Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
|
|
- Nilüfer Saygı
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol taraftaki kelimeler, sağ taraftaki bilim dallarına ait terimlerdir. Başka terimler aracılığı ile tanımlanabilen terimlere tanımlı terim denir. Sadece sezgilerimizle adlandırabildiğimiz terimlere tanımsız terim denir. NOT Tanımlı Terim Tanımsız Terim Kare Nokta Uygulayalım 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız terim olarak doldurunuz. Küp Çember Açıortay Yanlış Küme Orantı 2. Aşağıda verilen ifadelerden önerme olanlar ile önerme olmayanları belirtiniz. a) = 12 b) İyi günler. c) En küçük asal sayı 1 dir. d) Seni çok seviyorum. e) Ankara, Marmara Bölgesi'ndedir. Ünlem Doğru Önerme Üçgen Düzlem Tek sayı Uzay Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r, s gibi harf lerle gösterilir. 3. Aşağıdaki önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri 1 dir? p: Tüm asal sayılar tektir. q: En küçük çift tam sayı 0 dır. r: Türkiye nin başkenti Ankara dır. s: 10 sayısının doğal sayı bölen sayısı 5 tir. Doğruluk Değeri Bir önermenin doğru (D) veya yanlış (Y) olarak ifade edilmesine önermenin doğruluk değeri denir tane farklı önermenin kaç tane farklı doğruluk değeri vardır? Bir önerme doğru (D) ise 1 yanlış (Y) ise 0 ile gösterilir. n tane önermenin doğruluk durum sayısı 2 n dir. 1. tanımlı, tanımlı, tanımlı, tanımsız, tanımlı, tanımlı 2. a) önerme b) önerme değil c) önerme d) önerme degil e) önerme Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24
2 Matematik Ders Föyü 01 Denk Önerme Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önerme denir. p ile q denk önerme ise p q biçiminde gösterilir. Denk olmayan p ve q önermeleri p _ q biçiminde gösterilir. Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye, o önermenin değil i denir. Uygulayalım 1. p : 1 en küçük pozitif tam sayıdır. q : 1 en büyük negatif tam sayıdır. r : 9 bir rakamdır. s : 5! = 720 dir. Yukarıda verilen önermelere göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / q II. p / r III. r / s IV. q / r V. q / s p önermesinin değili p', p ya da ~ p ile gösterilir. p önermesi doğru ise p' önermesi yanlıştır. p önermesi yanlış ise p' önermesi doğrudur. p p ı (p ı ) ı Aşağıdaki tabloda eksik bırakılan yerleri tamamlayınız. p p ı q Köpek, 4 ayaklı bir hayvandır. q ı < 4 r ( 3) 2 = 9 r ı Doğruluk değeri p / (p ı ) ı değili değili değili değili 3. p: 2 en küçük asal sayıdır. q: < 4 r: 0 en küçük doğal sayıdır. önermelerinin doğruluk değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 1 C) 1, 0, 0 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 1 Bileşik Önermeler İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ya da, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir p: 1, p': Köpek 4 ayaklı bir hayvan değildir. p'=0, q = q : 1, q' = 0, r = 1, r'= ( 3) 2! 9, r' = 0 3. A 2 Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24
3 Matematik Ders Föyü 01 Ve, Veya, Ya Da Bağlaçları p ve q iki önerme olsun. p veya q önermesi p 0 q p ve q önermesi p / q p ya da q önermesi p Q q şeklinde ifade edilir. p q p 0 q p / q p Q q Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / p / p II. p / 0 / 0 III. p 0 p' / 1 IV. p / p' / 0 V. p 0 r / r 0 p VI. p / r / r 0 p A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Veya ( ) Bağlacının Özellikleri 2. I. 1 0 (0 0 1) / 1 II. 0 0 (0 0 1) / 0 p 0 p / p p 0 q / q 0 p p 0 (q 0 r) / (p 0 q) 0 r p 0 1 / 1 p 0 0 / p p 0 p' / 1 III. (0 0 1) 0 (1 0 0) 0 (0 0 0) / 1 Yukarıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III Ve ( ) Bağlacının Özellikleri p / p / p p / q / q / p p / (q / r) / (p / q) / r p / 1 / p p / 0 / 0 p / p' / 0 Ya Da (Q) Bağlacının Özellikleri p Q q / q Q p p Q p / 0 p Q (q Q r) / (p Q q) Q r p Q q / p' Q q' p Q p' / 1 3. p : 6! 5! = 25. 4! dir. q: 5 farklı önermenin 10 tane doğruluk değeri vardır. 0 r: = 0 dır. 3 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (p 0 q) 0 r b) (p / q) 0 (q 0 r) c) (p Q q) Q (q / r) 1. D 2. E 3. a) 1, b) 1, c) 1 3 Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24
4 Matematik Ders Föyü 01 De Morgan Kuralı (p / q)' / p' 0 q' (p Q q)' / p' Q q / p Q q' (p 0 q)' / p' / q' Bağlaçların Dağılma Özelliği Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. I. (1 0 0)' / (0 0 1) II. [(0 0 1')' 0 (0 0 0)'] / (1 / 1)' Ve bağlacının Veya bağlacı üzerine dağılma özelliği p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) Veya bağlacının Ve bağlacı üzerine dağılma özelliği p 0 (q / r) / (p 0 q) / (p 0 r) 2. (p / q) ı 0 (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Totoloji Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman doğru oluyorsa önermeye totoloji denir. Çelişki Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman yanlış oluyorsa önermeye çelişki denir. 3. [p ı 0 (q ı 0 p)] / [p / (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Örnek (p 1) (p p ı ) önermesinin totoloji ya da çelişki olduğunu gösteriniz. Çözüm (p 1) (p p ı ) = 1 p p 1 = p Totoloji ya da çelişki değildir. p = 1 olduğunda önermenin doğruluk değeri 1, 4. I. p 0 1 II. p 0 0 III. p' 0 p IV. p / p' V. p Q p' önermelerinden kaç tanesi totolojidir? p = 0 olduğunda önermenin doğruluk değeri 0 bulunur. 1. I. 0, II Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24
