Î ı \arar Teorisi:.,.

Transkript

1 B Ö L Ü M I I I ' K A R A R,AR T E O R İS İ: Karar teorisinin (Decişion Theory) bu kısımda, kısa olarak ana-hatlarıyla belirtilmesine çalışılacaktır». Î ı \arar Teorisi:.,. Karar teorisinin kısa olarak anlatımına: Auguste-...Detoeuf ün bir.'cümlesiyle başlayacağız "Dünyadaki kesin-olan tek şey geçmiştir; fakat üzerinde-.çalışmak zorunda olduğumuz herşey g e l e c e k t i r *.. - Karar'teorisi, bir matematiksel yaklaşım olduğu kadar-belli teknikleri kapsayan bir yığındır. Belli bilgi ve tekniklerden yararlanarak geleceğe ilişki o belirli bilinmezlikler altında en sıhhatli yada-eniyi (optimal) karar, verine.ile slgilî sorunlarla uğraşır. Bu nedenle, risk ve belirsizlikler dünyasında yöneticiye:'"yanî Jcar'ar Vericiye"-rehberlik- yapar. Yol göstericiliği; problemin.yapısınrortaya koy-mayı,-;beîirsizlikier ve.olasılı sonuçların' değerlendirilmesini' ve en uygun stratejiyi içerir. Böyiece, seçenekler..arasından "en iyisini ortaya çıkarır.' Buna karşın seçilesi en iyi.davranış biçiminin, uygulamada-en iyi olacağs'gibi'kesîrtbir garantisi.yoktur (Kaynak, 1979). ' ',. '' ' ' ' ' ; ; - -Herhangi bir konuda "karar kelimesinin kullanımı olasılı, iki ya da-daha fazla davranış...biçimi, arasından birinin seçimidir; Eğer.tek davranış biçimi varsa, seçim yoktur. Karar a Inia işlemi sözkonusu olamaz. '.; Karar Almanın Yapısı:.. '. - ' ' Karar airna (veya verme) bir amaca ulaşabilmek için var o lan olanak ve koşullara göre olağan olabilecek çeşitli, hareket 'biçimlerinden en -uyguiı.olanını seçmek» tir. " - ',. '... ' * -.. Genel olarak bir karar.'probleminin yapısını.oluşturan öğeler şunlardır (Hamburg, 1970):. -.. : ' ' ' " ; - - Karar verici (karar afıcıjr SoruiTsfuiuğu taşıyan kîşl veya tüzel kişidir..', Strateji biçimlen: Karar alınacak iki veya daha'faz la strateji vardır. Seçilen strateji, ulaşılmak istenilen amacı/en iyi yerine getirebilecek olandır..

2 Olay kır (veya koşul - ıaca-ulaşmayı etkileyen ol' 7 Karar vericinin kontrolü dışında olup, hangi o lay ir? gerçekleşeceği ke k -bilinmez. Gelecekte yalnız bir olay gerçekleşir. Sonuçlar: Herhangi bir stratejinin veya belli bir-o fayın meydana getirdiği sonuçlardır..' '. -öd en ti Tablosu veya ödenti Matrisi (Payoff matrix): Ödentileri gösteren tablo, ya da seçilen -stratejilerle gerçekleşen olayların sonuçlarını gösteren tablodur* ; ;.. ' ' ' ' ' -. Bir ödenti tablosu aşağıda gösterildiği gibidir Ö denti T ablo su,. Koşullar, (olaylar) Stratejiler. N ı -. N2... Nn S ı X i ı '." ' '. S2- ' " X 2 2.;... X2n S m; ' Xrtii ' / Xni2...i.i.v.. -Xnin '.'ödenti tablosunu oluşturan elemanlar şunlardır:..... S ı $2, Sm stratejileri- gösterir. Her bir strateji ve: olaydan meydana gelen kombinasyonlar Xij notasyonu.ile- gösterilmiştir (i = kul lamları strateji; j = olayı.ifade eder).-örneğin; S ı stratejisinin seçiminden ve N ı olayının meydana gelme».sinden, sağlanan sonuç yani,net-ödenti X ı ı oiaraik-belirtilmiştir. Benzer biçimde; S2 stratejinin seçilmesi ve N ı olayının oluşu X aı net ödentisini verir. ' Karar alinırken#;izlenen aşamalar genel olarak-şöyledir; Karar vericinin amaç ve hedefleri saptanır. Stratejilerle ilgili bilgiler sağlanır. Bunlar, geçmiş deneyler, yayımlanan istatistikler ve diğer bilgiler veya karar vericinin bizzat kendisinin yaptığı araştırmalardır.

3 Karar almak için hazırlanan verilerden iki türlüyararlanılır: ızırlanan verliere dayanarak her bir strateji İle karşılaşılabilecek sonuçlar ve bunların gerçekleşme olasılıklarının saptanması. r sonuca verilecek değerlerin {parasal ya da fayda-veya diğer birim değerler) oiuşturulması-(bro$s, 1965). - " ;. Kararla ilgili her durum ve stratejinin ne -sonuç vereceğini gösterir bir planın hazırlanması* Böylece her bir sonucun karşılaştırmalı değerlendirilmesi yapılır ve hangi sonuç ya^da sonuçların kabul edilebileceği saptanır» -En son,; karar alıcı seçtiği karar alma yönteminin aksak yönlerinin bilincinde olmalıdır... :. Karar alma teorisinin uygulandığı bâzı yerler'aşağıda verilmiştir (Moore, 1976). '.. ' '.a-- Yeni bir ürünün piyasaya sürümü, b- Petrol bul ma -araştırmaları,''. - '. c -'Fabrika; modernizasyonu, d -Kalite -kontrolü araştırmaları, ' ' e -Kalkınma -Araştırma çalışmalarıyla ilgili hükümet yatırımları, f - Turizm. : ' ' : ;;,. : '.' 3.2, Karar Ölçütleri. (Kıstasları):. Genel olarak, en uygun stratejiyi' veren "'ölçütün, seçimi pek kolay değildir. Çünkü, stratejinin seçiminde kullanılan ve eniyi sonucu veren tek bir ölçüt yoktur.. Bunun nedeni^ enîyîoin, karar vericinin, politikası, -gelenek" ve davranışıyla yakından ılgılı<>lmaklaberaber, çevre'koşull^ıriın da etkisi-altında oimasıdın- İşletmenin karşılaştığı problem, 'karar alma'sürecinin aşamalarını İzlemekle çözümlenecekse ilk olarak; ' ' - -. Var oîan.problemler ile,. ; Çok sayıda çözüm yolları geliştirmek amacıyla stratejiler saptanır? Stratejiler arasından en uygun olanını seçmek amacıyla belirli bir ölçüt uygulanır.

4 . Stratejiler arasından en uygun olanını seçerken değişik nitelikte karar ölçütlerini uygulayabiliriz*. '. - ; Bu ölçütleri. " ' ' Belirlilik ortamında karar verme, ~~ Risk altında karar verme». ' ; Belirsizlik artamında karar vermedir.. -32A* Belirlfik Ortamında Karar Verme ve Karar Ölçütleri:_. Belirlilik ortamında karar vermede, stratejilerin hangi koşullar altında gerçekleşeceğî kesin olarak bilinmektedir. Bu tip bîr karar alma problemi determinist tik bîr.yapıya sahiptir (Coyle, 1972).: Deierministik yapıya sahip karar alma problemlerine örnek..olarak doğrusal programlama verilebilir' (Thierauf, Klekamp, 19 75)... '. ; ' Bu ortamda, amaç fonksiyonunun enbüyükleme j(maksimizâsyon) ve., enkilçükleme (minimizasyon) olduğu gozönıine alınarak,, stratejilerden bîri seçilir. örnek (3,1): Tek koşul, varsayımı altında bir karar matris(nin-;şoyle olduğunu varsayalım. '. "" ; ' ' " / Stratejiler 'Koşullar (Mi). Sı :.. ; ' - ' ' 2000'' 4000,,. '. Amaç fonksiyonu kâr enbüyüklemesi (maksimizasyonu) İse:,. ' "..-. Yönetici S stratejisini seçere ' '.. Amaiç fonksiyonu enküçükleme (minimizasyon) ise:... ^ ' Yönetici S 3 -stratejisini seçer.. " Msk Örtaîiımda-Karar Verme ve Karâr Ölçütleri: Risk ortamında karar vermede alınacak belirli bîr karara ilişkin değişik sayı- da koşullar sözkonusudur. Her stratejinin her koşul altında elde edilebileceği sonuçlar belirli bir olasılık çerçevesinde oluşur. Diğer bir ifadeyle, bu gibi durumlar

5 da stratejilerin ne gibi sonuçlar doğuracağı önceden1bilinmez. Sonuçların gerçek İeşmesî b'elirli olasılıklara dayanmaktadır. Olasılıklar göz önünde tutularak yapılan strateji seçimine risk ortamında karar verme denilir. karar alma problemlerine aynı, zamanda Stokastik;.Karar Problem leri denir i, 1972). istatistiksel karar alma teorisi, s.tokastîk karar problemleriyle uğ- Bir-örnekle açıklamaya çalışalım/ :..... _. Koşullar. Stratejiler. ' Nı Nz '.. -Ns.. Na- Sı $2 S :. 14 ' ' ' 13 15' - ' 17 ; 13 _ 19 21,. :.'16 V. : Olasılıklar. ' ' y,0.1 0 ' ; ' \0.20r". 0,50 ' 0.20 Örneğimizdeki karar, matrisindeki verileri gözönüne: alarak, her stratejiye Hiş-. kin beklenen parasal değerleri hesaplayabiliriz. - ' ' S ı : 16(0.10) +'18(0.20) + 14(0.50 j + T3(Ö.'20) ='İ4.8. S2 :15(0.10) +"17(0.20) + 13(0.50) + 19(0.20)'= S3 : 21(0.10) + 16(0.20) + 13(0.50) +-12(0.20).= ^.. Beklenen en yüksek-parasal'değer, S2 stratejisini seçmek koşuluyla elde edilir ; BeÛrşi'zlik';Ortamında Karar Verme ve K arar'ö lçü tleri:?. Yöneticiler genellikle belirsizlik ortamında karar verirler. Yöneticiler belirsizliği ortadan kaldırmak için; ya kişisel yargıfarıyla karar verirler veya karar matrisi yardımıyla bir takım karar ölçüleri saptar ve kararlarını buna göre verirler. Belirsizlik ortamında-karar vermede çok sayıda karar ölçütleri geliştirilmiş4- tir. Bu ölçütlerin en önemlilerini ele alacağız. - ;.. / 3.2;3..1';.;Laplâ'ce.ölçütü:. Doğa koşullarının olasılık dağılımına ilişkin hiçbir bilgi sahibi olunmadığı durumlarda Laplace ölçütü kullanılır. Lapîace ölçütünde, koşullara ilişkin olasılıkların eşit olduğu varsayılın

6 Laplaçe ölçütünde, her satırın aritmetik ortalaması hesaplanır ve hesaplanan ortalamalar arasından enbiiyük ortalama değer seçilir. Laplace ölçütünü bir örnekle açıklayalım: N l N2 Na N ; : = " S, 13 18,5 K = - : S, =., S = =14.5. :.. 4 : -.. ;., A. ; Örneğimizdeki tarâr matrisine göre eh. u yg ^ V, İ, Minimaks* (EtıkEnb) Ö lçü tü:. Karamsar karakterli bıv yöneticinin kııiianawieceği\bir.öiçüttilr. : ; ',. fvlimmaks ölçütünde, karar /matrisinin; her satirinin (yanı. her stratejinin) enküçüğü bulunur ve bu enküçük değerler arasından da^enbuyuk değer seçilir. :' ' ; Bir önceki problemi ele alalım:.. :.... ' Her Satırın- -..,. " Nı N2 ' Ns fsi4 enküçüğü, S ı ;' 14 ' ' " / : S 2 'ıs. '18 ıs ' 1, Ss 16'; 17. M ;.14- ' -.14 Enb.' - - V :- S ;14'..17 ; örneğimizde; her satırm enküçükleri arasında enbüyük değer 14 olduğundan yönetici Sı ve Ss stratejilerini seçer. -

7 3,2.33. Maksimaks* (EnbEnb) Ölçü tü: İyimser karakterli bir yöneticinin kullanacağı bîr ölçüttür. Burada her bîr strateji için olası"en-iyi durumlar saptanır* Maksimaks ölçütünde, karar verici, her stratejinin enbiyik "değerleri arasından gene enböyük değeri seçer. Dikkat edilirse, maksimaks ölçütü,, her. bir strateji için eniyl durumları gözöoüne alır, diğer durumlara karşı ilgisizdir,. ' Bir önceki örneği ele.alacak olursak:.... Her Satırın.. \ N ı N2 -Ns N4 ' Enbüyüğü ' Şı ] 9 52 ' , ' v. ' ' ' _ '17 : : 1.7 " ^ '. Örneğimizde bulunan her satırın enbüyüğü arasından seçilen enböyük 'değer 19 ve buna ilişkin strateji Sı olduğundan, yönetici Sı stratejisini seçer. 3« Miııiıııâks-Pişmanlık ',. _ ''(Minimaks Regret). Ölçütü. ' ;. -. ' Eğer,.gelecekte ne olacağı daha önceden bilinseydi, vermiş olduğumuz kar rardan dolayı pişmanlık'derecemizi ölçebilirdik. ' ' ' 'Minimaks pişmanlık karar ölçütü, bu hususu gözönünde bulundurur.' -.,. Pişmanlık tablosunu meydana getirmek için şu yöntem.kullâriıhr:. ; Karar matrisinin her sütununun enbüyük değeri, bulunduğu sütundaki her elemandan çıkarılır ve sonra her satırın enküçüğü bulunur ve bu enküçüklerden enbüyüğü seçilir Bu işlemleri bir önceki'.örnek üzerinde yapalım:... Karar Matrisi: ' /. * Minimaks = EnkCiçüklerin Enbüyüğü (EnkEnb) ir«k/î.,ümı». cr^ u,ut*,er-uv

8 Nı 'i - N4 Sı Sa S S Pişmanlık Matrisi: Nı N2 m ' N4 S ı, O -. ' ' S2 O' -3-5 '....Sa O ' ' 5*'. '. : ' V S4-4 ^3 -,-4, 2 ' " '. Her satırın enküçüğii seçilir ve bunlardan da enbüyük.'değer seçilir:- - Sı S2. ' S"3 ; S'4. Enkiiçük Pişmanlık 4 5 " 5 4" Bu sonuca göre yönetici Si ile S# stratejilerinden birisini seçmelidir» Sağlam bir karara. Örnek: Laplaceölçiitiifie göre:, N ı N2 N3 N4 $ S S3 ' S'4 3 2 o 1, -, ;: ; Aritmetik... ' Ortalama S ı \ 1, Ss 1.5 ;,S4. ; 1.5

9 Minimales ölçütlere göre: S ı '. O 52 1 Her Satırın Eriküçüğü Sa- ' S 4'.". ; O Maksi maks ölçütü:.,, 'Her Satırın.... Enbüyüğü ' ^ S ı ' '.. ; / 3 Sa 3 V S4 T. '' - ; ; 3 Minımaks Pişmanlık Karar Ölçütü:. ^ ' Pişman!ık matrisi Nı N2 " ^Ns N4. - Enküçiik S ı - - ' ' " -3. S2.0' -1-1 ' 0. -1' ' Sa.. 2. O O 4. '. --4 ' '. ' ' S4,, O. ~2- -3, 3^ ;,'3.3. Oyunlar -Teorisi: ^ ^ '... xoyunlar teorisi, ilk.olarak 1921 de Fransız metamatikçisi Emil Borel tarafından ortaya atılmıştır. Ancak, söz, konusu tekniğin temel -ilkelerini-ayrıntıları ile ele alarak uygulama alanına getirme onuru John Von Neumann a aittir. Oyunlar.teorisi, karar.teorisinin bîr değişik türü olarak kabiıl. edilebilir.ıoyun- ar teorisinin karar matrisinde koşullar yerine rakip firmanın stratejileri yerleştirilmiştir. / ' / ' : \.

10 Oyunlar teorisini/ ekonomik faaliyetlere ilişkin eniyi kararın verilebilmesi îçin geliştirilmiş matematiksel bîr yaklaşım olarak ifade edebiliriz, Bu faaliyetler»,. de, birden fazla karar verici, kendi kazançlarını enîyî duruma getirecek biçimde karar vermek zorundadırlar., B.ir probleme oyunlar teorisi tekniğinin uygulanabilmesi için, o problemin aşağıdaki altı koşulu içermesi gerekir (Houlden, 1962). * ' Oyuna katılanlâr (oyuncular veya firmalar) sonlu sayıdadır» ~r Oyuna katılan firmaların kullanabileceği strateji sayılan da sonludur. : -Her oyuncu-(veya firma) kendisi ve rakibi için, mümkün strateji!eriri neler'. olduğunu bilmekle beraber, rakibinin hangi, stratejiyi uygulayacağını bilmemektedir.. \ ' '.; ",. ~ 'Oyuncular (yani firmalar) hangi stratejiyi 'seçerlerse seçsinler her birinin ' kâr-veyâ zararı sınırlıdır.- ' ' / Oyuncuların kazançları (veya zararları)'kendi verecekleri karar.kadar'rakip-.' ferinin kullanacağı stratejiye bağlıdır. ' -, ' ' İşte bütün bu koşulların gerçekleştiği duruma/oyun denilir - /. / ' Oyunların Sınıflandırılması: Bütün m uh-temel'davranışlar hesap edilebilir, nitelikte olmalıdır/ Oyunlar teorisinde, oyunlar aşağıdaki özelliklerine göre sınıflandırılırlar;(dra: per, 1972).. V '. 'V - ' ' v' ' 1. Bir oyun birden fazla oyuncu (firma) tarafından oynanabilir«oyundaki ; oyuncu sayısına göre oyunlar 2 kişilik,3 kişilik, n kişilik oyunlar, olmak üzere sınıflandırılırlar* : ' ^ ;.2 Bir oyunun sonunda, rakip (firma.) taraflardan kazananların toplanı kân, kaybedenler iri toplam zararına' eşitse bu tür oyunlara, "sıfır iopfam/ı".oyunlar, tersi durumun söz konusu olduğu oyunlara da. "sıfır toplamlı olmayanmf oyunlar de- : nir. Dolayısıyla oyun sonucuna göre de oyunlar iki sınıfa ayrılırlar. 3 Bir oyunda-bulunaj^hecek-üçüncü'özellik de-oyuncuların stratejilerinin sonlu ya da sonsuz sayıda olup olmadığıdır. Buna göre de oyunlar iki sınıfa ayrı*?.. Iırlar.. " '

11 Biz sadece sonlu stratejili - iki kişilik -sıfır toplamlı'oyun türü üzerinde-duracağız ,1, İk i K işilik Cıcır Toplar alan.ikî kişilik sıfır toplamlı oyunlarda oyuncuların-ve rakiplerin net kazanç toplamı sıfırdır, Yani^oyununsonunda birinin kaybı diğerinin kazancına eşittir* Oyuna katılan.her iki tarafın akıllıca.hareket edeceği' ve kazancını erıçok yap- /mağa veya oyunun kuruluşu nedeniyle, kâr etmesi.olanaksızsa*.kaybsnı enaz yapmağa çalışacağı varsayılır.. '.....Oyuna katılan her bir.tarafa oyuncu denir Her iki oyuncunun doğru stratejiler kullanmak'koşuluyla oyunun; birçokkereler tekrarlandığını farzedersek* bunun sonucu olarak; oyunun.kuralı gereğin-' ce taraflar birbirine bir miktar para v«b.' şeyler ödemesi gerekir. Beher oyun başı- na düşen miktara't)yun değeri denir. - ~. - -Çözümden -sonra^ eğer oyuncunun tek bir stratejiyi kullandığı, saptanırsabuna'"salt Strateji denir... J '.... ; / Bazen en doğru karar, belli bir stratejiyi değil,de h a stratejilerin karışımını kullanmayı gerektirirse bu tür stratejilere Karma 'Strateji denilir...^ ~ Her-oyündan sonra oyuncunun-, biri diğerine önceden o stratejiler için katartaştırılmış bir miktar öder. Bu ödenecek miktarları toplu olarak gösteren matrise "Oyun Matrisi"'ye ya Oy unun Kazanç Matrisin denir. '..... Oyun matrisî..kare veya dikdörtgen matrisi biçiminde olup,,oyuna, katılan oyunculardan birirun. adı oyun matrisinin sol -tarafına,- diğeri de- üst tarafa yazılır. Bu tür bir oyun matrisine aksi belirtilmedikçe "A.oy uncusunun kazanç mat- denilir.. Buna göre," oyun matrisi içinde pozitif değerler A oyuncusunun n ı kazancını, negatif değerler.ise A oyuncusunun kaybını gösterin... " :v , B ir Oyup.M atrisinin (Kazanç M atrisix)in);kühılaşu:.'-; Oyuna katılan oyunculara veya firmalara A ve B.adını verelim. ' - A oyuncusunun m tane;. B oyuncusunun n tane stratejisi olduğunu varsayalım.

12 Bu iki oyuncunun veya diğer bîr ifadeyle A oyuncusunun oyun matrisi şöyle olur:,. B oyuncusu,. ' ' Strateji ' n 1 a ıı a 12 '' aö aj 2 a21 a^2' a 23 : ' -*2 ; A- oyuncum 3 ; a31. a 32 a33 ; - - İ3 : '.m; '..: amı. arm...a-m3 amn.burada; mxn...tane; mümkün oynama biçiminin'herbiri., için A#nın oyunun her adımında elde edeceği kâr veya uğrayacağı zarar miktarları yer almaktadır» Diğer bîr-deyişfe A'nın kazanç matrisindeki, âjj'değerleri^ Â fn cî stratejiyi uyguladığında B'nin jfncl stratejiyi uygulaması,.durumunda elde edeceği kazanç..miktarlarıdır.- Negatif aj^zarar-- miktarı olacaktır*.. ' ' ":.. '/ ' Daha iyi açıklayabilmek için pyununkazanç.mâtrisinf 3x4 lök alalım, (m 3 ve n ='4)- './ ' v ; ' ' >. v " :..'Boyuncusu Strateji I ' H ııı - -İV '.. A Oyuncusu t - ;. âıı ' a l2. a,g' a# II ' an a a a 23- : itaısı a32 ^33 a# Oyunun matrisi, A oyuncusuna göre3x4lük bir kazanç matrisidir.

13 Bîr oynayışta:, uncusu Itneî,. 'Boyuncusu da IV. ncü ; ' ' stratejileri seçerlerse:". '.. ' B oyuncusu, A-oyuncusuna a^ kadar ö< Eğer# a21 ' işaretli ise aslında ödeyecek' olan  oyuncusu kazanacak olan da B oyurv - /. Buna göre; B. oyuncusunun  oyuncusuna ödeyeceği miktarları gösteren bir oyun matrisi veri imiş iken* A oyuncusunun B oyuncusuna ödeyeceği miktarı gös- ' teren oyun' matrisini elde etmek için verilen oyun, matrisinin elemanlarının işare-.- tini değişi irmek yeterl'idlr... '. ö r n ek (3,2): Bir oyunda.bizim için 'muhtemel stratejiler (A,. B, C) rakibimiz için X, Y, Z olduğunu Varsayardaki kullanacağımız stratejiye göre bizim uğrayacağımız kâr veya zararlar aşağıdaki oyun matrisinde gösterildiği gibi olsun..- R akibin Stratejileri X Y ' - ^Z - - Bizim Stratejim iz. A 2. I_j- ; -2.B - ^' i- 7 o -, T ' C ' Oyun'-matrisi hakkında daha iyi fikir edinebilmemiz için, matrisi; oluşturan elemanların' anlamlarını açıklayalım:. /. Eğer,- biz birinci (A) stratejimizi;kullanırken rakibimiz de (X) stratejisini kul- ; lanırsa,. biz- 2 bîrim kazanç! i -olacağız dernektir»-, ' : Eğer, biz (C) stratejisini kullanırken'rakibimiz (Y ).stratejisini kullanırsa sû-. 'nuçtabiz-îmrim kaybederiz/- -. '. ' O halde, her bîr strateji için kazancımızı veya kaybımızı oyun matrisindeki rakamların işaretine göre söyleyebiliriz.

14 örnek (3,3): Oyunlar teorisinin temel karakteristiklerini gösterebilmek için tek mi, çift mî oyununu -ele alalım, ' uncusu iîe B oyuncusu iki bîiya île bu oyunu oynasınlar.- B oyuncusu bîr veya iki bilya'yı avucunda saklar, A oyuncusu da tek veya çift dîye tahminde bulunur.- : ^ ', a ^vuncı s S c /uncusunun avucundaki bilyayı bilirse 1 birim'para alır. Bilemezse 1 bîrim para öder. : t : _. Oyunun kazanç matrisini A oyuncusu İçin kurunuz. \ ' Çözüm: - - Oyuna.katılan'oyuncuların (A ve B nîn) ikişer stratejisi vardffv Bu ya tek veya ç îftdemektir, / ' ' v.... : Oyunun kazanç matrisi A oyuncusu için:-. ' " B oyuncusunun stratejileri " - Tek Çift 'A oyuncusunun Stratejileri. T ek - ', 1 ' ' -1 Çift... - ; _ ı ' ;. ; i.' örnek (3,4);.'(Karavelioğlu, 1976) -. Düşman kuvvetlerinin 3 nakliye ve î avcı uçağı bulunmakta ve iki ayrı,adâ-; dan- ikmal sağlamaktadır. Günde bîr kez, nakliye' uçaklarının Ikisî bîr arada ve ' diğeri tek. başına uçuş yapabilmekte dölayısi' ile. avcı uçağı-koruyuculuk-görevinî ancak bîrgrup-için yerine getirebîlmektedîn '. \ Bizim ise düşmanın bu nakliye hareketini engelleyebilmek için 1 tane avcı uçağımız olup,, o-d-a bîr gün içinde, düşmanın nakliye hatlarından ancak birine hücum edebilmektedir.. 1. Uçağımız, kendi avcı uçağı tarafından korunan düşman nakliye hattına rastlarsa aldığı emir gereği hücum etmeden üssüne dönmektedir. Ancak, kendi avcı

15 uçağı tarafından korunmayan nakliye grubuna rastlarsa nakliye uçağını {ya da uçaklarım) düşürmektedir, -.. ' ' Olaylar çoğu gün böylece tekrar edip gitmektedir, '.Bizim kazancımızı ya- da düşüreceğimiz uçak sayısını en fazla yapmak üzere izleyeceğimiz- stratejiler kargışında 'düşmanın izlıyeceği muhtemel stratejiler sortuoı, her..uçuşun bize sağlıyacağı muhtemel.kazanç ne olacaktır?. ' 'Çözüm:. ' - ;..., Oyunun' kazanç matrisini kurabilmek için karşılaşılabilecek olasılıkları sırası ile gözden geçirelim:.. - V- " '. \ -Bizi, (A),, düşmanı İB)'oyuncusu olarak gösterelim*, '..-. A nın avcı uçağı, B ninavcruçağı desteğinde olmayan-* ; '. bir nakliye,uçağına rastlarsa.kazancı + '.... / ' ". iki nakliye uçağına rastlara kazâncr+;.2.olun ' - -: -..A nın avcı uçağı*. B nihayet uçağı desteğinde olan.... ; - bir nakliye uçağına. rastlarsa.kazancı 0,. : ^ iki nakliye.uçağına raflarsa kazancı 0 olun.. - '. Şimdi oyunun kazanç'matrisini kuralım: B'nin Stratejileri Âvcı^ Uçağı Tek nakliye., uçağım.'.: "korursa - Avcı Uçağı Çift nakliye uçağım kor Us m-. Tek nakliye uçaklı ulaştırma hattı na hücum. 0 ' +1 A rmn Stratejileri Çift nakliye uçaklı ulaştırma hattına hücum * A nın stratejileri: X ı # Xz B nin stratejileri: Y ı, Y 2 olarak ifade edilirse.

16 Oyyniiii matrisi; B Y 2 X ı ' ' 0 ' -m - X2. '., + 2 ', '. p-. olarak yazılır». /. ' : Problem: (3,5)- ' '? '. Mağazalar zincirine sahip.lkl-.firma, bir bölgede bulunan iç yerleşim birimine, hizmet -vermek'özere, birer yeni mağaza açmayı, pfânlâmaktadirfar. Sözkonusu bölgede-yer alan iç yerleşînı. biriminin birbirine olan uzaklıklar, aşağıdaki şekil He gösterilmiştir v ;, ; \ ; ;.,. ;. '.. -; ' ;. e-,. " v. -. '. ' " Bölgede.yaşayanların^ 45fî A yer)eşim-bîriniinde>'% 30 fü B yerleşim biriminde ve % 251.C yerleşim biriminde oturmaktadırlar. ', Diğer yandan t Firmanın,.IS. Firmaya göre daha büyük ve daha örgütlü olduğu ve bundan dolayı aynı yerleşim birimine yeni mağaza açtıkları takdirde İşin (müşterinin) büyük kısmını L Firmanın kontrol altına alacağı bilinmektedir. Her iki firma ayrı ayrı yaptıklarıj pazar,araştırınaîarıiıda aşağıdaki verilen ve. aynı olatn bilgileri tespit etmişlerdir. Eğer her iki firma yeni mağazalarını aynı yerleşim birimine veya bu yerleşim biriminden eşit uzaklığa kurarlarsa, bu yerleşim birimindeki işin % 65 ini I. firma ve % 35 ini II. firma kontrol edecektir. i Eğer I. firmanın mağaza, II. firmanınkine göre bir yerleşim birimine daha yakın ise, bir yerleşim birimindeki işin % 90 mı I. firma ve geriye kalan % 10 unu İL firma kontrol edecektir.

17 Eğer, I, firmanın mağazası, il, firmanınkine göre'bîr yerleşim birimine daha izafe ise, -bu yerleşim birimindeki Jşin.% 40 mı i. Firma ve geriye kalan % 60 im I, ıirma kontrol edecektir. Oyunun ödenti IVIatrisitli kurunuz,- ' ' 3 3 3, Oyunun Çözümü ve Eyer Noktası: : - Bir oyunun çözülmesi; a --Oyunun değerinin bulunması* ', b  oyuncusu için a lt veya karma ersiyi stratejinin bulunması* c * B oyuncu.sü için salt veya karma eni yi stratejinin bulunması demektir. - -, E y e r N oktası ve O yunun.değeri:. '. '. Bir oyunun eyer noktası ile oyunun'değerini bir örhekle-açıklıyarak göstere» 'Tl. - ". ' '.' - ''' mek (3,6): Ahmet ISe Bülent aralarında bir oyunoynuyorlar.'-.oyunda- Ahmet'in ; stratejiye (A l, A2* A3) Bülent'in de iki stratejiye. (B1, B2) sahip olduğu bilin-' ektedir. Oyunun kuralı ise* ödemelerin kullanılan'stratejilere göre yapılmasını öngörektedir. Seçilen veya.kullanılan stratejilere göre.ödemeler aşağıda gösterildiği bidir. Kullanılan Stratejiler' A l, B1 A1,.B2 A2* B'.T A2/B2 A3, B1 Â3*,B2 Ödemeler Ahmet; Bülent fe 2 T L. öder. Bü!ent> Ahmet'e 2 TL. öder. Ahmet, Bülent e 1 TL. öder. B.üîent, Ahmet'e 3 TL. öder. ' Bülent, 'Ahmet'e 1 TL: öder..bülent*'ahmet'e'2-tl. öder. İZ. Bu oyunda Ahmet.ve Bülent için en iyi stratejilerime oyunun değerini bulu- Ödeme kuralları oy uo matrisi biçiminde-düzenlenirse*'bülent'in'ahmet'e emesi pozitif* Ahmet'iaByfenfe ödemes«negal f olarak gösterilin Ahmet e göre oyunun kazanç matrisi şöyledir:

18 Bülent I - * 3 ' A3 - i 2 Oyunun kazanç matrisine göre: Bülent B2 stratejisini kullanmaz-. Çünkü, bu strateji Bülent'e hep,kaybettirecektir. Bu nedenle, Bülent İçin en iyi strateji B! stratejisidir. Bu stratejiyi uygularsa enbüyük kaybı 1 olur. Ahmet açısından ilk bakışta en iyi strateji A2 gibi görülse de, her iki oyuncunun aklicı ve tutarlı oyuncular olduğu varsıyıldığindao, Ahmet Bülent'in 82 stratejisini, kullanmıyacağını bilmektedir. Bu nedenle Ahmet için en uygun strateji A3 stratejisidir. - ' ' : >'. Bülent'in B1 ve Ahmet'in A3 stratejisini" uygulaması, durumunda Ahmet'in kazancı 1 T.L. olacaktır. Bu değer Ahmet'in ulaşabileceği en fazla kazanç,.bülent' in de uğrayabileceği en az zarar o!duğundân:.oyunun denge noktasına yada.,f% e r noktası na bu stratejilerin (81 ve A3) uygulanması, ile ulaşılır..eyer'noktasının belirlediği kazanç değerine de oyunun değeri, denir, ' ' / _ E y er Noktasının Bulunması:... \ Bir oyunun eyer noktasını şöyle buluruz.. ;. 'Ele alınan oyun matrisinin; '... ' *. - - Satırlarının. enküçüğü bulunur ve oyun matrisinin satırlarının yanma yazılır ve enküçükler arasından enbüyük olan bulunur. Bü bulunan sayıya enkiiçüklerinenhüyiiğü (Enkenb) denir».. - Sütunların enbüyiiğü bulunur ve oyun matrisînin altına yazılarak eohüyükier arasından enküçuk bulunur. Bu bulunan sayıya. enbüyükierinenküçüğü (Efıbenk) denir. ' Eğer, Enbenk = Lnkenb ise oyunun eyer noktası vardır denir. Oyunun eyer noktası aynı zamanda oyunun değeridir. Bü söylediklerimizi bir oyun matrisinde görelim. Bunun için A oyuncusuna göre kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olan bir oyunu ele alalım.

19 B oyuncusu Str ' n ' 1 aı n etik an A. oyuncusu. a21 a? j * enk a2j j, -ij enkenb a.. «ı İ i m a dmı a ' âm n enk aml ' 'İ ' 'enb mı enb ai2 enbmn: I I: h.. ' -. ;. - -enbenk aij ' ',.,. : 'v : ;.. I- j ;. Oyunun"eyer noktasının olabilmesi için: ; '.. ;. Enbenk a» - Enkenb z-. olmalıdır. Bu eşitliği de şöyle ifade edebiliriz. A oyuncusunun kazançlarının (satırlarının) enküçüklerinenbüyüğü (Enkenb), B oyuncusunun kayıplarının (sütunlarının) enbüyükjerininenküçükleri (Enbenk) ne eşit ise bu oyunun bir eyer noktası vardır. örnek (3,7): Bir oyunun A oyuncusuna göre kazanç matrisi şöyle olsun: B oyuncusu Strateji 1 II III IV A oyuncusu II Enkenb III IV Enbenk

20 Enber ıkenb eşit olduğundan oyunun eyer noktası vardır,.oyunun değeri g - 42 dlr. '.. Buna göre oyuncular için en iyi stratejiler:. A oyuncusu içim II. B :oyuncusu için: IIIn o lu stratejiler olmalıdır.- Eyer noktası olduğunda hiçbir oyuncu, kendi durumunu geliştirmek için rakibi nln. strateji sinden' istifade edemez. Oyunculardan birinin, stratejisini değiştirmesi yalnızca kayıplarının artmasına yol açar.. Bir oyunda eyer noktasının bulunması,-kullanılan stratejilerin salt öldüğünü gösterir. Oyun birçok kereler tekrariansa' bile akıllı olan.oyuncular aynı stratejiyi kullanmakta ısrar ederler. ', :., ; '. örnek <3,8): ' ;. ; :. - ' \. - İki. firma (A ve B)-arasında.oynanan;oyunun A'fifroasitics gom kazanç matrisi şöyie.olsun. ' ' ' -... '. B F irm a s ı..; - \? " ' Strateji * t. : '. f i / ; _. îll İV. v : S- 0 : ' ' 1.9 / 8 "V 3 ıı \ 111 ' : ' 3 ' 4. iv i 2 5". ' 2 6 r- S ) i Oyunun eyer- noktasını bulunuz,. - ' Çözüm; ; ;.. a Satır elemanlarının enküçüğü bulunur 1 ncı satırın enküçüğü: 0-2 nci satırın enküçüğü: 4 3 ncü satırın enküçüğü: 2 4 ncü satırın enküçüğü: 1 f a d : Y İ

21 h - Sütun elemanlarının eııbüyüğu bulunur. 1 nd sütunun enbüyî^ğü: 8 2 ncl sütunun enbüyüğü: 4 3 ncö sütynun enbüyüğü: 9 4 ncü sütunun enbüyüğü: 8 5 nci sütunun enbüyüğü: 6 Bu işlemleri.oyun matrisi üzerinde gösterelim» B F irm a s ı Str. I ; İl II! ; îv. ' V : V 1 ; o 1 ' 9 '.. 3-0,. 1! ^ 6 ' 6. ', '5 4 Enkenb 111 ' ' : ' IV 1 ' 2, ' *6- :P S 4.' 9 '»V.6.'t. '. " Enbenk ' '. ' ' Örneğimizde eyer noktası (A2.B2) dır. Buna göre oyuncular için-eır iyi stratejiler: ' '' ; '. ' ' - A Firması için en iyi strateji: II nci strateji;. ' - B Firması; için en iy i strateji: l!/nci stratejidir... ; ;.... ; P ro b lem ( 3,9 ) ;.. '..... a). Aşağıdaki uyun' matrisinin ;eyer^ noktasının olupolmadığını araştırınız? Varsa oyunun değerinin ne olduğunu gösteriniz ^

22 B oyuncusu ' Strateji i - il IV V VI v ı r 111. A oyuncusu 1 6 -»10 1?, 25 0 ' 3 ' ; ~~2 " 1.1 ' * I T - l ı ' u» J b) Aşağıdaki o\ uîvjh eyer nokîas.«nı bulunuz (Draper, 1976). r, - Strateji I 11 III IV V VI i ~6 7. ' -11. II : ' 10 ~ ; '.. IV İ ' 8 ' 2- V -ıs. ': 16 1; : c) Aşağıdaki oyunun -eyer noktasını bulunuz. Strateji I İli ;. IV ' V : î 15'' ' i. '1 1 ' ' ' ili ' i l, ': ' 18 '. IV, 19; ' f i ; C Birden Fazla Eyer Noktası Olan' Oyunlar: '... Bazı oyunlar- birden fazla eyer noktasına sahip-, olabilir, İlk bakışta'; eyer noktasının tanımına.ııygun. düşmez görünen bu durum, oyunculardan bîri-tarafın-,. dan. eyer noktalarının, belirlediği stratejilerin uygulanması-ile sonucun-değişmeme*?:; ' sl-.demektih. ' ' : - v. ', :..,. '

23 Bîr örnekle bunu gösterelim:. Örnek (3,. '. Bir oyunun kazanç matrisi aşağıdaki-gibiolsun. ' ; 'Boyuncusu Strateji I 11. ' 111,4 oyu n cusu. I 10 ' 20 ' ; 10 II '. ' " ; ; '. lif : ' t v. 2 o ; Çözüm: Oyunun eyer noktasını bulalım:... '. - '. /B-oyuncusu' Strateji i :, u ; '. '.'İli 1 ıo_ ; ' ' ıo, ;!i : 0, ' 40. ' , J I Î, m, ' 30 \ -20 : 10 Enk e b " tnbenk ' t Enbenk Oyunun kazanç matrisine göre, (A1, B l) ve (A l, B3) hücrelerinde.dmak' üzere oyunun iki tane eyer noktası vardır. Bunun anlamı ise;. A oyuncusu daima I. nolu stratejiyi, B oyuncusu ise ister I. ister III. noiu stratejiyi kullansın, oyunun'değeri ' daima g = 10 olacak demektir. ; ^

24 Problem İ Bir oyunun kazanç, matrisi aşağıda verildiği gibi olsun. :.Boyuncusu,. Strateji ' ' I IİI A oyu n cusu '. i ;.20 ': ' 30 ' - jö "O MI ; '.Oytihun eyer-noktasinı bulunuz? Strateji Vektörü: Birbirine rakip olan A ve B firmalarına İlişkin oyun matrisi şöyle oîsun. B firması Strateji' l. il - İ l i ; A fimmı i ; ıs > 19 ' 16. ir '. ' ' MnMnb '"İS... m f. Enhenk Oyunun eyer noktası 16 olup, A l ve B3 noiu stratejilerin kesiştiği hiic redir Bu duruma göre A firması I nci stratejiyi, B firması da Ifl ncü stratejiyi kul anacaktır. Bu duruma göre A firmasının "strateji vektörü" :. p (1,0) ve oyunun değeri g= 16 olacaktır, p (1,0), eyer noktasının bulunduğu satırı kullanabilmek için A

25 Benzer biçimde, B firmasınınstrateji vektörü; c {0,0,1) ve gem oyunun dej- laçaktır. Bu İse,, eyer noktasını İçeren kolonu.kullanmak için B firmasının'1ii ncü stratejiyi seçmesi ve'i İle II yi hiç kullanmaması anlamını taşır, ' Eğer, oyunda birden fazla eyer noktası -var. ise, oyuncular.için alternatif' strateji -saz konusu olur. Bîr örnekle bunu açıklayalım. örnek (3,12): ' '. '. : Bir oyun matrisi şöyle olsun. _. '. ' :. ;..' _. B firması - Strateji I II III IV ; A firması ' î Enken b - II ıo f.. i Enbenk E n b en k. -Oyunun kazanç'-matrisinde görüldüğü gibi, îkr-tane eyer noktası-'vardır.'. A firmasının. I noîu stratejiyi, kullanmasına, karşın B firmasının I ve IViiolustra--. tejîleri.kullanma-olanağı vardır..bu-nedenle B firması için alternatif strateji vektörü söz konusudur* ' ' ' ' A. firm&mın Strateji vektörü, p ( 1, 0 ) - B -firmasının.strateji vektörü,. q.(1,0,0, 0)'.. '. ve alternatif strateji vektörü ise. q (0,.0, ö,. ) olup.oyunun değeri g ==30-dur.. :. -3,3.6. Eyer Noktası Olmayan Oyunlar:-.' '. -' ;. ;. -Eyernoktasrol-mayan oyunları bir örnekle-açıklayalim: : - -. örnek'(3,i 3): ~... \. ; A oyûıtcusuna ilişkin kazanç matrisi şöyte'olsun:-

26 B oyuncusu - Strateji 11 ' ili A * oyuneysu 1 ' / fil ' ' W ^ Enkenb 20.^- 30 ' ; t -... _.. -..Enbenk Oyunun.eyer noktası yoktur.-diğer bir ifadeyle, oyun, matrisinde satırların enküçüğüyle, kolonların enbüyüklerinin çakıştığı bir hücre yoktur*. Eyer noktası olmayan oyunların' çözümü için türlü yöntemler gelîştirîî- ^miştir. Yöntemleri örneklerle açıklayalım:' " - 3.3,7.'Eviren Stratejim:. Egemen strateji, oyunda tercihî! olarak koflanılan ve diğer.stratejilerden bazılarını devre, dışı bırakan stratejiler olarak.tanımlanabilir.' ' ' ; Kural; Bîr'oyun matrisihde/birsütünûh tüm elemanları başka bir sütunun karş.ilî.kls eleıraniarıhdah'.büyük *veya eşit ise bu tür stratejiye egemen strateji denir m kendinden kuçtik olan süfuh.u devre dtşı bırakır.- ' "Benzer biçimde, bir oyun matrisinde bir satırın tim elemanlar i başka-bîr satijm karşı lıklı elemanlarına eşit veya daha büyük İse bu tür/stratejiye egemen strateji denir ve kendinden küçük oîars satırların ilişkin olduğu stratejileri ayıklar. Ayıklanan bu satır ve sütun oyun matrisinden çıkarılarak oyunun çözûmi kolaylaştırılır. Egemen stratejileri bir örnekle açıklayalım: /. -. ", : ' ' örn ek (3'14):., ; - Bir oyunun matrisi- aşağıda verîidiğl -gibi-olsun:

27 B Oyuncusu Stra I.' II İli IV V ' / VI A Oyuncusu ' I _ : ,1i" '12 : 14 i Ilı ' IV. : "' ' 14 ' 14 - ; 14.,12-, :4, 16..' 13 ; 14 ' ; t. 'Enbemk > E nkenb n 14 ' ' 16-. Oyunun '' eyer noktası '.yoktur: 'Oyunari çözümü için egemen stratejileri sap» tayip,"oyun matrisinden çıkaralım..,. \ ' y. -. Oyun matrisinde.11. ncl satırın elemanları (14, 12, 15, 12, 11, 16), j'n ci satırın elemanlarından i'ts 11, 10, 11, 11,12) büyük olduğundan I şatır İL sat«ttrrafından devre dışı birikilir - ', Benzer biçimde-, V nçî satır SV mm s^tır taraftrsdan; devre dişi bırakılır^ ' Bu satırlar oyun matrisinden çıkarılırsa. 'E. Oyuncusu ; A Oyuncusu Sim, 1' ; 11 i l i. IV ' SI - 14, 12. ; ( 15 Î2 ' ;;.in 15 : 14" ; "i«: i a;.' IV -14, M Yeni oyun matrisimizde sütunları gözönûne aldığımızda, II nci, IV ncü, V nci sütunlar I nci sütun tarafından devre dışı bırakılın Son durumu dagözönüne alarak yeni oyun matrisimizi yazalım..,

28 B 'Oyuncusu Strateji : ili ' V I - A :Oyuncusu ' '!!! 14. -: ': 1 enb ' ' ' 15 : ; 16 - ' 13 ı3 : ; I V.'.. 14 '.- 13 ; ;..'.- 15 : '. : ' 16 ' 16 '.. ;.. t ; '.-_ ' '.,. : Enbenk ' ' '. Oyunu...çözmek için- karma strateji uygulamak'zorundayız.- Çünkü,-oyunun. -eyer/noktası yoktur, örneğimizde-ele aldığımız 'Â'ya göre oyun matrisimizin' e-.yer noktasının but?ınmâsı olanaksızdır..çünkü, asıl, kazanç-matrisinde eyer-noktası buiunmuypfrv f getnen.stratejiler veya âltedileri satır-ve sütunlarla -küçük boyutlara dönüştürülmüş: örneğimizde.öldüğü-gibi kazanç matrisinin, de eyernok-- tası bulunmaz.. Eyer noktasının 'bulunmadığı.oyunlarda oyuncuların -veya firma -- latın eniyi-.-'stratejilerini-ve...oyuhün: değerini şu yöntemlerle buluruz.,., - Cebîrsel'yöntemle," -Grafiksel yöntemle,....: Matrislerle,; '..- İterasyonla, -. Doğrusal programlamayla:. Biz, sadece-burada,, cebirsel, grafiksel, matris ve.d.fvyle çözümleri:ele alacağız İk i Kişilik Sıfır Toplamlı'-Oyunların Genel Çöztiiriü: Bir oyuıida,'.â oyuncusunun- m, tane"b oyuncusunun da n tane stratejisi öldüğünü düşünelim.- A oyuncusu için-:kazanç matrisinde (m x n).eleman, vardır.

29 B Oyuncusunun Stratejileri. 1 1! 111 " i. a'll ai2 -a J3 aın A Oyuncusunun Stratejileri ^21 ab a 20 m.; a 31 ^ 3*.. a 33 % r t - * *,". ' m a m ı am2 am.3. -amn Oyun, matrisi (a-) biçiminde gösterilerek" şunlar kanıtlanabilir.-' ' '.1 ' / - ' '. '.. ' ' : 1 Her matrisîn.'tek bir (g) değer? vardır.' ; 2~~ A oyuncusu';. 1 ^. 1 inci-.stratejilerini sırasıyla ', '. X I,. X2..., Xm frekansları ile kullanırsa, (X l -.+ \ Xm = 1) en az kazancı oyunun değerine (g) eşit olur. Bu'Afiften iyi karma stratejisidir..' - 3 ~.B oyuncusu, I, II,..., n inci:stratejilerini-sırasıyla- Y ı, Y 2..., Yn frekansları ile kullanırsa, (Y ı +- Y Yn = 1) en fazla.kaybı oyunun degerifie.(g)" eşit olur.:bu da B'nîn en iyi karma stratejisidir Bİr iki kişilik sıfır toplamlı oy un'un çözümü A'nın stratejilerinin Xı,-X2.. Xm frekanslarını, B nin -stratejilerinin Y ı, Y2,..(, Ym frekansların).ve oyunun de-:. gerini; (g) verir. Bu çözüme aşağıdaki denklem veya eşitsizliklerin bir-ar^da ço-' dilmesi ile ulaşılır. ' ' ' /. ^,Xı + X Xm' = 1 X ı> 0 ' /.. ' Yı + Y r f Yn = 1 Y ı > 0 /.../, X ı aıj;+ X2 a2j Xm amj > g j = 1,2y...>h : Yı aıı + ;.Y2ai Yn- ain < g i = 1,2,...;m ^ 3.3»8eL Eyer Noktasız, (2x2) Matrisi Oyenun Kısa Yolla ' -Çözümü: Eyer, noktasız (2x2) matrisli İki kişilik.sıfır--toplamlı oyunların formüllerle.ısa bir. çözümü, vardır.

30 Bu formüllerin cebirsel yoldan elde edilişleri şöyiedir: l(y ı) B a b M V, c d X ı + X2 = 1 Â'nın iki stratejiden birini kullanma olasılığı Y ı + Y 2 = 1 B'nin iki stratejiden birini kullanma olasılığıdır. a X ı + cx2 > g : ; : bxx + dxz> g ^ ayı + bya< g cyı + dy2< g yazılır. Bu eşitsizlikleri eşitlik halinde düşünürsek: axı + cx 2 = ğ bxl+ dx2= g ayı + by2 = g e.yı + dy2 = g X ı+ X2 = 1 Y ı+ Y 2 = 1 (D (H) (m ) (IV ) (V) (V I) I ve II nolu denklemlerden:. axı +: cx2-= g, ' * bxı + dx2= g ; 'X ı.(a, b.) + X 2.fc d ) = 0 bulunur» Benzer şekilde III ve 1V nolu denklemlerden:

31 Yi. 2 d - b a c bulunur. Diğer.-'taraftan ncîu denklem yardımıyla-xı.ve X2 değerlerini;bulalım: X ı + ' ' ' - '.. X 2 = 1 - X ı;..-., ' -.. '... X j. d c X l: d ~ c X2; a - b 1-*~Xr a b (a b) X ı =. (1 X ı) (d c) (a - b )X ı = d - c - X ı (d - c) X ı (a b + d c)^d-~ c X ı - d c â b.+d - c d..c ; (a. + d) ' (b + c )' X 2 =!. X ı eşitliğinde X ı t-icı-değeri yerine konursa. a + d b c d +; c, :(a + d) '(b + c): a b { a f d) (b + c) /. : ; ; - ' ; X ı ve X 2 değerlerini 1notu denklemde yerine koyarak oyunun değeriniveren formül,. '. \ ' ' ' /. g ==axı f cx 2- d ~ c a - b g= a -+ c- (a + d) (b.+ c) (a + d}.~ (b.+ c) g-- ad ac + ac be-/. {a 4- d) (b.4-c) -ad bc. (a 4-d) ~(b 4- c) biçiminde bulunur.

32 örn ek (3,15): A oyuncusunun#kazanç matrisi şöyle olsun: B Oyuncusu. A 'Oyuncusu '' X ı X2 - ' - 1 Yı. Y2 i -2-1 <~Enkenb. * '.. '.. - :,+,. ; ' \ :. ' ',. Enbenk " ~ ' Enbenk # Enkenb oldüğundânoyunuıieyer noktası yoktur. Bu nedenle o- yuftun değerini ve herblr stratejinin frekanslarını hesaplsyalırti, A oyuncusu için X ı, X 2 stratejilerinin frekanstan: * :,, X ı. =d - c '. ". - ; X2 a b Xı "x T X ı = t X ( 2) X ı = 2 1 X ı + X2 =1 X a = = 1 hesaplanır. B oyuncusu için Y ı. Y2 stratejilerin frekansları: Y i Y 2 d - b a c Y i Y z 4 - (- 2 ) 3 ( 1) Y i 3 Y 2 2 Y ı + Yz ==

33 olarak 'hesaplanır. Oyunun değeri ad be g = {a + d) (b + c) z 3 >4^M ) M İ (3 +4) _ (_ 2 1 ) T=r ; g = 1 ', :..., ', ; olarak bulunur. ' " ''. - Xı Yı (2 x 2) boyutlu oyunlar için -ve' oranlarını daha kolay bulan di» - / X 2 Y-2 ; :. - ; ' ' ger.bir çözüm yolu İse şdyiedir (J. Draper, Kllngman, 1972): - Oyun matrisi aşağıdaki gibi olsun. '. y '. ' ' -.B Oyuncusu., A V ' ' Oyuncusu Yi' ' ' Y2 Xı a ıı - " al2 Xs a2l a 22. ' A oyuncusunun strateji vektörünü: P\ B'oyuncusunun strateji vektörünü: fj' ile gösterelim: A oyuncusu için: ' pı-= ' ',: a22 a^ '(au+ aai-iac+ aa)" P2 = a i i a 12'. (a,u + â,2z)~~ (an ^ a2i)

34 4 ( 1) 5 Î 3 + 4) i - l l ) 10 i oyyncüso için: C 1 â: (aıı + a a )- (a 1 _ i \&\ I {a 2+ a2î ) Oyunun değeri*'. g = (auxa22)- (aı2xa2i) (a n + a 22) - (a i2 + a2ı) 'Formüllerinden hesap edilir/{ asieni>.yaspan, Friedman, 1,964). _. : ; Bulduğumuz bu formülleri nasıl kullanacağımızı göstermek'için de bîr örnek - ele alalın* ve-;bu formülleri kullanarak pi,-p2 q ı, qz ve g yi hesaplıyalıriv " Örnek (3t 16):. '. -,. ;. : - Bîr önceki problemi ele alalım ve çözelim., ;. Oyunun kazanç matrisi şöyle idi: : ' ' " '.. ' '. B Oyuncusu,. '... Yl Y2 A Oyuncusu Xı 3 ' -2.: X2 ;.; - i _ k4. ' A oyuncusu için:. a22 (aı ı +a22) (aı2+a2ı)

35 v, = ' 3 - (.-?! ; 5--._ (3 + 4) ( 2 + ( 1) ) B oyuncusu için: a2'2' ~ % 2 fil ı+-a2 2-)~ (a12 + a2l ). Y ı - ' ' ' 6 6 (3 + 4) ( 2 + ( 1) ) ~~ 7'+3 10 q2 = Y 2 : -aji a2ı (aı i + a-22î~ (ai2 ^ a2 i) Y 2 = ' ; 3.r-(-l). V.. " 4. 4; _ 2 (3 + 4) ;(~2 + ( 1) 7-+:l. V' - 'W \. 5, 'bulunur. : ' :. Oyunun değen:... ' ;.. ' (a n x a 22) (a n x a21) g = (aı ı + a2 2) (a 12 + a21) (3) (4) ( 2) ( 1) (3 + 4) ( 2 + ( 1) ) = 1 10 Problem (3,17): Bir nakliyat şirketi, Ankara'dan Bursa'ya hergön bir kamyonla nakliyat yapmaktadır. Nakliyat şirketi nakliyeyi Ikî yoldan'yapnnakta, ancak İkinci yol hem u- zun hem de bozuk bulunmaktadır.

36 Nakliyat- şirketinin.kamyonu! nci yoldan-giderse her. seferinde şirket 200 TL,, il ııcl yoldan gider«şirket. 100 TL. kâr etmektedir, İki yolu'kontrol eden bîr trafik "ekibi bulunmaktadır, Şirketin kamyc fîk ekibine rastlarsa, nakliyat şirketinin kamyonundaki sürücüsünün ehliyet ve çalışma karnesi ile kamyondaki bazı noksanlıklar için trafik ekibine 200 TL. ödemek zorunda kalmaktadır. ' * a~- Oyunun kazanç matrisini nakliyat şirketi İçin kurt-.nuz» -.. " \ - b- Nakliyat şirketi ve trafik polisi İçin en iyi stratejileri saptayınız. c ~ Nakliyat şirketi için oyunun değerini hesaplayınız., Çözüm:.. a -..Oyunun kazanç matrisi hakliyeşirketi için: / Trafik Polisi ' ' \ 1net Yolu--. Kontrol ederse Jln c IY ö lü.' *.Kontrol ederse Nakliye Şirketi Kamyonu L yoî. dan. gönderirse 0 ' '200.. Kamyonu II. yoldan gönderirse,. 100-, 100 ' Oyunun eyer noktası yoktur. Nakliye "Şirketince uygulanacak'stratejilerin' frekanslarını (X ı, X 2.) île gösterirsek:,. '. '... _ ' Xı. X2 d c '.formülünden' 'a-'b ; X ı %2 -ıoo-ıoa,.'-xı x = 1 : V ; ' i- 1.. X ı + X2 1 olduğundan X ı - ve Xz - olarak bulunur. Buna / göre nakliye şirketi her iki yoldan 1/2 frekansla yararlanmalıdır

37 Polisin uygulayacağı stratejilerin frekanslarını da (Y i, Y 2] ile gösterirsek:. Y İ d ~ b ^Y2' ~ formülünden,.. ' Y İ - -!TO^2 e' -300 '. = - = 3 -ve V? Y l 4- Y 2 =r 1 olduğundan:..... \ /. ^ ;. ' 3 " : 1 " 7' Y ı == ve Y.2 = olarak 4, 4...bulunur.'Buna göre;polis l.-nci yolu 3/4,11 nci yolu da 1/4 frekansla kontrol etmelidir* '. Oyunun değeri ise:.. ad bc 8== (a + dtt(b + c) g~ ( )- ( ) ~ -400 g = 50 TL. dir... Oyunun değerine göre, bu stratejilerin kullanılmasıyla nakliye şirketi sefer başına 50 lira kâr sağlamaktadır. \. Pröklem(3,18)rÂlî ve Bülent aşağıdaki koşullarla yazrtura oyunu oynamaktadır. ' -.Ali ve Bülent ceplerinden''çıkardıkları paranın bir yüzünü göstermektedirler. Gösterilen yüzlerin her ikisi de yazı olursa'âli 1 lira kazanacak, yüzlerin her ikisi tura gelirse Ali hiçbir şey kazanmayacaktır.-. Paranın biri yazı'biri tura gelirse A li,.1/2 lira kaybedeçektir..- Oyunun kazanç matrisini Ali için kurunuz.

38 Oyunun frekans değerlerini her îkî oyuncu için hesaplayınız. Oyunun' değerini bulunuz, Çözüm; Oyunun kazanç matrisi A lifye göre: Bülent -Yazı Tura Yazı 1-1/2 Tura. 1/2 ' ' 0 Diğer hesaplamalar'okuyucuya bırakılmıştır. _. -.. Problem (3,19): İki.rakip firma -A ve B aynı piyasada faaliyetlerini sürdür-.- mektedirler. Firmalar.-kendi mallarıriın. reklamlarını afiş, ve gazete 'yoluyla yapmaktadırlar. 1. '. ', - x Her İki firma gazetelere' reklam-'.verdikleri'zaman, A-firması B firmasına nazaran TL. daha fazla kazanç sağlamaktadır. \.. A firması, gazete, B firması afiş yoluyla reklam yaptîklarmda A firmasının; fazla kazancı 0 ffs«fır,f olacaktır.... " : A firması afiş, B firması dagazete île. reklam yaptıklar s zaman A firması TL. zarar edecektir. ;. : ' : A firması afiş; B'firması da afiş ile reklâmlarını yaparlarsa, A firması TL. kazanacaktır... ^. A firması için oyunun kazanç matrisini kuru-huz-'ve oyunun değerini sapta» yınız.. ' - Çözüm: ' Oyunun kazanç matrisi A oyuncusuna göre.değerler 1000 TL. cinsinden alınırsa :..

39 B firması G azete A fiş Â firması G azete ' 100. '. A fiş ' olur. Diğer hesaplar okuyucuya bırakılmıştır ' ' ' Bir Oyunun Matrislerle Çözümü: Bu yöntemin en basit uygulaması olan, eyer noktası olmıyan ve A oyuncusu na göre kazanç matrisi.. '. ' ' B ' 'Y İ ' ". Y2 -;; aj ı - '.*12 X 2,"^21... %2 olan, oyunun çözümünü bir örnekle gösterelim. Önce, matrislerle çözümde kulla nılan notasyonları açıklıyalım: A ve B nin uygulayacakları stratejilerin frekansları: [X I, X2] = I. adj A I. adj A T Y İ Y2 adj A I I. adj A. I formüllerinden, Oyunun değende

40 formüllerinden hesaplanın Sembollerin anlamı: al 1 ^12 a21 a22 ' '.. İA = A matrisinin determinantı, ' ; adj A = T = A matrisinin adjoint matrisi, '.1matrisinin tranşpozu, - ' ; _ '. I *= Elemanları bir olan ve boyutu  matrisinin derecesine eşit olan yatay bir vektör.. " \.örn ek (3}20):. '. ; ' ' ' ' " -. : ' " ' Eyer noktası olmayan bir-oyunun kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olsun. B oyuncusu J II- ' J ' ' 1 0 ' 11., -1 Bu oyunun stratejilerini ve oyunun değerini matris yöntemiyle hesaplayalım., Çözüm: '.

41 r [Xı, X a] L.âdjA- M, 1] I. adja. I' [ ] [3 1 ] t İ ] j~ ^ J [3 1] [3 İ] [3 1] [ X!,X 2] = 3 1» » X, =., x 2 = - Y l V 2 adja T i.a d ja. I {1 1] /4" 4 2 2/4 [ : g d ı 1 1 Y l ---, Ya = Oyunun değeri: İA I I. adja. 1'

42 1-1 o 2 -g = I I 1] -= 1 W olarak bulunur. Örnek (3,21); A oyuncusunıin kazanç matrisi (3x3) lük bir matris olsun. Buna göre matris yöntemiyle çözümünü bulalım. n B Oy uncusu Y, y 2. Y 3 ; ' A oyuncusu X, X2 2 5' o X Çözümü: A = I adja = ' IS *'

43 I [ 1 1 ] fx l, x 2, x 3] L adja I adjâ.. S [1 1 J !iö [ ( 12) (-12) 1( 15)+ 1(-6) ] [ (-12) (-12) 1(-15) + 1(-6) ] 1 [ x ltxatx9 ) = :lx.1>xa>x3 ] [ ] [ Î ] [ ] T [ 40(1) + 24(1) + (1) ] 1 1 [ ] ~ iki matrisin eşit olması demek, karşılıklı elemanların eşit olmasıdır. Bu nedenle; X ı = 40 X 2 = " 65 X 3 65 olarak bulunur. Şimdi Y,, Y2 vey3'ü bulalım. Y, V 2 y adj A. Tî* l.ad ja. I1 [1 1 1] "

44 i 33-1/ - '/T)+ 6(1) ('' -.s ) [ J 65 - Yı y 2 ~~.12, 65.. Y ı = Y, = y I A! l.adja.1* " -[1. T ;' 1]-" ~ 30 18' '-1 5 " '. 6 1 _72-; _ = 1.93 Bulunur. Problem (3,22): İki kumarbaz (A ve B ) ceplerindeki 1 TL., 5 TL. ve10 TL. Iık markalarla kumar oynamaktadırlar. Her ikisinin aynı anda çıkardığı niarkanın değerlerinin toplamı tek ise A, B nin çıkarmış olduğu markanın üzerindeki değer kadar B den para alacaktır.

45 Bu toplamın değeri çîft ise  nırı çıkardığı markanın değeri k; B alacaktır» Oyun boyleee birçok kereler tekrarlanmaktadır. ayı ' A ve' B; nln uygulayacağı en uygun stratejileri-ve oyunun değerini bulunuz, Kazanç matrisi jncusuna gire düzenleyiniz* Çözüm: Oyunun kumarbaz A için kazanç matrisini kuralım: Kumarbaz İ TL. 5 TL. 10 TL. 1TL TL TL Çözüm okuyucuya bırakılmıştır. '.. : Bir -Oyunun Cebirsel Yöntemle Çözümü:? -Cebirsel yöntemle oyunları çözebilmek için' denklem ve -eşitsizlikleri bira- -rada çözmek gerekir. Bunun için kazanç matrisi m x n boyutunda olan bir oyun düşünelim ve buna ilişkin eşitlik ve eşitsizlikleri yazalım., (1) X ı + X 2 + X Xm = 1 Xi > 0 (2) Y,- + Y2 + Y Yn = 1 Y j> 0 (3) aiix,;+a2j X amjx m>g = U,., n ^ aiı Y ı +ai2 Y ain Y n <g = 1»2>..., ni (3) nc lu eşitsizlik.(o) tane, (4).notu eşitsizlikte (m) tane eşitsizliği ifade ederler. Biına göre, m + n; + 1 tane bilinmeyenimiz ve m + n + 2 tane de eşitlik veya.eşitsizliğimiz var demektir. Pek tabii ki, X[ ve Yy nln pozitif olma koşulunu da gozönünde. tutmamız gerekir. ^

46 Bir örnekle cebirsel yöntemin nasıl uygulandığını görelini: 'Örnek (3 23):. Oyunun kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olsun: " ' Boyuncusu Y, y 2 v 3 A oyuncusu. X, 3 3 x x *-enkenb 2 ', : ; ;. ' t... - \.. enbenk - Oyunun, eyer, -noktası--yoktur.- Oyunun- değerini bulabilmek için karma strateji uygulamak gerekir. Biı nedenle: '. '. A oyuncusunun strateji vektörünü, XI (i I, 2, 3) ~, :B'oyuocuşunuh strateji vektörünü, Yj.( =-Î, 2,3) Ke gösterelim: - Oyunun kazanç matrisini kullanarak Xi ve Yj arasındaki ilişkileri;. X, + 'X 2 + x 3= 1 X i ler için' ' Xi>0- İ İ - Î A 3 J 3Xı + X2-2X3> g 3 X j X X3> g. 3X'f + X 2 + 2Xı,> g : Y jier için....'yj> 0 / 0 = 1,2,3] Y j + Y 2+ Y 3= 1 3Y 1 + 3Y2 3Y3< g ' Y, - Y 2+ Y 3< g -2Yı + 2Y2+ 2Y3< g eşitsizlikleri halinde yazabiliriz.

47 Çözümü yapabilmek için de bu eşitsizlikleri eşitlik sistemi halinde yazalım. [I ve II]. 1 la 3 X j+ X 2 - t Ib Ic ~3Xı + X 2 + 2X 3 = g İd 1 Ha I Ib IİC 2Y. + 2Y2+ 2Y3= g lld Iİ Eşitsizliklerden de görüleceği üzere I ve II nolu denklem sisteminde denklem sayısı 8 bilinmeyen sayısı 7 (X 1( X 2, X 3, Y ls Y 2, V 3, g) dir. O halde çözüm yapabiliriz. II nolu denklem sisteminde II nolu eşitlikten Y ı değişkenini yalnız bırakalım: ', 8 : : ;, Y l = 1 y 2 y 3 ; ".. ' olur. Bu Y ı değerini diğer eşitlikte yerine koyacak olursak: llb nolu eşitlikten elde ederiz. He nolu eşitlikten ise 1 - Y 2. - Y 3 - Y 2 + Y 3 == g-> 1-2 Y 2 = g elde ederiz. Aynı biçimde lld nolu eşitlikten ise -1 + Y 2 + Y, + Y 2 + Y4 = -> Y2+ 2Y3 = 2 2 elde edilir.

48 Ilb ve He nolu eşitliklerden elde ettiğimiz. 2 Y 3= 1- ve 2Y2 = 1- g eşitliklerini, yukarıda [Hd den elde edilen] Y2+ 2Y3-= 2 eşitliğinde yerine koyarsak: g g g = r g = 6-> g= ----bulunur. 11 Şimdi de Y j değerlerini hesaplayalım: Bunun içinde lla, 11^, llc ve 11^ eşitliklerinden elde edilen denklemlerde (g) nin değerini yazarak: bulunur. 2Y2= 1 g ^ 2Y2= 1-6/11 -+ Y 2 = 5/22, 2Y3= 1 - g/3 -> 2Y3= 1-6/33 -> Y 3 = 9/22, Y j == 1 Y 2 - Y 3 -* Y j = 1-9/22-5/22 -* Y a = 8/22 Xi değerlerini hesaplıyalım: Bunun için g'nin değerini eşitliklerde yerine yazalım. X ı + X 2 + X 3 = 1 eşitliğinden X 2 = 1 - X ı X 3 elde ederiz. Bu X 2 'nin değerini de 1^, lc, eşitliklerinde yerine koyarsak: 5 lb eşitliğinden: 2Xı - 3X3=

49 ic eşitliğinden: 4 17 eşitliklerini elde ederiz. Bu eşitliklerden X ı ve X3 eşitliğinden de nin değerini buluruz. değerlerini Buna göre: 2 J 6 bulunur. Özetlersek: Oyunun Çözümü: A'nın stratejilerinin frekansları BVtln stratejilerinin frekansları Oyunun değeri; - 6,r g - -- diri l Örnek (3,24); Kazanç matrisi. B

50 olan bîr oyunun çözümünü cebirsel yöntemle.yapalım, Oyunun kazanç matrisinden genel denklemleri elde edebilmek için eşitsizlikleri yazalım: Xj fer için Yj ter için X t.+ X2 =1 * 1 - V i^ g 3Y2-2Y2«g - 2 X ı + * X 2> g Y1^ 4 Y 2<g X j> 0 (i = i,2) Yj > O (I.*? 1,2) Eşitsizlikleri eşitlik olarak yazarsak, aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz. - 2 X, + X2=1 (1) Y, + Y2= 1 (4) 3 X, - X 2 =g (2) 3Yj -2Y2=g (5) Xi + 4X2=g (3) -Y, + 4Y2=g (6) Görüleceği üzere burada 5 bilinmeyen [X ı, X 2, Y ı, Y 2 #g ] ve 6 tane denklem vardır. (1) ve (2) nolu denklemlerden X 2 ve Y 2 değerlerini yalnız bırakarak (3), (4), (5) nolu denklemlerde yerlerine koyarsak. X 2 =1 - X ı ve Y 2 = 1 Y î olun. 3Xı (1 - X ı)= g eşitliğinden ^ 4 X ı' g = 1-2Xı + 4(1 - Xı)= g eşitliğinden ~6Xı g = 4 3 Y ı~ 2(1 ~ Y ı)= g eşitliğinden 5Yj - g= 2 elde edilir. Bulduğumuz bu 3 bilinmeyenli 3 denklemden X j»yı ve g yi çözersek: ' bulunur. Bulunan, bu değerleri, X 2 = 1 X j ve Y 2 ; = 1- Y ı

51 denklemlerinde yerine yazar e gerekil İşlemleri yaparsak:.x2 = 1 v. - 1 ' 5 bulunur* Buna göre bulunan çizim : 2 2 Bfnin strateji vektörü (- 3 2 ve; olarak bulunun Oyunun değeri g = 1 / Çizim için bulduğumuz değerler aynı zamanda Xj ve Yj 'ferin pozitif olma koşulunu sağlamaktadır. Bu koşul, sağlanniasaydı başka beşli denklem-grubu alınarak çözülür ve verilen koşullar sağlanıncaya kadar işlemlere devam edilir. Problem (3,25). Aşağıda A oyuncusunun kazanç matrisi'verilmiştir. Cebirsel yöntemle çözümünü yapınız. B Oy uncusu Y ı. y 2 y 3 A Oyuncusu X X x

52 Problem-(3, 26): Aşağım %> vuncusumın kazanç matrisi verilmiştir. Cebirsel yöntemle çözümünü yapınız, B Oyuncusu A Oyuncusu X i Grafiksel Çözüm: Grafiksel çözüm uygulamada boyutları (m x 2) veya (n x 2) olan oyunlara uygulanır. Bazı yazarlar, grafiksel çözümü (3 x 3) lük oyunlara uygulamakla beraber, üç boyutlu uzayda geometrik olarak gösterilmesi yani resmedilmesi zor olduğundan uygulamada pek kullanılmaz. Bir oyunun grafiğinde dikey eksenler X ı (veya Y ı ), X 2.{veya Y 2) değiş» kenlerihin katsayılarını, yatay eksende p (veya q) nin olasılık değerlerini gösterir. Yatay eksen, olasılığın özelliğinden dolayı -0 dan Ve kadar ölçekienîr» Ayrıca, oyunun değerini saptamak için dikey eksenlere parelel ve ayni ölçekli bîr doğru daha çizilir.. *. Aşağıdaki şekilde oyun grafiğinde yeralan eksenlerin ölçeklenmesîne bir örnek görülmektedir. X 1- :Y 1 g x, ;V ' , û 0 u ' u i »

53 Bu kısımda biz daha çok 2X2 ilk oyunların çözümü için grafiksel yöntemi göstereceğiz, Aslında grafiksel çözüm, cebirsel çözümün grafikle gösteri mi n den başka bir şey değildir, örnek (3,27); Problemimiz 2 x2 Sik bîr oyun matrisi olsun. B Oyuncusu Yt Y2 A Oyuncusu X x 8 S x2 4 6 Çözüm;. Grafik çözümüne başlamadan önce, cebirsel yöntemle yapıldığı gibi Yj ye ilişkin eşitsizlikleri yazarız: île A oyuncusu için B oyuncusu İçin 8X j + 4X2> g 5X,+ 6X 2> g 8Yı+ 5Y2< g 4Y ı + 6Y2< g Bu-eşitsizlikler, eşitlik halinde düşünülür: A oyuncusu İçin ' f 8X ı +' 4X2= g 5Xj+ 6X2= g (D 00 B oyuncusu için 8Y,+ 5Y2= g 4Yi + 6Ya = g (III) (iv) Böyİece dört tane doğru denklemi elde edilir:

54 1nolu denklemi ele alalım: s; 2 = g Söz konusu katsa^ in) ve 4 (X 2*nin), dikey eksenlerde işaretlenir ve birleştirilir, Benzer biçimde:.. 11 nolu denklemin katsayıları ise, 5Xı + 6 X 2 = g. 5 ( X ıfîn), 6 fx 2?rıIn) katsayılarıdır. Bunlar da dîkey eksen üzerinde işaretlenip birleştirilir. Bu iki doğrunun kesiştiği noktadan yatay eksenle, dikey eksenlere paralel olan yandaki doğruya dikme çizilir. Dikmelerin yatay eksenle kesiştiği nokta P, yandaki eksenle kesiştiği nokta g değerini verir. A oyuncusu için: X g ; 5, » ,6 J o

55 Grafikten: P 1= < olarak bulunur,-bu sonuçlara göre;. Â oyuocusuoyn strateji vektörü; p (0.4, o.ı) ' ' B oyuncusu İçin de benzer işlemler aynen yapılır İlk önce, dîkey eksenler özerinde fterblr denklem îçln [İli ve IV nolu denklemler] gerekil işaretleme yapılır ve birleştirilir. Kesiştikleri noktadan çizilen dikmenin yatay ekseni ve yandaki doğruyu kestiği noktalar q ve g değerini verir. ' - y2. - ' ' Yı g * Grafikten: q* 0.2, q2 = 0.8 ve g = 5.6 olarak- hesaplanır. Buna göre B oyuncusunun strateji vektörü q (0*2,0.8) olur.

56 Her iki; oyuncu için ayrı ayrı grafik çizmeğe gerek yoktur. Grafiği daha-da 'basitleştirmek.için, oyunun kazanç'matrisinde karşılıklı elemanları dikey eksenler üzerinde İşaretlenir e birleştirilir. Kesiştikleri noktalardan.yatay eksene, ve yandaki 'doğruya çizilen dikmenin efe bunlarla olan kesişme noktaları aranan değerleri verir. ', -. - 'Aynı örneğimizi ele alacak olursak: ' - X 2 Y 2 X i Y j 9 8- / _6.5' Sonuç:,. - -/,.., Pı = 0.4, p2.= t p (0:4,0.6) ; : qj = 0.2, q2 = 0.8 ;-*q(0.2, 0.8). g > : 5.6; olarak bulunur. ;.,

57 Örnek (3,28): Kazanç Matrisi, B Oyuncusu Yi Yi A Oyuncusu Xı 3 2 x2-1 4 olan bir oyunun, oyun değerini ve stratejilerin frekanslarının değerlerini grafikse! yöntemle hesaplayınız. Çözüm: ' ' Bu çözümde her iki oyuncu için ayrı ayri grafik' çizmeden, tek bir grafikle çözümü yapacağız.. Bîr önceki örnekte yaptığımız gibi oyuna ilişkin eşitsizlikleri yazacağız ve onları eşitlik haline getirdikten sonra denklemlerin doğrularını çizeceğiz.. A oyuncusu için 3 X l r X 2 > g - 2 X ı+ 4X2> g B oyuncusu için 3Y ı 2Y2< g Y 1 + 4Y2< g Bu eşitsizlikleri eşitlik hafine dönüştürdükten sonra dik eksenler üzerindeki işaretlemeleri yaparak p, q veg nin değerin! bulalım. 3Xı+ X 2= g I. -2Xı+ 4X2= g II. 3Yl - 2Y2= g III. -Yi + 4Y2= g IV.

58 Xi : Yj i 1 Pı = 0*5, - p2= 0.5, g= 1,.. q ı> 0.6, q2 = 0.4,- g =. 1 olarak grafikten okunur. Bu sonuçlar, daha önce-elde ettiğimiz matris yoluyla bulunan değerlere eşittir. '. Problem (3,29): '. ' /. / ' Kazanç.matrisi: -. " ' B Oyuncusu Yı y 2 A Oyuncusu ' X, 1-1/2 x2 : 1/2 0 olan oyunun çözümünü grafiksel.yöntemle bulunuz.?

59 3*3.8. nun Doğrusal Programlamayla Çözümü: Oyun isi problemleriyle, Doğrusal Programlama problemlerinin matematiksel yapılan arasında Bir fark olmadığından oyunlar teorisi problemleri, doğrusal programlama problemlerine çevrilip simpîeks yöntemiyle çözülebilir [Houlden 1962; Karakoyunju, 1973]» Çözümü -bîr örnekle göstermeye çalışacağız. Bunun içinde kazanç matrisi aşağıda gösterildiği gibi plan bir oyunu ele alalım [Karaveüoğlu, 1967]., B Oyuncusu Stra. i Jf 111 A Oyuncusu i 1 1 II ' 2 / ' " ~~2, ' 2 ' 111, Oyunun kazanç matrisinin her satırının enküçükleri arasından enbiyik değeri ve sonra her sütunun ehbüyükleri arasından enküçük değeri saptarız.. ' ': B ' '.. : ' -. - Stra :.. 1. ' Jl '. III ' 1 ; ' -1 '. ı. 1. 1i ' ' ' 2 - ' -2 ' ~ ' <~Enkenh. ~3 : 3 ' : f enberin Oyunun değeri enboyliklerinesıkıiçüğü olan 2 ile. enküçüklerinenbüyüğü olan -1 arasında olacaktır.. Oyunun 'değerinin pozitif olmasını sağlamak, için, oyunun kazanç matrisini, oluşturan elemanlarına negatif değerli.elemanlar arasından mutlak'değerce en büyük olanın bir fazlası.{örneğimizde + 4) eklenir. :

60 Bu değişikliği yapmak. - _ - yuncularının kullanacakları eniyi stratejiler değişmez. Oyunun kazanç matrisi yeni değişikliklerle şu biçime girer: B Oyuncusu. Y t y 2 y 3 A Oyuncusu X, 5 ; ^; x x Yeni oyun matrisimizin oyun değerine G dersek ve orijinal halindeki oyunun değerini de g ile gösterirsek, yapmış olduğumuz değişiklik nedeniyle G = g + 4 olur. Cebirsel çözümde oluşturduğumuz denklem ve eşitsizlikleri bu oyun matrisi içinde oluşturursak; X ı+ X2+ X 3 = 1 3Xr + 6X2+ 7Xî > G 5Xı + 2X2+ 7X3 >.G 5Xı + 6X%+ X3 > G XpO i=l,2,3 II Yj + Y 2+ Y 3= 1 3Yı+ 5Y2+ 5Y3< G ÖYj -f 2Yj+ 6Y3< G 7Yı+ 7Y2+ Y3< G Y> 0 J=1,2,3 Genel çözüm için II nci grubu ele alalım ve yr = İ- olsun. '. 1 G II nolu eşitlik ve eşitsizliklerin her iki tarafını G ye bölersek aşağidaki eşitlik ve eşitsizlikler grubunu elde ederiz. Y i Y 2 Ğ + G + 1 yi + y2 +Y3 ~ 1 ^ -V, y 2 y 3 g g < - 6y, + 2y2 + 6y3 < 1 Y, Y 2 Y 3 G 3,-ğ + 5-^ + 5- < 3y, + 5y2 + 5y3 <.1

61 Ya -i ' G - 7 T " +7^ + 7y, + 7y; + y, «1 elde ederiz. '. ' \ ' 1 i oyuncuso için-oyunun asıl ama? j en küçük ya >* en buy Ok yapmaktır, '.. ^ Böylece problemimiz aşağıda gösterildiği gibi, doğrusal programlama probleminin alışılagelen biçimine dönüştürülmüş olur:. Amaç fonksiyonu: Fenb Yi + Y2 + y3 = 1/G Kısıtlayıcılar: 3yı + 5y2 + 5y3 < 1 6yı + 2y2 + 6y3< 1 7yı + 7y2 + y3 < 1 Pozitif kısıtlama: Vj> 0>(j = 1,2,3). Şimdi simpleks yöntemiyle bu doğrusal programlama problemini çözelim: Eşitsizlikleri eşitlik haline getirmek için artık değişkenler kullanılır: 3yı + 5y2 + 5y3 + p = 1 : 6y1 + 2y2 + 6y3 + q = 1 7yı + 7y2 + y 3 + r = 1 F = yi + y2 + y3+ 0p+ 0q+ Or olur, enb Sîmpieks tablosunu kuralım.

62 T. D. V. yı 2 V b P q r zum Vektörü p 3 5 S q ' 1. 1 r F t A.K Burada anahtar sütunu saptamakta bozulma durumuyla karşı karşıya kalındığından daha önce gösterildiği gibi her üç sütunu, da denememiz gerekecektir. y ı Y2.,. ya. - '. 1/3 =0.333 '.. 1/5 = /5 = ; 1-/6 = 0.166;- *. 1/2 = ' :.1/6 =0,166 1/7 = /7= /1 = '. Enküçük değer hem y ı hemde y2 sütun elemanlarınca elde edildiğinden bu sefer yi ve y 2 sütun elemanlarına birim matrisin ilk sütun elemanları oranlanarak enküçük değer (1/5) y 2 sütunu için bulunur. Dolayısı ile anahtar sütun olarak ya kabul edilir. - ;. > ' Anahtar satır ise r nin bulunduğu satırdır. ' ' - y2 (r) ; '.. V- : 7/7 7/7 1/7 0/7 0/7 1/7 1/ V7, Û 0 1/7 ' 1/7 -. ; q P F 6-2(1) = 4 2-2(1) (1/7) = 40/7 0-2(0) = 0 3 5(1) (1) = 0 5-5(1) = 0 1-1(1) = 0 5-5(1/7) = 30/7.1 1(1/7) = +6/7 1-5(0) = (0 ) = 0

63 - ; - - o- 5(0) = o 0 2(1/7) = 2/7 ' 1- J -o ' - oyu oluşturursak: T.D.V. - Yi f 3 P q r Çözüm Vektörü P / /7 2/7 q / /7 s n V / /7 1/7 F 0 0 6/ /7-1/î + A.K. Anahtar sütun: y3sütunu; Anahtar satır: p satırı: y'3 İP İ -.. _ / /7 2/7 30/7 30/7 30/7 30/7 30/7 30/7 30/7-7/ /30 0 1/6 1/15 q : Y i. 4-40/7 ( 7/15) = 20/3 1-1/7 (-7/15) = 16/ /7(0) =0 1-1/7(0) =1 40/7-40/7 (1 ) = 0 1/7-1/7 ( 1 ) = /7 ( 7/30 ) = -4/3 0-1/7 ( 7/30 ) = -1/ /7 ( 0 ) = /7(0) = 0

64 + >. -,/21 1/7 - : ' : '-<) = 7/42 ^ - 1/7 /105 F O - 6/7 ( 0 ) = 0 o/7 6/7 { i ) = i) 0 ~ 6/ - ( ^ JC î - 0-6/7 (0 ) = 0-1/7-6/7 ( -1/6 ) = 0 1/7 6/7 ( 1/15 ) = -7/35 Değerleri tabloda yerine koyacak olursak. Yeni tablomuz şöyle olur. T.D.V. y ı. y 2 y 3 p r Çözüm Vektörü V3-7/ /30 0-1/6 1/15 q 20/ /3 1 2/3 1/3 Yl 16/ /30 0 7/42 2/15 F 2/ / /35 + A.K Anahtar sütun: y ı sütunu; Anahtar satır: q satırı yı (<ı)-' 20/ /3 1 2/3 1/3 20/3 20/3 20/3 20/3 20/3 20/3 20/ /5 3/20 1/10 1/20

65 Y3 y 2-7/15 - (-7/15) ( 1 ) = 0 16/15 16/15 ( 1 ) = 0 /. > /T -> 1 -,.. = 1 j,. is,j. - -; -r. - "oo, -v 16/T' ''50 -, - i ; ^. -.0) = -4/25-1/6 -- 5;,' 0) = -18/2: /, /.'.' ;J,'» - -s ^ -/)S - ( -/!^ \! '2ü) =9/100 H İ S - Jb/S5 n/20) = 2/25 ' _ F '. 2/5-2/5 ( i ) = 0 0-2/5 (0 ) = 0 0-2/5 (0 ) = 0 1/5-2/5 ( 1/5) = -3/25 0-2/5 (3/20) = -3/50 0-2/5(1/10) = 1/25 7/35 2/5 (1/20) = 11/50 Yeni değerleri slm.pîeks;,tablosunda yerlerine yazarsak:, :.t.d '.v. Y,. V 2. ' Y 3 V p - q f : Çözüm Vektörü y 3-0., 0-1 7/50 7 / ' -18/25 9/100 yi i 0 ' 0 1/5 -; 3/20 1/10 1/20 y : 0 9/50. 4/25 1/10 2/25 p /25-3/ /25 11/50 Son tabloda F satırının eleman fan negatif ve sıfır olduğundan çözüme ulaşılmıştır. Buna göre çözüm:

66 Şimdi, bu yardımcı değerlerden asıl değerlerimizi bulalım. eğeri yerine konursa: - -*0/. duğu hatırlanırsa /11 bulunur., Y î Diğer yandan y, J olarak tanımlanmıştı, y; değerleri G Yj = yj G'de yerine konursa; ; Y ı = y, G -» Y, = Y 2 = y2g 2 50 " Y 3 = y3 G -> Y 3 = 9 50 ' değerlerini buluruz. Bunlar B oyuncusunun stratejilerinin frekanslarıdır: ' B (, ---- ) ' Bulunan g nin değeri diğer gruptaki (yani I tıci gruptaki) yerine konarak çözüm yapılırsa X; (i = 1,2,3) ler için şu değerler bulunur: X ı = 6/11, X 2 = 3/11 ve X 3 = 2/11 Buna göre A oyuncusunun stratejilerinin frekansları: olur A n ) Oyunun çözümünü toplu olarak görmek istersek: g= 6/11 -

67 ' -- * dîr. ; ' '. ^ «İterasyoîila Çözüm... Oyunun..eyer noktası olmadığı zaman çözüm yollarından biri de IterasyonSa çözümdür., - İterasyonla çözümde, ana prensip her oyuncunun, geçmişin geleceğe eniyi örnek olacağı görüşünden hareketle kazancını enbüyük (maksimum) ya da zararını enküçük (minimum) yapmağa çalışmaktır. îterasyonla çözümde aşağıdaki yol takip edilir.. Oyunun kazanç matrisinden bir satır seçilir ve bu satır kazanç matrisin altına yazılır. s. Kazanç matrisin altına yazılan bu satırdaki elemanlardan enküçük.'(minimum) olanı daire içine alınır ve bu elemanın.bulunduğu kolonun elemanları (Kazanç matrisindeki) matrisin sağ tarafına yazılır. ~ Matrisin sağ tarafına yazılan kolondaki elemanların enbüyüğü (maksimumu) daire içine alınır ve bulunduğu satırdaki elemanlar, kazanç matrisin altına yazmış olduğumuz satır elemanlarıyla toplanarak, tekrar kazanç matrisin altına yazılır. -. Toplanarak yazılan bu satırdaki elemanlardan en küçüğü tekrar daire içine alınır ve bulunduğu..kolondaki elemanlar matrisin sağ tarafına yazılan kolondaki elemanlarla toplanarak tekrar matrisin sağ tarafına yazılır. ~ Bulduğumuz yeni kolondaki elemanların enbüyüğü tekrar daire içine alınır ve kazanç matrisin altına yazılan satır elemanlarıyla toplanarak tekrar matrisin' altına yazılır, ve böyleçe devam edilir. Tabi, istenilen iterasyon sayısına kadar. - Kolon ve satırdaki elemanların birbirine eşitliği durumunda bir önceki satır ya da sütuna (kolona) bakılır. Eşit'elemanlardan'yeniden bir önceki kolon ya

68 da satır seçilmesini gerektirenler atılır, geri kalan kolon elemanları arasından kura çekilir.. - Yaklaşık stratejiler, kolonlardaki en büyük ve satırlardaki enküçiîk değerletin sayısı iterasyon sayısına bölünerek bulunur. unun alt ve,üst sınır değerleri en son kolondaki enbüytik eleman ile son satırdaki enküçük-elemart tekrarlama sayısına bölünerek elde edilir, - Örnek: (3>30): Oyuncunuzun kazanç matrisi aşağıda verildiği gibi olsun. ' \.. ' ' B Y t y 2 v 3 ' X ı x x ' ' ' ' ' 4-5 İterasyonfa, oyunun değerini hesaplıya!im (D (6) d ) (D o (D o 6 5 : (2) (D : (T ) (o) 3 10 Ö \ A nıayaklaşık stratejisi (: B nin yaklaşık stratejisi. ' 0 5, ' Oyunun değeri : : 5 v V olarak bulunur.