TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI
|
|
- Irmak Nalci
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe lan mesafeyi bulmak istiyruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu srunun üstesinden gelmek için basit ölçümlerden başka bir şeye ihtiyacımız var. Açıları ölçmek, uzaklıkları ölçmekten daha klaydır. Örneğin, güneş, yeryüzü ve ayın luşturduğu açıyı, yalnızca bir klla güneşi, diğeriyle ayı işaret ederek aralarındaki açıyı tahmin ederek bulabiliriz. Buradaki anahtar nkta, açılar ve mesafeler arasındaki ilişkileri bulmaktır. Mesafeleri açılardan belirlemenin bir ylu lsaydı, güneşe lan mesafeyi raya gitmek zrunda lmadan bulabilirdik. Trignmetrik fnksiynlar bize ihtiyacımız lan araçları sağlar., dik üçgenin bir açısı ise, zaman trignmetrik ran sin, 'nin karşı tarafının uzunluğunun hiptenüsün uzunluğuna bölünmesi larak tanımlanır. Bu ran, güneş, dünya ve ayın luşturduğu büyük üçgen dahil lmak üzere, herhangi bir benzer dik üçgen içinde aynıdır. (bkz. Bölüm 6., Örnek 61.). Trignmetrik fnksiynlar iki farklı fakat eşdeğer ylla tanımlanabilir: gerçek sayıların fnksiynları (Bölüm 5) veya açıların fnksiynları (Bölüm 6). İki yaklaşım birbirinden bağımsızdır, bu nedenle Bölüm 5 veya Bölüm 6 ilk önce incelenebilir. Farklı uygulamalar için farklı yaklaşımlar gerektiğinden burada her iki yaklaşımı da inceliyruz 6.1 AÇI HESAPLAMASI Bir AOB açısı, rtak bir tepe nktası O lan iki ışın R1 ve R'den luşur (bkz. Şekil 1). Genellikle, bir açı; R1 ışınının R üzerine dönüşü larak yrumlanır. Bu durumda, R1 başlangıç kenar larak adlandırılır ve R açının bitiş kenarı larak adlandırılır. Eğer dönüş saat yönünün tersine lursa, açı pzitif larak kabul edilir. Eğer saat yönünde döndürülürse açı negatif kabul edilir. 1
2 Açı Hesaplaması Bir açının ölçüsü, R 1 'in R 'ye taşınması için gereken tepe nktasındaki dönme miktarıdır. Sezgisel larak, bu açının ne kadar açık lduğunu gösterir. Açılar için ölçü birimi, derecedir. 1 derece açı ölçüsü, başlangıç kenarının tam devirin 1/60'ını döndürerek luşturulmuştur. Kalkülüs ve diğer matematik dallarında açıları ölçmek için kullanılan dğal yöntem, radyan ölçüsüdür. Bir açının açıklık miktarı, merkezi açının tepe nktası lan ve yarıçapı 1 lan bir çemberin yay uzunluğu ile ölçülür. RADYAN ÖLÇÜMÜNÜN TANIMI: Yarıçapı 1 lan çember, merkezi açının tepe nktasından çizilirse, bu açının radyan (kısaca rad) cinsinden ölçümü, açıya karşılık gelen yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil ) Yarıçapı 1 lan çemberin çevresi 'dir, dlayısıyla tam bir dönüm rad ölçüsüne sahiptir. düz bir açı rad ve dik açı / rad ölçüsüne sahiptir. Birim çemberi byunca uzunluğunda bir yaya karşılık gelen bir açı, birimlik radyan ölçüsüne sahiptir. (Bkz. Şekil ).
3 Derece larak ölçülen tam devir 60 ve radyan cinsinden rad lduğu için, bu iki açı ölçüm yöntemi arasında aşağıdaki basit ilişkiyi elde ederiz. DERECE VE RADYAN ARASINDAKI İLİŞKİ 1. Dereceyi radyana dönüştürmek için ile çarpılır.. Radyanı dereceye dönüştürmek için ile çarpılır. Bir radyanın byutu hakkında fikir edinmek için, şuna dikkat edin: 1 rad ve rad açısının 1 radyan ölçümü Şekil 4'te gösterilmiştir. ÖRNEK 1: Radyan ve Derece Arasında Dönüştürme (a) 60 i radyan cinsinden ifade ediniz. (b) 6 rad ı derece cinsinden ifade ediniz. ÇÖZÜM: Terminlji ile ilgili bir nt: Ölçüsü 0 lan bir açı demek için genellikle 0 lik açı cümleciğini kullanırız. Ayrıca, bir açısı için, nın ölçüsü veya rad demek için veya yazarız. Açının birimi verilmediği zaman, açının radyan cinsinden ölçüldüğü varsayılır.
4 STANDART POZİSYONDAKİ AÇILAR Eğer bir açı xy-düzleminde tepe nktası rijin ve başlangıç kenarı ise pzitif x-ekseni üzerinde çizilirse, bu açı standart knumdadır. Şekil 5 standart pzisynlardaki açıları örneklemektedir. Standart knumdaki iki açı, kenarları aynı ise kterminaldir (Kterminal: Başlangıç ve bitim kenarları aynı lan açılar). Şekil 5 de (a) ve (c) kterminaldir.. ÖRNEK : Kterminal Açılar (a) Standart pzisynda =0 açısı ile kterminal lan açıları bulunuz. (b) Standart pzisynda açısı ile kterminal lan açıları bulunuz. ÇÖZÜM: (a) ile kterminal lan pzitif açıları bulmak için, 60 'ın herhangi bir katını ekleriz. Böylece: = 90 ve = 750 = 0 ile kterminaldir. ile kterminal lan negatif açıları bulmak için, 60'ın herhangi bir katını çıkarırız = - 0 ve 0-70 = = 0 ile kterminaldir. (Bkz. Şekil 6) ŞEKİL 6 4
5 (b) ile kterminal lan pzitif açıları bulmak için, 'nin herhangi bir katını ekleriz. Böylece: 7 1 ve 4 ile kterminaldir. ile kterminal lan negatif açıları bulmak için, 'nin herhangi bir katını çıkarırız. Böylece: 5 11 ve 4 ile kterminaldir. (Bkz. Şekil 7). ŞEKİL 7 ÖRNEK : Kterminal Açılar 0 ve 60 derece arasında ve standart pzisynda, 190 açı ölçüsü ile kterminal lan açıyı bulunuz. ÇÖZÜM: 60'ı, 190'den istediğimiz kadar çıkarabiliriz ve elde edilen açı 190 ile kterminal lacaktır. Snuçta = 90 ve (60) = 570 gibi. 0 ile 60 arasındaki istediğimiz açıyı bulmak için, 60'ı 190'dan gerektiği kadar çıkarırız. Bunu yapmanın etkili bir ylu, 60'nin 190'e kaç kez girdiğini, yani 190'i 60'a bölüp, kalanını da aranan açı larak belirlemektir. Görüldüğü üzere 190, 60 e bölündüğünde kalan kısmı 10'dur (Şekil 8). 10 istenilen açıdır. ŞEKİL 8 5
6 ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU Radyan ölçüsü lan bir açı, bir çemberin çevresinin kadarlık parçasına eşit lan bir yaya karşılık gelmektedir. Böylece, yarıçapı r lan çemberde, yay uzunluğu s; açısına karşılık gelmektedir (Şekil 9). ŞEKİL 9 ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU r yarıçaplı bir çemberde yay uzunluğu s, radyan merkez açısına karşılık gelmektedir: s = r için çözüm yapıldığında aşağıdaki önemli frmül elde edilir: Bu frmül herhangi bir yarıçapı r lan bir çemberi kullanılarak radyan ölçüsünü tanımlamamızı sağlar. açısının radyan ölçüsü s / r dir. Burada s, r yarıçaplı bir çemberde a karşılık gelen çembersel yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil 10). ŞEKİL 10 6
7 ÖRNEK 4: Yay Uzunluğu ve Açı Ölçüsü (a) Yarıçapı 10 m lan ve merkez açısı 0 lan bir çemberin yay uzunluğunu bulun. (b) 4 m yarıçaplı bir çemberdeki merkezi açı a 6 m uzunluğunda bir yay karşılık gelmektedir. 'nın radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM: (a) Örnek 1(b) den rad dır. Buna göre yayın uzunluğu: (b) srfrmülünden s 6 r 4 rad. Daire Diliminin Alanı r yarıçaplı dairenin alanı A = r dir. Merkezi açısı lan dairenin bir diliminin alanı, tüm dairenin alanının / kadarlık parçası lan alana sahiptir. DAİRE DİLİMİNİN ALANI A dairenin alanı 1 r r = Yarıçapı r lan dairenin, merkezi açısı radyan lan bir diliminin alanı 1 A r ŞEKİL 11 ÖRNEK 5: Daire Diliminin Alanı Dairenin yarıçapı m ise, merkez açısı 60 lan bir dairenin diliminin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: Daire diliminin alanı frmülünü kullanabilmek için radyan cinsinden dilimin merkez açısını bulmalıyız: NOT: A rad rad. Böylece, daire diliminin alanı A r m r frmülünün geçerli labilmesi için açısının radyan cinsinden lması gerekmektedir. 7
8 Dairesel Hareket Bir nktanın Şekil 1'de gösterildiği gibi bir daire byunca hareket ettiğini varsayalım. Nktanın hareketini tanımlamanın iki ylu vardır: dğrusal hız ve açısal hız. Dğrusal hız, kat edilen mesafedeki değişim hızıdır. Bu nedenle dğrusal hız, kat edilen mesafenin geçen zamana bölümüdür. Açısal hız, merkez açısı nın değişim hızıdır. Bu nedenle açısal hız, bu açısal değişimin geçen zamana bölünmesiyle elde edilen radyan sayısıdır. ŞEKİL 1 DOĞRUSAL HIZ VE AÇISAL HIZ Bir nktanın yarıçapı r lan bir daire byunca hareket ettiğini ve dairenin merkezinden nktaya kadar lan ışının t zamanında radyanından geçtiğini varsayalım. t zamanında, nktanın kat ettiği mesafe s = r lsun. Bu durumda, cismin hızı Açısal Hız Dğrusal Hız r s v t ; Yunaca mega harfidir. ÖRNEK 6: Dğrusal ve Açısal Hızın Bulunması Bir çcuk, her 10 saniyede 15 devir hızıyla, fit uzunluğunda bir askıda bir taşı döndürmektedir. Taşın açısal ve dğrusal hızlarını bulunuz. ÇÖZÜM: 10 saniye içinde, açısı 15 x = 0 radyan ile değişir. Yani taşın açısal hızı 8
9 Taşın 10 saniye içinde seyahat ettiği mesafe s 15 r ft. Böylece taşın dğrusal hızı: Açısal hızın daire yarıçapına değil, yalnıza açısına bağlı lduğuna dikkat ediniz. Bununla birlikte, açısal hız ve r yarıçapı biliyrsak, dğrusal hızı aşağıdaki gibi bulabiliriz: s r v r r t t t DOĞRUDAL VE AÇISAL HIZ ARASINDAKİ İLİŞKİ Bir nkta yarıçapı r lan dairede açısal hız ile hareket ediyr ise, dğrusal hızı v şu şekilde verilir: v r ÖRNEK 7: Açısal Hızdan Dğrusal Hızın Bulunması Bir kadın, tekerlekleri 6 inç çapında lan bir bisiklet sürüyr. Tekerlekler dakika başına 15 devirde dönerse, seyahat ettiği hızı mi/h larak bulun. ÇÖZÜM: Tekerleklerin açısal hızı rad min Tekerleklerin yarıçapı 1 inç lduğu için (çapın yarısı); dğrusal hız: v r , 10. in. min Ayak başına 1 inç, mil başına 580 feet ve saat de 60 dakika lduğundan, saatte mil hızı; 10, 10. in. min 60 min h 61, 61 in. h 9. 7 mi h 1 in. fit 580 ft mi 6, 60 in. mi 9
10 6. DİK ÜÇGENLERİN TRİGONOMETRİSİ Trignmetrik Oranlar, Özel Üçgenler, Dik Üçgenlerin Trignmetri Uygulamaları Bu bölümde, dik üçgenlerin kenarlarının belirli ranları, trignmetrik ranlar larak adlandırılan, incelenecek ve bazı uygulamaları verilecektir. Trignmetrik Oranlar Dar açılarından biri lan dik üçgeni düşünün. Trignmetrik ranlar aşağıdaki gibi tanımlanmıştır (bkz. Şekil 1) Hiptenüs Karşı Kmşu ŞEKİL 1 TRİGONOMETRİK ORANLAR karşı sin hiptenüs hiptenüs csc karşı kmşu cs hiptenüs hiptenüs sec kmşu karşı tan kmşu kmşu ct karşı Bu ranlar için kullandığımız kısaltmaların tam adları: sinüs, ksinüs, tanjant, ksekant, sekant, ktanjant dır. açısına sahip herhangi bir iki dik üçgen benzer lduğu için, bu ranlar üçgenin byutuna bakılmaksızın aynıdır. Trignmetrik ranlar sadece açısına bağlıdır (bkz Şekil ). Şekil- 10
11 ÖRNEK 1: Trignmetrik Oranların Bulunması Şekil 'teki açısının altı trignmetrik ranları bulunuz. ÇÖZÜM: sin cs 5 tan 5 csc ct 5 ÖRNEK : Trignmetrik Oranların Bulunması cs ise, dar açısına sahip dik üçgeni çiziniz ve için geri kalan 5 trignmetrik ranı 4 bulunuz. ÇÖZÜM: Özel Üçgenler sin cs, kmşu kenarın hiptenüse ranı larak tanımlandığından dlayı, hiptenüsün uzunluğu 4 ve kmşu kenarın uzunluğu lan bir dik üçgen çizebiliriz. Karşı kenara x dersek, Pisagr tereminden dir. Böylece: ranları bulmak için kullanırız. 7 4 cs 4 4 csc sec 4 7 dir. Ardından Şekil 4 deki üçgeni tan ct Bazı dik üçgenler, Pisagr tereminden klayca hesaplanabilen ranlara sahiptir. Sıkça kullanıldığından, bu kısımda bahsedilecektir. İlk üçgen, 1 birim uzunluğa sahip kare içersine köşegen çizilmesiyle elde edilir. (bkz Şekil 5). Pisagr teremine göre köşegen uzunluğu 7 dir. Ortaya çıkan üçgen 45, 45 ve 90 açılarına sahiptir (ya da 4, 4 ve ). Şekil 6 daki gibi ikinci üçgeni elde etmek için, kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin tabanına dik açırtay DB çizebiliriz. Pisagr 7 11
12 teremine göre DB kenarının uzunluğu dür. ABC üçgeninin DB açırtayı lduğu için 0, 60 ve 90 açılarına sahip üçgeni elde ederiz (ya da 6, ve ). Şimdi Şekil 5 ve 6 'daki özel üçgenleri 0, 45 ve 60 ölçülerindeki açılar için trignmetrik ranları hesaplamak için kullanabiliriz (yada 6, 4 ve ). Tablda listelenmiştir. Bu özel trignmetrik ranlar sık kullanıldığı için bilinmesinde fayda vardır. Tabii ki, elde edildiği üçgenleri hatırlarsak, daha klayca hatırlanabilirler. Diğer açıların trignmetrik ran değerlerini bulmak için hesap makinesi kullanırız. Trignmetrik ranlarda kullanılan matematiksel yöntemler (nümerik yöntemler) dğrudan bilimsel hesap makinelerine kdlanmıştır. Örneğin, SIN tuşuna basıldığında, hesap makinesi verilen açının sinüs değerini bir yaklaşımla hesaplar. Hesap makineleri sinüs, ksinüs ve tanjant değerlerini verir; diğer ranlar aşağıdaki çarpamaya göre ters ilişkileri kullanarak bunlardan klaylıkla hesaplanabilir: 1
13 Bu ilişkilerin trignmetrik ranların tanımından klayca rtaya çıktığını kntrl edebilirsiniz. sin t yazdığımızda, radyan ölçüsü t lan açının sinüsü demek isteriz. Örneğin, sin1, radyan ölçüsü 1 lan açının sinüsü anlamına gelir. Bu sayının yaklaşık değerini bulmak için hesap makinesi kullanırken, hesap makinesi radyan mduna ayarlanır ve aşağıdaki değer bulunur: sin Ölçüsü 1 lan açının sinüsünü bulmak istersek, hesap makinesi derece mduna ayarlanır ve aşağıdaki değer bulunur: sin Dik Üçgenlerin Trignmetriye Uygulamaları Üçgen altı parçaya sahiptir: üç açı ve kenar. Bir üçgeni çözmek demek, üçgen hakkında bilinen bilgilerin hepsini belirlemek demektir; bir başka ifadeyle, üç kenarın uzunluklarını ve üç açının ölçülerini belirlemektir. ÖRNEK : Dik Üçgenin Çözümü Şekil 7 'de gösterilen ABC üçgeni için a ve b değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: Görüldüğü üzere geriye kalan açı 60 dir. a 'yı bulmak için, a 'yı önceden bildiğimiz uzunluklar ve açılara ilişkilendiren bir eşitlik ararız. ŞEKİL 7 sin 0 a 1 lduğu bilindiğine göre: 1 a 1sin Benzer şekilde, cs0 b 1 lduğu bilindiğine göre: b 1cs
14 Şekil 8, dik üçgende hiptenüs r ve dar açı bilgisini biliyrsak; a ve b uzunlukları a rsin b rcs ŞEKİL 8 Trignmetrik ranları kullanarak dik üçgenleri çözebilme özelliği, rta bulma, haritacılık, astrnmi ve mesafelerin ölçülmesindeki birçk prblemin temelinde yer almaktadır. Bu bölümde yapılan uygulamalar daima dik üçgenleri içermektedir, ancak snraki üç bölümde görebileceğimiz gibi, trignmetri dik üçgen lmayan üçgenlerin çözümünde de faydalıdır. Bir snraki örneği tartışmak için bazı terminljiye ihtiyacımız var. Bir gözlemci bir nesneye bakıyrsa, zaman gözlemcinin gözünden nesneye dğru lan çizgiye görüş hattı denir (Bkz. Şekil 9). Gözlemlenen nesne yatayın üstündeyse, görüş hattıyla yatay arasındaki açıya yükseliş açısı denir. Nesne yataydan aşağıda ise, görüş hattı ile yatay arasındaki açıya, alçalış açısı denir. Bu bölümdeki örnek ve alıştırmalardan birçğunda, zemin seviyesinde varsayımsal bir gözlemci için yükseliş ve alçalış açısı verilecektir. Görüş hattı, eğimli bir düzlem veya bir yamaca benzer fiziksel bir nesneyi izliyrsa, eğim açısı terimini kullanırız. Bir snraki örnek, trignmetrinin ölçüm prblemine yönelik önemli bir uygulamasıdır: Uzun bir ağacın yüksekliğini tırmanmak zrunda kalmadan ölçüyruz! Örnek basit lmasına 14
15 rağmen snuç, trignmetrik ranların bu tür prblemlere nasıl uygulandığını anlamada temel önem taşır. ÖRNEK 4: Ağacın Yüksekliğinin Bulunması Dev bir çınar ağacı, 5 ft uzunluğunda bir gölge luşturuyr. Güneşin yükseliş açısı 5.7 ise ağacın yüksekliğini bulun. ÇÖZÜM: Ağacın yüksekliği h lsun. Şekil 10'dan şunu görüyruz: h tan Tanjantın tanımından h 5tan ile çarp h Hesap makinesi kullan Snuç larak, ağacın yüksekliği yaklaşık 56 ft'dir. ŞEKİL 10 ÖRNEK 5: Dik Üçgenleri İçeren Bir Prblem Bir binanın tabanından 500 fit uzaktaki bir nktadan bir gözlemci, binanın en üstünün yükseliş açısının 4 lduğunu ve binanın üzerindeki bir bayrak direğinin tepesinin yükseliş açısının 7 lduğunu bulmuştur. Binanın yüksekliğini ve bayrak direğinin uzunluğunu bulun. ÇÖZÜM: Şekil 11, durumu göstermektedir. Binanın yüksekliği, Örnek 4 'te ağacın yüksekliğini bulduğumuz şekilde bulunur. ŞEKİL 11 h tan Tanjantın tanımından 15
16 h 500tan ile çarp h Hesap makinesi kullan Binanın yüksekliği yaklaşık larak ft dir. Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için önce yerden direğin tepesine kadar lan yüksekliği bulalım. k tan h 500tan 7 h Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için, h 'yi k 'dan çıkarıyruz. Snuç larak, bayrak direğinin uzunluğu yaklaşık larak 55 = ft dir. 6. AÇILARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI Açıların Trignmetrik Fnksiynları, Herhangi Bir Açıda Trignmetrik Fnksiynların Değerlendirilmesi, Trignmetrik Belirleyiciler, Üçgen Alanları Önceki bölümde, dar açılar için trignmetrik ranlar tanımlandı. Bu kısımda tüm açılar için trignmetrik ranları açılardaki trignmetrik fnksiynları tanımlayarak genişletilecektir. Bu fnksiynlarla mutlaka dar açı lması gerekmeden pratik prblemler de çözülebilecektir. Açıların Trignmetrik Fnksiynu POQ, dar açılı dik üçgen lmak üzere Şekil 1(a) da gösterilmektedir. nın standart pzisyndaki knumu Şekil 1(b) de gösterilmektedir. Hiptenüs Karşı kmşu ŞEKİL 1 P = P (x, y); nın uç nktasıdır. POQ üçgeninde karşı kenarın uzunluğu y ve kmşu kenarın uzunluğu x dir. Pisagr Teremimini kullanarak hiptenüsün değerinin r x y dir. Snuç larak; 16
17 y x y sin cs tan r r x Diğer trignmetrik fnksiynlar için benzer şekilde hesaplanabilmektedir. Açıların trignmetrik fnksiynlarını aşağıdaki gibi tanımlıyruz (Bkz. Şekil ). ŞEKİL TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TANIMI standart pzisynda bir açı ve P(x,y) uç kenarda nkta lmak üzere, eğer r x y rijinden P(x,y) nktası arasındaki uzaklık ise y sin r cs r csc, y 0 r sec, x y x x r tan, x 0 0 ct, y 0 y x x y 0'a bölme tanımlanmamış bir işlem lduğundan belirli trignmetrik fnksiynlar belirli açılar için tanımlanmamıştır. Örneğin tan 90 y x x = 0 lduğu için tanımsızdır. Trignmetrik fnksiynların tanımlanamayacağı açılar, 0 açısının uç nkta tarafındaki bir nktanın x veya y krdinatının 0 lduğu açılardır. Bunlar kadran (çeyrek) krdinat eksenleri ile sınırları lan açılardır. açılardır; Önemli nkta; trignmetrik fnksiynların değerlerinin P(x,y) nktasının seçimine bağlı lmadığıdır. Bunun nedeni eğer Px,y Şekil ^ deki gibi uç nkta üzerinde başka bir nkta ise POQ ve P OQ üçgenleri benzerdir. Trignmetrik Fnksiynların Herhangi Bir Açıyla Değerlendirilmesi Tanım gereği, açısı I. Bölgenin in uç tarafında ise bütün trignmetrik fnksiynların değerlerinin hepsinin pzitif lduğunu görülmektedir. [ r her zaman pzitiftir çünkü başlangıç nktasından P(x,y) nktasına lan uzaklıktır.] nın uç kenarı II. Bölgede ise x negatif ya 17
18 pzitiftir. Snuç larak sin ve csc pzitif, diğer trignmetrik fnksiynlar negatif değerlere sahiptir. Aşağıdaki tablda diğer bilgileri kntrl edebilirsiniz. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ Bölge Pzitif Fnksiynlar Negatif Fnksiynlar I Hepsi Hiçbiri II sin,csc cs, sec, tan, ct III tan, ct sin, csc, cs, sec **********Gerçel Sayıların Trignmetrik Fnksiynlar ile İlişkisi****** Birim çemberini kullanarak tanımlanmış trignmetrik fnksiynlar daha önce incelemişti (Bölüm 5). Bir açının trignmetrik fnksiynlarıyla nasıl ilişkili lduklarını görmek için, krdinat düzlemindeki birim çember ile başlayalım. P(x,y) birim çemberde uzunluğu t lan bir yay tarafından belirlenen uç nkta lsun. Snra t, çemberin merkezinde bir açısının karşısına yer almaktadır. P nktasından x ekseni üzerinde Q nktasına dikey çizgi çizersek, OPQ üçgeninin şekli gösterildiği gibi uzunlukları x ve y lan bir dik üçgen çizilir. 18
19 Şimdi, gerçek sayı t'nin trignmetrik fnksiynlarının tanımına göre; sin t y cs t x açısının trignmetrik fnksiynlarının tanımına göre; kmşu y sin y hiptenüs 1 karşı x cs x hiptenüs 1 Eğer radyan cinsinden ölçülürse = t lur. (Aşağıdaki şekle bakınız.) Trignmetrik fnksiynları tanımlamanın iki ylunu karşılaştırdığımızda, bunların aynı lduğunu görürüz. Başka bir deyişle, fnksiynlar larak, verilen bir reel sayıya özdeş değerler atarlar. (Gerçel sayı bir durumda 'nin radyan ölçüsüdür ya da diğerinin yay uzunluğu t'dir.) Neden trignmetriyi iki farklı yldan inceliyruz? Çünkü farklı uygulamalar trignmetrik fnksiynları farklı şekilde görmemizi gerektirir. ÖRNEK 1: Açıların Trignmetrik Fnksiynlarını Bulma (a) cs 15 (b) tan 90 değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: (a) Şekil 4 den cs 15 = -x / r dir. Fakat cs 45 = x / r ve cs 45 = ise 19
20 cs15 (b) 90 ve 0 açılar kterminal (eş bitim nktasına sahip açılar) lduklarından Şekil den görüldüğü üzere tan 90 tan 0 dir ve tan0 ise tan 90 Örnek 1'den, dar lmayan açılardaki trignmetrik fnksiynların dar bir açıya karşılık gelen trignmetrik fnksiynlarla aynı değere (işaretleri hariç) sahip lduğunu görüyruz. Bu dar açıya referans açısı denir. REFERANS AÇI standart knumda bir açı lsun. ile ilişkili referans açısı, 'nin uç tarafı ve x-ekseni tarafından luşturulan dar açıdır. Şekil 6, bir referans açı ı bulmak için, açısının uç tarafının bulunduğu bölgenin bilinmesi faydalı lduğunu göstermektedir. ŞEKİL 6: açısı için referans açı ÖRNEK : REFERANS AÇININ BULUNMASI 0
21 Verilen açıları için referans açılarını bulunuz. 5 (a) (b) 870 ÇÖZÜM: (a) Referans açısı, 5 açısının uç tarafı ve x-ekseni tarafından luşturulan dar açıdır. (Bkz. Şekil7). Bu açının uç tarafı IV. bölgede lduğu için, referans açısı 5 (b) 870 ve 150 kterminaldir ( çünkü 870 (60) = 150). Snuç larak bu açının uç tarafı II. Bölgede lduğu için VERİLEN BİR AÇI İÇİN TRİGONOMETRİK FONKSİYONUN DEĞERİNİNİ HESAPLANMASI Herhangi bir açısı için trignmetrik fnksiynların değerlerini bulmak için aşağıdaki adımları gerçekleştiririz. 1. açısı ile ilişkili bulunur.. 'nin trignmetrik fnksiynunun işaretini, nin bulunduğu bölgeye göre belirleyin.. 'nin trignmetrik fnksiynunun değeri, işaretin haricinde 'nin trignmetrik fnksiynunun değeri larak aynıdır. ÖRNEK : Referans Açıtı Kullanarak Trignmetrik Fnksiynların Değerinin Bulunması Verilen açıların değerlerini hesaplayınız. 1
22 (a) sin 40 ve (b) ct 495 ÇÖZÜM: (a) Bu açı uç tarafını Şekil 9'da gösterildiği gibi III Bölgededir. Referans açısı bu nedenle = 60'dır ve sin 40'un değeri negatiftir. Böylece (b) 495, 15 ile kterminaldir. Bu açının uç tarafı Şekil 10 da gösterildiği gibi II. bölgededir. Snuç larak referans açı = 45 ve ct 495 nin değeri
23 ÖRNEK 4: Referans Açıtı Kullanarak Trignmetrik Fnksiynların Değerinin Bulunması Verilen açıların değerlerini hesaplayınız. (a) ÇÖZÜM: 16 sin ve (b) sec 4 (a) 16 açısı 4 açısı ile kterminaldir ve bu açılar III. bölgede yer almaktadır. (Bkz. Şekil 11). Snuç larak referans açı 4 dir. sin fnksiynu III.bölgede negatif işarete sahip lduğu için (b) 4 açısı IV.bölgededir ve referans açısı 4 dir. (Bkz. Şekil 1). Bu bölgede sekant fnksiynu pzitif lduğu için Açıların trignmetrik fnksiynları, trignmetrik özdeşlikler larak adlandırılan birkaç önemli denklem aracılığıyla birbirleriyle ilişkilidir. Ters özdeşlikler ile önceden çalışılmıştı. Bu özdeşlikler herhangi bir açıyla için denklemin her iki tarafında tanımlıdır. Pisagr özdeşlikleri Pisagr tereminin bir snucudur.
24 İSPAT: İlk Pisagr özdeşliğini ispatlayalım. Şekil 1 deki kullanarak Snuç larak y x x y sin cs 1 r r r sin cs 1 x y r (Pisagr teremi) dir. (Her ne kadar şekilde dar açı gösterilse de, bütün açıları için ispatın geçerli lup lmadığını kntrl etmelisiniz). ÖRNEK 5: Bir Trignmetrik Fnksiynların Bir Diğeri Tarafından İfade Edilmesi (a) sin ı cs ile ifade ediniz. (b) açısı II.bölgede ise tan ı sin ile ifade ediniz. ÇÖZÜM: (a) İlk Pisagr özdeşliğini kullanarak sin 1 cs 4
25 Snucun işareti bulunduğu bölgeye bağlıdır. Eğer açısı I. yada II. bölgede ise sin nın işareti pzitiftir ve sin 1 cs Eğer açısı III. yada IV. bölgede ise sin nın işareti negatiftir ve sin 1 cs (b) tan sin cs lduğu için cs ı sin ile ifade etmeliyiz. cs 1 sin II.bölgede cs negatif lduğu için, cs 1 sin sin sin tan cs 1sin ÖRNEK 6: Trignmetrik Fnksiynun Hesaplanması Eğer tan ve III.bölgede ise cs bulunuz. ÇÖZÜM 1: tan nın cs ile ifadesine ihtiyacımız var. tan 1sec özdeşliğinden sec tan 1. III.bölgede sec negatif lduğu için; Snuç larak, sec tan 1 cs = 1 1 sec tan ÇÖZÜM : Bu srun, Bölüm 6.'deki Örnek 'nin yöntemi kullanılarak daha klay çözülebilir. İşaretin haricinde, herhangi bir açının trignmetrik fnksiynlarının değerleri dar açıdan (referans açısı) lanlarla aynı lduğunu hatırlayın. Dlayısıyla, bir anlığına işareti görmezden gelelim, dar açı ile tan ü sağlayan bir dik üçgeni çizelim. (Bkz. Şekil 14). Pisagr teremi ile bu üçgenin hiptenüsünün uzunluğu 1 lacaktır. Şekil 14 deki üçgenden cs 1 lduğunu hemen fark edebiliriz. III.bölgede negatif lduğu için 5
26 cs 1 ÖRNEK 7: Trignmetrik Fnksiynun Hesaplanması Eğer sec ve IV.bölgede ise diğer beş trignmetrik fnksiynu hesaplayınız ÇÖZÜM: sec ile Şekil 15 deki gibi bir dik üçgen çizebiliriz. nın IV:bölgede lduğuna dikkat ederek, sin 1 cs tan csc sec ct 1 Bu bölümü, trignmetrik fnksiynların bir uygulamasıyla snuçlandırıyruz. Uygulamada dar açı lması gerekmemektedir. Üçgenin alanı A; A 1taban yükseklik larak hesaplanır. Eğer iki kenarı ve aradaki bir açısını biliyrsak, trignmetrik fnksiynları kullanarak yüksekliği bulabiliriz ve bundan da alanı bulabiliriz. Eğer dar açısı ise; Şekil 16(a) daki gibi üçgenin yüksekliği h bsin dır. Alan 6
27 1 1 A taban yükseklik absin ŞEKİL 16 Eğer dar açısı değilse; Şekil 16(b) de görüldüğü üzere üçgenin yüksekliği h bsin 180 bsin Bunun nedeni, 'nin referans açısının açısı lmasıdır. Buna göre üçgenin alanı; 1 1 A taban yükseklik absin ÜÇGENİN ALANI Üçgenin alanı A a ve b kenarları ile açısı ile 1 A absin ÖRNEK 8: Üçgenin Alanını Bulmak Şekil 17 deki üçgenin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: Verilen üçgende 10 cm ve cm lan kenarların arasındaki açı 10dir. Buna göre 7
28 1 A absin 1 10 sin10 =15sin cm 8
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için
DetaylıTRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. f(x) sıfırdan farklı dğrusal fnksiyn lmak üzere, f(x 6) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x ) işleminin snucu kaçtır?. Rakamları çarpımı ile rakamları tplamının tplamları kendisine
DetaylıSBS MATEMATİK DENEME SINAVI
SS MTEMTİK DENEME SINVI 8. SINIF SS MTEMTİK DENEME SINVI. 4.. Güneş ile yut gezegeni arasındaki uzaklık 80000000 km dir. una göre bu uzaklığın bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? ),8.0 9 km
DetaylıTRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI
DetaylıÜçüncü Kitapta Neler Var?
Üçüncü Kitapta Neler Var?. Kümeler 7 0. Kartezyen çarpım - Bağıntı 4. Fnksiynlar 4 74 4. İşlem 7 84. Mdüler Aritmetik 8 00 6. Plinmlar 0 0 7. İkinci Dereceden Denklemler 6 8. Eşitsizlikler 7 6 9. Parabl
DetaylıTrigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
DetaylıBÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)
BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga
DetaylıÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Trigonometrik Fonksiyonlar tanx. 1 cos x sinx ifadesi, aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ÖĞRENİNİN I SOYI: NUMRSI: ersin dı KONU: Trignmetrik Fnksiynlar ersin Knusu. cs x sinx ifadesi, aşağıdakilerden. cs x ct x sin x sec x + sec x ) cs x csec x + csec x ) cs x. ct x cs ec x ct x. sec x csec
DetaylıMATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
ENEME MTEMTÝK GEOMETRÝ ENEMELERÝ 1. ( ) 1, 3 9 : 9 4 6 0,5 1 4. K dğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 14 tür. işleminin snucu kaçtır? 1 ) 3 ) 1 ) ) 1 E) 3 3 una göre, aşağıdakilerden hangisi 4 ile tam
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıDİNAMİK İNŞ2009 Ders Notları
DİNAMİK İNŞ2009 Ders Ntları Dç.Dr. İbrahim Serkan MISIR Dkuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders ntları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2018-2019 GÜZ Dynamics, Furteenth Editin
DetaylıÖRNEK 3712 nin esas ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM esas ölçüsü 112 olur. ÖRNEK ÇÖZÜM cos 1, 1 sin 1
MTEMTİK TRİGONOMETRİ - I irim Çember II III sin I IV 0 nin esas ölçüsünü bulunuz 0 00 0 00 + olduğundan, esas ölçüsü olur I ölge (0 < < II ölge ( ) < < ) III ölge ( < < IV ölge ( ) < < ) sin tan cot +
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
DetaylıYGS 2014 MATEMATIK SORULARI
YGS 0 MTMTIK SORULRI. 6.(8 6 ) işleminin snucu kaçtır? 8 6 6 6 6 6.(8 6 ) 8 6 6 7. a b a, ve sayıları küçükten büyüğe dğru a sıralanmış ardışık tamsayılardır. una göre, a + b tplamı kaçtır? a a a b a b
Detaylı[OA ve [OB ışınlarının birleşiminden oluşan açı; AOB açısı veya BOA açısı şeklinde ifade edilir.
TRİGONOMETRİ Trignmetri, astrnmi çalışmaları sırasında dğan ve gelişen bir matematik dalıdır. Trignmetri ile ilgili en eski bilgiler, milattan önce 7 5 ıllarında aşaan Hipparchus a aittir. Hipparchus,
Detaylı11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
DetaylıMEKANİZMA TEKNİĞİ (3. Hafta)
MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ Temel Kavramlar MEKANİZMA TEKNİĞİ (3. Hafta) Bir mekanizmanın Kinematik Analizinden bahsettiğimizde, onun üzerindeki tüm uzuvların yada istenilen herhangi bir noktanın
DetaylıSÜLEYMAN DEMİ REL ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K-Mİ MARLIK FAKÜLTESİ MAKİ NA MÜHENDİ SLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK LABORATUARI DENEY RAPORU
SÜLEYMAN DEMİ REL ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K-Mİ MARLIK FAKÜLTESİ MAKİ NA MÜHENDİ SLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK LABORATUARI DENEY RAPORU DENEY ADI DENEYSEL GERİLME ANALİZİ - EĞME DENEYİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ DOÇ.DR.
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Detaylı2012 LYS 1 MATEMATİK GEOMETRİ SORU VE ÇÖZÜMLERİ. sayısının 2 sayı A) 3 2. Çözüm : Cevap B. 2 x C) 1 5. Çözüm : Cevap D
0 LYS MATEMATİK GEOMETRİ SORU VE ÇÖZÜMLERİ. 8 sayı tabanında verilen 8 sayısının sayı tabanında yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? 00 B) 0. lduğuna göre ifadesinin değeri kaçtır? C) 0 D) 0 B) C) 9 E)
Detaylı7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters
DetaylıCebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR, 2006
MC Karmaşık saılar www.matematikclub.cm, 006 Cebir Ntları Gökhan DEMĐR, gdemir@ah.cm.tr TEST I. i 897 + i 975 + i 997 i 995 tplamının snucu i B) i C) i D) i E) 5i 8. Z = i nin kutupsal biçimi (cs0 + isin0)
Detaylı9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler
DetaylıARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin
Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir.
Detaylı1. HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR
1 1. HARİTA BİLGİSİ ve TOPOĞRAFİK HARİTALAR Harita nedir? Yeryüzünün veya bir parçasının belli bir rana göre küçültülerek ve belirli işaretler kullanılarak yatay düzlem üzerinde gösterilmesine harita adı
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
DetaylıRİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
DetaylıTRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR: BİRİM ÇEMBER YAKLAŞIMI
BÖLÜM: 5 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR: BİRİM ÇEMBER YAKLAŞIMI 5.1 Birim Çember 5.2 Reel Sayıların Trigonometrik Fonksiyonları 5.3 Trigonometrik Grafikler-I 5.4 Trigonometrik Grafikler-II 5.5 Ters Trigonometrik
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıMAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
DetaylıFEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 2. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR
41 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR w 4 İÇİNDEKİLER I. KOMPLEKS SAYILAR A) Kmpleks Aritmetik B) Kmpleks Değişken II. KOMPLEKS FONKSİYONLAR A) Genel B) Kuvvet
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
DetaylıT.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 2
T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI 01-016 7. SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 01-016 7. SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - MATEMATİK Adı ve Syadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SAYISI : 0 SINAV SÜRESİ : 40
DetaylıDENEY-3. Devre Çözüm Teknikleri
DENEY-3 Devre Çözüm Teknikleri A) Hazırlık Sruları Deneye gelmeden önce aşağıda belirtilen aşamaları eksiksiz yapınız. İstenilen tüm verileri rapr halinde deneye gelirken ilgili araştırma görevlisine teslim
DetaylıTEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.
11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?
DetaylıÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
DetaylıŞekil 1: Direnç-bobin seri devresi. gerilim düşümü ile akımdan 90 o ileri fazlı olan bobin uçlarındaki U L gerilim düşümüdür.
1 TEME DEVEEİN KAMAŞIK SAYIAA ÇÖÜMÜ 1. Direnç Bbin Seri Devresi: (- Seri Devresi Direnç ve bbinin seri bağlı lduğu Şekil 1 deki devreyi alalım. Burada devre gerilimi birbirine dik lan iki bileşene ayrılabilir.
DetaylıÇOKGENLER DÖRTGENLER ve ÇEMBER
MY GOMTRİ RS NOTLRI Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi TMOZ un katkılarıyla ÇOKGNLR ÖRTGNLR ve ÇMR Mustafa YĞI LTIN NOKT YYINVİ N 01 İÇİNKİLR ölüm Knu Sayfa ölüm Knu Sayfa 1 Çkgenler 007-015 19 Karede
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
DetaylıFiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi
Fiz 1011 - Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği: Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi Açısal ve Doğrusal Nicelikler Dönme Enerjisi Eylemsizlik
DetaylıAKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıO-bOt ile Uygulamalı Deneyler
O-bOt ile Uygulamalı Deneyler Deney 1: Tekerlek Çapı Gidilen Yol Đlişkisinin Bulunması 1 AMAÇ Bu deneyde, robotu hareket ettirmek için kullandığımız tekerleklerin çaplarının ve motorların dakikada attıkları
DetaylıMetrik sistemde uzaklık ve yol ölçü birimi olarak metre (m) kullanılır.
LİNEAR (DÜZGÜN DOĞRUSAL) BİOKİNEMATİK ÖZELLİKLER Düzgün doğrusal hareket bir cismin düz bir doğrultuda ilerlemesi, yer değiştirmesidir. Uzunluk, hız, ivmelenme bu bölümde incelenir. Yol-Uzaklık kavramları:
Detaylı1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?
99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80
Detaylı25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek
DetaylıÇizelge 1. Yeraltısuyu beslenim sıcaklığı ve yükseltisi tahmininde kullanılan yöntemlerin karşılaştırılması
YERALTISUYU BESLENİM SICAKLIK VE YÜKSELTİSİNİN BELİRLENMESİ Yeraltısuyu sistemlerinde beslenim kşulları, arazi gözlemleri ile tpgrafik, jeljik, hidrjeljik, meterljik bilgilerin birleştirilmesi ile belirlenebilir.
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
DetaylıTEST. Çemberde Açılar. 1. Yandaki. 4. Yandaki saat şekildeki. 2. Yandaki O merkezli. 5. Yandaki O merkezli. 6. Yandaki. O merkezli çemberde %
Çemberde çılar 7. Sınıf Matematik Soru ankası 58. Yandaki merkezli s ( ) = 50c 4. Yandaki saat şekildeki gibi 04.00 ı gösterdiğinde akrep ile yelkovan arasında oluşan x açısı kaç derecedir? ' olduğuna
DetaylıDİNAMİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ
DİNAMİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2018-2019 GÜZ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ: ÖTELENME&DÖNME Bugünün
DetaylıYAKLAŞAN SINAVDA KORKUYU SEVİNCE DÖNÜŞTÜREN GRUP UNUTMAYIN SİZLER İÇİN BİZ HERŞEYE HAZIRIZ!
İLKÖĞRTİM MTMTİK ÖĞRTMNLRİ ZÜMRSİ IM IM T O G - 2 WWW.OGRTMNFORUMU.OM YKLŞN SINV KORKUYU SVİN ÖNÜŞTÜRN GRUP UNUTMYIN SİZLR İÇİN İZ HRŞY HZIRIZ! Sadece MTMTİK Öğretmenlerine Özel Grubumuz www.facebk.cm/grups/ilkmatzum
DetaylıProjenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması
Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,
DetaylıMADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ
Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa
DetaylıAKDENİZ ÜNİVERSİTESİ JEOLOJİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
ATTERBERG LİMİTLERİ DENEYİ Bşluklardaki suyun varlığı zeminlerin mühendislik davranışını, özellikle de ince taneli zeminlerinkini etkilemektedir. Bir zeminde ne kadar su bulunduğunu (ω) bilmek tek başına
DetaylıALTERNATİF AKIMIN DENKLEMİ
1 ALTERNATİF AKIMIN DENKLEMİ Ani ve Maksimum Değerler Alternatif akımın elde edilişi incelendiğinde iletkenin 90 ve 270 lik dönme hareketinin sonunda maksimum emk nın indüklendiği görülür. Alternatif akımın
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıBLM 426 YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BAHAR Yrd. Doç. Dr. Nesrin AYDIN ATASOY
BLM 426 YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BAHAR 2016 Yrd. Dç. Dr. Nesrin AYDIN ATASOY 3. HAFTA: PLANLAMA Yazılım geliştirme sürecinin ilk aşaması, planlama aşamasıdır. Başarılı bir prje geliştirebilmek için prjenin
Detaylı- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
DetaylıİNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ. Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018
İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018 TEKNİK RESİM Teknik resim, teknik elemanların üretim yapabilmeleri için anlatmak istedikleri teknik özelliklerin biçim ve
DetaylıTeknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 3. Geometrik Çizimler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ
TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Teknik resimde bir şekli çizmek için çizim takımlarından faydalanılır. Çizilecek şekil üzerinde eşit bölüntüler, paralel doğrular, teğet birleşmeler,
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
DetaylıÖğr. Grv. Halil İbrahim SOLAK
27.09.2018 Bu ders sizin düşünmenizi ister. Bu ders sizin hesaplamanızı ister. Bu ders sizin problemi tespit etmenizi ister. Bu ders sizin problemi çözmenizi ister. Bu ders sizin alternatif çözüm üretmenizi
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili
DetaylıGEOMETRİK KAVRAMLAR. 1. Nokta: Geometrinin en temel terimidir.. biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.
GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometrinin temelini oluşturan bazı kavramları bir sıraya koymalıyız ki daha anlaşılabilir olsun. Geometride özel anlamı olan ifadelere geometrik terim denir. Nokta, doğru, açı, kare,
DetaylıÜçgende Açı ABC bir ikizkenar. A üçgen 30
1. 4. bir ikizkenar üçgen 0 = m () = 0 m () = 70 70 Kıble : Müslümanların namaz kılarken yönelmeleri gereken, Mekke kentinde bulunan Kabe'yi gösteren yön. arklı iki ülkede bulunan ve noktalarındaki iki
DetaylıYGS GEOMETRİ DENEME 1
YGS GTİ 1 G 1) G ) şağıdaki adımlar takip edilerek geometrik çizim yapıl- bir üçgen mak isteniyor = = m() = 7 o = 9 cm, = 1 cm, m() = 90 olacak şekilde dik üçgeni çiziliyor = eşitliğini sağlayan Î [] noktası
DetaylıLeyla Yıldırım Bölüm BÖLÜM 2
BÖLÜM 2 PERİYODİK HAREKETLERİN ÜSTÜSTE GELMESİ Birçok fiziksel durum, aynı sistemde iki veya daha fazla harmonik titreşimin aynı anda uygulanmasını gerektirir. Burada aşağıdaki temel kabule bağlı olarak
DetaylıCEVAP ANAHTARI 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-B 9-D 10-E 11-D 12-C
1. BÖLÜM: AÇISAL KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-E 2-A 3-E 4-C 5-C 6-C 7-D 8-D 9-D 10-E 11-B 12-C 2. BÖLÜM: ÜÇGENDE AÇILAR 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B
DetaylıTİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET
TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
DetaylıKOMPLEKS SAYILARIN ALTERNATİF AKIM DEVRELERİNE UYGULANMASI
BÖÜM 5 KOMPEKS SAYAN AENAİF AKM DEVEEİNE YGANMAS 5. - (DİENÇ BOBİN SEİ DEVESİ 5. - (DİENÇ KONDANSAÖ SEİ DEVESİ 5.3 -- (DİENÇ BOBİN KONDANSAÖ SEİ DEVESİ 5.4 - (DİENÇ BOBİN PAAE DEVESİ 5.5 - (DİENÇ KONDANSAÖ
DetaylıT.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI
T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI 0-0. SINIF EĞERLENİRME SINVI - 0-0.SINIF MTEMTİK TESTİ (LYS ) EĞERLENİRME SINVI - dı ve Syadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SYISI : 80 SINV SÜRESİ : akika eğerlendirme
Detaylı2.2 Bazıözel fonksiyonlar
. Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()
DetaylıÖrnek...1 : Birim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesapla yın ız. Örnek...2 : sin 2 12+cos sin 67+cos 34. sin41 işleminin sonucu kaçtır?
RİGNMERİ İR AÇININ KSİNÜS VE SİNÜS DEĞERLERİ Merk ezi orijin ve arıçapı birim olan çem bere birim çem ber denir. Standart pozisonda (Köşesi orijinde, başlangıç kenarı ve Kosinüs Sinüs önü pozitif ön olan
DetaylıKATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde
DetaylıALTERNATİF AKIMIN TEMEL ESASLARI
ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ DERSİ ALTERNATİF AKIMIN TEMEL ESASLARI Dr. Öğr. Üyesi Ahmet ÇİFCİ Elektrik enerjisi, alternatif akım ve doğru akım olarak
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
DetaylıLYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam
DetaylıA) x 1235 = B) 2112 x 4512 = C) 77 x 88 =
. Aşağıdaki tplama işlemlerinin snuçlarının hesaplayınız. 9 8 5 7 5 6 0 0 5 5 6 8 7 6 0 5 8 7 9 6 7 + 7 5 6 5 5 0 0. Aşağıdaki çarpma işlemlerinin snuçlarını hesaplayınız. (Ayrı bir kâğıda çözüp snucu
DetaylıGeometri ile Trigonometri Sorusu Yazma Tekniği
TMOZ/cege@yahgrups.cm Kasım - 005 Trignmetri Gemetri İlişkisi 3 Gemetri ile Trignmetri Srusu Yazma Tekniği Eyüp Kamil Yeşilyurt Mustafa Yağcı u yazımızda, gemetri yardımıyla trignmetri srularının, nasıl
Detaylıeğim Örnek: Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının
eğim Doğrunun eğimi Eğim konusunu koordinat sistemine ve doğrunun eğimine taşımadan önce kareli zemindeki doğru parçalarının eğimini bulmaya çalışalım. Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının
DetaylıÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.
TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?
DetaylıDİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI
DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,
DetaylıBÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR)
BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) 4.1 Kafesler: Basit Kafes: İnce çubukların uçlarından birleştirilerek luşturulan apıdır. Bileştirme genelde 1. Barak levhalarına pimler ve kanak vasıtası
DetaylıToplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı
FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları
DetaylıÇEMBER KARMA / TEST-1
ÇMR RM / S-... Verilenlere göre, m( ) ) ) 0 ) ) 0 ) Verilenlere göre, m(g ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 0 0 G 0 ) ) ) ) ) 8 L 0 [] [] = {} m( ) = 0 m() = 0 ve üçgenlerinin çevrel çemberi m( ) = 0 m() = 0 m() = üçgen
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
DetaylıFEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR
EN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 6. KİTAP DİERANSİYEL DENKLEMLER DD İÇİNDEKİLER. İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLER. KERNEL SEÇİMİ. METOT V. DURUMU A) B) Örnek DD ) Sabit Katsayılı DD V. DURUMU A) B) Euler DD )
DetaylıYGS MATEMATİK DENEMESİ-1
YGS MATEMATİK DENEMESİ- Mustafa SEVİMLİ Fatih KAYGISIZ İbrahim KUŞÇUOĞLU Aydın DANIŞMAN ÇAKABEY ANADOLU LİSESİ Serkan TÜRKER Nejdet KİRPİ Şenay TAĞ GÜRLER Taner KAHYA Çakabey Anadolu Lisesi 0-0 . x olduğuna
DetaylıÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI
ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: ANA ÇOKGEN YAVRU ÇOKGEN İLİŞKİSİ: KENAR VE ALAN BAĞINTILARI HAZIRLAYANLAR: AYŞENUR İREM OKAY EZGİ HARPUT ÖZEL
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıSoru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir
Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: a) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini, gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak
Detaylı1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2
8 ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 8 7. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı 8 cm Buna göre CEB üçgeninin
DetaylıFM561 Optoelektronik. Işığın Modülasyonu
FM561 Optelektrnik Işığın Mdülasynu Pasif ptelektrnik elemanlar Çeyrek Dalga Plakası Yarım Dalga Plakası Tarım Dalga Plakası Işığın Mdülasynu lektr-ptik mdülasyn» Pckel tkisi» Kerr tkisi Akust-Optik mdülasyn
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıBÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14
İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi
DetaylıKALINLIK VE DERİNLİK HESAPLAMALARI
KALINLIK VE DERİNLİK HESAPLAMALARI Herhangi bir düzlem üzerinde doğrultuya dik olmayan düşey bir düzlem üzerinde ölçülen açıdır Görünür eğim açısı her zaman gerçek eğim açısından küçüktür Görünür eğim
Detaylı1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11
98 ÖSS. >0 olmak koşulu ile 2+, 3+, 4+ sayıları bir dik üçgenin kenar uzunluklarını göstermektedir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? A) 2 B) 2 9 C) 0 D) 5 E) 2a c 6. 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden
Detaylı