n) olur. (.4) den crankın üreteç serisi M(m, n)z m q n = m= n=0 = q n ( zq n )( z q n ) ( ) n q n(n )/+ m n ( q n )(.8) q r n= n= şeklindedir.

23 6. ( q r ) ÇARPIMININ KONGRUANS ÖZELLİKLERİ Bu bölümde Atkin ve Swinnerton-Dyer ın Ramanujan kongruansları ve Dyson ın tahminlerini ispatlamak için kullandıkları yöntem izah edilecektir. (.) eşitliğini F := p(n)q n = n=0 q r (.) ile gösterelim. Verilen bir m Z + için (.) eşitliğinde n = mk + r (0 k < ve 0 r < m) dönüşümü yapılırsa sol taraf ( m ) F = p(mk + r)q mk+r r=0 k=0 haline gelir. Şimdi, y := q m = diyelim. Bu eşitlik ile yukarıdaki kuvvet serisi ( m ) F = p(mk + r)y k q r (.) r=0 k=0 şeklinde yazılabilir. Yani q nun bir kuvvet serisi, katsayıları y de yine kuvvet serileri olan, q nun (m )- inci dereceden bir polinomu olarak yazılmış oldu. Aynı şekilde (.) eşitliğinin sağındaki sonsuz çarpım da q nun bir polinomu olarak yazılabilirse, q nun katsayılarının eşitlenmesi ile p(mk + r) sayılarının kongruans özellikleri bulunabilir. Yani tüm problem sonsuz çarpımını polinom olarak yazmaktır. qr (.) eşitliği kullanarak F (r) m := q r p(mk + r)y k, (r = 0,,, m ) (.3) k=0 olarak tanımlayalım. F (r) m bileşen yine bir kuvvet serisidir ve m Z + için ye F kuvvet serisinin r. bileşeni diyelim. Herhangi bir F = m r=0 F (r) m

24 7 eşitliği açıktır. F kuvvet serisinin 5, 7 ve modüllerindeki kongruans özelliklerini Atkin ve Swinnerton- Dyer verdiler (Atkin and Swinnerton-Dyer,954). Bu sonuçları q r sonsuz çarpımını belirttiğimiz gibi polinom gibi ifade etmeden hesapladılar. Bunlara geçmeden önce Atkin ve Swinnerton-Dyer ın notasyonlarını verelim. Öncelikle ve (z; q) := ( zq r ) P (z, q) := [z; q] := (z; q) (z q; q) = ( zq r )( z q r ) (.4) olarak tanımlayalım. P (z, q) fonksiyonu 0 < z z z halka sınırlı bölgesinde tek değerli analitik bir fonksiyondur ve aşağıdakileri sağlar; a P (z q, q) = P (z, q), P (zq, q) = z P (z, q) (.5) m olmak üzere, (.5) kullanarak P (a) := P m (a) := P (y a, y m ) = P (0) := P m (0) := ( y m(r )+a )( y mr a ) (.6) ( y mr ) (.7) tanımlarını yapalım. Burada P (0), P (a) da a yerine sıfır yazılarak elde edilen bir ifade değildir. (.5) den P (m a) = P (a), P ( a) = P (m + a) = y a P (a) (.8) eşitliklerinin sağlandığı görülebilir.. m = 5 Durumunda Kongruanslar İlk olarak ( q r ) 3 çarpımının m modülüne göre polinom olarak yazılışına ihtiyaç olacaktır.

25 8 Lemma.. (Atkin and Swinnerton-Dyer,954) (m 3)/ ( q r ) 3 P (0) ( ) c (c + )q c(c+) P c=0 ( m ) c (mod m) Lemma.. nin ispatı ( q r ) 3 = ( ) n (n + )q n(n+)/ (.9) n=0 Jacobi formülüne dayanmaktadır (Atkin and Swinnerton-Dyer,954). m = 5 için Lemma.. { } ( q r ) 3 P (0) P () 3qP () (mod 5) (.0) ve y = q 5 eşitliği ( q r ) 5 y r (mod 5) (.) kongruansını verir. ( y r ) = = ( y 5r )( y 5r )( y 5r )( y 5r 3 )( y 5r 4 ) ( y 5r ) } {{ } P (0) ( y 5r )( y 5r 4 ) } {{ } P () ( y 5r )( y 5r 3 ) } {{ } P () = P (0)P ()P () (.) bulunur. 4 b=0 F b 5 = F = q r = (( q r ) 3 ) 3 (( qr ) 5 ) { ( q r ) 3 } 3 ( yr ) (mod 5) kongruansının sağ tarafındaki küme parantezinin içine (.0) ve paydaya (.) yazılırsa 4 b=0 { P () F b 5 P (0) P () + q } P () + q P () + 3q3 P () P () bulunur ve q nun karşılıklı kuvvetleri eşitlenirse; (mod 5)

26 9 F (0) 5 P (0)P () P () (mod 5) F () 5 q P (0) P () (mod 5) F () 5 q P (0) P () (mod 5) F (3) 3 P (0)P () 5 3q P () (mod 5) F (4) 5 0 (mod 5) (.3) kongruansları elde edilir. (.3), Ramanujan ın (.4) kongruansını ispatlar.. m = 7 Durumunda Kongruanslar m = 7 için Lemma.. { } ( q r ) 3 P (0) P (3) 3qP () + 5q 3 P () (mod 5) (.4) kongruansını verir. y = q 7 eşitliği ile ( q r ) 7 y r (mod 7) (.5) olur ve bu kongruans yardımıyla ( y r ) = P (0)P ()P ()P (3) (.6) yazılabilir. 5 durumundaki gibi 6 b=0 F b 7 = F = q r = (( q r ) 3 ) ( qr ) 7 { ( q r ) 3 } ( yr ) (mod 7) yazdıktan sonra küme parantezinin içine (.4) ve paydaya (.6) yerleştirilirse 7 b=0 { P (3) F b 7 P (0) P ()P () + q P () + P () q P ()P (3) + 3q3 P () + 5q4 P (3) + 4q6 P () P ()P (3) } (mod 7) elde edilir. q nun karşılıklı kuvvetleri eşitlenirse;

27 0 F (0) 7 P (0)P (3) P ()P () F () 7 q P (0) P () (mod 7) (mod 7) F () P (0)P () 7 q (mod 7) P ()P (3) F (3) 7 3q 3 P (0) (mod 7) P () F (4) P (0) P (3) (mod 7) F (5) 7 0 (mod 7) (.7) F (6) 6 P (0)P () 7 4q (mod 7) P ()P (3) bulunur. (.7), Ramanujan ın (.5) kongruansını ispatlar..3 m = Durumunda Kongruanslar Şimdi ise iki yeni sonuca ihtiyaç olacaktır. Bunlardan ilki ( q r ) çarpımının polinom şeklinde ifadesidir: Lemma.3. (Atkin and Swinnerton-Dyer,954) ebob(6, n) = ve n = 6λ + µ (µ = ±) olmak üzere ( q r ) = ( ) λ q λ(3λ+µ) P (0) + dir. (m )/ c= ( ) c q c(3c m) P (c) P (c) Lemma.3. ün ispatı (.) Euler Pentagonal Sayı Teoremine dayanmaktadır. Lemma.3. (Atkin and Swinnerton-Dyer,954) b, c, d, b±c, c±d, b±d lerin hiçbiri m ye bölünmesin. Bu durumda P (b)p (c + d)p (c d) P (c)p (b + d)p (b d) + y c d P (d)p (b + c)p (b c) = 0 dır.

28 Lemma.3. ye sadeleştirmelerde her zaman ihtiyaç duyulmaktadır. Lemma.3., m = 3 durumunda ayrışımların kongruans özelliklerini ve q r sonsuz çarpımının bileşenlerini hesaplamak için yetersiz kalmaktadır. Daha genel bir eşitliğin nasıl bulunabileceği Bölüm 5 te izah edilecektir. Lemma.3., m = 5 için herhangi bir özdeşlik vermez. Lemma.3. de seçilebilecek (b, c, d) üçlüsü yoktur. Çünkü m = 5 için m = 7 durumunda (b, c, d)=(3,, ) seçilebilir ve bu üçlü ile Lemma.3. P ()P 3 (3) P (3)P 3 () + yp ()P 3 () = 0 (.8) eşitliğini verir. m = durumunda ise (b, c, d)=(5, 4, ), (5, 4, ), (4, 3, ), (5, 3, ), (3,, ), (5, 3, ), (5, 4, 3), (5,, ), (4, 3, ) ve (4,, ) seçimleri yapılabilir. Bu üçlüler sırasıyla P (3)P 3 (5) P (5)P 3 (4) + y 3 P ()P 3 () = 0 (.9) P ()P 3 (5) P (3)P 3 (4) + y P ()P 3 () = 0 (.0) P ()P 3 (4) P (5)P 3 (3) + y P (4)P 3 () = 0 (.) P ()P 3 (5) P (4)P 3 (3) + yp (3)P 3 () = 0 (.) P ()P 3 (3) P (4)P 3 () + yp (5)P 3 () = 0 (.3) P ()P (4)P (5) P (4)P (5)P (3) + y P ()P (3)P () = 0 (.4) P ()P (4)P (5) P ()P (3)P (4) + yp ()P ()P (3) = 0 (.5) P ()P (3)P (5) P (4)P (5)P () + yp (3)P (4)P () = 0 (.6) P ()P (5)P (4) P ()P (5)P (3) + yp ()P (4)P () = 0 (.7) P ()P (3)P (4) P (3)P (5)P () + yp ()P (5)P () = 0 (.8) sonuçlarını verir.

29 m = için Lemma.. den ( q r ) 3 P (0) { P (5) 3P (4)q + 5P (3)q 3 7P ()q 6 + 9P ()q 0} (mod ) (.9) ve Lemma.3. den ise { P (4) ( q r ) = P (0) P () q P () P (5) q P () P (3) q4 y P () P (5) + q5 + q 7 P (3) } P (4) (.30) bulunur. Atkin ve Swinnerton-Dyer 5 ve 7 durumlarına benzer şekilde ( q r ) { } 3 { } / ( q r ) 3 ( q r ) ( y r ) (mod ) (.3) kongruansında küme parantezlerinin içerisine (.9) ve (.30) yerleştirildikten sonra (.9)-(.8) eşitliklerini kullanılarak aşağıdaki kongruansların hesaplanabileceğini belirtmişlerdir; F (0) P (0) P () (mod ) F () P (0)P (5) q P ()P (3) (mod ) F () P (0)P (3) q P ()P (4) (mod ) F (3) 3 P (0)P () 3q P ()P (3) (mod ) F (4) 5q 4 P (0) P () (mod ) F (5) 5 P (0)P (4) 7q P ()P (5) (mod ) F (6) 0 (mod ) F (7) 4q 7 P (0) (mod ) P (3)

30 3 F (8) 8 P (0)P () 6yq P (4)P (5) (mod ) F (9) 8q 9 P (0) P (4) (mod ) F (0) 0 P (0) 9q P (5) (mod ) Fakat bu yöntemin oldukça sıkıcı olduğunu söyleyerek, bu sonuçları { } 0 ( q r ) 3 b=0 F (b) { ( q r )} 0 (mod ) kongruansında yerlerine yazıp, (.9)-(.8) eşitlikleri ile q nun katsayılarının sıfıra kongruent olduğunu göstererek ispat yapmışlardır. (.3) denklemi incelendiği zaman Atkin ve Swinnerton-Dyer ın belirttiği gibi (.9)-(.8) eşitlikleri, bu kongruansların bulunması için kesinlikle yeterli değildir. Atkin ve Swinnerton-Dyer ın bu kongruansları ne şekilde hesapladıklarını bilmemize rağmen, (.3) kongruansını kullanarak bu kongruansların nasıl hesaplanabileceğini izah edelim. m = için ( y r ) P (0)P ()P ()P (3)P (4)P (5) (mod ) (.3) olduğu açıktır. { ( q r ) 3 } 4 ( y r ) ( q r ) (mod ) (.33) yazıldıktan sonra (.9),(.30) ve (.3) eşitlikleri, (.33) de yerlerine yazılıp q 5 in katsayıları eşitlenirse aşağıdaki kongruans elde edilir; { P 3 (0) 5P (5)P (3)P ()y + 3P (5)P ()P ()y + P (4)P (3)P ()y + P (5)P (4)P (3) 4P (4)P ()P ()y } P (0)P ()P ()P (3)P (4)P (5) (mod ) (.34)

31 4 Daha sonra (.9),(.30) ve (.3) eşitlikleri, (.3) de yerlerine yazıldıktan sonra q nun katsayılarının sadeleştirilmesi gerekmektedir. Örneğin (.3) de q 0 ın katsayısı; { P 3 (0) y P 3 ()P ()P (4)P 3 (5) + 4y 3 P 3 ()P ()P (3)P (5) + y P ()P ()P (3)P (4)P (5) + y 3 P ()P 4 ()P (3)P (4) + 3yP ()P (3)P 3 (4)P (5) + 5y P ()P ()P 3 (3)P (4) y P ()P 3 ()P 3 (3)P (5) 3yP ()P ()P (3)P (4)P 3 (5) + 3yP ()P ()P 3 (3)P (4)P (5) + }/{ } P ()P (3)P (4)P 4 (5) 3yP 3 ()P (3)P (4)P (5) P ()P ()P (3)P (4)P (5) bulunur ve bu ifade (.9)-(.8) eşitlikleri kullanılarak sadeleştirilirse { P 3 (0) 4y P 3 ()P ()P (4)P 3 (5) + 4y 3 P 3 ()P ()P (3)P (5) + y P ()P ()P 3 (3)P (4) + }/{ } P ()P (3)P (4)P 5 (4) P ()P ()P (3)P (4)P (5) olur. Son ifadenin payı, (.34) ve (.9)-(.8) eşitlikleri kullanılarak { P 3 (0)P ()P (3)P (4)P (5) 5P (5)P (3)P ()y + 3P (5)P ()P ()y + P (4)P (3)P ()y +P (5)P (4)P (3) 4P (4)P ()P ()y } P (0)P ()P ()P (3)P (4)P (5) (mod ) elde edilir. Yerine yazılırsa q 0 ın katsayısı P (0) P () benzer şekilde elde edilebilir. bulunur. Diğer kongruanslar da Yukarıdaki teknik çok kolay gibi görünmesine rağmen m > durumundaki kongruanslara uyarlanması neredeyse mümkün değildir. Bu yüzden F kuvvet serisinin kongruans özelliklerini m = 5, 7 ve modülleri için farklı bir yöntemle elde edeceğiz. Bu yöntem önce çarpımını polinom olarak yazdıktan sonra qr bu polinomu kullanarak kongruans özelliklerini hesaplamaktır. F kuvvet serisinin bileşenlerini m = 5 ve 7 için A.B. Ekin verdi (Ekin, 993). Ekin in m = 7 için sadeleştirdiği bileşenleri farklı bir şekilde yazacağız ve ilk olarak burada m = için F kuvvet serisinin bileşenlerini, daha sonra da bu bileşenleri kullanarak ayrışımların kongruans özelliklerini elde edeceğiz. Öncelikle sonsuz çarpımını polinom olarak yazmaya ihtiyacımız olacaktır. qr

32 5 3. m = 5, 7 ve İÇİN ( q r ) ÇARPIMININ POLİNOM OLARAK YAZILMASI ve KONGRUANS ÖZELLİKLERİ Bu bölümde m = 7 ve için verilen bileşenler orjinal sonuçlardır. Önce bileşenleri hesaplamak için kullanılabilecek en basit yöntemi izah edelim. Verilen bir m Z + için, ω, in m. bir kökü ve (a) := (a; q) olmak üzere (q) (ωq) (ω q) (ω m q) = (y; y)m+ (y m ; y m ) m eşitliği bilinmektedir (Kolberg, 957). Burada (q) = ( q r ) dir. Bu eşitlik kullanılarak yazilabilir. q = r (q) = (ym ; y m ) m (y; y) m+ (ωq) (ω q) (ω m q) (3.) Sonraki adım ise (3.) eşitliğinin sağ tarafı açıldıktan sonra ω nın sadeleştirilmesidir. Bunun için ω m = ve + ω + ω + ω m = 0 eşitlikleri yeterlidir. Bu yöntemi kullanarak m = 5 durumunda bileşenleri hesaplayalım. Lemma.3. (q) = { } P () ( q r P () ) = P (0) q q P () P () m = 5 için (3.) eşitliğini verir. ω, in beşinci bir kökü olmak üzere (3.) eşitliğinde q yerine sırasıyla ωq, ω q, ω 3 q ve ω 4 q yazılırsa { P () (ωq) = P (0) P () ωq ω q P () } P () { P () (ω q) = P (0) P () ω q ω 4 q P () } P () { P () (ω 3 q) = P (0) P () ω3 q ωq P () } P () { P () (ω 4 q) = P (0) P () ω4 q ω 3 q P () } P () (3.3) (3.4) (3.5) (3.6)

33 6 elde edilir. Bu eşitlikler m = 5 için (3.) eşitliğinde yerine yazılır ve çarpım genişletildikten sonra ω 5 = ve +ω+ω +ω 3 +ω 4 = 0 eşitlikleri ile ω sadeleştirilirse bileşenler { } F (0) P () 4 P () 5 = 3y P (0)P 6 ()P 6 () P () 4 P () { } F () P () 3 P () 5 = q + y P (0)P 6 ()P 6 () P () 3 P () F () 5 = q { P () P (0)P 6 ()P 6 () P () y P } ()3 P () { 3 F (3) 5 = q 3 3 P () P (0)P 6 ()P 6 () P () + y P } ()4 P () 4 F (4) 5 = 5q 4 P (0)P 6 ()P 6 () olarak bulunur. m = 7 durumunda fazladan (.8) eşitliğine sadeleştirmeler için ihtiyaç duyulur fakat bileşenleri düzenli bir hale getirmek için epey uğraşmak gerekmektedir. Bu yöntemle elde edilen bileşenler (Ekin, 993) de bulunabilir. m = durumunda ise bileşenler bulunurken devreye (.9) - (.8) eşitlikleri girer. Ancak bu bileşenleri düzenli bir hale getirmek oldukça zorlu bir iştir. Bu sebeple bileşenlerin hesabı için daha sistematik bir yönteme ihtiyaç vardır. m Z + için ve ( q r ) = ( q r ) 3 m s=0 m s=0 g s h s (mod m)

34 7 yazalım. Burada ( ) n q n(3n+) s (mod m) n(3n+), 4s + kuadratik rezidü ise g s := 0, 4s + kuadratik rezidü değilse ( ) [ 6 (m+) ] q 4 (m ) P m (0) 4s + 0 (mod m) ise (3.7) ( ) n (n + )q n(n+), 8s + kuadratik rezidü ise h s := n(n + ) s (mod m), n 0 0, 8s + kuadratik rezidü, değilse ( ) [ (m )] mq 8 (m ) P m (0) 3, 8s + 0 (mod m) ise (3.8) şeklindedir. Daha sonra D := g 0 g g m g m g 0 g m g g g 0, (3.9) D s := g s g s+ g s+m g s g s g s+m 3 g s m+ g s m+3 g s, s = 0,,, m (3.0) determinantlarını tanımlayalım. Buna göre D = P m+ (y, y) P (0) (3.)

35 8 ve s = 0,,, m için dır (Kolberg, 957). bileşenlerin hesaplanmasını sağlamaktadır. F (s) m = ( ) (m )s P (0) P m+ (y, y) D s (3.) (3.9) determinantı (3.) eşitliğinden çok daha sade biçimde 3. m = 5 Durumunda Bileşenler ve Kongruanslar m = 5 için (3.7) den g = qp (0), g 3 = g 4 = 0 elde edilir. Daha sonra ( q r ) 3 = (g 0 + g + g ) 3 eşitliği ve (3.8) den 0 = h = 3g 0g + 3g g 0 bulunur. Buradan elde edilir. Şimdi ise diyelim. g 0 g + g = 0 α := g g 0, β := g g αβ = olduğu açıktır. Son eşitlik { } P () ( q r P () ) = P (0) q q P () P () kullanılarak da görülebilir. (3.3) den g 0 = bulunur. α, β nın tanımından P (0)P () P (0)P (), g = qp (0), g = q P () P () α = q P () P (), β = q P () P () (3.3)

36 9 olduğu görülebilir ve buradan da αβ = bulunur. Bileşenler ise (3.) den s = 0,,, 4 için F (s) 5 = P 5 (0)P 6 ()P 6 () D s şeklinde olur. D s ler ise (3.9) determinantı kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur; D 0 = q 4 P 4 (0) { α 4 3β } D = q 4 P 4 (0) { α 3 + β } D = q 4 P 4 (0) { α β 3} D 3 = q 4 P 4 (0) { 3α + β 4} D 4 = 5q 4 P 4 (0) α ve β yerine yazılırsa bileşenler { } F (0) P () 4 P () 5 = κ 5 3y P () 4 P () { } F () P () 3 P () 5 = qκ 5 + y P () 3 P () { F () 5 = q κ 5 P () P () y P } ()3 P () { 3 F (3) 5 = q 3 κ 5 3 P () P () + y P } ()4 P () 4 F (4) 5 = 5q 4 κ 5 olarak bulunur. Burada verilen bir m için κ m := (ym ; y m ) m (y; y) m+ dir. Şimdi ise bu bileşenleri kullanarak kongruans özelliklerinin nasıl bulunacağını izah edelim. m asal olmak üzere ( q r ) m y r (mod m)

37 30 olduğu açıktır. Ayrıca P (a) ların tanımı kullanılarak ( ) m ( y r ) = P (0)P ()P () P (3.4) eşitliği hemen görülebilir. Daha sonra [ ] m ( q r ) 3 ( y r ) 3 (mod m) kongruansında (3.4) kullanılırsa [ ] m ( ) m ( q r ) 3 P 3 (0)P 3 ()P 3 () P 3 (mod m) (3.5) olarak yazılır. ( y r ) m y mr (mod m) yazılabilir. Buradan ( ) m P m (0)P m ()P m () P m P (0) (mod m) (3.6) ve dolayısıyla ( ) m P m (0)P m ()P m () P m (mod m) (3.7) bulunur. Son kongruans (3.5) kongruansı ile çarpılırsa [ ] m ( ) m ( q r ) 3 P m+ (0)P m+3 ()P m+3 () P m+3 elde edilir. (mod m) (3.8) m = 5 için (.0) kongruansı (3.8) de yerine yazılırsa P 5 () + yp 5 () P (0)P 8 ()P 8 () (mod 5), (3.9) elde edilir.

38 3 (3.9) un her iki tarafı P (0)P 0 ()P 7 () ile bölünürse P (0)P 6 ()P 6 () P 5 () + yp 5 () P (0)P 0 ()P 7 () { } P 4 () P () + y P 4 () P () F (0) 5 P (0)P () P () P (0)P () P () P (0)P () P () (mod 5) (mod 5) (mod 5) bulunur. (3.9) un her iki tarafı P (0)P 9 ()P 8 ()/q ile bölünürse q P 5 () + yp 5 () P (0)P 9 ()P 8 () { P 3 () q P (0)P 6 ()P 6 () P 3 () + y P } () P () q P (0) P () q P (0) P () F () 5 q P (0) P () (mod 5) (mod 5) (mod 5) elde edilir. (3.9) benzer şekilde sırasıyla 3P (0)P 8 ()P 9 ()/q ve P (0)P 7 ()P 0 ()/q 3 ile bölünürse bulunur. F () 5 q P (0) P () F (3) 3 P (0)P () 5 3q P () (mod 5) (mod 5) 3. m = 7 Durumunda Bileşenler ve Kongruanslar m = 7 için (3.7) ve (3.8) g = q P (0), g 3 = g 4 = g 6 = 0, eşitliklerini verir. h 6 = 7q 6 P 3 (0), h 3 = h 4 = h 5 = 0 ( q r ) 3 = (g 0 + g + g + g 5 ) 3 = h 0 + h + h + h 6

39 3 eşitliğinden 3(g0g + gg 0 + gg 5 ) = h 3 = 0 3(gg + gg 0 + g5g ) = h 4 = 0 (3.0) 3(g0g + gg + g5g ) = h 5 = 0 g 3 + 6g 0 g g 5 = h 6 = 7g 3 (3.) bağıntıları elde edilir. { P () ( q r ) = P (0) P () q P (3) P () q + q 5 P () } P (3) eşitliği daha önce belirtilmişti. (3.) (3.) den g 0 = P (0)P () P (0)P (3), g = q, g = q 5 P (0)P () P (0), g 5 = q P () P () P (3) olduğu görülebilir. Şimdi ise (3.3) α := g 3 0g g 4, β := g 3 g 5 g 4, γ := g 3 5g 0 g 4 (3.4) diyelim. (3.) den αβγ = olduğu açıktır ve ayrıca (3.0) ile (3.4) eşitlikleri kullanılarak αβ = α βγ = β (3.5) γα = γ bulunur. (3.) eşitliği ve (3.9) determinatından g 7 D = (α + β + γ ) 4(α + β + γ) 58 elde edilir. Buradan = (α + β + γ) 6(α + β + γ) 64 = (α + β + γ + 8) = P 8 ()P 8 ()P 8 (3) q 4 α + β + γ + 8 = ± P 4 ()P 4 ()P 4 (3) q 7

40 33 olur. Sağ tarafın işareti için α, β ve γ, q da seriye açılırsa α = q 7 + β = + γ = q 7 + elde edilir ve buradan da bulunur. α + β + γ + 8 = P 4 ()P 4 ()P 4 (3) q 7 (3.6) s = 0,,..., 6 için (3.9) determinantları hesaplandıktan sonra (3.) eşitliği (g 0 g g 5 = g 3 ) kullanılarak sadeleştirilirse D 0 = g0 6 5g g0g g0g g 3 + 6g5g 0g + 4g 0 gg 3 + g5g 4 + g5g 3 3 gg 5 D = g g0 5 g5g g g 4 0 6gg 3 g 0 + g g5g gg gg 4 3gg 5 5 3g5g g 3 D = g g0 5 + gg gg 5 g0 3 + g 0 gg g5 6 + gg gg 5g 5g 5g 4 g D 3 = g0g 4 g + g0g 4 5 g0g 3 3 3g0g 5g 3 3gg 5 0 6g gg 3 5 gg g g 4 + gg 5 4 D 4 = gg 0 4 3g g0g 3 + gg 4 0 6gg 3 5 g0 g 0 g5 5 + gg 4 5 g 3g g 5 + g g 4 5 gg D 5 = g0g 5 5 3gg 0g 3 + 4g g5g gg 3 0g gg 5 0 3gg 5g gg g g 6 3gg 3 g 5 g5g 5 D 6 = gg g5g g0g g 5g 0 g g 4 g5g 5 + g 5 gg 3 + 4g5g 3 g + g 6 bulunur. (3.4) kullanılarak g 0g 3 g 5 = αβ, g g 3 5g 5 = βγ, g 5g 3 0g 5 = αγ g 0 g 5 g 6 = αβ, g g 5 5g 6 = βγ, g 5 g 5 0g 6 = γα (3.7) g 7 0g 7 = γα 3, g 7 g 7 = αβ 3, g 7 5g 7 = βγ 3 eşitlikleri yazılabilir. D 0, D,..., D 6 sırasıyla g 0 g 7, g 5 g 5, g 5 g 7, g 0 g 5, g g 5,

41 34 g 6 ve g g 7 ile çarpıldıktan (3.7) ve (3.5) kullanılırsa g 0 g 7 g 5 g 5 g 5 g 7 g 0 g 5 D 0 = α + α + β γ 7 D = 5β + α 8α + β D = γ + γ + α β 7 D 3 = 5γ + β 8β + γ g g 5 g 6 g g 7 D 4 = 5α + γ 8γ + α D 5 = 7(α + β + γ) 7 (3.8) D 6 = β + β + γ α 7 bulunur. vardır. Bu sonuçları daha düzenli yazmak için yine (3.5) eşitliklerine ihtiyaç g 0 g 7 D 0 = α + α + β γ 7 = α( α ) + 3α + β γ 7 = α + 3α + β γ 7 = α β 3( α ) + β γ 0 = α β 3αβ + β γ 0 = αβ( α ) 4αβ + β γ 0 = α β ( β ) 4αβ γ = α β βγ + ( γ ) 4αβ = α β βγ + αγ 4αβ = α β βγ + αγ 4α 7 = α β βγ α( γ ) 7α 7 { } = α β α γ βγ + 7 α elde edilir. Benzer şekilde s =,, 6 için diğer D s ler aşağıdaki gibi hesaplanır;

42 35 g 5 g 5 g 5 g 7 g 0 g 5 D = α β + 3α γ + 5βγ + 7(α + ) D = α γ γ β αβ + 7( γ ) D 3 = β γ + 3β α + 5αγ + 7(β + ) g g 5 g 6 g g 7 D 4 = α γ + 3γ β + 5αβ + 7(γ + ) D 5 = 7(α + β + γ) 7 (3.9) D 6 = β γ β α αγ + 7( β ) Son olarak (3.) den bileşenler F (s) 7 = P 7 (0)P 8 ()P 8 ()P 8 (3) D s (3.30) şeklinde olacaktır. (3.3), (3.4) ve (3.30) kullanılarak m=7 için bileşenler { F (0) P 6 (3) 7 = κ 7 P 3 ()P 3 () P 4 () y3 P 3 ()P (3) + y P 4 [ () P 3 ()P (3) + 7 P ()P (3) y P + y P () ]} () P () { F () P 5 (3) 7 = qκ 7 P 3 ()P () + P 4 () 5y3 P ()P (3) 3y P 5 [ () P 3 ()P (3) + 7 y P ]} () P () P y () P (3) F () 7 = q P κ 7 {y 6 () P 3 ()P 3 (3) + P 4 (3) P 3 ()P () P 4 [ () y3 P 3 (3)P () + 7 P ()P () y P + y P (3) ]} (3) P () { F (3) 7 = q 3 κ 7 y 3 P 5 () P 3 ()P (3) + 5y P 4 () P ()P (3) + 3 P 5 [ (3) P 3 ()P () + 7 y P (3) P () y P () ]} P () F (4) 7 = q 4 P κ 7 { y 5 () P 3 (3)P () + 5 P 4 (3) P ()P () P 5 [ () 3y3 P 3 (3)P () + 7 y P () P (3) + y P (3) ]} P () { F (5) P 7 = 7q 5 3 (0) P 4 (y, y) + 7y P 7 } (0) P 8 (y, y) F (6) 7 = q 6 κ 7 { y 3 P 6 () P 3 ()P 3 (3) + y P 4 () P 3 (3)P () + P 4 (3) P 3 ()P () + 7 olarak bulunur. Burada 5. bileşen için (3.6) kullanılmıştır. [ P ()P (3) y P y P () ]} () P (3) Bileşenleri bu şekilde tekrar düzenlemekteki amaç, 7 modülüne geçildiğinde daha az terimle çalışmaktır. Bu bileşenler kullanılarak kongruans özelliklerini elde etmek için (3.8) eşitliğine ihtiyaç vardır. m = 7 için (3.8)

43 36 P 7 (3) + 4yP 7 () + 5y 3 P 7 () P (0)P 0 ()P 0 ()P 0 (3) (mod 7), (3.3) kongruansını verir. (3.3) nin her iki yanı sırasıyla 6y P 4 ()P ()P (3), 3yP ()P ()P 4 (3) ve yp ()P 4 ()P (3) e bölünür ve (3.3), (3.4) eşitlikleri kullanılırsa 6α β + 3α γ + 5βγ 6 y P (0)P 6 ()P 8 ()P 9 (3) (mod 7) 6α γ + 3γ β + 5αβ 5 y P (0)P 8 ()P 9 ()P 6 (3) (mod 7) 6β γ + 3β α + 5αγ 4 y P (0)P 9 ()P 6 ()P 8 (3) (mod 7) elde edilir. Bu kongruanslar (3.9) bileşenlerinde yerlerine yazılıp yine (3.3) ve (3.4) eşitlikleri kullanılırsa kongruansları bulunur. F (0) 7 P (0)P (3) P ()P () F () 7 q P (0) P () (mod 7) (mod 7) F () P (0)P () 7 q P ()P (3) (mod 7) F (3) 7 3q 3 P (0) P () (mod 7) F (4) 7 5q 4 P (0) P (3) (mod 7) F (6) 6 P (0)P () 7 4q P ()P (3) (mod 7) 3.3 m = Durumunda Bileşenler ve Kongruanslar m = için (3.7) ve (3.8) den m = için g 3 = g 6 = g 8 = g 9 = g 0 = 0 ve g 5 = q 5 P (0)

44 37 ve h = h 5 = h 7 = h 8 = 9 = 0 ve h 4 = q 5 P 3 (0) bulunur. ( q r ) 3 = (g 0 + g + g + g 4 + g 5 + g 7 ) 3 = h 0 + h + h 3 + h 4 + h 6 + h 0 eşitliğinden ise 3(g g 4 g 7 + g g 5 g 7 + g 0 g + g 4g 5 + g 0g ) = h = 0 (3.3) 3(g 0 g g 4 + g 4 g 5 g 7 + g g 7 + g g + g 0g 5 ) = h 5 = 0 (3.33) 3(g 0 g g 5 + g g g 4 + g 4 g 7 + g 0g 7 + g g 5 ) = h 7 = 0 (3.34) 3(g 0 g g 7 + g g g 5 + g g 4 + g 5 g 7 + g 0 g 4) = h 8 = 0 (3.35) 3(g 0 g 4 g 5 + g 0 g g 7 + g g 5 + g g 7 + g g 4) = h 9 = 0 (3.36) 3(g g 7 + g 0g 4 + g 0 g + g 4g 7 + g g ) + g 3 5 = h 4 = g 3 5 (3.37) denklemleri elde edilir. { P (4) ( q r ) = P (0) P () q P () P (5) q P () P (3) q4 y P () P (5) + q5 + q 7 P (3) } P (4) eşitliği daha önce verilmişti. Buna göre g i lerin P (0)P (4) P (0)P () P (0)P (5) g 0 =, g = q, g = q, P () P () P (3) g 4 = q 4 P (0)P () y, g 5 = q 5 7 P (0)P (3) P (0), g 7 = q P (5) P (4) (3.38) oldukları görülebilir. Şimdi ise m = 7 durumundaki gibi kolaylık için α := g 0g 4 g 3 5 β := g g g 3 5, γ := g g 0 g 3 5, θ := g 4g 7 g 3 5, δ := g 7g g 3 5 (3.39) diyelim. Açık olarak (3.37) den eşitliği elde edilir ve α + β + γ + θ + δ = 4 (3.40) αβγθδ = (3.4)

45 38 olduğu görülür. Daha sonra A := γθδ, B := αβδ, C := αγδ, D := αβθ ve E := βγθ diyelim. (3.3), (3.33), (3.34), (3.35) ve (3.36) eşitlikleri sırasıyla g 7 g 4 5, g 4 g 4 5, g g 4 5, g g 4 5 ve g 0 g 4 5 ile çarpılırsa; A + B + C = θ + δ D + A + E = α + θ E + A + C = β + γ B + D + E = δ + β C + D + B = γ + α denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü; A = γθδ = ( α β γ + 3θ + 3δ) 4 B = αβδ = ( α + 3β γ θ + 3δ) 4 C = αγδ = (3α β + 3γ θ δ) 4 D = αβθ = (3α β γ + 3θ δ) 4 E = βγθ = ( α + 3β + 3γ θ δ) (3.4) 4 şeklindedir. (3.40) eşitliği kullanılırsa γθδ = θ + δ + (3.43) αβδ = β + δ + (3.44) αγδ = α + γ + (3.45) αβθ = α + θ + (3.46) βγθ = β + γ + (3.47) elde edilir. (3.43) eşitliğinin her iki yanı αβ ile çarpılır ve (3.4) eşitliği kullanılırsa = αβθ + αβδ + αβ bulunur. (3.44) ve (3.46) yerlerine yazılırsa αβ = γ + (3.48)

46 39 bulunur. Benzer şekilde βθ = δ + (3.49) γθ = α + (3.50) γδ = β + (3.5) αδ = θ + (3.5) olduğu görülebilir. (3.40), (3.4) ve (3.48)-(3.5) eşitlikleri olağanüstü kolaylıklar sağlamaktadırlar. (3.0) determinantları hesaplandıktan sonra m = 7 durumundaki gibi karşılaşılan tüm terimler, α, β, γ, θ ve δ larin çarpımı olarak ifade edilebilmektedir. m = durumunda s = 0,,..., 0 için 0x0 boyutundaki (3.0) determinantları hesaplandıktan sonra yaklaşık 50 şer terimlidir. Karşılaşılan en karmaşık terimler g 0 g 5, g g 5, g g 5, g 4 g 5 ve g 7 g 5 dir. Bunlar g 0 g 5 = α 8 β γ 3 δ 4 g g 5 = α 4 β 8 θ δ 3 g g 5 = β 3 γ 8 θ 4 δ g 4 g 5 = α 3 β 4 γ θ 8 g 7 g 5 = α γ 4 θ 3 δ 8 yazılabilir. (3.40), (3.4) ve (3.48)-(3.5) kullanılırsa ve g 0 g 5 = γ 4 β + α 3 γ + γ 3 β + θ 3 α + 0α γ 0γ β + 0θ α + δ θ +36αγ βδ + 9βγ + 8αθ 5θδ + 86α + 50β + 59γ + 7θ + 30 g g 5 = δ 4 θ + γ 3 β + δ 3 θ + β 3 δ + α γ 0δ θ + 0β δ + 0γ β 5αγ + 36βδ + 8βγ αθ + 9θδ + 7γ + 50θ + 86β + 59δ + 30 g g 5 = β 4 δ + γ 3 β + β 3 δ + α 3 γ 0β δ + 0α γ + θ α + 0γ β +8αγ + 9βδ + 36βγ 5αθ θδ + 7α + 86γ + 59β + 50δ + 30

47 40 g 4 g 5 = α 4 γ + δ 3 θ + θ 3 α + α 3 γ 0α γ + 0δ θ + 0θ α + β δ +9αγ 5βδ βγ + 36αθ + 8θδ + 59α + 50γ + 86θ + 7δ + 30 g 7 g 5 = θ 4 α + δ 3 θ + θ 3 α + β 3 δ + 0δ θ 0θ α + 0β δ + γ β αγ + 8βδ 5βγ + 9αθ + 36θδ + 50α + 59θ + 7β + 86δ + 30 oldukları görülebilir. Benzer şekilde tüm terimler sadeleştirildikten sonra m = için F kuvvet serisinin bileşenleri olur ki burada D s ler g 0 g5 F (s) = P (0) {P ()P ()P (3)P (4)P (5)} D s (3.53) [ D 0 = 5δ 6 α 5 βγ 30α 6 β 4 δ γ 5 δ 4 α + 5β 5 θ 3 α + 4θ 4 γ 3 + γ 3 β + 4γα + 9θ α g 0 g 9 5 g g 9 5 g g 9 5 g 7 g5 g 4 g 9 5 4γ β δ θ + 53αγ + 50αθ βγ + 7βδ 5θδ 6α 8β 70θ ] 94δ 389 [ D = θ 6 γ 5 βδ + γ 6 δ 4 θ + 7β 5 θ 4 γ + 5δ 5 α 3 γ + 3α 4 β 3 + β 3 δ δ 3 θ + 8α γ +6θ α + 6γ β + 38β δ 7δ θ + αγ + 4αθ βγ + 94βδ 48θδ + 4α ] +8β + 69γ + 84δ + 78 [ D = γ 6 δ 5 αθ + δ 6 α 4 γ + 7θ 5 γ 4 δ + 5α 5 β 3 δ + 3β 4 θ 3 + θ 3 α α 3 γ + 8β δ +6γ β + 6δ θ + 38θ α 7α γ + βδ + 4βγ θδ + 94αθ 48αγ + 4β ] +8θ + 69δ + 84α + 78 [ D 3 = α 6 β 5 θδ + β 6 θ 4 α + 7δ 5 α 4 β + 5θ 5 γ 3 β + 3γ 4 δ 3 + δ 3 θ θ 3 α + 8γ β +6α γ + 6β δ + 38δ θ 7θ α + βγ + 4αγ βδ + 94θδ 48αθ + 4γ ] +8δ + 69β + 84θ + 78 [ D 4 = 5γ 6 δ 5 αθ 30δ 6 α 4 γ θ 5 γ 4 δ + 5α 5 β 3 δ + 4β 4 θ 3 + θ 3 α + 4δ θ + 9β δ 4θ α γ β + 53θδ + 50βδ αθ + 7αγ 5βγ 6δ 8α 70β ] 94γ 389 [ D 5 = δ 6 α 5 βγ + α 6 β 4 δ + 7γ 5 δ 4 α + 5β 5 θ 3 α + 3θ 4 γ 3 + γ 3 β β 3 δ + 8θ α +6α γ + 6δ θ + 38γ β 7β δ + αθ + 4θδ αγ + 94βγ 48βδ + 4θ ] +8γ + 69α + 84β + 78

48 4 g 0 5 [ D 6 = α 3 γ β 3 δ γ 3 β θ 3 α δ 3 θ 4α γ 4β δ 4γ β ] 4θ α 4δ θ 9αγ 9βδ 9βγ 9αθ 9θδ + 06 g 4 g5 g g5 g g5 [ D 7 = 5β 6 θ 5 αγ 30θ 6 γ 4 β α 5 β 4 θ + 5γ 5 δ 3 θ + 4δ 4 α 3 + α 3 γ + 4θ α + 9δ θ g 7 g 9 5 4α γ β δ + 53αθ + 50θδ αγ + 7βγ 5βδ 6θ 8γ 70δ ] 94β 389 [ D 8 = β 6 θ 5 αγ + θ 6 γ 4 β + 7α 5 β 4 θ + 5γ 5 δ 3 θ + 3δ 4 α 3 + α 3 γ γ 3 β + 8δ θ +6θ α + 6β δ + 38α γ 7γ β + θδ + 4βδ αθ + 94αγ 48βγ + 4δ ] +8α + 69θ + 84γ + 78 [ D 9 = 5θ 6 γ 5 βδ 30γ 6 δ 4 θ β 5 θ 4 γ + 5δ 5 α 3 γ + 4α 4 β 3 + β 3 δ + 4γ β + 9α γ 4β δ θ α + 53βγ + 50αγ βδ + 7θδ 5αθ 6γ 8δ 70α ] 94θ 389 [ D 0 = 5α 6 β 5 θδ 30β 6 θ 4 α δ 5 α 4 β + 5θ 5 γ 3 β + 4γ 4 δ 3 + δ 3 θ + 4β δ + 9γ β 4δ θ α γ + 53βδ + 50βγ θδ + 7αθ 5αγ 6β 8θ 70γ ] 94α 389 şeklindedir. Bu sonuçlar (3.9) determinantları hesaplanıp m = 7 durumundaki gibi (3.48) - (3.5) eşitlikleri kullanılarak sadeleştirildikten sonra tekrar düzenlenerek bulunmaktadır. m = için bileşenler; F (0) = κ { 5y 3 P (3) 9 P () 3 P () P (4) P (5) + 30y P (4) 9 P () 3 P () P (3) P (5) + P (5) 9 P (4) P () 3 P () P (3) +5y 6 P () 9 P () 3 P (3) P (4) P (5) + P () 8 4y0 P () P (3) P (4) P (5) [ + y P (5)7 P (4) P (3) 7 P () + P 4y4 (4)4 P () P () 4 P (3) P () 5 P (3) 9y9 P (5) 5 P ()P (4) + P 4y (5)5 P ()P (4) P (3) 5 P () y 7 P (3)5 P () 3 P (4) 6 P (5) P 53y4 (4) P ()P (5) P () P (3) 50y 7 P ()3 P (3) P (5) 3 P () + P y3 (5)3 P () P (3) 3 P () +7y 4 P ()4 P (3)P (5) P () 3 P (4) 3 + 5y 7 P (3)3 P () P () 5 P ()P (4) P (4) 4 P (5) + 6y P ()P (5) + P () 3 P (5) 8y4 P () P (3)P (4) ]} 70y 7 P () P ()P (3) P (4) P (5) + 94y 5 P () P (3) P () P (4) 3 389y5 P () P (4)

49 4 F () = qκ { y 0 P () 9 P () 3 P (3) 3 P (4) P (5) + P (5) 0 P () 3 P (3) 3 P () P (4) 7y 6 P () 8 P (3) 3 P (5)P () P (4) + P (3) 8 5y3 P () 3 P () P (4) P (5) 3y P (4) 9 P () 3 P (3) 3 P () P (5) [ + y P ()6 P (5) 3 P () 7 P (3)P (4) + P () P (3) 7 y6 P (5) P (4) 6 P () + P 8y3 (4)6 P () P () 6 P (3) 6y 8 P ()5 P (3) P (4) P (5) 5 P () 3 P (5) 5 P (4) 3 6y P (3) 5 P () P () P 38y ()4 P (5) P (4)P () 5 P 7y6 (3)5 P () P (4) 4 P (5) y 3 P (5)P (4)4 P () P () 4 P (3) 4y 6 P ()3 P (4) P (3) P () 3 P (5) 3 + y P (5)3 P (4) P () P (3) 3 + P 94y3 () P (3)P (5) P () 3 P (4) 6 P ()P (3)3 +48y P (5) P (4) P 4y4 (4)3 P () P () 3 P (5) 84y 4 P (3) P (4) + 78y4 P (4)P () P () ]} 8y3 P ()P (4)P (5) P () P (3) + 69y 3 P (4) P (5) P () P (3) = q P (5) κ { 9 P () 3 P (4) 3 P () P (3) P (3) 0 y3 P () 3 P (4) 3 P (5) P () F () +7y 0 P () 8 P (4) 3 P (3)P (5) P () + 5y P (4) 8 P () 3 P (5) P () P (3) P () 9 3y6 P () 3 P (4) 3 P (5) P (3) [ + y 0 P () 6 P (3) 3 P (5) 7 P (4)P () P () P (4) 7 y3 P (3) P () 6 P (5) + P 8y ()6 P (5) P () 6 P (4) 6y 6 P (5)5 P (4) P () P (3) 5 P () 3 P (3) 5 P () 3 + 6y P (4) 5 P (5) P () + P 38y8 ()4 P (3) P ()P (5) 5 + P 7y3 (4)5 P () P () 4 P (3) y 3 P (3)P ()4 P (5) P () 4 P (4) + 4y P (5)3 P () P (4) P () 3 P (3) 3 y 6 P (3)3 P () P (5) P (4) 3 + P 94y6 () P (4)P (3) P (5) 3 P () 3 P (5)P (4)3 48y P (3) P () + P 4y3 ()3 P (5) P () 3 P (3) +84y 4 P (4) P () 78y4 P ()P (5) P () ]} 8y6 P ()P ()P (3) P (5) P (4) + 69y 4 P () P (3) P () P (4)

50 43 = q 3 P (4) κ {y 9 P (3) 3 P () 3 P (5) P () + P () 0 y6 P (3) 3 P () 3 P (4) P (5) F (3) 7y 3 P (3) 8 P () 3 P ()P (4) P (5) + P () 8 5y0 P (3) 3 P (4) P (5) P () + 3 P (5) 9 P (3) 3 P () 3 P (4) P () [ + y 6 P (3) 6 P () 3 P (4) 7 P ()P (5) P (3) P () 7 y0 P () P (5) 6 P (4) + 8y P (5)6 P (4) P (3) 6 P () 6y 3 P (4)5 P () P (5) P () 5 P (3) 3 + 6y P () 5 P (5) 3 P () 5 P (4) P (3) 38y6 P (3)4 P () P (5)P (4) 5 7y8 P ()5 P (3) P (5) 4 P () +y P ()P (5)4 P (4) P (3) 4 P () + 4y 3 P (4)3 P (5) P () P (3) 3 P () 3 + y 3 P ()3 P (5) P (4) P () 3 + P 94y6 (3) P ()P () P (4) 3 P (5) 6 P (4)P ()3 48y P () P (5) P 4y3 (5)3 P (4) P (3) 3 P () 84y 6 P () P (5) 78y4 P (5)P (4) P (3) ]} + 8y4 P (3)P (5)P () P (4) P () + 69y 3 P (5) P () P (3) P () = q 4 P (5) κ {5 9 P () 3 P (3) P () P (4) P (3) 9 30y3 P () 3 P () P (4) P (5) + P () 9 y0 P () 3 P (3) P (4) P (5) F (4) P (4) 9 5y P () 3 P (3) P () P (5) + P () 8 4y6 P () P (3) P (4) P (5) [ + y 0 P ()7 P (3) P (5) 7 P () + P 4y6 (3)4 P () P (4) 4 P (5) P () 5 P (5) 9y P () 5 P (3)P (4) + P 4y8 ()5 P (3)P (4) P (5) 5 P () +y P (5)5 P (4) 3 P (3) 6 P () 53y6 P (3) P ()P () P (4) P (5) + 50y 3 P ()3 P (5) P () 3 P (4) + y6 P ()3 P (4) P (5) 3 P () 7y 3 P (4)4 P ()P (5) P () 3 P (3) 3 + 5y P (5)3 P (4) P () 4 P ()P (3) P (3) 4 P () + 6y P ()P (4) + P (4) 3 P () 8y4 P () P (3)P (5) ]} +70y 3 P () P (4)P (5) P () P (3) 94y 3 P (4) P (5) P (4) P (3) 3 389y4 P () P (3) F (5) = q 5 κ { y 3 P (3) 9 P (5) 3 P () 3 P () P (4) + y P (4) 0 P (5) 3 P () 3 P (3) P () P (5) 8 +7 P () 3 P (4)P (3) P () P () 8 5y6 P (5) 3 P (3) P () P (4) P () 9 3y0 P (5) 3 P () 3 P (3) P (4) [ + y P (5)6 P (4) 3 P (3) 7 P ()P () + P (5) P () 7 y P (4) P () 6 P (3) + P 8y9 ()6 P (3) P (5) 6 P () 6y 7 P (3)5 P () P () P (4) 5 P (5) 3 6y 4 P (4) 5 P () 3 P () 5 P (3) P (5) + 38y P (5)4 P (4) P ()P (3) 5 7y3 P ()5 P (5) P () 4 P (4) +y 7 P (4)P ()4 P (3) P (5) 4 P () + 4y 7 P (3)3 P () P () P (5) 3 P (4) 3 y 4 P (4)3 P () P (3) P () 3 + P 94y3 (5) P ()P (4) P (3) 3 P () 6 P (3)P ()3 +48y P (4) P () P 4y4 ()3 P (3) P (5) 3 P (4) +84y 4 P () P () 78y5 P ()P (3) P (5) ]} 8y3 P (5)P ()P (4) P (3) P () + 69y 3 P () P (4) P (5) P ()

Daha göster