Î ı \arar Teorisi:.,.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Î ı \arar Teorisi:.,."

Transkript

1 B Ö L Ü M I I I ' K A R A R,AR T E O R İS İ: Karar teorisinin (Decişion Theory) bu kısımda, kısa olarak ana-hatlarıyla belirtilmesine çalışılacaktır». Î ı \arar Teorisi:.,. Karar teorisinin kısa olarak anlatımına: Auguste-...Detoeuf ün bir.'cümlesiyle başlayacağız "Dünyadaki kesin-olan tek şey geçmiştir; fakat üzerinde-.çalışmak zorunda olduğumuz herşey g e l e c e k t i r *.. - Karar'teorisi, bir matematiksel yaklaşım olduğu kadar-belli teknikleri kapsayan bir yığındır. Belli bilgi ve tekniklerden yararlanarak geleceğe ilişki o belirli bilinmezlikler altında en sıhhatli yada-eniyi (optimal) karar, verine.ile slgilî sorunlarla uğraşır. Bu nedenle, risk ve belirsizlikler dünyasında yöneticiye:'"yanî Jcar'ar Vericiye"-rehberlik- yapar. Yol göstericiliği; problemin.yapısınrortaya koy-mayı,-;beîirsizlikier ve.olasılı sonuçların' değerlendirilmesini' ve en uygun stratejiyi içerir. Böyiece, seçenekler..arasından "en iyisini ortaya çıkarır.' Buna karşın seçilesi en iyi.davranış biçiminin, uygulamada-en iyi olacağs'gibi'kesîrtbir garantisi.yoktur (Kaynak, 1979). ' ',. '' ' ' ' ' ; ; - -Herhangi bir konuda "karar kelimesinin kullanımı olasılı, iki ya da-daha fazla davranış...biçimi, arasından birinin seçimidir; Eğer.tek davranış biçimi varsa, seçim yoktur. Karar a Inia işlemi sözkonusu olamaz. '.; Karar Almanın Yapısı:.. '. - ' ' Karar airna (veya verme) bir amaca ulaşabilmek için var o lan olanak ve koşullara göre olağan olabilecek çeşitli, hareket 'biçimlerinden en -uyguiı.olanını seçmek» tir. " - ',. '... ' * -.. Genel olarak bir karar.'probleminin yapısını.oluşturan öğeler şunlardır (Hamburg, 1970):. -.. : ' ' ' " ; - - Karar verici (karar afıcıjr SoruiTsfuiuğu taşıyan kîşl veya tüzel kişidir..', Strateji biçimlen: Karar alınacak iki veya daha'faz la strateji vardır. Seçilen strateji, ulaşılmak istenilen amacı/en iyi yerine getirebilecek olandır..

2 Olay kır (veya koşul - ıaca-ulaşmayı etkileyen ol' 7 Karar vericinin kontrolü dışında olup, hangi o lay ir? gerçekleşeceği ke k -bilinmez. Gelecekte yalnız bir olay gerçekleşir. Sonuçlar: Herhangi bir stratejinin veya belli bir-o fayın meydana getirdiği sonuçlardır..' '. -öd en ti Tablosu veya ödenti Matrisi (Payoff matrix): Ödentileri gösteren tablo, ya da seçilen -stratejilerle gerçekleşen olayların sonuçlarını gösteren tablodur* ; ;.. ' ' ' ' ' -. Bir ödenti tablosu aşağıda gösterildiği gibidir Ö denti T ablo su,. Koşullar, (olaylar) Stratejiler. N ı -. N2... Nn S ı X i ı '." ' '. S2- ' " X 2 2.;... X2n S m; ' Xrtii ' / Xni2...i.i.v.. -Xnin '.'ödenti tablosunu oluşturan elemanlar şunlardır:..... S ı $2, Sm stratejileri- gösterir. Her bir strateji ve: olaydan meydana gelen kombinasyonlar Xij notasyonu.ile- gösterilmiştir (i = kul lamları strateji; j = olayı.ifade eder).-örneğin; S ı stratejisinin seçiminden ve N ı olayının meydana gelme».sinden, sağlanan sonuç yani,net-ödenti X ı ı oiaraik-belirtilmiştir. Benzer biçimde; S2 stratejinin seçilmesi ve N ı olayının oluşu X aı net ödentisini verir. ' Karar alinırken#;izlenen aşamalar genel olarak-şöyledir; Karar vericinin amaç ve hedefleri saptanır. Stratejilerle ilgili bilgiler sağlanır. Bunlar, geçmiş deneyler, yayımlanan istatistikler ve diğer bilgiler veya karar vericinin bizzat kendisinin yaptığı araştırmalardır.

3 Karar almak için hazırlanan verilerden iki türlüyararlanılır: ızırlanan verliere dayanarak her bir strateji İle karşılaşılabilecek sonuçlar ve bunların gerçekleşme olasılıklarının saptanması. r sonuca verilecek değerlerin {parasal ya da fayda-veya diğer birim değerler) oiuşturulması-(bro$s, 1965). - " ;. Kararla ilgili her durum ve stratejinin ne -sonuç vereceğini gösterir bir planın hazırlanması* Böylece her bir sonucun karşılaştırmalı değerlendirilmesi yapılır ve hangi sonuç ya^da sonuçların kabul edilebileceği saptanır» -En son,; karar alıcı seçtiği karar alma yönteminin aksak yönlerinin bilincinde olmalıdır... :. Karar alma teorisinin uygulandığı bâzı yerler'aşağıda verilmiştir (Moore, 1976). '.. ' '.a-- Yeni bir ürünün piyasaya sürümü, b- Petrol bul ma -araştırmaları,''. - '. c -'Fabrika; modernizasyonu, d -Kalite -kontrolü araştırmaları, ' ' e -Kalkınma -Araştırma çalışmalarıyla ilgili hükümet yatırımları, f - Turizm. : ' ' : ;;,. : '.' 3.2, Karar Ölçütleri. (Kıstasları):. Genel olarak, en uygun stratejiyi' veren "'ölçütün, seçimi pek kolay değildir. Çünkü, stratejinin seçiminde kullanılan ve eniyi sonucu veren tek bir ölçüt yoktur.. Bunun nedeni^ enîyîoin, karar vericinin, politikası, -gelenek" ve davranışıyla yakından ılgılı<>lmaklaberaber, çevre'koşull^ıriın da etkisi-altında oimasıdın- İşletmenin karşılaştığı problem, 'karar alma'sürecinin aşamalarını İzlemekle çözümlenecekse ilk olarak; ' ' - -. Var oîan.problemler ile,. ; Çok sayıda çözüm yolları geliştirmek amacıyla stratejiler saptanır? Stratejiler arasından en uygun olanını seçmek amacıyla belirli bir ölçüt uygulanır.

4 . Stratejiler arasından en uygun olanını seçerken değişik nitelikte karar ölçütlerini uygulayabiliriz*. '. - ; Bu ölçütleri. " ' ' Belirlilik ortamında karar verme, ~~ Risk altında karar verme». ' ; Belirsizlik artamında karar vermedir.. -32A* Belirlfik Ortamında Karar Verme ve Karar Ölçütleri:_. Belirlilik ortamında karar vermede, stratejilerin hangi koşullar altında gerçekleşeceğî kesin olarak bilinmektedir. Bu tip bîr karar alma problemi determinist tik bîr.yapıya sahiptir (Coyle, 1972).: Deierministik yapıya sahip karar alma problemlerine örnek..olarak doğrusal programlama verilebilir' (Thierauf, Klekamp, 19 75)... '. ; ' Bu ortamda, amaç fonksiyonunun enbüyükleme j(maksimizâsyon) ve., enkilçükleme (minimizasyon) olduğu gozönıine alınarak,, stratejilerden bîri seçilir. örnek (3,1): Tek koşul, varsayımı altında bir karar matris(nin-;şoyle olduğunu varsayalım. '. "" ; ' ' " / Stratejiler 'Koşullar (Mi). Sı :.. ; ' - ' ' 2000'' 4000,,. '. Amaç fonksiyonu kâr enbüyüklemesi (maksimizasyonu) İse:,. ' "..-. Yönetici S stratejisini seçere ' '.. Amaiç fonksiyonu enküçükleme (minimizasyon) ise:... ^ ' Yönetici S 3 -stratejisini seçer.. " Msk Örtaîiımda-Karar Verme ve Karâr Ölçütleri: Risk ortamında karar vermede alınacak belirli bîr karara ilişkin değişik sayı- da koşullar sözkonusudur. Her stratejinin her koşul altında elde edilebileceği sonuçlar belirli bir olasılık çerçevesinde oluşur. Diğer bir ifadeyle, bu gibi durumlar

5 da stratejilerin ne gibi sonuçlar doğuracağı önceden1bilinmez. Sonuçların gerçek İeşmesî b'elirli olasılıklara dayanmaktadır. Olasılıklar göz önünde tutularak yapılan strateji seçimine risk ortamında karar verme denilir. karar alma problemlerine aynı, zamanda Stokastik;.Karar Problem leri denir i, 1972). istatistiksel karar alma teorisi, s.tokastîk karar problemleriyle uğ- Bir-örnekle açıklamaya çalışalım/ :..... _. Koşullar. Stratejiler. ' Nı Nz '.. -Ns.. Na- Sı $2 S :. 14 ' ' ' 13 15' - ' 17 ; 13 _ 19 21,. :.'16 V. : Olasılıklar. ' ' y,0.1 0 ' ; ' \0.20r". 0,50 ' 0.20 Örneğimizdeki karar, matrisindeki verileri gözönüne: alarak, her stratejiye Hiş-. kin beklenen parasal değerleri hesaplayabiliriz. - ' ' S ı : 16(0.10) +'18(0.20) + 14(0.50 j + T3(Ö.'20) ='İ4.8. S2 :15(0.10) +"17(0.20) + 13(0.50) + 19(0.20)'= S3 : 21(0.10) + 16(0.20) + 13(0.50) +-12(0.20).= ^.. Beklenen en yüksek-parasal'değer, S2 stratejisini seçmek koşuluyla elde edilir ; BeÛrşi'zlik';Ortamında Karar Verme ve K arar'ö lçü tleri:?. Yöneticiler genellikle belirsizlik ortamında karar verirler. Yöneticiler belirsizliği ortadan kaldırmak için; ya kişisel yargıfarıyla karar verirler veya karar matrisi yardımıyla bir takım karar ölçüleri saptar ve kararlarını buna göre verirler. Belirsizlik ortamında-karar vermede çok sayıda karar ölçütleri geliştirilmiş4- tir. Bu ölçütlerin en önemlilerini ele alacağız. - ;.. / 3.2;3..1';.;Laplâ'ce.ölçütü:. Doğa koşullarının olasılık dağılımına ilişkin hiçbir bilgi sahibi olunmadığı durumlarda Laplace ölçütü kullanılır. Lapîace ölçütünde, koşullara ilişkin olasılıkların eşit olduğu varsayılın

6 Laplaçe ölçütünde, her satırın aritmetik ortalaması hesaplanır ve hesaplanan ortalamalar arasından enbiiyük ortalama değer seçilir. Laplace ölçütünü bir örnekle açıklayalım: N l N2 Na N ; : = " S, 13 18,5 K = - : S, =., S = =14.5. :.. 4 : -.. ;., A. ; Örneğimizdeki tarâr matrisine göre eh. u yg ^ V, İ, Minimaks* (EtıkEnb) Ö lçü tü:. Karamsar karakterli bıv yöneticinin kııiianawieceği\bir.öiçüttilr. : ; ',. fvlimmaks ölçütünde, karar /matrisinin; her satirinin (yanı. her stratejinin) enküçüğü bulunur ve bu enküçük değerler arasından da^enbuyuk değer seçilir. :' ' ; Bir önceki problemi ele alalım:.. :.... ' Her Satırın- -..,. " Nı N2 ' Ns fsi4 enküçüğü, S ı ;' 14 ' ' " / : S 2 'ıs. '18 ıs ' 1, Ss 16'; 17. M ;.14- ' -.14 Enb.' - - V :- S ;14'..17 ; örneğimizde; her satırm enküçükleri arasında enbüyük değer 14 olduğundan yönetici Sı ve Ss stratejilerini seçer. -

7 3,2.33. Maksimaks* (EnbEnb) Ölçü tü: İyimser karakterli bir yöneticinin kullanacağı bîr ölçüttür. Burada her bîr strateji için olası"en-iyi durumlar saptanır* Maksimaks ölçütünde, karar verici, her stratejinin enbiyik "değerleri arasından gene enböyük değeri seçer. Dikkat edilirse, maksimaks ölçütü,, her. bir strateji için eniyl durumları gözöoüne alır, diğer durumlara karşı ilgisizdir,. ' Bir önceki örneği ele.alacak olursak:.... Her Satırın.. \ N ı N2 -Ns N4 ' Enbüyüğü ' Şı ] 9 52 ' , ' v. ' ' ' _ '17 : : 1.7 " ^ '. Örneğimizde bulunan her satırın enbüyüğü arasından seçilen enböyük 'değer 19 ve buna ilişkin strateji Sı olduğundan, yönetici Sı stratejisini seçer. 3« Miııiıııâks-Pişmanlık ',. _ ''(Minimaks Regret). Ölçütü. ' ;. -. ' Eğer,.gelecekte ne olacağı daha önceden bilinseydi, vermiş olduğumuz kar rardan dolayı pişmanlık'derecemizi ölçebilirdik. ' ' ' 'Minimaks pişmanlık karar ölçütü, bu hususu gözönünde bulundurur.' -.,. Pişmanlık tablosunu meydana getirmek için şu yöntem.kullâriıhr:. ; Karar matrisinin her sütununun enbüyük değeri, bulunduğu sütundaki her elemandan çıkarılır ve sonra her satırın enküçüğü bulunur ve bu enküçüklerden enbüyüğü seçilir Bu işlemleri bir önceki'.örnek üzerinde yapalım:... Karar Matrisi: ' /. * Minimaks = EnkCiçüklerin Enbüyüğü (EnkEnb) ir«k/î.,ümı». cr^ u,ut*,er-uv

8 Nı 'i - N4 Sı Sa S S Pişmanlık Matrisi: Nı N2 m ' N4 S ı, O -. ' ' S2 O' -3-5 '....Sa O ' ' 5*'. '. : ' V S4-4 ^3 -,-4, 2 ' " '. Her satırın enküçüğii seçilir ve bunlardan da enbüyük.'değer seçilir:- - Sı S2. ' S"3 ; S'4. Enkiiçük Pişmanlık 4 5 " 5 4" Bu sonuca göre yönetici Si ile S# stratejilerinden birisini seçmelidir» Sağlam bir karara. Örnek: Laplaceölçiitiifie göre:, N ı N2 N3 N4 $ S S3 ' S'4 3 2 o 1, -, ;: ; Aritmetik... ' Ortalama S ı \ 1, Ss 1.5 ;,S4. ; 1.5

9 Minimales ölçütlere göre: S ı '. O 52 1 Her Satırın Eriküçüğü Sa- ' S 4'.". ; O Maksi maks ölçütü:.,, 'Her Satırın.... Enbüyüğü ' ^ S ı ' '.. ; / 3 Sa 3 V S4 T. '' - ; ; 3 Minımaks Pişmanlık Karar Ölçütü:. ^ ' Pişman!ık matrisi Nı N2 " ^Ns N4. - Enküçiik S ı - - ' ' " -3. S2.0' -1-1 ' 0. -1' ' Sa.. 2. O O 4. '. --4 ' '. ' ' S4,, O. ~2- -3, 3^ ;,'3.3. Oyunlar -Teorisi: ^ ^ '... xoyunlar teorisi, ilk.olarak 1921 de Fransız metamatikçisi Emil Borel tarafından ortaya atılmıştır. Ancak, söz, konusu tekniğin temel -ilkelerini-ayrıntıları ile ele alarak uygulama alanına getirme onuru John Von Neumann a aittir. Oyunlar.teorisi, karar.teorisinin bîr değişik türü olarak kabiıl. edilebilir.ıoyun- ar teorisinin karar matrisinde koşullar yerine rakip firmanın stratejileri yerleştirilmiştir. / ' / ' : \.

10 Oyunlar teorisini/ ekonomik faaliyetlere ilişkin eniyi kararın verilebilmesi îçin geliştirilmiş matematiksel bîr yaklaşım olarak ifade edebiliriz, Bu faaliyetler»,. de, birden fazla karar verici, kendi kazançlarını enîyî duruma getirecek biçimde karar vermek zorundadırlar., B.ir probleme oyunlar teorisi tekniğinin uygulanabilmesi için, o problemin aşağıdaki altı koşulu içermesi gerekir (Houlden, 1962). * ' Oyuna katılanlâr (oyuncular veya firmalar) sonlu sayıdadır» ~r Oyuna katılan firmaların kullanabileceği strateji sayılan da sonludur. : -Her oyuncu-(veya firma) kendisi ve rakibi için, mümkün strateji!eriri neler'. olduğunu bilmekle beraber, rakibinin hangi, stratejiyi uygulayacağını bilmemektedir.. \ ' '.; ",. ~ 'Oyuncular (yani firmalar) hangi stratejiyi 'seçerlerse seçsinler her birinin ' kâr-veyâ zararı sınırlıdır.- ' ' / Oyuncuların kazançları (veya zararları)'kendi verecekleri karar.kadar'rakip-.' ferinin kullanacağı stratejiye bağlıdır. ' -, ' ' İşte bütün bu koşulların gerçekleştiği duruma/oyun denilir - /. / ' Oyunların Sınıflandırılması: Bütün m uh-temel'davranışlar hesap edilebilir, nitelikte olmalıdır/ Oyunlar teorisinde, oyunlar aşağıdaki özelliklerine göre sınıflandırılırlar;(dra: per, 1972).. V '. 'V - ' ' v' ' 1. Bir oyun birden fazla oyuncu (firma) tarafından oynanabilir«oyundaki ; oyuncu sayısına göre oyunlar 2 kişilik,3 kişilik, n kişilik oyunlar, olmak üzere sınıflandırılırlar* : ' ^ ;.2 Bir oyunun sonunda, rakip (firma.) taraflardan kazananların toplanı kân, kaybedenler iri toplam zararına' eşitse bu tür oyunlara, "sıfır iopfam/ı".oyunlar, tersi durumun söz konusu olduğu oyunlara da. "sıfır toplamlı olmayanmf oyunlar de- : nir. Dolayısıyla oyun sonucuna göre de oyunlar iki sınıfa ayrılırlar. 3 Bir oyunda-bulunaj^hecek-üçüncü'özellik de-oyuncuların stratejilerinin sonlu ya da sonsuz sayıda olup olmadığıdır. Buna göre de oyunlar iki sınıfa ayrı*?.. Iırlar.. " '

11 Biz sadece sonlu stratejili - iki kişilik -sıfır toplamlı'oyun türü üzerinde-duracağız ,1, İk i K işilik Cıcır Toplar alan.ikî kişilik sıfır toplamlı oyunlarda oyuncuların-ve rakiplerin net kazanç toplamı sıfırdır, Yani^oyununsonunda birinin kaybı diğerinin kazancına eşittir* Oyuna katılan.her iki tarafın akıllıca.hareket edeceği' ve kazancını erıçok yap- /mağa veya oyunun kuruluşu nedeniyle, kâr etmesi.olanaksızsa*.kaybsnı enaz yapmağa çalışacağı varsayılır.. '.....Oyuna katılan her bir.tarafa oyuncu denir Her iki oyuncunun doğru stratejiler kullanmak'koşuluyla oyunun; birçokkereler tekrarlandığını farzedersek* bunun sonucu olarak; oyunun.kuralı gereğin-' ce taraflar birbirine bir miktar para v«b.' şeyler ödemesi gerekir. Beher oyun başı- na düşen miktara't)yun değeri denir. - ~. - -Çözümden -sonra^ eğer oyuncunun tek bir stratejiyi kullandığı, saptanırsabuna'"salt Strateji denir... J '.... ; / Bazen en doğru karar, belli bir stratejiyi değil,de h a stratejilerin karışımını kullanmayı gerektirirse bu tür stratejilere Karma 'Strateji denilir...^ ~ Her-oyündan sonra oyuncunun-, biri diğerine önceden o stratejiler için katartaştırılmış bir miktar öder. Bu ödenecek miktarları toplu olarak gösteren matrise "Oyun Matrisi"'ye ya Oy unun Kazanç Matrisin denir. '..... Oyun matrisî..kare veya dikdörtgen matrisi biçiminde olup,,oyuna, katılan oyunculardan birirun. adı oyun matrisinin sol -tarafına,- diğeri de- üst tarafa yazılır. Bu tür bir oyun matrisine aksi belirtilmedikçe "A.oy uncusunun kazanç mat- denilir.. Buna göre," oyun matrisi içinde pozitif değerler A oyuncusunun n ı kazancını, negatif değerler.ise A oyuncusunun kaybını gösterin... " :v , B ir Oyup.M atrisinin (Kazanç M atrisix)in);kühılaşu:.'-; Oyuna katılan oyunculara veya firmalara A ve B.adını verelim. ' - A oyuncusunun m tane;. B oyuncusunun n tane stratejisi olduğunu varsayalım.

12 Bu iki oyuncunun veya diğer bîr ifadeyle A oyuncusunun oyun matrisi şöyle olur:,. B oyuncusu,. ' ' Strateji ' n 1 a ıı a 12 '' aö aj 2 a21 a^2' a 23 : ' -*2 ; A- oyuncum 3 ; a31. a 32 a33 ; - - İ3 : '.m; '..: amı. arm...a-m3 amn.burada; mxn...tane; mümkün oynama biçiminin'herbiri., için A#nın oyunun her adımında elde edeceği kâr veya uğrayacağı zarar miktarları yer almaktadır» Diğer bîr-deyişfe A'nın kazanç matrisindeki, âjj'değerleri^ Â fn cî stratejiyi uyguladığında B'nin jfncl stratejiyi uygulaması,.durumunda elde edeceği kazanç..miktarlarıdır.- Negatif aj^zarar-- miktarı olacaktır*.. ' ' ":.. '/ ' Daha iyi açıklayabilmek için pyununkazanç.mâtrisinf 3x4 lök alalım, (m 3 ve n ='4)- './ ' v ; ' ' >. v " :..'Boyuncusu Strateji I ' H ııı - -İV '.. A Oyuncusu t - ;. âıı ' a l2. a,g' a# II ' an a a a 23- : itaısı a32 ^33 a# Oyunun matrisi, A oyuncusuna göre3x4lük bir kazanç matrisidir.

13 Bîr oynayışta:, uncusu Itneî,. 'Boyuncusu da IV. ncü ; ' ' stratejileri seçerlerse:". '.. ' B oyuncusu, A-oyuncusuna a^ kadar ö< Eğer# a21 ' işaretli ise aslında ödeyecek' olan  oyuncusu kazanacak olan da B oyurv - /. Buna göre; B. oyuncusunun  oyuncusuna ödeyeceği miktarları gösteren bir oyun matrisi veri imiş iken* A oyuncusunun B oyuncusuna ödeyeceği miktarı gös- ' teren oyun' matrisini elde etmek için verilen oyun, matrisinin elemanlarının işare-.- tini değişi irmek yeterl'idlr... '. ö r n ek (3,2): Bir oyunda.bizim için 'muhtemel stratejiler (A,. B, C) rakibimiz için X, Y, Z olduğunu Varsayardaki kullanacağımız stratejiye göre bizim uğrayacağımız kâr veya zararlar aşağıdaki oyun matrisinde gösterildiği gibi olsun..- R akibin Stratejileri X Y ' - ^Z - - Bizim Stratejim iz. A 2. I_j- ; -2.B - ^' i- 7 o -, T ' C ' Oyun'-matrisi hakkında daha iyi fikir edinebilmemiz için, matrisi; oluşturan elemanların' anlamlarını açıklayalım:. /. Eğer,- biz birinci (A) stratejimizi;kullanırken rakibimiz de (X) stratejisini kul- ; lanırsa,. biz- 2 bîrim kazanç! i -olacağız dernektir»-, ' : Eğer, biz (C) stratejisini kullanırken'rakibimiz (Y ).stratejisini kullanırsa sû-. 'nuçtabiz-îmrim kaybederiz/- -. '. ' O halde, her bîr strateji için kazancımızı veya kaybımızı oyun matrisindeki rakamların işaretine göre söyleyebiliriz.

14 örnek (3,3): Oyunlar teorisinin temel karakteristiklerini gösterebilmek için tek mi, çift mî oyununu -ele alalım, ' uncusu iîe B oyuncusu iki bîiya île bu oyunu oynasınlar.- B oyuncusu bîr veya iki bilya'yı avucunda saklar, A oyuncusu da tek veya çift dîye tahminde bulunur.- : ^ ', a ^vuncı s S c /uncusunun avucundaki bilyayı bilirse 1 birim'para alır. Bilemezse 1 bîrim para öder. : t : _. Oyunun kazanç matrisini A oyuncusu İçin kurunuz. \ ' Çözüm: - - Oyuna.katılan'oyuncuların (A ve B nîn) ikişer stratejisi vardffv Bu ya tek veya ç îftdemektir, / ' ' v.... : Oyunun kazanç matrisi A oyuncusu için:-. ' " B oyuncusunun stratejileri " - Tek Çift 'A oyuncusunun Stratejileri. T ek - ', 1 ' ' -1 Çift... - ; _ ı ' ;. ; i.' örnek (3,4);.'(Karavelioğlu, 1976) -. Düşman kuvvetlerinin 3 nakliye ve î avcı uçağı bulunmakta ve iki ayrı,adâ-; dan- ikmal sağlamaktadır. Günde bîr kez, nakliye' uçaklarının Ikisî bîr arada ve ' diğeri tek. başına uçuş yapabilmekte dölayısi' ile. avcı uçağı-koruyuculuk-görevinî ancak bîrgrup-için yerine getirebîlmektedîn '. \ Bizim ise düşmanın bu nakliye hareketini engelleyebilmek için 1 tane avcı uçağımız olup,, o-d-a bîr gün içinde, düşmanın nakliye hatlarından ancak birine hücum edebilmektedir.. 1. Uçağımız, kendi avcı uçağı tarafından korunan düşman nakliye hattına rastlarsa aldığı emir gereği hücum etmeden üssüne dönmektedir. Ancak, kendi avcı

15 uçağı tarafından korunmayan nakliye grubuna rastlarsa nakliye uçağını {ya da uçaklarım) düşürmektedir, -.. ' ' Olaylar çoğu gün böylece tekrar edip gitmektedir, '.Bizim kazancımızı ya- da düşüreceğimiz uçak sayısını en fazla yapmak üzere izleyeceğimiz- stratejiler kargışında 'düşmanın izlıyeceği muhtemel stratejiler sortuoı, her..uçuşun bize sağlıyacağı muhtemel.kazanç ne olacaktır?. ' 'Çözüm:. ' - ;..., Oyunun' kazanç matrisini kurabilmek için karşılaşılabilecek olasılıkları sırası ile gözden geçirelim:.. - V- " '. \ -Bizi, (A),, düşmanı İB)'oyuncusu olarak gösterelim*, '..-. A nın avcı uçağı, B ninavcruçağı desteğinde olmayan-* ; '. bir nakliye,uçağına rastlarsa.kazancı + '.... / ' ". iki nakliye uçağına rastlara kazâncr+;.2.olun ' - -: -..A nın avcı uçağı*. B nihayet uçağı desteğinde olan.... ; - bir nakliye uçağına. rastlarsa.kazancı 0,. : ^ iki nakliye.uçağına raflarsa kazancı 0 olun.. - '. Şimdi oyunun kazanç'matrisini kuralım: B'nin Stratejileri Âvcı^ Uçağı Tek nakliye., uçağım.'.: "korursa - Avcı Uçağı Çift nakliye uçağım kor Us m-. Tek nakliye uçaklı ulaştırma hattı na hücum. 0 ' +1 A rmn Stratejileri Çift nakliye uçaklı ulaştırma hattına hücum * A nın stratejileri: X ı # Xz B nin stratejileri: Y ı, Y 2 olarak ifade edilirse.

16 Oyyniiii matrisi; B Y 2 X ı ' ' 0 ' -m - X2. '., + 2 ', '. p-. olarak yazılır». /. ' : Problem: (3,5)- ' '? '. Mağazalar zincirine sahip.lkl-.firma, bir bölgede bulunan iç yerleşim birimine, hizmet -vermek'özere, birer yeni mağaza açmayı, pfânlâmaktadirfar. Sözkonusu bölgede-yer alan iç yerleşînı. biriminin birbirine olan uzaklıklar, aşağıdaki şekil He gösterilmiştir v ;, ; \ ; ;.,. ;. '.. -; ' ;. e-,. " v. -. '. ' " Bölgede.yaşayanların^ 45fî A yer)eşim-bîriniinde>'% 30 fü B yerleşim biriminde ve % 251.C yerleşim biriminde oturmaktadırlar. ', Diğer yandan t Firmanın,.IS. Firmaya göre daha büyük ve daha örgütlü olduğu ve bundan dolayı aynı yerleşim birimine yeni mağaza açtıkları takdirde İşin (müşterinin) büyük kısmını L Firmanın kontrol altına alacağı bilinmektedir. Her iki firma ayrı ayrı yaptıklarıj pazar,araştırınaîarıiıda aşağıdaki verilen ve. aynı olatn bilgileri tespit etmişlerdir. Eğer her iki firma yeni mağazalarını aynı yerleşim birimine veya bu yerleşim biriminden eşit uzaklığa kurarlarsa, bu yerleşim birimindeki işin % 65 ini I. firma ve % 35 ini II. firma kontrol edecektir. i Eğer I. firmanın mağaza, II. firmanınkine göre bir yerleşim birimine daha yakın ise, bir yerleşim birimindeki işin % 90 mı I. firma ve geriye kalan % 10 unu İL firma kontrol edecektir.

17 Eğer, I, firmanın mağazası, il, firmanınkine göre'bîr yerleşim birimine daha izafe ise, -bu yerleşim birimindeki Jşin.% 40 mı i. Firma ve geriye kalan % 60 im I, ıirma kontrol edecektir. Oyunun ödenti IVIatrisitli kurunuz,- ' ' 3 3 3, Oyunun Çözümü ve Eyer Noktası: : - Bir oyunun çözülmesi; a --Oyunun değerinin bulunması* ', b  oyuncusu için a lt veya karma ersiyi stratejinin bulunması* c * B oyuncu.sü için salt veya karma eni yi stratejinin bulunması demektir. - -, E y e r N oktası ve O yunun.değeri:. '. '. Bir oyunun eyer noktası ile oyunun'değerini bir örhekle-açıklıyarak göstere» 'Tl. - ". ' '.' - ''' mek (3,6): Ahmet ISe Bülent aralarında bir oyunoynuyorlar.'-.oyunda- Ahmet'in ; stratejiye (A l, A2* A3) Bülent'in de iki stratejiye. (B1, B2) sahip olduğu bilin-' ektedir. Oyunun kuralı ise* ödemelerin kullanılan'stratejilere göre yapılmasını öngörektedir. Seçilen veya.kullanılan stratejilere göre.ödemeler aşağıda gösterildiği bidir. Kullanılan Stratejiler' A l, B1 A1,.B2 A2* B'.T A2/B2 A3, B1 Â3*,B2 Ödemeler Ahmet; Bülent fe 2 T L. öder. Bü!ent> Ahmet'e 2 TL. öder. Ahmet, Bülent e 1 TL. öder. B.üîent, Ahmet'e 3 TL. öder. ' Bülent, 'Ahmet'e 1 TL: öder..bülent*'ahmet'e'2-tl. öder. İZ. Bu oyunda Ahmet.ve Bülent için en iyi stratejilerime oyunun değerini bulu- Ödeme kuralları oy uo matrisi biçiminde-düzenlenirse*'bülent'in'ahmet'e emesi pozitif* Ahmet'iaByfenfe ödemes«negal f olarak gösterilin Ahmet e göre oyunun kazanç matrisi şöyledir:

18 Bülent I - * 3 ' A3 - i 2 Oyunun kazanç matrisine göre: Bülent B2 stratejisini kullanmaz-. Çünkü, bu strateji Bülent'e hep,kaybettirecektir. Bu nedenle, Bülent İçin en iyi strateji B! stratejisidir. Bu stratejiyi uygularsa enbüyük kaybı 1 olur. Ahmet açısından ilk bakışta en iyi strateji A2 gibi görülse de, her iki oyuncunun aklicı ve tutarlı oyuncular olduğu varsıyıldığindao, Ahmet Bülent'in 82 stratejisini, kullanmıyacağını bilmektedir. Bu nedenle Ahmet için en uygun strateji A3 stratejisidir. - ' ' : >'. Bülent'in B1 ve Ahmet'in A3 stratejisini" uygulaması, durumunda Ahmet'in kazancı 1 T.L. olacaktır. Bu değer Ahmet'in ulaşabileceği en fazla kazanç,.bülent' in de uğrayabileceği en az zarar o!duğundân:.oyunun denge noktasına yada.,f% e r noktası na bu stratejilerin (81 ve A3) uygulanması, ile ulaşılır..eyer'noktasının belirlediği kazanç değerine de oyunun değeri, denir, ' ' / _ E y er Noktasının Bulunması:... \ Bir oyunun eyer noktasını şöyle buluruz.. ;. 'Ele alınan oyun matrisinin; '... ' *. - - Satırlarının. enküçüğü bulunur ve oyun matrisinin satırlarının yanma yazılır ve enküçükler arasından enbüyük olan bulunur. Bü bulunan sayıya enkiiçüklerinenhüyiiğü (Enkenb) denir».. - Sütunların enbüyiiğü bulunur ve oyun matrisînin altına yazılarak eohüyükier arasından enküçuk bulunur. Bu bulunan sayıya. enbüyükierinenküçüğü (Efıbenk) denir. ' Eğer, Enbenk = Lnkenb ise oyunun eyer noktası vardır denir. Oyunun eyer noktası aynı zamanda oyunun değeridir. Bü söylediklerimizi bir oyun matrisinde görelim. Bunun için A oyuncusuna göre kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olan bir oyunu ele alalım.

19 B oyuncusu Str ' n ' 1 aı n etik an A. oyuncusu. a21 a? j * enk a2j j, -ij enkenb a.. «ı İ i m a dmı a ' âm n enk aml ' 'İ ' 'enb mı enb ai2 enbmn: I I: h.. ' -. ;. - -enbenk aij ' ',.,. : 'v : ;.. I- j ;. Oyunun"eyer noktasının olabilmesi için: ; '.. ;. Enbenk a» - Enkenb z-. olmalıdır. Bu eşitliği de şöyle ifade edebiliriz. A oyuncusunun kazançlarının (satırlarının) enküçüklerinenbüyüğü (Enkenb), B oyuncusunun kayıplarının (sütunlarının) enbüyükjerininenküçükleri (Enbenk) ne eşit ise bu oyunun bir eyer noktası vardır. örnek (3,7): Bir oyunun A oyuncusuna göre kazanç matrisi şöyle olsun: B oyuncusu Strateji 1 II III IV A oyuncusu II Enkenb III IV Enbenk

20 Enber ıkenb eşit olduğundan oyunun eyer noktası vardır,.oyunun değeri g - 42 dlr. '.. Buna göre oyuncular için en iyi stratejiler:. A oyuncusu içim II. B :oyuncusu için: IIIn o lu stratejiler olmalıdır.- Eyer noktası olduğunda hiçbir oyuncu, kendi durumunu geliştirmek için rakibi nln. strateji sinden' istifade edemez. Oyunculardan birinin, stratejisini değiştirmesi yalnızca kayıplarının artmasına yol açar.. Bir oyunda eyer noktasının bulunması,-kullanılan stratejilerin salt öldüğünü gösterir. Oyun birçok kereler tekrariansa' bile akıllı olan.oyuncular aynı stratejiyi kullanmakta ısrar ederler. ', :., ; '. örnek <3,8): ' ;. ; :. - ' \. - İki. firma (A ve B)-arasında.oynanan;oyunun A'fifroasitics gom kazanç matrisi şöyie.olsun. ' ' ' -... '. B F irm a s ı..; - \? " ' Strateji * t. : '. f i / ; _. îll İV. v : S- 0 : ' ' 1.9 / 8 "V 3 ıı \ 111 ' : ' 3 ' 4. iv i 2 5". ' 2 6 r- S ) i Oyunun eyer- noktasını bulunuz,. - ' Çözüm; ; ;.. a Satır elemanlarının enküçüğü bulunur 1 ncı satırın enküçüğü: 0-2 nci satırın enküçüğü: 4 3 ncü satırın enküçüğü: 2 4 ncü satırın enküçüğü: 1 f a d : Y İ

21 h - Sütun elemanlarının eııbüyüğu bulunur. 1 nd sütunun enbüyî^ğü: 8 2 ncl sütunun enbüyüğü: 4 3 ncö sütynun enbüyüğü: 9 4 ncü sütunun enbüyüğü: 8 5 nci sütunun enbüyüğü: 6 Bu işlemleri.oyun matrisi üzerinde gösterelim» B F irm a s ı Str. I ; İl II! ; îv. ' V : V 1 ; o 1 ' 9 '.. 3-0,. 1! ^ 6 ' 6. ', '5 4 Enkenb 111 ' ' : ' IV 1 ' 2, ' *6- :P S 4.' 9 '»V.6.'t. '. " Enbenk ' '. ' ' Örneğimizde eyer noktası (A2.B2) dır. Buna göre oyuncular için-eır iyi stratejiler: ' '' ; '. ' ' - A Firması için en iyi strateji: II nci strateji;. ' - B Firması; için en iy i strateji: l!/nci stratejidir... ; ;.... ; P ro b lem ( 3,9 ) ;.. '..... a). Aşağıdaki uyun' matrisinin ;eyer^ noktasının olupolmadığını araştırınız? Varsa oyunun değerinin ne olduğunu gösteriniz ^

22 B oyuncusu ' Strateji i - il IV V VI v ı r 111. A oyuncusu 1 6 -»10 1?, 25 0 ' 3 ' ; ~~2 " 1.1 ' * I T - l ı ' u» J b) Aşağıdaki o\ uîvjh eyer nokîas.«nı bulunuz (Draper, 1976). r, - Strateji I 11 III IV V VI i ~6 7. ' -11. II : ' 10 ~ ; '.. IV İ ' 8 ' 2- V -ıs. ': 16 1; : c) Aşağıdaki oyunun -eyer noktasını bulunuz. Strateji I İli ;. IV ' V : î 15'' ' i. '1 1 ' ' ' ili ' i l, ': ' 18 '. IV, 19; ' f i ; C Birden Fazla Eyer Noktası Olan' Oyunlar: '... Bazı oyunlar- birden fazla eyer noktasına sahip-, olabilir, İlk bakışta'; eyer noktasının tanımına.ııygun. düşmez görünen bu durum, oyunculardan bîri-tarafın-,. dan. eyer noktalarının, belirlediği stratejilerin uygulanması-ile sonucun-değişmeme*?:; ' sl-.demektih. ' ' : - v. ', :..,. '

23 Bîr örnekle bunu gösterelim:. Örnek (3,. '. Bir oyunun kazanç matrisi aşağıdaki-gibiolsun. ' ; 'Boyuncusu Strateji I 11. ' 111,4 oyu n cusu. I 10 ' 20 ' ; 10 II '. ' " ; ; '. lif : ' t v. 2 o ; Çözüm: Oyunun eyer noktasını bulalım:... '. - '. /B-oyuncusu' Strateji i :, u ; '. '.'İli 1 ıo_ ; ' ' ıo, ;!i : 0, ' 40. ' , J I Î, m, ' 30 \ -20 : 10 Enk e b " tnbenk ' t Enbenk Oyunun kazanç matrisine göre, (A1, B l) ve (A l, B3) hücrelerinde.dmak' üzere oyunun iki tane eyer noktası vardır. Bunun anlamı ise;. A oyuncusu daima I. nolu stratejiyi, B oyuncusu ise ister I. ister III. noiu stratejiyi kullansın, oyunun'değeri ' daima g = 10 olacak demektir. ; ^

24 Problem İ Bir oyunun kazanç, matrisi aşağıda verildiği gibi olsun. :.Boyuncusu,. Strateji ' ' I IİI A oyu n cusu '. i ;.20 ': ' 30 ' - jö "O MI ; '.Oytihun eyer-noktasinı bulunuz? Strateji Vektörü: Birbirine rakip olan A ve B firmalarına İlişkin oyun matrisi şöyle oîsun. B firması Strateji' l. il - İ l i ; A fimmı i ; ıs > 19 ' 16. ir '. ' ' MnMnb '"İS... m f. Enhenk Oyunun eyer noktası 16 olup, A l ve B3 noiu stratejilerin kesiştiği hiic redir Bu duruma göre A firması I nci stratejiyi, B firması da Ifl ncü stratejiyi kul anacaktır. Bu duruma göre A firmasının "strateji vektörü" :. p (1,0) ve oyunun değeri g= 16 olacaktır, p (1,0), eyer noktasının bulunduğu satırı kullanabilmek için A

25 Benzer biçimde, B firmasınınstrateji vektörü; c {0,0,1) ve gem oyunun dej- laçaktır. Bu İse,, eyer noktasını İçeren kolonu.kullanmak için B firmasının'1ii ncü stratejiyi seçmesi ve'i İle II yi hiç kullanmaması anlamını taşır, ' Eğer, oyunda birden fazla eyer noktası -var. ise, oyuncular.için alternatif' strateji -saz konusu olur. Bîr örnekle bunu açıklayalım. örnek (3,12): ' '. '. : Bir oyun matrisi şöyle olsun. _. '. ' :. ;..' _. B firması - Strateji I II III IV ; A firması ' î Enken b - II ıo f.. i Enbenk E n b en k. -Oyunun kazanç'-matrisinde görüldüğü gibi, îkr-tane eyer noktası-'vardır.'. A firmasının. I noîu stratejiyi, kullanmasına, karşın B firmasının I ve IViiolustra--. tejîleri.kullanma-olanağı vardır..bu-nedenle B firması için alternatif strateji vektörü söz konusudur* ' ' ' ' A. firm&mın Strateji vektörü, p ( 1, 0 ) - B -firmasının.strateji vektörü,. q.(1,0,0, 0)'.. '. ve alternatif strateji vektörü ise. q (0,.0, ö,. ) olup.oyunun değeri g ==30-dur.. :. -3,3.6. Eyer Noktası Olmayan Oyunlar:-.' '. -' ;. ;. -Eyernoktasrol-mayan oyunları bir örnekle-açıklayalim: : - -. örnek'(3,i 3): ~... \. ; A oyûıtcusuna ilişkin kazanç matrisi şöyte'olsun:-

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama

Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama 97 Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama Bahman Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmanın amacı, günümüzde rekabet ortamında karar verme durumunda olan sistemlerin araştırılmasıdır. Bu amaçla verileri

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: OYUN TEORİSİ İLE İSTANBUL TRAFİĞİNİN İNCELENMESİ HAZIRLAYANLAR: ECE TUNÇKOL-BERKE OĞUZ AKIN MEV KOLEJİ ÖZEL

Detaylı

Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar

Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi

Detaylı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2013-2014 Güz Dönemi Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ. Oyun Teorisi Yaklaşımı

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ. Oyun Teorisi Yaklaşımı Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ Oyun Teorisi Yaklaşımı Doç. Dr. İhsan KAYA Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 1 Tanım: Oyun teorisi «Birbiriyle rekabet halinde olan

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

Yöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ. Oyuncusu Stratejisi. Stratejileri. Oyuncusu Stratejisi Stratejisi Cı Cı (3 4

Yöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ. Oyuncusu Stratejisi. Stratejileri. Oyuncusu Stratejisi Stratejisi Cı Cı (3 4 Yöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ ÖRNEK 1- Satır oyuncusunun iki (Tı, T 2 ), sütun oyuncusunun dört (Y 1, Y 2, Y 3, Y 4 ) stratejisinin bulunduğu bir oyunun, satır oyuncusunun kazançlarına göre düzenlenen

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

Dr. Y. İlker TOPCU. Dr. Özgür KABAK web.itu.edu.tr/kabak/

Dr. Y. İlker TOPCU. Dr. Özgür KABAK web.itu.edu.tr/kabak/ Dr. Y. İlker TOPCU www.ilkertopcu.net www.ilkertopcu.org www.ilkertopcu.info facebook.com/yitopcu twitter.com/yitopcu instagram.com/yitopcu Dr. Özgür KABAK web.itu.edu.tr/kabak/ GİRİŞ Tek boyutlu (tek

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır? Ö.S.S. 1994 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 4.10 1. 4 10 +.10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 4 4 (40+ ).10 10 4 4 4 (98² 98²) 00.9.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi KAĞIT KATLAMA YOLUYLA KESİRLERİN BELİRLENMESİ Onur NURTAN Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN Özel Atacan Anadolu Lisesi Özet: Kare biçimindeki kağıdı tam iki eş parçaya ayıran kırışığına kağıdımızı katlayarak

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ. Markov Analizi

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ. Markov Analizi Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ Doç. Dr. İhsan KAYA Markov Analizi Markov analizi, bugün çalışan bir makinenin ertesi gün arızalanma olasılığının

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ (Bu notlar Doç.Dr. Şule Önsel tarafıdan hazırlanmıştır) TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır. İlk geliştirilen yöntem kesme düzlemleri (cutting planes) olarak

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI HEDEFLER İÇİNDEKİLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI Logaritmik ve Üstel Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları Bileşik Faiz Problemleri Nüfus Problemleri MATEMATİK-1 ProfDrAbdullah

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 3 Parçacık Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 3 Parçacık Dengesi Bu bölümde,

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

DC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

DC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ DC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Elektrik devresi, kaynak ve yük gibi çeşitli devre elemanlarının herhangi bir şekilde bağlantısından meydana gelir. Bu gibi devrelerin çözümünde genellikle, seri-paralel devrelerin

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını

Detaylı

1989 ÖYS. olduğuna göre a-b kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 2 E) 4

1989 ÖYS. olduğuna göre a-b kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 2 E) 4 989 ÖYS. a a a b 8 olduğuna göre a-b kaçtır? C). a ile b nin aritmetik ortalaması 5 tir. a ile geometrik ortalaması 0, b ile geometrik ortalaması 0 olan sayı nedir? 0 C) 8 ise a+b+d toplamı ne-. a+b+c=d

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

OYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz

OYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz OYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz ÖZET Herhangi bir teori veya bir modelin amacı bir soruna çözüm bulmaktır. Bir oyunun çözümü oyuncuların nasıl karar vereceklerinin öngörülmesine bağlıdır. Oyuncular

Detaylı

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini,

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ. OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil

KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ. OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil Bu derste; Oyun teorisi konusu ele alınacak. Neden oyun teorisine gerek duyulduğu açıklanacak, statik oyunların yapısı ve çözüm yöntemleri üzerinde

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

1. MİCROSOFT EXCEL 2010 A GİRİŞ

1. MİCROSOFT EXCEL 2010 A GİRİŞ 1. MİCROSOFT EXCEL 2010 A GİRİŞ 1.1. Microsoft Excel Penceresi ve Temel Kavramlar Excel, Microsoft firması tarafından yazılmış elektronik hesaplama, tablolama ve grafik programıdır. Excel de çalışılan

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI STOKASTİK (RASSAL) SÜREÇLER Bazen rassal değişkenlerin zamanla nasıl değiştiğiyle ilgileniriz. Örneğin

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir.

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. Küçük Sinyal Analizi Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. 1. Karma (hibrid) model 2. r e model Üretici firmalar bilgi sayfalarında belirli bir çalışma

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi. Geometrik Çizimler-2

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi. Geometrik Çizimler-2 TEKNİK RESİM 4 2014 Ders Notları: Doç. Dr. Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi Geometrik Çizimler-2 2/21 Geometrik Çizimler - 2 Bir doğru ile bir noktayı teğet yayla birleştirmek Bir nokta ile doğru

Detaylı

ideal Sistem Tester Kullanım Klavuzu

ideal Sistem Tester Kullanım Klavuzu 1- Sistem Modülüne Giriş ideal Sistem Tester Kullanım Klavuzu Herhangi bir Grafik penceresinin başlığındaki S harfine basılarak açılan menüden yapılabilen seçimlerle kullanılmaya başlanır. Bu menüden,

Detaylı

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER.

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER. YILLAR 00 00 00 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - / - /LYS EŞĐTSĐZLĐKLER =y,,, y,,, < y y,,, > y,,, y (tarif et ) ÖZELLĐKLER ) > veya < 0

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket

Detaylı

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015

GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015 GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015 Algoritmalar Ders 9 Dinamik Programlama SMY 544, ALGORİTMALAR, Güz 2015 Ders#9 2 Dinamik Programlama Böl-ve-fethet

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 06 IS/LM EĞRİLERİ VE BAZI ESNEKLİKLER PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ ETKİNLİKLERİ TOPLAM TALEP (AD) Bugünki dersin içeriği: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 2. LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİNİN

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı