Deprem Yönetmeliği (2007) de Doğrusal Olmayan Çözümleme Yöntemlerine Basit Örnekler

Transkript

1 Prof. Yuuf Berdan, Prof. İmet Aka, Prof. Mehmet Rahmi Bilge ve Prof.Dr. Halit Demir Betonarme Yaılar Semineri, 9 Maı 008 İtanbul Teknik Üniveritei, İtanbul Derem Yönetmeliği (007) de Doğrual Olmaan Çözümleme Yöntemlerine Bait Örnekler Z. Cele, M. Gençoğlu İtanbul Teknik Üniveritei, İnşaat Fakültei, İtanbul Öz Derem Yönetmeliği (007) nin aınlanmaıla, betonarme taşııı itemlerin doğrual olmaan davranışı ve bununla ilgili kavramlar agın bir şekilde kullanılmaa ve akademik çevrede kullanılan bazı kavramlar ugulamadaki taarım mühendileri tarafından da tartışılmaa başlanmıştır. Bu azıda Derem Yönetmeliği (007) bulunan betonarme aıların doğrual olmaan davranışı ile ilgili kavramların küçük bir bölümünün örneklerle açıklanmaı amaçlanmıştır. Giriş Betonarme aıların doğrual olmaan davranışı ünekliğin artmaıla daha da ön lana çıkmıştır. Arıa, betonarme malzemeinin daha akından tanınmaı ve bunun anında bilgiaar teknolojiinin gelişerek daha arıntılı aıal çözümü mümkün kılmaı, doğrual olmaan davranışın daha arıntılı ve gerçekçi biçimde göz önüne alınmaını ağlamıştır. Özellikle Derem Yönetmeliği (007) bu davranışın daha agın olarak kullanılmaını öngörmektedir. Bu amaçla kullanılan kabuller ve kavramların anlaşılmaının en kola olu bait örneklerin çözümü şeklindedir. Hazırlanan bazı bilgiaar rogramlarıla böle çözümler aıla bile, karmaşık itemlerde bu ugulamanın izlenmei çoğu zaman mümkün değildir. Bu azıda ilgili kavramlar kıaa açıklandıktan onra, üç bait örneğin çözümü arıntılı olarak verilmiştir. Betonarme Keitte Eğilme Etkii ve Eğilme Rijitliği Şekil 1.de bait eğilme altındaki bir dikdörtgen keitteki eğilme momenti-eğrilik değişimi göterilmiştir. Eğilme momentinin küçük değerleri için betonda baınç ve çekme gerilmeleri medana gelirken, donatı elatik davranır. Bütün beton keiti davranışa etkili olduğu için donatının katkıı bu devrede ınırlı olur. Keitin eğilme rijitliğine beton keitinin elatiklik modülü ve brüt atalet momenti etkili olur. Momentin artmaıla çekme bölgeindeki beton çatlar ve çatlak tarafız ekene doğru ilerler. 91

2 Betonun çatlamaı moment-eğrilik değişiminde küçük de ola ilk doğrual davranıştan arılmaı doğurur. Gerçekte betonun doğrual olmaan davranışı artan gerilmelerle avaş avaş belirgin duruma gelir. Eğilme momenti artarken, beton baınç gerilmeleri dağılışı doğrual olmaan bir değişimle oluşur ve donatı akma gerilmeine ulaşır. Momentin bu değeri M Akma Momenti olarak bilinir. Momentin artmaı ile donatı latik uzama aarken, betonda da doğrual olmaan σ değişimi çok daha belirgin duruma gelir. Genellikle donatının uzama kaaitei büük olduğu için, güç tükenmei betonun en büük kıalma kaaiteine erişmeile ortaa çıkar ve keit taşıma güüne erişir. M u M M r Eğilme momenti A B Donatının akmaa erişmei Betonun çekmede çatlamaı C Betonun kıalma kaaiteine erişmei Eğilme rijitliği EI A çatlamamış EI B C çatlamış EI Eğilme momenti 0 φ Eğrilik φ u φ 0 Şekil 1. Betonarme keitte eğilme momenti-eğrilik ilişkii M r Bir keitte M φ moment-eğrilik değişiminde ataa akın kolun uzun olmaı, ani keit güç tükenmeinin ünek olmaı çekme donatıının miktarına bağlıdır. Keitin çekme donatıının dengeli donatıdan daha büük olmaı durumunda donatı akmaa erişmeden beton u en büük kıalmaına ve keit de güç tükenmeine erişir. Bu durumda M φ moment-eğrilik değişiminde belirgin ata kol ortaa çıkmaz ve güç tükenmei ünek değil gevrek olarak medana gelir. Şekil 1.de görüldüğü gibi, EI = M / φ eğilme rijitliğinde brüt beton keiti etkili olur, momentin artmaı ile çekme bölgeindeki beton çatladığı için eğilme rijitliğinde azalma görülür. Eğilme rijitliğine çekme donatıı da etkili olmaa başlar. Güç tükenmeine akın durumunda M φ değişimi ataa akın olduğu için eğilme rijitliği çok küçülür. Bu davranış latik malzeme davranışına benzediği için, donatının dengeli donatıdan daha küçük olduğu ünek güç tükenmei durumunda, keitte latik mafal kabulünün kullanılabileeği ortaa çıkar. Elatik Ötei Şekil Değiştirme Betonarme bir keitte karşılıklı etki diagramındaki M u Nu değerleri keit etkileri bakımından taşıma güü ınırına erişildiğini göterir. Bu durum argı donatıı ile ünek duruma getirilen keitin şekil değiştirmei bakımından kaaiteine eriştiğini götermez. Keitin eğilme momenti ve normal kuvvet değerleri karşılıklı etki diagramına eriştikten onra taşııı iteme aılan ükleme ile keit moment ve normal kuvvet değerleri değişmeden kalabileeği gibi, karşılıklı etki diagramı üzerinde hareket edebilir. Bu durumda ünek keitte latik şekil değiştirmeler medana gelir. Karşılıklı etki diagramı anı zamanda akma eğrii olarak görülebilir. Bu durumda üklemenin 9

3 küçük artımlarla oluştuğu kabul edilire karşılıklı etki diagramı üzerindeki değişikliklerin daima eğrinin teğeti doğrultuunda olur. İdeal elato-latik davranışında aılan ükleme onuu medana geleek erdeğiştirme artımlarında oluşan işin ozitif olmaı ve bunun gibi aılaak ükleme ve ardından aılaak boşaltma onuu medana geleek erdeğiştirme artımlarında oluşan işin negatif olmamaı beklenir. Bu iki tabilite kabulünün onuu olarak akma üzei üzerinde aılaak ükleme artımında oluşan latik şekil değiştirme artımının akma üzeine dik olmaı kuralı ortaa çıkar (Şekil ). (N uh)/ (N oh) (N uh)/ (N oh) -1 d d(φh)+ d d(φh) Platik şekil değiştirme artımı vektörü -1 d Platik şekil değiştirme artımı vektörü 0 (a) 1 M / M u o (b) 1 M u / M o 0 d(φ h) d(φ h) 1 M u / M o Şekil. Akma eğrii (karşılıklı etki diagramı) ve latik şekil değiştirmeler Bait eğilme etkiinde kirişlerde latik şekil değiştirmeler kiriş ekeni bouna değişken olarak medana gelir. Bir keitte latik mafalın medana gelebilmei için, bu bölgedeki keitlerin latik eğrilik kaaiteine ahi olmaı gerekir. Arıa, bu kaaitenin kullanılabilmei, ortaa çıkan latik şekil değiştirmelerin kabul edilebilir eviede kalmaı gerekir. Kolonlarda eğilme momenti anında normal kuvvet de etkili olur. Normal kuvvetin bulunmaı, moment-eğrilik bağıntıında değişikliğe ebe olur ve latikleşmei göteren ata kolu küçültür. Bu durumda latik mafal kabulü özkonuu olura da, dönme kaaitei küçük olaağı için kullanımı çok ınırlı olur. Bunun gibi, keitte keme kuvvetinin bulunmaıla keit dönme kaaitei de azalır. Keitte normal kuvvetin bulunmaı latikleşme bölgeini ve dolaııla latik mafal bounun artmaına ebe olur. Hatta teorik olarak normal kuvvetin etkili olduğu bir kolonda artan ükler altında da tüm eleman latikleşeeği için, latikleşme bölgei çok genişler ve latik mafal kabulü geçerliliğini kabeder. Diğer taraftan normal kuvvetin etkili olduğu betonarme keitlerde normal kuvvet etkii altında normal kuvvetbirim kıalma değişiminde latikleşme kolu çok ınırlı olduğu için, başka bir ifade ile ünek davranış özkonuu olmadığı için, latik mafal kabulü zaten geçerliliğini itirir. Platik mafal bölgeinin bou, eğrilik-moment değişimine, eleman bouna eğilme momentinin değişimine, keit ükekliğine ve keitteki normal kuvvete bağlıdır. Derem Yönetmeliği nde bait olan l = h kabulü benimenmiştir. 5 Kaaite Taarımı Taşııı iteme etkien düşe ve derem üklerinin belirlenmeindeki belirizlikler anında malzeme daanımındaki değişimler gözönüne alınarak, güvenlik kataıları öngörülmüştür. Derem etkiinin aıal olarak kabul edili, taşııı itemin 9

4 çözümlenmei ek çok kabulü içerir. Yönetmelikte öngörülen derem etkiinden daha küçük bir etkinin medana gelmei naıl mümküne, bu etkiden daha büük derem etkiinin medana gelmei de, çok düşük bir ihtimal de ola, mümkündür. Yönetmeliklerde derem etkiinin medana gelme ihtimali ve aının önemi gözönünde tutularak muhtemel derem etkii öngörülür. Bu derem etkiinin, taşııı itemde ınırlı haarın kabulü ile elatik ötei kaaite kullanılarak karşılanmaı hedeflenir. Buna karşılık daha büük derem etkiinin medana gelebileeği de göz önüne alınarak, ileri oranda haarla da ola bu etkinin karşılanmaı, güç tükenmeinin ünek olarak medana gelmei ve taşııı itemin totan göçmeinin önlenmei hedeflenir. kaaitei düşük gevrek halka kaaitei ükek ünek haşka kaaitei ükek gevrek halka kaaitei düşük ünek haşka Şekil. İki halkalı zinirin gevrek ve ünek güç tükenmei Boutlamada kaaite ilkeinin kabulü keitte, elemanlarda ve taşııı itemde oluşaak güç tükenmeinin ünek olarak medana gelmeinin ağlanmaı ile mümkündür. Diğer bir deişle, ünek güç tükenmei (örneğin; eğilme momenti güç tükenmei) ile ünek olmaan güç tükenmei (örneğin; aderan çözülmei, keme kuvveti ve zımbalama güç tükenmei) beraber bulunduğunda ünek olmaan etkie ait kaaite arttırılarak, eleman beklenilenin ütünde zorlandığında, güç tükenmeinin ünek olarak ortaa çıkmaı ağlanır. Şekil.de iki halkadan medana gelen bir zinirde ugulanan kuvvetlerle güç tükenmei durumuna getirilmee çalışılmaktadır. Bua halkalardan birinin gevrek (ınırlı elatik şekil değiştirme atıktan ve latik şekil değiştirme amadan koaağı) ve diğerinin ünek (ınırlı elatik şekil değiştirme atıktan ve daha onra önemli latik şekil değiştirme aarak güç tükenmeine erişeeği) olduğu kabul edilmiştir. Birini durumda ünek halkanın kaaitei gevrek halkaa göre daha ükek olu, bu durumda zinirin güç tükenmeini gevrek halka kontrol eder ve zinirin tolam güç tükenmei gevrek olarak medana gelir. İkini durumda ie, gevrek halkanın kaaitei ünek halkaa göre daha ükek olu, zinirin güç tükenmeini ünek halka kontrol eder ve zinirin tolam güç tükenmei ünek halkanın büük şekil değiştirmeler amaıla oluşur. Kaaite taarımının eaı önetmeliklerde öngörülen etkilerin karşılanmaından onra, etkilerin öngörülenin üzerinde artmaı durumunda güç tükenmeinin ünek olarak büük şekil ve erdeğiştirmelerle medana gelmeini ağlamaktır. Bu uretle ünek olan bütün halkaların kaaitelerine erişmei ağlanır. Yönetmelik taarım dereminde, binanın taşııı itemin elemanlarda oluşaak aıal haarı kabul eder, ınırlı ve onarılabilir düzede kalmaını öngörür. Bu kabul, ani ınırlı haarın kabul edilmei taşııı itemin elatik ötei davranışının kullanılmaına karşı gelir. Anak, taşııı itemin düşe ükler ve derem ükleri altında elatolatik kabullerle çözümünün aılmaı değişik açılardan ugulamaı zordur. En başta 94

5 böle bir çözümde ük birleştirmeinin (üerozionun) geçerli olmaaağı için, her ükleme durumunun arı olarak çözülmei gerekir. Bu tür bir çözümde latik mafal kullanılmaı en bait bir öntemdir. Anak, bu durumda latik mafal özelliklerinin belirlenmei için, keit geometrii anında donatının da öneden (daha onra gerekire çözümü tekrarlamak ve düzeltmek kadı ile) tahmin edilmei gerekir. Platik mafal çözümü, gerçekçi anlamda adee bait eğilme durumunda geçerlidir. Keitte baınç normal kuvvetinin bulunmaı, latik mafal özelliklerini değiştirdiği gibi, mafal bounu da uzatır. Platik mafal özelliklerinin belirlenmeinde genellikle keme kuvvetinin ve burulma momentinin etkii göz önüne alınmaz. Anak normal kuvvet gibi keme kuvvetinin bulunmaı latik mafalda dönme kaaiteini azaltır. Statik İtme Analizi ile Derem Davranışını Değerlendirilmei Platik mafal kabulünü kullanarak, bir taşııı itemin güç tükenme güünün elde edilmeinde en bait öntem itemin ükü adım adım arttırılarak ve latik mafal oluşumu göz önünde tutularak itemin davranışının inelenmeidir. Bu işlemde, eğilme momentinin ınır değere eriştiği keitlere latik mafal erleştirilir, taşııı itemde mekanizma durumu oluşunaa kadar devam edilerek limit ük bulunur (Şekil 4). P d P d Yata ük P P d P d P d Yata erdeğiştirme d Şekil 4.Statik itme analizi Derem Yönetmeliği (Bölüm 7) de doğrual olmaan davranış ve çözüm öntemi daha arıntılı biçimde ortaa çıkarılmıştır. Gerçekte elato-latik çözüm ve değerlendirme için malzeme ve keit arametrelerinin daha gerçekçi elde edilebilen eni aıların taarımında bu öntemin öngörülmei daha çok gerçekçi olaaktır. Derem Yönetmeliği nde taşııı itemin derem davranışının değerlendirmeinin erforman kavramına daalı aılmaı öngörülmüştür. Derem Yönetmeliği nde aıların erformana daalı değerlendirmeinde beklenen erforman evieinde bağlı olarak ınır durumlar tanımlanır. Performana daalı değerlendirmede, binada değişik derem etkilerinde değişik erforman evieinin inelenmei öz konuu olabilir. Değerlendirileek vea güçlendirildikten onra eterliliğine karar verileek binalar ile ilgili derem erformanı belirleme çalışmaları düşe üklerin ve derem etkilerinin birleşik etkileri altında inelenir. Performan eviei, deremden onra binada medana geleek haar eviei ile ölçülür. Binanın derem erformanı, taşııı item elemanlarının (kiriş, kolon ve erde) derem haar evieinin bir bütünü olarak ifade edilir. Keitin haar durumunun belirlenmei, çözüm netieinde elde edileek iç kuvvetler vea şekil değiştirmelerin, önetmelikte tanımlanan ınır değerlerle karşılaştırılmaıla aılır. Taşııı item elemanlarının 95

6 haar durumu, bu elemanın deremde en çok zorlandığı kabul edilen ve doğrual olmaan şekil değiştirmenin ortaa çıkmaı beklenen keitlerin haar durumları değerlendirilerek tanımlanır. Şekil değiştirme ve erdeğiştirme ealı değerlendirmenin göz önüne alındığı bu öntemde, belirli bir ata derem ük dağılımı için binadaki erdeğiştirme talebine ulaşıldığında, binanın beklenen erforman hedefinin ağlanı ağlanmadığı kontrol edilir. Artımal eşdeğer derem ükü öntem birini modun etkili olduğu düşük katlı binalarda ve binada burulma düzenizliğin ınırlı olduğu durumda eterli aklaşım ağlar. Yöntem, taşııı itemin ata kaaitei ile derem etkii talebinin buluşturularak, deremli duruma karşı gelen erforman durumunun belirlenmei olu, dört adımdan ibaret kabul edilebilir: a) kaaite eğriinin belirlenmeidir. Statik itme çözümünün adımlarında elemanların güç tükenmei durumlarının kontrolü gerekir. Eğer bu güç tükenmei gevrek ie, örneğin elde edilen keme kuvveti mevut donatı ile karşılanmıora, itemin bu itme adımına ulaşmadan güünün tükeneeğine karar verilir. Geri dönerek keit etkilerinin daanımlarla karşılaştırılmaıla, ulaşılabileek itme adımı bulunur. Bu adım eğer deremin tale erdeğiştirmeinden küçük kalıora, derem etkii karşılanamıor demektir. Keitte bulunan normal kuvvet ve eğilme momenti belirli olduğuna göre bu değerler kullanılarak keitteki şekil değiştirme durumu (betonun en büük kıalmaı ve donatının en büük uzamaı) hea edilebilir. Bu değerler önetmelikte erforman durumlarına ait ınır değerlerle karşılaştırılarak keitin bulunduğu haar durumu elde edilir. Bu adımdan onra doğrual elatik öntemde olduğu gibi, keitlerden elemanlara ve katlara geçilerek binanın erforman durumu belirlenir. Doğrual elatik olmaan değerlendirme önteminde keitteki betonun birim kıalmaı ve donatının birim uzama ve kıalmaı, ani şekil değiştirmei ea alınarak, ınır ve ınır olarak tanımlanmıştır. Sınır değerler elatik ınırın üzerinde olu, elato-latik davranışı beklenir. Bua da bu ınır değerleri kabul edileek haar evieine bağlıdır. Yönetmelikte verilen tablo inelendiğinde haar ınırının ilerlemeile donatıda daha büük şekil değiştirmelere müaade edildiği görülmektedir. Betonda minimum haar ınırında en dış betondaki u birim kıalma ea alınırken, güvenlik ve göçme ınırında enine donatı içinde kalan betonun g birim kıalma ea alınır. Sonuç Doğrual elatik olmaan değerlendirme önteminde taşııı itemin doğrual olmaan davranışı daha gerçekçi biçimde ele alınır. Buna karşılık öntemin ugulamaında taşııı iteme ait daha çok arametree ihtiaç duulur. Bu özellikle mevut binalar için bazen aşılmaı zor olan belirizlikler ortaa çıkarabilir. Çözüm, taşııı itemin düzenizliğinden etkilenir. Tahmin edilebileeği gibi, elde edileek onuç ne kadar çok kabulle ortaa çıkıora, güvenirliği de o oranda daha az olaaktır. Bu öntemin eaını oluşturan tatik itme analizi olarak ifade edilen bu çözümün, doğrual olmaan dinamik analiz onuçları ile önemli dereede farklılık göterdiği unutulmamalıdır (Paula ve Priele, 199). Doğrual olmaan davranışın göz önüne alınmaı daha gerçekçi davranış ve kaaite heabını mümkün kılar ve taşııı itemin kuvvetli ve zaıf taraflarını belirlemek 96

7 mümkündür. Doğrual olmaan davranışın belirlenmeinde malzeme değerlerinin ve davranış eğrilerinin daha gerçekçi belirlenmei önemlidir. Daha ileri hea için daha gerçekçi kabullerle ihtiaç vardır. İki doğrultuda eğilme momentinin bulunmaı ie, latik mafal kabulünü daha karmaşık duruma getirir. Özellikle burulma düzenizliği bulunan aılarda, düzenizlik arttıkça latik mafal kabullerinin gerçekçiliği tartışmaa açık duruma gelir. Doğrual olmaan hea günümüzde anak belirli azılımlarla aılabilmektedir. Açıklanan ebelerden ugulaııların bu hea öntemlerine ait arıntılı kabullerden daha çok ana kabulleri bilmeleri önemlidir. Bu amaçla bait roblemlerin çözümlerinin inelenmei en ratik oldur. Kanaklar Adınoğlu N, Cele Z, Özer E, Suuoğlu H (007) Derem Bölgelerinde Yaılaak Binalar Hakkında Yönetmelik Örnekler Kitabı, Baındırlık ve İkân Bakanlığı. Cele Z, Kumbaar N (004) Derem Mühendiliğine Giriş ve Dereme Daanıklı Yaı Taarımı (Bölüm 11: Performan kavramına daalı taarım), Beta Yaınılık, İtanbul. Cele Z (007) Betonarme Taşııı Sitemlerde Doğrual olmaan Davranış ve Çözümleme, Beta Yaınılık, İtanbul. Priele MNJ, Seible F, Calvi M (1996) Seimi Deign and Retrofit of Bridge, Wile Interiene, New York. Derem Bölgelerinde Yaılaak Binalar Hakkında Yönetmelik (007) Baındırlık ve İkan Bakanlığı, Ankara. Ek: Bait Örnekler Örnek 1. Boutları 0.0m / 50m olan keitte eçilmiş bazı şekil değiştirme durumları kabul ederek akma eğriinin, latik şekil değiştirmelerin elde edilmei ve latik şekil değiştirme vektörlerinin akma eğriine dikliği kabulünün aıal araştırılmaı. A = 6φ 0 = 94mm, u = 004, = 001, f = 5MPa, f = 40MPa, E = 00GPa, C 5 / S40 a) Keitin bait baınç ve bait çekme durumundaki normal kuvvet kaaitei: N o baınç = 0.85 f A + A f = = tolam N N o çekme = A f = = N (Şekil 8.de G ve A noktaları) tolam b) Bait eğilme durumunda keitte çekme donatıının akmaa eriştiği, baınç donatıının akmaa erişmediği, beton gerilmelerinin düşük olduğu ve elatik bölgede kaldığı kabul edileektir. Keitte kuvvet dengei: + F ' F b σ + A ' σ ' = A f b E + A ' E = A f F = 1 1 d d' d 97

8 = = 9mm σ = E = MPa d = d' 9 50 σ ' = E = = 7MPa < f = 40MPa d M = σ b ( d ) + A ' σ ' ( d d' ) = (450 ) (450 50) M = Nmm φ h = h = 50 =.08 m / m d Beton gerilmeinin σ = 0 MPa > 7 f = 7 5 = 17. 5MPa çıkmaı hea önteminin aklaşıklığına işaret etmektedir. σ bağıntıı kullanılarak daha kaamlı bir çözüm aılabilir. Anak, bua kaamlı arıntıa girmeden elde edilen onuç kabul edileektir. Bu şekil değiştirme durumunda keitin orta evieindeki birim uzama: 5 h 50 9 ekenel uzama = = 001 = 87 m / m d b=00mm 50mm ' σ F / F ' u ' 85 f F a F ' a/ Mu M Eğilme momenti M h=500mm 6φ0 F F φ 50mm Çekme donatıının akmaı durumu Güç tükenmei durumu 0 φ Eğrilik φ φ u Şekil 5. Bait eğilmede keitte çekme donatıının akmaı ve güç tükenmeine erişilme durumları ) Bait eğilmede keitin betonun u = 004 en büük kıalmaını aarak güç tükenmeine eriştiği durum: a / 85 d' F + F ' = F 0.85 f b a + A ' u E = A f a / 85 a / a a / 85 = a = 48mm = a / 85 = 48 / 85 = 56mm d' σ ' = u E = = 86MPa < f = 40MPa 56 M u = f b a ( d 5 a ) + A' σ ' ( d d' ) = ( ) M 6 u = Nmm u 004 φ u h = h = 50 = 5.7 m / m 056 φ h = φu h φ h = (5.7.08) =.64 m / m 98

9 Bu durumda keitin orta evieindeki birim uzama: 5 h ekenel u uzama = u = 004 = 1.85 m / m 056 ekenel latik uzama = ( ) = 1.98 m / m Farklı kabullerden hareket ederek M ve M u değerleri için akın değerler bulunmaı olmaı Şekil 5.deki moment-eğrilik değişiminin iki doğrulu olarak kabul edilebileeğini götermektedir. Şekil 8.de verilen karşılıklı etki (akma) eğriinde, AB noktalarını birleştiren doğrunun düşele atığı açı: tan α AB = /( ) = 411 α AB =. 4 o Platik şekil değiştirme vektörünün atala atığı açı: tan α B = ekenel uzama /( φ h) = 1.98 /(.64 ) = 98 α o B = 1. 7 Yaılan kabuller ve uvarlatmalar göz önüne alınıra, bu iki açının eşit olduğu ve latik şekil değiştirme vektörünün akma üzeine dik olduğu kabul edilebilir (Şekil 8.de B noktaı). d) Keitte betonun = 00 kıalmaını atığı ve tarafız ekenin = 150mm olduğu kabul edilire, bu duruma karşı gelen eğilme momenti ve normal kuvvet değerleri beton için dikdörtgen blok kabulü kullanılarak hea edilebilir: a = = = 18mm d' ' = = 00 = 00 < = 001 σ ' = ' E = = 400MPa 150 d' = 00 = 004 > = = F = A σ = = N F ' = A ' σ = = N F = 0.85 f b a = = N Ne = F + F ' F = = kN M e = F ( 5 h 5 a) + ( F + F ') (5 h d' ) M e = ( ) + ( ) 00 = 06. 6kN h 0 h. 00 φ e = = 50 =. 0 m / m h ekenel e kıalma = = 00 =. 00 m / m 150 Bu durum aklaşık olarak moment-eğrilik değişiminde latik şekil değiştirmelerin başlangıı olarak kabul edilebilir. e) Keitin betonun u = 004 kıalmaı ve tarafız ekenin eri ukarıdaki gibi = 150mm kabul edilire, keit eğilme momenti ve normal kuvvet değerleri, ve tolam ve latik şekil değiştirmeler aşağıdaki gibi healanabilir: 99

10 b=00mm 50mm h=500mm 6φ0 ' u ' 85 f F a F ' F a/ 50mm Akma durumu Güç tükenmei durumu Şekil 6. Keitte akma ve güç tükenmei durumları d' ' = u = 004 = 0067 > F = F '= kN 150 d' = u = 004 = 005 > 150 F = kN Nu = F + F ' F = kN M u = ( ) =. 0kN u 004 φ u h = h = 50 = 1. m / m 150 ekenel u kıalma Platik şekil değiştirmeler: 5 h = u = 004 =. 67 m / m 150 φ h = φu h φe h = ( ) =. m / m ekenel latik uzama = ( ) = 67 m / m Platik şekil değiştirme vektörünün atala atığı açı: tanα = C ekenel latik uzama /( φ h) = 67 /(. ) = 00 α o C = 11. Kontrol amaıla Şekil 8.de verilen karşılıklı etki (akma) diagramında BC noktalarını birleştiren doğrunun düşele atığı açı bulunarak karşılaştırma aılabilir: tan α = ( ) /( ) = 61 BC α BC = o f) Keitte betonun = 00 kıalmaını atığı ve tarafız ekenin = 50mm olduğu kabul edilire, bu duruma karşı gelen eğilme momenti ve normal kuvvet değerleri beton için dikdörtgen blok kabulü kullanılarak hea edilebilir: a 0.85 = = 1mm d' = = ' = = 00 = 004 > F = F '= kN F = 0.85 f b a = = N Ne = F + F ' F = kN M e = F ( 5 h 5 a) + ( F + F ') (5 h d' ) M e = (50 5 1) = 5. 0kN 0

11 00 φ e h = h = 50 = 6.0 m / m ekenel e kıalma = 0 50 Bu durum aklaşık olarak moment-eğrilik değişiminde latik şekil değiştirmelerin başlangıı olarak kabul edilebilir. g) Keitin betonun u = 004 kıalmaı ve tarafız ekenin eri ukarıdaki gibi = 50mm kabul edilire, keit eğilme momenti ve normal kuvvet değerlerinde değişme olmaaak, adee latik şekil değiştirmeler ortaa çıkaaktır: u 004 φ u h = h = 50 = 8.00 m / m ekenel u kıalma = 0 50 Platik şekil değiştirmeler: u e / φ h = φ h φ h = ( ) =.00 m m = 0 ekenel latik uzama Ekenel latik şekil değiştirme olmadığı için latik şekil değiştirme vektörü ata olaaktır (Şekil 8.de D noktaı) h) Keitte betonun = 00 kıalmaını ve donatının = 001 uzamaı atığı kabul edilire, bu duruma karşı gelen eğilme momenti ve normal kuvvet değerleri beton için dikdörtgen blok kabulü kullanılarak hea edilebilir: d.0 = = 450 = 65mm a = 0.85 = = 5mm d' ' = = 00 = 004 > = F ' = F = = F = 0.85 f b a = = N N M e = F ( 5 h 5 a) + F ( d d' ) = (50 5 5) = kN 00 φ e h = h = 50 = 5.66 m / m 65 5 h ekenel e kıalma = = 00 = 170 m / m 65 Bu durum aklaşık olarak moment-eğrilik değişiminde latik şekil değiştirmelerin başlangıı olarak kabul edilebilir. i) Keitin betonun u = 004 kıalmaı ve tarafız ekenin eri ukarıdaki gibi = 65mm kabul edilire, keit eğilme momenti ve normal kuvvet değerlerinde değişme olmaaak, adee latik şekil değiştirmeler ortaa çıkaaktır: u 004 φ u h = h = 50 = 7.55 m / m 65 ekenel u kıalma 5 h = u = 004 = 6 m / m 65 1

12 Platik şekil değiştirmeler: φ h = φu h φe h = ( ) = 1.89 m / m ekenel latik uzama = ( ) = 056 m / m Platik şekil değiştirme vektörünün atala atığı açı: tanα = E ekenel uzama /( φ h) = 056 /(1.89 ) = 00 α o E = 1. 7 Şekil 8.de görüldüğü gibi bu nokta ivarında akma eğriinin teğeti ataa akındır. Healanan açının küçük olmaı belirli bir aklaşıklıkta latik şekil değiştirme vektörünün akma üzeine dik olduğuna karşı gelmektedir. h) Keitte betonun u = 00 kıalmaını tarafız ekenin keit alt çizgiinde = 500mm olduğu kabul edilire, bu duruma karşı gelen eğilme momenti ve normal kuvvet değerleri beton için dikdörtgen blok kabulü kullanılarak hea edilebilir: d' 50 = = 00 = 000 < h 500 d 450 ' = = 00 = 007 > = 001 h 500 σ = E = = 60MPa a = = = 45mm F = f b a = = N F = A σ = = 56.5 N F ' = A ' f = = N ' Ne = F + F + F = = kN M e ' = F (5 h 5 a) + ( F F ) ( d d' ) M e = ( ) + ( ) 00 = kNm h 00 φ e = h = 500 =. 00 m 500 ekenel e kıalma = 5 = 5 00 = 1. 5 m / m Bu durum aklaşık olarak moment-eğrilik değişiminde latik şekil değiştirmelerin başlangıı olarak kabul edilebilir. i) Keitin betonun u = 004 kıalmaı ve tarafız ekenin eri ukarıdaki gibi = 500mm kabul edilire, keit eğilme momenti ve normal kuvvet değerleri aşağıdaki gibi hea edilebilir: d' 50 = u = 004 = 0004 < h 500 d 450 ' = u = 004 = 006 > = 001 h 500 σ = E = = 80MPa a = = = 45mm

13 b=00mm 50mm h=500mm 6φ0 ' u ' a 85 f F' a/ F F 50mm Şekil 7. Keitte akma ve güç tükenmei durumları Akma durumu Güç tükenmei durumu F = f b a = = N F = A f = = N F ' = A ' f = = N N u = F + F ' + F = = 18 44kN M u = F ( 5 h 5 a) + ( F ' F ) (5 h d' ) M u = (50 1) + ( ) 0 = kNm Bulunan ve taşıma güüne karşı gelen normal kuvvet ve eğilme momenti değerleri ( Mu ; Nu ) = ( kNm; 18 44kN ) latik şekil değiştirmenin başladığı kabul edilen ( M u ; Nu ) = ( kNm; kN ) değerleri ile kıa edilire eterli aklaşıklıkta birbirine akın olduğu kabul edilebilir. Bu durumda şekil değiştirmeler aşağıdaki gibi healanabilir: h u 0 h. 004 φ u = = 500 = m / m 500 ekenel u kıalma = 5 = =.0 m / m φ h = φu h φe h = (4 ) = 1.00 m / m ekenel latik kıalma = (.0 1.5) = 5 m / m Platik şekil değiştirme vektörünün atala atığı açı: G -000 α F N u h (knm) A 500 F B α B M (knm) u Şekil 8. Keitte akma eğrii (karşılıklı etki diagramı) ve latik şekil değiştirme vektörleri C α C α E E D 400 tan α F = ekenel kıalma /( φ h) = 5 /(1.0 ) = 5 α o F = 6. 6 Kontrol amaıla Şekil 8.de verilen karşılıklı etki (akma) diagramında FG noktalarını birleştiren doğrunun düşele atığı açı bulunarak karşılaştırma aılabilir: tan α = (169.4) /(5 ( )) = 415 FG α o FG =. 5

14 Şekil 8.de keitin akma eğrii (karşılıklı etki diagramı) ve latik şekil değiştirme vektörleri ve doğrultuları göterilmiştir. Ekenlerin ölçekleri farklı olduğu için açılar alışılmıştan farklı oluşmaktadır. Örnek. Şekilde verilen boutları 0.0m / 50m olan ata itme ata öteleme eğriinin ikini mertebe etkiinin de göz önüne alınarak bulunmaı. C 5 / S40, A = A ' = φ 0 = 94mm, u = 004, = 001, f = 5MPa, f = 40MPa, E = 00GPa, P o = 1500kN =5.0m P o b=00mm 50mm h=500mm 6φ0 ' 85 f a/ a F' F Eğilme momenti M M 50mm F Çekme donatıının akmaı durumu 0 φ Eğrilik φ Şekil 9. Normal kuvvet ve ata ük etkii altında kolon ve akma momentine karşı gelen şekil değiştirme durumu a) Keitte çekme donatıını akmaı durumunda ve onan konrol edilmek üzere baınç donatıının da aktığı kabul edilerek, keitteki normal kuvvetle birlikte etkien eğilme momenti aşağıdaki gibi bulunabilir = ): ( o = 0.85 f b a = = 1500 F = F ' P = 77mm a = 0.85 = = 5mm = 77 = = 006 d ' d' = 001 = 0076 > = 001 d = M = A f ( d d' ) + P (5 h a / ) = (50 5 / ) o. 1 = Nmm φ = = = / m d M 6 Pl l l 5 δ = = φ = 1.14 = m EI Bu moment karşı gelen keme kuvveti birini mertebe etkilerle ve ikii mertebe etkilerle (normal kuvvetin momentini heaba katarak) aşağıdaki gibi bulunabilir: M = = = kN (Birini mertebe etkilerle) l 5.00 M δ Po = = = 4 97kN l 5.00 (İkini mertebe etkilerle) b) Akma eğrilinin iki katı kadar bir latik eğriliğin medana geldiği kabul edilerek karşı gelen büüklükler ve keme kuvveti aşağıdaki gibi healanabilir. φ = 1.14 m / 4

15 φ = 4. 8 / m Heata latik mafal bounu keit ükekliğinin arıı l = h / ve latik şekil değiştirmeden (latik mafal dönmeinden) oluşan ata erdeğiştirmenin kolonun rijit dönmeile oluştuğu kabul edileektir: δ = θ l = φ l l = 5 φ h l δ = δ + δ = δ + 5 φ h l δ = = + 00 = 1m = ( M δ Po ) / l = ( ) / = 1. 8kN (İkini mertebe etki ile) = = 008 = 0.00 = 0060 ' = 0076 = 0088 / ) Benzer şekilde φ = m kabul edilerek karşı gelen ata ük bulunabilir: δ = δ + 5 φ h l = = 16m = ( M δ Po ) / l = ( ) / =. 7kN (İkini mertebe etki ile) = = = = 050 ' = = 0180 / d) φ = 7.84 m için ata ük: δ = δ + 5 φ h l = = 19m = ( M δ Po ) / l = ( ) / = kN (İkini mertebe etki ile) = = 05 = = ' = = 0484 / e) φ = 97.1 m için ata ük: δ = δ + 5 φ h l = = m = ( M δ Po ) / l = ( ) / = 4. 51kN (İkini mertebe etki ile) 80 Birini mertebe etkilerle (kn) A A B B C C D D E Birini ve ikini mertebe etkilerle E Şekil. Yata kuvvete ve ata erdeğiştirme değişiminin birini ve ikini mertebelerin göz önüne alınmaı ile değişimi δ (mm) = = 0974 = = ' = = 0484 Şekil.da adee birini mertebe etkileri ile birini mertebe etkileri anında ikini mertebe etkileri de göz önüne alarak δ ata kuvvet- ata öteleme değişimi verilmiştir. Sitemin tatikçe belirli olmaı kararızlık durumu ortaa çıkarmaktadır. 5

16 Örnek. Boutları verilen ikelede taşııı itemin derem etkii altındaki kaaiteinin belirlenmeinde kullanılmak üzere ata kuvvet - ata er değiştirme eğriinin çizimi (Şekil 11). A = A ' = φ 5 = 491mm, A '' = φ 5 = 491mm, = 004, = 001, f = 5MPa, f = 40MPa, E = 00GPa, E = 0GPa u Rijit latform 1m 1m m 1m 1m A B C D E F Kazık uçlarının mafallaşma ıraı A B C D E F Şekil 11. Kazıklı ikele duvarı b=55m 60mm h=65m 60mm 8φ5 ' '' σ F / F F ' Çekme donatıının akmaı durumu u ' '' 85 f a/ a F' F F F'' Güç tükenmei durumunda bait eğilme A' = φ5 A'' = φ5 A = φ5 Şekil 1. Kazık keitinde çekme donatıının akmaı ve güç tükenmeine erişme durumları a. Kazık keitinin çekme donatıının akmaına karşı gelen bait eğilme momenti betonun doğrual davrandığı kabul edilerek, gibi bulunabilir. Keitte baınç ve çekme kuvvetlerinin eşitliği (Şekil 1): 1 d' 5 h F + F ' = F + F" E b + E A ' = A f + E A " d d d = = = 15mm 15 σ = E = = 19MPa < f = 5MPa d d' σ ' = E = = 69MPa d h σ ' ' = E = = 176MPa d F = 0. 5 σ b = = N 6

17 F = A f = = N F' = A' σ ' = = 1. 4 N F' ' = A' ' σ ' ' = = N M = F ( 0. 5h / ) + ( F + F' )( 5h d' ) M = (5 15 / ) + ( )(5 060) = 84. 0kNm φ = /( d ) = 001/( ) = an / m b. Keitin bait eğilme momenti kaaitei: = 16. 5mm ve u = 004 eçilerek bu durumun bait eğilmee karşı geli gelmediği kontrol edileektir: d = u = = 05 > 165 d' > 16.5 ' = u = 004 = 005 '' = = 00 > F = F ' = A f = = N F '' = A '' f = = 41.4 F = 0.85 f b a = = N Nu = F F ' + F + F '' = = kN M u = F ( 0. 5h 5a ) + ( F + F' )( 5h d' ) N M u = ( ) + ( )(5 060) = kNm = 60mm ve u = 004 eçilerek, bütün donatıların akmaa eriştiği bu durumun bait eğilmee karşı geli gelmediği kontrol edileektir: F = kN F ' = 0 F '' = 41. 4kN F = 0.85 f b a = = N Nu = F F ' + F + F '' = = 45. 0kN M u = ( ) (5 060) = 4. 49kN Tarafız eken için aılan iki tahminde de bait eğilme elde edilemedi. Sıfır olmaı gereken normal kuvvet biriniinde baınç ve ikiniinde çekme çıkmıştır. İki çözüm araındaki doğrual değişim kabul edilerek bait eğilme aranaaktır: 45.0 M u = ( ) 448kNm = 60 + ( ) = 87mm φ u = u / = 004 /( 087 ) = an / m

18 Akma ve güç tükenmei durumları için bulunan momentlerin ortalamaı M = Mu = 415kNm kabul edilerek keit eğilme rijitliği 0 M = M u = 415kNm durumunda keitin çatlamış eğilme rijitliği (brüt keitinkinin 40 katı) kabul edileektir: E I = / 1 = 151 knm. İkele iteminin bütün kazık keitlerinin anı olduğu kabul edildiği için latik mafal, bou en kıa olan A kazığında medana geleektir. Bu kazığın iki uunda ata ükten dolaı farklı işaretteki momentlerden ortaa çıkan latik moment onuu bu kazıktaki ve elatik davranış onuu diğer kazıklarda ortaa çıkan keme kuvvet ve karşı gelen ata erdeğiştirme: A1 = M / l A = 415 / 1 = 8 0kN B1 = A1 l A / l B = 80 / =. 7kN C1 A1 A C = 7 = l / l = 80 / kn = l / l = 80/ 4 1. kn E1 = F1 = A l A / l E = 80 / 5 = 6. 6kN = A + B + C + D + E + F 99 0kN = 1 80 δ 1 = = = 46 1 EI / l /1 A A m D1 A1 A D = Yükün artmaı ile A kazığında keme kuvveti değişmezken, diğer kazıklarda keit etkileri artaaktır. Bu durum B kazığının alt ve üt uunda latik mafal oluşunaa kadar devam edeektir. = M / l = 415 / 415. knm Δ B = kn B B = 0 1 = Bu B kazığı keme kuvvetindeki Δ B 1 artışı, bu kazığın iki uunda latik mafal oluşumuna ve A dışındaki kazıklarda aşağıdaki keme kuvveti artışına ebe olaaktır. ΔC1 = ΔB1 l B / l C = 11. / = 9. kn ΔD1 = ΔB1 l B / l D = 11. / 4 = 8. 9kN ΔE1 = ΔF1 = ΔB1 l B / l E = 11. / 5 = 19. 9kN Δ = ΔB + ΔC + ΔD + ΔE + ΔF 48. kn = ΔB1 11. = 1 + Δ1 = = 147. kn Δδ 1 = = = 1.7 m 1 EI / l / Bu erdeğiştirme altında A kazığındaki iki uçtaki mafalda oluşan latik dönmeler ve kazıklarda keme kuvvetleri: Δθ A1 = Δδ1 / l A = 1.7 /1 = 1.7 = + Δ = kn = + Δ = kn C C1 C1 = 0 B D D1 D1 = = = + Δ = kn δ = δ1 + Δδ1 = ( ) = 1.8 m E F E1 E1 = 6 Yükün artmaı ile A ve B kazığından keme kuvveti değişmezken, diğer kazıklarda keit etkileri artaaktır. Bu durum C kazığının alt ve üt uuna latik mafal oluşunaa kadar devam edeektir. 8