5 1. I. Hız II. Küme III. Gol IV. Molekül V. Dağ VI. Protein Neler Öğrendik? 1 4. Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) "( 2)! = 2 dir." B) "1 + 1 = 2 en küçük asal sayıdır." C) 0 " belirsizdir." 5 D) "( 1) ( 2) ( 3)... ( 10) = 1000 dir." E) " = 10 dur." Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi terimdir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 2. I. Açı II. Sayı III. Eşit IV. Beşgen 5. n tane önerme için 128 farklı doğruluk değeri olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 V. Açıortay VI. Düzlem Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi tanımsız terimdir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Bir hafta 8 gündür." B) "Bir saat 1200 saniyedir." 22 C) "r sayısı ye eşittir." 7 D) "Dörtgenin iç açıları toplamı 540 dir." E) "Bugün yağmur yağdı mı?" 6. p : " = " önermesinin değiline denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q: "0! = 0" B) 0! + 0! + 0! r: " = 1" 3 C) s: "1 + 3 < 3 + 1" D) 1 1 k: "( ) 3!- " E) r: "10 7 sayısı 7 basamaklıdır." 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24
6 Neler Öğrendik? 7. [(q / p')' 0 r]' bileşik önermesinin denk olduğu önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q / p' / r' B) p' / q' / r' C) (p' 0 q) 0 r' Q p / 1 0 Q q / 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 1 B) p' / q / 0 C) p / q / 1 D) q / 1 E) q 0 p / 1 D) q' 0 p 0 r' E) (q' 0 p) / r' 8. I. p: "(3 + 5) 8 = 1" p': "(5 + 3) 8! 1" II. q: "3 + 5 < 8" q': "3 + 5 > 8" III. r: "12 : 4 # 18 : 3" r': "12 : : 3" Yukarıda verilen p, q ve r önermelerinin hangilerinin değilleri doğru yazılmıştır? 11. (p / r) 0 p' önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) p / r B) 1 C) 0 D) p / r' E) p' / r' A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 9. p' / (r 0 p) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p' D) p 0 r E) p' / r 12. (q' 0 r) 0 (q / r') bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) q D) r E) q 0 r Cevaplar 1. A 2. B 3. E 4. B 5. D 6. B 7. A 8. D 9. E 10. B 11. D 12. A 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24
7 Neler Öğrendik? 2 1. p: "15! sayısının sondan üç basamağı 0 dır." q: " 2 irrasyonel bir sayıdır." r: " 5'in küpü 125'tir." önermeleri veriliyor. Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğru bir önermedir? 4. [p 0 q]' / [(p 0 q)' / q]' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' / q' B) p 0 q C) p' 0 q' D) p E) q A) Yalnız p B) Yalnız q C) Yalnız r D) p ve q E) p, q ve r 2. Aşağıdakilerden hangisi tanımsız bir matematik terimidir? A) Nokta B) Kare C) Dikdörtgen D) Denklem E) Çember 5. p 0 [(1 0 0)' / (0 / 1)'] / (1 / 0)' olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 0 / 1 B) p 0 p / 0 C) p / 0 D) p / 1 E) (p / p)' / 1 3. p: "15 dakika 900 saniyedir." önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 2 = 9 20! B) = C) ( ) 2 < ( ) D) - rasyonel sayı değildir. 5 1 E) 1 : 1 : 1 = 3 6. [(q 0 p') / (r' 0 q)] 0 q' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) q B) p' C) r D) 0 E) 1 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24
8 Neler Öğrendik? 7. (n + 5) farklı önermenin 1024 farklı durumu olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) r irrasyonel sayı değildir. B) En küçük çift sayı 0 dır. C) Aynı iki reel sayının oranı her zaman 1 dir. D) Asal sayılar tek sayıdır. E) e irrasyonel sayıdır. 8. (q Q q') Q p' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p' C) q D) q' E) Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p / p' B) p Q p' C) p 0 p D) p 0 0 E) p / 1 9. p: " 5 irrasyonel sayıdır." p' Q q' : "0 en küçük doğal sayıdır." olduğuna göre, [(p Q q')' / p'] Q q bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) p D) p 0 q E) p / q' [( ) < ( ) / 4!.5! 6!] 2 8 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 A) [( ) < ( ) 0 4!. 5! 6!] B) [(- ) $ (- ) 0 4!. 5 = 6!] C) [(- ) $ (- )/ 4!. 5 = 6!] D) [(- ) > (- ) 0 4!. 5 = 6!] E) [(- ) # (- ) 0 4!. 5 = 6!] 2 8 Cevaplar 1. E 2. A 3. B 4. A 5. D 6. E 7. B 8. A 9. A 10. E 11. B 12. B 8 Mat foy BOOK.indb 8 18/08/18 20:24
9 Ortaöğretim Alanı MF - 02 Matematik Ders Föyü Elektrik Devrelerinin Sembolik Mantıkla İlişkisi Bir elektrik devresinden akımın geçmesi veya geçmemesi devre üzerindeki anahtarlarla sağlanır. Kapalı Anahtar 1. Uygulayalım p s q r Anahtar kapalı iken devreden akım geçer ve doğruluk değeri 1 dir. Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Açık Anahtar 2. p s Anahtar açık iken devreden akım geçmez ve doğruluk değeri 0 dır. q r k Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Seri Bağlama Bu devredeki anahtarlar seri bağlanmış olup p / q ile gösterilir. p q 3. p r q k s Paralel Bağlama Bu devredeki anahtarlar paralel bağlanmış olup p 0 q ile gösterilir. p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? 1. [p (q r)] s 2. [(p q) r] (s k) 3. [(p q) [r (s k)] 1 Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24
10 Matematik Ders Föyü 02 Sembolik Mantık Kümeler Uygulayalım p p ı 1 A A ı E p p ı 0 A A ı p (q r) (p q) (p r) A (B C) = (A B) (A C) (p q) ı p ı q ı (A B) ı = A ı B ı Elektrik Devreleri 1. p s q k m r Paralel Bağlı Anahtarlar p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p v q Ampul Yanar Yanar Yanar Yanmaz 2. q p q' p' Paralel bağlı 2 anahtardan, en az biri KAPALI ise devreden akım geçer. Seri Bağlı Anahtarlar Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p q p / q Ampul 3. [p 0 (q / r)] 0 [(t / k) 0 m] önermesine karşılık gelen elektrik devresini çiziniz Yanar Yanmaz Yanmaz Yanmaz Seri bağlı 2 anahtardan, ancak her ikisi de KAPALI iken devreden akım geçer. 1. [(p0q)/r] 0[s/(k0m)] 2. p/[q0(q'/p')] 3. p q t r k m 2 Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24
