Belirsiz İntegral İntegral Alma Yöntemleri Değişken Değiştirme Yöntemi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425"

Transkript

1 Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli... Pçlı (Kısmi) İntegl... Riemnn Toplmı Olk Belili İntegl... Belili İntegl... 9 Tek ve Çift Fonksionlın Simetik Alıkt İntegli... 7 İntegl İşeti Altınd Tüev (Leinitz Kulı)... 7 Mutlk Değe İçeen İfdelein İntegli... 7 Düzlemsel Bölgelein Alnlı... 8 Hcim Hesplı Heket Polemlei... 9 f() d e c g() f()... n n n

2 KAVRAMSAL ADIM Tes Tüevle Bi fonksionun tüevinin nsıl uluncğını öğendiniz. Anck içok polem tüevi ilinen fonksionun kendisinin ulunmsını geektii. Bi F() fonksionunu, tüevi oln f fonksionundn ulmk istiouz. Böle i F fonksionu vs F e f nin tes tüevi f nin tüm tes tüevleinin kümesine f nin elisiz integli deni. ETKİNLİK BELİRSİZ TANIM F() tüevli i fonksion ve F() ile f() sınd F'() f() ilişkisi vs, f() fonksionun F() fonksionunun tüevi deni. F'() f() ise fd ( ) F ( ) zılı. Bud f()'e integnt, F()'e f() fonksionunun integli, 'e de integl siti deni. f() elli iken F()'i ulm işlemine integl lm işlemi, F() ifdesine f() fonksionunun elisiz integli deni. Aşğıd zı fonksionl ve integllei veilmişti. İntegllein doğu olduğunu gömek için sğ tftki fonksionlın tüevleini lk sold nı stıd ulunn fonksionl kşılştıınız. ÜNİTE İNTGERAL f() sin in F() eşitliğini sğln i tes tüevini (elisiz integlini) ullım. "Hngi fonksionun tüevi sin?" sousunu somlıız. evımız F() cos di. F() & cos olup F() cos ulunu. Fonksion cos ntegl ln sin ln( ) ETKİNLİK A(, ) noktsındn geçen ve (, ) noktsındki eğimi oln eğinin denklemini ullım. Polemde veilen eğinin fonksionu f() olsun. Polemden f'() ve f() eşitlikleini ziliiz. f'() & f() ve f() ise & tü. O hlde f() ulunu. e sin.cos tn e ( ) sin ln(cos) ln( )

3 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM TEMEL FORMÜLLERİ Difeensiel hespt, tüev lmk için genel kull vdı. Fkt integl hespt, i ifdenin integlini ulmd genel i kul oktu. He integl polemi özel i işlemi geektii. İnteglleme slınd deneme tüünden i işlemdi. İntegl polemleinde, sonuc dh çuk ulşmk mcıl i dizi integl fomüllei hzılnmıştı. Bu fomüllee temel integl fomüllei deni. İntegllemede kollık sğldıklındn u fomülle şğıd veilmişti du u ln u u ; u< du sec ; u u u u> du tn u u du ln( u u ) u ve c sit sıl ve u, in i fonksionu olmk üzee,. du u. du ln( u u ) ; u> u. un undu ; n n. u du u u u sin. eudu eu. u du u! u!! ln( u u! ).. u udu ;! R \ {, } ln du ln u, u > ise u * ln( u), u< ise BELİRSİZ ÖZELLİKLERİ i. F'() f() fd ( ) F ( ) tnımındn. sin udu cos u _ fd ( ) i' ( F ( ) )' & F'( ) f ( ) ti. 7. cos udu sin u ii. fd ( ) F ( ) eşitliğinin he iki nının difensieli 8. tn udu lncos u lnsec u lınıs, 9. cot udu lnsin u lncosec u d_ f( ) di d(f() ) df() F'()d f()d olup. sec udu ln( sec u tn u) d8 fd ( ) B fd ( ) elde edili.. cosec udu ln( cosec u cot u) iii. df( ) F'( ) d F( ) di.. sec udu tn u iv. ^f ( )" g ( )"... hd fd ( ) " gd ( ) "... di.. cosec udu cot u v.! R, fd ( ) fd ( ) ti.. sec u. tn udu sec u vi. fd ( ) F ( ) ise. cosec u. cot udu cosec u ) fd ( ) F ( ). du u u sin cos ( > ve u < ) u 7. du u ln u u ; u> ) c) f ( d ) F ( ) f ( d ) F ( )

4 . Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ) ) c) ( ) d c m d / d / d d d d UYGULAMA ADIMI m) n) ( )( ) d d ( ) ( d ) d d / d / e e e d d e d e e e ed e d ÜNİTE İNTGERAL d / d d d / d d o) e e ( ) d ( ) d. / p) ( )( ) d ( ( ) ) d d) ( ) d ( ) d d d d ( ) d d ( ) e) d d. 8 ( ) d d d d ) _ i_ id ( ) d UYARI n > olmk ü zee, d d / n n n d / n n n n n n f) ( )( ) d d ( ) ( ) d. Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ) ) d d ( ) d 8 sin( tn d ) B' sin( tn ) k) d d d l ln c) d sin d sin d l) ed e / d ed e d) e) d( ln ) ln : d ( ) D d ( ) d ( ) d 7

5 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. ( ) d in eşiti nedi? 7. f'() 8 X ve f( ) ise, f() kçtı? ( ) d d d d d f'( ) d ( 8 ) d... f ( ) 8... ( ) d in eşiti nedi? di. f() X X f() olu. ( dielim.) f( ) ise f( ) ( ) ( ) ( ) & ulunu. ( ) d / ( ) d kd 7 d d f() olup f().. 8 olu. 8. f.'( d ) ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? f.'( ) d eşitliğinde he iki tfın tüevini llım. f.'( ) f p'. f'( ) d integlini ulunuz. df ^ ( ) h f'( d ) olduğundn f'( ) d d( f( ) ) f( ) ulunu..f'()..f'() & f'() & f() ( ) d & f().. f''( ) d integlini ulunuz. ( ) f( ) & f( ).( ) df ^ '( ) h f''( d ) olduğundn f''( ) d d^f'( ) h f'( ) ulunu. & f ( ) ise f( ) olu. ulunu. 8

6 9. f''() olmk üzee, f() eğisi doğusun T(, ) noktsınd teğet olduğun göe, f() fonksionunu ulunuz. f''() ise ntegli lınıs eşitliğinde he iki nın i Eğinin T(, ) noktsındki teğeti olup teğetin eğimi d f '( ) d d f '( ) l d ^ h d d f'( ) m tü. UYGULAMA ADIMI. f() fonksionunun hehngi i T(, ) noktsındki teğetinin eğimi m ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? T(, ) noktsındki teğetin eğimi m ise f'() di. f'( ) d f( ) olup d f( ) f( ) ise f( ) ( ) f() f() f() & di. f() ise f() ulunu. ÜNİTE İNTGERAL O hlde f'( ) tü. f'( ) ( ) ( ) O hlde f'() lınıs geçtiğinden & f'( ) d c md f ( ) O hlde f() olu. olup he iki tfın integli ve eği T(, ) noktsındn ( ) f( ) & ( ).( ) di. ulunu.. f: R R, f() fonksionu için f''() ve f() in T(, ) noktsındki teğetinin eğimi olduğun göe, f() kçtı? f''( ) d df'( ) f'( ) f'() d olup teğetinin eğimi ise f'() tü. f'() f'(). & f'( ) d f( ) di. f nin T(, ) noktsındki tü. ( ) d f( ) & f( ) ve f() eğisi T(, ) noktsındn geçtiğinden f() di. f().(). & di. O hlde f() ise f().. ulunu. 9

7 ÜNİTE. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) d ) c) d e) d ed f) d PEKİŞTİRME ADIMI. ^ hd integlinin eşiti nedi?. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) ( ) d ) d e) ^ hd. d integlinin eşiti nedi? c) d f) ^ d h 9 9. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d c) n d ) c d d) d m. d nd integlinin eşiti nedi?

8 7. d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. d^, n h integlinin eşiti nedi? ÜNİTE İNTGERAL., n 8. ^e, nhd integlinin eşiti nedi?. ^ e, nhd integlinin eşiti nedi? e e 9. ^e cos sin hd integlinin eşiti nedi?. c integlinin eşiti nedi? m d e sin cos, n

9 ÜNİTE. ( cos ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI m. f ( ) d olmk üzee f fonksionunun gfiğine psisli noktdn çizilen teğetin denklemi, doğusun plel olduğun göe, m kçtı? sin. f'() 7 ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? 7. f() eğisinin eel ekstemum noktlındn ii K(, ) noktsıdı. f''() olduğun göe, f( ) kçtı? 9 f ( ). d olduğun göe, f() kçtı? 8. f: R R, f() fonksionund f'() ve f() olduğun göe, f(7) kçtı?

10 . d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi? ÜNİTE. ^ hd integlinin değei nedi?. ( cos sin ) d integlinin değei nedi? İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. cos cos d integlinin değei nedi?. c d integlinin değei nedi? m. ( ) d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. ( ) d integlinin değei nedi?. ( cos ) d integlinin değei nedi? 7. d integlinin değei nedi? 7. ^ hd integlinin değei nedi? 8. integlinin değei nedi? d 8. tn d integlinin değei nedi? 9. d integlinin değei nedi? 9. cot d integlinin değei nedi?. c integlinin değei nedi? cos m d. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?

11 ÜNİTE. e ne c, m d integlinin değei nedi?. e d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. t dt integlinin değei nedi?. ^e e hd integlinin değei nedi?. csin integlinin değei nedi? sin m d. log 9 d integlinin değei nedi?. e d integlinin değei nedi?. log d integlinin değei nedi?. sin( ) d integlinin değei nedi?. ^log log8hd integlinin değei nedi? 7. sin. cos d integlinin değei nedi? t 7. t f dt integlinin değei nedi? t p t 8. d integlinin değei nedi? ( t ) dt 8. integlinin değei nedi? t 9. d integlinin değei nedi? 9. z d dz integlinin değei nedi? z n z. d integlinin değei nedi?. dz z integlinin değei nedi?. t t dt integlinin değei nedi? t. d integlinin değei nedi?

12 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f''( ) f'( ) integlini ulunuz. u f'() değişken değiştimesi plım ve he iki tfın difensielini llım. du d(f'()) du f''()d olu. du E f''( ) d du f'( ) u X u,n u u f'() eine zılk &, n f'( ) ulunu. ALMA YÖNTEMLERİ DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ Bu öntem i ileşke fonksionun difeensielinin ulunmsı ilkesine dnı. Veilen i integlinde, u(t) dönüşümü pılıs d u'(t)dt olu. Bud u(t) süekli i fonksion ve tnımlı olduğu lıkt u'(t) tüevi vdı. u(t) için f() f(u(t)) olup integl, içimini lı. Bu önteme değişken değiştime ve eine kom öntemi deni. Değişken değiştime pılıp integl hesplndıktn son sonuç ilk değişken tüünden zılmlıdı. Bu öntemde önemli oln nei eni değişken olk gösteeceğimizi ilmekti. Dönüşüm ugun pıldığı süece veilen i elisiz integl kolc hesplncktı. ÖRNEK I fd ( ) I fut ( ( )). u'( tdt ) ÜNİTE İNTGERAL n I f ( f'( d ) integlinin değeini ullım. ETKİNLİK d ) integlini hesplınız. ÇÖZÜM u f() değişken değiştime işlemi pılı. Difeensiel lınıs du f'()d olu. O hlde un n f ( f'( d ) undu n ve u f() zılk, n n f ( f ( f'( d ) n ulunu. sin ) d integlini hesplınız. cos UYARI Belisiz integlde değişken değiştime öntemi ugulndıktn son sonucun ilk değişken tüünden zılmsı geeki. ÖRNEK cos c) integlini hesplınız. sin d d, n ÇÖZÜM olduğunu gösteelim. u denili ve iki tfın difensielini lısk du d( ) du du.d & d olu. d du, u n u, n ulunu.

13 ÜNİTE. I ( ). d integlini hesplınız. t denilise d( ) dt & d dt olu. UYGULAMA ADIMI. I. e d integlini hesplınız. Bud t denilise d( ) dt & d dt olu. t I ( ). d tdt d dt olup t eine zılıs, ( ) ( ) I d elde edili. e d e dt I t edt t e t t zılıs e d e I olk ulunu.. ln I d integlini hesplınız., n t dönüşümü pılıs d d(, n) dt & dt olu., n t I d t dt t, n zılıs,, n, n I d olk ulunu.. d I e integlini hesplınız. Bu integlde p ve pdı e ile çpsk değişken değiştime dh kol olcktı. e e e olup. e I e integlini hesplınız. t e zılıs dt d( e ) & dt e d olu. d e I integlinde e d e t e denilise dt d(e ) & dt e d ve e d dt di. d e dt I d olup e e t n t, e d dt olup t e zılıp e t n t, e I d n e elde edili. e, t e zıldığınd d I n e e, elde edili.

14 . I esin. sin d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin ) & dt sin.cosd & dt sind olu. I esin sin d etdt et ve t sin olduğundn I esin. sin d esin elde edili. UYGULAMA ADIMI 9. I sin. cos d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin) & dt cosd t I sin. cos d tdt t sin sin & I sin. cos d Bu integlde t cos dönüşümü pılk d sonuc ulşılili. ÜNİTE İNTGERAL 7. I cos. sin d integlini hesplınız. t cos & dt d(cos) & dt sind & dt sind t olup I cos. sin d tdt cos I cossin d di. ve. I d integlini hesplınız. t dielim. dt d( ) & dt d olu. & d dt dt I d t, n t I, n elde edili. 8. sin I d ecos integlini hesplınız. t cos & dt sind dt dt sin d olu. Ve integl I et Bu integli. önekte çözdüğümüzden I [, n e t ] ve içimini lı. d. I integlini hesplınız. Veilen integl d I içiminde zılıp t dönüşümü ( ) pılıs, d( dt ) dt & d dt ve d olu. dt I d t Bu son integl,. fomülde u t, lınıp I, nt ^ th t cos & I, n e cos elde edili. I, n ^ h olk ulunu. 7

15 ÜNİTE sin. I d integlini hesplınız. Veilen integli I sin d içiminde ziliiz. t sin dt d(sin d & ) & dt olu. sin I d t dt t / dt t / I ( sin ) ulunu. UYGULAMA ADIMI I integlinde u & du d d I du u du u u u u & I cos I d integlinde & du d di. ( cos )' d olduğundn t cos & dt d di. sin. I d integlini hesplınız. d t & d( ) dt & dt di. d & dt sin I d sin tdt sin tdt cost t I tdt, t cos ( cos ) & I ve olmk üzee, cos I I I d cos c m elde edili. cos olu.. I d integlini hesplınız. t dönüşümü psk. cos I d integlini hesplınız. Önce integli iki pç ılım. cos cos I d d d t & t & d d(t ) & d tdt di. I ( t ). t.. tdt ( t 8t ) dt tdt 8 tdt t t 8 t olup I d cos I d ve I d 8 ( ) ( ) elde edili. 8

16 sin t. I dt integlini hesplınız. cost u cost & du sintdt & du sintdt sin t du I dt cos t u du u tn u UYGULAMA ADIMI d 9. I integlini hesplınız.., n, n u, n& du d d du I sec u n,, n u u sec (, n) di. ÜNİTE İNTGERAL cos t tn l olu.. dz I z, nz integlini hesplınız. sec 7. I d integlini hesplınız. 9 tn t, nz & dt z dz dz dt I t / dt t z, nz t I, nz olu. u tn & du sec d sec du du I d 9 tn 9 u u u & sin sin ( tn ) di.. I sin d integlini hesplınız. u & du d du & d I sinudu cosu n 8. I d integlini hesplınız. (n N ) n I cos ulunu. t n & dt nn d & dt n n d I n dt d n n t n, nt ^ t h n, n ^ n n h olu.. I sin d integlini hesplınız. u & du d & du d I sin d sin udu cos u cos di. 9

17 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. I ^tn tn hd integlini hesplınız.. I tn. sec d integlini hesplınız. I ^tn tn hd tn ^tn hd I tn. sec. d tn ( tn ) sec d u tn & du sec d (tn )d u tn & du sec d I u ( u ) du u I tn( tn ) d udu ( u u ) du u u I tn di. tn tn I ulunu.. I sin. cos d integlini hesplınız. I sin. cos d sin. sin. cos. cos d sin. sin.( sin) cos d u sin & du cosd u. u ( u ) du ( u u ) du u 7 I 7 sin sin7 I 7 di.. cos I d cos integlini hesplınız. cos cos cos cos. cos cos cos cos cos cos I d d cos cos cos ( sin) d sin cos I d d d sin sin cos d cot sin \ I cos du u sin I sin d u u sin du cosd I I cot I cot ulunu. sin 7. I e d e integlini hesplınız. I e e. ed ( e). ed d e e e u e X & du e d ve e u ( u ) u u I du du u u / u / / du u du u / du u /. u / u I ( e ) / ( e ) / e di. 8. tn I d integlini hesplınız. u tn & du d tn u ( tn ) I d udu di. 9. sin I d cos integlini hesplınız. u cos & du sin d sin du I d tn u ( cos) u I tn ( cos) ulunu.

18 UYGULAMA ADIMI. I sin( cos). sin d integlini hesplınız., n. I d integlini hesplınız. u cos & du sin d d I sin( cos) sin d, n u & sin udu du cosu cos(cos ) ulunu. I, n d u du u / du &. u / (, n) / ulunu.. I cos( csin ) d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL u csin & sinu d cosu du olu. cos u. cos udu cosudu ve cos cos u u olduğundn cos udu du cos u du u I. sin u u csin & I csin sin( csin ). I e ( ) d integlini hesplınız. u & du ( ) d & du ( ) d e ( ) d e du I u eudu & eu e ulunu. di.. cot I d, nsin integlini hesplınız. u, nsin & cos du d cot d sin cot I d du nsin u,, n u I, n, n sin ulunu.. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt I d ( t ). t. tdt t( t t) dt ( t t t) dt t t7 I c t m 7 I ^ h ^ h ^ 7 7 h G di. ( ) d. I integlini hesplınız. u & du ( )d du du ( ) d & ( ) d ( ) d du I u / du u. u / ( ) / olu I ( cos) sin d integlini hesplınız. cos I 8 ^ h B sin d sin d ( cos). sin d I sin d, I ( cos) sin d du I için u & d du & d

19 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI I sin d d sin udu cos u. integlini hesplınız. I ( ) I cos I ( cos) sin d için t & d t dt t cos & dt cos.( sin)d & dt sin d d t t I dt dt ( ) t cos t t c I ^ h sin d t t m dt du ( cos) u t & du tdt & tdt cos8 t du I I dt t u n u, I, n t, n di. cos8 I I I & I cos ulunu. 8. I sinn. sin d integlini hesplınız. (n N ) I sinn. sin d ( sin) n. sin d u sin & du sin.cosd sind un I sinn. sin d un. du n ( sin) n & I n ulunu.. d integlini hesplınız. t & d tdt I d tdt ( t ) dt t t I dt dt t, n t t, n di. 9. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt t t t I t. tdt ( t ) dt I ( ) ( ) ulunu.. tn I d, n( cos ) integlini hesplınız. u, n( cos ) & du tn d du u I. tn u n cos tn c, m di.

20 , n, n. I d integlini hesplınız. 8 u, n & du d, n, n I d 8 ulunu.. I d integlini hesplınız. d u 8, n I c, n m 8, n I I I I ^u uhdu u u. l 8, n, n, n, n 8, n, n d d d I d du & du d & d du u u d I sin ( ) I sin ulunu. UYGULAMA ADIMI cos sin. I d integlini hesplınız. cos sin u cos sin & du ( sin cos)d cos sin I d du cos sin u, n u 7. I sec d integlini hesplınız. du u & du d & d ^, n, nh 8. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? eine zılıs I,n cos sin cos sec udu cos u du u I du cosu t sin u & dt cos udu cos u dt du sin & I u t t sin I., n, n t sin et & d etdt et & t, n ^t thetdt t t dt et ^ h ulunu. di. di. ÜNİTE İNTGERAL d. I integlini hesplınız. ( ) t & d tdt tdt dt I tn t tt ( ) t I tn di. 9. d integlinde u dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? u ise du d du d & d udu olu. u u ulunu.. u( u) udu du u u

21 ÜNİTE. f''( ). f'( ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. ( ) ^ 7h d integlini hesplınız. [ f ( )] ^ 7 h 7 f''( ). d integlinin eşiti nedi? f'( ). ed integlini hesplınız. e ln f'() e/. d integlini hesplınız. 7. sin( ) d integlini hesplınız. e / cos( ). d integlini hesplınız. 8. cos( ) d integlini hesplınız. sin( )

22 9. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. cos d integlini hesplınız. sin ÜNİTE İNTGERAL ( ) l, n sin. d integlini hesplınız.. tn d integlini hesplınız., n, n cos. sin d integlini hesplınız. 7 sin. d integlini hesplınız. n,, n 7 sin, n, n. ( e ). ed integlini hesplınız.. e. sin e d integlini hesplınız. ( e ) cose

23 ÜNİTE 7. tn. sec d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. tn sin etn 8. d integlini hesplınız. cos. d integlini hesplınız. ( ) ( ) e tn 9. d integlini hesplınız.. cos (, n) e. d integlini hesplınız. e tn(, n), n e. d integlini hesplınız., n( sin ). tn d integlini hesplınız. sin, n( sin )

24 . e. d integlinin değei nedi?. 98( 9) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi? ÜNİTE İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. ^ hd integlinin değei nedi?. sin. cos d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. f ( ). f'( d ) integlinin değei nedi?. e. ed integlinin değei nedi? 7.,n d integlinin değei nedi? sin(,n) 7. d integlinin değei nedi? 8. sin. cos d integlinin değei nedi? 8. etn ed integlinin değei nedi? 9. esin.cosd integlinin değei nedi? 9., n d integlinin değei nedi?. d, n. integlinin değei nedi?. c, n, n m d integlinin değei nedi? 7

25 ÜNİTE. ctn d integlinin değei nedi?. ( csin ) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d, n integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. cot n, ( sin d ) integlinin değei nedi?. tn d integlinin değei nedi? e. d integlinin değei nedi?. tn( sin ) cos d değei nedi?. esin.sind integlinin değei nedi?. ecos sin d integlinin değei nedi? ( c cot ) 7. d integlinin değei nedi? tn (,n). d integlinin değei nedi?, n, n 7. f p d integlinin değei nedi? ctn( sin ). cos 8. d integlinin değei nedi? sin 8. f'( sin ). f( sin ) cos d integlinin değei nedi? 9., n ( cos ) tn d integlinin değei nedi? 9., n ld integlinin değei nedi?. sin.sind integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. cos. sin d integlini hesplınız. 8

26 KAVRAMSAL ADIM I. d BİÇİMİNDEKİ LER c Δ c olmk üzee, u tü integlle, Δ nın işetine göe inceleni.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c (m n) p giidi. O hlde d d d c ( m n) p p m n p l A B ( m n p)( m n p) m n p m n p içiminde sit kesilee ılıs d A B ( m n p)( m n p) m n p d m n p d I I I I integlinde u m n p denilise du md & d m du integlinde v m n p denilise olu. ÜNİTE İNTGERAL olu. Son integle dikkt edildiğinde integnt, ctnjnt'lı i ifdenin tüevine enzemektedi. O hlde dv md & d m dv olup eine zılıs m n u p elde edili. değişken değiştimesi pılıs, ctnjnt'lı i sonuç d c m A du u m B dv v. Duum: Δ olsun. Bu duumd c (m n) giidi. O hlde integl d d I c ( m n) ( m n) d olup u m n denilise du md & d m du olu.. u. m du m u I. m u ETKİNLİK m A B, nu m, nv m A, nm ( n p) m B, nm ( n p) I d 8 u & d du integlini ulunuz. olu. I d d 8 ( ) 9 ulunu. u m n. & I m ( m n) ulunu.. du 9u 9. Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n) p (m n p)(m n p) olup eine zılıs, d d olu. c ( m n p)( m n p) u du. n, u u, n, n di. 9

27 ÜNİTE d. I integlini hesplınız. 9 9 ifdesinde Δ < olup 9 ( ) tü. O hlde d d I 9 ( ) d d ( ) ; E l u denilise du d & d du olu. d. du du u u l ctn u u ctn & I l olup ulunu. UYGULAMA ADIMI u l denilise du d d I du olup du ctn u u u l zılıs ve d I ctn ; l E ulunu. cos d. I integlini hesplınız. sin sin Önce t sin değişken değiştimesi pılıs dt cosd olu. O hlde integl dt I içimine dönüşü. t t t t ifdesinde Δ 9 7 < olduğundn t t t 7 t l ; t l E zılıs d. I integlini hesplınız. ifdesinde Δ < olduğundn. önekte olduğu gii integntın pdsı iki ke içimine getiili. Bun göe l olduğundn d d I l d R V S l W S W S W T X d R V S W S W S W T X d ; l E dt dt I t R 7 t V ; l E S l W 7 S W 7 S W T X. dt 7 J N t K O K O K 7 O L P 8 dt integlinde denilise 7 ; t l u t l 7 7 E 7 du dt & dt du 7 I u du 7 olu. ctnu u t l ve t sin 7 u sin l 7 zılıs I ctn; sin l 7 7 E olduğundn elde edili.

28 . d I integlini hesplınız. X ifdesinde Δ olduğundn ( ) di. Yeine zılıs d d I ( ) di. v denilise dv d olup dv v I v dv v v v zılıs I ulunu. UYGULAMA ADIMI A B ( )( 7) 7 7 için için O hlde den A ( 7) B ( ) ( )( 7) ( )( 7) A( 7) B( ) olu. B & B A & A olu. d A B d d d d 7, n, n 7 7, n ulunu. ÜNİTE İNTGERAL. e e d e 9 integlini hesplınız. Önce t e değişken değişimi pılıs dt e d dt t t 9 olduğundn integl içimine dönüşü. t t 9 ifdesinde Δ olduğundn t t 9 (t ) di. Yeine zılıs dt dt ( t ) t dt t 9 ( t ) t t e zılıs ed e e e 9 ulunu.. d I 8 7 integlini hesplınız. 8 7 integlinde Δ 8 > olduğundn 8 7 ( )( 7) di. 7. d integlini hesplınız. 7 7 ifdesinde Δ 9 8 > olduğundn 7 ( )( ) di. O hlde A B 7 A( ) B( ) 7 7 A( ) B( ) zılıs. B & B zılıs.a & A d Ad Bd 7 d d., n., n d n, 7 di. ulunu. O hlde,

29 ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ( ) 9 ctn( ) ctn l. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. ctn k ctn kl. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. ctn( 7), n

30 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK II. ^A Bhd c BİÇİMİNDEKİ LER ÜNİTE d ulunu. integlini hesplınız. d d d d f. p d d, n ( ) d f p, n ( ), n ( ). d c m d c m, n ( ) ctn Bu tü integllede de Δ c nin işetine kılk çözüme gidili.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c nin tüevi oln ifdesi pınd oluştuulu. Bunun için sısıl kesin pı A pntezine lını, ile çpılı ölünü, son d ekleni çıkılı. Yni; B A B I d A A d c c B A A d c B A A d c A A B d A d c c A A d, n c B l c olu. Son integl I. gupt incelediğimiz tüdendi. İNTGERAL ETKİNLİK dinteglini hesplınız.. Duum: Δ olsun. Bu duumd kesin pdsı tmkedi. Yni, c (m n) giidi. Bu duumd integnt, A B A B P Q içiminde sit kesilee ılı. c ( m n) m n ( m n). Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n)( p) içiminde çpnlın ılı. Son integnt A B A B P Q c ( m n)( p) m n p içiminde sit kesilee ılk integl lını.

31 ÜNİTE. I d integlini hesplınız. ( ) ' X olduğundn kesin pınd oluştumlıız. I d d 7 I d d d, n 7 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn O hlde ( ) di. d d d ( ) c m G UYGULAMA ADIMI Biinci integlde ( )' olduğundn I, n 9 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn l ; l E d dı. dı. 9 d 9 d 8 R V ; l E S l W S W S W T X 9. d 8 J N K O K O K O L P 8 d ; l E u du denilise u du d ctn u d du olu ctn di. c m Bölece I, n 7. ctn c m ulunu. u l denilise du d & d du 8 du 8. ctn u u u l ise ve. I d integlini hesplınız. I d d 9 ctn ; l olup E 9 I, n ctn ; l E ulunu. d 9 d d

32 . I d integlini hesplınız. 8 UYGULAMA ADIMI & A. l ÜNİTE 8 ( ) olduğundn A B 8 ( ) ( ) & A & A olu. d d d İNTGERAL A ( ) B ( ) ( )., n, n A( ) B ise A B A olup polinom özdeşliğinden A, B A & B. ulunu., n, n B ulunu. O hlde; d d d ( ) ( ), n ( ) d, n. ulunu.. d integlini hesplınız.. integlini hesplınız. d ( ).( ) olduğundn A B A ( ) B ( ) ( )( ) & A( ) B( ) tü. Budn için A.7 & A, ifdesinde Δ 8 9 > olduğundn ( )( ) di. A B ( )( ) A ( ) B( ) ( )( ) ( )( ) A( ) B( ) ve için 7 B( 7) & B ulunu. Bölece, d c md, n, n, n ( ).( ) & B & B ulunu.

33 ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. 8, n ( ), n^ 8h ctn k ( d ). integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n^ h, n 8 8 ctn. d integlini hesplınız. 8. d integlini hesplınız., n ctn c m

34 7. 7 d integlini hesplınız. 9 PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL 7, n^ 9h ctn 7, n, n 8. d integlini hesplınız integlini hesplınız. d, n^9 8h ctn k 9 8, n, n 9. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n ctn k ctn 7

35 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK I d integlini ulunuz. P deecesi pd deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. d pd köklei ve olup pd ( ).( ) şeklinde çpnl ılı. A B ( )( ) ( ) A ( ) B ( ).( ) den ( )A ( )B ve (A B) (A B) özdeşliği elde edili. Polinomlın eşitliğinden (Belisiz ktsıl metodu) A B ve A B denklemlei otk çözüleek A ve B ulunu. Bölece I d d, n, n elde edili. KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İ BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİ P() ve Q() ie polinom ve Q()! olmk üzee P ( ) Q ( ) içimindeki ifdelee sonel fonksion deni. Bud P ( ) d Q ( ) integlinin nsıl lıncğının kulını veeceğiz. Pın deecesinin pdnın deecesinden üük d eşit olmsı duumu: Bu tü duumld p, pd ölünü, tm kısım ılı. P ( ) K ( ) B ( ) Q ( ) Q ( ) ise P ( ) K ( ) K ( ) d ; B ( ) Ed Q ( ) Bd ( ) d ( ) Q ( ) ti. K ( ) d Q ( ) integlinde K() in deecesi (K() : kln) Q() in deecesinden küçüktü. Bud d üç duum sözkonusu olili. ) Q() ( )(c d)(e f)... içiminde çpnlın ılıos K ( ) M N P... Q ( ) c d e f şeklinde zıp M, N, P... P ( ) sitlei ulunu. Sitle eine zılk integl lını. d Q ( ) integlinin sonucu logitmlıdı. ÖRNEK d integlini hesplınız. A, B ktsılını şğıdki gii iki değişik oldn uliliiz. ÇÖZÜM Pın deecesi pdnın deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. I) ( )A ( )B idi: Şimdi pd kökleini u eşitlikte kullnlım. için. ( )A ( )B & A & A için. ( )A ( )B & B & B ( )( ) olduğundn A B zılı. A ( ) B ( ) A( ) B( ) de ise. A( ) & A ise. B & B 7 di. 7 olup 7 d d d, n 7, n di. 8 8

36 KAVRAMSAL ADIM P ( ) A B II) Q ( ) eşitliğinin iinci tfının pdsını tüevleelim. P( ) P( ) A B di. Q '( ) Q '( ) P ( ) tü. Q'( ). A. ÖRNEK I d ÇÖZÜM integlini hesplınız. Pın deecesi pdnın deecesine eşit olduğundn ölme işlemi pılıs,! " olduğundn ÜNİTE İNTGERAL. B. di. d d c m d d ETKİNLİK d olu. I d integlini ulunuz. A B zılı. ( ).( ) olup A B ( )( ) ( )( ).A ( )B( ). için ( )( )A.B. & A için.a.( )B. & B için 8.A.B.( ) & olup d d I d A ( ) B ( ) A( ) B( ) &. B & B &. A & A di. d d d, n, n di. O hlde I d n,, n ulunu. I, n, n, n elde edili. ) Pd Q() ( ) n içiminde ise K ( ) A B D... Q ( ) ( ) ( ) n zılı. 9

37 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK 7 I d integlini ulunuz. Pın deecesi üük olduğundn pı pd öleek ulunu. 7 7 I d d 7 d di. Son integl önceki öntemle hesplnk I, n, n elde edili. ETKİNLİK ÖRNEK I integlini hesplınız. d ÇÖZÜM A B ( ) A( ) B( ) (A ) (A B) B eşitliğinden B _ A B ` & A, olu. A O hlde I d c d m d d I d, n l, n I, n ulunu. d integlini hesplınız. c) Kesin pdsınd çpnlın ılmn (Δ < oln) c gii i ifde vs pddki u ifdee kşılık p A B çpnı geli. ÖRNEK I d ( ) integlini hesplınız. ÇÖZÜM A B ( ) zılı. A ( ) B ( ) ( ) den (A B) A eşitliğinden A B _ ` A & B di.

38 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d sin tn t t sin t integlini hesplınız. kolım. dt d ve t O hlde ( d c ) d m d d n, d d, n, n ctn olup I, n ctn ulunu. ÜNİTE İNTGERAL d sin dt t t t TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İ Tigonometik fonksionlın integlini ulmk için genel i kul oktu. Anck elli pıdki tigonometik integlle için şğıdki değişken değiştime işlemi pılı. dt,n t t, n tn di. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. sin tn cos sin sin cos sin sin ( sin ) sin cos cot sin sin ) Q( sin, cos ) d içimindeki integlle: Bud integli lınck fonksion sin ve cos in sonel i fonksionu ise tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t Bi d çısı & ctn t & d dt t sin t t cos t olu. oln dik üçgen çizilise, ve sin sin. sin. cos t t sin.. t t t cos cos. cos sin olduğundn olduğundn t A B t d, n cot sin sin cos d t t t n c t m t olu. elde edili. Bu değele veilen integlde sin ve cos eine zılk t e ğlı sonel i integl elde edili. Bu integl dh önce veilen öntemle hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı.

39 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d cos tn t olduğundn, integlini hesplınız. kolım. t dt cos, d t t d cos dt t ulunu. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. elde edili. dt t t t c t t mdt, n t, n t t, n t tn, n tn sin tn cos tn sin cos cos sin cos sin 7 8 ccos sin m cos sin sin cos cos cos sin sin tn cos cos d, n tn cos cos olduğundn, ÖRNEK I sin d ÇÖZÜM integlini hesplınız. tn t denilise ctn t & ctn t t d dt ve sin t t t dt t t ve t tn zılıs I ulunu. tn ÖRNEK ÇÖZÜM t dt dt ( t) ( t) t t ) Q( tn ) d içimindeki integlle: Bu integllede tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t d dt olup integl t Qt (). dt t tn I d tn olduğundn eine zılıs içiminde sonel i fonksionun integline dönüşü. integlini hesplınız. tn t & ctn t & d dt t t ( ). tdt I dt t t ( t)( t) Bud t A Bt den ( t)( t ) t t ^ t h ( t) olu. t A At Bt Bt t ( t)( t ) ( t)( t)

40 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d cos d cos d I cos ( sin ) sin sint t kosk cos d dt ve dt I olu. t tnu kosk, t cos u du cos u du du I tn u cos u cos u A, n tn u cos u, n t t u, nt t, n t t B, n sin sin k,( k, n ) ulunu. t t (A B) t(b ) A eşitliğinden A B B, B, A A tdt t dt ( t )( t ) t f p t dt t dt dt t t t ulunu. t, n t. dt ctn t t, n t, n t ctn t t tn zılıs I, n tn, n tn ctn( tn ), n tn, n sec, n tn, n sec sec, n olu. tn ÜNİTE İNTGERAL ETKİNLİK n n ) Q( sin, cos ) d ( n! Z ) içimindeki integlle: Bu tü integllede tn t değişken değiştiimi pılı. d ^ h integlini hesplınız. tn t & ctnt & d dt t olu. Bi çısı oln dik üçgen çizilise; A sin cos t t t olup veilen integlde eleine zılk t e ğlı sonel i fonksionun integli elde edili. Bu integl hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı. t B t

41 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sin. cos d integlini hesplınız. sin. cos d sin. cos. cosd sin.( sin ).( cos d) u sin olsun. du cos d ti. ÖRNEK I integlini hesplınız. cos d ÇÖZÜM tn t & ctn t d dt t ve cos değelei eleine zılıs t sin. cos d u ( u ) du u u ( u u ) du sin sin ulunu. I I t dt c m t dt t > c m H t dt t dt t dt t c m ETKİNLİK t u & du dt & dt du I du ctn u u u t tn ctn tn & I c m ulunu. sin. cos d integlini hesplınız. IV. sinm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER: (m, n Z) Bud duum söz konusu olili.. m çift n tek olsun. O zmn n p içiminde zılili. Budn sin m. cos n d sin m. cos p d m p sin. cos. cos d m p sin ( sin ) cos d olu. Bu son integlde sin t denilise cosd dt olu. O hlde, m p m p sin.( sin ) cos d t.( t ) dt olu.

42 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d ( cos ) d ( ) d ( cos cos ) d d cos d cos d d cos d d cos d 8 8. sin. sin 8 8 sin sin 8 ETKİNLİK ÖRNEK I sin. cos d ÇÖZÜM Veilen integli integlini hesplınız. ulunu. içiminde zlım.. m ve n nin ikisi de negtif olmn çift sıl olsun. Öneğin, m p, n q olsun. olup pntezle çılk elde edilen integlde çift ve tek kuvvetlein ilikte ulunduğu teimlein integli. deki oldn, çift kuvvetlein ulunduğu teimlein integli de ÖRNEK I sin. cos cos d sin.( cos ) cos d sin ^ sin h cos d t sin & dt cos d 8 I t.( t ) dt t ( t t ) dt ( t t t ) dt 9 t 7 t I t ve t sin ise sin sin sin I 7 9 sin m. cos n d sin p. cos q d cos cos p q ( sin ).( cos ) d cos p cos p c m. c m d eşitliği dımı ile hesplnı. ÜNİTE İNTGERAL sin. cos d integlini hesplınız. I sin. cos d ÇÖZÜM integlini hesplınız. I ( sin ).( cos ) d zılıs I cos cos cos c m. c m d c d m cos d d cos d 8 8. sin 8 8 sin ulunu. 8 cos d 8

43 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sin d integlini hesplınız. sin d sin.( sin d) ( cos ).( sin d) u cos olsun du sin d sin d ( u ).( du) ti.. m ve n nin he ikisi de tek sı olsun. Bud mutlk değece küçük kuvvetli oln fonksion pçlnı. Geie kln işlemle. deki oldn südüülü. ÖRNEK sin I d cos ÇÖZÜM integlini hesplınız. Veilen integlin sin. cos d olduğu düşünülüse < olduğundn sin fonksionu pçlnı. ( u ) du sin. sin ( cos ) sin d d cos cos ulunu. u u cos cos u cos & du sind olduğundn ( u ).( du) u u du u du u u du u du u u u u u cos zılıs I cos cos sec sec ulunu. ETKİNLİK sin. sin d integlini hesplınız. V. sinm. cosnd, cosm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER Bu integllei hesplmk için sin m. cos n sin( m n) sin( m cos m. cos n cos( m n) cos( m sin m. sin n cos( m n) cos( m n) eşitliklei ÖRNEK I sin. cos d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.cos sin( ) sin( ( sin sin ) olduğundn

44 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. cos. cos cos( ) cos( I ( sin sin ) d sin d sin d. ( cos ). ( cos ) cos cos ulunu. ÜNİTE İNTGERAL fomülü ugulnk cos. cos d cos( ) cos( d cos d cos d. sin. sin sin sin ulunu. ÖRNEK I sin. sin 8d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.sin8 cos( ) cos( ) 8 cos cos( ( cos cos ) (cos( α) cosα) I sin. sin 8d ( cos cos ) d ( sin sin ) sin sin ulunu. 8 ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. ÖRNEK I cos. cos d ÇÖZÜM integlini hesplınız. cos.cos cos( ) cos( ( cos 7 cos ) olduğundn eine zılıs I cos. cos d ( cos( 7 cos ) d ( sin 7 sin ) 7 sin 7 sin ulunu. 7

45 ÜNİTE. integlini hesplınız. ( ) d PEKİŞTİRME ADIMI d. n ( n> ) integlini hesplınız. ( ), n n n ( ) d. integlini hesplınız.. zılilio. ( ) ; ( ) E ( ) A B D / özdeşliğinde ( ) ( ) A, B,, D ktsılını ulunuz. ctn c m A, B, D d. integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n, n ( ) 8

46 7. sin cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. sin. cos d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL sin sin sin 8 8. cos. sin d integlini hesplınız. d. integlini hesplınız. sin. cos ( sin sin ) 8 8, n tn cos 9. sin. cos d integlini hesplınız.. sin. cos 7 d integlini hesplınız. sin sin 8 cos cos 8 9

47 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sec d sec sec.sec di. integlini hesplınız. sec u, sec d dv seçelim. sec.tnd du, tn v ulunu. sec d sec. tn tn. sec d sec.tn sec ( sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec d sec. tn sec d sec d sec d sec tn sec d sec d [sectn,n sec tn ] ulunu. PARÇALI (KISMİ) u ve v in difensielleneilen fonksionu ise u.v fonksionunun difensieli d(u.v) udv vdu olu. He iki tfın integli lınıs d( u. v) udv vdu uv. udv vdu olup ölece udv u. v vdu ulunu. Bu fomüle pçlı integl fomülü deni. He integl pçlı integl fomülü ile hesplnmz. Çpım içimindeki elli şlı tülein u öntemle integli ulunili. Bud önemli oln nee u, nee dv dieceğimizi kestimekti. Bu seçim pılıken şunl dikkt edilmelidi:. dv integlinden v v() fonksionu kolc ulunilmeli,. vdu integlini hesplmk udv integlini hesplmktn dh kol olmlıdı. UYARI Kollık sğlmsı kımındn şğıdkile veileili: P() i polinom olmk üzee;. m P ( ). sin m * cos m d içimindeki integllede ETKİNLİK, n d ( ) integlini hesplınız.. m u P( ), dv* sinm d cos m seçimi pılı. Zlog m _ ] csin m ] [ ccos m`. Pd ( ) içimindeki integllede ] ctn m ] \ c cot m Zlog m _ ] csin m ] u [ ccos m` dv P( ) d seçimi pılı. ] ctn m ] \ c cot m n n n., nd, n n ( n ) '. P ( ). e d e ( P ( ) P( ) P''( )...)

48 . I nd, integlini hesplınız. Bud u,n, dv d seçimi pılıs du O hlde d, v d v olu. nd, uv. vdu UYGULAMA ADIMI. I ctn d integlini hesplınız. u ctn du d I uv. vdu..ctn.ctn dv d v. d d ÜNİTE İNTGERAL., n. d I. ctn, n( ) ulunu., n d, n. I, n ulunu.. e I d ( ) integlini hesplınız. u e dv d ( ) du ( )e d I uv v. du v.. d integlini hesplınız. e ( e ) d e I e ulunu. u, dv d seçimi pmk ugun olcktı. O hlde du d, v d. olcğındn, n d u. v v. du. d, n, n..., n, n, n. olu., n c, n m. I d integlini hesplınız. sin u du d I d u. v v. du sin dv sin d v cot cot cotd I cot, n sin ulunu.

49 ÜNİTE. I e.sind integlini hesplınız. u e dv sind du e d v cos I e sin d u. v v. du e cos e cos d J J e cos d integlinde de pçlı integl fomülü ugulnıs p e dt cosd dp e d t sin J p. t tdp e sin e sin d olup ukıd eine zılıs I e cos e sin e \ sin I I e ( sin cos ) e I ( sin cos ) ulunu. UYGULAMA ADIMI e e 8. I c m d integlini hesplınız. I e e d d X J e J d integlinde u e dv d du e v ulunu. dielim. e e J u. v v. du d e I d J e d e e I ; d E e e d e d e I olu. 7., n I d integlini hesplınız. u, n dv d du d v 9 9, I n d u... 9 n 9, d , n I n ulunu. 9. I e d integlini hesplınız. Pçlı integl fomülünü dh ht ugulilmek için önce t değişken değişimi plım. d tdt olduğundn t I e d te dt di. u t du dt I uv vdu dv e t dt v e t t t t t te e dt te e I. e e e ( ) ulunu.

50 . I sin(, n) d integlini hesplınız. Veilen integli sin(,n) I. d du d dp d içiminde zlım. sin(,n) u dv d v cos(, n) sin( ) I.,n d u. v v. du J cos(, n) d cos(,n) J. d cos(, n) cos (, n ) d J integlini de t sin(, n) içiminde zsk cos(,n) p dt d cos(,n) J d pt tdp J sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) J I cos(, n) sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) sin(, n) UYGULAMA ADIMI d. I integlini hesplınız. ( ) Veilen integli I ( ) d d d ( ) ( ) J ctn J içiminde zlım. J d ( ) J. d ( ) ugulnıs integlini u dv d ( ) du d v J I d uv vdu ( ) içiminde zıp pçlı integl fomülü d ( ) ctn ( ) d ( ) ctn ( ) ctn ctn ( ) ulunu. ÜNİTE İNTGERAL I sin(, n) cos(, ulunu. ETKİNLİK sin d integlini hesplınız. sin d integlini hesplınız.

51 ÜNİTE. cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI., n ( ) d integlini hesplınız. sin cos n, ( ) Actn. e d integlini hesplınız. csin. d integlini hesplınız. e ( ) Acsin. e d integlini hesplınız. cos. d integlini hesplınız. sin e e, n tn sin

52 7.,n d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI..sin d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL, n sin cos 7 8. ( ) e d integlini hesplınız.., n ( ) d integlini hesplınız. e ( ) n, ( ) 9. e d integlini hesplınız.. e cos d integlini hesplınız. e ; E 8 e ( cos sin )

53 KAVRAMSAL ADIM RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ f() fonksionu [, ] lığınd süekli olsun., n olmk üzee,,..., n ile [, ] lığını n eşit pç ölelim. f() eğisi,, doğulı ve ekseni sınd kln ln A dı deni ve fd ( ) A zılı. lim An( T)! lim Ü ( T) ise n " n " n f() fd ( ) integli oktu. (n ) (/n)... n n n... n n n n n di. (/n) (/n) ÖRNEK n... (n ) n n n Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin ltınd kln şekildeki tlı dikdötgenlein lnlı toplmın lt toplm deni ve A n (T) ile gösteili. Yni A n ( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n ) n " f ( ) f ( )... f ( n ), n / n f ( k) k dı. Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin üstüne tşn dikdötgenlein lnlı toplmın üst toplm deni ve Ü n (T) ile gösteili. Yni, Ü n( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n) n " f ( ) f ( )... fn ( ), n / n f ( k ) k dı. Alt ve üst toplml Riemnn toplmı deni. d integlini Riemnn toplmı dımıl hesplınız. ÇÖZÜM ( ) A ( T) n n n n... n n n k k ; E n n k "... ( n ),. ( n ) n ( n ) n.( n )( n ). n n n n Ü ( T) n n n n... n n k k.... ( )( ) n nn n k " n, ; E n. n n ve n ( ). n n lim A T lim. n n n n " " * Ü ( ). n n lim T lim. n n n n " " * lim A ( T) lim Ü ( T) A ise n " n n " n olduğundn, d tü.

54 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ÜNİTE eğisi, ekseni ve doğusul sınılnn ölgenin lnını dikdötgenlein lnlı dımıl klşık olk ullım. Eğinin ltınd kln dikdötgenlei ele llım İNTGERAL fiekil fiekil fiekil Şekil 'deki üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; (). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ), iimke olu. Pç sısı Aln hesplm [f() f() f()] ( ) [f() f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) ] Toplm ln,87 7,9 8,8 8,98 8,998 Eğinin üstünde kln dikdötgenlei ele llım fiekil fiekil Şekil 'te üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. 7

55 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). 9.( ),7 iimke olu. 8 8 Pç sısı Aln hesplm [f() f() f()].( 9) [f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f() ] Toplm ln,7, 9, 9, 9, He iki tlo kıldığınd pç sısı ttıkç lt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmının 9 değeine klştığı göülmektedi. Etkinlikteki sısl işlemle şğıdki şekilde genelleştiileili. Alt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmını ulmk için; [,] kplı lığı, < < <... < n < n olmk üzee k! ",,,..., n, için [ k, k ] içiminde n tne kplı lt lığ ölünmüştü. Δ k k k, f() n ve t k! [ k, k ] olmk üzee u lnl toplmı / ft ( k)δk k içiminde zılili. Bu toplm Riemnn toplmı deni. n n " (Δ k ) için / ft ( k)δk toplmın elili integl deni k ve lim / n ft ( ) Δ içiminde gösteili. n " k k d k ETKİNLİK,, doğulı ve ekseni ile sınılnn lnı Riemnn toplmı dımıl ulunuz. 8

56 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK e, n d Önce,nd in değeini hesplınız. integlini ullım. u, n ve dv d olsun. du d ve v d, nd u. v v. du, n.. d., n d n, e e &, nd I ( e., ne e) (., n ) ( e. e) (. ) ulunu. olu. BELİRLİ Belili integl mtemtik içinde önemli i ee ship oln kvmldn iidi. Bi eğinin i pçsının uzunluğu, sınıldığı ln, hcim v. hespl elili integl olul kolc pılili. fd ( ) F ( ) ise fd ( ) kd elili integli deni. fd ( ) F ( ) I olduğundn fd ( ) ( F ( ) ) ( F ( ) ) F ( ) F ( ) dı. Bud integlin lt sınıı, e üst sınıı deni. BELİRLİ İN ÖZELLİKLERİ. A sit ise Af( ) d A f( ) d di.. [ f( )! g( ) "...] d f( ) d " g( ) d "... di..,, c R için < c < di. ifdesine f() fonksionunun dn e ÜNİTE İNTGERAL c f( ) d f( ) d f( ) d c ti. ETKİNLİK. fd ( ) dı. 9 d integlini hesplınız.. fd ( ) fd ( ) f tek fonksiondu. ( ) 9 9 Çünkü f( ) f ( ) ( ) O hlde 9 d dı. ti.. < olmk üzee [, ] lığınd f() g() ise f( ) d g( ) d di. UYARI f() i pçlı fonksion ve f nin [, ] lığındki kitik noktlı,,..., n ise integl fd ( ) fd ( ) fd ( )... fd ( ) n içiminde hesplnı. 9

57 TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN SİMETRİK ARALIKTA İ IR olmk üzee (, ) içimindeki lıkl simetik lık deni. I. f() çift fonksion ise II. f() tek fonksion ise ÖRNEK ÇÖZÜM dı. integlini hesplınız. f() olduğundn f tek fonksiondu. O hlde ÖRNEK dı. integlinin P tüünden eşiti nedi? ÇÖZÜM fd ( ) fd ( ) fd ( ) fd ( ) tn d tn f ( ) i ç in tn( ) tn f( ) ( ) tn d / d P ise d tn tn tn KAVRAMSAL ADIM çift fonksion olduğundn d tn / d P tn d tn di. İŞARETİ ALTINDA TÜREV (LEİBNİTZ KURALI) v ( ) F ( ) ftdt ( ) ise F'() f[v()] v'() f[u()].u'() ti. u ( ) ÖRNEK sin t F ( ) t dt ise F ' k ÇÖZÜM ÖRNEK nedi? f ( ) e d fonksionunun psisli noktsındki teğetinin eğimi kçtı? ÇÖZÜM psisli noktdki teğetin eğimi f'() di. ÖRNEK F'() ullım. sin sin( ) F'( ) ( )'.( )' ( ) sin sin sin. sin F' k di. f'( ) e ( ).( )' e ( ).( )' e ( ).( ) e ( ).( ) ( ) ( ) f'( ) e e di. f'( ) e e e di. f ( ) sin t dt fonksionunun psisli noktdki teğetinin denklemi nedi? ÇÖZÜM için f( ) sin t dt olu. Çünkü i elili integlde lt ve üst sını nı ise integlin değei sıfıdı. Teğetin eğimi m f'( ) olduğundn önce f'()'i ullım. f'() sin( ).( )' sin( ).( ) ' sin( ) sin f'( ) sin sin sin O hlde teğet denklemi: f( ) m( ( )) (sin).( ) (sin)( ) di. ÜNİTE İNTGERAL 7

58 . d elili integlini Riemnn Toplmı dımıl kplı lığını he lt kplı lığın uzunluğu Δ n olck şekilde n eşit pç ölelim. Bu duumd < < <... < n < n olmk üzee, n n ( k ) 7 n Alt toplm / f( k )Δ / c m n n / ( k ) k k n k 7 ( n ). n.( n ) 9( n ).( n ) c m n n n n Ü st toplm f( )Δ n k 7 n / k / k. n / k k k n k 7 n.( n )( n ) 9( n )( n ). n n ulunu. elde edili. 9( n )( n ) 9( n ) n Riemnn Toplmı n n 9( n )( n ) ( )( ) lim 9 n n & d lim n" n n" n & 9 d 9 & d 9 UYGULAMA ADIMI. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d Dikkt edilecek olus eşitliğin ikinci tfındki iinci integl şğıdki şekilde göüldüğü gii genişliği, üksekliği iim oln dikdötgenin lnı olup değei 8 iimkedi. İkinci integlde integnt simetik lıkt tek fonksion olduğundn değei sıfı olu. Budn, ( d ) 8 8 ulunu.. d integlini hespllım. d ( )' d I. d integlini hespllım. ulunu. ÜNİTE. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d Geometik olk ukıdki eşitliğin sğındki iinci integl şekildeki dikdötgenin lnı ve ikinci integl ise şekildeki üçgenin lnı olu. Budn,. ( d ). (,) ulunu. d c m' d I ( ) ( ^ h ulunu. dt. f ( ) içimindeki f fonksionunun gfiğinin t deki teğetinin eğimi kçtı? f'( ). ( )' f'( ) teğetin eğimi f'( ) di..( ) f'( ) ( ) ulunu. 7

59 ÜNİTE 7. cos d integlini hespllım. Tüevi cos oln fonksion sin olduğundn cos d ( sin )' d d( sin ) UYGULAMA ADIMI. ( sin ) d integlini hesplınız. ( sin ) d; cos I E c cos cos m c m sin I / sin sin ulunu. 8 c m c m 7 di. 8. tn d integlinin değeini ullım. fd ( ) olduğundn 9. ( tn ) d integlini hespllım. tn d dı.. d integlini hesplınız.. / / / 78 /. / 8 78 / 8 d 8 I 8 8 / 8 / ^ ( ) 8 h 8 8 ( ) ulunu. ( tn ) d ( tn d ( tn ) d d d( tn ) d / / tn I I tn tn k k ulunu.. I cos d integlini hesplınız. cos cos eşitliği kullnılıs cos d cos cos d d d / / I I. sin I / / k sin. sin k.( ) ulunu

60 d. integlini hesplınız. olduğundn ^ h^ h ^ hd d d ( ) d d / / c ( ) m I / ^ / olu. UYGULAMA ADIMI ( e ). d integlini hesplınız. e u.e denilise du (e e )d ( )e d olu. ( e ) e du e d e u nu I n e,, I, n( e), n, n( e) ulunu. MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İ f ( ) d integlinin değei ulunuken, f() in (, ) lığındki işeti inceleni. f() in (, ) lığının lt lıklındki işetleine göe integl ugun pçl ılı. He pçnın elili integli ulunu. ÜNİTE sin. e.sind integlini hesplınız. u sin X. e d integlini hesplınız. u & du d & du sin.cosd & du sindu / / sin u u sin e sin d e du e I e I sin / e e c m e e ulunu. u u e d e d e du e I e I ( e e ) ( e ) di. 7. d integlinin değeini ullım. olduğundn d d d ( d ) d I ulunu. I ( ) c m c m ^ h 7

61 ÜNİTE 8. d integlinin değeini ullım. UYGULAMA ADIMI. ^ hd integlinin değeini ullım. & d d d ( ) d ( ) d c m I c mi ; c. m c. me ; c. m c. me ^ h c m ^8 8h ^ h ^ hd d d d d d d ( ) d ( ) d c m c m I I I ^ h ; c. m c. me ; c. m c. me ulunu. 7 ; ( ) ( ) E 7 7 ulunu. 9. d integlinin değeini ullım. & ve g (, ) ti. (, ) & > olduğundn d ( ) d c m I c. m c. m 9 9 ulunu.. 9 d integlinin değeini ullım. 9 ^ h olduğundn 9 d d / d d / 7

62 ulunu.. d integlinin değeini ullım. ( ) d ( ) d c mi c mi. > c m H > c m f c m ph & ( ) &, ulunu. d ( ) d ( ) d ( ) d c m I c m I c mi ( ) ( ) > c m c mh ; c me ; c me UYGULAMA ADIMI. ^ cos hd integlinin değeini hespllım.!, k için cos >! c, m için cos < olduğundn cos d cos d cos d cos d cos d ^ h sin I ^sin h I sin sin k ; csin sin me ^ ve 9 d I > c m H olduğundn 8 9 ^ cos hd ulunu. 8. f ( ) ^t t hd içiminde tnımlı f() fonksionunun ekstemum noktlı A(, ), B(, ) ise, kçtı? f ( ) ^t t hdt ise f'( ) 9^h ^h' ^ h. ^h' ^ ). ( h f' ^h 7 olu. f() in ekstemum noktlının psislei toplmı f'() denkleminin köklei toplmı olduğundn di. 7 π π π π ÜNİTE 7

63 ÜNİTE. Şekilde f' fonksionunun gfiği veilmişti. Bun göe, f"( ) d f'( ) integlinin değei kçtı? f"( ) d f'( ) integlinde u f'( ) & du f"( ) d olup UYGULAMA ADIMI Bu son integlin sınılını ullım. Veilen integlde; f' lt sını: e pıln dönüşüm: e t üst sını: e Son integlde; lt sını e e t & t üst sını: e e t & t di. O hlde eni integl t e., ntdt olu. f"( ) du d f'( ) u, nu I u f'( ) &, nu, n f'( ) I, n f'( ), n f'( ) 7. d integlinin değei kçtı? f'( ), n dı. Şekilden f'( ) f'(), f'() olup f"( ) d, n, n, n f'( ) di. d ( ) d ( ) d c m I c mi e., n(, n) d integlinde e t dönüşümü pılıs e şğıdki integlleden hngisi elde edili? t, n t A) e ntdt B) t dt ) e t,, nt d t t e D) e, ntd E) dt, nt e, n(, n) d e integlinde e t & d e t dt olu. e n( n) d n( ne t t,,,, ). e dt e ( ). ; E c m olu. 8. f(), g(), f().g() olduğun göe, f'( ). g( ) d f( ). g'( ) d f(), g(), f().g() f'( ) g( ) d f( ). g'( ) d f( ). g( ) I integlinin değei kçtı? e t, ntdt olu. f().g() f().g(). 7

64 , n, n 9. integlinin değei kçtı? u, n & u, n d du e & u, ne di. Yni e, n, n d ^ u u h du olu. udu u c u m I udu 7 c m UYGULAMA ADIMI ulunu.. I sin. cos d ^ h integlinin değei kçtı? u sinπ du π.cosπ d du cos d & u & u I sin ( ). cos d u u du. I > c m H c m ÜNİTE. I sin ( cos ) sin d integlinin değei kçtı? u cos & u cos du cos( sin)d du sin d I sin ( cos ) sin d sin u du sin u du olu. cos sin & olduğundn & u cos I I c. sin m I sin cos d ulunu. csin. I d integlinin değei kçtı? u csin & u csin & u du d & u csin csin I d u u du u I ; k E ulunu., n. ( e e ) d integlinin değei kçtı?, n, n, n ^ e e h d ce e m I, n, n, n, n, n, n ce e m ce e m e ^e h c m 8 e e ulunu d cos integlinin değei kçtı? u tn & ctn u / & u d u du u & u sin, cos u u u u 77

65 ÜNİTE cos cos. k cos olduğundn cos. cos. olu. u d. du cos ( u )( u ) du olu. ( u ) Son integlde u tni dönüşümü pılıs du sec i di u & tn i & i u & tn i & i ve integl. sec idi sec idi I ( tn i) ( sec i) ulunu. e, n. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi, n integl elde edili? e t & d e t dt & e t & t e & e t e & t di. O hlde d sec i i.cos idi cos i. c mdi / i ; sinie c. 8 m k e t, n ^, ne h d t. e dt n t, ^, ne h t t f pedt integli elde edili. t UYGULAMA ADIMI d. integlinde cos dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? cosα & cosα & d sinα dα & cos & olup d sin d sin d cos. cos cos. sin integli elde edili. 7. f() fonksionunun ve psisli noktlındki teğetleinin eğim çılı sısıl ve di. Bun göe, d cos ^f'( ) h f"( ) d integlinin değei kçtı? psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'( ) tn tü. psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'() tn tü. O hlde ^ f'( ) h. ^ f'( ) h ' d olduğundn u f'() & du f"() d ti. ['( )] u du u I f I 9^ h ^ h ^ h ulunu. Z, < ise ] 8. f ( ) [, < ise ], < ise \ fonksionu için fd ( )? f( ) d d ( ) d d I I I [ ( )]. ( ).( ) 8 dı. 78

66 . d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. f() olmk üzee, f ( ) d integlini hesplınız. ÜNİTE. d integlini hesplınız.. f() olmk üzee, f ( ). df ^ ( ) h integlini hesplınız. 8 d. integlini hesplınız. e., nd ^, n h integlini hesplınız.,n 79

67 ÜNİTE, e n 7. d, n integlini hesplınız. e ^ h PEKİŞTİRME ADIMI d. integlini hesplınız. e e 8. cos d integlini hesplınız.. sin d integlini hesplınız. k 9. sin d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n 8

68 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK polü ile 8 doğusunun sınıldığı ölgenin lnı k iimke ise, "k" sısı kçtı? & ve & 'di. Bdn DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI. f: [, ] IR fonksionu için [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ile ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı f() A A f( ) d ti. ÜNİTE ( ), ulunu. S ( ) ; E I S ( 9 9 9). [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ve ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı A f( ) d ti. A S 9 8 k & 8k & k ulunu. iimke. f: [, ] IR fonksionu [, ] lığınd işet değiştiios, f() eğisi, ve doğulı ile ekseni tfındn sınılnn düzlemsel ölgelein f() A f() A A lnlı A, A, A ise A A A f( ) d ti. fd ( ) A A A tü. ETKİNLİK polü ile doğusu sınd kln ölgenin lnını ulunuz.. f() ve g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı tlı ln A dielim. Tlı ölgede üst ucu g(), lt ucu f() eğilei üzeinde ulunn KL şeidini çizelim. KL şeidi kendine plel olk kdıılıp ölgei tdığınd üst ucu hep g() üzeinde, lt ucu hep f() üzeinde klıos ölgenin lnı A " g( ) f( ), d olu. K L g() f(). f(), g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı ln A dielim. Tlı ölge içinde uçlı f(), g() eğilei üzeinde oln ve eksenine plel oln KL şeidini çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd sol ucu hep f() eğisi üzeinde, sğ ucu hep g() eğisi üzeinde klıos tlı ln f() K L g() A " g( ) f( ), d di. 8

69 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK ve doğulı ile f() sin g() cos eğilei sınd kln lnı ulunuz. S ( sin cos ) d cos S f p f p S π ulunu. π g()cos f()sin ÖRNEK Şekilde polünün i pçsı çizilmişti. Tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM Alnı ulunck ölgede eksenine plel i şeit çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd üst ucu hep polü üzeinde, lt ucu d hep ( ekseni) üzeinde olu. O hlde tlı ln 7 A ^ h d c m 9 I ÖRNEK Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM iimkedi. e eğisi eksenini için e ' de kese. Tlı lnı iki pç ıısk. Aln c e dm c m ( üçgenin ln ) e I e e e e e iimkedi. ÖRNEK ETKİNLİK ve pollei sınd kln ölgenin lnını ulunuz. Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM Tlı lnı şekildeki gii A ve B die ikie ılım. K noktsının odintı olup A öl- gesinin lnı; c m. A iimke (muğun lnı) e e B d, n I, ne, n iimke olup tlı ln A e K(,) B e 9 A B iimkedi. 8

70 . eğisi ile doğusu sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi? UYGULAMA ADIMI. f: IR IR, f() fonksionunun gfiği şekilde veilmişti. S iimke S iimke olduğun göe, S S f() ÜNİTE Tlı ln, ile, doğulı sınd kln ölge olduğundn Aln d ( ) d c m I iimkedi. I integlinin değei kçtı? Pçlı integl fomülü kullnılıs, u du d f. '( d ) dv f'()d v f() I uv. vdu. f. ( ) I fd ( ).f().f( ) S S I uv. vdu f. ( ) I fd ( ). Şekildeki tlı ln iimke ise kçtı?.f().f() S ( ).( ) S 8 olup I I I 8 olu.. Şekildeki tlı ln kç iimkedi? polünün simeti ekseni doğusu ( ekseni) olduğundn lnl simetikti. için ( ) olduğundn doğunun denklemi, di. O hlde ( ) ( d ( ) ( d ( ) d c mi c m & & 8 & di. & & A & B & Tlı ln AAOB ( & ) ^ hd. I f p c iimkedi. m 8

DERS 12. Belirli İntegral

DERS 12. Belirli İntegral DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

KATI CİSİMLER. Aşağıdaki şekilde, ABCDEFGH tabanlı ABCDEFGHA B C D E F G H sekizgen dik prizması verilmiştir.

KATI CİSİMLER. Aşağıdaki şekilde, ABCDEFGH tabanlı ABCDEFGHA B C D E F G H sekizgen dik prizması verilmiştir. I İSİMLR tı isimlein İsimlendiilmesi ve Özeliklei şğıdki şekilde, tnlı sekizgen dik pizmsı veilmişti. Pizml tnlındki çokgene ve diklikeğiklik duumun göe ' ' ' ' isim lıl., ' ' ' ', dikdötgenleine ynl yüzey

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları İNTEGRAL İÇ KAPAK B kitın ütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, içim ve sorlr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi

Detaylı

Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki yönden önem taşır.

Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki yönden önem taşır. RİJİT (KTI) CİSMİN KİNEMTİĞİ Ktı cisimlein heketleinin tnımlnmsı e nlizi iki yönden önem tşı. iincisi sıkç kşılşıln bi duum olup mç, değişik tipte km, dişli, çubuk e bu gibi mkin elemnlını kullnk belili

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan

Örnek...2 : x=2, x=4, y=2, y= 5 doğruları arasında kalan KAT CİSİMLERİN HACİMLERİ Örnek...2 : =2, =4, =2, = 5 doğrulrı rsınd kln ölgenin O ekseni etrfınd 360 o döndürülm esi le oluşck ktı cism in hcm ini ulunuz İNTEGRAL İLE HACİM HESAB 1. X EKSENİNDE DÖNDÜRMELER

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 9 Mat TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun testlein tamamının

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir.

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir. Mtemtik üns, 2004 Güz Geometi Köflesi Mustf Y c gcimustf@hoo.com iklik Mekezi i üçgenin üç üksekli i dim tek noktd kesifli. u nokt üçgenin diklik mekezi deni. = iklik mekezi genelde ile gösteili. Üçgen

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-4 30.03.2015 Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-4 30.03.2015 Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ2 FİZİK-II Ank Ünivesitesi Fen Fkültesi Kimy Bölümü 24-25 Bh Yıyılı Bölüm-4 Ank Aysuhn OZANSOY Bölüm 4. Elektiksel Potnsiyel. Elektiksel Potnsiyel Eneji 2. Elektiksel Potnsiyel ve Potnsiyel Fk 3. Noktsl

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2 Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

KATI CÝSÝMLER KATI CİSİMLER KATI CİSİMLER

KATI CÝSÝMLER KATI CİSİMLER KATI CİSİMLER KTI ÝSÝMLR KTI İSİMLR YILLR 1966 1967 1968 1969 1970 1971 197 197 197 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 198 198 198 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 199 1995 1996 1997 1998 1999 001 001 00 00 00 005

Detaylı

Fonksiyonların Grafikleri... 378

Fonksiyonların Grafikleri... 378 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

Ekonomik Büyüme Teorisine Katkı **

Ekonomik Büyüme Teorisine Katkı ** Jounl of Economic nd Politicl Economy www.ijepe.com Volume Septeme 4 Iue Ekonomik Büyüme Teoiine Ktkı ** By Roet M. SOLOW **. Giiş üm teoi, tmmen doğu olmyn vyıml ğlıdı. Teoiyi oluştun T d udu. Bşılı i

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

Metropol Yayınları YÖS 2009 Metropol Publications

Metropol Yayınları YÖS 2009 Metropol Publications > > etropol Yınlrı YÖS 009 etropol Pulictions. ve. sorulrd, gruptki kümelerin şekilleri irer rkml gösterilerek I gruptki sılr elde edilmiştir. Soru işretile elirtilen kümenin hngi sıl gösterildiğini ulunuz.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinnd P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hri ACAR İstnbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 1 46 / 116 E-mil: crh@itu.edu.tr Web: http://tls.cc.itu.edu.tr/~crh

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

TEST SORULARI Adı /Soyadı : No : İmza: STATİK FİNAL SINAVI. Öğrenci No

TEST SORULARI Adı /Soyadı : No : İmza: STATİK FİNAL SINAVI. Öğrenci No -0-00 dı /Sodı : No : İmz: STTİK FİN SINVI Öğrenci No 00000 z m Şekildeki kirişinde bğ kuvvetlerin bulunuz. =(+e)n/m, =5(+e)N m m Şekildeki ğırlıksız blok det pndül k ve noktsınd küresel mfsl ile dengededir.

Detaylı

Şekilde verilen kuvvet takımına ait tesir çizgisinin denklemi hangisidir? [] y=5 [] y=-5 [] x=5 [] y=x

Şekilde verilen kuvvet takımına ait tesir çizgisinin denklemi hangisidir? [] y=5 [] y=-5 [] x=5 [] y=x ÜZLM UVVTLR ileşke kuvvetin şiddeti kç Newton du? [] [] 5 [] 7 [] 9 [] 7 kuvvetinin bileşenlei ve di. + = olduğun göe kç deecedi? >0, >0 [] 5 [] 0 [] 55 [] 45 kuvvetinin ve doğultulındki bileşenlei sınd,

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

ELEKTRİK ALANI III.2.01.ELEKTRİK ALANI.

ELEKTRİK ALANI III.2.01.ELEKTRİK ALANI. 1 III.. LKTRİK ALANI III..01.. Fiziksel lylın nltımınd klylık sğlnmsı mcıyl ln kvmı geliştiilmişti. İlgilendiğimiz fiziksel ly için seçilen kdinnt sisteminin belili bi nktsın, ynı nd kşılık gelen fiziksel

Detaylı

GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI

GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumund, ir Q noktsını üç outlu olrk temsil eden küik gerilme elemnı üzerinde 6 ileşeni gösterileilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z. Söz konusu

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. a 9! 8!, 9! 8! OKEK (a, ) OBEB (a, ) ifadesinin değeri kaçtır?. a ve a ile arasındaki ağıntı nedir? a a a a a a a a. ( ). ( ). ( ) 8 nın insinden eşiti nedir?. z z z toplamı

Detaylı

9. SINIF GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

9. SINIF GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI 9. SINI GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 7 0 steme

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI YGS GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 0 7 0 steme

Detaylı

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com

Detaylı

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ HAZİRAN 04 PAZAR TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun,

Detaylı

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 : SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları Bilgisr Destekli Tsrım/İmlt Sistemlerinde Kllnıln Modelleme Yöntemleri: Béier ve Tiri Eğrileri ve İmlt Uglmlrı Bilimsel Hesplm II Dönem Projesi Hmdi Ndir Trl İçerik. Giriş. Bilgisrlı Destekli Tsrım (CAD

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

VEKTÖR HESAPLAMALARI (grav,del,curl) Giriş

VEKTÖR HESAPLAMALARI (grav,del,curl) Giriş Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi EKTÖR HEPMRI (gv,el,cul) Giiş ektö hesplmlın ifensiel uunluk, ln ve hcim elemnlı önemlii. Dh önce mtemtik esleine göüğümü tüev ve integl işlemlei vektöle içine ugulnbili. Bu

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y ORAN ORANTI TANIM Anı irimden iki çokluğun iririle krşılştırılmsın orn denir. ornınd ve nı irimden olduğu için nin irimi oktur. ÖRNEK - 1 ve tmsıdır. = ve + = 0 olduğun göre, kçtır? A) 1 B) C) 0 9 D) 1

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

ÇÖZÜMLER. 3. I. Ortam sürtünmesiz ise, a) Di na mi ğin te mel pren si bi sis te me uy gu lan dığın 30 T 1 T 1. II. Ortamın sürtünme katsayısı 0,1 ise,

ÇÖZÜMLER. 3. I. Ortam sürtünmesiz ise, a) Di na mi ğin te mel pren si bi sis te me uy gu lan dığın 30 T 1 T 1. II. Ortamın sürtünme katsayısı 0,1 ise, BÖÜM DİNAMİ AIŞIRMAAR ÇÖZÜMER DİNAMİ 1 4kg 0N yty M düzle rsınd : rsınd cisin ivesi /s olduğundn cise uygulnn kuvvet, 1 4 0 N olur M rsınd : M rsınd cisin ivesi /s olduğundn cise etki eden sürtüne kuvveti,

Detaylı

YAYINA HAZIRLAYANLAR

YAYINA HAZIRLAYANLAR rif ŞYKKUYN Her hkkı sklıdır ve MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. SN ve Tİ. LT. ŞTİ ne ittir. Metinler, örnekler, lıştırmlr nen d değiştirilerek lınmz, fotokopi ve bşk bir oll çoğltılrk kullnılmz. YYIN HZIRLYNLR ditör

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte srasla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için arlan ksmna işaretleiniz.. f, 0 ise =, = 0 ise fonksionu için,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı