Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar"

Transkript

1 Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir. veya b sayısı a sayısını böler. denir. Örneğin; yandaki işleme göre, 4 sayısı ile bölünebilir. Bir doğal sayının bir sayma sayısına bölünüp bölünmediğini anlamak için, her zaman bölme işlemini yapmak gerekmez. Doğal sayıların,,,, gibi sayma sayıları ile hangi koşullarda bölünebildiği araştırılarak, bunların kuralları ortaya çıkarılmıştır. Şimdi bu bölünebilme kurallarından bir kısmını öğreneceğiz. ile Bölünebilme Kuralı Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 0 0 : 4 4 : 4 4 : : : 4 ile bölünebilen 0, 4, 4, 86, 68 sayılarının birler basamakları 0,, 4, 6, 8 dir. Bu, ile bölünebilen bütün doğal sayılar için geçerlidir. Buna göre; 4 00 Bir doğal sayının birler basamağında 0,, 4, 6, 8 rakamlarından biri bulunuyorsa, bu sayı ile bölünebilir. Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar ile bölünebilen doğal sayılara çift doğal sayılar, ile bölünemeyen doğal sayılara tek doğal sayılar denir. Çift doğal sayıların kümesi Ç, tek doğal sayıların kümesi T ile gösterilirse Ç = {0,, 4, 6, 8, 0, } T = {,,, 7,,,, } olur. Bir tek sayının ile bölümündeki kalan dir. ile Bölünebilme Kuralı Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 7 : : : 4, 7, 0 sayıları ile bölünmektedir. Bu sayıların rakamlarının sayı değerlerinin toplamlarını ayrı ayrı bulalım: Elde edilen toplamların ün katı olduğuna dikkat ediniz. Bu, ile bölünebilen bütün doğal sayılar için geçerlidir. Buna göre; Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı ün katı ise, bu sayı ile bölünebilir. Örnek. 46 sayısının rakamlarının toplamı, olup bu sayı ile bölünebilir. Gerçekten, 46 : 4 dir. Örnek. 460, 000, 74, 846, 78 sayıları ile bölünebilir; 8,,, 7, 87 sayıları ile tam olarak bölünemez. Örnek. 84 sayısının rakamlarının toplamı, 8 4 olup bu sayı ile bölünebilir. Gerçekten, 84 : 8 dir. 4

2 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Örnek.4 4 sayısının rakamlarının toplamı, 4 0 olup ün katından fazladır. O halde bu sayı ile bölünemez. Gerçekten; 4 sayısı ile tam bölünemez; kalan olur Bir doğal sayının rakamlarının toplamının ün katlarından fazlası, bu sayının ile bölümündeki kalan olur. a. Kalan sıfır iken; 7 a 4 4 a toplamı ün katı olmalıdır. 4 a toplamını ün katı yapan en küçük a değeri dir. Buna ün katları eklenerek a nın alabileceği değerler, 4, 7 olarak bulunur. b. Kalan iken; 4 a toplamı ün katlarından fazla olmalıdır. Bunu sağlayan a değerleri 0,, 6 ve dur. Örnek.7 Örnek sayısının rakamlarının toplamı, olup ün 6 katından fazladır. O halde, bu sayının ile bölümündeki kalan dir. Uyarı ile bölünüp bölünemeyeceği test edilen sayının rakamlarının toplamı büyük bir sayı ise, bu sayının da rakamlarının toplamına bakılır. Örneğin; sayısının rakamlarının toplamı 4; 4 sayısının rakamlarının toplamı ; sayısının rakamlarının toplamı 4 tür. 4 ün ile bölümündeki kalan olacağından, sayısının ile bölümündeki kalan da dir. Örnek.6 7a4 sayısı ile bölündüğünde, a. kalan sıfır oluyorsa a hangi değerleri alabilir? b. kalan oluyorsa a hangi değerleri alabilir? Dört basamaklı 44a sayısının hem, hem de ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerlerin kümesi ne olmalıdır? 44a sayısının ile bölünebilmesi için, 4 4 a 0 a toplamı ün katı olmalıdır. a, a, a 8 değerlerinin, bu toplamı ün katı yaptığını görünüz. Diğer taraftan, bu sayının ile bölünebilmesi için a değerinin çift olması gerektiğinden, a {, 8} olmalıdır. ile Bölünebilme Kuralı Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz : 4 : ile bölünen 0 ve sayılarının birler basamakları 0 ve tir. Bu, bütün doğal sayılar için geçerlidir. Buna göre; Bir doğal sayının birler basamağında 0 veya bulunuyorsa bu sayı ile bölünebilir.

3 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam ten büyük ise, bu rakam ile arasındaki fark bu doğal sayının ile bölümündeki kalanı verir. Birler basamağındaki rakam ten küçük ise, kalan bu rakam kadardır. Örneğin; 7, 870, 76 sayıları ile bölünebilirler. 64 ün ile bölümündeki kalan ; 746 nın ile bölümündeki kalan dir. Örnek sayısının rakamlarının toplamı, olup bu sayı ile bölünebilir. 476 : işlemini yaparak sonucu görünüz. Bir doğal sayının rakamlarının toplamının un katlarından fazlası, bu sayının ile bölümündeki kalan olur. Örnek.8 Beş basamaklı 4ab sayısının ile bölümündeki kalan 4 olduğuna göre a b toplamı, a. en az kaç olabilir? b. en çok kaç olabilir? b, 4 ya da olmalıdır. a, herhangi bir rakam olabilir. Buna göre, a b nin en küçük değeri ; en büyük değeri 8 dir. Örnek. 87 sayısının rakamlarının toplamı, olup bu sayının ile bölümündeki kalan 6 olur. Bölme işlemini yaparak bunu görünüz. Örnek. Dört basamaklı 7ab sayısının hem, hem de ile bölünebilmesi için, a ve b yerine hangi rakamlar yazılmalıdır? Örnek. Dört basamaklı a68b sayısının hem hem de ile bölünebilmesi için a ve b yerine hangi rakamlar yazılmalıdır? 7ab sayısının ile bölünebilmesi için b yerine 0 veya konulmalıdır. Bu sayının ile de bölünebilmesi için b 0 iken a 8 ve b iken a olmalıdır. a68b sayısının ile bölünebilmesi için, b yerine 0 veya konulmalıdır. Bu sayının ile de bölünebilmesi için, b 0 iken a yerine, 4, 7; b iken a yerine,, 8 yazılmalıdır. Alıştırmalar.. Aşağıdaki sayıların,, ve ile bölünüp bölünemediğini belirtiniz. a b c d e f. 0 ile Bölünebilme Kuralı Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı un katı ise, bu sayı ile bölünebilir.. Aşağıdaki sayıların,, ve ile ayrı ayrı bölümlerindeki kalanları bulunuz. a. 000 b. 4 c. 876 d e f. 67 6

4 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma. Aşağıdaki sayıların ile bölünebilmesi için yerine konulması gereken sayıları bulunuz. a. 4 b. 764 c d Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun rakamlar koyarak, ve ile bölünebilen dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı elde edebilirsiniz? a. a7b b. 46ab c. a48b d. 4ab. Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun rakamlar koyarak, ve ile bölünebilen dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı elde edebilirsiniz? a. a7b b. 8ab c. a74b d. 6ab4 6. Aşağıdaki sayıların ile bölünebilmesi için, yerine konulması gereken sayıları bulunuz. a. 4 b. 7 c Aşağıdaki sayıların ile bölümündeki kalanların olması için, a yerine konulması gereken sayıları bulunuz. a. 74a b. 8a4 c. 7a4 8. Aşağıdaki sayıların ile bölümündeki kalanların 6 olması için, yerine konulması gereken sayıları bulunuz. a. 74 b. 8 7 c. 4. 7a8b sayısının ile bölümündeki kalan tür. Bu sayı ile bölünebildiğine göre a ve b yerine gelebilecek sayıları bulunuz. 0. 4ab sayısının ile bölümündeki kalan dir. Bu sayı ile bölünebildiğine göre, toplamının en büyük değeri kaçtır? a b. Asal Çarpanlara Ayırma Bir doğal sayının, iki veya daha fazla doğal sayının çarpımı biçiminde yazılmasına bu doğal sayının çarpanlara ayrılması denir. Bir doğal sayının çarpanlarından her biri aynı zamanda bu doğal sayının bir bölenidir. Asal Sayılar Doğal sayı bölenlerinin kümesi iki elemanlı olan doğal sayılara asal sayılar denir. 0 sayısının bölenlerinin kümesi { }, in bölenlerinin kümesi {} olduğu için 0 ve asal sayı değildir. Buna göre, asal sayıların kümesi; A {,,, 7,,, 7,,...} olur. İstenildiği kadar büyük asal sayıları bulmak için Eratosthenes (Eratosten) Kalburu denilen yöntem kullanılır. Biz bu yöntemle 00 e kadar olan asal sayıları bulalım : Yukarıdaki dizinde asal sayı olmadığından bunun üstü çizilir. asal sayıdır. nin diğer katları asal olmadığından bunların üstü çizilir. den sonra üstü çizilmeyen ilk sayı olup bu sayı asaldır. 7

5 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma ün diğer katları asal olmadığından bunların üstü çizilir. ten sonra üstü çizilmeyen ilk sayı olup bu sayı asaldır. in diğer katları asal olmadığından bunların üstü çizilir. ten sonra üstü çizilmeyen ilk sayı 7 olup bu sayı asaldır. 7 nin diğer katları asal olmadığından bunların üstü çizilir. Geriye kalan üstü çizilmemiş olan sayılar asaldır. Örnek. sayısını asal çarpanlarına ayıralım : 66 Asal Çarpanlara Ayırma Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmada şöyle bir yol izlenebilir : Doğal sayı önce, hemen görülebilen çarpanlarına ayrılır. Sonra bu çarpanlara da, asal çarpanlara ulaşıncaya kadar aynı işlem uygulanır. Ancak bu yöntem, sayıların çarpanlarını kolayca görebilme becerisi ister. Bu beceriyi zamanla kazanacaksınız. Örnekleri inceleyiniz ; ; Biz bu başlangıç aşamasında, doğal sayıları asal çarpanlarına şöyle ayıracağız : Doğal sayıyı, bölünebileceği en küçük asal sayıdan başlayarak, bölüm olana kadar asal sayılara böleceğiz. 7 sayısını bu yöntemle asal çarpanlarına ayıralım : Her satırda soldaki sayı bölünen, sağdaki sayı bölen, soldaki sayının altındaki sayı bölümdür olur. İşlemi, aşağıdaki gibi de gösterebiliriz : Örnek.4 80 sayısını asal çarpanlarına ayıralım : Bir Doğal Sayının Bütün Bölenlerinin Kümesi 7 sayısının bütün bölenlerinin kümesini yazmaya çalışalım : 7 yazılabilir. 7 sayısı, bu çarpımdaki çarpanların herhangi birine, herhangi ikisinin çarpımına, herhangi üçünün ya da herhangi dördünün çarpımına bölünebilir. Bu bilgiyi dikkate alarak 7 sayısını bölen doğal sayıları bulalım.,,, 4 sayıları 7 yi böler. sayısı 7 nin çarpanları arasında yoktur; 7 yi bölemez. 6 sayısı 7 nin çarpanları arasında biçiminde bulunmaktadır; 7 yi böler. 7 sayısı 7 nin çarpanları arasında yoktur; 7 yi bölemez. 8,,, 8, 4, 6 sayıları da 8 ; ; ; 8 ; 4 ve 6 olarak 7 nin çarpanları arasında bulunmaktadır. Bu sayılar da 7 yi bölerler. 8

6 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Buna göre, 7 nin bütün bölenlerinin kümesine K dersek, K {,,, 4, 6, 8,,, 8, 4, 6, 7} olur. 7 7 ; 6 7 ; 4 7 ; ; 6 7 ; 8 7 olduğundan, K kümesi aynı zamanda 7 nin çarpanlarının kümesidir. 4. Aşağıda çarpım biçiminde verilmiş sayıların bölenlerinin kümeleri ile asal çarpanlarının kümelerini yazınız. a. 7 b. 7 c Aşağıdaki sayıların, iki basamaklı en küçük doğal sayı bölenleri ile iki basamaklı en büyük doğal sayı bölenlerini bulunuz. a. 4 b. 86 c. 6 Örnek. olduğuna göre, sayısının bütün bölenlerinin kümesi, K {,,, 4, 6,,,,, 44, 66, } olur.. En Büyük Ortak Bölen (e.b.o.b.) Örnek.6 80 olduğuna göre 80 sayısının bütün bölenlerinin kümesi, K {,,, 4,, 6,, 0,,, 8, 0, 0, 6, 4, 60, 0, 80} dir. 80 sayısının asal çarpanlarının kümesi de; A {,, } olur. 4 sayısının doğal sayı bölenlerinin kümesi A; 6 sayısının doğal sayı bölenlerinin kümesi B olsun. A {,,, 4, 6, 8,, 4} ve B {,,, 4, 6,,, 8, 6} dir. Hem 4 ün hem de 6 nın böleni olan doğal sayılar, A ve B kümelerinin ortak elemanlarıdır. Buna göre, 4 ve 6 sayılarının ortak bölenlerinin kümesi, A B {,,, 4, 6, } olur. 4 ve 6 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü, A B kümesinin en büyük elemanı olan sayısıdır. Alıştırmalar.. 60 ile 70 arasındaki asal sayıların kümesini yazınız.. Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırınız. a. b. 4 c. 68 d. 80. Aşağıdaki sayıların çarpanlarının kümeleri ile asal çarpanlarının kümelerini yazınız. a. b. 4 c. 4 d. İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni (e.b.o.b.) denir. a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni c ise bu (a; b) ebob c biçiminde gösterilir. Örneğin; (4 ; 6) ebob dir. İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin kümesi, bu sayıların e.b.o.b.unun bölenlerinin kümesine eşittir.

7 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Örneğin; 4 ve 6 sayılarının ortak bölenlerinin kümesi olan {,,, 4, 6, } ; bu sayıların e.b.o.b.u olan nin bölenlerinin de kümesidir. İki veya daha fazla doğal sayının e.b.o.b. unu bulmak için, sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Bu asal çarpanlardan ortak olanlarının en küçük üslüleri birbiriyle çarpılır. Örnek.7 48 ve 7 sayılarının e.b.o.b. unu bulalım : (48;7) ebob 4 olur. Bu sayıların e.b.o.b.u kısa yoldan şöyle bulunabilir : Not işareti içine alınan asal sayılar, bulundukları satırdaki sayıların ortak bölenleridir. Bunların çarpımı e.b.o.b.u verir. (48;7) ebob 4 olur. Çizginin sağına, yalnız ortak olan bölenler yazılabilirdi Örnek. 6 ve 4 sayılarının ortak bölenlerinin kümesini yazınız. İki doğal sayının ortak bölenlerinin kümesi, bunların e.b.o.b. unun bölenlerinin kümesine eşittir. Bu küme A olsun. (6; 4) ebob olduğundan 6 ile 4 ün ortak bölenlerinin kümesi, A {,,, 6,, 8} olur. Örnek.0 4 ile bir A sayısının e.b.o.b. u 8 dir. Bu koşula uyan üç basamaklı en küçük A sayısı kaçtır? (4, A) ebob 8 olduğundan, 4 8 ve A 8 x yazılabilir. Burada, ile x in ortak böleni den farklı olmamalıdır. (Böyle olduğu durumda; 4 ile A sayılarının e.b.o.b. u, 8 den büyük başka bir sayı olur.) A sayısı üç basamaklı olacağından, yandaki işleme göre, x > olmalıdır. Bu koşula uyan ve ile ortak böleni olan en küçük x doğal sayısı 7 olacağından, en küçük A sayısı da A olur Örnek.8 0, 4, 7 sayılarının e.b.o.b. unu bulalım : (0;4;7) ebob.4 En Küçük Ortak Kat (e.k.o.k.) 8 in katlarının kümesi A; nin katlarının kümesi B olsun. A {8, 6, 4,, 40, 48, 6,...} ve B {, 4, 6, 48, 60, 7, 84,...} dir. 00

8 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Hem 8 in hem de nin katı olan doğal sayılar, A ve B kümelerinin ortak elemanlarıdır. Buna göre, 8 ile sayılarının ortak katlarının kümesi, A B {4, 48, 7, 6,...} olur. 8 ve sayılarının ortak katlarının en küçüğü, A B kümesinin en küçük elemanı olan 4 sayısıdır. İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı (e.k.o.k.) denir. a ve b doğal sayılarının e.k.o.k. u c ise bu (a; b) ekok c biçiminde gösterilir. İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının kümesi, bu sayıların e.k.o.k.unun katlarının kümesine eşittir. Örneğin, 8 ve sayılarının ortak katlarının kümesi olan {4, 48, 7, 6,...} ; bu sayıların e.k.o.k.u olan 4 ün katlarının da kümesidir. İki veya daha fazla doğal sayının e.k.o.k. unu bulmak için, bu sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Bu asal çarpanlardan ortak olanlarının en büyük üslüleri ile ortak olmayanlar çarpılır. Örnek. 8 ile 60 sayılarının e.k.o.k.unu bulalım : 8 60 (8,60) ekok 80 Bu sayıların e.k.o.k. u kısa yoldan şöyle bulunabilir : Çizginin sağındaki asal sayılar, bulundukları satırdaki sayılardan en az birinin bölenleridir. Bunla- rın çarpımı e.k.o.k. u verir. Örnek., 6, 8 sayılarının e.k.o.k. unu bulalım : 6 (,6,8) ekok 4 44 olur. İki doğal sayının e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımı bu sayıların çarpımına eşittir. a ve b birer doğal sayı ise, (a, b) ebob (a, b) ekok a b dir. Örneğin; 4 ; 0 ; (4, 0) ebob 6, (4, 0) ekok 0 olup dir. Örnek. Biri 60 olan iki doğal sayının e.b.o.b. u 0 ve e.k.o.k.u 00 ise diğer sayı nedir? I. sayı 60, 8 (I. sayı, II. sayı) ebob 0, (I. sayı, II. sayı) ekok 00 olup 00 0 II. sayı Aralarında Asal Sayılar 0 olur. sayısından başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, 4 ve sayılarının den başka ortak böleni yoktur. Bu sayılar, aralarında asal sayılardır. Aralarında asal sayıların e.k.o.k. u, bu sayıların çarpımına eşittir; e.b.o.b. u ise dir. 0

9 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Örnek.4 6 ve sayılarının e.b.o.b. ve e.k.o.k. larını bulalım : 6 4 ve olup (6,) ebob ve (6,) ekok olur. Buna göre;. Bir sayının ile bölünebilmesi için, bu sayı hem hem de ile bölünebilmelidir. ( ). Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, bu sayı hem hem de ile bölünebilmelidir. (8 ). Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için, bu sayı hem hem de ile bölünebilmelidir. (4 ) 0, 6, 4, ile Bölünebilme Bir doğal sayının çarpanlarına ayrılması, aralarında asal sayılar ve e.k.o.k. bilgilerinden yararlanılarak yeni bölünebilme kuralları elde edilebilir. 0 ile Bölünebilme Kuralı : Bir doğal sayının 0 un kuvvetleri ile bölünmesinde, bu sayının sonundan 0 un kuvveti kadar sıfır atılacağını biliyorsunuz. Öyleyse; Birler basamağı sıfır olan bir doğal sayı 0 ile bölünebilir. 6 ile Bölünebilme Kuralı : 6 ile bölünebilen bir doğal sayının çarpanlarından biri 6 dır. 6 olduğundan, bu sayının çarpanlarından en az biri, bir diğeri olur. Öyle ise bu sayı hem hem de ile bölünebilir. Diğer taraftan, ile bölünebilen bir sayının en az bir çarpanı ; ile bölünebilen bir sayının en az bir çarpanı tür. Bu çarpanlardan birer tanesi 6 yapacağından, bu sayı 6 ile bölünebilir. O halde; Bir sayının 6 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem hem de ile ayrı ayrı bölünebilmesi gerekir. Aynı biçimde düşünerek şu genellemeyi yapabiliriz : Aralarında asal olan iki sayıya bölünebilen bir doğal sayı, bunların çarpımına da bölünebilir. Bu sonucu daha da genelleştirebiliriz : İki veya daha fazla doğal sayıya bölünebilen bir doğal sayı, bu sayıların e.k.o.k. u ile de bölünebilir. 4 ile Bölünebilme Kuralı Bir doğal sayının son iki basamağı 00 veya 4 ün katı olan bir sayı ise, bu sayı 4 ile bölünebilir. Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının 4 ile bölümündeki kalan, bu sayının da 4 ile bölümündeki kalan olur. Örneğin; 00; 48; 70 sayıları 4 ile bölünebilir. 67 sayısının 4 ile bölümündeki kalan olur. (67 64 ) ile Bölünebilme Kuralı Bir doğal sayının son iki basamağı 00 veya in katı olan bir sayı ise bu sayı ile bölünebilir. Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının ile bölümündeki kalan, bu sayının ile bölümündeki kalan olur. Örnek sayısı,, 4,, 6,, 0,,, 8 sayılarından hangileri ile bölünebilir? Sayının birler basamağı sıfırdır;, ve 0 ile bölünebilir. Sayının rakamlarının toplamı, tür. sayısı ün katıdır; un katı değildir. Buna göre, sayı ile bölünebilir; ile bölünemez. 6 olduğundan sayının ile bölümündeki kalan 6 dır. 0