11 Matematik Ders Föyü 02 Kümelerde İşlemler ve Sembolik Mantık Kuralları Kümeler Q E, + A' = Önermeler Mantığı / P' / Koşullu Önermeler Uygulayalım 1. A, B ve C kümeleri sembolik mantıkla sırasıyla p, q ve r önermeleriyle gösterildiğinde, (A' j B)' + (C')' kümesinin sembolik mantıktaki karşılığı ne olur? İse Bağlacı p ve q herhangi iki önerme olmak üzere p doğru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan önermeye p ise q bileşik önermesi veya koşullu önerme denir. p ( q veya p $ q şeklinde gösterilir. p q p ( q p: " = 6 dır." q: " = 6 dır." olduğuna göre, aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) p ( q... b) p' ( q... c) p' ( q'... d) q ( p'... p ( q önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Ayrıca p önermesi, q için yeter koşul; q önermesi, p için gerek koşuldur. p ( q önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. 3. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) 1 0 (1 & 0) b) [(0 & 1) 0 (1 & 0)] / 1 c) [(1 &1) ((0 &1)] & [0&(0 & 0)] p ( q / 1 denkliği "p gerektirir q" diye okunur. Örnek (p 1) ( 0 p) önermesini en sade biçimde yazınız. Çözüm 4. p & (r 0 q) / 0 olduğuna göre, (p & q) & [(p 0 q') / r] bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? (p 1) /1 123 (0 p) / /1 bulunur. 1. [(p / q') / r] 2. a) 1, b) 1, c) 1, d) 0 3. a) 1, b) 1, c) Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24
12 Matematik Ders Föyü 02 İse Bağlacının Özellikleri p & q / p' 0 q p & p / 1 1. (p' & q) / (q' / p)' Uygulayalım önermesinin en sade şekli nedir? 1 & p / p 0 & p / 1 p & p' / p' p & 1 / 1 p & 0 / p' 2. (q' / p) & (p' & q) önermesinin en sade şekli nedir? Koşullu Önermenin Karşıtı p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞITI: q & p 3. a) "Bugün salı ise yarın Çarşambadır." b) "Yağmur yağmış ise yerler ıslaktır." önermelerinin karşıtlarını yazınız. Koşullu Önermenin Tersi p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin TERSİ: p' & q' Koşullu Önermenin Karşıt Tersi 4. a) 5 < 6 & 5 2 < 6 2 dır. b) 4! = 24 & 5! = 120 dir. önermelerinin terslerini yazınız. p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞIT TERSİ: q' & p' Örnek "x tek sayı ise x 3 tek sayıdır." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini bulunuz. 5. a) = 15 ise 7 < 15 tir. b) 0 bir tam sayı ise 5 0 bir tam sayıdır. önermelerinin karşıt terslerini yazınız. Çözüm p: x tek sayı q: x 3 tek sayı p q Karşıtı: q p. x 3 tek sayı ise x tek sayıdır. Tersi: p ı q ı. x tek sayı değil ise x 3 tek sayı değildir. Karşıt tersi: q ı p ı. x 3 tek sayı değil ise x tek sayı değildir. 1. q a) Yarın çarşamba ise bugün salıdır. b) Yerler ıslak ise yağmur yağmıştır. 4. a) 5 $ 6&5 2 $6 2 b) 4! 24 & 5!! a) 7 $15 ise 7+8 ]15 b) 5 0 bir tam sayı değil ise 0 bir tam sayı değildir. 4 Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24
13 Neler Öğrendik? 1 1. p r q s 3. a c b d e f k r Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? m n A) [(p 0 q) / r] 0 s B) [(p / q) 0 r] / s C) [(p / q) 0 r] 0 s D) [(p 0 q) 0 r] / s E) [(p / q) / r] / s Yukarıdaki elektrik devresi için; I. Devreden elektrik akımı geçer. II. Ampul yanmaz. III. Devreye karşılık gelen bileşik önerme [[(a / b) 0 (c / d)] / e] 0 [[(f / k) 0 (m / n)]/ r] şeklindedir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 2. p q s r k m 4. c d n a b e f q Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) n / p / [(q / r) 0 (s / k)] / m B) n 0 p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m C) n / p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m D) n / p / [(q / r) / (s / k)] / m E) n / p 0 [(q / r) 0 (s 0 k)] 0 m Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) (a / b) / c / [d 0 (e / f)] / q B) (a 0 b) 0 c 0 [d 0 (e / f)] / q C) (a 0 b) / c / [d / (e / f)] / q D) (a 0 b) / c / [d 0 (e / f)] / q E) (a 0 b) / c 0 [d 0 (e 0 f)] 0 q 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24
14 Neler Öğrendik? 5. p & q koşullu önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 8. [(1 & p) & 1] Q q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p D) q E) q' A) p 0 q B) p' 0 q C) p 0 q' D) p' 0 q' E) p' / q 9. "a ve b tek sayı ise a. b tek sayıdır." bileşik önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? 6. (p & q) / (p' & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' B) p C) q D) q' E) 1 A) a. b tek sayı değil ise a ve b tek sayı değildir. B) a. b tek sayı ise a ve b tek sayıdır. C) a ve b tek sayı değil ise a. b tek sayı değildir. D) a ve b tek sayı ise a. b tek sayı değildir. E) a. b tek sayı ise a ve b tek sayı değildir. 10. p / [(1 & 0) & 1] 0 [(0 & 0) & (1 & 0)] 7. I. p & 0 / p' II. p & 1 / 0 III. p & p / p IV. p & q / p' 0 q V. 1 & p / 0 Yukarıda verilen denkliklerden kaç tanesi kesinlikle yanlıştır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 q / 0 0 (1 & 0) r / [(1 & 0) 0 (0 & 0)] & 1 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p & q / 0 B) (p & q) 0 r / 0 C) p & r / 0 D) p' & q' / 0 E) p Q r / 1 Cevaplar 1. B 2. A 3. E 4. D 5. B 6. C 7. B 8. E 9. A 10. A 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24
15 Neler Öğrendik? 2 1. (q / p) & (1 0 0) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) 1 C) q D) 0 E) p' 0 q' 4. [(q & 1')' & (1' & r)] & p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p' B) q C) r D) p E) r' 2. [q / (q & r')'] 0 [q & r']' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q 0 r B) q / r C) q & r D) r & q E) r' & q 5. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p & q B) (p' & q) 0 p' C) (p & q)' 0 (q 0 p)' D) r & (r & p) E) (p & q) 0 (q' & p') 3. (q & r') / (q & r) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q' B) q C) r D) r' E) 1 6. [r & (p 0 r)]' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p / r' D) p / r E) r' 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24