19 = M / l = 415 / 76. knm Δ C = kN C C = 7 = Bu C kazığının keme kuvvetindeki Δ C artışı, bu kazığın iki uunda latik mafal oluşumuna ve A ve B dışındaki kazıklarda aşağıdaki keme kuvveti artışına ebe olaaktır. ΔD = ΔC l C / l D = 15.7 / 4 = 64. 9kN ΔE = ΔF = ΔC l C / l E = 15.7 / 5 =. kn Δ = ΔC + ΔD + ΔE + ΔF 85. 0kN = ΔC 15.7 = + Δ = = 175. kn Δδ = = =.9 m 1 EI / l / Bu erdeğiştirme altında A ve B kazığındaki iki uundaki mafalda oluşan latik dönmeler ve kazıklarda keme kuvvetleri: Δθ Δθ A = Δδ / l A =.9 /1 =.9 B = Δδ / l B =.9 / = 1.15 D = D + ΔD = kN = E = F = E + ΔE = kN δ = = δ + Δδ = ( ) = 4.1 m Yükün artmaı ile A, B ve C kazığından keme kuvveti değişmezken, diğer kazıklarda keit etkileri artaaktır. Bu durum D kazığının alt ve üt uuna latik mafal oluşunaa kadar devam edeektir. = M / l = 415 / knm Δ D = kN D4 D = 5 C = Bu D kazığının keme kuvvetindeki Δ D artışı ile bu kazığın iki uunda latik mafal oluşumuna ve A, B ve C dışındaki kazıklarda aşağıdaki keme kuvveti artışına ebe olaaktır. ΔE = ΔF = ΔD l D / l E = 91.4 / 5 = 46. 8kN Δ = ΔD + ΔE + ΔF kN = = + Δ = kn 4 = Δ 91.4 Δδ = = =. 1 EI / l / 4 D D m Bu erdeğiştirme altında A, B ve C kazığındaki üç mafalda oluşan latik dönmeler ve kazıklarda keme kuvvetleri: Δθ Δθ A = Δδ / l A =. /1 =. B = Δδ / l B =. / = 1.6 9

20 Δθ C = Δδ / l C =. / = 1.08 E = F = E + ΔE = kN δ 4 4 = 4 = δ + Δδ = (4.1 +.) = 7.5 m Yükün artmaı ile A, B, C ve D kazığından keme kuvveti değişmezken E ve F kazıklarında keit etkileri artaaktır. Bu durum her iki kazığının alt ve üt uunda latik mafal oluşunaa kadar devam edeektir. = M / l = 415 / knm Δ E = kN E5 E = 0 4 = Bu E ve F kazıklarında keme kuvveti Δ E 4 artışı ile bu kazığın iki uunda latik mafal oluşarak item mekanizma durumuna geleektir. Δ = Δ + Δ 118. kn = + Δ = kn 4 E4 F 4 = 8 Δ Δδ 4 = = = 4. 1 EI / l / 5 E E = Bu erdeğiştirme altında A, B, C ve D kazıklarında mafallardaki latik dönmeler: Δθ Δθ Δθ Δθ δ A4 = Δδ 4 / l A = 4. /1 = 4. B4 = Δδ 4 / l B = 4. / =.05 C4 = Δδ 4 / l C = 4. / = 1.7 D4 = Δδ 4 / l D = 4. / 4 = = δ5 + Δδ5 = ( ) = m m Her bir adımda bu adıma kadar oluşan latik dönmeler tolanarak, tolam latik dönme bulunabilir. Örnek olarak A kazığının alt ve üt latik mafallarındaki tolam latik dönme θ A4 = Δθ A1 + Δθ A + Δθ A + Δθ A4 =.99 olarak hea edilebilir. Her bir kazığın ata keme kuvveti ve ata erdeğiştirme değişimi Şekil 1.de verilmiştir. Bunun gibi kazıkların iki uunda oluşan latik mafalların dönmeleri de Şekil 14.de göterilmiştir. d. Kazık keitlerinde her haar durumuna karşı gelen, latik eğrilik ve dönme için aılan iteraonların adee onuu verileektir (Şekil 15): Minimum haar ınırı: Keitte = MN = 0 ve = < MN = 005 (argıız beton) kabul edilerek keitteki normal kuvvet aklaşık olarak ıfır bulunur ve karşı gelen eğilme momenti healanabilir: 1.7 = d = 590 = 86mm d' ' = = 1.7 = 51 < 86 1

21 , A,,,, (kn) B C D E B C δ (mm) Şekil 1. Kazıklı itemde ata ük ve ata erdeğiştirme A D E 14 - θ GÇ = 1.5 θ (an) =990kN =147.8kN =1757.5kN =194.kN θ A θ B θ C =061.17kN θ = 1.70 GS - θ MN = θ D θ E, F δ (mm) Şekil 14. Kazık uç keitlerinde ata öteleme bağlı olarak medana gelen latik dönmeler ve haar bölgelerinin ınır dönmeleri 60mm h=65m 60mm b=55m 8φ5 < MN=005 =0017 ' '' =0 = MN Minimum haar ınırı =G =005 ' '' =00 < =040 G Güvenlik ınırı =GÇ =0040 ' '' =08 < =060 GÇ Göçme ınırı 85 f a/ a F F' Şekil 15. Kazık uç keitlerinde ata öteleme bağlı olarak medana gelen latik dönmeler ve haar bölgelerinin ınır dönmeleri 5 h 5 86 '' = = 1.7 = 4.7 > 86 F = 0.85 f b a = = N F ' = A ' σ = = N F F'' 111

22 F '' = A '' σ = = N F = A σ = = N N = F F ' + F '' + F = = 5. 0kN M = F ( 5h 5a) + ( F ' + F )(5h d' ) M MN = ( ) + ( ) (5 060) = 45 59kNm φ MN = / = 1.7 / 086 = / m φ MN = φmn φ = ( ) = / m θ MN = 5 h φ MN = = 4.90 = Bua şekil değiştirme üzerinde iteraon ilerletilerek normal kuvvetin ıfıra daha da aklaşmaı ağlanabilir. Güvenlik ınırı: Keitte = = G (argıız beton) ve = 0.00 < G = 040 kabul edilerek keitteki normal kuvvet aklaşık olarak ıfır bulunabilir ve karşı gelen eğilme momenti healanabilir: = 80mm = ' =.5 = 80 < 5 80 > 80 '' =.5 = 9.4 F = = N F ' = = 4.4 N '' = N F F = N N = =. 01kN M G = ( ) + ( )(5 060) = 454. knm φ G = / =.5 / 080 = 4.75 / m φ G = φg φ = ( ) = / m θ G = 5 h φ G = = 1.70 = Göçme ınırı: Keitte = = GÇ (argıız beton), = 88mm ve = < GÇ = 060 kabul edilen şekil değiştirme çözümü ukarıda aılmıştı: φ GÇ = / m φ GÇ = φgç φ = ( ) = 4 76 / m θ GÇ = 5 h φ GÇ = = 1.5 = Bulanan bu ınır değerler Şekil 14.de göterilmiştir. 11