Belirsiz İntegral İntegral Alma Yöntemleri Değişken Değiştirme Yöntemi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425"

Transkript

1 Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli... Pçlı (Kısmi) İntegl... Riemnn Toplmı Olk Belili İntegl... Belili İntegl... 9 Tek ve Çift Fonksionlın Simetik Alıkt İntegli... 7 İntegl İşeti Altınd Tüev (Leinitz Kulı)... 7 Mutlk Değe İçeen İfdelein İntegli... 7 Düzlemsel Bölgelein Alnlı... 8 Hcim Hesplı Heket Polemlei... 9 f() d e c g() f()... n n n

2 KAVRAMSAL ADIM Tes Tüevle Bi fonksionun tüevinin nsıl uluncğını öğendiniz. Anck içok polem tüevi ilinen fonksionun kendisinin ulunmsını geektii. Bi F() fonksionunu, tüevi oln f fonksionundn ulmk istiouz. Böle i F fonksionu vs F e f nin tes tüevi f nin tüm tes tüevleinin kümesine f nin elisiz integli deni. ETKİNLİK BELİRSİZ TANIM F() tüevli i fonksion ve F() ile f() sınd F'() f() ilişkisi vs, f() fonksionun F() fonksionunun tüevi deni. F'() f() ise fd ( ) F ( ) zılı. Bud f()'e integnt, F()'e f() fonksionunun integli, 'e de integl siti deni. f() elli iken F()'i ulm işlemine integl lm işlemi, F() ifdesine f() fonksionunun elisiz integli deni. Aşğıd zı fonksionl ve integllei veilmişti. İntegllein doğu olduğunu gömek için sğ tftki fonksionlın tüevleini lk sold nı stıd ulunn fonksionl kşılştıınız. ÜNİTE İNTGERAL f() sin in F() eşitliğini sğln i tes tüevini (elisiz integlini) ullım. "Hngi fonksionun tüevi sin?" sousunu somlıız. evımız F() cos di. F() & cos olup F() cos ulunu. Fonksion cos ntegl ln sin ln( ) ETKİNLİK A(, ) noktsındn geçen ve (, ) noktsındki eğimi oln eğinin denklemini ullım. Polemde veilen eğinin fonksionu f() olsun. Polemden f'() ve f() eşitlikleini ziliiz. f'() & f() ve f() ise & tü. O hlde f() ulunu. e sin.cos tn e ( ) sin ln(cos) ln( )

3 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM TEMEL FORMÜLLERİ Difeensiel hespt, tüev lmk için genel kull vdı. Fkt integl hespt, i ifdenin integlini ulmd genel i kul oktu. He integl polemi özel i işlemi geektii. İnteglleme slınd deneme tüünden i işlemdi. İntegl polemleinde, sonuc dh çuk ulşmk mcıl i dizi integl fomüllei hzılnmıştı. Bu fomüllee temel integl fomüllei deni. İntegllemede kollık sğldıklındn u fomülle şğıd veilmişti du u ln u u ; u< du sec ; u u u u> du tn u u du ln( u u ) u ve c sit sıl ve u, in i fonksionu olmk üzee,. du u. du ln( u u ) ; u> u. un undu ; n n. u du u u u sin. eudu eu. u du u! u!! ln( u u! ).. u udu ;! R \ {, } ln du ln u, u > ise u * ln( u), u< ise BELİRSİZ ÖZELLİKLERİ i. F'() f() fd ( ) F ( ) tnımındn. sin udu cos u _ fd ( ) i' ( F ( ) )' & F'( ) f ( ) ti. 7. cos udu sin u ii. fd ( ) F ( ) eşitliğinin he iki nının difensieli 8. tn udu lncos u lnsec u lınıs, 9. cot udu lnsin u lncosec u d_ f( ) di d(f() ) df() F'()d f()d olup. sec udu ln( sec u tn u) d8 fd ( ) B fd ( ) elde edili.. cosec udu ln( cosec u cot u) iii. df( ) F'( ) d F( ) di.. sec udu tn u iv. ^f ( )" g ( )"... hd fd ( ) " gd ( ) "... di.. cosec udu cot u v.! R, fd ( ) fd ( ) ti.. sec u. tn udu sec u vi. fd ( ) F ( ) ise. cosec u. cot udu cosec u ) fd ( ) F ( ). du u u sin cos ( > ve u < ) u 7. du u ln u u ; u> ) c) f ( d ) F ( ) f ( d ) F ( )

4 . Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ) ) c) ( ) d c m d / d / d d d d UYGULAMA ADIMI m) n) ( )( ) d d ( ) ( d ) d d / d / e e e d d e d e e e ed e d ÜNİTE İNTGERAL d / d d d / d d o) e e ( ) d ( ) d. / p) ( )( ) d ( ( ) ) d d) ( ) d ( ) d d d d ( ) d d ( ) e) d d. 8 ( ) d d d d ) _ i_ id ( ) d UYARI n > olmk ü zee, d d / n n n d / n n n n n n f) ( )( ) d d ( ) ( ) d. Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ) ) d d ( ) d 8 sin( tn d ) B' sin( tn ) k) d d d l ln c) d sin d sin d l) ed e / d ed e d) e) d( ln ) ln : d ( ) D d ( ) d ( ) d 7

5 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. ( ) d in eşiti nedi? 7. f'() 8 X ve f( ) ise, f() kçtı? ( ) d d d d d f'( ) d ( 8 ) d... f ( ) 8... ( ) d in eşiti nedi? di. f() X X f() olu. ( dielim.) f( ) ise f( ) ( ) ( ) ( ) & ulunu. ( ) d / ( ) d kd 7 d d f() olup f().. 8 olu. 8. f.'( d ) ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? f.'( ) d eşitliğinde he iki tfın tüevini llım. f.'( ) f p'. f'( ) d integlini ulunuz. df ^ ( ) h f'( d ) olduğundn f'( ) d d( f( ) ) f( ) ulunu..f'()..f'() & f'() & f() ( ) d & f().. f''( ) d integlini ulunuz. ( ) f( ) & f( ).( ) df ^ '( ) h f''( d ) olduğundn f''( ) d d^f'( ) h f'( ) ulunu. & f ( ) ise f( ) olu. ulunu. 8

6 9. f''() olmk üzee, f() eğisi doğusun T(, ) noktsınd teğet olduğun göe, f() fonksionunu ulunuz. f''() ise ntegli lınıs eşitliğinde he iki nın i Eğinin T(, ) noktsındki teğeti olup teğetin eğimi d f '( ) d d f '( ) l d ^ h d d f'( ) m tü. UYGULAMA ADIMI. f() fonksionunun hehngi i T(, ) noktsındki teğetinin eğimi m ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? T(, ) noktsındki teğetin eğimi m ise f'() di. f'( ) d f( ) olup d f( ) f( ) ise f( ) ( ) f() f() f() & di. f() ise f() ulunu. ÜNİTE İNTGERAL O hlde f'( ) tü. f'( ) ( ) ( ) O hlde f'() lınıs geçtiğinden & f'( ) d c md f ( ) O hlde f() olu. olup he iki tfın integli ve eği T(, ) noktsındn ( ) f( ) & ( ).( ) di. ulunu.. f: R R, f() fonksionu için f''() ve f() in T(, ) noktsındki teğetinin eğimi olduğun göe, f() kçtı? f''( ) d df'( ) f'( ) f'() d olup teğetinin eğimi ise f'() tü. f'() f'(). & f'( ) d f( ) di. f nin T(, ) noktsındki tü. ( ) d f( ) & f( ) ve f() eğisi T(, ) noktsındn geçtiğinden f() di. f().(). & di. O hlde f() ise f().. ulunu. 9

7 ÜNİTE. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) d ) c) d e) d ed f) d PEKİŞTİRME ADIMI. ^ hd integlinin eşiti nedi?. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) ( ) d ) d e) ^ hd. d integlinin eşiti nedi? c) d f) ^ d h 9 9. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d c) n d ) c d d) d m. d nd integlinin eşiti nedi?

8 7. d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. d^, n h integlinin eşiti nedi? ÜNİTE İNTGERAL., n 8. ^e, nhd integlinin eşiti nedi?. ^ e, nhd integlinin eşiti nedi? e e 9. ^e cos sin hd integlinin eşiti nedi?. c integlinin eşiti nedi? m d e sin cos, n

9 ÜNİTE. ( cos ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI m. f ( ) d olmk üzee f fonksionunun gfiğine psisli noktdn çizilen teğetin denklemi, doğusun plel olduğun göe, m kçtı? sin. f'() 7 ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? 7. f() eğisinin eel ekstemum noktlındn ii K(, ) noktsıdı. f''() olduğun göe, f( ) kçtı? 9 f ( ). d olduğun göe, f() kçtı? 8. f: R R, f() fonksionund f'() ve f() olduğun göe, f(7) kçtı?

10 . d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi? ÜNİTE. ^ hd integlinin değei nedi?. ( cos sin ) d integlinin değei nedi? İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. cos cos d integlinin değei nedi?. c d integlinin değei nedi? m. ( ) d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. ( ) d integlinin değei nedi?. ( cos ) d integlinin değei nedi? 7. d integlinin değei nedi? 7. ^ hd integlinin değei nedi? 8. integlinin değei nedi? d 8. tn d integlinin değei nedi? 9. d integlinin değei nedi? 9. cot d integlinin değei nedi?. c integlinin değei nedi? cos m d. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?

11 ÜNİTE. e ne c, m d integlinin değei nedi?. e d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. t dt integlinin değei nedi?. ^e e hd integlinin değei nedi?. csin integlinin değei nedi? sin m d. log 9 d integlinin değei nedi?. e d integlinin değei nedi?. log d integlinin değei nedi?. sin( ) d integlinin değei nedi?. ^log log8hd integlinin değei nedi? 7. sin. cos d integlinin değei nedi? t 7. t f dt integlinin değei nedi? t p t 8. d integlinin değei nedi? ( t ) dt 8. integlinin değei nedi? t 9. d integlinin değei nedi? 9. z d dz integlinin değei nedi? z n z. d integlinin değei nedi?. dz z integlinin değei nedi?. t t dt integlinin değei nedi? t. d integlinin değei nedi?

12 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f''( ) f'( ) integlini ulunuz. u f'() değişken değiştimesi plım ve he iki tfın difensielini llım. du d(f'()) du f''()d olu. du E f''( ) d du f'( ) u X u,n u u f'() eine zılk &, n f'( ) ulunu. ALMA YÖNTEMLERİ DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ Bu öntem i ileşke fonksionun difeensielinin ulunmsı ilkesine dnı. Veilen i integlinde, u(t) dönüşümü pılıs d u'(t)dt olu. Bud u(t) süekli i fonksion ve tnımlı olduğu lıkt u'(t) tüevi vdı. u(t) için f() f(u(t)) olup integl, içimini lı. Bu önteme değişken değiştime ve eine kom öntemi deni. Değişken değiştime pılıp integl hesplndıktn son sonuç ilk değişken tüünden zılmlıdı. Bu öntemde önemli oln nei eni değişken olk gösteeceğimizi ilmekti. Dönüşüm ugun pıldığı süece veilen i elisiz integl kolc hesplncktı. ÖRNEK I fd ( ) I fut ( ( )). u'( tdt ) ÜNİTE İNTGERAL n I f ( f'( d ) integlinin değeini ullım. ETKİNLİK d ) integlini hesplınız. ÇÖZÜM u f() değişken değiştime işlemi pılı. Difeensiel lınıs du f'()d olu. O hlde un n f ( f'( d ) undu n ve u f() zılk, n n f ( f ( f'( d ) n ulunu. sin ) d integlini hesplınız. cos UYARI Belisiz integlde değişken değiştime öntemi ugulndıktn son sonucun ilk değişken tüünden zılmsı geeki. ÖRNEK cos c) integlini hesplınız. sin d d, n ÇÖZÜM olduğunu gösteelim. u denili ve iki tfın difensielini lısk du d( ) du du.d & d olu. d du, u n u, n ulunu.

13 ÜNİTE. I ( ). d integlini hesplınız. t denilise d( ) dt & d dt olu. UYGULAMA ADIMI. I. e d integlini hesplınız. Bud t denilise d( ) dt & d dt olu. t I ( ). d tdt d dt olup t eine zılıs, ( ) ( ) I d elde edili. e d e dt I t edt t e t t zılıs e d e I olk ulunu.. ln I d integlini hesplınız., n t dönüşümü pılıs d d(, n) dt & dt olu., n t I d t dt t, n zılıs,, n, n I d olk ulunu.. d I e integlini hesplınız. Bu integlde p ve pdı e ile çpsk değişken değiştime dh kol olcktı. e e e olup. e I e integlini hesplınız. t e zılıs dt d( e ) & dt e d olu. d e I integlinde e d e t e denilise dt d(e ) & dt e d ve e d dt di. d e dt I d olup e e t n t, e d dt olup t e zılıp e t n t, e I d n e elde edili. e, t e zıldığınd d I n e e, elde edili.

14 . I esin. sin d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin ) & dt sin.cosd & dt sind olu. I esin sin d etdt et ve t sin olduğundn I esin. sin d esin elde edili. UYGULAMA ADIMI 9. I sin. cos d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin) & dt cosd t I sin. cos d tdt t sin sin & I sin. cos d Bu integlde t cos dönüşümü pılk d sonuc ulşılili. ÜNİTE İNTGERAL 7. I cos. sin d integlini hesplınız. t cos & dt d(cos) & dt sind & dt sind t olup I cos. sin d tdt cos I cossin d di. ve. I d integlini hesplınız. t dielim. dt d( ) & dt d olu. & d dt dt I d t, n t I, n elde edili. 8. sin I d ecos integlini hesplınız. t cos & dt sind dt dt sin d olu. Ve integl I et Bu integli. önekte çözdüğümüzden I [, n e t ] ve içimini lı. d. I integlini hesplınız. Veilen integl d I içiminde zılıp t dönüşümü ( ) pılıs, d( dt ) dt & d dt ve d olu. dt I d t Bu son integl,. fomülde u t, lınıp I, nt ^ th t cos & I, n e cos elde edili. I, n ^ h olk ulunu. 7

15 ÜNİTE sin. I d integlini hesplınız. Veilen integli I sin d içiminde ziliiz. t sin dt d(sin d & ) & dt olu. sin I d t dt t / dt t / I ( sin ) ulunu. UYGULAMA ADIMI I integlinde u & du d d I du u du u u u u & I cos I d integlinde & du d di. ( cos )' d olduğundn t cos & dt d di. sin. I d integlini hesplınız. d t & d( ) dt & dt di. d & dt sin I d sin tdt sin tdt cost t I tdt, t cos ( cos ) & I ve olmk üzee, cos I I I d cos c m elde edili. cos olu.. I d integlini hesplınız. t dönüşümü psk. cos I d integlini hesplınız. Önce integli iki pç ılım. cos cos I d d d t & t & d d(t ) & d tdt di. I ( t ). t.. tdt ( t 8t ) dt tdt 8 tdt t t 8 t olup I d cos I d ve I d 8 ( ) ( ) elde edili. 8

16 sin t. I dt integlini hesplınız. cost u cost & du sintdt & du sintdt sin t du I dt cos t u du u tn u UYGULAMA ADIMI d 9. I integlini hesplınız.., n, n u, n& du d d du I sec u n,, n u u sec (, n) di. ÜNİTE İNTGERAL cos t tn l olu.. dz I z, nz integlini hesplınız. sec 7. I d integlini hesplınız. 9 tn t, nz & dt z dz dz dt I t / dt t z, nz t I, nz olu. u tn & du sec d sec du du I d 9 tn 9 u u u & sin sin ( tn ) di.. I sin d integlini hesplınız. u & du d du & d I sinudu cosu n 8. I d integlini hesplınız. (n N ) n I cos ulunu. t n & dt nn d & dt n n d I n dt d n n t n, nt ^ t h n, n ^ n n h olu.. I sin d integlini hesplınız. u & du d & du d I sin d sin udu cos u cos di. 9

17 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. I ^tn tn hd integlini hesplınız.. I tn. sec d integlini hesplınız. I ^tn tn hd tn ^tn hd I tn. sec. d tn ( tn ) sec d u tn & du sec d (tn )d u tn & du sec d I u ( u ) du u I tn( tn ) d udu ( u u ) du u u I tn di. tn tn I ulunu.. I sin. cos d integlini hesplınız. I sin. cos d sin. sin. cos. cos d sin. sin.( sin) cos d u sin & du cosd u. u ( u ) du ( u u ) du u 7 I 7 sin sin7 I 7 di.. cos I d cos integlini hesplınız. cos cos cos cos. cos cos cos cos cos cos I d d cos cos cos ( sin) d sin cos I d d d sin sin cos d cot sin \ I cos du u sin I sin d u u sin du cosd I I cot I cot ulunu. sin 7. I e d e integlini hesplınız. I e e. ed ( e). ed d e e e u e X & du e d ve e u ( u ) u u I du du u u / u / / du u du u / du u /. u / u I ( e ) / ( e ) / e di. 8. tn I d integlini hesplınız. u tn & du d tn u ( tn ) I d udu di. 9. sin I d cos integlini hesplınız. u cos & du sin d sin du I d tn u ( cos) u I tn ( cos) ulunu.

18 UYGULAMA ADIMI. I sin( cos). sin d integlini hesplınız., n. I d integlini hesplınız. u cos & du sin d d I sin( cos) sin d, n u & sin udu du cosu cos(cos ) ulunu. I, n d u du u / du &. u / (, n) / ulunu.. I cos( csin ) d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL u csin & sinu d cosu du olu. cos u. cos udu cosudu ve cos cos u u olduğundn cos udu du cos u du u I. sin u u csin & I csin sin( csin ). I e ( ) d integlini hesplınız. u & du ( ) d & du ( ) d e ( ) d e du I u eudu & eu e ulunu. di.. cot I d, nsin integlini hesplınız. u, nsin & cos du d cot d sin cot I d du nsin u,, n u I, n, n sin ulunu.. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt I d ( t ). t. tdt t( t t) dt ( t t t) dt t t7 I c t m 7 I ^ h ^ h ^ 7 7 h G di. ( ) d. I integlini hesplınız. u & du ( )d du du ( ) d & ( ) d ( ) d du I u / du u. u / ( ) / olu I ( cos) sin d integlini hesplınız. cos I 8 ^ h B sin d sin d ( cos). sin d I sin d, I ( cos) sin d du I için u & d du & d

19 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI I sin d d sin udu cos u. integlini hesplınız. I ( ) I cos I ( cos) sin d için t & d t dt t cos & dt cos.( sin)d & dt sin d d t t I dt dt ( ) t cos t t c I ^ h sin d t t m dt du ( cos) u t & du tdt & tdt cos8 t du I I dt t u n u, I, n t, n di. cos8 I I I & I cos ulunu. 8. I sinn. sin d integlini hesplınız. (n N ) I sinn. sin d ( sin) n. sin d u sin & du sin.cosd sind un I sinn. sin d un. du n ( sin) n & I n ulunu.. d integlini hesplınız. t & d tdt I d tdt ( t ) dt t t I dt dt t, n t t, n di. 9. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt t t t I t. tdt ( t ) dt I ( ) ( ) ulunu.. tn I d, n( cos ) integlini hesplınız. u, n( cos ) & du tn d du u I. tn u n cos tn c, m di.

20 , n, n. I d integlini hesplınız. 8 u, n & du d, n, n I d 8 ulunu.. I d integlini hesplınız. d u 8, n I c, n m 8, n I I I I ^u uhdu u u. l 8, n, n, n, n 8, n, n d d d I d du & du d & d du u u d I sin ( ) I sin ulunu. UYGULAMA ADIMI cos sin. I d integlini hesplınız. cos sin u cos sin & du ( sin cos)d cos sin I d du cos sin u, n u 7. I sec d integlini hesplınız. du u & du d & d ^, n, nh 8. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? eine zılıs I,n cos sin cos sec udu cos u du u I du cosu t sin u & dt cos udu cos u dt du sin & I u t t sin I., n, n t sin et & d etdt et & t, n ^t thetdt t t dt et ^ h ulunu. di. di. ÜNİTE İNTGERAL d. I integlini hesplınız. ( ) t & d tdt tdt dt I tn t tt ( ) t I tn di. 9. d integlinde u dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? u ise du d du d & d udu olu. u u ulunu.. u( u) udu du u u

21 ÜNİTE. f''( ). f'( ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. ( ) ^ 7h d integlini hesplınız. [ f ( )] ^ 7 h 7 f''( ). d integlinin eşiti nedi? f'( ). ed integlini hesplınız. e ln f'() e/. d integlini hesplınız. 7. sin( ) d integlini hesplınız. e / cos( ). d integlini hesplınız. 8. cos( ) d integlini hesplınız. sin( )

22 9. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. cos d integlini hesplınız. sin ÜNİTE İNTGERAL ( ) l, n sin. d integlini hesplınız.. tn d integlini hesplınız., n, n cos. sin d integlini hesplınız. 7 sin. d integlini hesplınız. n,, n 7 sin, n, n. ( e ). ed integlini hesplınız.. e. sin e d integlini hesplınız. ( e ) cose

23 ÜNİTE 7. tn. sec d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. tn sin etn 8. d integlini hesplınız. cos. d integlini hesplınız. ( ) ( ) e tn 9. d integlini hesplınız.. cos (, n) e. d integlini hesplınız. e tn(, n), n e. d integlini hesplınız., n( sin ). tn d integlini hesplınız. sin, n( sin )

24 . e. d integlinin değei nedi?. 98( 9) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi? ÜNİTE İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. ^ hd integlinin değei nedi?. sin. cos d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. f ( ). f'( d ) integlinin değei nedi?. e. ed integlinin değei nedi? 7.,n d integlinin değei nedi? sin(,n) 7. d integlinin değei nedi? 8. sin. cos d integlinin değei nedi? 8. etn ed integlinin değei nedi? 9. esin.cosd integlinin değei nedi? 9., n d integlinin değei nedi?. d, n. integlinin değei nedi?. c, n, n m d integlinin değei nedi? 7

25 ÜNİTE. ctn d integlinin değei nedi?. ( csin ) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d, n integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. cot n, ( sin d ) integlinin değei nedi?. tn d integlinin değei nedi? e. d integlinin değei nedi?. tn( sin ) cos d değei nedi?. esin.sind integlinin değei nedi?. ecos sin d integlinin değei nedi? ( c cot ) 7. d integlinin değei nedi? tn (,n). d integlinin değei nedi?, n, n 7. f p d integlinin değei nedi? ctn( sin ). cos 8. d integlinin değei nedi? sin 8. f'( sin ). f( sin ) cos d integlinin değei nedi? 9., n ( cos ) tn d integlinin değei nedi? 9., n ld integlinin değei nedi?. sin.sind integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. cos. sin d integlini hesplınız. 8

26 KAVRAMSAL ADIM I. d BİÇİMİNDEKİ LER c Δ c olmk üzee, u tü integlle, Δ nın işetine göe inceleni.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c (m n) p giidi. O hlde d d d c ( m n) p p m n p l A B ( m n p)( m n p) m n p m n p içiminde sit kesilee ılıs d A B ( m n p)( m n p) m n p d m n p d I I I I integlinde u m n p denilise du md & d m du integlinde v m n p denilise olu. ÜNİTE İNTGERAL olu. Son integle dikkt edildiğinde integnt, ctnjnt'lı i ifdenin tüevine enzemektedi. O hlde dv md & d m dv olup eine zılıs m n u p elde edili. değişken değiştimesi pılıs, ctnjnt'lı i sonuç d c m A du u m B dv v. Duum: Δ olsun. Bu duumd c (m n) giidi. O hlde integl d d I c ( m n) ( m n) d olup u m n denilise du md & d m du olu.. u. m du m u I. m u ETKİNLİK m A B, nu m, nv m A, nm ( n p) m B, nm ( n p) I d 8 u & d du integlini ulunuz. olu. I d d 8 ( ) 9 ulunu. u m n. & I m ( m n) ulunu.. du 9u 9. Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n) p (m n p)(m n p) olup eine zılıs, d d olu. c ( m n p)( m n p) u du. n, u u, n, n di. 9

27 ÜNİTE d. I integlini hesplınız. 9 9 ifdesinde Δ < olup 9 ( ) tü. O hlde d d I 9 ( ) d d ( ) ; E l u denilise du d & d du olu. d. du du u u l ctn u u ctn & I l olup ulunu. UYGULAMA ADIMI u l denilise du d d I du olup du ctn u u u l zılıs ve d I ctn ; l E ulunu. cos d. I integlini hesplınız. sin sin Önce t sin değişken değiştimesi pılıs dt cosd olu. O hlde integl dt I içimine dönüşü. t t t t ifdesinde Δ 9 7 < olduğundn t t t 7 t l ; t l E zılıs d. I integlini hesplınız. ifdesinde Δ < olduğundn. önekte olduğu gii integntın pdsı iki ke içimine getiili. Bun göe l olduğundn d d I l d R V S l W S W S W T X d R V S W S W S W T X d ; l E dt dt I t R 7 t V ; l E S l W 7 S W 7 S W T X. dt 7 J N t K O K O K 7 O L P 8 dt integlinde denilise 7 ; t l u t l 7 7 E 7 du dt & dt du 7 I u du 7 olu. ctnu u t l ve t sin 7 u sin l 7 zılıs I ctn; sin l 7 7 E olduğundn elde edili.

28 . d I integlini hesplınız. X ifdesinde Δ olduğundn ( ) di. Yeine zılıs d d I ( ) di. v denilise dv d olup dv v I v dv v v v zılıs I ulunu. UYGULAMA ADIMI A B ( )( 7) 7 7 için için O hlde den A ( 7) B ( ) ( )( 7) ( )( 7) A( 7) B( ) olu. B & B A & A olu. d A B d d d d 7, n, n 7 7, n ulunu. ÜNİTE İNTGERAL. e e d e 9 integlini hesplınız. Önce t e değişken değişimi pılıs dt e d dt t t 9 olduğundn integl içimine dönüşü. t t 9 ifdesinde Δ olduğundn t t 9 (t ) di. Yeine zılıs dt dt ( t ) t dt t 9 ( t ) t t e zılıs ed e e e 9 ulunu.. d I 8 7 integlini hesplınız. 8 7 integlinde Δ 8 > olduğundn 8 7 ( )( 7) di. 7. d integlini hesplınız. 7 7 ifdesinde Δ 9 8 > olduğundn 7 ( )( ) di. O hlde A B 7 A( ) B( ) 7 7 A( ) B( ) zılıs. B & B zılıs.a & A d Ad Bd 7 d d., n., n d n, 7 di. ulunu. O hlde,

29 ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ( ) 9 ctn( ) ctn l. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. ctn k ctn kl. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. ctn( 7), n

30 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK II. ^A Bhd c BİÇİMİNDEKİ LER ÜNİTE d ulunu. integlini hesplınız. d d d d f. p d d, n ( ) d f p, n ( ), n ( ). d c m d c m, n ( ) ctn Bu tü integllede de Δ c nin işetine kılk çözüme gidili.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c nin tüevi oln ifdesi pınd oluştuulu. Bunun için sısıl kesin pı A pntezine lını, ile çpılı ölünü, son d ekleni çıkılı. Yni; B A B I d A A d c c B A A d c B A A d c A A B d A d c c A A d, n c B l c olu. Son integl I. gupt incelediğimiz tüdendi. İNTGERAL ETKİNLİK dinteglini hesplınız.. Duum: Δ olsun. Bu duumd kesin pdsı tmkedi. Yni, c (m n) giidi. Bu duumd integnt, A B A B P Q içiminde sit kesilee ılı. c ( m n) m n ( m n). Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n)( p) içiminde çpnlın ılı. Son integnt A B A B P Q c ( m n)( p) m n p içiminde sit kesilee ılk integl lını.

31 ÜNİTE. I d integlini hesplınız. ( ) ' X olduğundn kesin pınd oluştumlıız. I d d 7 I d d d, n 7 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn O hlde ( ) di. d d d ( ) c m G UYGULAMA ADIMI Biinci integlde ( )' olduğundn I, n 9 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn l ; l E d dı. dı. 9 d 9 d 8 R V ; l E S l W S W S W T X 9. d 8 J N K O K O K O L P 8 d ; l E u du denilise u du d ctn u d du olu ctn di. c m Bölece I, n 7. ctn c m ulunu. u l denilise du d & d du 8 du 8. ctn u u u l ise ve. I d integlini hesplınız. I d d 9 ctn ; l olup E 9 I, n ctn ; l E ulunu. d 9 d d

32 . I d integlini hesplınız. 8 UYGULAMA ADIMI & A. l ÜNİTE 8 ( ) olduğundn A B 8 ( ) ( ) & A & A olu. d d d İNTGERAL A ( ) B ( ) ( )., n, n A( ) B ise A B A olup polinom özdeşliğinden A, B A & B. ulunu., n, n B ulunu. O hlde; d d d ( ) ( ), n ( ) d, n. ulunu.. d integlini hesplınız.. integlini hesplınız. d ( ).( ) olduğundn A B A ( ) B ( ) ( )( ) & A( ) B( ) tü. Budn için A.7 & A, ifdesinde Δ 8 9 > olduğundn ( )( ) di. A B ( )( ) A ( ) B( ) ( )( ) ( )( ) A( ) B( ) ve için 7 B( 7) & B ulunu. Bölece, d c md, n, n, n ( ).( ) & B & B ulunu.

33 ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. 8, n ( ), n^ 8h ctn k ( d ). integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n^ h, n 8 8 ctn. d integlini hesplınız. 8. d integlini hesplınız., n ctn c m

34 7. 7 d integlini hesplınız. 9 PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL 7, n^ 9h ctn 7, n, n 8. d integlini hesplınız integlini hesplınız. d, n^9 8h ctn k 9 8, n, n 9. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n ctn k ctn 7

35 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK I d integlini ulunuz. P deecesi pd deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. d pd köklei ve olup pd ( ).( ) şeklinde çpnl ılı. A B ( )( ) ( ) A ( ) B ( ).( ) den ( )A ( )B ve (A B) (A B) özdeşliği elde edili. Polinomlın eşitliğinden (Belisiz ktsıl metodu) A B ve A B denklemlei otk çözüleek A ve B ulunu. Bölece I d d, n, n elde edili. KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İ BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİ P() ve Q() ie polinom ve Q()! olmk üzee P ( ) Q ( ) içimindeki ifdelee sonel fonksion deni. Bud P ( ) d Q ( ) integlinin nsıl lıncğının kulını veeceğiz. Pın deecesinin pdnın deecesinden üük d eşit olmsı duumu: Bu tü duumld p, pd ölünü, tm kısım ılı. P ( ) K ( ) B ( ) Q ( ) Q ( ) ise P ( ) K ( ) K ( ) d ; B ( ) Ed Q ( ) Bd ( ) d ( ) Q ( ) ti. K ( ) d Q ( ) integlinde K() in deecesi (K() : kln) Q() in deecesinden küçüktü. Bud d üç duum sözkonusu olili. ) Q() ( )(c d)(e f)... içiminde çpnlın ılıos K ( ) M N P... Q ( ) c d e f şeklinde zıp M, N, P... P ( ) sitlei ulunu. Sitle eine zılk integl lını. d Q ( ) integlinin sonucu logitmlıdı. ÖRNEK d integlini hesplınız. A, B ktsılını şğıdki gii iki değişik oldn uliliiz. ÇÖZÜM Pın deecesi pdnın deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. I) ( )A ( )B idi: Şimdi pd kökleini u eşitlikte kullnlım. için. ( )A ( )B & A & A için. ( )A ( )B & B & B ( )( ) olduğundn A B zılı. A ( ) B ( ) A( ) B( ) de ise. A( ) & A ise. B & B 7 di. 7 olup 7 d d d, n 7, n di. 8 8

36 KAVRAMSAL ADIM P ( ) A B II) Q ( ) eşitliğinin iinci tfının pdsını tüevleelim. P( ) P( ) A B di. Q '( ) Q '( ) P ( ) tü. Q'( ). A. ÖRNEK I d ÇÖZÜM integlini hesplınız. Pın deecesi pdnın deecesine eşit olduğundn ölme işlemi pılıs,! " olduğundn ÜNİTE İNTGERAL. B. di. d d c m d d ETKİNLİK d olu. I d integlini ulunuz. A B zılı. ( ).( ) olup A B ( )( ) ( )( ).A ( )B( ). için ( )( )A.B. & A için.a.( )B. & B için 8.A.B.( ) & olup d d I d A ( ) B ( ) A( ) B( ) &. B & B &. A & A di. d d d, n, n di. O hlde I d n,, n ulunu. I, n, n, n elde edili. ) Pd Q() ( ) n içiminde ise K ( ) A B D... Q ( ) ( ) ( ) n zılı. 9

37 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK 7 I d integlini ulunuz. Pın deecesi üük olduğundn pı pd öleek ulunu. 7 7 I d d 7 d di. Son integl önceki öntemle hesplnk I, n, n elde edili. ETKİNLİK ÖRNEK I integlini hesplınız. d ÇÖZÜM A B ( ) A( ) B( ) (A ) (A B) B eşitliğinden B _ A B ` & A, olu. A O hlde I d c d m d d I d, n l, n I, n ulunu. d integlini hesplınız. c) Kesin pdsınd çpnlın ılmn (Δ < oln) c gii i ifde vs pddki u ifdee kşılık p A B çpnı geli. ÖRNEK I d ( ) integlini hesplınız. ÇÖZÜM A B ( ) zılı. A ( ) B ( ) ( ) den (A B) A eşitliğinden A B _ ` A & B di.

38 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d sin tn t t sin t integlini hesplınız. kolım. dt d ve t O hlde ( d c ) d m d d n, d d, n, n ctn olup I, n ctn ulunu. ÜNİTE İNTGERAL d sin dt t t t TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İ Tigonometik fonksionlın integlini ulmk için genel i kul oktu. Anck elli pıdki tigonometik integlle için şğıdki değişken değiştime işlemi pılı. dt,n t t, n tn di. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. sin tn cos sin sin cos sin sin ( sin ) sin cos cot sin sin ) Q( sin, cos ) d içimindeki integlle: Bud integli lınck fonksion sin ve cos in sonel i fonksionu ise tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t Bi d çısı & ctn t & d dt t sin t t cos t olu. oln dik üçgen çizilise, ve sin sin. sin. cos t t sin.. t t t cos cos. cos sin olduğundn olduğundn t A B t d, n cot sin sin cos d t t t n c t m t olu. elde edili. Bu değele veilen integlde sin ve cos eine zılk t e ğlı sonel i integl elde edili. Bu integl dh önce veilen öntemle hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı.

39 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d cos tn t olduğundn, integlini hesplınız. kolım. t dt cos, d t t d cos dt t ulunu. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. elde edili. dt t t t c t t mdt, n t, n t t, n t tn, n tn sin tn cos tn sin cos cos sin cos sin 7 8 ccos sin m cos sin sin cos cos cos sin sin tn cos cos d, n tn cos cos olduğundn, ÖRNEK I sin d ÇÖZÜM integlini hesplınız. tn t denilise ctn t & ctn t t d dt ve sin t t t dt t t ve t tn zılıs I ulunu. tn ÖRNEK ÇÖZÜM t dt dt ( t) ( t) t t ) Q( tn ) d içimindeki integlle: Bu integllede tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t d dt olup integl t Qt (). dt t tn I d tn olduğundn eine zılıs içiminde sonel i fonksionun integline dönüşü. integlini hesplınız. tn t & ctn t & d dt t t ( ). tdt I dt t t ( t)( t) Bud t A Bt den ( t)( t ) t t ^ t h ( t) olu. t A At Bt Bt t ( t)( t ) ( t)( t)

40 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d cos d cos d I cos ( sin ) sin sint t kosk cos d dt ve dt I olu. t tnu kosk, t cos u du cos u du du I tn u cos u cos u A, n tn u cos u, n t t u, nt t, n t t B, n sin sin k,( k, n ) ulunu. t t (A B) t(b ) A eşitliğinden A B B, B, A A tdt t dt ( t )( t ) t f p t dt t dt dt t t t ulunu. t, n t. dt ctn t t, n t, n t ctn t t tn zılıs I, n tn, n tn ctn( tn ), n tn, n sec, n tn, n sec sec, n olu. tn ÜNİTE İNTGERAL ETKİNLİK n n ) Q( sin, cos ) d ( n! Z ) içimindeki integlle: Bu tü integllede tn t değişken değiştiimi pılı. d ^ h integlini hesplınız. tn t & ctnt & d dt t olu. Bi çısı oln dik üçgen çizilise; A sin cos t t t olup veilen integlde eleine zılk t e ğlı sonel i fonksionun integli elde edili. Bu integl hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı. t B t

41 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sin. cos d integlini hesplınız. sin. cos d sin. cos. cosd sin.( sin ).( cos d) u sin olsun. du cos d ti. ÖRNEK I integlini hesplınız. cos d ÇÖZÜM tn t & ctn t d dt t ve cos değelei eleine zılıs t sin. cos d u ( u ) du u u ( u u ) du sin sin ulunu. I I t dt c m t dt t > c m H t dt t dt t dt t c m ETKİNLİK t u & du dt & dt du I du ctn u u u t tn ctn tn & I c m ulunu. sin. cos d integlini hesplınız. IV. sinm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER: (m, n Z) Bud duum söz konusu olili.. m çift n tek olsun. O zmn n p içiminde zılili. Budn sin m. cos n d sin m. cos p d m p sin. cos. cos d m p sin ( sin ) cos d olu. Bu son integlde sin t denilise cosd dt olu. O hlde, m p m p sin.( sin ) cos d t.( t ) dt olu.

42 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d ( cos ) d ( ) d ( cos cos ) d d cos d cos d d cos d d cos d 8 8. sin. sin 8 8 sin sin 8 ETKİNLİK ÖRNEK I sin. cos d ÇÖZÜM Veilen integli integlini hesplınız. ulunu. içiminde zlım.. m ve n nin ikisi de negtif olmn çift sıl olsun. Öneğin, m p, n q olsun. olup pntezle çılk elde edilen integlde çift ve tek kuvvetlein ilikte ulunduğu teimlein integli. deki oldn, çift kuvvetlein ulunduğu teimlein integli de ÖRNEK I sin. cos cos d sin.( cos ) cos d sin ^ sin h cos d t sin & dt cos d 8 I t.( t ) dt t ( t t ) dt ( t t t ) dt 9 t 7 t I t ve t sin ise sin sin sin I 7 9 sin m. cos n d sin p. cos q d cos cos p q ( sin ).( cos ) d cos p cos p c m. c m d eşitliği dımı ile hesplnı. ÜNİTE İNTGERAL sin. cos d integlini hesplınız. I sin. cos d ÇÖZÜM integlini hesplınız. I ( sin ).( cos ) d zılıs I cos cos cos c m. c m d c d m cos d d cos d 8 8. sin 8 8 sin ulunu. 8 cos d 8

43 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sin d integlini hesplınız. sin d sin.( sin d) ( cos ).( sin d) u cos olsun du sin d sin d ( u ).( du) ti.. m ve n nin he ikisi de tek sı olsun. Bud mutlk değece küçük kuvvetli oln fonksion pçlnı. Geie kln işlemle. deki oldn südüülü. ÖRNEK sin I d cos ÇÖZÜM integlini hesplınız. Veilen integlin sin. cos d olduğu düşünülüse < olduğundn sin fonksionu pçlnı. ( u ) du sin. sin ( cos ) sin d d cos cos ulunu. u u cos cos u cos & du sind olduğundn ( u ).( du) u u du u du u u du u du u u u u u cos zılıs I cos cos sec sec ulunu. ETKİNLİK sin. sin d integlini hesplınız. V. sinm. cosnd, cosm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER Bu integllei hesplmk için sin m. cos n sin( m n) sin( m cos m. cos n cos( m n) cos( m sin m. sin n cos( m n) cos( m n) eşitliklei ÖRNEK I sin. cos d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.cos sin( ) sin( ( sin sin ) olduğundn

44 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. cos. cos cos( ) cos( I ( sin sin ) d sin d sin d. ( cos ). ( cos ) cos cos ulunu. ÜNİTE İNTGERAL fomülü ugulnk cos. cos d cos( ) cos( d cos d cos d. sin. sin sin sin ulunu. ÖRNEK I sin. sin 8d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.sin8 cos( ) cos( ) 8 cos cos( ( cos cos ) (cos( α) cosα) I sin. sin 8d ( cos cos ) d ( sin sin ) sin sin ulunu. 8 ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. ÖRNEK I cos. cos d ÇÖZÜM integlini hesplınız. cos.cos cos( ) cos( ( cos 7 cos ) olduğundn eine zılıs I cos. cos d ( cos( 7 cos ) d ( sin 7 sin ) 7 sin 7 sin ulunu. 7

45 ÜNİTE. integlini hesplınız. ( ) d PEKİŞTİRME ADIMI d. n ( n> ) integlini hesplınız. ( ), n n n ( ) d. integlini hesplınız.. zılilio. ( ) ; ( ) E ( ) A B D / özdeşliğinde ( ) ( ) A, B,, D ktsılını ulunuz. ctn c m A, B, D d. integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n, n ( ) 8

46 7. sin cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. sin. cos d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL sin sin sin 8 8. cos. sin d integlini hesplınız. d. integlini hesplınız. sin. cos ( sin sin ) 8 8, n tn cos 9. sin. cos d integlini hesplınız.. sin. cos 7 d integlini hesplınız. sin sin 8 cos cos 8 9

47 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sec d sec sec.sec di. integlini hesplınız. sec u, sec d dv seçelim. sec.tnd du, tn v ulunu. sec d sec. tn tn. sec d sec.tn sec ( sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec d sec. tn sec d sec d sec d sec tn sec d sec d [sectn,n sec tn ] ulunu. PARÇALI (KISMİ) u ve v in difensielleneilen fonksionu ise u.v fonksionunun difensieli d(u.v) udv vdu olu. He iki tfın integli lınıs d( u. v) udv vdu uv. udv vdu olup ölece udv u. v vdu ulunu. Bu fomüle pçlı integl fomülü deni. He integl pçlı integl fomülü ile hesplnmz. Çpım içimindeki elli şlı tülein u öntemle integli ulunili. Bud önemli oln nee u, nee dv dieceğimizi kestimekti. Bu seçim pılıken şunl dikkt edilmelidi:. dv integlinden v v() fonksionu kolc ulunilmeli,. vdu integlini hesplmk udv integlini hesplmktn dh kol olmlıdı. UYARI Kollık sğlmsı kımındn şğıdkile veileili: P() i polinom olmk üzee;. m P ( ). sin m * cos m d içimindeki integllede ETKİNLİK, n d ( ) integlini hesplınız.. m u P( ), dv* sinm d cos m seçimi pılı. Zlog m _ ] csin m ] [ ccos m`. Pd ( ) içimindeki integllede ] ctn m ] \ c cot m Zlog m _ ] csin m ] u [ ccos m` dv P( ) d seçimi pılı. ] ctn m ] \ c cot m n n n., nd, n n ( n ) '. P ( ). e d e ( P ( ) P( ) P''( )...)

48 . I nd, integlini hesplınız. Bud u,n, dv d seçimi pılıs du O hlde d, v d v olu. nd, uv. vdu UYGULAMA ADIMI. I ctn d integlini hesplınız. u ctn du d I uv. vdu..ctn.ctn dv d v. d d ÜNİTE İNTGERAL., n. d I. ctn, n( ) ulunu., n d, n. I, n ulunu.. e I d ( ) integlini hesplınız. u e dv d ( ) du ( )e d I uv v. du v.. d integlini hesplınız. e ( e ) d e I e ulunu. u, dv d seçimi pmk ugun olcktı. O hlde du d, v d. olcğındn, n d u. v v. du. d, n, n..., n, n, n. olu., n c, n m. I d integlini hesplınız. sin u du d I d u. v v. du sin dv sin d v cot cot cotd I cot, n sin ulunu.

49 ÜNİTE. I e.sind integlini hesplınız. u e dv sind du e d v cos I e sin d u. v v. du e cos e cos d J J e cos d integlinde de pçlı integl fomülü ugulnıs p e dt cosd dp e d t sin J p. t tdp e sin e sin d olup ukıd eine zılıs I e cos e sin e \ sin I I e ( sin cos ) e I ( sin cos ) ulunu. UYGULAMA ADIMI e e 8. I c m d integlini hesplınız. I e e d d X J e J d integlinde u e dv d du e v ulunu. dielim. e e J u. v v. du d e I d J e d e e I ; d E e e d e d e I olu. 7., n I d integlini hesplınız. u, n dv d du d v 9 9, I n d u... 9 n 9, d , n I n ulunu. 9. I e d integlini hesplınız. Pçlı integl fomülünü dh ht ugulilmek için önce t değişken değişimi plım. d tdt olduğundn t I e d te dt di. u t du dt I uv vdu dv e t dt v e t t t t t te e dt te e I. e e e ( ) ulunu.

50 . I sin(, n) d integlini hesplınız. Veilen integli sin(,n) I. d du d dp d içiminde zlım. sin(,n) u dv d v cos(, n) sin( ) I.,n d u. v v. du J cos(, n) d cos(,n) J. d cos(, n) cos (, n ) d J integlini de t sin(, n) içiminde zsk cos(,n) p dt d cos(,n) J d pt tdp J sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) J I cos(, n) sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) sin(, n) UYGULAMA ADIMI d. I integlini hesplınız. ( ) Veilen integli I ( ) d d d ( ) ( ) J ctn J içiminde zlım. J d ( ) J. d ( ) ugulnıs integlini u dv d ( ) du d v J I d uv vdu ( ) içiminde zıp pçlı integl fomülü d ( ) ctn ( ) d ( ) ctn ( ) ctn ctn ( ) ulunu. ÜNİTE İNTGERAL I sin(, n) cos(, ulunu. ETKİNLİK sin d integlini hesplınız. sin d integlini hesplınız.

51 ÜNİTE. cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI., n ( ) d integlini hesplınız. sin cos n, ( ) Actn. e d integlini hesplınız. csin. d integlini hesplınız. e ( ) Acsin. e d integlini hesplınız. cos. d integlini hesplınız. sin e e, n tn sin

52 7.,n d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI..sin d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL, n sin cos 7 8. ( ) e d integlini hesplınız.., n ( ) d integlini hesplınız. e ( ) n, ( ) 9. e d integlini hesplınız.. e cos d integlini hesplınız. e ; E 8 e ( cos sin )

53 KAVRAMSAL ADIM RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ f() fonksionu [, ] lığınd süekli olsun., n olmk üzee,,..., n ile [, ] lığını n eşit pç ölelim. f() eğisi,, doğulı ve ekseni sınd kln ln A dı deni ve fd ( ) A zılı. lim An( T)! lim Ü ( T) ise n " n " n f() fd ( ) integli oktu. (n ) (/n)... n n n... n n n n n di. (/n) (/n) ÖRNEK n... (n ) n n n Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin ltınd kln şekildeki tlı dikdötgenlein lnlı toplmın lt toplm deni ve A n (T) ile gösteili. Yni A n ( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n ) n " f ( ) f ( )... f ( n ), n / n f ( k) k dı. Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin üstüne tşn dikdötgenlein lnlı toplmın üst toplm deni ve Ü n (T) ile gösteili. Yni, Ü n( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n) n " f ( ) f ( )... fn ( ), n / n f ( k ) k dı. Alt ve üst toplml Riemnn toplmı deni. d integlini Riemnn toplmı dımıl hesplınız. ÇÖZÜM ( ) A ( T) n n n n... n n n k k ; E n n k "... ( n ),. ( n ) n ( n ) n.( n )( n ). n n n n Ü ( T) n n n n... n n k k.... ( )( ) n nn n k " n, ; E n. n n ve n ( ). n n lim A T lim. n n n n " " * Ü ( ). n n lim T lim. n n n n " " * lim A ( T) lim Ü ( T) A ise n " n n " n olduğundn, d tü.

54 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ÜNİTE eğisi, ekseni ve doğusul sınılnn ölgenin lnını dikdötgenlein lnlı dımıl klşık olk ullım. Eğinin ltınd kln dikdötgenlei ele llım İNTGERAL fiekil fiekil fiekil Şekil 'deki üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; (). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ), iimke olu. Pç sısı Aln hesplm [f() f() f()] ( ) [f() f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) ] Toplm ln,87 7,9 8,8 8,98 8,998 Eğinin üstünde kln dikdötgenlei ele llım fiekil fiekil Şekil 'te üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. 7

55 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). 9.( ),7 iimke olu. 8 8 Pç sısı Aln hesplm [f() f() f()].( 9) [f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f() ] Toplm ln,7, 9, 9, 9, He iki tlo kıldığınd pç sısı ttıkç lt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmının 9 değeine klştığı göülmektedi. Etkinlikteki sısl işlemle şğıdki şekilde genelleştiileili. Alt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmını ulmk için; [,] kplı lığı, < < <... < n < n olmk üzee k! ",,,..., n, için [ k, k ] içiminde n tne kplı lt lığ ölünmüştü. Δ k k k, f() n ve t k! [ k, k ] olmk üzee u lnl toplmı / ft ( k)δk k içiminde zılili. Bu toplm Riemnn toplmı deni. n n " (Δ k ) için / ft ( k)δk toplmın elili integl deni k ve lim / n ft ( ) Δ içiminde gösteili. n " k k d k ETKİNLİK,, doğulı ve ekseni ile sınılnn lnı Riemnn toplmı dımıl ulunuz. 8

56 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK e, n d Önce,nd in değeini hesplınız. integlini ullım. u, n ve dv d olsun. du d ve v d, nd u. v v. du, n.. d., n d n, e e &, nd I ( e., ne e) (., n ) ( e. e) (. ) ulunu. olu. BELİRLİ Belili integl mtemtik içinde önemli i ee ship oln kvmldn iidi. Bi eğinin i pçsının uzunluğu, sınıldığı ln, hcim v. hespl elili integl olul kolc pılili. fd ( ) F ( ) ise fd ( ) kd elili integli deni. fd ( ) F ( ) I olduğundn fd ( ) ( F ( ) ) ( F ( ) ) F ( ) F ( ) dı. Bud integlin lt sınıı, e üst sınıı deni. BELİRLİ İN ÖZELLİKLERİ. A sit ise Af( ) d A f( ) d di.. [ f( )! g( ) "...] d f( ) d " g( ) d "... di..,, c R için < c < di. ifdesine f() fonksionunun dn e ÜNİTE İNTGERAL c f( ) d f( ) d f( ) d c ti. ETKİNLİK. fd ( ) dı. 9 d integlini hesplınız.. fd ( ) fd ( ) f tek fonksiondu. ( ) 9 9 Çünkü f( ) f ( ) ( ) O hlde 9 d dı. ti.. < olmk üzee [, ] lığınd f() g() ise f( ) d g( ) d di. UYARI f() i pçlı fonksion ve f nin [, ] lığındki kitik noktlı,,..., n ise integl fd ( ) fd ( ) fd ( )... fd ( ) n içiminde hesplnı. 9

57 TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN SİMETRİK ARALIKTA İ IR olmk üzee (, ) içimindeki lıkl simetik lık deni. I. f() çift fonksion ise II. f() tek fonksion ise ÖRNEK ÇÖZÜM dı. integlini hesplınız. f() olduğundn f tek fonksiondu. O hlde ÖRNEK dı. integlinin P tüünden eşiti nedi? ÇÖZÜM fd ( ) fd ( ) fd ( ) fd ( ) tn d tn f ( ) i ç in tn( ) tn f( ) ( ) tn d / d P ise d tn tn tn KAVRAMSAL ADIM çift fonksion olduğundn d tn / d P tn d tn di. İŞARETİ ALTINDA TÜREV (LEİBNİTZ KURALI) v ( ) F ( ) ftdt ( ) ise F'() f[v()] v'() f[u()].u'() ti. u ( ) ÖRNEK sin t F ( ) t dt ise F ' k ÇÖZÜM ÖRNEK nedi? f ( ) e d fonksionunun psisli noktsındki teğetinin eğimi kçtı? ÇÖZÜM psisli noktdki teğetin eğimi f'() di. ÖRNEK F'() ullım. sin sin( ) F'( ) ( )'.( )' ( ) sin sin sin. sin F' k di. f'( ) e ( ).( )' e ( ).( )' e ( ).( ) e ( ).( ) ( ) ( ) f'( ) e e di. f'( ) e e e di. f ( ) sin t dt fonksionunun psisli noktdki teğetinin denklemi nedi? ÇÖZÜM için f( ) sin t dt olu. Çünkü i elili integlde lt ve üst sını nı ise integlin değei sıfıdı. Teğetin eğimi m f'( ) olduğundn önce f'()'i ullım. f'() sin( ).( )' sin( ).( ) ' sin( ) sin f'( ) sin sin sin O hlde teğet denklemi: f( ) m( ( )) (sin).( ) (sin)( ) di. ÜNİTE İNTGERAL 7

58 . d elili integlini Riemnn Toplmı dımıl kplı lığını he lt kplı lığın uzunluğu Δ n olck şekilde n eşit pç ölelim. Bu duumd < < <... < n < n olmk üzee, n n ( k ) 7 n Alt toplm / f( k )Δ / c m n n / ( k ) k k n k 7 ( n ). n.( n ) 9( n ).( n ) c m n n n n Ü st toplm f( )Δ n k 7 n / k / k. n / k k k n k 7 n.( n )( n ) 9( n )( n ). n n ulunu. elde edili. 9( n )( n ) 9( n ) n Riemnn Toplmı n n 9( n )( n ) ( )( ) lim 9 n n & d lim n" n n" n & 9 d 9 & d 9 UYGULAMA ADIMI. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d Dikkt edilecek olus eşitliğin ikinci tfındki iinci integl şğıdki şekilde göüldüğü gii genişliği, üksekliği iim oln dikdötgenin lnı olup değei 8 iimkedi. İkinci integlde integnt simetik lıkt tek fonksion olduğundn değei sıfı olu. Budn, ( d ) 8 8 ulunu.. d integlini hespllım. d ( )' d I. d integlini hespllım. ulunu. ÜNİTE. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d Geometik olk ukıdki eşitliğin sğındki iinci integl şekildeki dikdötgenin lnı ve ikinci integl ise şekildeki üçgenin lnı olu. Budn,. ( d ). (,) ulunu. d c m' d I ( ) ( ^ h ulunu. dt. f ( ) içimindeki f fonksionunun gfiğinin t deki teğetinin eğimi kçtı? f'( ). ( )' f'( ) teğetin eğimi f'( ) di..( ) f'( ) ( ) ulunu. 7

59 ÜNİTE 7. cos d integlini hespllım. Tüevi cos oln fonksion sin olduğundn cos d ( sin )' d d( sin ) UYGULAMA ADIMI. ( sin ) d integlini hesplınız. ( sin ) d; cos I E c cos cos m c m sin I / sin sin ulunu. 8 c m c m 7 di. 8. tn d integlinin değeini ullım. fd ( ) olduğundn 9. ( tn ) d integlini hespllım. tn d dı.. d integlini hesplınız.. / / / 78 /. / 8 78 / 8 d 8 I 8 8 / 8 / ^ ( ) 8 h 8 8 ( ) ulunu. ( tn ) d ( tn d ( tn ) d d d( tn ) d / / tn I I tn tn k k ulunu.. I cos d integlini hesplınız. cos cos eşitliği kullnılıs cos d cos cos d d d / / I I. sin I / / k sin. sin k.( ) ulunu

60 d. integlini hesplınız. olduğundn ^ h^ h ^ hd d d ( ) d d / / c ( ) m I / ^ / olu. UYGULAMA ADIMI ( e ). d integlini hesplınız. e u.e denilise du (e e )d ( )e d olu. ( e ) e du e d e u nu I n e,, I, n( e), n, n( e) ulunu. MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İ f ( ) d integlinin değei ulunuken, f() in (, ) lığındki işeti inceleni. f() in (, ) lığının lt lıklındki işetleine göe integl ugun pçl ılı. He pçnın elili integli ulunu. ÜNİTE sin. e.sind integlini hesplınız. u sin X. e d integlini hesplınız. u & du d & du sin.cosd & du sindu / / sin u u sin e sin d e du e I e I sin / e e c m e e ulunu. u u e d e d e du e I e I ( e e ) ( e ) di. 7. d integlinin değeini ullım. olduğundn d d d ( d ) d I ulunu. I ( ) c m c m ^ h 7

61 ÜNİTE 8. d integlinin değeini ullım. UYGULAMA ADIMI. ^ hd integlinin değeini ullım. & d d d ( ) d ( ) d c m I c mi ; c. m c. me ; c. m c. me ^ h c m ^8 8h ^ h ^ hd d d d d d d ( ) d ( ) d c m c m I I I ^ h ; c. m c. me ; c. m c. me ulunu. 7 ; ( ) ( ) E 7 7 ulunu. 9. d integlinin değeini ullım. & ve g (, ) ti. (, ) & > olduğundn d ( ) d c m I c. m c. m 9 9 ulunu.. 9 d integlinin değeini ullım. 9 ^ h olduğundn 9 d d / d d / 7

62 ulunu.. d integlinin değeini ullım. ( ) d ( ) d c mi c mi. > c m H > c m f c m ph & ( ) &, ulunu. d ( ) d ( ) d ( ) d c m I c m I c mi ( ) ( ) > c m c mh ; c me ; c me UYGULAMA ADIMI. ^ cos hd integlinin değeini hespllım.!, k için cos >! c, m için cos < olduğundn cos d cos d cos d cos d cos d ^ h sin I ^sin h I sin sin k ; csin sin me ^ ve 9 d I > c m H olduğundn 8 9 ^ cos hd ulunu. 8. f ( ) ^t t hd içiminde tnımlı f() fonksionunun ekstemum noktlı A(, ), B(, ) ise, kçtı? f ( ) ^t t hdt ise f'( ) 9^h ^h' ^ h. ^h' ^ ). ( h f' ^h 7 olu. f() in ekstemum noktlının psislei toplmı f'() denkleminin köklei toplmı olduğundn di. 7 π π π π ÜNİTE 7

63 ÜNİTE. Şekilde f' fonksionunun gfiği veilmişti. Bun göe, f"( ) d f'( ) integlinin değei kçtı? f"( ) d f'( ) integlinde u f'( ) & du f"( ) d olup UYGULAMA ADIMI Bu son integlin sınılını ullım. Veilen integlde; f' lt sını: e pıln dönüşüm: e t üst sını: e Son integlde; lt sını e e t & t üst sını: e e t & t di. O hlde eni integl t e., ntdt olu. f"( ) du d f'( ) u, nu I u f'( ) &, nu, n f'( ) I, n f'( ), n f'( ) 7. d integlinin değei kçtı? f'( ), n dı. Şekilden f'( ) f'(), f'() olup f"( ) d, n, n, n f'( ) di. d ( ) d ( ) d c m I c mi e., n(, n) d integlinde e t dönüşümü pılıs e şğıdki integlleden hngisi elde edili? t, n t A) e ntdt B) t dt ) e t,, nt d t t e D) e, ntd E) dt, nt e, n(, n) d e integlinde e t & d e t dt olu. e n( n) d n( ne t t,,,, ). e dt e ( ). ; E c m olu. 8. f(), g(), f().g() olduğun göe, f'( ). g( ) d f( ). g'( ) d f(), g(), f().g() f'( ) g( ) d f( ). g'( ) d f( ). g( ) I integlinin değei kçtı? e t, ntdt olu. f().g() f().g(). 7

64 , n, n 9. integlinin değei kçtı? u, n & u, n d du e & u, ne di. Yni e, n, n d ^ u u h du olu. udu u c u m I udu 7 c m UYGULAMA ADIMI ulunu.. I sin. cos d ^ h integlinin değei kçtı? u sinπ du π.cosπ d du cos d & u & u I sin ( ). cos d u u du. I > c m H c m ÜNİTE. I sin ( cos ) sin d integlinin değei kçtı? u cos & u cos du cos( sin)d du sin d I sin ( cos ) sin d sin u du sin u du olu. cos sin & olduğundn & u cos I I c. sin m I sin cos d ulunu. csin. I d integlinin değei kçtı? u csin & u csin & u du d & u csin csin I d u u du u I ; k E ulunu., n. ( e e ) d integlinin değei kçtı?, n, n, n ^ e e h d ce e m I, n, n, n, n, n, n ce e m ce e m e ^e h c m 8 e e ulunu d cos integlinin değei kçtı? u tn & ctn u / & u d u du u & u sin, cos u u u u 77

65 ÜNİTE cos cos. k cos olduğundn cos. cos. olu. u d. du cos ( u )( u ) du olu. ( u ) Son integlde u tni dönüşümü pılıs du sec i di u & tn i & i u & tn i & i ve integl. sec idi sec idi I ( tn i) ( sec i) ulunu. e, n. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi, n integl elde edili? e t & d e t dt & e t & t e & e t e & t di. O hlde d sec i i.cos idi cos i. c mdi / i ; sinie c. 8 m k e t, n ^, ne h d t. e dt n t, ^, ne h t t f pedt integli elde edili. t UYGULAMA ADIMI d. integlinde cos dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? cosα & cosα & d sinα dα & cos & olup d sin d sin d cos. cos cos. sin integli elde edili. 7. f() fonksionunun ve psisli noktlındki teğetleinin eğim çılı sısıl ve di. Bun göe, d cos ^f'( ) h f"( ) d integlinin değei kçtı? psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'( ) tn tü. psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'() tn tü. O hlde ^ f'( ) h. ^ f'( ) h ' d olduğundn u f'() & du f"() d ti. ['( )] u du u I f I 9^ h ^ h ^ h ulunu. Z, < ise ] 8. f ( ) [, < ise ], < ise \ fonksionu için fd ( )? f( ) d d ( ) d d I I I [ ( )]. ( ).( ) 8 dı. 78

66 . d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. f() olmk üzee, f ( ) d integlini hesplınız. ÜNİTE. d integlini hesplınız.. f() olmk üzee, f ( ). df ^ ( ) h integlini hesplınız. 8 d. integlini hesplınız. e., nd ^, n h integlini hesplınız.,n 79

67 ÜNİTE, e n 7. d, n integlini hesplınız. e ^ h PEKİŞTİRME ADIMI d. integlini hesplınız. e e 8. cos d integlini hesplınız.. sin d integlini hesplınız. k 9. sin d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n 8

68 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK polü ile 8 doğusunun sınıldığı ölgenin lnı k iimke ise, "k" sısı kçtı? & ve & 'di. Bdn DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI. f: [, ] IR fonksionu için [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ile ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı f() A A f( ) d ti. ÜNİTE ( ), ulunu. S ( ) ; E I S ( 9 9 9). [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ve ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı A f( ) d ti. A S 9 8 k & 8k & k ulunu. iimke. f: [, ] IR fonksionu [, ] lığınd işet değiştiios, f() eğisi, ve doğulı ile ekseni tfındn sınılnn düzlemsel ölgelein f() A f() A A lnlı A, A, A ise A A A f( ) d ti. fd ( ) A A A tü. ETKİNLİK polü ile doğusu sınd kln ölgenin lnını ulunuz.. f() ve g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı tlı ln A dielim. Tlı ölgede üst ucu g(), lt ucu f() eğilei üzeinde ulunn KL şeidini çizelim. KL şeidi kendine plel olk kdıılıp ölgei tdığınd üst ucu hep g() üzeinde, lt ucu hep f() üzeinde klıos ölgenin lnı A " g( ) f( ), d olu. K L g() f(). f(), g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı ln A dielim. Tlı ölge içinde uçlı f(), g() eğilei üzeinde oln ve eksenine plel oln KL şeidini çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd sol ucu hep f() eğisi üzeinde, sğ ucu hep g() eğisi üzeinde klıos tlı ln f() K L g() A " g( ) f( ), d di. 8

69 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK ve doğulı ile f() sin g() cos eğilei sınd kln lnı ulunuz. S ( sin cos ) d cos S f p f p S π ulunu. π g()cos f()sin ÖRNEK Şekilde polünün i pçsı çizilmişti. Tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM Alnı ulunck ölgede eksenine plel i şeit çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd üst ucu hep polü üzeinde, lt ucu d hep ( ekseni) üzeinde olu. O hlde tlı ln 7 A ^ h d c m 9 I ÖRNEK Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM iimkedi. e eğisi eksenini için e ' de kese. Tlı lnı iki pç ıısk. Aln c e dm c m ( üçgenin ln ) e I e e e e e iimkedi. ÖRNEK ETKİNLİK ve pollei sınd kln ölgenin lnını ulunuz. Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM Tlı lnı şekildeki gii A ve B die ikie ılım. K noktsının odintı olup A öl- gesinin lnı; c m. A iimke (muğun lnı) e e B d, n I, ne, n iimke olup tlı ln A e K(,) B e 9 A B iimkedi. 8

70 . eğisi ile doğusu sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi? UYGULAMA ADIMI. f: IR IR, f() fonksionunun gfiği şekilde veilmişti. S iimke S iimke olduğun göe, S S f() ÜNİTE Tlı ln, ile, doğulı sınd kln ölge olduğundn Aln d ( ) d c m I iimkedi. I integlinin değei kçtı? Pçlı integl fomülü kullnılıs, u du d f. '( d ) dv f'()d v f() I uv. vdu. f. ( ) I fd ( ).f().f( ) S S I uv. vdu f. ( ) I fd ( ). Şekildeki tlı ln iimke ise kçtı?.f().f() S ( ).( ) S 8 olup I I I 8 olu.. Şekildeki tlı ln kç iimkedi? polünün simeti ekseni doğusu ( ekseni) olduğundn lnl simetikti. için ( ) olduğundn doğunun denklemi, di. O hlde ( ) ( d ( ) ( d ( ) d c mi c m & & 8 & di. & & A & B & Tlı ln AAOB ( & ) ^ hd. I f p c iimkedi. m 8

DERS 12. Belirli İntegral

DERS 12. Belirli İntegral DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

DERS 12. Belirli İntegral

DERS 12. Belirli İntegral DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i f fonksionu veilmiş olsun ve e [, ] için f olduğunu kul edelim. f in gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ YS / EETRİ EEE ÇÖZÜERİ enee -.. H E desek E E EH (E uğund ot tn) olu. ` j $ $ c hlde, ^h $ $ 0 0 0 0 üüüş esfesi 0 c di. ulunu. evp de 0 0 0 ile c di. de 0 0 0 ile c di. hlde, lnın nık klcğı üüüş esfesi

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ YS / GMTİ NM ÇÖZÜMİ eneme -.. 70 70 b desek olu. b Ç ` j cm olduğundn + b b - dı. de 6 @ ot tbnı çizilise benzelik ydımıyl biim bulunu. 6@ ' 6@ olduğundn m^\ h m ^\ h 70c di. ikiz ken üçgen çıktığındn

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MTMTİK NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. ) - - + ) - 7 - + ) - - +. + m ; + m + ^ ^ > H + ) - - + ^ ) 7- - + Sılın plı eşit olduğun göe, pdsı en üük oln sı en küçüktü. un göe seçeneğindeki sının pdsı en üük olduğundn

Detaylı

İNTEGRAL ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

İNTEGRAL ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT İNTEGRAL ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Belili İntegal. Kazanım : Riemann toplamı adımıla integal kavamını açıkla.. Kazanım : Belili integalin özellikleini açıkla.. Kazanım : İntegal hesabının biinci

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

KATI CİSİMLER. Aşağıdaki şekilde, ABCDEFGH tabanlı ABCDEFGHA B C D E F G H sekizgen dik prizması verilmiştir.

KATI CİSİMLER. Aşağıdaki şekilde, ABCDEFGH tabanlı ABCDEFGHA B C D E F G H sekizgen dik prizması verilmiştir. I İSİMLR tı isimlein İsimlendiilmesi ve Özeliklei şğıdki şekilde, tnlı sekizgen dik pizmsı veilmişti. Pizml tnlındki çokgene ve diklikeğiklik duumun göe ' ' ' ' isim lıl., ' ' ' ', dikdötgenleine ynl yüzey

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 2

LYS MATEMATİK DENEME - 2 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları İNTEGRAL İÇ KAPAK B kitın ütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, içim ve sorlr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi

Detaylı

Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki yönden önem taşır.

Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki yönden önem taşır. RİJİT (KTI) CİSMİN KİNEMTİĞİ Ktı cisimlein heketleinin tnımlnmsı e nlizi iki yönden önem tşı. iincisi sıkç kşılşıln bi duum olup mç, değişik tipte km, dişli, çubuk e bu gibi mkin elemnlını kullnk belili

Detaylı

Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının İhtiyaç Yayıncılık ın yazılı izni olmadan kopya

Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının İhtiyaç Yayıncılık ın yazılı izni olmadan kopya KMU PERSONEL SEÇME SINVI LİSNS ÖĞRETMENLİK LN BİLGİSİ ORTÖĞRETİM MTEMTİK TESTİ ÇÖZÜM KİTPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMRSI : DI : SOYDI : TG Mıs DİKKT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ ŞĞID VERİLEN UYRILRI MUTLK OKUYUNUZ.. Tstli

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

Adı ve Soyadı : Nisan 2011 No :... Bölümü :... MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI

Adı ve Soyadı : Nisan 2011 No :... Bölümü :... MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI Adı ve Soydı :................ 16 Nisn 011 No :................ Bölümü :................ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI 1) Aşğıdkile hngisi/hngilei doğudu? I. Coulomb yssındki Coulomb sbiti k

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan KAT CİSİMLERİN HACİMLERİ Örnek...2 : =2, =4, =2, = 5 doğrulrı rsınd kln ölgenin O ekseni etrfınd 360 o döndürülm esi le oluşck ktı cism in hcm ini ulunuz İNTEGRAL İLE HACİM HESAB 1. X EKSENİNDE DÖNDÜRMELER

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

M1003 ÇÖZÜM : 4 YANIT : E M1101. ÇÖZÜM : x YANIT : C M0102 ÇÖZÜM : 6 YANIT : E

M1003 ÇÖZÜM : 4 YANIT : E M1101. ÇÖZÜM : x YANIT : C M0102 ÇÖZÜM : 6 YANIT : E - 8. LYS Mtemtik Soulı Ve Çözümlei M + +. eel sısının değei kçtı? M. > eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi şğıdkileden hngisidi? ) ) ÇÖZÜM : ve ) ) ve olduğundn di.. YNIT : ) ) R ) Z ) R + ) R {} ) R

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

TG 11 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 11 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞREMENLİK ALAN BİLGİSİ ESİ İLKÖĞREİM MAEMAİK ÖĞREMENLİĞİ G ÖAB İLKÖĞREİM MAEMAİK Bu testlein he hkkı sklıdı. Hngi mçl olus olsun, testlein tmmının ve i kısmının İhtiç Yıncılık

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

BASİT MAKİNELER BÖLÜM 4

BASİT MAKİNELER BÖLÜM 4 BASİ AİNEER BÖÜ 4 ODE SORU DE SORUARIN ÇÖZÜER fi ip fiekil-i fi fiekil-i ip N fiekil-ii fiekil-ii Çuuklın he iinin ğılığın diyelim Şekil-I de: Desteğe göe moment lısk, Şekil-I de: Şekil-II de: 4 ESEN AINARI

Detaylı

2005/2006 ÖĞRETİM YILI GÜZ YARIYILI MUKAVEMET 1 DERSİ FİNAL SORU VE CEVAPLARI

2005/2006 ÖĞRETİM YILI GÜZ YARIYILI MUKAVEMET 1 DERSİ FİNAL SORU VE CEVAPLARI 5/6 ÖĞRETİ GÜZ R UKVEET 1 ERSİ FİN SORU VE EVPR SORU 1 8 P Şekildeki gerilme durumund; ) sl gerilmeleri ve düzlemlerini ulrk elemn üzerinde gösteriniz. ) ksimum km gerilmesi ve düzlemini ulrk elemn üzerinde

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 9 Mat TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun testlein tamamının

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir.

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir. Mtemtik üns, 2004 Güz Geometi Köflesi Mustf Y c gcimustf@hoo.com iklik Mekezi i üçgenin üç üksekli i dim tek noktd kesifli. u nokt üçgenin diklik mekezi deni. = iklik mekezi genelde ile gösteili. Üçgen

Detaylı

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce

Detaylı

Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

Elektromagnetik Alan Teorisi

Elektromagnetik Alan Teorisi Elektomgnetik ln Teoisi ttik ln teoisi Zmnl eğişim ok Elektosttik ln sttik elektik ln) Mgnetosttik ln sttik mgnetik ln) Dlg Teoisi enince inmik ln mnl eğişim v) kl gelio Mtemtiksel Temelle + B = B + B

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

LYS MATEMATİK ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

LYS MATEMATİK ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 LYS MATEMATİK ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST. (pʹ qʹ)ʹ ʹ 0 (pʹ q)ʹ 0 ve ʹ 0 pʹ q pʹ, q p 0 p, q, öneeleinin doğuluk değei 0,,. (pʹ q)ʹ olu (pʹ q)ʹ, pʹ q 0 pʹ, q 0 p 0 I. p q 0 0 totoloji II. (p q) (0 0) 0 totoloji

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz.

diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz. Diferansiel Denklemler I /8 Çalışma Soruları 9.0.04 A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz!. ( e +. d + ( e + k. d 0 denkleminin tam diferansiel denklem olabilmesi için ugun k saısını belirleiniz. Bu k saısı

Detaylı

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-4 30.03.2015 Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-4 30.03.2015 Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ2 FİZİK-II Ank Ünivesitesi Fen Fkültesi Kimy Bölümü 24-25 Bh Yıyılı Bölüm-4 Ank Aysuhn OZANSOY Bölüm 4. Elektiksel Potnsiyel. Elektiksel Potnsiyel Eneji 2. Elektiksel Potnsiyel ve Potnsiyel Fk 3. Noktsl

Detaylı

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2 Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır? ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x

Detaylı

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90 G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den

Detaylı

KATI CÝSÝMLER KATI CİSİMLER KATI CİSİMLER

KATI CÝSÝMLER KATI CİSİMLER KATI CİSİMLER KTI ÝSÝMLR KTI İSİMLR YILLR 1966 1967 1968 1969 1970 1971 197 197 197 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 198 198 198 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 199 1995 1996 1997 1998 1999 001 001 00 00 00 005

Detaylı

Fonksiyonların Grafikleri... 378

Fonksiyonların Grafikleri... 378 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK

DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Teka Testi-). Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) tü?. Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) ve

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

Ox ekseni ile sınırlanan bölge, Ox ekseni

Ox ekseni ile sınırlanan bölge, Ox ekseni DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (06) ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLERİN UYGULAMALARI. HACİM HESABI GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Eğri Çizimleri. İntegrl formülleri KONU ANLATIMI. HACİM HESABI ) Disk Yöntemi = f ()

Detaylı

a 2 =h 2 +r 2 DERS: MATEMATĐK 8 KONU:KONĐ FORMÜLLERĐ ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN ADI: SOYADI:

a 2 =h 2 +r 2 DERS: MATEMATĐK 8 KONU:KONĐ FORMÜLLERĐ ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN ADI: SOYADI: 1) KONĐ: Bi çembein bütün noktlının çembein dışındki bi nokt ile bileştiilmesinden elde edilen cisme koni deni. Kısc Koni, tbnı die oln pimitti. DĐK KONĐ PĐRAMĐT 1-A)DĐK KONĐ: Bi dik üçgenin, dik kenlındn

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir? MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA)

η= 1 kn c noktasında iken A mesnedinin mesnet tepkisi (VA) ölüm Đzosttik-Hipersttik-Elstik Şekil Değiştirme TESİR ÇİZGİSİ ÖRNEKLERİ Ypı sistemlerinin mruz kldığı temel yükler sit ve hreketli yüklerdir. Sit yükler için çözümler önceki konulrd ypılmıştır. Hreketli

Detaylı

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =

Detaylı

TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu f()= 6 ise f ı ()=6. 6 =6 5 Cevap: 6 5 TÜREV TÜREV Bu bölümde fonksionların türevlerinin nasıl alınacağını öğrenmee başlıoruz. = f() fonksionunun türevi f ı (), d(f()) vea d ile gösterilebilir. d d Kurallar

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II ÝREY ERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ ERS NLTIM FÖYÜ ERSHNELERÝ Konu ers dý lüm Sýnv F No. MTEMTÝK - II TRÝGNMETRÝ - V MF TM LYS1 ers nltým fleri ðrenci trfýndn dersten sonr tekrr çlýþýlmlýdýr. dý Sodý :... u kitpçýðýn

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı