T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BRAHMAGUPTA DÖRTGENLERİ İLE BRAHMAGUPTA GENLERİNİN OLUŞTURULMASI ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA Lüfiye YILMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI KONYA, 007

2 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BRAHMAGUPTA DÖRTGENLERİ İLE BRAHMAGUPTA GENLERİNİN OLUŞTURULMASI ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA Lüfiye YILMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI Bu ez 05 / 09 / 007 arihide aşağıdaki jüri arafıda oybirliği ile kabul edilişir. Yrd. Doç. Dr. Ahe CİHANGİR DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Süleya SOLAK JÜRİ Yrd. Doç. Dr. E. Gökçe KOÇER JÜRİ

3 ÖZET Yüksek Lisas Tezi BRAHMAGUPTA DÖRTGENLERİ İLE BRAHMAGUPTA GENLERİNİN OLUŞTURULMASI ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA Lüfiye YILMAZ Selçuk Üiversiesi Fe Bilileri Esiüsü İlköğrei Aabili Dalı Maeaik Öğreeliği Bili Dalı Daışa: Yard. Doç. Dr. Ahe CİHANGİR 007, iv 58 Sayfa Jüri : Yard. Doç. Dr. Ahe CİHANGİR Yard. Doç. Dr. Süleya SOLAK Yard. Doç. Dr. E.Gökçe KOÇER Bu çalışada; ilk olarak Hero dörgeleri aıılış; Hero dörgelerii oluşuu hakkıda bilgi verilişir. Ardıda Brahagua dörgelerii oluşurulası iceleişir. So olarak da Hero üçgelerii farklı yollarla birleşirilesiyle eydaa gele Brahagua dörgelerii ve Brahagua gelerii oluşuu iceleişir. Aahar Kelieler: Hero Dörgei, Brahagua Dörgei, Kirişler Dörgei, Brahagua geleri i

4 ABSTRACT M. Sc. Thesis A RESEARCH ON CONSTRUCTION OF BRAHMAGUPTA QUADRILATERALS WITH BRAHMAGUPTA - GONS Lüfiye YILMAZ Selçuk Uiversiy Graduae School of Naural ad Alied Sciece Deare of Priary Educaio Suervisor: Asis. Prof. Dr. Ahe CİHANGİR 007, iv 58 Pages Jury: Asis. Prof. Dr. Ahe CİHANGİR Asis. Prof. Dr. Süleya SOLAK Asis. Prof. Dr. E.Gökçe KOÇER I his sudy, firsly he Hero uadrilaerals are iroduced.afer ha, foraio of he Brahagua uadrilaerals are exaied.as a resaul, he Brahagua uadrilaerals which are fored by cobiig he differe ways of Hero riagles ad foraio of Brahagua gos are ivesigaed. Key Words: Hero Quadrilaeral, Brahagua Quadrilaeral, Cyclic Quadrilaeral ad Brahagua gos. ii

5 ÖNSÖZ İsaı çevresii sara eşya ve varlıkları çoğu geoerik şekil ve cisilerde oluşur. Ayrıca isa işii ya da esleğii yürüürke geoerik şekil ve cisiler kullaır. Bu varlıklarda e ekili şekilde yararlaabilek içi, buları ve aralarıdaki ilişkiyi iyi aıak gerekir. Üçgeler geoeride öeli bir yer uar. Ayı addede yaıla üçge, dörge, beşge, vb. geoerik şekilleri kear veya köşelerie kuvve uyguladığıda sadece üçge kedii koruaya çalışır. Yai kearları kırılaa kadar şeklide bir değişikliğe izi verez. Aa diğer çokgeler, üçge gibi dayaıklı olayı, kuvvee karşı koyaayarak şekil değişirirler. Buları da kuvveledirek içi köşegelere ihiyaç duyulur ki zae köşegelerle birlike çokgeleri üçgelere bölüş oluruz. Bu çalışa; K. R. S. Sasry i Brahagua Dörgeleri ile Brahagua gelerii İşası isili akaleleri üzerie kuruluşur. Öcelikle, Hero dörgelerii Hero üçgeleri yardııyla oluşuu iceleişir. Sora; Hero dörgeleri ile Brahagua dörgeleri arasıdaki farklılığı göserek içi Brahagua dörgelerii yaısı ele alıışır. So olarak da; Hero üçgelerii farklı yollarla birleşirilesiyle eydaa gele dör ve daha çok kearlı Brahagua çokgelerii oluşurulası verilişir. Brahagua Dörgeleri ile Brahagua gelerii Oluşurulası Üzerie Bir Araşıra isili ez kousuu esiide ve hazırlaası sırasıda yardılarıı esirgeeye daışa hoca Yard. Doç. Dr. Ahe CİHANGİR e ve her zaa yaıda ola ; bede yardılarıı esirgeeye ailee eşekkürlerii suayı bir borç biliri. Lüfiye YILMAZ Ağusos 007 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... iv. GİRİŞ..... Kayak Araşırası..... Ö Bilgiler... 4.HERON ÜÇGENLERİNİN VE DÖRTGENLERİNİN OLUŞTURULMASI Pyhagorea Üçgeleride Hero Üçgelerii Oluşurulası Hero Üçgeleriyle Hero Dörgelerii Oluşurulası BRAHMAGUPTA DÖRTGENLERİNİN OLUŞTURULMASI Hero Açıları İle Brahagua Dörgelerii Taıılası DÖRT VE DAHA ÇOK KENARLI BRAHMAGUPTA ÇOKGENLERİNİN OLUŞTURULMASI Brahagua Dörgeleri Brahagua Beşgeleri Brahagua Alıgeleri Souç KAYNAKLAR iv

7 . GİRİŞ Hero üçgeleri aik çağlarda beri oüler çalışa alalarıda biri olagelişir. Aslıda bu oülerliği, Hero u yaşadığı çağda öceki külürlerde de görek üküdür. Hero ilaa sora birici yüzyılda Alexadria Mısır da yaşaış bir aeaikçidir. Eğer bir ABC üçgeii a, b, c kearları ve Alaı doğal sayılarda oluşuyorsa bua Hero u aısıa Hero üçgei deir. Eğer bu elealarda bazıları rasyoel ise a sayı değilse bu üçgee rasyoel Hero üçgei deir. Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c ve yarı çevre uzuluğu da s a b c olak üzere bu üçgei alaı, iyi bilie A ABC s s a sb s c forülü ile verilir ki bua Hero forül deir Sasry, 00. Dickso 97, aik çağda zaaıa kadar kouuzla ilgili birçok çalışaı özeii eseride olaışır. Yedici yüzyılda Hili asroo ve aeaikçi Brahagua M.S. 598 de doğdu ardışık a sayı kearlı Hero üçgeleri üzeride çalışış ve ilk sekiz aesii esi eişir. Buda dolayı ardışık kearlı Hero üçgelerie Brahagua üçgeleri de deir Beauregard, 998. Bir rasyoel Hero çokgei ise rasyoel Hero üçgeie bezerdir. Daha geel olarak; a sayı kearlı, köşegeli ve alalı bir çokgee Hero çokgei deir. Brahagua; Hero üçgelerii kullaarak a sayı kearlı, a sayı köşegeli ve a sayı alalı olu da köşeleri bir çeber üzeride ola dörgeleri kirişler dörgeii yai Brahagua dörgelerii ve de büyük ola doğal sayısı içi Brahagua gelerii üreişir Sasry, 00. Bu çalışa dör bölüde oluşakadır. Birici bölüde; çalışayla ilgili kayak araşırası, ilgili aılar ve eel eoreler asıl kayaklarıda alıarak verilişir. İkici bölüde; Hero dörgelerii oluşuu; üçücü bölüde de Brahagua dörgelerii oluşuu iceleişir. So bölüde ise Hero üçgelerii farklı yollarla birleşirilesiyle eydaa gele dör ve daha çok kearlı Brahagua çokgelerii oluşuu iceleişir.

8 .. Kayak Araşırası Sieriski 96 de; eseride asayı kearlı üçgeleri özel çeşidi ola Pyhagorea üçgelerii ala, kear, çevre v.b. yöleriyle iceleişir. Ayrıca bu; Pyhagorea üçgeleri ile ilgili olarak üsakil yazılış ilk eserdir. Dickso 97; eserii bası yılıa kadar ola sayılar eorisi ile ilgili gelişeleri, açık robleleri ve çalışaları özeleişir. Dördücü bölüde rasyoel dik üçgeleri, beşici bölüde de üçgeleri, dörgeleri iceleiş ve geiş bir lieraür verilişir. Guy 994 de; sayılar eorisii geçişe eseri basıldığı 994 yılıa kadarki çözüleeiş robleler ile bu roblelerle ilgili yayıları ve özelerii vere bir eser yazışır. Eserii; Diohaie Euaios isili bölüüü D ici kesiide Hero üçgeleri ile kayakları ve ilgili çözüleeiş robleleri verişir. Beauregard ve Suryaaraya 998 de, Brahagua ı 400 ücü doğu yılı aısıa yayıladıkları akalede ardışık a sayı kearlı Hero üçgelerii; yai Brahagua üçgelerii Pell dekleie bağlı olarak asıl üreildiğii oraya koyuşlardır. Yiu 998; bu eserii oucu bölüüde; kearlar, köşegeler ve açılarda faydalaarak dörgeleri özelliklerii iceleişir. Buchholz ve MacDougall 999 da; kearları geoerik veya arieik dizi oluşura rasyoel alalı üçgeler ve kirişler dörgeleri üzerie çalışışlardır. Bu çalışada kearları arieik dizide ola üçgeleri sosuz bir ailesi içi özelliklerii aaı veriliş; kearları geoerik dizi ola hiçbir üçgei olayacağı göserilişir. Ayrıca kearları arieik veya geoerik dizide alıa bir kirişler dörgeii olayacağı da göseriliş; her iki ür dörgei varlığıı araşırılasıda da eliik eğriler kullaılışır. Sasry 00 de; Hero üçgeii üreek içi Gergoe Cevia ve kearoray ersekifii ele alarak Hero üçgelerii λ ailesii aılaışır. Ayrıca Hero üçgeleri ile ilgili bazı robleleri eleaer çözülerii verişir. Sasry 00 de; Hero üçgelerie 0< θ < π olak üzere açılar yolu ile farklı bir aılaa geirilişir.

9 3 Sasry 00 3 yaığı çalışada; a, b, c bir üçgei kearları ve yarı çevresi de s a b c olak üzere AABC s s a s b s c biçiide verile Hero ala forülüde harekele, Brahagua ya göre 3 ve Z olak üzere kearları a a,,, a3, a ve yarı çevre uzuluğu s a a a3... a ola bir devirli gei alaıı da Δ ile göserilek üzere, Δ sa sa sa3... s a biçiide verişir. Buchholz ve MacDougall 00, bu çalışalarıda rasyoel kearlı ve alalı kirişler geii 3 içi Hero üçgelerie, 4 içi Brahagua dörgelerie, 5 ve 6 içi de Robis beşgeie ve Robis alıgeie döüşürüşlerdir. Bu düşücede harekele, bu i bazı özel çokgeleri alaları ve kearları içi daha öce elde edile souçları bu i özel kirişler geleri içi geelleişlerdir. Ayrıca, 6 da büyük kearlı kirişler geleri içi yaıla hesalaalarda yaklaşı eoları kullaışlardır. Sasry 00 de; Hero üçgeleride Brahagua dörgelerii sosuz bir ailesii sayısal yolla üreilesi verilişir. Beauregard ve Zelaor 00 u yaıkları bu çalışada; bir dörgei; P çevresi, A alaı ve k da oziif bir reel sayı olak üzere P ka şarıı sağlaya asayı kearlı kirişler dörgelerii sayısı Nk ile göserilişir. P ka şarıı sağlaya kirişler dörgeie k - ükeel deişir. Nk ı solu olduğu ve k > 4 içi Nk 0 olduğu göserilişir. Ayrıca k bir asayı olduğuda N 7, N3 ve N N4 olduğu hesalaışır. LaRosa 003 de yaığı çalışada dörgeleri alaıı; kearlarıı ve iç açılarıı birlike kullaılarak geişleilesi iceleiş; yarı çevre uzuluğu ve rigooerik foksiyoları kullaılarak kirişler dörgei ve eğeler dörgeide kullaak içi forüller üreişir. Svraa, Velja ve Viladiir 004, ı yaıkları bu çalışada; Gauss ve Robis forüllerii birleşirilesiyle herhagi bir kirişler beşgeii alaı içi geelleeler verilişir. Ayrıca üçgeler ve dörgeler geoerisi çalışalarıda yüz yıllar sora beşgeleri rivial olaya geoerisie ulaşılışır.

10 4 Sasry 005 de; Pyhagorea üçgeleride faydalaılarak; Hero üçgeleride, Brahagua dörgelerii ve Brahagua gelerii oluşura yollarıı verişir. Sasry 005 de; Hero dörgelerii yei bir ailesii Hero açıları yoluyla aılaaya çalışılışır. Ayoub 006 da; bir kirişler dörgeide köşegeleri de çevrel çeberi kirişleri olasıda faydalaarak kirişler dörgeii; kearlarıı üç farklı şekilde sıralaabileceğii göseriş; kirişler dörgeii köşegelerii, alaıı ve çevrel çeberii çaıı hesalaalarıı yaışır... Ö Bilgiler Bu keside, çalışaızı daha soraki bölüleride kullaacağıız aı ve eoreleri vereceğiz. Taı... a, b a sayılar olak üzere a b.c olacak şekilde bir c a sayısı varsa b, a yı böler deir ve b a biçiide göserilir Şeay, 989. Taı... ab, Z olsu. i da ve db ise d ye a ile b i bir orak bölei deir. ii d, a ile b i bir orak bölei olsu. Eğer a ile b i her c orak bölei içi cd ise, d orak böleie, a ile b i e büyük orak bölei ebob deir ve eboba, b veya a, b ile göserilir Şeay, 989. Taı..3. a ve b gibi iki oziif a sayıı e büyük orak bölei ise bu iki sayıya aralarıda asaldır deir ve bu eboba, b a, b biçiide göserilir Şeay, 989. Teore.. Hero Forülü. Kear uzulukları a, b, c ve yarı çevre uzuluğu da s a b c ola bir ABC üçgei alaı AABC ile göserilir ve AABC s s a s b s c forülü ile hesalaır. Bu forül Yua aeaikçi Hero of Alexadria arafıda buluduğu içi Hero ala forülü olarak biliir Dickso, 97.

11 5 İsa. A c b çizeli. B x a H a-x Şekil.. ABC Üçgei İki Dik Üçgee Bölüüşü Şekil.. de görüldüğü gibi [ AH] [ BC] olacak şekilde [ ] BH x HC a x ve AH h olsu. AHC ve ABH dik üçgeleride Pyhagorea eoreide; C AH yüksekliğii a x h b. x h c. yazılabilir. Bu. ve. eşiliklerii araf arafa çıkarırsak; ax x b c a ax x x b c a b c a ax a b c x buluur. Bu x ifadesii. eşiliğide yerie yazarsak,.3 a b c a h c a b c 4ac a b c h c h a 4a 4ah 4ac a b c 4ah ac a b c. ac a b c iki kare farkı

12 6 4 ah b a c. a c b 4... ah b a c b a c a c b a c b a h a b c a a b c c a b c b a b c 4a h s a s c s b s, çükü a b c s ah sa sb sc s ah s s a s b s c ah 4. s s a s b s c olur. Her iki arafı 4 e bölersek; ah. A ABC s s a s b s c.4 buluur ki isa bier Şahi, 997. Taı..4. Kear uzulukları a, b, c a sayıları ve alaı da asayı ola ABC üçgeie Hero üçgei, a, b, c üçlüsüe de Hero üçlüsü deir Kraer ve Luca, 00. Taı..5. Bir ABC üçgeide 0 < θ < π olak üzere θ açısıı he siüsü he de kosiüsü rasyoel sayı ise bu θ açısıa Hero açısı deir Sasry, 00. Taı..6. a, b ve c doğal sayıları a b c dekleii sağlıyorsa o zaa dik kear uzulukları a ile b, hioeüsüü uzuluğu da c ola bir dik üçge vardır deir. Bu dik üçgee Pyhagorea üçgei; Pyhagorea üçgeii kear uzuluklarıda oluşa a, b, c üçlüsüe de Pyhagorea üçlüsü deir. Pyhagorea üçgeleri ailesii; bir dik açı ihiva ede özel Hero üçgeleri ailesi olarak da görebiliriz Sieriski, 96. Taı..7. Ölçüsü 0º de büyük, 90º de küçük ola açıya dar açı, ölçüsü 90º ola açıya dik açı, ölçüsü 90º de büyük ola açıya geiş açı deir Gusafso ve Frisk, 99. Taı..8. Bir açısı dik açı ola üçgee dik üçge, bir açısı geiş açı ola üçgee geiş açılı üçge, üç açısı da dar açı ola üçgee de dar açılı üçge deir Gusafso ve Frisk, 99.