16 Neler Öğrendik? 7. "Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçti." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçmedi. B) Bugün sınav yapılmadı veya başarısız geçti. C) Bugün sınav yapıldı ve başarısız geçti. D) Bugün sınav yapılmadı ve başarılı geçti. E) Bugün sınav yapılınca başarılı geçer. 10. p: Ay Dünya'nın uydusudur. q: Dünya gezegenlerin uydusudur. önermeleri veriliyor. Buna göre, q & p' önermesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusu değildir. B) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusudur. C) Dünya gezegenlerin uydusu değil ise Ay Dünya'nın uydusudur. D) Ay Dünya'nın gezegeni ise Dünya gezegenlerin uydusudur. E) Ay Dünya'nın gezegeni değil ise Dünya gezegenlerin uydusudur. 8. (a = 6) & (a 3 = 216) koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) a 3! 216 & a! 6 B) a! 216 & a 3! 6 C) a 3! 216 & a = 6 D) a 3 = 216 & a! 6 E) a! 6 & a 3! "Berkan bugün gelmez ise yarın gelir." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Berkan bugün gelmez ise yarın gelmez. B) Berkan yarın gelir ise bugün gelmez. C) Berkan yarın gelmez ise bugün gelir. D) Berkan bugün gelir ise yarın gelmez. E) Berkan bugün gelir ise yarın da gelir. 9. "Karamel hasta ise veterinere gider." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Karamel hasta ise veterinere gitmez. B) Karamel veterinere giderse hastadır. C) Karamel veterinere giderse hasta değildir. D) Karamel hasta değil ise veterinere gider. E) Karamel hasta değil ise veterinere gitmez. 12. "Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekeceğim." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekmem. B) Bugün yağmur yağmaz ise fotoğraf çekerim. C) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmıştır. D) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmamıştır. E) Fotoğraf çeker isem bugün yağmur yağmıştır. Cevaplar 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. A 7. B 8. A 9. B 10. A 11. B 12. D 8 Mat foy BOOK.indb 8 18/08/18 20:24
17 Ortaöğretim Alanı MF - 03 Matematik Ders Föyü İki Yönlü Koşullu Önerme Ancak ve Ancak p ve q iki önerme olmak üzere, p ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru, farklı değerler aldığında yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p + q biçiminde yazılır. p ancak ve ancak q diye okunur. p q p + q Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (1 + 1) + 1 b) (0 + 1) + 1 c) (0 + 0) + 0 d) (1 + 0) Teorem p ve q iki önerme olmak üzere (p & q) ile (q & p) koşullu önermelerinin / işlemi ile birbirlerine bağlanmasından elde edilen (p & q) / (q & p) bileşik önermesi p, q bileşik önermesine denktir. NOT p + q / (p ( q) / (q ( p) 2. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) [(1 + 1) & (1 + 1)] b) [(0 + 1) & (0 + 0)] + 1 c) [0 + 0) + (0 & 0)] + 0 İspat p q p & q q & p p, q p & q q & p [(q + 0) + (q + 1)] + p önermesinin en sade şekli nedir? p, q / (p & q) / (q & p) 1. a) 1 b) 0 c) 0 d) 0 p + q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir. 2. a) 1 b) 1 c) 0 3. p 1 Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24
18 Matematik Ders Föyü 03 Ancak ve Ancak Bağlacının Özellikleri p + q / (p & q) / (q & p) p + q / q + p p + q / p' + q' Uygulayalım 1. [(p & q) / (p / q)'] + p önermesinin en sade şekli nedir? (p + q), r / p + (q + r) (p + q)' / (p' + q) / (p + q') p + p / 1 p + p' / 0 p + 1 / p p + 0 / p' 2. (q' & r) 0 p / (1 & 0) olduğuna göre, q 0 (p + r) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Örnek (p + q) ^ (q ı + p) bileşik önermesinin denk önermesini bulunuz. Çözüm (p + q) ^ (q ı + p) ; (p + q) ı / p ı + q / p + q ı / (p + q) ^ (p ı + q) / (p + q) ^ (q + p) ı 3. Aşağıdakilerden kaç tanesi çelişkidir? I. p' + 1 II. p + 0 III. p + p' IV. p + r V. q + q / (p + q) ^ (p + q) ı a a ^ ı / 0 bulunur. Açık Önerme İçerisinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış doğruluk değeri alabilen ifadelere açık önerme denir. 4. Doğal sayılar kümesinde "p(x) = 6x 3 + x 2 2x = 0" açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. Açık önermeyi doğru yapan değerler kümesine açık önermenin doğruluk kü- mesi denir. x değişkenine bağlı olan açık önermeler p(x), q(x), r(x)..., sembollerinden biriyle, x ve y gibi iki değişkene bağlı olan açık önermeler p(x, y), q(x, y), r(x,y),... sembollerinden biriyle gösterilir {0} 2 Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24
19 Matematik Ders Föyü 03 Niceleyiciler Önüne geldiği elemanların niceliğini (çokluğunu) belirten "her" ve "bazı" sözcüklerine niceleyici adı verilir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun, A daki her eleman için p(x) doğru bir önerme oluyorsa, Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermeleri kurallı bir cümle biçiminde ifade ederek doğruluk değerlerini bulunuz. a) 7x!N, x 3 < 10 b) 7x!R, x 4 + x 2 = 8 (6x! A), p(x) veya 6x, p(x) yazılır. Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen 6 sembolü evrensel niceliyicidir. "6x, p(x)" önermesinin doğru olması için, kümedeki bütün x değerlerinin p(x) önermesini doğrulaması gerekir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. A kümesi p(x)'i doğrulayan en az bir x elemanı varsa, 2. Aşağıdaki önermelerin olumsuzunu bulunuz. a) [(7x, x = 5) / (6x, x>0)] b) [7x!N, 7x 8 < 10] (7x! A), p(x) veya 7x, p(x) yazılır. Bazı, en az bir anlamlarına gelen 7 sembolü varlıksal niceleyicidir. 3. [(7x!R, x 6 = 0) & (6x!R, x + 5> 0)] bileşik önermesinin değilini bulunuz. "7x, p(x)" önermesinin doğru olması için çözüm kümesi boş olmamalıdır. Niceleyicilerin Olumsuzları (#)' / 2 (1)' / $ (=)' /! 6' / 7 4. Aşağıdaki önermeleri niceleme sembolleriyle yazıp doğruluk değerlerini ve kümelerini bulunuz. a) P: "Bazı x doğal sayıları için x 2 x = 0 dır." b) q: "Her x doğal sayısı için x 4 sayısı pozitiftir." c) r: "Bütün tek tam sayıların 8. kuvveti tektir." 7' / 6 (!)' / g [6x, p(x)]' / 7x, p'(x) [7x, p(x)]' / 6x, p'(x) 1. a) D 1 b) D 0 2. a) [(6x, x!5) 0 (7x, x#0)] b) [(6x!N) 7x 8 $10)] 3. (7x!R; x 6 = 0 / 7x!R, x + 5#0) 4. a) D 1 b) D 0 c) Doğru 3 Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24
20 Matematik Ders Föyü 03 Tanım, Aksiyom, Teorem Bir terimi açıklayan önerme her durumda doğru ise bu önerme tanımdır. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir. Uygulayalım 1. "x ve y çift sayı ise x. y çift sayıdır." teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız. Doğruluğu ispat edilebilen önermelere teorem denir. Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur. p & q önermesinde p ye hipotez (varsayım), q ya hüküm (yargı) denir. 2. n bir doğal sayı olmak üzere; İspat Yöntemleri Olmayana Ergi Yöntemi (Dolaylı İspat) "x tek tam sayı ise x n tektir." teoremini olmayana ergi (dolaylı ispat) yöntemiyle ispatlayınız. p & q q' & p' olduğundan q' & p' önermesinin doğru olduğunu ispatlamak, p & q önermesinin de doğru olduğunu ispatlamak için yeterlidir. Bu ispat yöntemi dolaylı (olmayana ergi) yöntemi ile ispattır. Doğrudan (Direkt) İspat Yöntemi 3. "x bir doğal sayı ise x + 10 bir doğal sayıdır." teoremini çelişki yöntemi ile ispatlayınız. p & q gerektirmesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek, q önermesinin doğru olduğunu gösterme yöntemi doğrudan ispat yöntemidir. Çelişki Yöntemi Bir teoremde hükmün değilinden hareketle genel bir çelişki elde etme yöntemi çelişki yöntemi ile ispattır. (p & q)' (p' 0 q)' = p / q' denkliğinden yararlanılır. Deneme Yöntemi Bir açık önermede verilen bir kümenin her elemanı ayrı ayrı değişken yerine yazılarak önermenin doğruluğu gösterilebiliyorsa bu yönteme deneme yoluyla ispat denir. Aksine Örnek Vererek İspat Bir teoremin ispatında aksine bir örnek vererek hipotezin olmayacağı ve hükmün doğru olacağı ispat edilebiliyorsa bu yönteme aksine örnek verme yöntemiyle ispat denir. 1. p: (x ve y çift sayılardır.) (Hipotez), q: (x.y) çift sayıdır.) (hüküm) x bir çift sayı ise x = 2n olacak şekilde bir n!n vardır. y bir çift sayı ise x=2m olacak şekilde bir m!n vardır. x.y = 2n.2m=2. ( 2mn)=2k (k!n) olduğundan x.y çarpımı : çift olur. k Böylece p nin doğruluğu kabul edilerek q nun doğru olduğu gösterilir. 2. p &q / q' &p' p : (x tek tam sayı) & p': (x çift tam sayı) q : (x n tek tam sayı) & q': (x n çift tam sayı) q' & p': (x n çift tam sayı) & (x çift tam sayı) q' & p' : (x n çift tam sayı) ise x çift tam sayı olmalıdır. Oysa teoremde x tek tam sayı verildiğinden x çift tam sayı olamaz. Demek ki x n tek tam sayıdır. 3. p: x bir doğal sayıdır. q: x + 10 bir doğal sayıdır. P: Hipotez, q: Hüküm, p &q: Kabul, p &q/1 denkliğini göstermek için (p&q)'/0 denkliği gösterilmelidir. (p &q)'/(p'0q)'/p/q' olduğuna göre, p/q' / "x bir doğal sayıdır ve x+10 bir doğal sayı değildir." önermesinin doğruluk değeri p/q' /1/0/0 olur. (p&q)' /0 ise p&q=1 olur. 4 Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24
21 1. (p & p) + (q ğ q') 4. [p + (p' + p)] 0 q Neler Öğrendik? 1 önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) p' C) p&q D) p/q E) p0q önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) 1 C) 0 D) p' E) p&q 2. (q' 0 p)' + (p & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisinde denktir? A) q' B) p+q C) q D) p E) p&q 5. (p & q) + (p 0 q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) q D) q' E) 1 3. p v q bir çelişki olduğuna göre, (p + q) / (p / 1)' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) q E) p / q 6. [(p & q) + (q' & p')] / p önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) 1 D) p / q E) q' 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24
22 Neler Öğrendik? 7. p + q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p 10. [(p + r) / r] & r önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) r E) p' C) p + q' D) (p & q) / (q & p) E) (p & q) 0 (q & p) 8. (p / r) + p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & r B) r & p C) p D) r E) p + r 11. I. (x = 5) + (x 2 = 25) II. (x = 0) + (x 2 = 0) III. (x = 5) + (x 3 = 125) IV. (2x + 3y = 5) + (x = 1 ve y = 1) bileşik önermelerinden hangileri reel sayılarda bir çift gerektirmedir? A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) III ve IV E) I, II, III ve IV 9. (p' + r') 0 (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) r C) p' D) 1 E) p / 1 p + (q 0 r) / 0 olduğuna göre, (q & r) / (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q B) q' C) r D) p' E) 0 Cevaplar 1. B 2. A 3. A 4. E 5. C 6. A 7. D 8. A 9. D 10. A 11. C 12. B 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24
23 Neler Öğrendik? 2 1. "x = 10 ( 3x + 5 = 35 tir." teoremini olmayana ergi yöntemiyle ispat ediniz. 3. "Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı çift bir tam sayıdır." teoremini deneme yöntemiyle ispatlayınız nin rasyonel sayı almadığını (irrasyonel olduğunu) çelişki yöntemini kullanarak ispat ediniz. 4. "a bir asal sayı ise tektir." önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek vererek ispatlayınız. 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24
24 Neler Öğrendik? 5. Dolaylı ispat (olmayana ergi) yönteminde p' v q önermesi yerine aşağıdaki teoremlerden hangisinin ispatı yapılır? A) q' & p' B) p & q C) p' & q' D) p 0 q E) p / q 8. x d R olmak üzere "(x = 5) & (8x + 10 = 50)" teoreminin çelişki yöntemiyle ispatına aşağıdakilerden hangisi ile başlanır? A) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) B) x! 5 ( (8x + 10! 50) C) (8x + 10)! 50 ( (x! 5) D) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) E) (8x + 10 = 50) / (x! 5) 6. p & q önermesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek q önermesinin doğruluğu ispat edilirse p & q teoremi ispat edilmiş olur. Bu şekildeki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Çelişki yöntemi ile ispat B) Doğrudan ispat C) Olmayana ergi yöntemi ile ispat D) Aksine örnek vererek ispat E) Deneme yöntemi ile ispat 9. Teorem: "x = 5 ise 8x + 10 = 50 dır." İspat: I. x = 5 II. 8x = 8. 5 III. 8x + 10 = IV. 8x + 10 = 50 Yukarıdaki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Olmayana ergi yöntemi B) Tümevarım yöntemi C) Deneme yöntemi D) Doğrudan ispat yöntemi E) Çelişki yöntemi 7. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Aksiyom B) Teorem C) Hipotez D) Hüküm 10. Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Totoloji B) Aksiyom C) Teorem D) Hipotez E) Çelişki E) Çelişki Cevaplar 5. A 6. B 7. A 8. E 9. D 10. C 8 03_MAT_AYT_FOY_03.indd 8 18/08/18 21:21
25 Ortaöğretim Alanı MF - 04 Matematik Ders Föyü Bölme A, B ve C pozitif tam sayılar olmak üzere; - A K B C işlemine pozitif tam sayılarda bölme denir. 1. A - B 2 Uygulayalım 40 B Yandaki bölme işleminde A ve B pozitif tam sayılardır. Buna göre A'nın alabileceği en büyük değer kaçtır? A : Bölünen B : Bölen C: Bölüm K: Kalan A = B. C + K 2. A, B, C pozitif tam sayılardır. A B B C olduğuna göre, A nın 12 ile bölümünden kalan kaçtır? 0 G K < B K = 0 ise A sayısı B sayısına tam bölünebilir. K < C ise - A C B K yazılabilir. 3. A doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, a) 3. A sayısının 5 ile bölümünden b) A 2 sayısının 5 ile bölümünden c) A 2 + 4A + 2 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A, B, x, m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere; A nın x ile bölümünden kalan m, B nin x ile bölümünden kalan n olsun. Bu durumda; 4. a, b, c sıfırdan farklı pozitif tam sayılar, a 4 b 3 b 3 c 4 olduğuna göre, a'nın c türünden değeri nedir? A. B nin x ile bölümünden kalan m. n dir. A " B nin x ile bölümünden kalan m " n dir. k. A nın x ile bölümünden kalan k. m dir. A k nın x ile bölümünden kalan m k dir a) 1 b) 4 c) c Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24
26 Matematik Ders Föyü 04 Bölünebilme Kuralları 2 ile Bölünebilme Birler basamağı çift sayı olan tam sayılar 2 ile tam bölünür. 3 ile Bölünebilme Rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir tam sayının 3 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Örnek 107 sayısının 3 ile bölümünden kalanı; = 8 ve 8 6 = 2, kalan 2 dir. 4 ile Bölünebilme Bir tam sayının son iki basamağı 00, 04 veya 08 ise ya da son iki basamağı 4 ile bölünüyorsa sayı 4 ile tam bölünür. Bir tam sayının 4 ile bölümünden kalan, sayının son iki basamağının 4 ile bölümünden kalana eşittir. Not 1. Beş basamaklı, rakamları farklı 5213a sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için a nın alabileceği rakamların toplamı kaçtır? 2. Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 3 ile tam bölünür? a) 3636 b) c) d) Uygulayalım Son iki basamağı (ab) olan bir sayının 4 ile bölümünden kalan (2a+b) dir. 5 ile Bölünebilme Birler basamağı 0 veya 5 olan tüm sayılar 5 ile tam bölünür. 3. Altı basamaklı 12300a sayısı 4 ile bölünebildiğine göre a yerine yazılabilecek kaç farklı rakam vardır? Birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalan, sayının 5 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. 8 ile Bölünebilme Bir sayının son üç basamağındaki sayı 000 ya da 8 in katı ise sayı 8 e tam bölünür. Son üç basamağının 8 ile bölümünden kalan, sayının 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. Not n doğal sayısının 5 ile kalansız bölünebilmesi için n yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır? Son üç basamağı (abc) olan bir sayının 8 ile bölümünden kalan (4a+2b+c) dir. 9 ile Bölünebilme Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan eşittir. Örnek 5. 5 basamaklı sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? 1253 sayısının 9 ile bölümünden kalan; =11 ( 1+ 1 = 2 dir. 10 ile Bölünebilme Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür. Birler basamağındaki rakam, sayının 10 ile bölümünden kalanı verir Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24
27 Matematik Ders Föyü ile Bölünebilme Verilen sayının rakamlarına en sağdan başlanılarak bir (+) bir ( ) işareti verilir. Elde edilen sayıların işaretlerine göre toplamı 11 ve 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür Uygulayalım 1. 6 basamaklı 147a54 sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, a kaçtır? a b c d e f g h (b + d + f +h) (a + c + e + g) = 11.k Sayı 11 ile tam bölünemiyorsa, kalanı bulmak için (+) lı rakamlar ile ( ) li rakamların farkının 11 ile bölümünden kalan bulunur. Sonuç negatif bir sayı ise, sayıya 11 eklenerek pozitif yapılır. Örnek Dört basamaklı x015 sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir a4bc yedi basamaklı sayısı 10 ile bölündüğünde 4 kalanını vermektedir. Bu sayı 9 ile tam bölünebildiğine göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? Buna göre, x kaçtır? Çözüm X (0 + 5) (x + 1) = 11.k 5 x 1 = 11.k 4 x = a1 altı basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır? x = 4 tür. Örnek Dört basamaklı 2z67 sayısı 11 ile bölündüğünde 6 kalanını veriyor. Buna göre, z kaçtır? Çözüm 2 z a84b dört basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, kaç farklı (a, b) ikilisi vardır? + + (z + 7) (2 + 6) = 6 z = 6 z 1 = 6 z = 7 bulunur Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24
28 Matematik Ders Föyü 04 Aralarında Asal Sayılarda Bölünebilme Ortak bölenleri yalnız 1 olan sayılar aralarında asal sayılardır. Aralarında asal iki sayıya tam bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. Uygulayalım 1. Dört basamaklı 3a4b sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? Bir sayı; hem 2 ile hem de 3 ile tam bölünüyorsa sayı 6 ya, hem 3 ile hem de 4 ile tam bölünüyorsa sayı 12 ye, hem 3 ile hem de 5 ile tam bölünüyorsa sayı 15 e, 2. Beş basamaklı a457b sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, (a + b) toplamının en büyük değeri kaçtır? hem 3 ile hem de 8 ile tam bölünüyorsa sayı 24 e, hem 4 ile hem de 5 ile tam bölünüyorsa sayı 20 ye, hem 5 ile hem de 7 ile tam bölünüyorsa sayı 35 e, hem 5 ile hem de 9 ile tam bölünüyorsa sayı 45'e tam bölünür. 3. Beş basamaklı 23a5b sayısının 36 ile bölümünden kalan 18 olduğuna göre a yerine kaç farklı rakam gelebilir? Terim sayısı = Son Terim İlk Terim + 1 Artış Miktarı Not n- r r, (r + x), (r + 2x)..., n = + 1 x Örnek Dört basamaklı 4x6y sayısı 45 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyor. Buna göre x'in alacağı değerler toplamı kaçtır? 4. Dört basamaklı 7a2b sayısının 45 ile bölümünden kalan 16 olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? Çözüm Sayı 45 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa, 5 ve 9 ile bölündüğünde de 2 kalanını verir. Sayının 5 ile bölümünden kalanının 2 olması için y'nin 2 veya 7 olması gerekir. 5. İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 3 ile tam bölünür? y = 2 için 4x x = 12 + x = 9k x = 8 olmalı y = 7 için 4x x = 17+x = 9k x = 3 olmalı x'in alabileceği değerler toplamı; = 11 bulunur Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24
29 Neler Öğrendik? 1 1. A B - 6B Yukarıdaki bölme işleminde A ve B pozitif tam sayı olmak üzere A en az kaçtır? A) 104 B) 107 C) 108 D) 110 E) A ve B birer pozitif tam sayıdır. A+ 3 B Yukarıdaki bölme işlemine göre, B nin A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A D) A B) A E) C) A A x 24 (x böler 24'ü) olduğuna göre, x in kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) B K Yukarıdaki bölme işlemine göre B + K toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) A, B, C birer pozitif tam sayıdır. A B B C bölme işlemleri veriliyor. Buna göre, C nin en küçük değeri için A kaçtır? A) 144 B) 148 C) 152 D) 182 E) ab sayısı rakamları toplamına bölündüğünde bölüm 6, kalan 3 oluyor. ba sayısı rakamları toplamına bölündüğünde bölüm 4, kalan 9 olduğuna göre ab sayısı kaçtır? A) 74 B) 75 C) 78 D) 84 E) 89 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24
30 Neler Öğrendik? a x - a 2 Yukarıdaki bölme işleminde a ve x birer doğal sayı olmak üzere, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) a Yukarıdaki bölme işlemine göre, a yerine kaç farklı rakam yazılabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Rakamları farklı 6m54n sayısının 6 eksiği 15 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, m yerine gelebilecek farklı rakamların toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) A B - C 6 A, B ve C birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere, yukarıdaki bölme işleminde B ile C yer değiştirdiğinde kalan değişmemektedir. Buna göre, A nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) A - C B D Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, 3. [(C + D) (A + B)] + 7 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 8 Cevaplar 1. B 2. A 3. D 4. E 5. A 6. B 7. D 8. C 9. C 10. A 11. B 12. D 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24
31 Neler Öğrendik? mn beş basamaklı sayısı 2, 3 ve 5 ile tam bölünebildiğine göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) xyz 9-3 Yukarıda verilen bölme işleminde x'i 2 arttırıp, y ve z'yi 3 er azaltarak elde edilen yeni sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 2. a, b ve c pozitif tam sayılarının 5 ile bölümünden kalanlar sırayla 3, 2 ve 1 dir. Buna göre, a 2 + b 3 + c 4 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 5. xyza dört basamaklı bir sayıdır. y 3z = 0 ve 2z 4 = x olduğuna göre, xyza sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. [79, 963] (79 ve 963 sayıları dahil) aralığındaki 3 ile tam bölünebilen sayılardan kaç tanesi 5 ile tam bölünebilir? A) 54 B) 55 C) 58 D) 59 E) a bir doğal sayı olmak üzere a < a + 1 < a + 2 < a + 3 < a + 4 tür. Buna göre bu beş doğal sayının çarpımı 5, 6, 7 ve 8 sayılarından kaç tanesine daima tam bölünür? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24
32 Neler Öğrendik? 7. xyz k ile 125 arasındaki sayılardan kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür? A) 40 B) 45 C) 48 D) 50 E) 55 x > y > z koşuluna uygun 9 ile tam bölünebilen kaç tane xyz sayısı vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) mn Rakamları farklı 6m45n beş basamaklı sayısının 6 eksiği 15 ile tam bölünebilmektedir. Yukarıdaki bölme işlemine göre m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D)14 E) 15 Buna göre m yerine gelebilecek farklı rakamların toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) Üç basamaklı bir doğal sayının 12 ile bölümünden kalan 10 dur. Bu sayının her rakamının sayısal değeri 1 artırılırsa bölüm kaç artar? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) m4n 12 72m4n Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 Cevaplar 1. B 2. B 3. D 4. A 5. E 6. B 7. C 8. A 9. B 10. B 11. D 12. B 8 Mat foy BOOK.indb 8 18/08/18 20:24
Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER
Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıMATEMATİK ADF. Önermeler - I ÜNİTE 1: MANTIK. Önerme. örnek 2. Bir önermenin değili (olumsuzu) örnek 3. Doğruluk Tablosu. örnek 1.
MATEMATİK ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I ADF 01 Önerme Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere... denir. R Doğru hüküm bildiren önermeye..., Yanlış hüküm bildiren önermeye... denir. R Önermelerin
Detaylı1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler
. ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıÖrnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER
MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)
DetaylıSunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER
Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..
DetaylıLİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ
LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri
DetaylıÖrnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm
DetaylıBÖLME ve BÖLÜNEBİLME
BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
DetaylıÖrnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm
DetaylıBölünebilme Kuralları. Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür.
2 İLE BÖLÜNEBİLME: Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir Dört basamaklı 729x sayısı 2 ile
Detaylıp sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
Detaylı140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c
138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,
Detaylı1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
DetaylıTEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
DetaylıYGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından
DetaylıKC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4
Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)
DetaylıSaygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN
YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &
DetaylıYAYINLARI. ISBN:
YAYINLARI www.alpaslanceran.com.tr ISBN: - - - - Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayınlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıT. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları
T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)
DetaylıÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)
DetaylıSAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI
ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıAtatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07 Bölme, Bölünebilme,
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
DetaylıMANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r
MANTIK 1. p : Ali esmerdir., q : Ali bir avukattır. Önermeleri verildiğine göre, sembolik olarak gösterilen aşağıdaki ifadeleri yazıya çeviriniz. a. p b. p q c. p q d. p q e. p q. p 1 ve q iken aşağıdaki
DetaylıMATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Detaylı4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA
4BÖLÜM ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA TEST 1 1) Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 80 sayısının çarpanıdır? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,18,20,25,30,40,45,80
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4
DetaylıEBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:
EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,
DetaylıRakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı
DetaylıMODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı
MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod
DetaylıMATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA
MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma
Detaylı12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
Detaylı6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,
1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü
Detaylı10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
Detaylıörnektir örnektir Temel Matematik TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler)
TYT Temel Matematik MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (-0. Testler) Yeni müfredata tam uygun Değerli öğretmenimiz, branşınızla ilgili TYT konu tarama testlerimizden bazı örnekleri incelemeniz
DetaylıTemel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
Detaylı5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.
Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.
DetaylıBÖLÜNEBĐLME KURALLARI
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıMODÜLER ARİTMETİK. Örnek:
MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)
Detaylı8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden
Çarpanlar ve Katlar Konu Testi MATEMATİK 8.Sınıf Test-01 1. I. 1, her sayının bölenidir. II. 2, asal bir çarpandır. III. Her sayı kendisinin bir çarpanıdır. IV. Bir sayının çarpanları, aynı zamanda o sayının
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.
DetaylıMATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
ATU MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ZENGİN İÇERİKLİ ÖZGÜN KONU ANLATIMI ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR BİLGİ KONTROLÜ ODAKLI KARMA SORULAR PEKİŞTİREN BÖLÜMLERİ AKILLI
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.
DetaylıTAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA
7. Kazanım Tam sayılarla toplama çıkarma işlemlerini yapar. SINIF MATEMATİK tam SAYILAR TAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA ( + 6) + ( + ) ( + 8) ( ) + ( ) ( 9) 8 Aynı işaretli sayılarda toplama yapılırken,
DetaylıBÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR
BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 435a sayısı 2 ile tam bölünüyor fakat 4 ile tam bölünemiyor ise a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
DetaylıTek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar
Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.
DetaylıYGS ÖNCESİ. 1) 1! + 3! + 5! ! Toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
1) 1! + 3! + 5! +. + 1453! Toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 6) Rakamları sıfırdan farklı iki basamaklı bir AB doğal sayının rakamları yer değiştiğinde sayının değeri 63 artıyor. Buna göre,
DetaylıMATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde
ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK
DetaylıÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen
DetaylıBölünebilme Kuralları Video Anlatım Testi
Sayfa : 1 2 ile bölünme Kuralı : Son basamak çift olmalı Soru : 40718a altı basamaklı sayısı 2 ile bölünebilen rakamları farklı bir sayıdır. Bu koşula uyan a rakamlarının toplamı kaçtır? A) 2 B) 6 C) 8
DetaylıMATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.
MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına
Detaylı5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki
Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 01 1 Üç basamaklı 5AB sayısı iki basamaklı AB sayısına bölündüğünde, bölüm 13 ve kalan 8 olmaktadır Buna göre, A + B toplamı A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5AB = 13 AB + 8
Detaylısayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1
TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.
DetaylıMATEMATİK. Temel Kavramlar I. Test a ve b doğal sayılardır. 5. Ardışık 5 tek sayının toplamı 115 tir. 6. x ve y tamsayılardır.
MATEMATİK Test 0 Temel Kavramlar I. a ve b doğal sayılardır. a + b = 7 olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?. Ardışık tek sayının toplamı tir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü
DetaylıKPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA
KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak
DetaylıBÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1
BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 1. A saısının 6 ile bölümünden elde edilen bölüm 9 kalan olduğuna göre, A saısı A) 3 B) C) 7 D) 8 E) 9. x, N olmak üzere, x 6 ukarıdaki bölme işlemine göre x in alabileceği
DetaylıÖrnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.
KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi
DetaylıÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama
AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının
Detaylıales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan
ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve
DetaylıMATEMATİK 1 - FÖY İZLEME TESTLERİ. ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. 4. a.b + a b 10 = x ve y farklı birer pozitif tam sayı,
MATEMATİK - FÖY İZLEME TESTLERİ 0/U UYGULAMA ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. x, y, z birer rakam ve x < y < 6 < z olmak üzere, x + 3y z ifadesinin en büyük değeri A) B) 3 C) 6 D) 0 E) 9 4. a.b
Detaylı9SINIF MATEMATİK. Mantık Kümeler
9SINIF MATEMATİK Mantık Kümeler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse,
DetaylıAsal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK. Prof. Dr. Emin KASAP
3 Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK Prof Dr Emin KASAP 1 Ünite: 5 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA / EBOB - EKOK Prof Dr Emin KASAP İçindekiler 51 ASAL ÇARPANLARA AYIRMa 3 511 Asal Sayılar
Detaylıünite12 POLİNOMLAR Polinomlar
ünite1 POOM = 1 Polinomlar 0 1 1. şağıdakilerden hangileri bir polinom değildir?. x 4 + 3. x 3 3x 5 +. x 6 1 V. x 4 1 + V. 5x 1 8 POOM POOM 5. P(x) = (a )x + (b + 3)x + ab 1 polinomu sabit bir polinom
DetaylıMERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ
MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde
DetaylıSıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.
SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen
DetaylıXII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
DetaylıFAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur.
FAKTÖRİYEL TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı 1.2.3 n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 gibi. Özel olarak; 0! = 1 olarak tanımlanmıştır.
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıKÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR
KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
DetaylıİÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
DetaylıA { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylı5. P(x). Q(x) polinomunun derecesi 9, P(x) Q(x) 7. P(x) = (3m 1)x 3 4x 2 (n + 1) x+ k ve. Q(x) = 17x 3
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Polinomlar TEST I 1. Aşağıdakilerden hangisi bir polinomdur? A) = 4 x5 4x 4 5 + 7 x 4 5.. polinomunun derecesi 9, polinomunun derecesi 5 olduğuna
DetaylıTABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.
TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;
DetaylıKPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
KPSS 019 10 soruda 86 SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Komisyon KPSS LİSANS MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-41-77-0 Kitapta yer alan bölümlerin
DetaylıÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.
TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?
DetaylıAKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER
AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin
DetaylıSAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.
2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,
DetaylıÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak
DetaylıÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK MANTIK - KÜMELER
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK MANTIK - KÜMELER ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ISBN 978 605 2273-66 - Editörler
Detaylı2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK
2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının
Detaylı