I. BÖLÜM GEOMETR K KAVRAMLAR

Transkript

1 I. ÖLÜM GMTR K KVRMLR NKT, RU, ÜZLM V UZY KVRMLRI ugüne kaar matemati in bir al olan geometri erslerine noktalar, nokta kümeleri (geometrik flekiller, cisimler vb.) ve bunlar n aras naki iliflkiler ile ilgili birçok bilgi ö reniniz. Örne in: ikörtgenin alan, ar fl k iki kenar n n uzunluklar çarp m na eflittir. ir üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 80 0 ir. önermelerinin o ru olu unu biliyorsunuz. u bilgileren baz lar o kaar basit ve aç kt r ki bunlar n o rulu unu tart flmak veya üflünmek akl n za bile gelmez. arkl iki nokta bir tek o ru belirtir. önermesine olu u gibi. akat, ik üçgenlereki isagor a nt s n n o rulu unu hemen sezemezsiniz. unun için geometri bilgilerini öyle bir s raya koymal y z ki karmafl k önermeler aha basit ve anlafl l r hâle gelebilsin. u s ran n kolayan zora o ru olmas mant a uygunur. u aflamaa geometrieki temel tan m ve kavramlar aç k ve o ru olarak verilecek, baz basit ve temel önermelerin o rulu u gösterilmeen kabul eilecek, baz lar ise ispatlanacakt r. fiimi geometrieki temel kavramlar n tan mlar n yapal m. Tan m : Geometrie özel anlam olan terimlere geometrik terim enir. Nokta, o ru, üzlem, üçgen, aç geometrik terime birkaç örnektir. Tan m : az geometrik terimleri tan mlamak için aha basit terimlere ihtiyaç var r. unlara tan ms z terim enir. Nokta, o ru, üzlem ve uzay tan ms z terim olarak kabul eece iz. Tan m : o rulu u ispats z kabul eilen basit ve temel önermelere aksiyom enir. arkl iki noktaan bir ve yaln z bir o ru geçer. önermesi bir aksiyomur. Tan m : Tan mlar ve aksiyomlar yar m yla o rulu u ispatlanabilen önermelere teorem enir. ir üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 80 0 ir. önermesi bir teoremir. Nokta Tan ms z kabul eilen nokta, geometrinin en temel terimiir. Kaleminizin ucunun efterinize b rakt iz, nokta hakk na bir fikir verebilir. Noktalar büyük harflerle alan r l r :,, gibi. noktas o ru o ru, bir noktalar kümesi olup tan ms z bir terimir. ki tarafa istenili i kaar uzat labilen gergin bir lastik, o ru hakk na bize bir bilgi verebilir. o runun iki yöne e sonsuza uza kabul eilir. unun için afla a olu u gibi iki taraf na a ok iflareti konur. o rular küçük harfler ile veya iki noktas yan yana yaz larak gösterilir. o rusu veya o rusu ir noktas o rusu üzerine ise, e il ise ile gösterilir. Yukar aki flekile noktas o ru üzerineir. akat noktas o ru üzerine e ilir.

2 üzlem Tan ms z kabul eilen ve noktalar kümesi olan bir i er terim e üzlemir. ir gölün veya bir masan n yüzeyi bize üzlem hakk na bir bilgi verebilir. üzlemin her yöne s n rs z noktalar kümesinen olufltu u kabul eilir ve büyük harflerle alan r l r. üzlemi Yukar aki flekile noktas üzlemin üzerine, noktas üzlemin fl na r. Uzay Tan m : ütün noktalar n oluflturu u en genifl kümeye uzay enir. ksiyom : arkl iki noktaan bir ve yaln z bir o ru geçer., farkl noktalar ve, olacak flekile bir tek o rusu ( o rusu) var r. ir uvara çak lan iki çivinin uçlar na ancak bir gergin ip ba layabilirsiniz. yn çivilerin uçlar na ba lanacak biren fazla gergin ip çak fl k olur. u size iki noktaan yaln z bir o ru geçti ine örnektir. efterinize kaleminizle farkl iki nokta iflaretleyiniz ve bu noktalar cetvel yar m yla birlefltirin. u noktalaran geçen baflka bir o ru çizebilir misiniz? Tan m : ir noktalar kümesinin bütün elemanlar ayn o ru üzerine ise bu noktalara o rusal r (o ruafl noktalar) enir.,,, olu unan,, ve noktalar o rusal r. Örnek : ört farkl noktaan en az ve en çok kaç farkl o ru geçer? fiekil çizerek görelim: I II III 4 6 Yukar aki flekillere görülü ü gibi üç urum var r. I. Noktalar n hepsi o rusal ise bir o ru geçer ( o rusu). II. Noktalaran herhangi üçü o rusal ise 4 o ru geçer (,, 3 ve 4 o rular ). III. Herhangi üçü o rusal e ilse 6 o ru geçer (,, 3, 4, 5 ve 6 o rular ). hâle, ört farkl noktaan en az, en çok 6 o ru geçer. u uruma; a. arkl 4 noktaan hepsi o rusal ise verilen noktalaran en az bir o ru geçer. b. arkl 4 noktaan herhangi üçü o rusal e ilse; her farkl iki noktaan bir n(n ) o ru geçece inen, en çok n eleman n ikili kombinasyonan (n, ) = kaar farkl o ru geçer.

3 Tan m : Noktalar kümesinin bütün elemanlar ayn üzlemin üzerine ise bu noktalara üzlemselir enir.,,, olu unan bu noktalar üzlemselir. Tan m : üzleme bir noktaan sonsuz o ru geçer. u o rular kümesine üzlemsel o ru emeti enir. 3 4,, 3, = {},, 3, 4 o rular üzlemsel o ru emetiir. Tan m : Uzaya bir noktaan sonsuz o ru geçer. u o rular kümesine uzaysal o ru emeti enir = {} noktas nan geçen uzaysal o ru emeti SYI RUSU (KSN ) V R NKTNIN KR NTI ksiyom : ir o runun noktalar ile reel say lar aras na öyle bir eflleme yap lmal ki;. o runun her noktas na bir ve yaln z bir reel say karfl l k gelir.. Her reel say ya o runun bir ve yaln z bir noktas karfl l k gelir. u aksiyoma cetvel aksiyomu iyoruz. Tan m : etvel aksiyomu ile belirtilen flartlara reel say larla bire bir efllenmifl o rulara say o rusu veya say ekseni enir. Say o rusu üzerine bir nokta ile efllenen reel say ya bu noktan n koorinat enir. Say o rusu üzerineki noktas n n eflleni i reel say a ise bu say noktas n n koorinat r ve (a) flekline gösterilir. Koorinat 0 olan noktaya bafllang ç noktas enir a say o rusu üzerine noktas bafllang ç noktas r. (0) yaz l r. noktas n n koorinat 3 olu unan (3), noktas n n koorinat a olu unan (a) yaz l r. u ayn zamana koorinat a olan noktan n harfiyle alan r l n ifae eer. ki Nokta ras naki Uzakl k ksiyom (Uzakl k ksiyomu) : irbirinen farkl herhangi iki nokta aras naki uzakl a bir tek pozitif reel say karfl l k gelir. Tan m : Uzakl k aksiyomu ile verilen pozitif reel say ya iki nokta aras naki uzakl k enir. Verilen noktalar ve ise bu noktalar aras naki uzakl k veya ile gösterilir. ve noktalar ayn, yani = ise = 0 olur. 3

4 ksiyom : Say o rusu üzerine verilen iki nokta aras naki uzakl k, bu iki noktan n koorinatlar fark n n mutlak e erine eflittir. (a) ve (b) noktalar aras naki uzakl k: = b a = a b olur. Örnek : ( 3) ve () noktalar aras naki uzakl bulunuz. Çözüm : 3 0 ( 3) ve () noktalar aras naki uzakl k: = b a = ( 3) = 5 = 5 birim bulunur. Örnek : (x) ve (3) noktalar için = 5 ise x in alabilece i e erleri bulunuz. Çözüm : = 3 x = 5 a. 3 x = 5 x = b. 3 x = 5 x = 8 bulunur. Tan m (raa olma) : ir o runun farkl, ve noktalar verilsin. + = ise noktas ile aras na r enir. 0 3 Yukar aki flekile; ( ), () ve (3) noktalar verilmifltir. = ( ) = 3, = 3 = ve = 3 ( ) = 5 birim olur. 3 + = 5 yani + = olu unan noktas, ile aras na r. Örnek : Koorinatlar a, b ve c olan o rusal, ve noktalar veriliyor. a, b, c say lar aras na c a + b c = b a eflitli i varsa araa olan noktay bulunuz. Çözüm: c a + b c = b a ise a < c < b veya b < c < a yaz labilir ki noktas ile aras na olur. Tan m (o ru parças ) : ir o ru üzerine al nan farkl iki nokta ve olsun. ve ile aralar naki bütün noktalar n kümesine o ru parças enir. o ru parças [] ile gösterilir. ve noktalar na a [] nin uç noktalar enir. noktas, ile noktalar aras na ise [] r. Tan m (ir o ru parças n n uzunlu u) : Say o rusu üzerine uç noktalar (a) ve (b) olan iki nokta verilsin. ve noktalar aras naki uzakl a o ru parças n n uzunlu u enir. [] n n uzunlu u, = b a = a b ile ifae eilir. Tan m (fl o ru parçalar ) : Uzunluklar eflit olan o ru parçalar na efl o ru parçalar enir. [] ve [] efl o ru parçalar ise [] [] ile gösterilir ve = [] [] olur. u uruma; her o ru parças kenisine eflittir. Örnek : (), ( 3), () ve (6) noktalar veriliyor. [] [] olu unu gösteriniz. Çözüm: = 3 = 5 = 5 ve = 6 = 5 = 5 olu unan = ur. uraan [] [] olur. Örnek : ( 5), (), (x) ve () noktalar veriliyor. [] [] ise x in alabilece i e erleri bulunuz. Çözüm: [] [] olu unan = ur. = ( 5) = 6 = 6 ve = x olur. uraan x = 6 a. x = 6 x = 7 ve b. x = 6 x = 5 bulunur. 4

5 Tan m (rta nokta) : ir o ru parças verilsin. [] ve = ise noktas na [] n n orta noktas enir. [] ve = ise noktas [] n n orta noktas r. Örnek : Say o rusu üzerine (a), (b) ve (x) noktalar verilsin. noktas [] n n orta noktas ise x e erini a ve b cinsinen hesaplay n z. Çözüm: noktas, [] n n orta noktas ise = ve a < x < b olur. Çözüm : Yukar aki örnekten Örnek : = {x: x+ 3, x R} kümesinin elemanlar n say o rusu üzerine gösteriniz. Çözüm: x+ 3 3 x+ 3 4 x veya [ 4, ] olur. Verilen kümesinin elemanlar koorinatlar 4 ve olan ve noktalar ile bu iki nokta aras naki bütün noktalar, yani [] r. Ifl n Tan m : ve bir o rusunun farkl iki noktas olsun. o ru parças ile noktas ile aras na kalacak flekile al nan bütün noktalar n n kümesine fl n enir ve [ ile gösterilir. noktas na a fl n n bafllang ç noktas enir. [ = [] {: + =, } olur. Tan m (Z t fl nlar) : er bir noktas ayn o ru üzerineki ve noktalar aras na ise [ ve [ na z t fl nlar enir. fiekileki [ ve [ z t fl nlar r. [ [ = {} ve [ [ = ur. Tan m (Yar o ru) : afllang ç noktas hariç bir fl na yar o ru enir. yar o rusu Örnek : Verilen bir [X üzerine = birim = birim ve = 3 birim olacak flekile, ve noktalar n bulunuz. Çözüm: = birim olan [] n alal m ve [X n çizelim. = x a = x a ve = b x = b x yaz l r. uraan x a = b x x = a+b x = a + b olur. Örnek : ( ), (b) ve (3) noktalar veriliyor., [] n n orta noktas ise b nin e erini bulunuz. 3 = + b 4 6 = + b b = 8 bulunur. X ergelin ucunu = birim olacak flekile açal m. Sivri ucunu noktas na koyarak bir yay çizelim. u yay n [X n kesti i nokta olur. ergelin ucunu noktas na koyarak çizilen yay n fl n kesti i nokta, noktas na koyarak çizilen yay n fl n kesti i nokta a olur. öylece [X üzerine noktas nan, ve 3 birim uzakl ktaki, ve noktalar bulunmufl olur. 5

6 UYGULMLR Örnek : Uç noktalar ( 3), () olan [] veriliyor. [] n n orta noktas n n koorinat n bulunuz. Çözüm: ( 3) (x) () [] n n orta noktas (x) olsun. = x ( 3) = x x+3 = x x = x = olur. Say o rusu üzerine koorinat olan saece bir nokta var r. öylece [] n n bir ve yaln z bir tane orta noktas olu u görülür. Örnek : = {x : x > 3, x R} kümesinin elemanlar n say o rusu üzerine gösteriniz. Çözüm: kümesinin elemanlar, flekile görülü ü gibi yar o rusuur. aflka bir eyiflle o rusunun noktas n n sa na kalan bütün noktalar r. Örnek : 3 Yukar aki flekle göre; a. [] [ b. [] [ c. [] [. [ [ ifaelerinin eflitlerini bulunuz. Çözüm: a. [] [ = {} b. [] [ = [] c. [] [ = [ = [. [ [ = [] olur. Örnek : = {x : x, x R} kümesinin elemanlar n say o rusu üzerine gösteriniz. Çözüm: x a. x x 3 ve b. (x ) x x olur. 3 kümesi, [ [ = (, ] [3, + ) olur. Örnek : = {x : x 3, x R} ve = {x : x, x R} kümeleri veriliyor. kümesinin elemanlar n say o rusu üzerine gösteriniz. Çözüm: Q = [Q = (, 3] ve = [Q = [, + ) r. uraan = [Q] = (, 3] [, + ) = [, 3] bulunur. Örnek : Koorinatlar (), (0) ve (x) noktalar verilsin. x + x 0 ifaesinin en küçük e erini bulunuz. Çözüm: x 0 3 fiekilen; = x ve = x 0 olu u görülür. x + x 0 toplam n n en küçük olmas için noktas ile aras na olmal r. Yani, x koorinat < x < 0 flart n sa lamal r. faenin en küçük e eri; < x < 0 x + x 0 = x x+0 = +0 = 8 olur. 6

7 LIfiTIRMLR. efl farkl noktaan en az ve en çok kaç farkl o ru geçer? fiekil çizerek gösteriniz.. ir çember üzerine bulunan 0 nokta veriliyor. a. u noktalaran kaç farkl o ru geçer? b. u noktalaran birisi olu una göre an geçen kaç farkl o ru var r? 3. 4 ü bir o rusu üzerine, bunlar n fl na herhangi üçü o rusal olmayan 9 nokta veriliyor. u noktalaran kaç farkl o ru geçer? 4. 3 ü bir o rusu üzerine, 4 ü farkl bir t o rusu üzerine bulunan 7 nokta veriliyor. u noktalaran kaç farkl o ru geçer? 5. noktas ortak olan, iki farkl o ru veriliyor. fl na bu o rular n birisi üzerine 4, i eri üzerine 3 nokta al n yor. u noktalaran geçen kaç farkl o ru var r? 6. ir o rusu üzerine 4, bir t o rusu üzerine 3 nokta ile bu o rular üzerine bulunmayan 3 nokta aha veriliyor. u noktalaran en az ve en çok kaç o ru geçer? 7. fla a koorinatlar verilen noktalar aras naki uzakl klar bulunuz. a. ( 3), (7) b. ( 9), ( ) c. (), (3). ( 3 ), G( ) e. K( ), L( ) f. M(0,3), N(,5) 8. ( 5) ve (b) noktalar aras naki uzakl k 4 birim ise b nin alaca e erleri bulunuz. 9. x R olmak üzere afla aki önermelerin çözüm kümelerini bularak say o rusu üzerine geometrik yorum yap n z. a. x = b. x + 5 c. x+ < 3. x 7 e. 3 x > 4 f. 3x = {x : x, x R} ve = {x : x < 4, x R} kümeleri veriliyor. ve kümelerini ayn say o rusu üzerine göstererek afla aki kümeleri bulunuz. a. b. c.. e.. ( ), (3), (x) ve (y) noktalar veriliyor. noktas [] n n ve noktas a [] n n orta noktas olu una göre, ile noktalar aras naki uzakl bulunuz.. ( ), (a ), (3) ve (a) noktalar veriliyor. [] [] ise a n n alaca e erleri bulunuz. 3. (a), (b) ve (x) noktalar veriliyor. (a<b) [] ve = k. olu una göre, x e erini a ve b cinsinen bulunuz. 4. (a), (b) ve (x) noktalar veriliyor. (a<b) [] ve = k. olu una göre; a. k < için b. k > için x e erini a ve b cinsinen hesaplay n z. 5. ( 5), (x) ve (9) noktalar veriliyor. [] ve olu una göre x in e erini bulunuz. = 5 6. ( 7), (9) ve (y) noktalar veriliyor. [] ve = 5 3 olu una göre y nin e erini bulunuz. 7. ( ), (9) ve (x) noktalar veriliyor. = 3 eflitli ini sa layan noktalar aras naki uzakl bulunuz. 8. ( 3), (x) ve () noktalar veriliyor. + toplam n n en küçük e erini bulunuz. 9. (3), (x) ve (5) noktalar veriliyor. kesrinin alabilece i en büyük e eri bulunuz. + 7

8 NKT, RU V ÜZLM RSINK L fik LR ksiyom:. Her üzlemin o rusal olmayan en az üç noktas var r.. Uzay n üzlemsel olmayan en az ört noktas var r.,, ve,, fakat Uzaya o rusal olmayan farkl üç noktaan bir ve yaln z bir üzlem geçer. ksiyom: ir o runun farkl iki noktas bir üzleme ait ise o o ru üzlemin içineir. aflka bir eyiflle bir o ru ile üzlemin iki noktas ortak ise o runun bütün noktalar üzlemin e noktalar r., Tan m : ir o ru ile üzlemin hiçbir ortak noktas yok ise o ru üzleme paralelir. = Ø // olur. Teorem : ir o ru içine bulunma bir üzlemi en çok bir noktaa keser. = {} o rusu üzlemini noktas na keser. spat : olsun.. urum : Ø ise, o rusu ile üzleminin noktas nan baflka gibi bir ortak noktas aha olsun. ksiyoma göre o rusu üzleminin içine olur. Yani olur ki verilene ayk r r.. urum : = Ø ise // olur ki o ru üzlem ile kesiflmez. hâle o rusu içine bulunma üzlemi en çok bir noktaa keser. 8

9 ÜZLM K RUNUN R RLR N GÖR URUMLRI Tan m (aralel o rular) : ir üzlem içine ortak noktas olmayan iki o ru birbirine paralelir. ve o rular paralel ise // ile gösterilir., ve = Ø // ir. ksiyom (aralellik aksiyomu) : üzleme bir o ruya fl naki bir noktaan en çok bir paralel o ru çizilebilir. üzlemine noktas nan geçen ve o rusuna paralel bir tane o rusu var r. Tan m (Kesiflen o rular) : ki o runun bir tek ortak noktas varsa bu iki o ru bir noktaa kesifliyor enir. = {} olur. n, r N ve r n olmak üzere n eleman n r li kombinasyonlar say s, n! n(n ) (n, r) = olup bir üzlem içineki n farkl o ru en fazla (n,) = farkl noktaa ( n r)!. r! kesiflir. Örnek : ir üzlem içineki 0 farkl o ru; a. n az kaç noktaa kesiflir? b. n çok kaç farkl noktaa kesiflir? Çözüm: a. o rular n hepsi birbirine paralel ise o rular kesiflmez. Yani ortak noktalar yok tur. n az 0 noktaa kesiflirler. b. kifler ikifler farkl noktalara kesifliyorlarsa iki o ru bir noktaa kesiflece inen en fazla (0, ) = 0! ! = (0 )!.! 8!.. = 45 noktaa kesiflir. Örnek : üzleme herhangi üçü o rusal olmayan en az kaç nokta, 0 farkl o ru belirtir? Çözüm: arkl iki nokta bir o ru belirtece inen, nokta say s n ise (n, ) = 0 n! (n )!.! n(n ) = 0 = 0 n n 0 = 0 (n + 4)(n 5) = 0 n = 5 bulunur. Örnek : ir üzleme 3 ü bir noktas nan, 4 ü farkl bir noktas nan geçen 7 o ru veriliyor. u o rular; a. n az kaç noktaa kesiflir? b. n çok kaç noktaa kesiflir? Çözüm: a. u o rular n en az noktaa kesiflmesi için ve noktalar nan geçen 3 o ru ikifler ikifler paralel olmal r. an geçen her o ru en geçen 3 o ruyla kesiflece inen, ve fl na 3.3 = 9 noktaa kesiflir. ve yi ahil eersek toplam 9+ = noktaa kesiflirler. b. u o rular n en fazla noktaa kesiflmesi için ve noktalar nan geçen o rular ikifler ikifler kesiflmeliir. u noktalaran geçen o rular ve noktalar fl na 3.4 = noktaa kesiflir. ve yi ahil eersek toplam + = 4 noktaa kesiflirler. u urumlar uygun flekiller çizerek siz gerçekleyiniz. 9

10 Tan m (Çak fl k o rular) : ki o runun farkl iki noktas ortak ise bu o rulara çak fl k o rular enir. l, ve, l ise = l ir. Tan m (yk r o rular) : arkl üzlemlere bulunan ve kesiflmeyen iki o ruya ayk r o rular enir. H G Yukar aki ikörtgenler prizmas n n GH yüzeyi üzerineki o rusu ile yüzeyi üzerineki o rusu ayn üzleme e ilir. u o rular, kesiflmei inen ( = Ø) ayk r o rular r. ksiyom: Herhangi üç noktaan bir üzlem geçer. o rusal olmayan üç noktaan bir ve yaln z bir üzlem geçer. [] ve,, ise tektir., ve noktalar o rusal e ilse, bu noktalaran geçen bir tek üzlemi var r. S n f n za yaz tahtas n n bulunu u uvar n üç köflesinen yaln z bu uvar üzlemi geçer. Sabit iki ayak üzerine bir masa tablas n niçin kolayca koyamazs n z? Masalar n veya taburelerin neen en az üç ayakl olu unu üflününüz mü? Teorem : ir o ru ile fl naki bir noktaan yaln z bir üzlem geçer. spat : olacak flekile bir o rusu ile noktas verilsin. fl na o rusu üzerine ve gibi farkl iki nokta aha alal m. ksiyom gere ince o rusal olmayan, ve noktalar nan bir tek üzlemi geçer. Teorem : Kesiflen iki o ruan bir ve yaln z bir üzlem geçer. l spat : l = {} olsun. l o rusu üzerine an farkl bir nokta olsun. o rusu ile fl naki noktas nan bir önceki teorem gere i bir tek üzlemi geçer. Teorem : aralel iki o ru bir tek üzlem belirtir. u teoremin ispat n a siz yap n z. 0

11 Örnek : Uzaya 5 elemanl bir o ru emeti ile 4 nokta veriliyor. u o rular ile noktalar en fazla kaç üzlem belirtir? Çözüm: Kesiflen iki o ru bir üzlem belirtti inen 5 o ru, en fazla (5, ) = 0, o rusal olmayan üç nokta bir üzlem belirtti inen 4 nokta, en fazla (4, 3) = 4 ve bir o ru ile fl naki bir nokta bir üzlem belirtti inen 5 o ru ile 4 nokta, en fazla 4.5 = 0 üzlem belirtir. hâle verilen o ru ve noktalar en fazla, = 34 üzlem belirtir. K ÜZLM N R RLR N GÖR URUMLRI Tan m (aralel üzlemler) : ki üzlemin ortak hiçbir noktas yoksa bu üzlemlere paralel üzlemler enir. Q Q = Ø // Q ur. ksiyom: arkl iki üzlemin bir ortak noktas varsa, üzlemler bu noktaan geçen bir o ru boyunca kesiflirler. Yukar aki aksiyoma belirtilen o ruya bu iki üzlemin ara kesiti enir. Q Q = olur. Tan m : o rusal olmayan farkl üç noktas ortak olan iki üzleme çak fl k üzlemler enir. Q,, ve,, Q = Q olur. ve Q çak fl k üzlemlerir. Konveks ( flbükey) ve Konkav ( çbükey) Kümeler Tan m : ir noktalar kümesinin herhangi iki farkl eleman ve olsun. [] n n bütün noktalar kümesinin içine kal yorsa bu kümeye konveks ( flbükey), baz noktalar fl na kal yorsa bu kümeye e konkav (içbükey) küme enir. örtgeninin iç bölgesi konveks kümeir. örtgeninin iç bölgesi konkav kümeir. Örnek : 6 farkl üzlemin ara kesiti en çok kaç o ru olur? Çözüm: ki farkl üzlemin ara kesiti en çok bir o ru olaca nan; (6,) = 6!!.4! = 6.5.4! = 5.4! o ru olur. Örnek : 3 farkl üzlem uzay en az ve en çok kaç k sma ay r r? Çözüm: a. üzlemlerin hepsi birbirine paralel ise uzay en az 3 + = 4 k sma ay r r. b. üzlemlerin ara kesitleri farkl ise uzay en çok 8 k sma ay r r.

12 . fiekilen yararlanarak afla a noktal yerlere uygun olan ifaeleri yaz n z. a. [] [] =... b. [ [ =... c. [ [ =.... [] [] =... e. [ [ =... f. [ [ =.... üzleme 5 farkl o ru en az ve en çok kaç noktaa kesiflir? 3. ir üzleme 5 i bir noktas nan geçen, bunlar fl na 4 ü birbirine paralel olan 9 o ru en az ve en çok kaç farkl noktaa kesiflir? 4. ir üzleme 4 ü bir noktas nan geçen 8 farkl o ru veriliyor. u o rular en az ve en çok kaç farkl noktaa kesiflir? 5. ir üzleme 4 ü birbirine ve bunlaran farkl 5 i e birbirine paralel olan 9 o ru veriliyor. u o rular kaç farkl noktaa kesiflir? 6. Uzaya farkl o ru en çok kaç üzlem belirtir? 7. Herhangi üçü o rusal olmayan 5 nokta veriliyor. a. u noktalaran kaç farkl o ru geçer? b. u noktalaran kaç farkl üzlem geçer? 8. Uzaya 4 ü bir o rusu üzerine, bunlar n fl na herhangi üçü o rusal olmayan 9 nokta veriliyor. a. u noktalaran kaç farkl üzlem geçer? b. n az bir noktas o rusu üzerine bulunan ve bu noktalaran geçen kaç üzlem var r? 9. ir üzleme 7 farkl o ru üzlemi en az ve en çok kaç farkl bölgeye ay r r? 0. Uzaya 3 farkl üzlem en çok kaç farkl o ru belirtir?. n farkl o ru, bir üzlemi en çok 46 bölgeye ay r yor. a. n say s kaçt r? b. u n o ru en çok kaç farkl noktaa kesiflir?. Uzaya en az kaç nokta 56 farkl üzlem belirtir? 3. Uzaya herhangi üçü üzlemsel olmayan 5 paralel o ru ile bu o rular üzerine olmayan 3 nokta veriliyor. u o rular ve noktalar en fazla kaç üzlem belirtir? 4. Uzaya bir noktas na kesiflen 8 o ru en az ve en çok kaç üzlem belirtir? 5. Uzaya 3 ü bir noktas nan, si bir noktas nan geçen 5 o ru en fazla kaç üzlem belirtir? 6. ir üzlemi ile ve k o rular için: a. = {} b. k c. k önermeleri veriliyor. ve k o rular hakk na ne söyleyebilirsiniz? 7. fla a verilenleren hangileri aima bir tek üzlem belirtir? a. arkl üç nokta b. o rusal olmayan üç nokta c. Kesiflen iki o ru. arkl iki o ru e. aralel iki o ru f. ir o ru ve fl naki bir nokta 8. ve üzlemleri ile ve noktalar için:,, ve, önermeleri veriliyor. o rusu hakk na ne söyleyebilirsiniz? u sonuç hangi aksiyomla ilgiliir? 9. ir üzlemi uzay ve R yar uzaylar na ay r yor. içine ve R içine noktas al n yor. o rusu üzlemini keser mi? 0. arkl ört üzlem uzay en az ve en çok kaç k sma böler?. fiekile üzlemsel olmayan,, ve noktalar verilmifltir. a. u noktalaran geçen kaç o ru var r? b. u noktalaran kaç üzlem geçer? c. irbirini kesmeyen üzlemler var m r?. üzlemlerin ara kesitlerini yaz n z. LIfiTIRMLR

13 ÇILR ÇILRL LG L TML KVRMLR Tan m : afllang ç noktalar ayn olan iki fl n n birleflimine aç enir. afllang ç noktas na aç n n köflesi, fl nlara a aç n n kenarlar enir. [ [ = é = é = ë noktas aç n n köflesi [ ve [ fl nlar na aç n n kenarlar [ ve [ fl nlar n n birlefliminen oluflan aç, köfle ortaa olmak üzere é, é veya ë flekline gösterilir. Yönlü ç lar Tan m : ir aç n n kenarlar nan birisi bafllang ç, i eri bitifl kenar olarak üflünülü üne; saatin önme yönü negatif, tersi pozitif yön olarak kabul eilir. öyle aç lara yönlü aç lar enir. + [ bafllang ç kenar ve [ bitifl kenar ise é pozitif yönlü aç r. [ bafllang ç kenar ve [ bitifl kenar ise é negatif yönlü aç r. ç n n ç ve fl ölgesi Tan m : ir üzlemine aç s verilsin. [ fl n n n noktas taraf na kalan yar üzlemi ile [ fl n n n noktas taraf na kalan yar üzleminin kesiflimine aç s n n iç bölgesi, aç n n bulunu u üzlemin; aç ve iç bölgesine ait olmayan noktalar kümesine e aç n n fl bölgesi enir. fl bölge ç bölge noktas aç n n iç bölgesine ve noktas aç n n fl bölgesineir. K noktas a aç n n üzerineir. K ÇILRIN ÖLÇÜLMS ç lar çeflitli ölçü birimleriyle ölçülmekteir. u ölçü birimleri; erece, rayan ve gra r. iz saece erece ölçü birimini kullanaca z. i er ölçü birimlerini matematik ersine, trigonometri konusuna ayr nt lar ile ö reneceksiniz. 3

14 Tan m : ir çember yay n n 360 efl parças nan birini gören merkez aç n n ölçüsüne bir erece enir. ir erece ile gösterilir. noktas çemberin merkezi ve = = r olsun. ï =.π.r m(é) = ir. 360 ç lar iletki (aç ölçer) yar m yla ölçülür. ir erecenin na bir akika, bir akikan n na a bir saniye enir. ir akikal k aç ve bir saniyelik aç a ile gösterilir. = 60 = 60 olu unan, = 60 = 3600 ir. ksiyom (ç ölçme aksiyomu) : Her aç ya 0 ile 80 aras na bir reel say karfl l k gelir. Tan m : Yukar aki aksiyoma göre bir aç ya karfl l k gelen reel say ya bu aç n n erece olarak ölçüsü enir. ir aç s n n ölçüsü m(é) veya s(é) ile gösterilir. m(é) = ve 0 < < 80 ir. Tan m : Ölçüleri eflit olan aç lara, efl aç lar enir ve efl aç lar iflaretiyle gösterilir. m(é) = m(é) = é é ir. Tan m (Komflu aç lar) : irer kenar ve bir köflesi ortak, iç bölgeleri ayr k iki aç ya komflu aç lar enir. fiekile; é é = [ olu unan β é ve é komflu aç lar r. m(é) + m(é) = m(é) flekline yaz l r. Tan m (o rusal çift) : rtak olmayan kenarlar z t fl nlar olan komflu iki aç ya o rusal çift oluflturuyor enir. β fiekile;, ve noktalar o rusal olu unan é ve é aç lar o rusal çift olufltururlar. 4

15 ÇI Çfi TLR Tan m (ik aç ) : Ölçüsü 90 olan aç ya ik aç enir. o rusal çift oluflturan iki aç n n ölçüleri eflit ise bu aç laran her biri ik aç r., ve noktalar o rusal ve (é) (é) m(é) = m(é) = 90 ir. Tan m (ar aç ) : Ölçüsü 0 ile 90 aras na olan aç ya ar aç enir. m(é) = ve 0 < < 90 ise é ar aç r. Tan m (Genifl aç ) : Ölçüsü 90 ile 80 aras na olan aç ya genifl aç enir. m(é) = ve 90 < < 80 ise é genifl aç r Saat 3 te akrep ile yelkovan n Saat e akrep ile yelkovan n Saat 5 te akrep ile yelkovan n oluflturu u aç ik aç r. oluflturu u aç ar aç r. oluflturu u aç genifl aç r. ç ölçüsü 60 ir ç ölçüsü 50 ir unlar n fl na hangi saat bafllar na akrep ve yelkovan n oluflturu u aç lar ik, ar ya a genifl aç r? Saat ve 4 teki akrep ile yelkovan n oluflturu u aç lar n ölçüleri kaçar ereceir? Saat 4 ü 5 akika geçe akrep ile yelkovan n oluflturu u aç n n ölçüsünü hesaplayabilir misiniz? Tan m (o ru aç ) : Z t iki fl n n oluflturu u aç ya o ru aç enir ve ölçüsü 80 ir. 6 80, ve noktalar o rusal olu unan, [ ve [ z t fl nlar r. hâle aç s o ru aç r. Yani; m(é) = 80 ir. 6 6 Tan m : Kenarlar çak fl k olan aç ya s f r erecelik aç enir. [ = [ ise m(é) = 0 olur. 5

16 Tan m : [, noktas etraf na pozitif yöne 360 önürülerek [ ile çak flt r l rsa bir tam aç oluflur. m(é) = 360 olur ki o runun ikli i ki o ru, o ru parças veya fl n kesifltiklerine, ik aç oluflturursa bu o rular, o ru parçalar veya fl nlar iktir enir. 6 Saat 6 a akrep ile yelkovan n oluflturu u aç o ru aç r. 6 Saat e akrep ile yelkovan n oluflturu u aç s f r erecelik aç r. 6 krebi sabit bir saatin yelkovan n n bir tam önüflü tam aç oluflturur. k k [] [] [ [ [] Tümler ç lar Tan m : Ölçüleri toplam 90 olan iki aç ya tümler aç lar, bu aç laran her birine i erinin tümleyeni enir. Komflu Tümler ç lar Tan m : Hem komflu hem e tümler olan aç lara komflu tümler aç lar enir. β Sonuç :. ir aç ve tümleyeni aima ar aç lar r.. fl aç lar tümleyen aç lar a efltir. β m(é) + m(é) = + β = 90 ise é ve é tümler aç lar r. m(é) + m(é) = + β = 90 ve é é = [ olu unan ve aç lar komflu tümler aç lar r. Örnek : Tümler iki aç an birinin ölçüsü, i erinin ölçüsünün kat nan 5 fazla olu una göre bu aç lar n ölçülerini bulunuz. Çözüm: Küçük olan aç n n ölçüsü x ise i eri x + 5 olur. x + x + 5 = 90 3x = 75 x = 5 ir. üyük aç ise 90 x = 90 5 = 65 bulunur. 6

17 ütünler ç lar Tan m : Ölçüleri toplam 80 olan iki aç ya bütünler aç lar ve bu aç laran her birine i erinin bütünleyeni enir. β m(é) + m(é) = + β = 80 ise é ve é bütünler aç lar r. Sonuç : fl aç lar n bütünleyenleri e efltir. Komflu ütünler ç lar Tan m : Hem komflu hem e bütünler olan veya o rusal çift oluflturan iki aç ya komflu bütünler aç lar enir. ütünler aç lar efl ise her biri ik aç r, efl e illerse biri ar, i eri genifl aç r. Örnek : ütünler aç laran birinin ölçüsü, i erinin ölçüsünün 4 kat nan 0 eksik ise küçük aç n n ölçüsünü bulunuz. Çözüm: ütünler aç laran küçü ünün ölçüsü x ise i erinin ölçüsü 4x 0 olup ölçüleri toplam 80 olaca nan; x + 4x 0 = 80 5x = 00 x = 40 bulunur. Ters ç lar Tan m : Kenarlar z t fl nlar olan iki aç ya ters aç lar, bunlaran her birine e i erinin tersi enir. [ ile [ ve [ ile [ z t fl nlar oluklar nan é ile é ve é ile é ters aç lar r. Ters aç lar efltir. Örnek : Yanaki flekile; m(é) = 5 olu una göre m(é), m(é) ve m(é) kaç ereceir? 5 Çözüm : m(é) + m(é) = 80 m(é) + 5 = 80 m(é) = 55 ir. m(é) = m(é) = 5 m(é) = m(é) = 55 olur. 7

18 ç Ters, fl Ters ve Yönefl ç lar m ve n o rular ve k keseni verilsin. Yanaki flekile; éh ile Gé ve éh ile Gé iç ters aç lar, ég ile éh ve Gé ile Hé fl ters aç lar, éh ile ég ve éh ile ég karfl urumlu aç lar r. G H k Tan m : ir aç ile o aç n n iç tersinin veya fl tersinin tersi olan aç lara a yönefl aç lar enir. fiekile; ég ile ég ve Hé ile Hé yönefl aç lar r. n m ë ile ë ë ile ë ile ë3 4 ile ë ë ile ë4 ë3 ile ë3 ile ë4 ë3 ile ë ë ile ë3 ë4 ile ë4 Yönefl aç lar ç ters aç lar fl ters aç lar Karfl urumlu aç lar ksiyom : aralel iki o ru bir kesenle kesili ine meyana gelen yönefl aç lar efltir. k 3 4 // l ise m(ë) = m(ë), m(ë) = m(ë), 3 4 l m(ë3) = m(ë3) ve m(ë4) = m(ë4) olur. Teorem : aralel iki o ru bir kesenle kesili ine meyana gelen iç ters aç lar efltir. spat : // l olsun.. m(ë) = m(ë) (yönefl aç lar). m(ë) = m(ë3) (ters aç lar) 3. m(ë3) = m(ë) olur. ( ve. en) k l Teorem : aralel iki o ru bir kesenle kesili ine oluflan fl ters aç lar efltir. spat : // l olsun.. m(ë) = m(ë) (yönefl aç lar). m(ë) = m(ë3) (ters aç lar) 3. m(ë) = m(ë3) olur. ( ve. en) k l 8

19 Örnek : aralel iki o ru bir kesenle kesili ine oluflan karfl urumlu iki aç n n bütünler aç lar olu unu gösteriniz. Çözüm: Karfl urumlu aç laran biri, i erinin yöneflinin komflu bütünleriir. hâle verilen önerme o ruur. ( Niçin?) Sonuç : ki o ru bir kesenle kesili ine;. Yönefl aç lar efl ise o rular paralelir.. ç ters aç lar efl ise o rular paralelir. 3. fl ters aç lar efl ise o rular paralelir. Teorem : aralel iki o ruan birine ik olan o ru i erine e iktir. Hipotez : // l ve k ise Hüküm : k l olur. spat :. k olu unan m(ë) = 90. // l olu unan m(ë) = m(ë) (yönefl aç lar) 3. m(ë) = m(ë) = 90 ( ve. en) 4. k l olur. (3. en) k l Teorem : ir üzleme ayn o ruya ik olan iki o ru paralelir. Hipotez : k ve k l ise Hüküm : // l olur. (u teoremin ispat n a siz yap n z.) Teorem : ir o ruya fl naki bir noktaan bir tek paralel o ru çizilebilir. Hipotez : ise Hüküm : k ve // k olacak flekile en az bir k o rusu var r. (u teoremin ispat n a siz yap n z.) k KNRLRI RLL ÇILR Tan m : irinin kenarlar i erinin kenarlar na karfl l kl olarak paralel olan aç lara kenarlar paralel aç lar enir. H K L G N M Q R S T V [ // [ ve [ // [ [HG // [ML ve [HK // [MN [Q // [TV ve [QR // [TS ile aç lar kenarlar ayn yöne, GHK ile LMN aç lar kenarlar z t yöne, QR ile VTS aç lar kenarlar nan biri ayn, i eri z t yöne paralel aç lar r. 9

20 Teorem : Kenarlar paralel aç lar ya efltir ya a bütünlerir. a. Kenarlar ayn veya z t yöne paralel ise efltir. K L L Hipotez : [ // [ ve [ // [ ise Hüküm : é é olur. spat : fiekile [ n n uzant s [ n L noktas na kessin.. m(é) = m(él) ([ // [ olu unan L // [ olur ki yönefl aç lar). m(é) = m(él) ([L // [ olu unan yönefl aç lar) 3. m(é) = m(é) ( ve. en geçiflme özelli i) 4. é ù olur. (3. en) i er urumu ayn flekile ispatlayabiliriz. b. Kenarlar nan biri ayn yöne, i eri z t yöne paralel ise bütünlerir. Hipotez : [ // [ ve [ // [ ise Hüküm : m(é) + m(é) = 80 ir. spat : [ fl n n z t yöne uzatal m.. m(é) = m(él) (kenarlar ayn yöne paralel aç lar). m(él) + m(é) = 80 (komflu bütünler aç lar) 3. m(é) + m(é) = 80 (. ve. en) K L Örnek : Yanaki flekile; [ // [, [ // [ m(ë) = 65 ve m(ë) = x + 5 ise x kaç ereceir? x+5 Çözüm : m(ë) = m(ë) = 65 (kenarlar z t yöne paralel aç lar) m(ë) = x + 5 = 65 x = 30 olur. 65 Örnek : Yanaki flekile; [ // [, [ // [ m(é) = 3x + ve m(é) = 5x + 9 ise 5x+9 m(é) kaç ereceir? Çözüm : m(ë) + m(ë) = 80 (kenarlar paralel aç lar) 3x+ 3x + + 5x + 9 = 80 x = 0 ve m(é) = 09 ir. 0

21 KNRLRI K ÇILR Tan m : Karfl l kl ikifler kenar a ik olan aç lara kenarlar ik aç lar enir. M K L L K [ [ ve [ [ ç laran birinin köflesi i erinin fl bölgesine é ve é kenarlar ik aç lar [ [ ve [ [ ç laran birinin köflesi i erinin iç bölgesine é ve é kenarlar ik aç lar Teorem : Kenarlar ik aç lar ya efltir ya a bütünlerir. a. ç laran birinin köflesi i erinin fl bölgesine ise bu aç lar efltir. N Hipotez: [ [ ve [ [ ise K L M T Hüküm : é é ir. spat : [ // [T ve [ // [N çizelim.. m(é) = m(tén) =. [T [ 3. m(tén) = m(é) 4. m(é) = m(é) 5. é é olur. b. ç laran birinin köflesi i erinin içine ise bu aç lar bütünlerir. L K N T Hipotez: [ [ ve [ [ ise Hüküm : m(é) + m(é) = 80 ir. spat : [ // [T ve [ // [N çizelim.. m(é) = m(tén) =. m(ék) = m(két) = m(él) = m(én) = m(é) + m(nét) + m(két) + m(én) = m(é) + m(nét) = m(é) + m(é) = 80 olur.

22 Örnek : Yanaki flekile; [ [, [ [ m(ë) = 3a + ve m(ë) = 5a + 8 olu una göre m(ë) kaç ereceir? Çözüm : m(ë) + m(ë) = 80 3a + + 5a + 8 = 80 5a + 8 3a + 8a + 0 = 80 a = 0 ir. uraan m(ë) = 3a + = = 7 ir. R ÇININ ÇIRTYI Tan m : Komflu iki aç n n aç ölçüleri eflit ise ortak fl na, ortak olmayan fl nlar n oluflturu u aç n n aç ortay enir. m(é) = m(é) = olu unan [, é n n aç ortay r. Sonuç : Köfle fl na aç ortay üzerine al nan her nokta aç n n iç bölgesineir ve aç n n kenarlar nan eflit uzakl kta r. unan olay, bir aç n n kenarlar nan eflit uzakl kta bulunan noktalar n kümesi (geometrik yeri) bu aç n n aç ortay r. fl n é n n aç ortay, [, [] [ ve [] [ ise = olur. Veya [ ve [] [, [] [ ve = ise noktas é n n aç ortay üzerineir. Teorem : Komflu bütünler iki aç n n aç ortaylar birbirine iktir. Hipotez : ve aç lar komflu bütünler ve aç ortaylar s ras yla [ ve [ fl nlar olsun. β β Hüküm : [ [ ir. spat :. m(é) = m(é) = m(é) =. m(é) = m(é) = m(é) = β 3. m(é) + m(é) = 80 (Komflu bütünler aç lar) 4. m(é) + m(é) = + β = 90 (3. en) 5. m(é) = m(é) + m(é) = + β 6. m(é) = + β = 90 (4 ve 5. en) 7. [ [ bulunur. (6. an)

23 VR LN R ÇININ ÇIRTYINI Ç ZM. ir aç s verilsin.. merkezli herhangi bir çember yay çizelim. u yay aç n n kollar n ve noktalar na kessin. 3. ve merkezli eflit yar çapl iki çember yay çizelim. u yaylar bir noktas na kesiflsin. 4. ç n n köflesi olan noktas ile noktas aç s n n aç ortay üzerine olaca nan [ fl n verilen aç n n aç ortay olur. VR LN R ÇIY fi R ÇI Ç ZM. ir aç s verilsin. ir [ n çizelim.. ergelimizin sivri ucunu noktas na koyarak bir yay çizelim. u yay n aç s n n kollar n kesti i noktalar ve olsun. 3. ergelimizin aç kl n bozmaan sivri ucunu bu efa noktas na koyarak bir yay çizelim. u yay n [ n kesti i nokta olsun. 4. ergelimizi kaar aç p sivri ucunu noktas na koyal m ve bir yay çizelim. Çizilen yaylar n kesim noktas olsun. 5. [ n çizelim. aç s verilen aç s na efl bir aç olur. Niçin? Örnek : Yanaki flekile; [, aç s n n ve [, aç s n n aç ortay r. a b b m(é) = 00 olu una göre m(é) nü bulunuz. Çözüm :. m(é) = m(é) = a ([ aç ortay). m(é) = m(é) = b ([ aç ortay) 3. m(é) = m(é) m(é) (aç ölçülerini toplama aksiyomunan) = a b a b = 50 (3. en) 5. m(é) = m(é) m(é) (aç ölçülerini toplama aksiyomunan) 6. m(é) = a b = 50 bulunur. 3

24 UYGULMLR Örnek : Yanaki flekile; [, aç s n n aç ortay [K] [, [H] [ H = 3x cm, K = 4 cm ise x in e eri kaçt r? K 4 3x Çözüm : K = H ( noktas aç ortay üzerine olu unan) 3x = 4 x= 5 cm bulunur. H Örnek : Yanaki flekile;, ve noktalar o rusal r; m(é) = 50, m(é) = m(é) = ve m(é) = m(é) = θ olu una göre m(é) nü bulunuz. Çözüm : fiekilen; m(é) + m(é) + m(é) = 80 θ = 80 + θ = 65 olur. θ θ 50 m(é) + m(é) + m(é) = θ m(é) = = 5 bulunur. Örnek : Yanaki flekile; [ // [ ve [ ile [, s ras yla ile aç lar n n aç ortaylar olu una göre m(é) = 90 olu unu gösteriniz. Çözüm : noktas nan geçen ve [ na paralel olan o rusunu çizelim.. m(é) + m(é) = 80 (karfl urumlu aç lar). m(é) = m(é) = ([ aç ortay) 3. m(é) = m(é) = θ ([ aç ortay) 4. [m(é) + m(é)] = + θ = 90 (3. en) 5. m(é) = m(é) = (iç ters aç lar) 6. m(é) = m(é) = θ (iç ters aç lar) θ θ 7. m(é) + m(é) = θ + = 90 (4, 5 ve 6. an) 8. m(é) = 90 bulunur. 4

25 LIfiTIRMLR. Yanaki flekile verilenlere göre, afla aki ifaelerin sonuçlar n bulunuz. a. éhg é b. [ é c. é éhg. [G [ H G. = aç s ve β = aç lar veriliyor. fla aki ifaeleri hesaplay n z. a. + β b. β c. + 3β. β 7 3. Tümler iki aç n n ölçüleri oran ir. u aç lar n ölçülerini bulunuz ütünler iki aç an birinin ölçüsü, i erinin ölçüsünün 6 kat nan büyüktür. u aç lar n ölçülerini bulunuz. 5. = aç s n n; a. tümleyenini b. bütünleyenini bulunuz. 6. Yanaki flekile;, ve noktalar o rusal r. m(é) = 3x + 7, m(é) = x + 8 olu una göre, aç s n n ölçüsünü bulunuz. 7. Yanaki flekile; [ // [, [ // m(é) = 3n ve m(é) = n + 5 olu una göre, m(é) kaç ereceir? 8. Yanaki flekile; // k ise x + y + z = 360 olu unu gösteriniz. 3n y x z 3x + 7 x + 8 n + 5 k 9. Yanaki flekile; [ // [, [ // [, m(é) = 5x 35 ve m(é) = 3x + 5 olu una göre, x in e erini bulunuz. 3x + 5 K 5x Yanaki flekile; [LK [, [LM [ m(kélm) = a 0, m(é) = 3b + 5 ve a + b = 50 olu una göre, a b fark n bulunuz. K L M. Yanaki flekile; [ [, 3x m(é) = 3x, m(é) = x ve m(é) = 5x olu una göre x kaçt r? x 5x 5

26 . Yanaki flekile; [ // [ m(ë) = x, m(ë) = y ve m(ë) = z ise x = y + z olu unu gösteriniz. y x z 3. Yanaki flekile; [ aç ortay, [ [H] [ ve [L [ r. H = y + 4 cm, L = x + cm ve x + y = 3 cm olu una göre x.y çarp m kaçt r? L H 4. Yanaki flekile;, ve noktalar o rusal r. [ [, [, aç s n n ve [, aç s n n aç ortaylar r. m(é) = 40 ise m(é) m(é) fark kaç ereceir? Yanaki flekile; [ // [, m(é) = m(é) = m(é) = m(é) = ve m(é) = 75 olu una göre m(é) kaç ereceir? Yanaki flekile; [ // [, m(é) =.m(é) =.m(é) m(é) = 80 olu una göre 80 m(é) kaç ereceir? 7. Yanaki flekile verilenlere göre x kaç ereceir? 7 x 50 6

27 TST. Tümler iki aç n n ölçüleri fark 8 ise küçük aç n n ölçüsü kaç ereceir? ) 3 ) 34 ) 36 ) 38 ) 40. ütünler iki aç an birinin ölçüsü ir. i er aç n n ölçüsü afla akileren hangisiir? ) ) ) ) ) Yanaki flekile;, ve noktalar o rusal, m(é) = a, m(é) = m(é) = b ve 30 < a < 40 ise, b için afla akileren hangisi o ruur? ) 60 < b < 65 ) 65 < b < 70 ) 60 < b < 70 ) 70 < b < 75 ) 75 < b < Yanaki flekile;, ve noktalar o rusal, [, aç s n n ve [, aç s n n aç ortaylar r. m(é) = 68 ise m(é) = x kaç ereceir? b a b x ) 40 ) 4 ) 44 ) 46 ) 48 y y 5. Yanaki flekile; [ // [, m(ë) = 0, m(é) = m(é) = y ve m(é) = x olu una göre, x kaç ereceir? ) 35 ) 45 ) 50 ) 55 ) 60 x 0 5n 6. Yanaki flekile; [ // [ ve m(ë) = 5n, m(ë) = 3n ve m(ë) = n ise, aç s n n ölçüsü kaç ereceir? ) 50 ) 45 ) 40 ) 35 ) 30 n 3n 7. Yanaki flekile; [ // [, m(ké) = 36, m(ké) = 5b, m(é) = 3b + 40 olu una göre a kaç ereceir? ) 64 ) 70 ) 74 ) 78 ) 8 5b 36 K 3b + 40 a 7

28 8. Yanaki flekile; m(é) = m(é) = m(é), m(ë) = x, m(é) = 80 ve m(é) = 0 olu una göre x kaç ereceir? x ) 45 ) 50 ) 55 ) 60 ) Yanaki flekile; [ // [, m(é) = 0, m(é) = 45 ve m(é) = 65 ise m(é) = x kaç ereceir? ) 35 ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 x 0. Yanaki flekile; [ // [, m(é) = 0 ve m(é) = 00 ise m(é) = x kaç ereceir? ) 0 ) 5 ) 30 ) 35 ) 40 0 x 00. Yanaki flekile; [ // [, a m(é) = 60 ve m(é) = 50 ise m(é) = a kaç ereceir? ) 00 ) 0 ) 5 ) 0 ) Yanaki flekile; [ // [, m(é) = m(é) m(é) = m(é) ve m(é) = 00 olu una göre m(é) = a kaç ereceir? 00 a ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 ) Yanaki flekile; [ // [, [KL [], 5 [KN [], m(é) = 5 ve m(é) = 35 olu una göre m(lékn) kaç ereceir? K L ) 95 ) 00 ) 05 ) 0 ) 5 35 N