13 7 Teore.. Kosiüs Teorei. Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c ve iç açıları da A, B, C ise; a b c bccosa, b a c accosb, c a b abcosc dir Ayres, 954. Teore..3 Siüs Teorei. Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c; iç açıları A, B, C ve çevrel çeberii yarıçaı da R ise; a b c R SiA SiB SiC dir Ayres, 954. Taı..9. Z ve 3 olak üzere, ayı düzledeki yalız A, A, A3,..., A okalarıda kesişe ve ardışık üç oka doğrusal olayacak şekilde [ ] [ ] [ ] AA, AA3,..., A A doğru arçalarıı birleşi küesie çokge deir Şahi, 997. Taı..0. Bir çokgei kearlarıı uzaılarıı aldığıızda, bu uzaılar çokgei kesiyorsa bu i çokge dışbükeykoveks, eğer uzaılar çokgei kesiyor ise bu i çokgee de içbükeykokav çokge deir Şahi, 997. Taı... Herhagi üçü doğrusal olaya A, B, C, D okalarıı birleşire, [ AB], [ BC], [ CD], [ DA ] doğru arçaları yalız uç okalarıda kesişiyorlarsa, bu doğru arçalarıı birleşiie dörge deir Şahi, 997. Taı... Verile bir ABCD dörgeide A ile C ve B ile D köşelerii birleşire [ AC ] ile [ ] Şahi, 997. BD doğru arçalarıa ABCD dörgeii köşegeleri deir Taı..3. Bir çeberi farklı iki okasıı birleşire doğru arçasıa kiriş deir Şahi, 997. Taı..4. Kearları bir çeberi kirişleri ola dörgee, kirişler dörgei deir Şahi, 997.

14 8 Şekil.. Kirişler Dörgei Şekildeki [ ], [ BC ], [ DC ], [ AD] AB doğru arçaları çeberi kirişleridir. Dolayısıyla, ABCD bir kirişler dörgeidir. Yai kirişler dörgei; köşeleri ayı çeber üzeride ola dörge diye de aılaabilir. Kirişler dörgeii köşegeleri her zaa çeberi erkezide geçez. Yalızca kare, dikdörge, gibi özel dörgeleri köşegeleri erkezde geçer Şahi, 997. Teore..4. Bir kirişler dörgeide, karşılıklı açılar büülerdir. İsa. Şekil.. deki ABCD bir kirişler dörgeidir A C B D olduğuu gösereliyiz. A açısı çevre açı olduğu ve DCB yayıı gördüğü içi, DCB A.5 dir. C açısı da çevre açı ve DAB yayıı görüyor. O halde, DAB C.6 olur..3 ve.4 eşiliklerii araf arafa olarsak; DCB DAB DCB DAB A C 80 buluur Çeberi ü yayıı ölçüsü 0 D 80 B buluur Şahi, dir. Bezer şekilde,

15 9 Teore..5. Bir ABC üçgeide A, B, C açılar olak üzere; i SiA SiA.CosA TaA, Ta A Ta A ii CosA Cos A, Ta A iii SiA ± B SiA.CosB ± SiB.CosA, iv CosA ± B CosA CosB SiA.SiB, dir Ayres, 954. Taı..5. ABC üçgeii bir A dar açısı içi; SiA Siπ A ve CosA Cosπ A dır Ayres, 954. Teore..6. Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c ve açıları da A, B, C ise; AABC absic acsib bcsia dir Rich, 963. Taı..6. Çeberi erkezide çıka iki ışıı oluşurduğu açıya çeberi erkez açısı deir. Merkez açıı gördüğü yayı ölçüsüe de erkez açıı ölçüsü deir Rich, 963. Taı..7. Köşesi çeberi üzeride olu kearları bu çeberi üzeride ola açılara çevre açı deir Rich, 963. Teore..7. Çeberi bir çevre açısıı ölçüsü, ayı yayı göre erkez açıı ölçüsüü yarısıa eşiir Rich, 963. Taı..8. Bir çeberi herhagi iki okası arasıdaki arçasıa yay deir Rich, 963. Teore..8. Bir çeberde ayı yayı göre çevre açıları ölçüleri eşiir Rich, 963. Teore..9. Bir çeberde; eş kirişleri göre çevre açılar eş ve eş çevre açıları gördüğü kirişler de eş olur Rich, 963. Teore..0. kearlı bir çokgei bir köşeside geçe köşegeler çokgei ae üçgee ayırırlar Rich, 963.

16 . HERON ÜÇGENLERİNİN VE HERON DÖRTGENLERİNİN OLUŞTURULMASI.. Pyhagorea Üçgeleride Hero Üçgelerii Oluşurulası Bu keside; Pyhagorea Üçgeleri yardııyla Hero üçgelerii oluşuracağız. Bir a, b, c Pyhagorea üçgei kearları a olarak; u ile v; u > v şarıı sağlaya doğal sayılar ve λ,, 3, olak üzere a λu v, b λuv, c λ u v. forülleri ile verilir. Bir Pyhagorea üçgeii alaı da a sayı olduğuda bu üçge ayı zaada bir Hero üçgeidir. Büü Pyhagorea üçgelerii dik açıları orak olduğuda, Pyhagorea üçgeleri, Hero üçgelerii dik açılı ailesi olarak aılaabilir Sasry, 00. Bu bize ü Hero üçgelerii geel bir küesii bir orak Hero açısı ihiva ede aileler aracılığı ile aılaabileceği hakkıda bir fikir verir Sasry, 005. Açıklık ve kolaylık içi sayısal örekler vereli ve burada bir geel souca ulaşalı. Örek.. Bir üçgede ailesi buluuz. 3 CosA şarıı sağlaya bir A açısı içi bir Hero üçge 5 3 Çözü. Bir Hero üçgeleri ailesii her bir ABC üçgeii CosA ile verile 5 bir orak Hero açısı ihiva eiğii kabul edeli. Kosiüs eorei bu ailei bir a, b, c eleaıa uygulaırsa; b bc c b bc c c b c c 5 5 a b c bc b c bc elde edilir. Burada;

17 3 4 a b c c yazılabilir. a, b, c ler doğal sayılar olduklarıda a, b c, c üçlüsü bir 5 5 Pyhagorea üçlüsü olalıdır. Yai; 3 4 a λ u v, b c λ u v, c λ uv olur ki burada u, v ler aralarıda asal doğal sayılar ve c yi a sayı yaa λ ı e küçük değeri dir λ çifir. Burada; a, b, c u v, u vu v, 5uv, u, v, u > v.4 olarak aılarız. A ı büüleye açısıı ihiva ede, yai ABC ' ' ' Hero üçgei belirleek içi bezer bir yöe uygulaırsa; 3 CosA ' ola 5 a', b', c ' u v, u vu v, 5uv, u, v, u > v elde edilir. Biz;.4 aileside CosA ve.5 e de CosA ' olasıı u ile 5 5 v i seçilişide bağısız olduğuu kolaylıkla korol edebiliriz Sasry, 005. Örek....4 ile.5 de u 5, v alıdığıda, a, b, c 5, 63, 5 ve a, b, c 5, 33, 5 elde edilir. Bu üçgeler; 5 orak kearları boyuca Şekil.. deki gibi birleşirilebilir. Souça; 96, 5, 5 ikizkear üçgei elde ediliş olur ki bu üçgede sadeleşire yolu ile 4, 3, 3 üçgeie ulaşılır Sasry, 005. Şekil.. Orak Kearlı İki Hero Üçgeiyle Yei Bir Hero Üçgei Elde Edilesi Örek....4 de u 3, v alır ve a, b, c sıralı üçlüsüü e büyük orak böleleri ile kısalırsak; a, b, c 3, 4, 5 olarak elde edilir. Sora.5 de u ve v i u 4, v biçiide farklı değerlerii aldığıızda, a, b, c 7, 9, 0 elde edilir. Burada BAC B ' AC ' ' π olası gerekiğii haırlayalı. Bu duruda ABC ve ABC ' ' ' üçgeleri biişik hale geirileez birleşirileez. Bu duruda; bu üçgelerde AB A B olacak şekilde uygu bezerlik döüşüleri

18 yaılalı ve sora bu üçgeler birleşirilelidir. Bu duruda Şekil. deki gibi 55, 6, 5 yei Hero üçgei olarak elde edilir Sasry, 005. Şekil..Orak Kearlı Hale Geirile İki Hero Üçgeide Yei Bir Hero Üçgei Elde Edilesi Yukarıda.4 ve.5 ifadeleride bulua bazı a, b, c ve a', b', c' ler ile bu sıralı üçlüleri 3. bileşeleri boyuca birleşirilesiyle ele edile ab, b', a lar Tablo. ile verilişir. Örek.. Bir üçgede ailesi buluuz. Tablo. u v a b c a' b' c' a bb' a CosA şarıı sağlaya bir A açısı içi bir Hero üçge 5 4 Çözü. Bir Hero üçgeleri ailesii her bir ABC üçgei eleaıı CosA ile 5 verile bir orak Hero açısı ihiva eiğii kabul edeli. Kosiüs eorei bu ailei bir a, b, c eleaıa uygulaırsa;

19 b bc c b bc c c b c c 5 5 a b c bc b c bc elde edilir. Burada; 4 3 a b c c yazılabilir. a, b, c ler doğal sayılar olduklarıda a, b 4 5 c, 3 c üçlüsü bir 5 Pyhagorea üçlüsü olalıdır. Yai; a λ u v, b 4 5 c 3 λ u v, λ uv.7 5 c olalıdır. Burada u, v ler aralarıda asal doğal sayılar ve c yi a sayı yaa λ ı e küçük değeri 3 ür λ, 3 ü kaı ola bir doğal sayıdır. Burada; a, b, c 3u v, 3u vu 3v, 0uv, u, v, 3u > v.8 4 olarak aılarız. A ı büüleye açısıı ihiva ede, yai CosA ' ola 5 ABC ' ' ' Hero üçgei belirleek içi bezer bir yöe uygulaırsa; a', b', c ' 3u v, 3u vu 3v, 0uv, u, v, u > 3v elde edilir. Biz;.8 aileside ve CosA.9 da CosA ' olasıı u ile v 5 5 i seçilişide bağısız olduğuu kolaylıkla korol edebiliriz. Yukarıda.8 ve.9 ifadeleride bulua bazı a, b, c ve a', b', c' ler ile bu sıralı üçlüleri 3. bileşeleri boyuca birleşirilesiyle ele edile ab, b', a lar Tablo. ile verilişir. Tablo. u v a b c a' b' c' a bb' a

20 5 Örek.3. Bir üçgede CosA şarıı sağlaya bir A açısı içi bir Hero üçge 3 ailesi buluuz. 5 Çözü. Bir Hero üçge ailesii her bir ABC eleaıı CosA ile verile bir 3 orak Hero açısı ihiva eiğii kabul edeli. Kosiüs eorei bu ailei bir a, b, c eleaıa uygulaırsa; 5 5 a b c bc b c c elde edilir. a, b, c ler doğal sayılar olduklarıda a, b 3 c, c üçlüsü bir 3 Pyhagorea üçlüsü olalıdır. Yai; 5 a λ u v, b 3 c λ u v, 3 c λ uv. buluur ki burada u, v aralarıda asal doğal sayılar ve c yi a sayı yaa λ ı e küçük değeri 6 dır λ, 6 ı kaı ola bir doğal sayıdır. Burada; a, b, c 6u v, u 3v3u v, 3uv, u, v, 3u >v. 5 olarak aılarız. A ı büüleye açısıı ihiva ede, yai CosA ' ola 3 ABC ' ' ' Hero üçgei belirleek içi bezer bir yöe uygulaırsa; a', b', c ' 6u v, u 3v3u v, 3uv, u, v, u >3v elde edilir. Biz;. aileside CosA ve CosA '.3 de olasıı u 3 3 ile v i seçilişide bağısız olduğuu kolaylıkla korol edebiliriz. Yukarıda. ve.3 ifadeleride bulua bazı a, b, c ve a', b', c' ler ile bu sıralı üçlüleri 3. bileşeleri buyuca birleşirilesiyle ele edile ab, b', a lar Tablo.3 ile verilişir. Tablo.3 u v a b c a' b' c' a bb' a

21 Örek.4. Bir üçgede ailesi buluuz. 5 7 CosA şarıı sağlaya bir A açısı içi bir Hero üçge 5 7 Çözü. Bir Hero üçge ailesii her bir ABC eleaıı CosA ile verile bir 5 orak Hero açısı ihiva eiğii kabul edeli. Kosiüs eorei bu ailei bir a, b, c eleaıa uygulaırsa; a b c bc b c c elde edilir. a, b, c ler doğal sayılar olduklarıda a, b 5 c, 4 c üçlüsü bir 5 Pyhagorea üçlüsü olalıdır. Yai; u v a λ, b 7 5 c u v λ, 4 5 c uv λ.5 elde edilir ki burada u, v ler aralarıda asal doğal sayılar ve c yi a sayı yaa λ ı e küçük değeri dir λ, i kaı ola bir doğal sayıdır. Burada; a, b, c u v, 3u 4v4u 3v, 5uv, u, v, 4u >3v.6 olarak aılarız. A ı büüleye açısıı ihiva ede, yai 7 CosA ' ola 5 ABC ' ' ' Hero üçgei belirleek içi bezer bir yöe uygulaırsa; a', b', c ' u v, 3u 4v4u 3v, 5uv, u, v, 3u >4v elde edilir. Biz;.6 aileside CosA ve.7 de CosA ' olasıı u 5 5 ile v i seçilişide bağısız olduğuu kolaylıkla korol edebiliriz. Yukarıda.6 ve.7 ifadeleride bulua bazı a, b, c ve a', b', c' ler ile bu sıralı üçlüleri 3. bileşeleri buyuca birleşirilesiyle ele edile ab, b', a lar Tablo.4 ile verilişir. Tablo.4 u v a b c a' b' c' a bb' a

22 6 Daha geel olarak; CosA şarıı sağlaya orak A açılı Hero üçge aileleri ile büüleye açı ailesi de CosA' olarak aılaa aile de sırasıyla; u, v,, u >v ve > olduğuda, a, b, c u v, u vu v, uv.8 ve u, v,, u > v ve > olduğuda da a, b, c u v, u vu v, uv.9 biçiide verilir..8 ve.9 u alaları sırası ile.b.c.sia ve.b.c.sia' olarak verilir..8 ve.9 da, alıdığıda.4 ve.5 ifadelerie ulaşıldığıı ve BAC açısı ile B ' AC ' ' açılarıı büüler olduğuu belireli. Böylece, u > v olduğuda bu üçgeleri orak kearlarıda birleşirilerek yei bir üçge elde edebiliriz. Yukarıda.8 ve.9 ifadeleride bulua bazı a, b, c ve a', b', c' ler ile bu sıralı üçlüleri 3. bileşeleri boyuca birleşirilesiyle ele edile ab, b', a lar Tablo.5 ile verilişir. Tablo.5 u v a b c a' b' c' a bb' a

23 Gerçeke;.4 ve.5 veya.8 ve.9 ailelerii bezer şekilde birleşirilebileceği gerçeğide harekele, ikizkear Hero üçgelerii büü ailesi a, b, c u v, u v, u v, u > v, u, v.0 biçiide buluur. Buula beraber.4 ile.5 veya.8 ile.9 aileleri başka bir yolla da birleşirilebilir. Bu Hero üçgelerii a küesii üreir. Daha geel olarak; eğer.4 veya.8 de u u, v v ve.5 veya.9 da da u u, v v olarak alıır ve gerekli bezerlik döüşüleri uygulaarak biişireyle e.b.o.b.la kısalıka sora; a, b, c u v u v, u v u v u v u v, u v u v. elde edilir Sasry, 005. Tablo.6.. de elde edile bazı a, b, c ler u v u v a b c u v u v a b c Hero Üçgeleriyle Hero Dörgelerii Oluşurulası 7 Bu keside; Hero Üçgeleri ve Hero açıları yardııyla, Hero dörgelerii oluşurulasıa çalışacağız. Hero forülü üçgei kearlarıı kullaarak alaıı bulak içi kullaıla bir forüldür. Biz de bu forülü dörgei alaıı bulak içi kearlarıı ve iç açılarıı kullaarak gelişireceğiz. Üçgeler yaısal olarak kuvvelidir. Ne kadar ağırlık koulursa koulsu

24 8 hareke eeyeceklerdir. Şekil.3 deki ilk üçge; üzerie hiçbir kuvve uygulaaakadır ve o düz durakadır. İkici üçge üzerie büyük bir kuvve koulduğuu göserekedir. Yie de, yaısıda dolayı eseeeke yada hareke eeekedir. Geoerik şekilleri oluşurulasıda üçgeleri kullaılasıı edeleride biri de budur. KUVVET Şekil.3. Bir Üçgei; Ağırlık Uygulaaış ve Uygulaış Hali Yaı olarak güçlü ola üçgeler; sadece üçge eşisizliğii sağlıyorsa bir foksiyodur ve üçge eşisizliği eorei; üçgei iki kearıı uzulukları olaıı, üçücü kearıı uzuluğuda daha büyük olası gerekiğii belirir. Dörgeler içi de; Dörgeleri Eşisizlik Kuraı olarak adladırıla bezer bir duru vardır. Bu eore; bir dörgei, üç kearıı uzulukları olaıı, kala kearı uzuluğuda daha büyük olduğuu ifade eder. Üçge ve dörgeleri ayı eşisizlik kuraıa aylaşalarıa rağe dörgeler, üçgelerde farklı olarak yaısal olarak güçlü değildir. Olar şekil değişirebilirler. Şekil.4. dörgeleri hareke edebilirliğii göserekedir.

25 9 Şekil.4. Ayı Kear Uzuluğua Sahi Farklı Şekildeki Dörgeler Şekil.4. eki dörgeleri üü ayı kear uzuluklarıa sahi olasıa rağe eş değildirler. Şekiller sadece bükülüşür. Dörgeleri şekli değişiğide, yükseklikleri de değişir. Bu sebee alaları da değişecekir. Yie de, bir dörgei ala forülüe, yükseklikleri dahil eeyiz, sadece kear uzuluklarıı kullaırız. O zaa bu değişii hesalaada kearlar arasıdaki açıları dahil eei bir yoluu bulaız gerekir. Bir üçgede kearlar değişez; her üçge içi sadece bir uheel açı ölçüü vardır. Bu yüzde ala içi açı ölçüüü forüle dahil edilesie gerek yokur. Çükü Hero, bir üçgei alaı içi, sadece kearlarıı kullaarak bir forül gelişirişir. Bu forül Teore.. ile veriliş ve isalaışır. Bu ifadeyi kullaarak aşağıdaki örekleri iceleyeli. Örek.5. Kear uzulukları a 8, b 5 ve c 7 ola bir ABC üçgei alaıı buluuz. Çözü. İlk olarak s i yai yarı çevrei değerii bulalı; a b c s s s s 0 olur. ABC i alaıı Hero forülüyle bulak içi a, b ve c değerleri yerie yazılırsa; A ABC s s a s b s c buluur. Örek.6. Kear uzulukları k 9, l ve 0 ola bir KLM üçgei alaıı buluuz.

26 0 Çözü. İlk olarak s i yai yarı çevrei değerii bulalı. k l s s s s 35 olur. KLM i alaıı Hero forülüyle bulak içi k, l ve değerleri yerie yazılırsa; A KLM s s k s l s buluur. Yukarıda verile öreklerde üçgeleri alaları hesalaırke hiç açı kullaıladı. Sadece kear uzulukları ve yarı çevre işlee alıdı. Bu forüle bir kear olarak d yi de eklersek forül; A ABCD s s a s b s c s d. olur. Yukarıda bahsedildiği ve orijial şekillerde de haırlaacağı gibi, sadece kearları kullaılaayacağı; açı ölçülerii de hesaba kaılası gerekiği görülüyor. Bu yüzde alaları değişirek ve hareke eirek içi şekilleri ieliklerii birleşirerek dörgelerle ilgili bezer bir forül bulak isiyoruz. Teore.. Bir ABCD dörgeii iç açıları Hero açısı ise bu dörge bir Hero Dörgeidir Sasry, 005. Şekil.5. Hero Dörgei İsa. İlk olarak dörgei; ABC ve ADC biçiide iki üçgee ayıracağız.

27 Şekil.6. Hero Dörgeii İki Üçgee Bölüesi Kosiüs eorei; ABC ve ADC üçgeleri içi sırasıyla uygulaırsa, AC a b abcosb ve AC c d cdcosd.3 olacağıı biliyoruz. Her iki deklei sol arafları ayı olduğuda sağ arafları da eşi olur. Yai; a b abcosb c d cdcosd.4 yazabiliriz. Bu ifadeyi; a b c d abcosb cdcosd.5 biçiide düzeleyerek her iki arafı karesii alırsak; a b c d abcosb cdcosd.6 olur. Öe yada ABC ve ADC üçgelerii alalarıı olaı ABCD dörgei alaıa eşi olur. Bu duruu; A ABCD A ABC A ADC absib cdsid.7 biçiide ifade edebiliriz. Burada A ABCD 4 ile çarılırsa; A deilerek, bu eşiliği her iki arafı 4A absib cdsid.8 elde edilir. Her iki arafı karesii alırsak; 6 A absib cdsid.9 buluur. Şidi.6 ve.9 deklelerii araf arafa olarsak;

28 a b c d 6A abcosb cdcosd absib cdsid elde edilir. So eşiliğiizi sağ arafıdaki birici eşiliği;.30 a b c d 6A abcosb cdcosd abcosb cdcosd biçiide açar ve hesalarsak; absib cdsid a b c d 6A 4a b Cos B 8abcdCosBCosD 4c d Cos D absib cdsid.3 olacakır. Ayı düşüceyle eşiliği sağ arafıdaki ikici araezi de açarak hesalarsak; a b c d 6A 4a b Cos B 8abcdCosBCosD 4c d Cos D absib cdsid absib absid a b c d 6A 4a b Cos B 8abcdCosBCosD 4c d Cos D buluur. Bu so ifadeyi; a b Si B abcdsibsid c d Si D a b c d 6 A 4a b Cos B 4 a b Si B 8abcdCosBCosD 8 abcdsibsid 4c d Si D 4 c d Cos D.3.33 biçiide yeide düzeleyeli ve eşiliği sağ arafıdaki ilk araezi çara araezie ve so araezi de zaa 4a b orak 4c d orak çara araezie alalı. O a b c d 6A 4 a b Cos B Si B 8abcdCosBCosD 8abcdSiBSiD 4 c d Si D Cos D.34 elde edilir. Burada olduğuda; Cos B Si B ve Cos D Si D a b c d 6A 4a b 8abcdCosBCosD 4c d 8abcdSiBSiD.35 ifadesie ulaşılır. Bu so ifadeyi a b c d 6A 4a b 4c d 8abcdSiBSiD 8abcdCosBCosD.36

29 biçiide yeide yazar ve eşiliği sağ arafıdaki so iki erii 8abcd araezie alırsak; a b c d 6A 4a b 4c d 8abcd CosBCosD SiBSiD.37 elde edilir. Daha sora, CosBCosD SiBSiD Cos B D rigooerik özdeşliğii yerie yazarsak; a b c d 6A 4a b 4c d 8abcdCos B D.38 olur. Eşiliği her iki yaıda a b c d yi çıkarırsak; 6A 4a b 4c d 8abcdCos B D a b c d.39 ifadesie ulaşılır. Sağ arafı çaralara ayırabilek içi 8abcd ilave eder ve çıkarırsak 6A 4a b 4c d 8abcd 8abcd 8abcdCos B D a b c d.40 buluur. So ifadeyi 6A 4a b 4c d 8abcd 8abcd 8abcdCos B D a b c d.4 biçiide yazarsak; 6A ab cd 8abcd 8abcdCos B D a b c d.4 3 olur. Bu ifade; A ab cd a b c d abcd Cos B D 6 8 biçiide ekrar yazılarak, çaralarıa ayrılırsa; 6 A ab cd a b c d ab cd a b c d 8abcd Cos B D olur. Burada, 6 A ab cd a b c d ab cd a b c d 8 abcd Cos B D c cd d a ab b a ab b c cd d 8 abcd Cos B D c cd d a ab b a ab b c cd d 8 abcd Cos B D c d a b a b c d 8abcd Cos B D buluur. Burada rigooerik eriiizi sayısı ile çarar ve bölersek;

30 D Cos B 6 A c d a b a b c d 6abcd ifadesie ulaşırız. Öe yada; B D Cos B D B D Cos B D Cos Cos olur ki bu eşiliği so deklede yerie yazarsak; 4.46 B D 6A c d a b a b c d 6abcdCos.47 buluur. Eşiliğiizi sağ arafıdaki ilk erideki ifadeleri çaralarıa ayırırsak; 6 A c d b a c d a b a b d c a b cd ifadesie ulaşılır. abcdcos B D 6.48 Burada dörgei çevresie a b c d s diyecek olursak; a b c d s olacakır. Bu düşücede harekele so eşiliğiizi; 6 A c d b aa a c d a bb b a b d ccc. B D a b c d d d 6abcdCos biçiide düzeler ve a b c d s yazarsak; B D 6 A s as bs cs d 6abcdCos olur. Burada B D 6A s a s b s c s d 6abcdCos ve B D 6A 6 s a s b s c s d 6abcdCos elde edilir. Eşiliği her iki arafıı 6 ile sadeleşirirsek; B D A s a s b s c s d abcdcos buluur. Her iki arafı kareköküü alırsak;

31 5 B D A s a s b s c s d abcdcos.54 ifadesie ulaşılır ki bu forül herhagi bir dörgei alaıı verir LaRosa, 003. Örek.7. Kearları a 7, b 9, c, d 6 ve açıları BCD 0, CDA 5, DAB 53 buluuz. 0 ABC 90, ola dörgeii alaıı Çözü. Öce s yi hesalayalı. Şekil.7. Kearları Veriliş Bir Dörge a b c d s 7 s 7 olur. Şidi ala forülüde kearları ve yarı çevre değerii yerie yazalı. AABCD Cos Cos Cos , Cos olarak buluur. Cos 0,5 değerii hesalar ve yerie yazarsak; 90 5 AABCD Cos0,5 4400,49 487,5 64,7 elde edilir ki böylece A ABCD 64,7 c dir LaRosa, 003.

32 3. BRAHMAGUPTA DÖRTGENLERİNİN OLUŞTURULMASI Bu bölüde Taı..4 ile verile kirişler dörgeii ya da Brahagua dörgeii özelliklerii veriyoruz. Daha sora kullaacağıız içi; çeber geoerisi ve rigooeride bazı iyi bilie souçlarla başlıyoruz. Şekil 3.. Bir ABC Üçgei ve Çevrel Çeberi Şekil 3. R yarıçalı bir çeberi [AB] kirişii göserekedir. C ve C', AB kirişii ayırdığı farklı çeber yayları üzerideki okalar olsu. Burada; ACB AC' B π ve AB R Siθ 3. buluur. Brahagua dörgeleri üzerideki çalışalarıız boyuca aşağıdaki göserileri sadar olarak kullaacağız. Teore 3.. ABCD köşe okaları ayı çeber üzeride bulua bir dörge yai kirişler dörgei olsu. Ayrıca bu dörgei; a, b, c, d kear uzuluklarıı; e ile f de köşege uzuluklarıı gösersi. Bu duruda s a b c d olak üzere; A ABCD s a s b s c s d 3. biçiide verilir. Ayrıca; e ac bd ad bc, ab cd f ac bd ab cd, ad bc dir Sasry,

33 İsa. Teore..4. e kirişler dörgeide karşılıklı açıları büüler olduğuu biliyoruz. Böylece B ve D açıları da karşılıklı açılar olduğua göre ölçüleri olaı 0 80 dir. Buu ala forülüde yerie koyalı. 7 A ABCD s a s b s c s d abcdcos B D 0 80 A ABCD s a s b s c s d abcdcos olur ki burada 0 80 Cos 0 olduğuda; elde edilir. A ABCD sa sb sc s d 3.7 Tekrar Şekil.. ye döersek; B ve D açıları karşılıklı açılar olduğuda ölçüleri olaı 0 80 dir. Bu da CosB CosD olası alaıa gelir. Burada; e a b abcosb ve e c d cdcosd 3.8 olur. Bu so iki ifadei sol arafları ayı olduğuda; e a b abcosb c d cdcosd 3.9 yazabiliriz ki böylece; a b e ab elde ederiz. Yai; c d e cd CosB CosD a b e c d e 0 3. ab cd dir. Burada gerekli işleler yaıldığıda; ac bd ad bc e 3. ab cd ifadesie ulaşırız ki bu da; ac bd ad bc e 3.3 ab cd olası deekir. Bezer şekilde, A ve C açıları da dörgede karşılıklı açılar olduğuda ölçüleri olaı 0 80 dir. Bu da; CosA Cos C olası alaıa gelir. Burada

34 8 da yukarıdakie bezer şekilde işle yaıldığıda; f ab cd ac bd ad bc 3.4 buluur. Eğer 3.7 ifadeside d 0 alıırsa; bu ifade a, b, c kearlı bir üçgee döüşür ki ala forülü de bilie Hero forülüdür. Teore 3. Poley Teorei. Bir ABCD kirişler dörgeii kear uzuluklarıı AB a, BC b, CD c, DA d ile ve köşege uzuluklarıı da AC e, BD f ile gösereli. O zaa, kirişler dörgei köşegelerii çarıı, karşılıklı kearlarıı çarılarıı olaıa eşiir. Yai; e. f ac bd 3.5 dir. İsa. Yukarıda ABCD kirişler dörgeii köşege uzuluklarıı asıl hesaladığı verilişi. Şidi de bular birbirleri ile çarılsı; e ac bd ad bc ab cd ve f ab cd ac bd ad bc ise; e. f ac bd ad bc. ab cd ab cd ac bd ad bc ac bd ad bc ab cd ac bd. ab cd ad bc elde edilir ki isa bier. ac bd ac bd 3.. Hero Açıları ile Brahagua Dörgelerii Taıılası Bu keside; Hero açılarıı erileride harekele Brahagua dörgelerii bir oluşuuu vereceğiz. Teore..5. e göre Ta θ ise Siθ ve Cosθ dir. Teore..4. e göre, bir kirişler dörgei karşılıklı açıları büüler olduğuda, böyle bir ABCD dörgei daia bir köşesie göre sııfladırılabilir ki,

35 bu açılar içi A, B π ve C, D π 9 olur. Bir ABCD kirişler dörgeii, bir dikdörge olası içi gerek ve yeer şar A B π olasıdır. Ayrıca bu kirişler dörgei bir yauk olası içi gerek ve yeer şar ise A B olasıdır. Bir ABCD kirişler dörgeide CAD CBD θ olsu. Bu dörgei rasyoel olası içi gerek ve yeer şar A, B ve θ açılarıı Hero açıları olasıdır. Teore 3.3. ABCD bir Brahagua dörgei ve DAC θ olak üzere Ta θ D C, Ta ve Ta ise; a,, b c, d, e, f, A ABCD, R Olur Sasry, 00. İsa. Bir ABCD Brahagua dörgei [AD] ve [BC] kearları aralel olaak üzere [AD] yi, D okasıda ve [BC] yi de C okasıda uzaarak, bu iki uzaıı π kesişi okasıı E ile gösereli A, B kabulü alıda, bu doğrular sadece, dörgei dikdörge olası duruuda aralel olur.

36 30 Şekil 3.. Bir ABCD Kirişler Dörgeide Oluşurula EAB Üçgei Şekil 3.. de EC α veed β olsu. ABCD kirişler dörgei olduğu içi karşılıklı açıları büülerdir. Yai; ' ve ' C C π olur. Ayrıca Teore..4. e de belirildiği gibi dir. O zaa; D D π 3.6 D B π 3.7 π D B D' 3.8 olacağı açıkır. Yai; EDC EBA 3.9 olur. Yie ABCD kirişler dörgei olduğu içi; A C π 3.0 dir. O zaa; π C A C' 3. olacağı açıkır. Yai ECD EAB 3. olur. Burada E orak açı olduğuda ve 3.9 ile 3. de, Açı-Açı-Açı bezerlik eoreie göre EAB ile ECD üçgelerii bezer olduğu görülür ve EAB ECD biçiide göserilir. O halde;

37 3 AB CD EB ED EA EC λ 3.3 olarak yazılabilir. Burada, Taı..5. e faydalaarak; SiC Si π C SiC ' SiA ve SiB Si π B SiB ' SiD 3.4 yazılabilir. Öyle ki; veya a c α b β d β α λ 3.5 α β a λc, b λβ α, d λα β, λ > ax, 3.6 β α olur. Ayrıca Siüs Teoreide; R R e RSiB RSiD α ve f RSiA RSiC β 3.7 ρ ρ elde edilir. Burada R, ABCD kirişler dörgeii yarıçaı; ρ da ECD üçgeii çevrel çeberii yarıçaıdır. Böylece; α ρ.sid, β ρsi C, c ρsie 3.8 buluur. Poley Teoreide ac bd ef idi. Yukarıda bulua e ile f değerleri ile bezerlik kurarak bulua a, b, c ve d değerleri Poley Teoreide yerie yazılırsa; R.αβ c²λ βλ ααλ β 3.9 ρ elde edilir. Bu so dekle düzeleirse; yai R ρ α β c λ αβ λ λ λ.cos E λ λ.cos E Cos E Si E λ Cos E Si E R ρ olur. Bu da; λ Cos E Si E 3.30 R ρ λ Cos E Si E 3.3

38 3 şeklide yazılabilir. Burada iki kare farkı özdeşliği kullaılarak; R R λ CosE λ CosE Si E 3.3 ρ ρ elde edilir. Teore..5. e faydalaarak, E açısıı da bir Hero açısı olduğu söyleir. Böylece Taı..5. e SiE ve CosE ler rasyoel olur. R ve λ ı rasyoel değerlerii elde ederke bir rasyoel sayısı içi; R R SiE λ CosE.SiE ve λ CosE ρ ρ olarak kabul edeli. Bu ifadelerde; R ρ c SiE 4 ve λ SiE CosE elde edilir. Burada R i ifadeside Ta θ olacağı açıkır. Çükü; c R 4 c θ Ta 4 θ Ta θ Ta c 4 θ Ta θ θ Si Cos θ Cos c 4 θ Si θ Cos θ Cos c R. c c c 4 θ θ Cos Si 4 θ θ. Cos. Si θ θ Cos Si Siθ olu, yai c R 3.35 Siθ dir. Burada da; c RSiθ 3.36 D olduğu görülür. Eğer burada C ve D Hero açıları içi; Ta ve alıırsa, Teore..5. e; Ta CosD, SiD ve CosC, SiC 3.37 C

39 33 elde edilir. Burada bulduğuuz değerleri; CosD C CosD CosC SiD.SiC CosE dekleide yerie yazarsak; CosE buluur. Bezer şekilde SiD C SiD.CosC SiC.CosD SiE olu SiE elde edilir. Yukarıda 3.8 ile 3.36 da c ρ.sie R.Siθ idi. Burada da SiE ve Siθ değerlerii yerie yazarsak; c ρ R olur. Gerekli işleleri yaığıızda; ρ R c buluur. Souça c olu, 3.8 de α ρ.sid ve c ρ.si E olduğu göz öüe alıırsa; c ρ SiE 3.43 olur. Buu ve SiD değerii α ρ.sid de yerie yazar ve gerekli kısala işlelerii yaarsak; α olur. Bezer şekilde β ρ.si C idi. Burada da 3.44

40 34 c ρ SiE ve SiC değerii β ρ.sic de yerie yazar ve gerekli kısala işlelerii yaarsak; β buluur. Yie yukarda yaıla işlelerde; λ SiE CosE buluuşu. Burada da SiE ve CosE değerleri yerie yazılırsa; λ elde edilir. Yukarıda yaıla işlelerde; bulua ü bu değerleri ABCD Brahagua dörgeii kearlarıı, köşegelerii, alaıı ve bu dörgei çevreleye çeberi çaıı bulada kullaalı. a λc [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] olur. Bezer şekilde; b λβ α, d λα β, ifadeleride de λ, α ve β değerleri yerie yazılırsa;, d b, α β α b b olarak buluur. Burada λ > ax, dır; çükü λ dır. Yai ı β α β β β α oziif değer olası içi λ ı ı aksiu değeride daha büyük olası β gerekir. Bezer duru α β içi de geçerlidir. Ayrıca siüs eoreide;

41 35 idi. Eğer; yazılırsa; e RSiB RSiD ρ R.α, c R ve Siθ c ρ değerleri yukarıdaki deklede yerie SiE c R e R SiB R Si D.α Siθ SiE. α. α ρ c Siθ SiE. buluur. Bezer işleler f R.SiA R.SiC ρ R.β içi de uygulaırsa; olur. Ayrıca f a b c d s ve A ABCD s a s b s c s d idi. Öce yukarıda bulduğuuz a, b, c ve d ifadeleride araezler açılırsa; a 4 b c d buluur. Bulduğuuz ifadeler; s de yerie yazılırsa;

42 a b c d 4 de a b c d s elde edilir. Sora da; b c d a [ ] s a a c d b [ ] s b a b d c s c [ ] [ ] a b c d olur. Burada yukarıdaki eşilikler araf arafa çarılırsa; s d A ABCD s a s b s c s d [ ] [ ] AABCD elde edilir ki, her iki arafı karekökü alıırsa; [ ][ ] AABCD buluur. Bezer şekilde; olduğuda; c RSiθ ve c R c Si θ v dir. Bu ifadelerde,,,, u, v asayıları içi, ve olarak u alıır; kearlar ve köşegelerdeki aydalar sadeleşirilirse, Brahagua dörgeleri elde edilir. Ayrıca her bir Brahagua dörgei bu yolla elde edilir. 36 Souç Yukarıdaki ABCD dörgeii araerik göseriide seçilir ve v yazılırsa; u

43 u u v u v v a, u v u v b d, 37 uv c, u e f v biçiide Brahagua yauğuu kear ve köşegeleri verilir. Ayrıca alaı; A ABCD u v u v u v v u olu, çevrel çeberii çaı da; R u v biçiide verilir Sasry, 00. İsa. a v v u u v v u u v u u u v v u u u u v u v v 4, u b v v u v u v u u u u ve u v u v 4 d u v v u v u v u u u u u v u v 4 u

44 38 buluur ki burada olduğuda d b elde edildi. Öe yada c v u uv 4, u v u v e u v u u u ve u v u v u u u v 4 v f u u u v u v u u u v 4 u buluur ki burada olduğuda e f elde edilir. Alaa gelice; a u u v u v v 4 b u v u v 4 u, c uv u, 4 d u v u v 4 u, olduğuda; s a b c d u, u u v u v v u v u v uv u 4

45 u uv 4 v uv 8 uv 4 u olur. Burada da; a b c d s u uv v uv 4 uv 4 u, buluur. Alaı; A ABCD s a s b s c s d olduğuu biliyoruz. O zaa gerekli işleler yaıldığıda; s a u uv u uv 4 u, s b u v 4 uv u v 4 u, s c u uv u uv 4 u s d u v 4 uv u v 4 u olur. Bulduğuuz bu değerleri araf arafa çararsak; 4 4 sa sb sc s d 4 u v 4uv u v 4 u uv v uv 4 u olur ki bu da ala forülüde yerie yazılırsa; A ABCD s a s b s c s d u v 4 uv u v. u v uv 4 u u v 4uv].[ u v u v ] 4 u [ u v u v ] [ u v u v ] 4 u u v u v u v v u 4 u elde edilir. Ayrıca çevrel çeberi çaı; v R u u v u u v 4 u u v. 4 u 39

46 40 olarak hesalaır. Bu dörgede kearları ve köşegeleri her birii buları e küçük orak kaları ola ile bölersek; 4 u a u u v u v v, u v u v b d uv c, u e f v,, A ABCD u v u v u v v u u v R değerlerie ulaşırız ki isa bier. Souç 3.3. de verile ifadelere uygu bazı,, u, v değerlerie karşılık elde edile dörgeleri alaları ile kear, köşege ve çevrel çeberlerii ça uzulukları Tablo 3. ile verilişir. Tablo 3. u v a b d c e f AABCD R , , , , , , , Souç Yukarıdaki ABCD kirişler dörgei [AD] ve [BC] kearları aralel olaya bir Brahagua dörgei ise [AD] yi D okasıda ve [BC] yi de C okasıda uzaırsak E oları kesişi okasıı göserek şarıyla bir ECD üçgei

47 oluşur. Eğer bu ECD üçgei kear uzulukları CD, EC, ED ola bir dik üçge olarak seçilirse; a u v, b u v u v, c uv, d u v u v, e u v, u v f ; A ABCD u uv v u uv v R u v elde edilir. Burada, u u > ; v v > dir Sasry, 00. D İsa. Eğer Ta ise SiD C Eğer Ta ise SiC Eğer Ta θ uv ise Siθ olduğuda u v a idi. Burada, ve değerlerii yerie yazarsak, olduğuda olur. olduğuda buluur. v olur. Ayrıca u v v a u u v u v u v u u v u u u v u olur. Bezer şekilde, ve değerlerii; b, c, d, e, f, AABCD ve R değerleride de yerie yazarsak; b 4

48 b u v u v c uv u u d u v u v u e u v u u v f u A ABCD u uv v u uv v u R u v u elde edilir. Burada da kearları ve köşegeleri her birii, buları e küçük orak kaları ola u ile bölersek araa değerleri buluruz. Souç 3.3. de verile ifadelere uygu bazı,, u, v değerlerie karşılık elde edile dörgeleri alaları ile kear, köşege ve çevrel çeberlerii ça uzulukları Tablo 3. ile verilişir. Tablo 3.. u v a b c d e f AABCD R

49 Souç Yukarıdaki ABCD kirişler dörgei [AD] ve [BC] kearları aralel olaya bir Brahagua dörgei ise [AD] yi D okasıda ve [BC] yi de C okasıda uzaırsak E oları kesişi okasıı göserek şarıyla bir ECD üçgei oluşur. Eğer bu ABCD kirişler dörgeide θ açısı; A B θ π olarak seçilirse, [AB] kearı ABCD i çevrel çeberii çaı olur. Bu duruda; θ 3 Ta elde edilir. Burada ve 3, a b,, ve olarak alıırsa; c, d, e, f A ABCD 4 R biçiide ola bir Brahagua dörgeii elde ederiz Sasry, 00.

50 44 İsa. ise; Ta θ olur. Burada da olur. Yai; ve değerlerii yerie yazarsak,. buluur. Bu, ve değerleri a ifadeside yerie yazılırsa, a... [ ]. [ ] buluur. Bezer işleler b, c, d, e, f, ala ve R içi yaıldığıda;

51 45 b [ ] c.. [ ] d. [ ] e [ ] f [ ] A ABCD

52 46 4 R [ ] elde edilir. Burada da kearları ve köşegeleri her birii, buları e küçük orak kaları ola [ ] ile bölersek araa değerleri buluruz. Souç e verile ifadelere uygu bazı,,, değerlerie karşılık elde edile dörgeleri alaları ile kear, köşege ve çevrel çeberlerii ça uzulukları ile alaları Tablo 3.3 ile verilişir. Tablo 3.3 a b c d e f AABCD R

53 4. DÖRT VE DAHA ÇOK KENARLI BRAHMAGUPTA ÇOKGENLERİNİN OLUŞTURULMASI Geel olarak;, de büyük bir doğal sayı olak üzere kearları, köşegeleri ve alaı rasyoel ola bir ge, rasyoel Hero gei olarak isiledirilir. Bu rasyoeller uygu bir bezerlik döüşüü ile asayıya döüşürüldüğüde bir Hero gei elde edilir. Eğer bir Hero gei kearları bir çevrel çeber içie çizilebiliyorsa, yai kearları çeberi kirişleri ise bu gee bir Brahagua gei deir. Bu bölüde de Brahagua ı resibii; Hero üçgeleri ve asayı kearlı, köşegeli ve alalı kirişler dörgei işa eede Pyhagorea üçgelerii ya yaa biişik olarak kullaabileyi; Hero üçgelerii kedileride ayırarak birkaç 3 ola asayı kearlı, köşegeli ve alalı iç eğe ge işa eeyi iceleyeceğiz. Pyhagorea üçgeleri ailesii; bir dik açı ihiva ede özel Hero üçgeleri ailesi olarak aılaışı. Bu bize ü Hero üçgelerii geel bir küesii bir orak Hero açısı ihiva ede aileler aracılığı ile aılaabileceği hakkıda bir fikir verişi. Brahagua; cos A cos A' 0 olacak şekilde ABC ve ABC ' ' ' gibi iki Hero üçgei alış ve oları orak kearları boyuca birleşirerek yei bir Hero üçgei aılaışır. Bu bize; 3 ve Z ola rasyoel Brahagua gelerii uygu Hero üçgeleri ailelerii elealarıda işa eei yolu ola, geel Brahagua resibii verir. Burada; rasyoeller uygu bir bezerlik döüşüüyle asayılara döüşürülebildiği gerçeğide harekele, rasyoel Brahagua geleri elde ediliş olur. Şidi ya üü bir ailede; ya da birkaçı bir ailede birkaçı büüleye açı aileside ola Hero üçgeleri alarak oları Brahagua geleri işa eede uyguca kullaabiliriz. Kouu daha iyi açıklığa kavuşurulabilesi içi sayısal örekler vereli. Geiş bir şekilde 4 duruuu irdeleyeli. Bu duru öceki bölüde icelediğiizde farklıdır. Aşağıdaki ablo ilkel a, b, c leri ve uygu bir şekilde a, b, c de üreiliş e büyük üçgeleri belirekedir. Verile abloda T de T 6 ya

54 kadar ola üçgeler.4 ailesie; T 7, T 8 ise.5 üçge ailesie aiir. Bu üçgeler daha sora gelecek ola dörgeleri oluşurada kullaılacakır. Tablo 4.. Hero Üçgeleri u v İlkela, b, c E büyüka, b, c T 3 4, 5, 3 340, 45, 55 T 4 7,, 0 340, 40, 00 T , 77, , 385, 375 T , 76, , 304, 40 T , 04, , 46, 80 T , 75, 3 340, 375, 65 T 7 4 7, 9, 0 340, 80, 00 T , 97, , 97, 65 Ayı veya farklı Hero üçgeleri, farklı yollarla birleşirilebilir. Buu ilk olarak dörgeleri olduğu öreke ele alalı. Çükü 4 duruu içi kullaıla işa yöelerii bezerleri > 4 duruu içi de geçerli olacakır. Buda dolayı 5 ve 6 içi de örekler verilebilir Sasry, Brahagua Dörgeleri Brahagua dörgeleri aşağıdaki yollarla üreilebilir: i.4 aileside aıla sıraya göre.8 veya.5 aileside bir üçge alıır aıla sıraya göre.9 buda böyle bu şekilde alaşılacak ve kedileri ile birleşirilir, ii Ayı ailede iki farklı üçge alıarak biişik hale geirilirbirleşirilir, iii.4 aileside alıa bir üçgele,.5 aileside bir üçge biişik hale geirilir. Şidi de her bir duru içi birer örek vereli. Örek 4.. T yai riiif a, b, c 7,, 0 üçgeii alalı ve yukarıdaki gibi kedisi ile biişik hale geireli Sasry, 005. Şekil 4.. Bir Hero Üçgeii Kedisiyle Biişirileside Oluşa Brahagua Dörgei

55 Burada CAD CBD olduğuda ABCD bir kirişler dörgei olur. Bu dörgee Poley Teoreii uyguladığıızda bilieye AB kearı; BD. AC BC. AD CD. AB AB AB AB AB olu rasyoeldir. Kearları ve köşegeleri her birii 7 kaıı alıasıyla ABCD Brahagua dörgei elde edilir ki gerçeke bu; AB 34, BC AD 70, CD 89, AC BD 357 ola bir ikizkear yaukur Şekil 4. deki gibi. Gerçek alaı daha iyi hesalayabilek içi, alaı asayı olduğuu göserirke bir arışayı vereli. Aşağıda vereceğiiz bu arışa daha geel durulara uygulaabilir. Taı..5, Teore..5 ve Teore..8 de faydalaarak; BAC BDC, ABD ACD ve BAD BAC CAD yazılabileceğide BAD de bir Hero açısıdır ve ABD üçgei de bir Hero üçgeidir deriz. ABCD; BCD ve BDA Hero üçgelerii olaı biçiide arçalaabileceğide ABCD i alaı da asayı olacakır. Bu özel eklee herhagi bir kear boyuca; öreği 7, 0 veya de yaılabilir. Acak bu serbeslik farklı Hero üçgelerii ekleesii içere yaıları kasaaz. Buu geçerli olu oladığı Poley Teorei ile korol edilir. Örek 4.. Tablo 4. ile verile T 4, T 5 riiif üçgelerii biişik hale geirerek Brahagua Dörgeleri oluşuruuz Sasry, 005. Çözü. Bu iki yolla yaılabilir. 49 Şekil 4.. Bir Kearları Orak Ola Hero Üçgelerii Orak Kearları Üzeride Birleşirilesiyle Oluşuruluş Bir Brahagua Dörgei