10 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Verilen sayının son iki basamağını oluşturan sayı, 60 4 olup bu sayı 4 ile bölünebilir. Verilen sayı; ve ile bölünebildiğinden 6 ile; ve 4 ile bölünebildiğinden ile; ve ile bölünebildiğinden ile bölünebilir. 8 olup verilen sayı ile bölünemediği için 8 ile de bölünemez. Örnek.8 4a8b sayısının ile bölünebilmesi için a ve b yerine hangi rakamlar gelmelidir? Bir sayının ile bölünebilmesi için, bu sayının hem hem de ile bölünebilmesi gerekir. Sayının ile bölünebilmesi için b yerine 0 veya gelmelidir. Sayının ile de bölünebilmesi için; b 0 iken a yerine, 4, 7 ; b iken a yerine,, 8 konulmalıdır. Örnek. Örnek.6 a78b sayısının 0 ile bölünebilmesi için a ve b yerine hangi rakamlar gelmelidir? 87 sayısının a. 4 ile b. ile bölümündeki kalan kaçtır? b 0 olmalıdır. a yerine istenilen her rakam konulabilir. Örnek.7 a. 7 nin 4 ile bölümündeki kalan olduğundan, 87 nin 4 ile bölümündeki kalan da dir. b. Yandaki işleme göre, kalan dir a6b sayısının 6 ile bölünebilmesi için a ve b yerine hangi rakamlar gelmelidir? Verilen sayı ve ile bölünebilmelidir. Sayının ile bölünebilmesi için b yerine 0,, 4, 6, 8 rakamlarından biri gelmelidir. Sayının ile de bölünmesi için, rakamlarının toplamının ün katı olması gerekir. Buna göre; b 0 iken a yerine,, 8 ; b iken a yerine 0,, 6, ; b 4 iken a yerine, 4, 7 ; b 6 iken a yerine,, 8 ; b 8 iken a yerine 0,, 6, ; gelmelidir. Örnek.0 ab dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayının; a. 6 ile; b. 0 ile; c. ile; d. 8 ile; e. 4 ile bölünebilmesi için a ve b yerine hangi sayılar konulmalıdır? a. Sayının 6 ile bölünebilmesi için hem ile hem de ile bölünebilmesi gerekir. ile bölünebilmesi için b çift; ile bölünebilmesi için rakamlarının toplamı ün katı olmalıdır. Buna göre; b yerine 0 konulursa, a 0 toplamının ün katı olması gerekeceğinden a yerine,, 8; b yerine konulursa, a yerine 0,, 6, konulmalıdır. b yerine 4, 6, 8 konulduğunda a yerine hangi sayıların geleceğini siz bulunuz. 0

11 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma b. b yerine sıfır konulmalıdır. a yerine her rakam konulabilir. c. Sayının ile bölünebilmesi için, hem 4 hem de ile bölünebilmesi gerekir. (Neden 6 ve ile değil?) Sayının 4 ile bölünebilmesi için, son iki basamağının oluşturacağı sayı 4 ün katı olmalıdır. Buna göre, b yerine 0, 4, 8 sayıları konulmalıdır. b 0 iken a yerine,, 8 ; b 4 iken a yerine, 4, 7 ; b 8 iken a yerine 0,, 6, gelmelidir. d. Sayının 8 ile bölünebilmesi için, hem hem de ile (8 in, aralarında asal olan çarpanları) bölünebilmesi gerekir. ile bölünebilmesi için b çift; ile bölünebilmesi için, rakamlarının toplamı un katı olmalıdır. Buna göre; b 0 iken, a 0 toplamının un katı olması gerektiğinden a yerine ; b iken a yerine 0 veya konulmalıdır. b yerine 4, 6, 8 konulduğunda a yerine gelmesi gereken sayıları siz bulunuz. e. Sayının 4 ile bölünebilmesi için, hem hem de ile (4 in, aralarında asal olan çarpanları) bölünebilmesi gerekir. Sayının ile bölünebilmesi için b yerine sıfır veya konulmalıdır. b 0 iken a yerine ; b iken a yerine 6 gelmelidir. Örnek. 4, 0 ve 0 sayılarının ortak bölenlerinin kümesini yazınız. İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin kümesi, bunların e.b.o.b.unun bölenlerinin kümesine eşittir. O halde, önce (4, 0, 0) ebob değerini bulalım : olup (4, 0, ) ebob bulunur. in bölenlerinin kümesi, {,,, } olup bu aynı zamanda sayıların ortak bölenlerinin kümesidir. Örnek. A, B 7 olduğuna göre, A ile B nin 0 dan büyük olan en küçük ortak böleni kaçtır? (A, B) ebob değerinin bölenlerinin kümesinden, 0 dan büyük olan en küçüğünü seçeceğiz. (A, B) ebob 4 olup bunun bölenlerinin kümesi, {,,,,, 4} tir. Buna göre, 0 dan büyük olan en küçük ortak bölen olur. Örnek. 00 den küçük olan sayma sayıları içinde, 7 ile bölünebilen kaç sayı vardır? 7 nin 00 den küçük olan en büyük katı 7.7 dir. Buna göre, 00 den küçük olan ve 7 ile bölünebilen sayma sayılarının kümesi, olup 7, 7, 7,..., 7 7 olur. Bu kümenin 7 elemanlı olduğunu görüyorsunuz. O halde, 00 den küçük olan ve 7 ile bölünebilen sayma sayıları 7 tanedir. 04

12 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Buradan şu genelleme yapılabilir : Verilen bir n sayma sayısından küçük olan ve verilen bir a sayısına bölünebilen sayıların adedini bulmak için n sayısı a ya bölünür. Örnek.4 a. 00 den küçük olan sayma sayılarından kaçı ile bölünebilir? b. 00 e kadar olan (00 dahil) sayma sayılarından kaçı ile bölünebilir? c. 00 ile 00 arasında ile bölünebilen kaç sayma sayısı vardır? a. Yandaki bölme işleminde kalan sıfır olduğundan, bölüm olarak bulunan 0 sayıdan biri 00 dür. Bizim aradığımız sayılar 00 den küçük olduğundan, istenen sayı adedi, 0 dur. b. Yandaki bölme işleminde kalan sıfır olduğundan, bölüm olarak bulunan sayıdan biri 00 dür. İstenen sayı adedi olur. c. 00 ile 00 arasındaki sayılar içinde, sınır sayıları olan 00 ve 00 yoktur. Buna göre 00 den küçük olan ve ile bölünebilen sayı adedinden, 00 e kadar olan ve ile bölünebilen sayı adedini çıkarırsak, 00 ile 00 arasında bulunan ve ile bölünebilen sayı adedini bulmuş oluruz. İstenen sayı adedi, 7 dir ve 8 ile bölünebilen bir sayı bunların e.k.o.k.u ile de bölünebilir. (,8) ekok 0 8 olup A sayısı 0 ın katlarından herhangi biri olabilir. Buna göre A sayısı en az 0 dır. 0 ın bölenlerinin kümesi, {,,,, 6,, 0,, 8, 0, 4, 0} olup A sayısının bölenlerinin kümesi en az elemanlıdır. Örnek.6 7 ve sayıları bir a sayısına bölündüğünde sırasıyla ve 4 kalanlarını veriyor. Buna göre, iki basamaklı en küçük a sayısı kaçtır? A sayısı, 7 7 ve 4 08 sayılarının bir ortak bölenidir. Ortak bölenler e.b.o.b.un bölenleri olduğuna göre, önce (7, 08) ebob değerini bulalım a dir. (7, 08) ebob 6 olur. 6 nın iki basamaklı en küçük böleni olup Örnek. ve 8 ile bölünebilen bir A sayma sayısının bölenlerinin kümesi, en az kaç elemanlıdır? Örnek.7 ve ile bölünebilen basamaklı en büyük sayı kaçtır? 0

13 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma ve ile bölünebilen sayılar, bunların belirli ortak katları ile de bölünebilir. Bütün ortak katlar e.k.o.k.un katları olduğundan, bu sayıların e.k.o.k. unu bulalım : ve olduğundan (, ) ekok 4 tir. 4 ile bölünebilen üç basamaklı en büyük doğal sayı aranan sayıdır. Bu sayıyı bulmak için, en küçük dört basamaklı sayı olan 000 i 4 ile bölelim : Yandaki işlemden, 4 ile bölünebilen üç basamaklı en büyük doğal sayının 4 0 olduğu görülür. Örnek sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan sayı, 4,, 6, ile kalansız bölünebilsin? (84-FL), 4,, 6, sayıları ile bölünebilen sayılar, bunların belirli ortak katları ile de bölünebilir. Önce bu sayıların e.k.o.k.unu bulalım : ; 4 ; ; 6 ; olup (, 4,, 6, ) ekok 80 dir. 80 in katı ve 687 den küçük olan en büyük doğal sayıyı bulalım : Bu sayı =660 olup 687 nin 7 eksiğidir. O halde, 687 sayısından 7 çıkarılırsa, kalan sayı, 4,, 6, ile kalansız bölünebilir Bu sayıların ortak bölenleri, bunların e.b.o.b.unun bölenleridir. Önce, 4 ile 78 in e.b.o.b.unu bulalım : (4, 78) ebob (4, 78) ebob 4 olup 4 ün böleni olan iki basamaklı en küçük sayı 8 dir. Örnek.40 A 67ab sayısı, dört basamaklı bir doğal sayıdır. ve 8 ile bölünebilen, kaç değişik A sayısı yazılabilir. (; 8) ekok 6 olduğundan, ve 8 ile bölünebilen sayılar, 6 ile bölünebilirler. 67ab sayıları 6700 ile 6800 arasındaki sayılardır. (6700 dahil). O hâlde, 6700 ile 6800 arasında 6 ile bölünebilen kaç sayı bulunduğunu araştıracağız Verilen koşula uyan, sayı yazılabilir Örnek.8 4 ve 78 sayılarını bölen iki basamaklı en küçük doğal sayıyı bulunuz. Örnek sayısının 6 ile bölümündeki kalan kaçtır? 06

14 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Sayının birler basamağındaki 6 nın yerine k koyarak, 0047k sayısının 6 ile bölünebilmesi için k nın kaç olması gerektiğini bulalım: 4 7 k 7 k toplamı ün katı olmalıdır. Buna göre k yerine, 4, 7 konulabilir. k nın çift olması da gerekeceğinden k 4 olmalıdır sayısı 6 ile bölünebildiğine göre, bunun fazlası olan sayısının 6 ile bölümündeki kalan olur. 7. Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun rakamlar koyarak, ile bölünebilen dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı elde edebilirsiniz? a. 67a4b b. a7b c. 8ab 8. Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun rakamlar koyarak, ile bölünebilen dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı elde edebilirsiniz? a. 6a8b b. ab c. a7b. Aşağıdaki sayıların e.b.o.b.larını bulunuz. a., 4 b., 8, 0 c. 8, 6, 84 d. 6, 4. Aşağıdaki sayıların e.k.o.k. larını bulunuz. a.,, 8 b. 7, 0 c., 7,, 4 d. 84,. Aşağıda çarpım biçiminde verilmiş sayıların e.b.o.b. ve e.k.o.k. larını yine çarpım biçiminde yazınız. a. x ; y 7 Alıştırmalar. b. x ; y 4. Aşağıdaki sayılardan hangileri aralarında asaldır? a. ; 4 b. ; c. 6 ; 6 d. ; 4 e. 4 ; f. 4 ; 64. Aşağıdaki sayıların 4, 6, 0,,, 8 ile bölünüp bölünemediğini belirtiniz. a b c a sayısının 6 ile bölünebilmesi için a yerine kaç gelmelidir?. Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun rakamlar koyarak, 8 ile bölünebilen dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı elde edebilirsiniz? a. a8b b. 6ab c. 8ab 0. Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun rakamlar koyarak, 4 ile bölünebilen dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı elde edebilirsiniz? a. 6a8b b. 7ab c. 8a4b. Aşağıdaki sayılar ile bölünebilen en küçük doğal sayıları bulunuz. a.,, 7, b., 8, c. 7, 08 d., 40, 6. Aşağıdaki sayıların ortak bölenlerinin kümelerini bulunuz. a. 08, 44 b., 40, sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan sayı, 8, ile bölünebilsin? ile 00 arasında hem 6 hem de 8 ile bölünebilen kaç doğal sayı vardır?. 700 sayısına kaç eklenmeli ki elde edilen sayı, 6, 4 ile bölünebilsin? 6. 4 ve 6 sayılarının e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımı kaçtır? 07

15 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma. Problemler Bu kısımda e.b.o.b. ve e.k.o.k. kavramları yardımı ile çözülebilen problemlere örnekler vereceğiz. Örnek.4 Uzunlukları 6 m, 4 m ve 0 m olan üç top kumaş, birbirine eşit en büyük parçalara ayrılacaktır. Elde kaç parça kumaş olur? Her parçanın uzunluğu, 6, 4 ve 0 sayılarını bölen en büyük sayı kadar olmalıdır. 6 8 Buna göre, (6,4,0) ebob 8 Bir parçanın boyu 8 m olmalıdır. I. toptan, 6 : 8 parça; II. toptan, 4 : 8 parça; III. toptan, 0 : 8 parça olmak üzere, 0 parça kumaş elde edilir. Örnek.4 Boyu 6 m ve eni 7 m olan dikdörtgen biçimindeki arsa, birbirine eşit ve kare biçiminde en büyük parsellere ayrılacaktır. Kaç arsa elde edilir? Arsanın eni ve boyu, bir parselin bir kenar uzunluğunun katı olacaktır. Ayrıca, karenin en büyük olması da istendiğine göre; karenin bir kenarının uzunluğu, arsanın eninin ve boyunun en büyük ortak böleni olmalıdır Buna göre, arsanın uzunluğu boyunca 6 : 4 4 parsel; arsanın genişliği boyunca da (7,6) ebob 4 Karenin bir kenarı 4 m olmalıdır. 7 : 4 sıra parsel bulunacağından 4 parsel elde edilir. Örnek.44 Bir sınıftaki öğrenciler 4 er 4 er, 6 şar 6 şar ve ar ar sayıldığında hep öğrenci artıyor. Buna göre sınıfta en az kaç öğrenci vardır? Sınıftaki öğrenci sayısı 4 ün, 6 nın, ve un ortak katlarından fazla olacaktır. En az öğrenci sayısı sorulduğuna göre, bu sayı 4, 6, sayılarının e.k.o.k. unun fazlası olmalıdır. 4 6 (4,6,) ekok 6 Sınıftaki öğrenci sayısı en az 6 8 dir. Örnek.4 ile bölündüğünde, ile bölündüğünde, 8 ile bölündüğünde kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır? 08

16 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Kalanların bölenlerden eksik olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, aranan sayının fazlası, ve 8 ile tam olarak bölünür. O halde;,, 8 in e.k.o.k.unun eksiği aranan sayıdır.,, 8 olup (,, 8) ekok 80 dir. Öyleyse, aranan sayı dir. Örnek.46 Bir sepetteki elmalar üçer üçer, dörder dörder, beşer beşer sayıldığında her seferinde elma artıyor. Sepette 00 den fazla elma bulunduğu bilindiğine göre, en az kaç elma vardır? Sepetteki elmaların sayısı ün, 4 ün, in bir ortak katından fazladır. Bütün ortak katlar e.k.o.k.un katları olduğundan, önce bu sayıların e.k.o.k.unu bulalım : (, 4, ) ekok 4 60 tır. Elmaların sayısı 00 den fazla olduğuna göre, 60 ın 00 den büyük olan en küçük katını alırız. Bu da, 60 0 dir. O halde, sepetteki elmaların sayısı en az, 0 dir.. 8, 0, ile bölündüğünde sırasıyla, 7, kalanlarını veren üç basamaklı, a. en küçük doğal sayı kaçtır? b. en büyük doğal sayı kaçtır? 4. 6, ve ile bölündüğünde kalanını veren, a. en küçük doğal sayı kaçtır? b. üç basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır? c. üç basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?. 4 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan sayı 4, 6 ve ile bölünebilsin? sayısına en az kaç eklenmeli ki, elde edilen sayı, ve 8 ile bölünebilsin? 7. Kenarları 480 m ve 840 m olan dikdörtgen şeklindeki arsa, en büyük boyutlu kare şeklinde parsellere ayrılacaktır. a. Arsaların her birinin bir kenarı kaç m olur? b. Kaç arsa elde edilir? 8. Kenarları m ve 6 m olan dikdörtgen şeklindeki bahçenin kenarlarına, köşelere de birer tane gelecek biçimde en büyük aralıklarla ağaçlar dikilecektir. a. İki ağaç arası kaç m olur? b. Kaç ağaç dikilir? Alıştırmalar.4. 0, 6 ve 40 ile bölünebilen üç basamaklı, a. en küçük doğal sayı kaçtır? b. en büyük doğal sayı kaçtır?. 4 ve 40 sayılarının iki basamaklı, a. en küçük ortak böleni kaçtır? b. en büyük ortak böleni kaçtır?. Kenarları 8 cm ve 0 cm olan fayanslarla oluşturulacak kare şeklindeki döşemenin bir kenarı en az kaç cm olur? Bu döşemeyi yapmak için kaç fayans gerekir? 0. 6 karanfil ile 08 gülden, bir demette eşit sayıda en çok çiçek olacak biçimde ayrı ayrı demetler yapılacaktır. a. Bir demette kaç çiçek olur? b. Karanfiller kaç demet olur? 0

17 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Test.. a4b sayısı ile bölünebilmektedir. Buna göre a b toplamı en çok kaç olabilir? 7. 4ab sayısı ile bölündüğünde kalanını veriyor. Bu sayı ve ile bölünebildiğine göre, a nın alabileceği en büyük değer nedir? A) 6 B) 7 C) 8 D) A) B) 6 C) 7 D) 8. 4a dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 6 ile bölündüğü bilindiğine göre, a yerine gelebilecek sayıların toplamı kaçtır? 8. ve ile ayrı ayrı bölündüğünde kalanını veren bir tek sayı a4b ise a nın alabileceği değerlerin toplamı nedir? A) 8 B) C) D) 0 A) B) C) D) 4. ab dört basamaklı sayısı 0 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyor. Bu sayı ile bölünebildiğine göre a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 0 B) C) 4 D). Beş basamaklı 4ab sayısının ile bölümünden kalan ve ile bölümünden kalan tür. Buna göre iki basamaklı en büyük ab sayısı kaçtır? A) 6 B) C) 88 D) 7 4. ab sayısı ile bölünebilmektedir. a b olduğuna göre, a nın alabileceği değerler kaç tanedir? A) B) 4 C) D) 6 0. Bir sayının 0 ile bölümündeki kalan 4 tür. Bu sayının 4 katının ile bölümündeki kalan kaç olur? A) B) C) D) 4. a4b dört basamaklı sayısı in katıdır. Bu sayı ile bölünebildiğine göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı nedir? A) 7 B) 8 C) D) 0. ab ve a4b üçer basamaklı iki sayıdır. ab sayısının ile bölümündeki kalan ise a4b sayısının ile bölümündeki kalan nedir? A) 0 B) C) D) 6. Dört basamaklı ab doğal sayısı ve0 ile tam bölünebiliyor. Bu koşula uyan sayıların en büyüğü ile en küçüğünün farkı kaçtır? A) 0 B) 40 C) 40 D) 600. A 4 ve B 8 olduğuna göre A ve B sayılarının e.b.o.b. u nedir? A) B) 0 C) 0 D) 00 0

18 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma. sayısı bir a sayma sayısına bölündüğünde kalan olmaktadır. Buna göre, kaç değişik a sayısı vardır? A) B) C) 4 D) 0. Aralarında asal olan iki sayının çarpımı 48 ise, bu iki sayının e.k.o.k. ve e.b.o.b.larının toplamı kaçtır? A) 0 B) 7 C) 7 D) ile bölünebilen dört basamaklı 8ab sayıları yazılacaktır. Böyle kaç değişik sayı yazılabilir?. E.k.o.k. u 60 olan birbirinden farklı üç sayının toplamı en çok kaç olabilir? A) B) 0 C) 0 D) 0 A) B) C) D) 4. ab sayısı ve 7 ile bölünebilmektedir. Buna göre a nın en büyük değeri kaçtır? A) B) 6 C) 8 D). Umut, bilyelerini üçer üçer saydığında, dörder dörder saydığında, beşer beşer saydığında tane artıyor. Bilye sayısı 00 den fazla olduğuna göre Umut un en az kaç bilyesi vardır? A) 6 B) 8 C) 0 D) 6. 6, ve 0 ile bölünebilen basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? A) B) 4 C) D) 6. Boyutları cm, 4 cm ve 6 cm olan prizmalardan en az kaç tanesi ile bir küp yapılabilir? A) 4 B) 8 C) D) 6 7. ve 8 ile bölünebilen bir sayı aşağıdakilerden hangisi ile bölünemeyebilir? A) 4 B) 4 C) D) ve 8 ile ayrı ayrı bölündüğünde kalanını veren en küçük sayma sayısının onlar basamağı nedir? 4. 6 kg, 48 kg ve 4 kg lık çuvallarda sırasıyla bulgur, pirinç ve fasulye bulunmaktadır. Bunlardan, hiç artmayacak şekilde eşit ağırlıkta paketler yapılacaktır. Toplam en az kaç paket olur? A) 0 B) C) D) A) 4 B) C) 6 D) 7. 6 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan sayı, 6, 8 ile tam olarak bölünebilsin? A) B) 7 C) D). Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin eni 4 m boyu 40 m dir. Bu bahçenin kenarlarına, köşelere de birer tane gelecek biçimde, eşit aralıklarla fidanlar dikilecektir. En az kaç fidan gerekir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0

19 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Test. in çözümleri. a4b sayısı ile bölünebildiğine göre, b {0,, 4, 6, 8} olmalıdır. a sayısı, rakam olarak her değeri alabilir. a b nin en büyük olması istendiğine göre a ve b 8 olarak seçilmelidir. O halde a b nin en büyük değeri 8 7 olur.. Verilenlere göre, 4a sayısında Yanıt C dir. a {0,, 4, 6, 8} dir. Ayrıca, 4 a toplamı ün katı olacağından a {, 4, 7} olmalıdır. Buna göre, a {0,, 4, 6, 8} {, 4, 7} olup a 4 bulunur. Yanıt D dir.. Verilenlere göre, b 4 tür. a 4 toplamı ün katı olacağından a {, 4, 7} olur. 4 7 bulunur. Yanıt B dir. 4. ab sayısı ile bölünebildiğine göre, a b toplamı un katı olmalıdır. Buna göre a b veya a b 0 olabilir. a b iken, a b koşuluna göre a 0 ve b olur. a b 0 iken, a b koşuluna göre, a {,,, 4, } olmalıdır. Buna göre, a rakamı 6 farklı değer alabilir. Yanıt D dir.. a4b sayısı in katı olduğundan, b 0 veya b tir. b 0 iken, a 4 0 toplamı un katı olacağından a ; b iken, a 4 toplamı un katı olacağından a 6 olur. Bu a değerlerinin toplamı, 6 8 olarak bulunur. Yanıt B dir. 6. Verilenlere göre, b 0 dır. a 0 toplamı ün katı olacağından a {, 4, 7} olmalıdır. Buna göre ab sayılarının en büyüğü 70, en küçüğü 0 ve bunların farkı olur. Yanıt D dir. 7. 4ab sayısının ile bölümündeki kalan olduğuna göre, b veya b 8 olabilir. Sayı ile bölünebildiğine göre b 8 dir. 4 a 8 toplamı ün katı olacağın- dan a {, 4, 7} olmalıdır. O halde, a nın en büyük değeri 7 dir. Yanıt B dir. 8. a4b sayısı, ile bölündüğünde kalanını veren tek sayı olduğuna göre b dir. a 4 toplamı ün katlarından fazla olacağına göre, a {0,, 6, } olmalıdır. O halde, a nın alabileceği değerlerin toplamı dir. Yanıt A dır.. 4ab sayısının ile bölümündeki kalan ise b veya b 8 olabilir. b iken, 4 a toplamı ün katlarından fazla olacağından, a {, 4, 7} olmalıdır. Bu durumda, en büyük ab sayısı 7 olur. b 8 iken, 4 a 8 toplamı ün katlarından fazla olacağından, a {,, 8} olmalıdır. Bu durumda da en büyük ab sayısı 88 olur. Öyleyse, 88 sorunun doğru cevabıdır. Yanıt C dir ile bölümündeki kalanı 4 olan sayının birler basamağı 4 tür. Bu sayının 4 katının birler basamağı 6 olacağından, bunun ile bölümündeki kalan olur. Yanıt A dır.. ab sayısının ile bölümündeki kalan olduğuna göre, bunun fazlası olan ab4 sayısı ile bölünebilir. ab4 sayısı ile a4b sayısının rakamlarının toplamı aynı olduğuna göre a4b sayısı da ile bölünebilir. Kalan sıfırdır. Yanıt A dır.. (A, B) A 4 ; B 8 olup ebob 00 dür. Yanıt D dir.. a sayısı, 0 sayısının ten büyük bölenlerinden biri olabilir. Buna göre, a {0,, 0, 6, } olup değişik a sayısı vardır. Yanıt D dir.

20 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma 4. 8ab sayıları, 800 ile 00 arasında bulunan ve 60 ile bölünebilen sayılardır. 00 den küçük olan ve 60 ile bölünebilen sayma sayılarının adedi 48 ; 800 den küçük olan ve 60 ile bölünebilen sayma sayılarının adedi 46 olup, 8ab sayıları tane olur. Yanıt B dir.. ab sayıları ve 7 nin 00 ile 400 arasındaki katlarıdır. (, 7) ekok tir. Yandaki işleme göre, 0 0, olduğundan, 0 a {,, 8} olup a nın en büyük değeri 8 dir. Yanıt C dir., 4, 0 sayıları bu sayının birer böleni olup 4 sayısı bunun bir böleni olmayabilir. (k çarpanının değerine göre olabilir de; ama kesin değil.) Yanıt A dır. 8. İstenen sayı 8 ve 8 in e.k.o.k.unun fazlasıdır. 8 (8,8) ekok İstenen sayı, 64 olup onlar basamağı 6 dır. Yanıt C dir.., 6, 8 sayılarının 6 ye en yakın olan ortak katını bulmalıyız. 6 (,6,8) 8 ekok 0 olur sayısı, 6 ve 8 ile bölünebileceğine göre, 6 sayısından çıkarmalıyız. Yanıt A dır. 6. 6,, 0 ile bölünebilen sayılar bunların e.k.o.k.u ile de bölünebilir. 6 (6,,0) 0 60 ın basamaklı katları, ekok 00 ile 000 arasındaki 60 ile bölünebilen sayılardır. Bunlar da 6 tanedir. 60 tır. 40 Yanıt C dir. 7. ve 8 ile bölünebilen bir sayı, ile 8 in bir ortak katıdır. (,8) ekok olduğundan bu sayı, k gibi bir sayıdır. 0. Aralarında asal olan iki sayının e.k.o.k.u bunların çarpımı; e.b.o.b.u ise dir. Bu iki sayı a ve b ise (a, b) ekok (a, b) ebob 48 4 olur. Yanıt D dir.. a, b, c gibi üç sayının e.k.o.k.u 60 ise, a, b, c sayıları 60 ın birer böleni olacaktır. a, b, c nin en büyük olması istendiğine göre, bu sayıları 60 ın en büyük üç böleni olarak seçmeliyiz. Bunlar da 60, 0, 0 olup toplamları olur. Yanıt C dir.. Umut un bilyesi daha olsaydı; üçer üçer, dörder dörder, beşer beşer saydığında hiç bilyesi artmayacaktı. Bu durumda, bilye sayısı, 4 ve in bir ortak katı olurdu. (, 4, ) ekok 4 60 dır.

21 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Bilye sayısı 00 den fazla olduğuna göre, 60 ın 00 den büyük olan en küçük katını almalıyız. Demek ki, bilyesi daha olsaydı, Umut un en az 60 0 bilyesi olacaktı. O halde, Umut un en az 0 8 bilyesi vardır. Yanıt B dir.. Küpün ayrıtları ün, 4 ün ve 6 nın birer katı olmalıdır. Bu ayrıtlar birbirine eşit olacağına göre küpün bir ayrıtı, 4, 6 nın e.k.o.k.u olmalıdır. Buna göre küpün bir ayrıtı, (, 4, 6) ebob cm dir. Ayrıtlar boyunca 4, ve 4 6 prizma bulunacağından, en az 4 4 prizma ile bir küp yapılabilir. Yanıt A dır. 4. Paket sayısının en az olması istendiğine göre bir paketin ağırlığı mümkün olduğu kadar fazla olmalıdır. Çuvallarda artık kalmayacağına ve paketlerin ağırlıkları da eşit olacağına göre, bir paketin ağırlığı 6, 48, 4 sayılarının e.b.o.b.u kadar olmalıdır (6,48,4) ebob 6 kg olup paket olur Yanıt D dir.. Art arda gelen iki fidan arası 4 ve 40 ın e.b.o.b. u kadar olmalıdır. 4 (4,40) 40 Bahçenin çevresi (40 4) 8 m ebob 8 8 olduğundan 6 fidan gerekir prizma 4 4 prizma 40 prizma Yanıt B dir. Test toplamının ile bölümündeki kalan nedir? A) B) C) D) 4. Aşağıdaki sayı çiftlerinden kaçı aralarında asaldır? I. ; 7 III. 8 ; 7 II. ; 4 IV. 6 ; 6 A) B) 4 C) D). 00 e kadar olan sayma sayılarından kaç tanesi 7 ile bölünebilir? A) B) C) 4 D) 4. a4 beş basamaklı sayısı ile bölündüğünde kalanını veriyorsa a nın alabileceği değerlerin toplamı nedir? A) B) C) D) 8. 4abc sayısında a < b < c olup bu sayının ile bölümündeki kalan dir. Bu sayı ile bölünebildiğine göre a nın en büyük değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 6. ab sayısı ile bölünebilmektedir. Buna göre, a b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 0 B) C) 6 D) a sayısının ve ile bölünebilmesi için, a kaç olmalıdır? A) 0 B) C) 6 D) 8. 6a8b beş basamaklı sayısı ve 6 ile bölünebildiğine göre a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) B) C) D) 6 4

22 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma. abc sayısının 0 ile bölümündeki kalan 8 dir. Bu sayı ile bölünebildiğine göre a b toplamı en çok kaç olabilir? A) B) 6 C) 7 D) 8 0. ab sayısı ile bölünebildiğine göre a sayısı en çok kaç olabilir? A) 6 B) 7 C) D) 8. a4 sayısının ile bölümündeki kalanın en büyük olması için a kaç olmalıdır? A) B) 6 C) 7 D) den küçük sayma sayılarından kaç tanesi hem 6 ya hem de a bölünebilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 8. 4 ve ile bölündüğünde kalanını veren en küçük sayma sayısının onlar basamağındaki rakam nedir? A) B) C) 4 D). 8 ve sayıları bir a sayısına bölündüğünde sırasıyla 8 ve 6 kalanlarını veriyor. Buna göre ün a sayısına bölümü nedir? A) B) C) 4 D). ab6, e kalansız bölünebilen üç basamaklı bir sayıdır. ab sayısının ile bölümündeki kalan kaçtır? A) 0 B) C) D). Bir sayının 7 ile bölümünde bölüm kalan 6 dır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisi ile bölünemez? A) B) C) 7 D) 4. 4a sayısının ile bölümündeki kalan dir. Bu sayının katının 0 ile bölümündeki kalan en çok kaç olabilir? A) 6 B) C) 7 D) 8. A sayısı, a ve b aralarında asal olan den farklı doğal sayılar olmak üzere, a b biçiminde yazılacaktır. a b toplamı en çok kaç olabilir? A) B) 4 C) D) ve 6 ile bölündüğünde 4 kalanını veren en küçük sayma sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır? A) B) C) D) ile 00 arasında, 6 ve ile bölünebilen kaç doğal sayı vardır? A) 6 B) C) 8 D) 7. 8 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki, elde edilen sayı,, 4,, 7 ile bölünebilsin? A) B) 8 C) 8 D). E.k.o.k.u 4 olan birbirinden farklı iki sayının toplamı en çok kaç olabilir? A) 7 B) 8 C) 84 D). Can bilyelerini dörder dörder, beşer beşer ve altışar altışar sayınca hep iki bilyesi artıyor. Can ın en az kaç bilyesi vardır? A) 4 B) 60 C) 8 D) 6 4. Aralarında asal olan iki doğal sayının e.k.o.k. u 60 tır. Bu sayıların toplamı en az kaç olabilir? A) B) C) 7 D) 6. Bir odanın döşenmesinde, boyutları 4 cm ve 8 cm olan dikdörtgen biçimindeki parkelerle, kare desenler yapılmak isteniyor. En az kaç parke ile bir kare yapılabilir? A) B) 8 C) 4 D) 6

23 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Test.. Aşağıdaki sayılardan hangisi, 4, ve ile bölünebilir? A) 60 B) 70 C) 780 D) 840. Bir a sayısının 8 ile bölümündeki kalan 6 dır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi 8 ile bölünür? A) a 8 B) a C) a D) a 6. a7b, beş basamaklı bir sayıdır. Bu sayı ve ile tam bölünebildiğine göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı nedir? A) B) C) 7 D) 0 4. ab sayısı ile bölünebildiğine göre a b farkı en çok kaç olabilir? A) 8 B) 7 C) 6 D). 7ab sayısı, ve ile bölünebilmektedir. Buna göre, a yerine kaç değişik sayı konulabilir? A) B) C) 4 D) 6. ab ve ab6 üçer basamaklı iki sayıdır. ab sayısı 7 ile bölünebildiğine göre, ab6 sayısının 7 ile bölümündeki kalan kaçtır? A) B) C) D) 4. abc sayısının ile bölümündeki kalan dir. Buna göre, a b c toplamının en büyük değeri nedir? A) 8 B) C) D) ile bölünebilen rakamları farklı en büyük üç basamaklı sayıyla, ile bölünebilen en küçük üç basamaklı sayı arasındaki fark kaçtır? A) 8 B) 88 C) 88 D) sayısının kaç tane asal sayı böleni vardır? A) B) C) D) 4. 4 ve 7 sayılarının kaç tane ortak doğal sayı böleni vardır? A) 6 B) 4 C) 8 D). 8 ve 70 sayılarını hangi doğal sayı ile bölersek, bölümler aralarında asal olur? A) B) C) 8 D) 7 4. Aşağıdakilerden hangisi 7, 08 ve 44 sayılarının üçünü birden bölemez? A) 8 B) C) D)8. 6 ve 4 sayılarına bölünen en küçük sayma sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 80 C) 60 D) a4b sayısının 0 ile bölümündeki kalan 7 dir. Bu sayı ile bölünebildiğine göre a kaçtır? A) B) 4 C) D) 6 8. a6b sayısının ile bölümündeki kalan tür. Bu sayı ve ile bölünebildiğine göre a sayısı en çok kaç olabilir? A) B) 7 C) 8 D) 6. Üç basamaklı bir doğal sayı 8 ve ile bölünebilmektedir. Bu koşula uyan en büyük sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır? A) B) 4 C) D) ve 6 ile bölünebilen iki basamaklı sayılar kaç tanedir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 6

24 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma 8. Aralarında asal olan den farklı iki sayının e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun toplamı 64 tür. Bu sayıların toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D). sayısına en az kaç eklenmeli ki elde edilen sayı, 6, 7, ile bölünebilsin? A) 7 B) 7 C) 7 D) , 8 ve ile bölündüğünde, sırasıyla 4, 6 ve 7 kalanını veren basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır? A) 46 B) 44 C) 4 D) 40. İki sayının ortak katlarının en küçüğü 7 dir. Bu iki sayının çarpımı 864 ise, ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 8 B) C) 8 D) 6. İngiliz ve 8 Alman dan oluşan bir turist grubu bir otelde kalacaktır. Farklı uluslardan olanlar farklı odalarda kalacak ve her odadaki kişi sayısı birbirine eşit olacaktır. Buna göre, en az kaç oda gerekir? A) B) 6 C) 0 D). Bir çembersel pisti, üç hareketliden A 4 dakikada, B 6 dakikada, C 8 dakikada dönüyor. Aynı noktadan aynı anda harekete başlayan üç hareketlinin ilk kez aynı noktada buluşmalarına kadar A kaç tur yapar? A) B) 8 C) 7 D) 6 4. Boyutları cm, 4 cm ve 6 cm olan kutularla, bir kenarı 0 cm den büyük olan bir küp yapılacaktır. Buna göre en az kaç prizma gerekir? A) 44 B) 6 C) 84 D). Bir duraktan A, B, C semtlerine 0,, 0 dakikada bir otobüsler kalkmaktadır. Sabah saat 6 da birlikte kalkan bu otobüsler, bundan sonra en erken saat kaçta yine birlikte kalkarlar? A) 0.00 B) 0.0 C).00 D) ile 60 arasındaki asal sayıların kümesi kaç elemanlıdır? A) B) 6 C) 7 D) 8. Üç basamaklı en küçük asal sayının ile bölümündeki kalan kaçtır? A) B) C) D) 4. Aşağıdakilerden hangisi, 4, ile bölünebilir? A) 0 B) 0 C) 0 D) Üç basamaklı a74 sayısı 6 ile bölünebilmektedir. a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) B) C) D). 64ab sayısı ile bölünebilmektedir. Buna göre a b toplamının en büyük değeri kaçtır? Test.4 A) 4 B) C) 6 D) 7 6. Aşağıdakilerden hangisi 6 ve ile bölünemez? A) 6 B) 8 C) 8 D) sayısının 6 ile bölümündeki kalan kaçtır? A) B) 4 C) D) 8. Dört basamaklı 84m sayısının ile bölümündeki kalan tür. Buna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaç olur? A) 6 B) 8 C) D) 7

25 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma. Beş basamaklı 74m0 sayısı ve 4 ile bölünebildiğine göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 0. A) 7 B) 0 C) D) 4 87 çarpımının ile bölümündeki kalan kaçtır? A) B) C) D) 4. Üç basamaklı a4b sayısının 0 ile bölümündeki kalan 6 dır. Bu sayı ile bölünebildiğine göre a kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) ile 400 arasında bulunan ve 0 ile bölünebilen sayılardan kaçı 6 ile de bölünebilir? A) 7 B) 8 C) D) sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) 7 D) 4. Dört basamaklı abcd sayısının ile bölümündeki kalan olup üç basamaklı abc sayısı ile bölünebilmektedir. Buna göre d nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 7 B) 0 C) D). ve 8 ile bölünebilen bir sayı, aşağıdakilerden hangisine bölünemeyebilir? A) 4 B) 0 C) 0 D) ile 400 arasındaki doğal sayılardan kaçı hem hem de ile bölünebilir? A) 8 B) 7 C) D) A ve B ise (A, B) ebob değeri kaçtır? A) 0 B) 60 C) 0 D) 0 8. E.k.o.k. u 4 olan farklı iki doğal sayının toplamı en çok kaç olabilir? A) 0 B) 7 C) 60 D) 4. 8 sayısına en az kaç eklenmeli ki elde edilen sayı,, ile bölünebilsin? A) B) C) 4 D) 7 0., 7 ve ile bölündüğünde kalanını veren üç basamaklı en büyük sayının 4 ile bölümündeki kalan kaçtır? A) B) C) 0 D). E.b.o.b.u 8 olan farklı iki sayının toplamı en az kaç olabilir? A) 4 B) 6 C) 48 D) 4. 4 m, 7 m ve 84 m lik kumaşlar en büyük uzunlukta eşit parçalara ayrılacaktır. Kaç parça kumaş elde edilir? A) B) C) D). Birbirini döndüren iki dişli çarktan birinin 4 diğerinin 64 dişi vardır. Karşılıklı gelen iki dişin yeniden karşılaşmasına kadar, 64 dişli çark en az kaç dönme yapar? A) B) C) 4 D) 6 4. Boyutları 80 m ve 40 m olan dikdörtgen biçimindeki arsa en büyük boyutlu kare biçiminde parsellere ayrılacaktır. Kaç parsel elde edilir? A) 0 B) 4 C) 8 D). Şükran, birbirinden farklı üç ilacını 6 saatte bir, saatte bir, saatte bir almaktadır. Üçünü birlikte aldıktan en az kaç saat sonra yeniden üçünü birlikte alır? A) 8 B) 4 C) 6 D) 48 8

26 . Bölüm Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma Test.. Aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? (-FL) A) İki asal sayının toplamı bir asal sayıdır. B) İki asal sayının çarpımı bir asal sayıdır. C) İki asal sayının toplamı bir çift sayıdır. D) den büyük asal sayılar tek sayıdır.. Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangileri aralarında asaldır? (-DPY) A) ile 6 B) ile 8 C) 6 ile D) 4 ile 48. Aşağıdakilerden hangisi 48, 7 ve 08 sayılarından üçünü birden tam olarak bölemez? (8-OÖK) A) B) 6 C) D) 8 4. Üç ile bölünebilen üç basamaklı doğal sayının rakamlarının toplamı en fazla kaç olur? (-AÖL) A) 7 B) C) 8 D). 86a sayısının ve ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? (-KUR) A) B) 8 C) D) 0 7. ab üç basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 0 ile bölünmesinden kalan tir. Bu sayı ile bölünebildiğine göre, a nın değeri nedir? (6-ML) A) B) C) 6 D) 8 8. Üç basamaklı abc doğal sayısı ve ile tam bölünebildiğine göre a b c toplamı en çok kaç olabilir? (7-EML) A) B) 8 C) D) 4. 4ab beş basamaklı doğal sayısı ile tam olarak bölünebildiğine göre, a yerine yazılabilecek sayıların toplamı kaçtır? (0-EML) A) 4 B) C) 7 D) 4 0. En büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı 8 olan iki sayının toplamı en fazla kaç olur? (4-AÖL) A) B) C) D). kg sıvı yağ hiç artmayacak şekilde 0 g ve 00 g lık şişelere doldurulacaktır. Bunun için en fazla kaç tane şişe kullanılır? (00-DPY) A) B) 6 C) 7 D) 8 6. abc sayısı ile tam bölünebildiğine göre, a b c aşağıdakilerden hangisi olamaz? (-KUR) A) B) C) D). 8 ve ile ayrı ayrı bölündüğünde kalanını veren sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz? (8-DPY) A) 6 B) C) 7 D) 8

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA

4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA 4BÖLÜM ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA TEST 1 1) Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 80 sayısının çarpanıdır? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,18,20,25,30,40,45,80

Detaylı

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden Çarpanlar ve Katlar Konu Testi MATEMATİK 8.Sınıf Test-01 1. I. 1, her sayının bölenidir. II. 2, asal bir çarpandır. III. Her sayı kendisinin bir çarpanıdır. IV. Bir sayının çarpanları, aynı zamanda o sayının

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim.

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim. SINIF ÇARPANLAR ve KATLAR www.tayfunolcum.com 8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı seklinde yazar. Çarpan ( bölen ) Her

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

ÇALIŞMA KAĞIDI Kazanım: Çarpanlar ve Katlar

ÇALIŞMA KAĞIDI Kazanım: Çarpanlar ve Katlar ÇALIŞMA KAĞIDI Kazanım: Çarpanlar ve Katlar 8 basamaklı en büyük asal sayının kaç tane çarpanı vardır? 30 sayısının çarpanlarını yazınız Asal çarpanlarına ayrılış halı 2 3.5 3 olan sayıyı 96 sayısının

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Çözüm : * ebob = = * ekok = = * ve 36 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır?

Çözüm : * ebob = = * ekok = = * ve 36 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır? 1) 24 ve 36 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır? 24 36 2 * ebob = 2.2.3 =12 12 18 2 * ekok = 2.2.2.3.3 = 72 6 9 2 3 9 3 * 1 3 3 1 Ebob ( 24, 36 ) = 12 ( * lı olanların çarpımı) Ekok ( 24, 36 ) = 72 ( Hepsinin

Detaylı

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

Detaylı

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K) MATEMATİK DERS PLÂNI Başlangıç Tarihi :.. Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı Alt Öğrenme Alanı Planlanan Süre : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 4, 36 ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 1 B)16 C) 18 D) 4 E) 7 1) Sayılarınhepsini aynı anda asal çarpanlarına ayıralım; 4 36 48 1 18 4 6 9 1 3 9 6

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

++ :8. SINIF. ÜNİTE Çarpanlar ve Katlar UYGULAMA BÖLÜMÜ. Anla-Uygula

++ :8. SINIF. ÜNİTE Çarpanlar ve Katlar UYGULAMA BÖLÜMÜ. Anla-Uygula ÜNİTE 1 8.1.1 Çarpanlar ve Katlar Anla-Uygula 1 A B ++ :8. SINIF C D UYGULAMA BÖLÜMÜ 8.1.1.2 İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar; ilgili problemleri

Detaylı

sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden. 1. Aşağıdakilerden hangisi 96 sayısının çarpanlarından A) 16 B) 28 C) 32 D) 48

sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden. 1. Aşağıdakilerden hangisi 96 sayısının çarpanlarından A) 16 B) 28 C) 32 D) 48 1. Aşağıdakilerden hangisi 96 sayısının çarpanlarından biri değildir? A) 16 B) 28 C) 32 D) 48 4. 216 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 2 2 3 5 B) 2 2 2 3 C) 2

Detaylı

MATEMATİK. Denemenin çözümlerine "www.zekakupuyayinlari.com.tr / portal" adresinden cevap anahtarlarına tıklayarak ulaşabilirsiniz.

MATEMATİK. Denemenin çözümlerine www.zekakupuyayinlari.com.tr / portal adresinden cevap anahtarlarına tıklayarak ulaşabilirsiniz. MATEMATİK Denemenin çözümlerine "www.zekakupuyayinlari.com.tr / portal" adresinden cevap anahtarlarına tıklayarak ulaşabilirsiniz. 1. DÖNEM DENEME 1 1. 4. 28 ve 35 sayılarının EKOK ve EBOB u kaçtır? EKOK

Detaylı

M a t e m a t i k. 8. Sınıf & Ders Notları

M a t e m a t i k. 8. Sınıf & Ders Notları ÇARPANLAR VE KATLAR Hatırlatma: Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka bir sayıya bölünemeyen, 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Buna göre asal sayılar : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,.. Örnek

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

90 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

90 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır? 90 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır? 2 a.3 b.5 c =750 olduğuna göre a+b-c kaçtır? 25 ve 41 i böldüğünde 1 kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır? 6 ve 8 e bölünebilen iki basamaklı en büyük

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

Çarpan Kavramı ve Asal Çarpanlara Ayırma 5. A B C A) 25 B) 60 C) 75 D) A) 78 B) 138 C) 246 D) 576 MATEMATİK 8

Çarpan Kavramı ve Asal Çarpanlara Ayırma 5. A B C A) 25 B) 60 C) 75 D) A) 78 B) 138 C) 246 D) 576 MATEMATİK 8 8 MTEMTİK Çarpan Kavramı ve sal Çarpanlara yırma Test. 8 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? ). ) 8.7 C). D)..7. C D Yanda verilen bölen listesi yöntemine göre, ) ) 6

Detaylı

TEST. Çarpanlar ve Katlar. 1. Asal çarpanların çarpımı olan sayı kaçtır? sayısının kaç tane birbirinden farklı asal çarpanı vardır?

TEST. Çarpanlar ve Katlar. 1. Asal çarpanların çarpımı olan sayı kaçtır? sayısının kaç tane birbirinden farklı asal çarpanı vardır? Çarpanlar ve Katlar 8. Sınıf Matematik Soru Bankası TEST. Asal çarpanların çarpımı..5 olan sayı kaçtır? A) 40 B) 480 C) 60 D) 70 4. 60 sayısının kaç tane birbirinden farklı asal çarpanı vardır? A) B) C)

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

TEOG HAZIRLIK. Musa BOR

TEOG HAZIRLIK. Musa BOR TEOG HAZIRLIK sınıf. Musa BOR AFG Matbaa Yayıncılık Kağ. İnş. Ltd. Şti. Buca OSB, BEGOS 2. Bölge 3/20 Sk. No: 17 Buca-İZMİR Tel: 0.232.442 01 01-442 03 03 Faks: 442 06 60 Bu kitabın tüm hakları AFG Matbaa

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen

Detaylı

TEOG. Matematik ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI

TEOG. Matematik ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI TEOG ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI Deneme. (Çarpanlar ve Katlar) EKOK (0,60) 0 Bu araçlar ilk defa 0 saniye dakika sonra yan yana gelirler.. (Üslü İfadeler) ^0, h c m c m 0 0. 6 6 0 olduğundan geriye 0 0 00 km yol.

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖRNEK. 8 Sayılar ve İşlemler. 2 x x 2 x 6. 2 x 2 x 2 x 9

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖRNEK. 8 Sayılar ve İşlemler. 2 x x 2 x 6. 2 x 2 x 2 x 9 ÇARPANLAR VE KATLAR POZİTİF TAM SAYILARIN ÇARPANLARI Her pozitif tam sayı, iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki doğal sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bir sayının çarpanı aynı

Detaylı

BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR

BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 435a sayısı 2 ile tam bölünüyor fakat 4 ile tam bölünemiyor ise a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

Kazanım: Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımlarını üslü nicelik olarak yazar. 5) 6.(2+3)-7= işleminin sonucu kaçtır? A) 22 B) 37 C) 8 D) 23

Kazanım: Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımlarını üslü nicelik olarak yazar. 5) 6.(2+3)-7= işleminin sonucu kaçtır? A) 22 B) 37 C) 8 D) 23 Kazanım: Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımlarını üslü nicelik olarak yazar. 1) Aşağıda verilen üslü ifadelerin açılımlarını yazınız? 5) 6.(2+3)-7= işleminin sonucu kaçtır? A) 22 B) 37 C) 8 D)

Detaylı

AKILLI. sınıf. Musa BOR

AKILLI. sınıf. Musa BOR AKILLI sınıf. Musa BOR AFG Matbaa Yayıncılık Kağ. İnş. Ltd. Şti. Buca OSB, BEGOS 2. Bölge 3/20 Sk. No: 17 Buca-İZMİR Tel: 0.232.442 01 01-442 03 03 Faks: 442 06 60 Bu kitabın tüm hakları AFG Matbaa Yay.

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

MATEMATİK SORULARI 1) 66 ile 6 doğal sayıları arasında kaç tane doğal sayı vardır? a) 55 b) 56 c) 59 d) 60 2) sayısında 3 rakamlarının basamak

MATEMATİK SORULARI 1) 66 ile 6 doğal sayıları arasında kaç tane doğal sayı vardır? a) 55 b) 56 c) 59 d) 60 2) sayısında 3 rakamlarının basamak MATEMATİK SORULARI ) 66 ile 6 doğal sayıları arasında kaç tane doğal sayı vardır? a) b) 6 c) 9 d) 60 2) 2 sayısında rakamlarının basamak değerleri toplamı kaçtır? a) 00 b)2 c)000 d)00000 ) 208 sayısının

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 1. A saısının 6 ile bölümünden elde edilen bölüm 9 kalan olduğuna göre, A saısı A) 3 B) C) 7 D) 8 E) 9. x, N olmak üzere, x 6 ukarıdaki bölme işlemine göre x in alabileceği

Detaylı

ORAN-ORANTI TEST 1. 1) Asağıdaki şekillerde mavi bölgelerin kırmızı bölgelere oranını bulunuz. a) b) c)

ORAN-ORANTI TEST 1. 1) Asağıdaki şekillerde mavi bölgelerin kırmızı bölgelere oranını bulunuz. a) b) c) 7BÖLÜM ORAN - ORANTI ORAN-ORANTI TEST 1 1) Asağıdaki şekillerde mavi bölgelerin kırmızı bölgelere oranını bulunuz. a) b) c) ) Aşağıda okunuşları verilen oranları yazınız. a) 16 nın 14 e oranı b) 6 nın

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI 1. a ve b birer pozitif tamsayıdır. 12. a = b³ olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 3. Beş kişinin yaşlarının aritmetik ortalaması 24 tür. Aşağıda

Detaylı

Matematik Yarıyıl Tatili Etkinliği

Matematik Yarıyıl Tatili Etkinliği Matematik Yarıyıl Tatili Etkinliği 1) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlarına D, yanlış olanlarına Y harfi yazınız. (.) İşlem önceliğinde çarpma her zaman bölmeden önce yapılır. (.) Asal sayıların tamamı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI A) B) X C) 2X D) 3X

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI A) B) X C) 2X D) 3X . < a < b < < c 2 sıralamasında birbirini izleyen sayılar arasındaki farklar eşittir. Buna göre, a+c toplamı kaçtır? 3. X=.+3.3+5.5+ +5.5 Y=.3+3.9+5.5+ +5.53 ise Y X farkının X cinsinden değeri kaçtır?

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.

Detaylı

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası SORU 1 525 + 2834 + 379 toplama işlemini alt alta yazarak yapınız. 525 2834 +379 3738 SORU 2 Manavdan kilogramı 4 TL olan armut

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

4.2.1 Sayma Sistemleri

4.2.1 Sayma Sistemleri . Taban Aritmetiği.. Sayma Sistemleri a. 9 Etkinlik. a. gün; kaç yıl, kaç ay, kaç hafta, kaç gündür? ( yıl gün, ay 0 gün sayılacaktır.) b. 7 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir? c. 7 kg fındık

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir.

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir. Bölüm ONDALIK KESİRLER Paydası 0 un tam kuvveti olan veya bu duruma getirilebilen kesirlere ondalık kesirler denir. Örneğin, ondalık kesirdir. 0 ; 00 ; 000,... birer Paydaları 0 un tam kuvveti olmayan

Detaylı

Asal Çarpan, OBEB - OKEK

Asal Çarpan, OBEB - OKEK Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. 15 in doğal sayı çarpanları II. 1 nin tam sayı bölenleri a) 1,, 3, 4, 6, 1 1,, 3, 4, 6, 1 b) 1, 3, 5, 15 III. 140 ın asal çarpanlara ayrılışı c) 140

Detaylı

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin Bu ürünün bütün hakları ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi

Detaylı

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM 2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM TEST 1 1) Güzelyurt ta oturan bir aile piknik için arabayla Karpaz a gidip, geri dönüyor. Bu yolculuk sonunda arabanın km göstergesini kontrol

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 200 20 ÖSS-YGS - - - 2 2 / - 2/ 2/ / LYS OBEB OKEK OBEB: iki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük tamsayıya bu sayıların OBEB i denir Sayılar

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin.

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. BÖLME VE BÖLÜNEBİLME 25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. 25 = 6 x 4 + 1 Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan 12312312 sayısını 123 e bölelim. 123 te 123 bir kere var. Sonra

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 16 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 16 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal II / 6 Kasım 008 Matematik Soruları ve Çözümleri. a 3 < 5 7 eşitsizliğini sağlayan en küçük a doğal sayısı kaçtır? A) 4 B)

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

3) x = 10 3 ise x kaçt r? Çözüm: Toplamadaki ard k terimlerin fark 5 oldu undan, A =

3) x = 10 3 ise x kaçt r? Çözüm: Toplamadaki ard k terimlerin fark 5 oldu undan, A = DO AL SAYILAR, TAMSAYILAR ) 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 say, a dakilerden hangisidir? 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 = 8. 0 7 + 0. 0 6 + 0. 0 + 0. 0 4 + 0. 0 + 0. 0 2 + 4. 0 + 0. 0 0 eklinde yaz labilir. Öyleyse, say 8000040

Detaylı

ISBN Sertifika No: 11748

ISBN Sertifika No: 11748 ISN - 978-0--- Sertifika No: 78 GENEL KOORDİNTÖR: REMZİ ŞHİN KSNKUR REDKTE: REMZİ ŞHİN KSNKUR SERDR DEMİRCİ - SRİ ŞENTÜRK SERVET SVŞ ÇETİN as m Yeri: UMUT MTCILIK - MERTER / STNUL u kitab n tüm bas m ve

Detaylı

TEOG 1 Açık Uçlu Sorular Denemes -1

TEOG 1 Açık Uçlu Sorular Denemes -1 Açık Uçlu Sorular Denemes - 9 9 9 9 fades 'ün kaçıncı kuvvet ne eş tt r? 0 sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı kaçtır? 5 Al kalemler n üçer üçer veya beşer beşer saydığında her sefer nde kalem

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÇARPANLAR VE KATLAR Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÖRNEK 1 48 sayısının çarpanlarını bulalım. 1.Gökkuşağı yöntemi 48 sayısının çarpanlarını küçükten büyüğe sıralayarak eşleştiriniz. 48 çarpanlarını

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

ÇARPANIARVE KATİAR Ş AsalSayılar -} Asal Çarpanlar + En BüyükOrtakBölen t En KüçükOrtakKat ğ Aralarında Asal Sayılar . 4. Üç basamaklı Aşağıdakilerden hangisi asa! sayıdır? 8 82 83 D) 84 2. ı ıı 2 3 4

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur.

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. FAKTÖRİYEL TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı 1.2.3 n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 gibi. Özel olarak; 0! = 1 olarak tanımlanmıştır.

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 16 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 16 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal II / 6 Kasım 008 Matematik Soruları ve Çözümleri. a 3 < 5 7 eşitsizliğini sağlayan en küçük a doğal sayısı kaçtır? A) 4 B)

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF TEST SORULARI 4. + :. 4 7 7 7 =? + : 6 4. x, y, z, a, b, c Z olmak üzere x+a = y+b = z+c= - bağıntısı vardır. x,y,z sayılarının aritmetik ortalaması olduğuna göre, a, b, c sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır? A)

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 3 1 1. x pozitif sayısı için, 2 1 x 12 = 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223 . İlk 2 pozitif doğal sayıdan oluşan {, 2, 3,,...,, 2} kümesi veriliyor. u kümeden 3 eleman çıkartıldığında geriye kalan elemanların sayı değerleri çarpımı tam kare oluyor. una göre, çıkartılan sayıların

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı