Î ı \arar Teorisi:.,.

Transkript

1 B Ö L Ü M I I I ' K A R A R,AR T E O R İS İ: Karar teorisinin (Decişion Theory) bu kısımda, kısa olarak ana-hatlarıyla belirtilmesine çalışılacaktır». Î ı \arar Teorisi:.,. Karar teorisinin kısa olarak anlatımına: Auguste-...Detoeuf ün bir.'cümlesiyle başlayacağız "Dünyadaki kesin-olan tek şey geçmiştir; fakat üzerinde-.çalışmak zorunda olduğumuz herşey g e l e c e k t i r *.. - Karar'teorisi, bir matematiksel yaklaşım olduğu kadar-belli teknikleri kapsayan bir yığındır. Belli bilgi ve tekniklerden yararlanarak geleceğe ilişki o belirli bilinmezlikler altında en sıhhatli yada-eniyi (optimal) karar, verine.ile slgilî sorunlarla uğraşır. Bu nedenle, risk ve belirsizlikler dünyasında yöneticiye:'"yanî Jcar'ar Vericiye"-rehberlik- yapar. Yol göstericiliği; problemin.yapısınrortaya koy-mayı,-;beîirsizlikier ve.olasılı sonuçların' değerlendirilmesini' ve en uygun stratejiyi içerir. Böyiece, seçenekler..arasından "en iyisini ortaya çıkarır.' Buna karşın seçilesi en iyi.davranış biçiminin, uygulamada-en iyi olacağs'gibi'kesîrtbir garantisi.yoktur (Kaynak, 1979). ' ',. '' ' ' ' ' ; ; - -Herhangi bir konuda "karar kelimesinin kullanımı olasılı, iki ya da-daha fazla davranış...biçimi, arasından birinin seçimidir; Eğer.tek davranış biçimi varsa, seçim yoktur. Karar a Inia işlemi sözkonusu olamaz. '.; Karar Almanın Yapısı:.. '. - ' ' Karar airna (veya verme) bir amaca ulaşabilmek için var o lan olanak ve koşullara göre olağan olabilecek çeşitli, hareket 'biçimlerinden en -uyguiı.olanını seçmek» tir. " - ',. '... ' * -.. Genel olarak bir karar.'probleminin yapısını.oluşturan öğeler şunlardır (Hamburg, 1970):. -.. : ' ' ' " ; - - Karar verici (karar afıcıjr SoruiTsfuiuğu taşıyan kîşl veya tüzel kişidir..', Strateji biçimlen: Karar alınacak iki veya daha'faz la strateji vardır. Seçilen strateji, ulaşılmak istenilen amacı/en iyi yerine getirebilecek olandır..

2 Olay kır (veya koşul - ıaca-ulaşmayı etkileyen ol' 7 Karar vericinin kontrolü dışında olup, hangi o lay ir? gerçekleşeceği ke k -bilinmez. Gelecekte yalnız bir olay gerçekleşir. Sonuçlar: Herhangi bir stratejinin veya belli bir-o fayın meydana getirdiği sonuçlardır..' '. -öd en ti Tablosu veya ödenti Matrisi (Payoff matrix): Ödentileri gösteren tablo, ya da seçilen -stratejilerle gerçekleşen olayların sonuçlarını gösteren tablodur* ; ;.. ' ' ' ' ' -. Bir ödenti tablosu aşağıda gösterildiği gibidir Ö denti T ablo su,. Koşullar, (olaylar) Stratejiler. N ı -. N2... Nn S ı X i ı '." ' '. S2- ' " X 2 2.;... X2n S m; ' Xrtii ' / Xni2...i.i.v.. -Xnin '.'ödenti tablosunu oluşturan elemanlar şunlardır:..... S ı $2, Sm stratejileri- gösterir. Her bir strateji ve: olaydan meydana gelen kombinasyonlar Xij notasyonu.ile- gösterilmiştir (i = kul lamları strateji; j = olayı.ifade eder).-örneğin; S ı stratejisinin seçiminden ve N ı olayının meydana gelme».sinden, sağlanan sonuç yani,net-ödenti X ı ı oiaraik-belirtilmiştir. Benzer biçimde; S2 stratejinin seçilmesi ve N ı olayının oluşu X aı net ödentisini verir. ' Karar alinırken#;izlenen aşamalar genel olarak-şöyledir; Karar vericinin amaç ve hedefleri saptanır. Stratejilerle ilgili bilgiler sağlanır. Bunlar, geçmiş deneyler, yayımlanan istatistikler ve diğer bilgiler veya karar vericinin bizzat kendisinin yaptığı araştırmalardır.

3 Karar almak için hazırlanan verilerden iki türlüyararlanılır: ızırlanan verliere dayanarak her bir strateji İle karşılaşılabilecek sonuçlar ve bunların gerçekleşme olasılıklarının saptanması. r sonuca verilecek değerlerin {parasal ya da fayda-veya diğer birim değerler) oiuşturulması-(bro$s, 1965). - " ;. Kararla ilgili her durum ve stratejinin ne -sonuç vereceğini gösterir bir planın hazırlanması* Böylece her bir sonucun karşılaştırmalı değerlendirilmesi yapılır ve hangi sonuç ya^da sonuçların kabul edilebileceği saptanır» -En son,; karar alıcı seçtiği karar alma yönteminin aksak yönlerinin bilincinde olmalıdır... :. Karar alma teorisinin uygulandığı bâzı yerler'aşağıda verilmiştir (Moore, 1976). '.. ' '.a-- Yeni bir ürünün piyasaya sürümü, b- Petrol bul ma -araştırmaları,''. - '. c -'Fabrika; modernizasyonu, d -Kalite -kontrolü araştırmaları, ' ' e -Kalkınma -Araştırma çalışmalarıyla ilgili hükümet yatırımları, f - Turizm. : ' ' : ;;,. : '.' 3.2, Karar Ölçütleri. (Kıstasları):. Genel olarak, en uygun stratejiyi' veren "'ölçütün, seçimi pek kolay değildir. Çünkü, stratejinin seçiminde kullanılan ve eniyi sonucu veren tek bir ölçüt yoktur.. Bunun nedeni^ enîyîoin, karar vericinin, politikası, -gelenek" ve davranışıyla yakından ılgılı<>lmaklaberaber, çevre'koşull^ıriın da etkisi-altında oimasıdın- İşletmenin karşılaştığı problem, 'karar alma'sürecinin aşamalarını İzlemekle çözümlenecekse ilk olarak; ' ' - -. Var oîan.problemler ile,. ; Çok sayıda çözüm yolları geliştirmek amacıyla stratejiler saptanır? Stratejiler arasından en uygun olanını seçmek amacıyla belirli bir ölçüt uygulanır.

4 . Stratejiler arasından en uygun olanını seçerken değişik nitelikte karar ölçütlerini uygulayabiliriz*. '. - ; Bu ölçütleri. " ' ' Belirlilik ortamında karar verme, ~~ Risk altında karar verme». ' ; Belirsizlik artamında karar vermedir.. -32A* Belirlfik Ortamında Karar Verme ve Karar Ölçütleri:_. Belirlilik ortamında karar vermede, stratejilerin hangi koşullar altında gerçekleşeceğî kesin olarak bilinmektedir. Bu tip bîr karar alma problemi determinist tik bîr.yapıya sahiptir (Coyle, 1972).: Deierministik yapıya sahip karar alma problemlerine örnek..olarak doğrusal programlama verilebilir' (Thierauf, Klekamp, 19 75)... '. ; ' Bu ortamda, amaç fonksiyonunun enbüyükleme j(maksimizâsyon) ve., enkilçükleme (minimizasyon) olduğu gozönıine alınarak,, stratejilerden bîri seçilir. örnek (3,1): Tek koşul, varsayımı altında bir karar matris(nin-;şoyle olduğunu varsayalım. '. "" ; ' ' " / Stratejiler 'Koşullar (Mi). Sı :.. ; ' - ' ' 2000'' 4000,,. '. Amaç fonksiyonu kâr enbüyüklemesi (maksimizasyonu) İse:,. ' "..-. Yönetici S stratejisini seçere ' '.. Amaiç fonksiyonu enküçükleme (minimizasyon) ise:... ^ ' Yönetici S 3 -stratejisini seçer.. " Msk Örtaîiımda-Karar Verme ve Karâr Ölçütleri: Risk ortamında karar vermede alınacak belirli bîr karara ilişkin değişik sayı- da koşullar sözkonusudur. Her stratejinin her koşul altında elde edilebileceği sonuçlar belirli bir olasılık çerçevesinde oluşur. Diğer bir ifadeyle, bu gibi durumlar

5 da stratejilerin ne gibi sonuçlar doğuracağı önceden1bilinmez. Sonuçların gerçek İeşmesî b'elirli olasılıklara dayanmaktadır. Olasılıklar göz önünde tutularak yapılan strateji seçimine risk ortamında karar verme denilir. karar alma problemlerine aynı, zamanda Stokastik;.Karar Problem leri denir i, 1972). istatistiksel karar alma teorisi, s.tokastîk karar problemleriyle uğ- Bir-örnekle açıklamaya çalışalım/ :..... _. Koşullar. Stratejiler. ' Nı Nz '.. -Ns.. Na- Sı $2 S :. 14 ' ' ' 13 15' - ' 17 ; 13 _ 19 21,. :.'16 V. : Olasılıklar. ' ' y,0.1 0 ' ; ' \0.20r". 0,50 ' 0.20 Örneğimizdeki karar, matrisindeki verileri gözönüne: alarak, her stratejiye Hiş-. kin beklenen parasal değerleri hesaplayabiliriz. - ' ' S ı : 16(0.10) +'18(0.20) + 14(0.50 j + T3(Ö.'20) ='İ4.8. S2 :15(0.10) +"17(0.20) + 13(0.50) + 19(0.20)'= S3 : 21(0.10) + 16(0.20) + 13(0.50) +-12(0.20).= ^.. Beklenen en yüksek-parasal'değer, S2 stratejisini seçmek koşuluyla elde edilir ; BeÛrşi'zlik';Ortamında Karar Verme ve K arar'ö lçü tleri:?. Yöneticiler genellikle belirsizlik ortamında karar verirler. Yöneticiler belirsizliği ortadan kaldırmak için; ya kişisel yargıfarıyla karar verirler veya karar matrisi yardımıyla bir takım karar ölçüleri saptar ve kararlarını buna göre verirler. Belirsizlik ortamında-karar vermede çok sayıda karar ölçütleri geliştirilmiş4- tir. Bu ölçütlerin en önemlilerini ele alacağız. - ;.. / 3.2;3..1';.;Laplâ'ce.ölçütü:. Doğa koşullarının olasılık dağılımına ilişkin hiçbir bilgi sahibi olunmadığı durumlarda Laplace ölçütü kullanılır. Lapîace ölçütünde, koşullara ilişkin olasılıkların eşit olduğu varsayılın

6 Laplaçe ölçütünde, her satırın aritmetik ortalaması hesaplanır ve hesaplanan ortalamalar arasından enbiiyük ortalama değer seçilir. Laplace ölçütünü bir örnekle açıklayalım: N l N2 Na N ; : = " S, 13 18,5 K = - : S, =., S = =14.5. :.. 4 : -.. ;., A. ; Örneğimizdeki tarâr matrisine göre eh. u yg ^ V, İ, Minimaks* (EtıkEnb) Ö lçü tü:. Karamsar karakterli bıv yöneticinin kııiianawieceği\bir.öiçüttilr. : ; ',. fvlimmaks ölçütünde, karar /matrisinin; her satirinin (yanı. her stratejinin) enküçüğü bulunur ve bu enküçük değerler arasından da^enbuyuk değer seçilir. :' ' ; Bir önceki problemi ele alalım:.. :.... ' Her Satırın- -..,. " Nı N2 ' Ns fsi4 enküçüğü, S ı ;' 14 ' ' " / : S 2 'ıs. '18 ıs ' 1, Ss 16'; 17. M ;.14- ' -.14 Enb.' - - V :- S ;14'..17 ; örneğimizde; her satırm enküçükleri arasında enbüyük değer 14 olduğundan yönetici Sı ve Ss stratejilerini seçer. -

7 3,2.33. Maksimaks* (EnbEnb) Ölçü tü: İyimser karakterli bir yöneticinin kullanacağı bîr ölçüttür. Burada her bîr strateji için olası"en-iyi durumlar saptanır* Maksimaks ölçütünde, karar verici, her stratejinin enbiyik "değerleri arasından gene enböyük değeri seçer. Dikkat edilirse, maksimaks ölçütü,, her. bir strateji için eniyl durumları gözöoüne alır, diğer durumlara karşı ilgisizdir,. ' Bir önceki örneği ele.alacak olursak:.... Her Satırın.. \ N ı N2 -Ns N4 ' Enbüyüğü ' Şı ] 9 52 ' , ' v. ' ' ' _ '17 : : 1.7 " ^ '. Örneğimizde bulunan her satırın enbüyüğü arasından seçilen enböyük 'değer 19 ve buna ilişkin strateji Sı olduğundan, yönetici Sı stratejisini seçer. 3« Miııiıııâks-Pişmanlık ',. _ ''(Minimaks Regret). Ölçütü. ' ;. -. ' Eğer,.gelecekte ne olacağı daha önceden bilinseydi, vermiş olduğumuz kar rardan dolayı pişmanlık'derecemizi ölçebilirdik. ' ' ' 'Minimaks pişmanlık karar ölçütü, bu hususu gözönünde bulundurur.' -.,. Pişmanlık tablosunu meydana getirmek için şu yöntem.kullâriıhr:. ; Karar matrisinin her sütununun enbüyük değeri, bulunduğu sütundaki her elemandan çıkarılır ve sonra her satırın enküçüğü bulunur ve bu enküçüklerden enbüyüğü seçilir Bu işlemleri bir önceki'.örnek üzerinde yapalım:... Karar Matrisi: ' /. * Minimaks = EnkCiçüklerin Enbüyüğü (EnkEnb) ir«k/î.,ümı». cr^ u,ut*,er-uv

8 Nı 'i - N4 Sı Sa S S Pişmanlık Matrisi: Nı N2 m ' N4 S ı, O -. ' ' S2 O' -3-5 '....Sa O ' ' 5*'. '. : ' V S4-4 ^3 -,-4, 2 ' " '. Her satırın enküçüğii seçilir ve bunlardan da enbüyük.'değer seçilir:- - Sı S2. ' S"3 ; S'4. Enkiiçük Pişmanlık 4 5 " 5 4" Bu sonuca göre yönetici Si ile S# stratejilerinden birisini seçmelidir» Sağlam bir karara. Örnek: Laplaceölçiitiifie göre:, N ı N2 N3 N4 $ S S3 ' S'4 3 2 o 1, -, ;: ; Aritmetik... ' Ortalama S ı \ 1, Ss 1.5 ;,S4. ; 1.5

9 Minimales ölçütlere göre: S ı '. O 52 1 Her Satırın Eriküçüğü Sa- ' S 4'.". ; O Maksi maks ölçütü:.,, 'Her Satırın.... Enbüyüğü ' ^ S ı ' '.. ; / 3 Sa 3 V S4 T. '' - ; ; 3 Minımaks Pişmanlık Karar Ölçütü:. ^ ' Pişman!ık matrisi Nı N2 " ^Ns N4. - Enküçiik S ı - - ' ' " -3. S2.0' -1-1 ' 0. -1' ' Sa.. 2. O O 4. '. --4 ' '. ' ' S4,, O. ~2- -3, 3^ ;,'3.3. Oyunlar -Teorisi: ^ ^ '... xoyunlar teorisi, ilk.olarak 1921 de Fransız metamatikçisi Emil Borel tarafından ortaya atılmıştır. Ancak, söz, konusu tekniğin temel -ilkelerini-ayrıntıları ile ele alarak uygulama alanına getirme onuru John Von Neumann a aittir. Oyunlar.teorisi, karar.teorisinin bîr değişik türü olarak kabiıl. edilebilir.ıoyun- ar teorisinin karar matrisinde koşullar yerine rakip firmanın stratejileri yerleştirilmiştir. / ' / ' : \.

10 Oyunlar teorisini/ ekonomik faaliyetlere ilişkin eniyi kararın verilebilmesi îçin geliştirilmiş matematiksel bîr yaklaşım olarak ifade edebiliriz, Bu faaliyetler»,. de, birden fazla karar verici, kendi kazançlarını enîyî duruma getirecek biçimde karar vermek zorundadırlar., B.ir probleme oyunlar teorisi tekniğinin uygulanabilmesi için, o problemin aşağıdaki altı koşulu içermesi gerekir (Houlden, 1962). * ' Oyuna katılanlâr (oyuncular veya firmalar) sonlu sayıdadır» ~r Oyuna katılan firmaların kullanabileceği strateji sayılan da sonludur. : -Her oyuncu-(veya firma) kendisi ve rakibi için, mümkün strateji!eriri neler'. olduğunu bilmekle beraber, rakibinin hangi, stratejiyi uygulayacağını bilmemektedir.. \ ' '.; ",. ~ 'Oyuncular (yani firmalar) hangi stratejiyi 'seçerlerse seçsinler her birinin ' kâr-veyâ zararı sınırlıdır.- ' ' / Oyuncuların kazançları (veya zararları)'kendi verecekleri karar.kadar'rakip-.' ferinin kullanacağı stratejiye bağlıdır. ' -, ' ' İşte bütün bu koşulların gerçekleştiği duruma/oyun denilir - /. / ' Oyunların Sınıflandırılması: Bütün m uh-temel'davranışlar hesap edilebilir, nitelikte olmalıdır/ Oyunlar teorisinde, oyunlar aşağıdaki özelliklerine göre sınıflandırılırlar;(dra: per, 1972).. V '. 'V - ' ' v' ' 1. Bir oyun birden fazla oyuncu (firma) tarafından oynanabilir«oyundaki ; oyuncu sayısına göre oyunlar 2 kişilik,3 kişilik, n kişilik oyunlar, olmak üzere sınıflandırılırlar* : ' ^ ;.2 Bir oyunun sonunda, rakip (firma.) taraflardan kazananların toplanı kân, kaybedenler iri toplam zararına' eşitse bu tür oyunlara, "sıfır iopfam/ı".oyunlar, tersi durumun söz konusu olduğu oyunlara da. "sıfır toplamlı olmayanmf oyunlar de- : nir. Dolayısıyla oyun sonucuna göre de oyunlar iki sınıfa ayrılırlar. 3 Bir oyunda-bulunaj^hecek-üçüncü'özellik de-oyuncuların stratejilerinin sonlu ya da sonsuz sayıda olup olmadığıdır. Buna göre de oyunlar iki sınıfa ayrı*?.. Iırlar.. " '

11 Biz sadece sonlu stratejili - iki kişilik -sıfır toplamlı'oyun türü üzerinde-duracağız ,1, İk i K işilik Cıcır Toplar alan.ikî kişilik sıfır toplamlı oyunlarda oyuncuların-ve rakiplerin net kazanç toplamı sıfırdır, Yani^oyununsonunda birinin kaybı diğerinin kazancına eşittir* Oyuna katılan.her iki tarafın akıllıca.hareket edeceği' ve kazancını erıçok yap- /mağa veya oyunun kuruluşu nedeniyle, kâr etmesi.olanaksızsa*.kaybsnı enaz yapmağa çalışacağı varsayılır.. '.....Oyuna katılan her bir.tarafa oyuncu denir Her iki oyuncunun doğru stratejiler kullanmak'koşuluyla oyunun; birçokkereler tekrarlandığını farzedersek* bunun sonucu olarak; oyunun.kuralı gereğin-' ce taraflar birbirine bir miktar para v«b.' şeyler ödemesi gerekir. Beher oyun başı- na düşen miktara't)yun değeri denir. - ~. - -Çözümden -sonra^ eğer oyuncunun tek bir stratejiyi kullandığı, saptanırsabuna'"salt Strateji denir... J '.... ; / Bazen en doğru karar, belli bir stratejiyi değil,de h a stratejilerin karışımını kullanmayı gerektirirse bu tür stratejilere Karma 'Strateji denilir...^ ~ Her-oyündan sonra oyuncunun-, biri diğerine önceden o stratejiler için katartaştırılmış bir miktar öder. Bu ödenecek miktarları toplu olarak gösteren matrise "Oyun Matrisi"'ye ya Oy unun Kazanç Matrisin denir. '..... Oyun matrisî..kare veya dikdörtgen matrisi biçiminde olup,,oyuna, katılan oyunculardan birirun. adı oyun matrisinin sol -tarafına,- diğeri de- üst tarafa yazılır. Bu tür bir oyun matrisine aksi belirtilmedikçe "A.oy uncusunun kazanç mat- denilir.. Buna göre," oyun matrisi içinde pozitif değerler A oyuncusunun n ı kazancını, negatif değerler.ise A oyuncusunun kaybını gösterin... " :v , B ir Oyup.M atrisinin (Kazanç M atrisix)in);kühılaşu:.'-; Oyuna katılan oyunculara veya firmalara A ve B.adını verelim. ' - A oyuncusunun m tane;. B oyuncusunun n tane stratejisi olduğunu varsayalım.

12 Bu iki oyuncunun veya diğer bîr ifadeyle A oyuncusunun oyun matrisi şöyle olur:,. B oyuncusu,. ' ' Strateji ' n 1 a ıı a 12 '' aö aj 2 a21 a^2' a 23 : ' -*2 ; A- oyuncum 3 ; a31. a 32 a33 ; - - İ3 : '.m; '..: amı. arm...a-m3 amn.burada; mxn...tane; mümkün oynama biçiminin'herbiri., için A#nın oyunun her adımında elde edeceği kâr veya uğrayacağı zarar miktarları yer almaktadır» Diğer bîr-deyişfe A'nın kazanç matrisindeki, âjj'değerleri^ Â fn cî stratejiyi uyguladığında B'nin jfncl stratejiyi uygulaması,.durumunda elde edeceği kazanç..miktarlarıdır.- Negatif aj^zarar-- miktarı olacaktır*.. ' ' ":.. '/ ' Daha iyi açıklayabilmek için pyununkazanç.mâtrisinf 3x4 lök alalım, (m 3 ve n ='4)- './ ' v ; ' ' >. v " :..'Boyuncusu Strateji I ' H ııı - -İV '.. A Oyuncusu t - ;. âıı ' a l2. a,g' a# II ' an a a a 23- : itaısı a32 ^33 a# Oyunun matrisi, A oyuncusuna göre3x4lük bir kazanç matrisidir.

13 Bîr oynayışta:, uncusu Itneî,. 'Boyuncusu da IV. ncü ; ' ' stratejileri seçerlerse:". '.. ' B oyuncusu, A-oyuncusuna a^ kadar ö< Eğer# a21 ' işaretli ise aslında ödeyecek' olan  oyuncusu kazanacak olan da B oyurv - /. Buna göre; B. oyuncusunun  oyuncusuna ödeyeceği miktarları gösteren bir oyun matrisi veri imiş iken* A oyuncusunun B oyuncusuna ödeyeceği miktarı gös- ' teren oyun' matrisini elde etmek için verilen oyun, matrisinin elemanlarının işare-.- tini değişi irmek yeterl'idlr... '. ö r n ek (3,2): Bir oyunda.bizim için 'muhtemel stratejiler (A,. B, C) rakibimiz için X, Y, Z olduğunu Varsayardaki kullanacağımız stratejiye göre bizim uğrayacağımız kâr veya zararlar aşağıdaki oyun matrisinde gösterildiği gibi olsun..- R akibin Stratejileri X Y ' - ^Z - - Bizim Stratejim iz. A 2. I_j- ; -2.B - ^' i- 7 o -, T ' C ' Oyun'-matrisi hakkında daha iyi fikir edinebilmemiz için, matrisi; oluşturan elemanların' anlamlarını açıklayalım:. /. Eğer,- biz birinci (A) stratejimizi;kullanırken rakibimiz de (X) stratejisini kul- ; lanırsa,. biz- 2 bîrim kazanç! i -olacağız dernektir»-, ' : Eğer, biz (C) stratejisini kullanırken'rakibimiz (Y ).stratejisini kullanırsa sû-. 'nuçtabiz-îmrim kaybederiz/- -. '. ' O halde, her bîr strateji için kazancımızı veya kaybımızı oyun matrisindeki rakamların işaretine göre söyleyebiliriz.

14 örnek (3,3): Oyunlar teorisinin temel karakteristiklerini gösterebilmek için tek mi, çift mî oyununu -ele alalım, ' uncusu iîe B oyuncusu iki bîiya île bu oyunu oynasınlar.- B oyuncusu bîr veya iki bilya'yı avucunda saklar, A oyuncusu da tek veya çift dîye tahminde bulunur.- : ^ ', a ^vuncı s S c /uncusunun avucundaki bilyayı bilirse 1 birim'para alır. Bilemezse 1 bîrim para öder. : t : _. Oyunun kazanç matrisini A oyuncusu İçin kurunuz. \ ' Çözüm: - - Oyuna.katılan'oyuncuların (A ve B nîn) ikişer stratejisi vardffv Bu ya tek veya ç îftdemektir, / ' ' v.... : Oyunun kazanç matrisi A oyuncusu için:-. ' " B oyuncusunun stratejileri " - Tek Çift 'A oyuncusunun Stratejileri. T ek - ', 1 ' ' -1 Çift... - ; _ ı ' ;. ; i.' örnek (3,4);.'(Karavelioğlu, 1976) -. Düşman kuvvetlerinin 3 nakliye ve î avcı uçağı bulunmakta ve iki ayrı,adâ-; dan- ikmal sağlamaktadır. Günde bîr kez, nakliye' uçaklarının Ikisî bîr arada ve ' diğeri tek. başına uçuş yapabilmekte dölayısi' ile. avcı uçağı-koruyuculuk-görevinî ancak bîrgrup-için yerine getirebîlmektedîn '. \ Bizim ise düşmanın bu nakliye hareketini engelleyebilmek için 1 tane avcı uçağımız olup,, o-d-a bîr gün içinde, düşmanın nakliye hatlarından ancak birine hücum edebilmektedir.. 1. Uçağımız, kendi avcı uçağı tarafından korunan düşman nakliye hattına rastlarsa aldığı emir gereği hücum etmeden üssüne dönmektedir. Ancak, kendi avcı

15 uçağı tarafından korunmayan nakliye grubuna rastlarsa nakliye uçağını {ya da uçaklarım) düşürmektedir, -.. ' ' Olaylar çoğu gün böylece tekrar edip gitmektedir, '.Bizim kazancımızı ya- da düşüreceğimiz uçak sayısını en fazla yapmak üzere izleyeceğimiz- stratejiler kargışında 'düşmanın izlıyeceği muhtemel stratejiler sortuoı, her..uçuşun bize sağlıyacağı muhtemel.kazanç ne olacaktır?. ' 'Çözüm:. ' - ;..., Oyunun' kazanç matrisini kurabilmek için karşılaşılabilecek olasılıkları sırası ile gözden geçirelim:.. - V- " '. \ -Bizi, (A),, düşmanı İB)'oyuncusu olarak gösterelim*, '..-. A nın avcı uçağı, B ninavcruçağı desteğinde olmayan-* ; '. bir nakliye,uçağına rastlarsa.kazancı + '.... / ' ". iki nakliye uçağına rastlara kazâncr+;.2.olun ' - -: -..A nın avcı uçağı*. B nihayet uçağı desteğinde olan.... ; - bir nakliye uçağına. rastlarsa.kazancı 0,. : ^ iki nakliye.uçağına raflarsa kazancı 0 olun.. - '. Şimdi oyunun kazanç'matrisini kuralım: B'nin Stratejileri Âvcı^ Uçağı Tek nakliye., uçağım.'.: "korursa - Avcı Uçağı Çift nakliye uçağım kor Us m-. Tek nakliye uçaklı ulaştırma hattı na hücum. 0 ' +1 A rmn Stratejileri Çift nakliye uçaklı ulaştırma hattına hücum * A nın stratejileri: X ı # Xz B nin stratejileri: Y ı, Y 2 olarak ifade edilirse.

16 Oyyniiii matrisi; B Y 2 X ı ' ' 0 ' -m - X2. '., + 2 ', '. p-. olarak yazılır». /. ' : Problem: (3,5)- ' '? '. Mağazalar zincirine sahip.lkl-.firma, bir bölgede bulunan iç yerleşim birimine, hizmet -vermek'özere, birer yeni mağaza açmayı, pfânlâmaktadirfar. Sözkonusu bölgede-yer alan iç yerleşînı. biriminin birbirine olan uzaklıklar, aşağıdaki şekil He gösterilmiştir v ;, ; \ ; ;.,. ;. '.. -; ' ;. e-,. " v. -. '. ' " Bölgede.yaşayanların^ 45fî A yer)eşim-bîriniinde>'% 30 fü B yerleşim biriminde ve % 251.C yerleşim biriminde oturmaktadırlar. ', Diğer yandan t Firmanın,.IS. Firmaya göre daha büyük ve daha örgütlü olduğu ve bundan dolayı aynı yerleşim birimine yeni mağaza açtıkları takdirde İşin (müşterinin) büyük kısmını L Firmanın kontrol altına alacağı bilinmektedir. Her iki firma ayrı ayrı yaptıklarıj pazar,araştırınaîarıiıda aşağıdaki verilen ve. aynı olatn bilgileri tespit etmişlerdir. Eğer her iki firma yeni mağazalarını aynı yerleşim birimine veya bu yerleşim biriminden eşit uzaklığa kurarlarsa, bu yerleşim birimindeki işin % 65 ini I. firma ve % 35 ini II. firma kontrol edecektir. i Eğer I. firmanın mağaza, II. firmanınkine göre bir yerleşim birimine daha yakın ise, bir yerleşim birimindeki işin % 90 mı I. firma ve geriye kalan % 10 unu İL firma kontrol edecektir.

17 Eğer, I, firmanın mağazası, il, firmanınkine göre'bîr yerleşim birimine daha izafe ise, -bu yerleşim birimindeki Jşin.% 40 mı i. Firma ve geriye kalan % 60 im I, ıirma kontrol edecektir. Oyunun ödenti IVIatrisitli kurunuz,- ' ' 3 3 3, Oyunun Çözümü ve Eyer Noktası: : - Bir oyunun çözülmesi; a --Oyunun değerinin bulunması* ', b  oyuncusu için a lt veya karma ersiyi stratejinin bulunması* c * B oyuncu.sü için salt veya karma eni yi stratejinin bulunması demektir. - -, E y e r N oktası ve O yunun.değeri:. '. '. Bir oyunun eyer noktası ile oyunun'değerini bir örhekle-açıklıyarak göstere» 'Tl. - ". ' '.' - ''' mek (3,6): Ahmet ISe Bülent aralarında bir oyunoynuyorlar.'-.oyunda- Ahmet'in ; stratejiye (A l, A2* A3) Bülent'in de iki stratejiye. (B1, B2) sahip olduğu bilin-' ektedir. Oyunun kuralı ise* ödemelerin kullanılan'stratejilere göre yapılmasını öngörektedir. Seçilen veya.kullanılan stratejilere göre.ödemeler aşağıda gösterildiği bidir. Kullanılan Stratejiler' A l, B1 A1,.B2 A2* B'.T A2/B2 A3, B1 Â3*,B2 Ödemeler Ahmet; Bülent fe 2 T L. öder. Bü!ent> Ahmet'e 2 TL. öder. Ahmet, Bülent e 1 TL. öder. B.üîent, Ahmet'e 3 TL. öder. ' Bülent, 'Ahmet'e 1 TL: öder..bülent*'ahmet'e'2-tl. öder. İZ. Bu oyunda Ahmet.ve Bülent için en iyi stratejilerime oyunun değerini bulu- Ödeme kuralları oy uo matrisi biçiminde-düzenlenirse*'bülent'in'ahmet'e emesi pozitif* Ahmet'iaByfenfe ödemes«negal f olarak gösterilin Ahmet e göre oyunun kazanç matrisi şöyledir:

18 Bülent I - * 3 ' A3 - i 2 Oyunun kazanç matrisine göre: Bülent B2 stratejisini kullanmaz-. Çünkü, bu strateji Bülent'e hep,kaybettirecektir. Bu nedenle, Bülent İçin en iyi strateji B! stratejisidir. Bu stratejiyi uygularsa enbüyük kaybı 1 olur. Ahmet açısından ilk bakışta en iyi strateji A2 gibi görülse de, her iki oyuncunun aklicı ve tutarlı oyuncular olduğu varsıyıldığindao, Ahmet Bülent'in 82 stratejisini, kullanmıyacağını bilmektedir. Bu nedenle Ahmet için en uygun strateji A3 stratejisidir. - ' ' : >'. Bülent'in B1 ve Ahmet'in A3 stratejisini" uygulaması, durumunda Ahmet'in kazancı 1 T.L. olacaktır. Bu değer Ahmet'in ulaşabileceği en fazla kazanç,.bülent' in de uğrayabileceği en az zarar o!duğundân:.oyunun denge noktasına yada.,f% e r noktası na bu stratejilerin (81 ve A3) uygulanması, ile ulaşılır..eyer'noktasının belirlediği kazanç değerine de oyunun değeri, denir, ' ' / _ E y er Noktasının Bulunması:... \ Bir oyunun eyer noktasını şöyle buluruz.. ;. 'Ele alınan oyun matrisinin; '... ' *. - - Satırlarının. enküçüğü bulunur ve oyun matrisinin satırlarının yanma yazılır ve enküçükler arasından enbüyük olan bulunur. Bü bulunan sayıya enkiiçüklerinenhüyiiğü (Enkenb) denir».. - Sütunların enbüyiiğü bulunur ve oyun matrisînin altına yazılarak eohüyükier arasından enküçuk bulunur. Bu bulunan sayıya. enbüyükierinenküçüğü (Efıbenk) denir. ' Eğer, Enbenk = Lnkenb ise oyunun eyer noktası vardır denir. Oyunun eyer noktası aynı zamanda oyunun değeridir. Bü söylediklerimizi bir oyun matrisinde görelim. Bunun için A oyuncusuna göre kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olan bir oyunu ele alalım.

19 B oyuncusu Str ' n ' 1 aı n etik an A. oyuncusu. a21 a? j * enk a2j j, -ij enkenb a.. «ı İ i m a dmı a ' âm n enk aml ' 'İ ' 'enb mı enb ai2 enbmn: I I: h.. ' -. ;. - -enbenk aij ' ',.,. : 'v : ;.. I- j ;. Oyunun"eyer noktasının olabilmesi için: ; '.. ;. Enbenk a» - Enkenb z-. olmalıdır. Bu eşitliği de şöyle ifade edebiliriz. A oyuncusunun kazançlarının (satırlarının) enküçüklerinenbüyüğü (Enkenb), B oyuncusunun kayıplarının (sütunlarının) enbüyükjerininenküçükleri (Enbenk) ne eşit ise bu oyunun bir eyer noktası vardır. örnek (3,7): Bir oyunun A oyuncusuna göre kazanç matrisi şöyle olsun: B oyuncusu Strateji 1 II III IV A oyuncusu II Enkenb III IV Enbenk

20 Enber ıkenb eşit olduğundan oyunun eyer noktası vardır,.oyunun değeri g - 42 dlr. '.. Buna göre oyuncular için en iyi stratejiler:. A oyuncusu içim II. B :oyuncusu için: IIIn o lu stratejiler olmalıdır.- Eyer noktası olduğunda hiçbir oyuncu, kendi durumunu geliştirmek için rakibi nln. strateji sinden' istifade edemez. Oyunculardan birinin, stratejisini değiştirmesi yalnızca kayıplarının artmasına yol açar.. Bir oyunda eyer noktasının bulunması,-kullanılan stratejilerin salt öldüğünü gösterir. Oyun birçok kereler tekrariansa' bile akıllı olan.oyuncular aynı stratejiyi kullanmakta ısrar ederler. ', :., ; '. örnek <3,8): ' ;. ; :. - ' \. - İki. firma (A ve B)-arasında.oynanan;oyunun A'fifroasitics gom kazanç matrisi şöyie.olsun. ' ' ' -... '. B F irm a s ı..; - \? " ' Strateji * t. : '. f i / ; _. îll İV. v : S- 0 : ' ' 1.9 / 8 "V 3 ıı \ 111 ' : ' 3 ' 4. iv i 2 5". ' 2 6 r- S ) i Oyunun eyer- noktasını bulunuz,. - ' Çözüm; ; ;.. a Satır elemanlarının enküçüğü bulunur 1 ncı satırın enküçüğü: 0-2 nci satırın enküçüğü: 4 3 ncü satırın enküçüğü: 2 4 ncü satırın enküçüğü: 1 f a d : Y İ

21 h - Sütun elemanlarının eııbüyüğu bulunur. 1 nd sütunun enbüyî^ğü: 8 2 ncl sütunun enbüyüğü: 4 3 ncö sütynun enbüyüğü: 9 4 ncü sütunun enbüyüğü: 8 5 nci sütunun enbüyüğü: 6 Bu işlemleri.oyun matrisi üzerinde gösterelim» B F irm a s ı Str. I ; İl II! ; îv. ' V : V 1 ; o 1 ' 9 '.. 3-0,. 1! ^ 6 ' 6. ', '5 4 Enkenb 111 ' ' : ' IV 1 ' 2, ' *6- :P S 4.' 9 '»V.6.'t. '. " Enbenk ' '. ' ' Örneğimizde eyer noktası (A2.B2) dır. Buna göre oyuncular için-eır iyi stratejiler: ' '' ; '. ' ' - A Firması için en iyi strateji: II nci strateji;. ' - B Firması; için en iy i strateji: l!/nci stratejidir... ; ;.... ; P ro b lem ( 3,9 ) ;.. '..... a). Aşağıdaki uyun' matrisinin ;eyer^ noktasının olupolmadığını araştırınız? Varsa oyunun değerinin ne olduğunu gösteriniz ^

22 B oyuncusu ' Strateji i - il IV V VI v ı r 111. A oyuncusu 1 6 -»10 1?, 25 0 ' 3 ' ; ~~2 " 1.1 ' * I T - l ı ' u» J b) Aşağıdaki o\ uîvjh eyer nokîas.«nı bulunuz (Draper, 1976). r, - Strateji I 11 III IV V VI i ~6 7. ' -11. II : ' 10 ~ ; '.. IV İ ' 8 ' 2- V -ıs. ': 16 1; : c) Aşağıdaki oyunun -eyer noktasını bulunuz. Strateji I İli ;. IV ' V : î 15'' ' i. '1 1 ' ' ' ili ' i l, ': ' 18 '. IV, 19; ' f i ; C Birden Fazla Eyer Noktası Olan' Oyunlar: '... Bazı oyunlar- birden fazla eyer noktasına sahip-, olabilir, İlk bakışta'; eyer noktasının tanımına.ııygun. düşmez görünen bu durum, oyunculardan bîri-tarafın-,. dan. eyer noktalarının, belirlediği stratejilerin uygulanması-ile sonucun-değişmeme*?:; ' sl-.demektih. ' ' : - v. ', :..,. '

23 Bîr örnekle bunu gösterelim:. Örnek (3,. '. Bir oyunun kazanç matrisi aşağıdaki-gibiolsun. ' ; 'Boyuncusu Strateji I 11. ' 111,4 oyu n cusu. I 10 ' 20 ' ; 10 II '. ' " ; ; '. lif : ' t v. 2 o ; Çözüm: Oyunun eyer noktasını bulalım:... '. - '. /B-oyuncusu' Strateji i :, u ; '. '.'İli 1 ıo_ ; ' ' ıo, ;!i : 0, ' 40. ' , J I Î, m, ' 30 \ -20 : 10 Enk e b " tnbenk ' t Enbenk Oyunun kazanç matrisine göre, (A1, B l) ve (A l, B3) hücrelerinde.dmak' üzere oyunun iki tane eyer noktası vardır. Bunun anlamı ise;. A oyuncusu daima I. nolu stratejiyi, B oyuncusu ise ister I. ister III. noiu stratejiyi kullansın, oyunun'değeri ' daima g = 10 olacak demektir. ; ^

24 Problem İ Bir oyunun kazanç, matrisi aşağıda verildiği gibi olsun. :.Boyuncusu,. Strateji ' ' I IİI A oyu n cusu '. i ;.20 ': ' 30 ' - jö "O MI ; '.Oytihun eyer-noktasinı bulunuz? Strateji Vektörü: Birbirine rakip olan A ve B firmalarına İlişkin oyun matrisi şöyle oîsun. B firması Strateji' l. il - İ l i ; A fimmı i ; ıs > 19 ' 16. ir '. ' ' MnMnb '"İS... m f. Enhenk Oyunun eyer noktası 16 olup, A l ve B3 noiu stratejilerin kesiştiği hiic redir Bu duruma göre A firması I nci stratejiyi, B firması da Ifl ncü stratejiyi kul anacaktır. Bu duruma göre A firmasının "strateji vektörü" :. p (1,0) ve oyunun değeri g= 16 olacaktır, p (1,0), eyer noktasının bulunduğu satırı kullanabilmek için A

25 Benzer biçimde, B firmasınınstrateji vektörü; c {0,0,1) ve gem oyunun dej- laçaktır. Bu İse,, eyer noktasını İçeren kolonu.kullanmak için B firmasının'1ii ncü stratejiyi seçmesi ve'i İle II yi hiç kullanmaması anlamını taşır, ' Eğer, oyunda birden fazla eyer noktası -var. ise, oyuncular.için alternatif' strateji -saz konusu olur. Bîr örnekle bunu açıklayalım. örnek (3,12): ' '. '. : Bir oyun matrisi şöyle olsun. _. '. ' :. ;..' _. B firması - Strateji I II III IV ; A firması ' î Enken b - II ıo f.. i Enbenk E n b en k. -Oyunun kazanç'-matrisinde görüldüğü gibi, îkr-tane eyer noktası-'vardır.'. A firmasının. I noîu stratejiyi, kullanmasına, karşın B firmasının I ve IViiolustra--. tejîleri.kullanma-olanağı vardır..bu-nedenle B firması için alternatif strateji vektörü söz konusudur* ' ' ' ' A. firm&mın Strateji vektörü, p ( 1, 0 ) - B -firmasının.strateji vektörü,. q.(1,0,0, 0)'.. '. ve alternatif strateji vektörü ise. q (0,.0, ö,. ) olup.oyunun değeri g ==30-dur.. :. -3,3.6. Eyer Noktası Olmayan Oyunlar:-.' '. -' ;. ;. -Eyernoktasrol-mayan oyunları bir örnekle-açıklayalim: : - -. örnek'(3,i 3): ~... \. ; A oyûıtcusuna ilişkin kazanç matrisi şöyte'olsun:-