T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ"

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu EġEN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠLKÖĞRETĠM ANABĠLĠM DALI KONYA 010

2 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu EġEN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠLKÖĞRETĠM ANABĠLĠM DALI Bu tez tarihide aģağıdaki jüri tarafıda oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiģtir. Yrd. Doç. Dr. Ahmet CĠHANGĠR (DANIġMAN) Doç. Dr. Süleyma SOLAK (JÜRĠ) Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN (JÜRĠ)

3 ÖZET Yüksek Lisas Tezi AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu EġEN Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İlköğretim Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR 010, vi + 45 sayfa Jüri: Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR Doç. Dr. Süleyma SOLAK Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN Bu çalışmada; ilk olarak aritmetik üçgeler taıtıldı ve aritmetik üçgelerde Pythagorea üçgelerii asıl elde edileceği verildi. Sora bir üçgei kearlarıı asıl aritmetik dizi olduğu ve hagi durumda harmoik ve geometrik dizi olacağı araştırıldı. Kearları tamsayı ola üçgeler ile x 3y z Diophatie deklemii çözümleri arasıdaki ilişki araştırıldı. Bu çözümlerde, kearları tamsayı ola üçgeleri üretilebileceği gösterildi. So olarak geel aritmetik üçgeler ile Bhaskara Deklemii çözümleri arasıdaki ilişkiler ortaya kodu. Aahtar Kelimeler: Hero Üçgei, Aritmetik Üçge, Pythagorea Üçgei, Pell Deklemi, Bhaskara Deklemi. ii

4 ABSTRACT M. Sc. Thesis A RESEARCH ON THE RELATIONS BETWEEN TRIANGLES WHICH ANGLES AND SIDES IN ARITHMETIC, GEOMETRIC AND HARMONIC PROGRESSION WITH x 3y z DIOPHANTINE EQUATION Tayfu EġEN Selçuk Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Sciece Departmet of Primary Educatio Supervisor: Asist. Prof. Dr. Ahmet CİHANGİR 010, vi + 45 Pages Jury: Asist. Prof. Dr. Ahmet CİHANGİR Doç. Dr. Süleyma SOLAK Asist. Prof.Doç. Dr. Saadet ARSLAN By this study, firstly, we described the basic kowledge of aritmetic triagles ad we gave iformatio about how Pythagorea triagles are gaied from arithmetic triagles. The how to be a triagle sides a aritmetic progressio ad the case of triagle sides i geometric ad harmoic progressio are searched. Ad the the relatios betwee triagles with iteger sides ad solutio of diophatie equatio x 3y z has bee described. Utilizatio of these studies, how to triagles with iteger sides beig derived has bee proved. Lastly the relatios betwee geeral arithmetic triagles ad the solutio of Bhaskara Equatio has bee preseted. Key Words: Heroio Triagle, Arithmetic Triagle, Pythagorea Triagle, Pell Equatio, Bhaskara Equatio. iii

5 ÖNSÖZ Matematiği gelişmesii büyüleyici yöleride birisi de, geometri ile sayılar teorisi arasıdaki karşılıklı etkilemedir. Üçgeleri geometride öemli bir yer teşkil ettiği herkesçe biliir. Hero üçgelerii özel bir durumu ola aritmetik üçgeler üzeride yapıla çalışmalar ise sayılar teorisi ile geometri arasıda güzel bir ilişki ortaya çıkarmıştır. Pythagorea, Hero, Brahmagupta, Bhaskara, Hoppe, Aubry ve Rath gibi birçok ülü matematikçi sayılar teorisii cazibesie kapılmışlar ve Diophatie deklemlerii çözümlerie bağlı olarak, bu özel üçgeleri üretilmesi üzeride birçok araştırmalar yapmışlardır. Sayılar teoriside Pell deklemleri ve geel Pell deklemleri ola Bhaskara deklemlerii tam sayı çözümleri üzeride birçok çalışma mevcuttur. Öreği, yedici yüzyılda Brahmagupta, o ikici yüzyılda Bhaskara, o dokuzucu yüzyılda Hoppe, Pell ve Bhaskara deklemlerii çözümleri ile aritmetik üçgeler arasıdaki ilişkileri ortaya çıkarmışlardır. Güümüzde ise Beauregard, Suryaaraya, başta olmak üzere; Sastry, Fasler gibi birçok matematikçii Diophatie deklemlerii çözümleri ile geometri arasıdaki ilişkiler üzerideki çalışmaları hale devam etmektedir. Bu çalışma; Kostatie Zelator u Triagle Agles ad Sides i Progressio ad the Diophatie Equatio x 3y z başlıklı çalışması üzerie kuruldu. Burada kearları aritmetik dizi, geometrik dizi ve harmoik dizi ola üçgeleri buluup bulumadığı araştırıldı. Kearları tamsayı ola üçgeler ile x 3y z Diophatie deklemii çözümleri arasıdaki ilişki verildi. Bu çözümlerde, kearları tamsayı ola üçgeleri üretilebileceği gösterildi. So olarak geel aritmetik üçgeler ile Bhaskara Deklemii çözümleri arasıdaki ilişkiler ortaya kouldu. Açıları ve kearları aritmetik, geometrik ve harmoik dizi oluştura üçgeler ile x 3y z Diophatie deklemi arasıdaki ilişki üzerie bir araştırma adlı tez kousuu tespitide ve tezi hazırlaması sırasıda yardımlarıı esirgemeye daışma hocam Yrd. Doç. Dr. Ahmet CİHANGİR e teşekkürlerimi suarım. Ayrıca baa her zama destek ola eşime teşekkürü bir borç bilirim. Tayfu EŞEN Mart 010 iv

6 SEMBOLLER : Tam Sayılar Kümesi : Pozitif Tam Sayılar Kümesi : Rasyoel Sayılar Kümesi b a : b böler a m( BAC ˆ ) : Üçgedeki A açısıı ölçüsü AB : AB doğru parçasıı uzuluğu (a) : Açıları aritmetik dizi ola üçge (s) : Kearları aritmetik dizi ola üçge s : Üçgei Çevre Uzuluğuu Yarısı a : a ı mutlak değeri ab(mod m) : a, b ye m modülüe göre kogrüettir A( ABC ) : ABC üçgeii alaı r : Üçgei iç teğet çemberii yarı çapı : Elemaıdır Sembolü x : x i tam değeri v

7 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... ii ABSTRACT... iii ÖNSÖZ... iv SEMBOLLER... v ĠÇĠNDEKĠLER... vi 1. GĠRĠġ Kayak Araştırması Ö Bilgiler KENARLARI ARĠTMETĠK DĠZĠ OLAN HERON ÜÇGENLERĠ 1.1. Ardışık Tamsayı Kearlı Hero Üçgeleri Diğer Aritmetik Dizilere Geişlemeler Bir Hero Üçgeide İki Dik Hero Üçgei Oluşturulması ÜÇGENDE AÇILARIN VE KENARLARIN DĠZĠ OLUġTURMASI Açıları Dizi Ola Üçgeler Açıları Aritmetik Dizi Ola Tamsayı Kearlı Üçgeleri Taımlaması ve Belirlemesi Örekler GENEL ARĠTMETĠK ÜÇGENLER VE BHASKARA DENKLEMĠ Aritmetik Üçgeleri Özellikleri Aritmetik Üçgeleri İlk Birkaç Tipi KAYNAKLAR vi

8 1.GĠRĠġ Geometride üçgeler özel öeme haizdir. Üçgelerde de dik üçgeler daha ayrıcalıklıdır. Dik üçgeleri, β pozitif bir reel sayı olmak üzere kear uzulukları, ve 3 şeklideki özel hali iyi biliir. Tüm bu üçgeler, açıları 3 A 30, B 60, C 90 ola bezer üçgeleri bir sııfıı oluştururlar. Burada üçgei A, B, C açıları arasıdaki fark; φ = 30º olacak şekilde bir aritmetik dizi oluşturdukları açıktır. Diğer çok bilie bir bezer üçge sııfı ise δ pozitif bir reel sayı olmak üzere, kearları α = 3δ, β = 4δ, γ = 5δ biçimide verile üçgeleri sııfıdır. Buları hepsi dik üçge olmakla birlikte, oları göze çarpa diğer bir özelliği de; α, β, γ kear uzuluklarıı (sırasıyla), d = δ farkı olacak şekilde aritmetik bir dizi oluşturmasıdır. Şimdi de bu çalışmaı yapısıda bahsedelim. Bölüm 1 de, koumuza ilişki çalışmaları bir kısmıı özetleri ile gerekli taım ve teoremler verildi. Bölüm de, kearları aritmetik dizi ola Hero üçgelerde yola çıkıp x 3y z Diophatie deklemie ulaşıldı. Ayrıca bilie örekler dışıdaki diğer aritmetik dizilerde de bahsedildi. E so Hero üçgeii iki dik üçgee ayırdığımızda oluşa üçgeleri de Hero üçgei olduğu görüldü. Bölüm 3 te, kearları ve açıları aritmetik dizi ola üçgelere ilişki birkaç souç ortaya koyuldu. Açıları aritmetik dizi ola üçgeler iceledi; buu yaparke de, x 3y z Diophatie deklemii pozitif tam sayılardaki parametrik çözümlerii belirli bir alt kümesi kullaıldı. Bölüm 4 te, geel aritmetik üçgeler ve Bhaskara deklemii geelleştirilmiş aritmetik üçgeler ile arasıdaki ilişkisi ortaya koularak çalışmamız bitirildi Kayak AraĢtırması Bu kesimde koumuza ilişki, geçmişte güümüze yapılmış ola çalışmaları bir kısmıı özetleri verilmiştir. Matematiği gelişmesii büyüleyici yöleride birisi de geometri ile sayılar teorisi arasıdaki karşılıklı etkilemedir. Buu görüldüğü durumlarda birisi

9 aritmetik üçgelerdir. Bu üçgelerde; ala tamsayıdır ve kearları da x d, x, x + d biçimideki tamsayılardır. E küçük örek (3, 4, 5) üçgeidir (Aritmetik ve dik tek primitif üçge). Hero a atfedile ikici örek, (13, 14, 15) üçgeidir ki alaı 84 dür. Sierpiski (196), bu eseride tamsayı kearlı üçgeleri özel çeşidi ola Pythagorea üçgelerii ala, kear, çevre v.b. yöüyle icelemiştir. Ayrıca bu; Pythagorea üçgeleri ile ilgili olarak müstakil yazılmış ilk eserdir. Mordell (1969), bu eseride Diophatie deklemleride bahsetmiştir. Bu çalışma Diophatie deklemleri üzerie yazılmış e kapsamlı ve temel eserlerde biridir. Bu eserde bir sayıı karesi ile başka bir sayıı karesii üç katıı toplamıı bir kareye eşit olması durumu da dahil olmak üzere Diophatie deklemleri ve çözümlerie ilişki ayrıtılı bilgiler verilmiştir. Gilder (198), bir açısı 60 0 ola tam sayı kearlı üçgeleri kearlarıı iki parametreye bağlı olarak üretilmesii göstere formüller verilmiştir. Sierpiski (1988), eseride, Diophatie deklemlerii aalizii ele almış; gerek Pythagorea üçgeleri, gerekse diğer tür diophatie deklemleri geiş bir şekilde icelemiştir. Duham (1990), eseride üçgeleri alaları içi Hero ala formülüü kullamış ve matematiği ülü teoremleri üzeride durmuştur. Dickso (1971), bu eserde; eseri basım yılıa kadar ola sayılar teorisi ile ilgili gelişmeler, açık problemler ve çalışmaları özetlemiştir. Ayrıca Pythagorea üçgeleri ile rasyoel dik üçgeler içi geel bilgilere ve Diophatie deklemlerie de yer vermiştir. Rose (1993), eseride Pythagorea üçgeleri üzeride durmuştur. Bu çalışmadaki bir teoremde, verile bir deklemi. köküü bir tamsayı ya da farklı olarak bir irrasyoel sayı olabileceğide bahsetmiştir. Ayrıca aritmetik ve geometrik dizi üzeride durmuştur. Guy (1994), bu eserde sayılar teorisii, geçmişte eseri basıldığı 1994 yılıa kadar çözülememiş problemler ile bu problemlerle ilgili yayıları ve özetlerii vermiştir. Bu literatürü Diophatie Equatios isimli bölümüde Hero üçgeleri ile ilgili çözülememiş problemlere yer vermiştir.

10 3 Beauregard ve Suryaaraya (1997), tüm aritmetik üçgeleri x 3y z Diophatie deklemii çözümleride asıl üretildiğii gösterdiler. Brahmagupta ilk olarak yedici yüzyılda, tamsayı alalı ve ardışık kearlı üçgeler ile x Dy 1 Pell deklemii çalışmış ve ikisii ilişkiledirmiştir. O ikici yüzyılda Bhaskara, Pell deklemii tam çözümüü vermiştir. x Dy e Bhaskara deklemii tarihte birçok öemli uygulaması mevcuttur (Nagell, 1951; Adler,1995). İkici yüzyılı başlarıda (e = 1 ile), D i yaklaşık değerii bulma problemi ile ilgileildiği görülmektedir. D i sürekli kesir açılımıyla ilişkisi, ilk olarak 1768 de Lagrage tarafıda ortaya koulmuştur. Bhaskara deklemii diğer uygulamaları; D =, e = 1 alımasıyla Pell dizisii üretilmesi, D = 3 olduğuda aritmetik üçgeler elde edilmiştir. Şimdiye kadar, D > 3 olduğu duruma ilişki Bhaskara deklemii hiçbir geometrik uygulaması buluamamıştır. O dokuzucu yüzyılda R.Huppe, aritmetik üçgeler ile D=3 içi Bhaskara deklemii ilişkiledirmiştir. Buchholz ve MacDougall (1999), kearları geometrik ve aritmetik dizi biçimide ola rasyoel alalı üçgeler ve kirişler dörtgeleri üzeride çalışmıştır. Kearları aritmetik ola üçgeleri sosuz bir ailesi içi tam bir karakterizasyo verilmiştir ve ayrıca geometrik dizide oluşa kearlara sahip hiçbir üçgei olamayacağı gösterilmiştir. Bu eserde, bu tür Hero üçgelerii bulmak içi x 3y z Diophatie deklemi kullaılmıştır. Ayrıca, kearları aritmetik veya geometrik dizide alıa bir kirişler dörtgeii buluamayacağı gösterilmiştir. Her iki tür dörtgei varlığıı araştırılmasıda da eliptik eğriler kullaılmıştır. MacDougall (003), burada üçgei kear uzuluklarıı içere sayılar arasıdaki ilgiç ilişkileri icelemiş ve bu tür üçgeleri örekledirmiştir. Bu çalışmada amaç; bu ilişkileri ede icelediğii açıklamak ve bu duruma cevap vere uygu her üçgei (sosuz sayıda ailesi ola) asıl buluduğuu göstermektir. Ayrıca farklı metotlar kullaarak, aritmetik dizi uzuluğua sahip Hero üçgelerii çok sayıdaki geel problemii de tartışmaktır. Sastry (000), bu çalışmada Pythagorea üçgeleride faydalaarak Hero üçgeleride bahsetmiştir. Ayrıca, Hero dörtgelerii yei bir ailesi, Hero açıları yoluyla taımlamaya çalışmıştır.

11 4 Zelator (005), dik üçgede Pythagorea teoremi üzeride durmuştur. Ayrıca x y z t Diophatie deklemlerii pozitif tam sayı çözümleride yola çıkarak x 3y z Diophatie deklemi içi geel çözümlerde bahsetmiştir. Zelator (006), herkesçe bilie Pythagorea teoremide yola çıkarak x ky z Diophatie deklemlerii geel çözümlerie ulaşmış ve tam sayı kearlı üçgeler üzeride durmuştur. Sayılar teorisii belli başlı koularıı farklı durumlar halide listeleyerek açıklama yapmıştır. Ayrıca tam sayı kearlı ve açılı üçgeleri geel çözümleri üzeride de durup araştırma koumuza geiş yer vermiştir. Zelator (008), aritmetik dizi, geometrik dizi ve harmoik dizi taımlarıı vermiş, kear ve açıları bu dizilere uya üçgeleri icelemiştir. Çalışmaı ilerleye bölümleride Kosiüs Teoremi ve üçge eşitsizliğide faydalaarak Pythagorea üçgeleri ile bağlatı kurmuş ve bazı özel üçgeler taımlamıştır. Ayrıca pozitif tam sayılarda x 3y z Diophatie deklemlerii çözümlerie yer vererek buları çözümleride aritmetik üçgeleri üretmiştir. 1. Ö Bilgiler Bu kısımda daha soraki bölümlerde kullaılacak taım ve teoremler verilmiştir. Taım 1..1 a, b tam sayılar olmak üzere a = b.c olacak şekilde bir c tam sayısı varsa b, a yı böler deir ve b a biçimide gösterilir (Şeay, 007). Taım 1.. Pozitif bir p tamsayısıa, eğer; i) p 1, ii) p kediside ve 1 de başka bir bölee sahip değilse; asaldır deir (Şeay, 007). Taım 1..3 Eğer p asal sayı ike, p + de asalsa bu iki asala ikiz asal (Twi Prime) deir (Şeay, 007). Taım 1..4 ab, olsu. i) da ve db ise d ye a ile b i bir ortak bölei deir.

12 5 ii) d, a ile b i bir ortak bölei olsu. Eğer a ile b i her c ortak bölei içi cd ise, d ortak böleie, a ile b i e büyük ortak bölei deir ve ebob (a, b) veya (a, b) ile gösterilir (Şeay, 007). Taım 1..5 Sabit ve sıfırda farklı bir m tamsayısı, a ve b gibi herhagi iki tamsayısıı a b farkıı bölüyorsa (yai m a b ise); a, b ye m modülüe göre kogrüettir deir ve ab(mod m) biçimde gösterilir (Şeay, 007). Taım 1..6 Bütü kear uzulukları ve açıları eşit ola üçgelere eşkear üçge deir (Şahi ve Arkadaşları,1997). Taım 1..7 Kear uzulukları a, b, c tam sayıları ve alaı da tamsayı ola ABC üçgeie Hero üçgei, (a, b, c) üçlüsüe de Hero üçlüsü deir (Sastry, 000). Taım 1..8 Bir ABC üçgeide 0 < < olmak üzere açısıı hem siüsü hem de kosiüsü rasyoel sayı ise bu açısıa Hero açısı deir (Sastry, 000). Teorem 1..1 (Hero Formülü) Kear uzulukları a, b, c ve yarı çevre uzuluğu da s = 1 (a + b + c) ola bir ABC üçgei alaı A(ABC) ile gösterilir ve A(ABC) = s( s a)( s b)( s c) formülü ile hesaplaır. Bu formül Yua matematikçi Hero tarafıda buluduğu içi Hero ala formülü olarak biliir (Dickso, 1971). Taım 1..9 Fermat ı so teoremi olarak bilie 3 ve tamsayı olmak üzere a b c deklemii sağlaya hiçbir (a, b, c) tamsayı üçlüsü yoktur biçimideki ifadei = içi özel hali ola a b c (1.1) ifadesie Pythagorea deklemi adı verilir. Pythagorea üçgeleri üzerideki çalışmalar (1.1) deklemii tamsayı çözümlerii bulumasıa eşdeğerdir. a b c deklemii sağlaya a ve b kearlı, c hipoteüslü dik üçgee Pythagorea üçgei deir. a b c deklemii sağlaya a, b ve c doğal sayılarıı oluşturduğu (a, b, c) üçlüsüe Pythagorea üçlüsü deir.

13 6 Eğer bu üçgei a, b dik kearları a b 0, a b 1(mod ) ve a ile b aralarıda asal olma şartlarıı sağlıyorsa, üçgee Primitif Pythagorea Üçgei, (a, b, c) üçlüsüe Primitif Pythagorea Üçlüsü deir. Pythagorea üçgeii bütü kearları bir doğal sayı ile çarpılırsa, o zama yie kearları doğal sayı ola bezer bir dik üçge elde edilir ki bu üçgede Pythagorea üçgeidir. Buda dolayı k=1,, olmak üzere verile bir (a, b, c) Pythagorea üçgeide sosuz çoklukta bezer (ka, kb, kc) Pythagorea üçgei elde edilir (Sierpiski, 1988). Teorem 1.. m ile aralarıda asal, m> ve m ile tamsayıları biri tek ike diğeri çift olmak üzere, b si çift ola tüm primitif (a, b, c) Pythagorea üçgeleri a m, b m c m formülleride elde edilir ki bu tip (a, b, c) primitif Pythagorea üçgei yalız bu yolla buluur (Sierpiski, 1988). Teorem 1..3 d kare çarpa ihtiva etmeye bir tamsayı olmak üzere x dy z Diophatie deklemii bütü x, y, z tamsayı çözümleri; aralarıda asal m ile tamsayıları içi x m d, y m, z m d formülleride elde edilir (Şeay, 007). Taım Reel sayılarda tamsayılara taımlaa ( : RZ ) ve x 1 özelliğideki x reel sayılarıı Z sayısıa eşleye foksiyoa tam değer foksiyou deir ve x i tam değeri x ile gösterilir (Şeay, 007). Taım , a0, a1, a,..., a reel sayılar ve a 0 hariç hepsi pozitif olmak üzere a 0 1 a1 a 1 1 a 1 1 a

14 7 ifadesie solu sürekli kesir deir ve a0, a1, a,..., a biçimide gösterilir. Burada a0, a1, a,..., a ler kısmi bölümler veya kısmi paydalardır. Bu gösterimi 0 içi a0, a1, a,..., a = a 0 1 a1, a,..., a şeklide yazabiliriz. Daha geel olarak; a0, a1, a,..., a = a 0 a 1 a 1 a a biçimide gösterilir. Burada a 0 sayısıı pozitif ya da egatif bir reel sayı veya sıfır olabileceğie dikkat edilmelidir. Ayrıca a0, a1, a,..., a leri hepsi tamsayı ise sürekli kesre solu basit kesir deir (Rose, 1993). Taım 1..1 Eğer a 0 tamsayısı hariç a1, a,..., a ler pozitif tamsayılar ise, o zama içi a a a a sürekli kesrie 0 k yakısayaı deir ve ;,,..., k 0 1 C k ile gösterilir. C = k a0; a1, a,..., a sürekli kesrii k. a0 ; a1, a,..., a k dır (Rose, 1993). Teorem 1..4 a 0 tamsayısı hariç, a1, a,..., a tamsayılarıı tümü pozitif olmak üzere A a a a a q dizileri, 0; 1,,..., solu basit sürekli kesri verildiğide 0 k içi p ve p q 0, 1, biçimide verilir (Rose, 1993). p q , p a p p k k k 1 k q a q q k k k 1 k Taım a 0 tamsayısı hariç, hepsi pozitif tamsayılar ola bir a1, a, a 3... tam sayı dizisi, C = k a0 ; a1, a,..., a k olmak üzere a0, a1, a,... = lim C k k ola kesirlere sosuz sürekli kesir deir (Rose, 1993).

15 8 Taım a ; a, a,... sosuz basit sürekli kesrie, yeterice büyük r tam sayısı 0 1 içi ar a r olacak şekilde bir pozitif tamsayısı varsa periyodiktir deir. t 0, m 0 olmak üzere; b ; b, b,..., b, a, a, a,..., a, a, a, a,..., a, m periyodik kesri b0 ; b1, b,..., bm, a0, a1, a,..., a şeklide gösterilir. a0, a1, a,..., e bir periyot deir. Burada t ye sürekli kesri periyot uzuluğu deir (Rose, 1993). Teorem bir irrasyoel sayı ve a0, a1, a,... dizisi ardışık olarak k=0,1,, içi a, k k k1 1 a şeklide taımlası. O zama, a ; a, a,... sosuz basit sürekli kesrii değeridir (Rose, 1993). 0 1 Taım x, y, D tamsayılar ve D de bir pozitif tamsayıı kareside farklı olmak üzere x Dy 1 (1.) deklemie Pell deklemi deir. (1.) deklemi D parametresie bağlı olduğuda bu deklem parametreye bağlı bir deklem ailesidir. Yie (1.) deklemide x ve y i her ikisii de egatif olmadığıı kabul edilmesi geelliği bozmaz. Herhagi bir D parametresi içi (1.) deklemii x 1, y 0 ı bir çözüm olduğu kolayca görülür ki bu çözüme bilie (trivial) çözüm deir. Ayrıca eğer D, a gibi bir tamsayıı karesi ( D a ) ise o zama 1 x Dy x a y ( x ay)( x ay) olması içi gerek ve yeter şart x ay 1, x ay 1 olmasıdır. Bu ise k k a x 1, y 0 olması demektir. Yai D a olması durumuda trivial çözüm tek çözüm olur. O halde buda sora (1.) deklemide D yi pozitif ve bir tamsayıı kareside farklı olarak kabul edeceğiz. Şüphesiz Pell deklemii (1,0) da farklı bir çözümüü buluması kouu e zor kısmıı teşkil eder. x Dy 1 deklemie ise (1.) deklemii ilgisi veya egatif Pell deklemi deir (Robbis, 1993).

16 9 pk Teorem 1..6 D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve, q k D i sürekli kesir açılımıda k. yakısaya olsu. t, bu sürekli kesri periyoduu uzuluğu olmak üzere, (1.) deklemii sosuz sayıdaki bütü çözümleri, i) Eğer t çift ise = 0,1,, içi x pt 1, y qt 1 ii) Eğer t tek ise = 0,1,, içi x pt 1, y qt 1 olur (Robbis, 1993). pk Teorem 1..7 D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve, q k D i sürekli kesir açılımıda k. yakısaya olsu. t, bu sürekli kesri periyot uzuluğu olmak üzere, eğer t çift ise, o zama x Dy 1 egatif Pell deklemii çözümü yoktur. Eğer t tek ise o zama x Dy 1 egatif Pell deklemii sosuz sayı çözümü vardır ve bu çözümler = 1,3,5, içi x pt 1, y qt 1biçimide verilir (Robbis, 1993). Taım D tam kare olmaya pozitif bir sayı, t de D i sürekli kesir açılımıda periyot uzuluğu olarak verilsi. O zama x1 pt 1, y1 qt 1 ifadeleri (1. ) Pell deklemii miimal çözümü olarak isimledirilir (Robbis, 1993). Teorem 1..8 Eğer D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve (1.) Pell deklemii bir miimal çözümü x x1 ve y y1 ise x y D ( x y D) 1 1 deklemii bütü trivial olmaya çözümleri (Robbis, 1993). x x ve y y biçimide verilir Taım D tam kare olmaya pozitif bir tam sayı ve e 0 olmak üzere, x Dy e deklemie geelleştirilmiş Pell deklemi deir. Hitli matematikçi Bhaskara ı bu deklem üzerideki çalışmalarıda dolayı Bhaskara deklemi olarak da isimledirilir (Robbis, 1993). Taım α 1, α, α 3 üç reel sayı olmak üzere bu dizii, bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart α = α 1 + α 3 ; geometrik dizi oluşturması içi

17 10 gerek ve yeter şart ise 1 1 1,, 1 3 ; harmoik bir dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart 1 3 dizisii bir aritmetik dizi oluşturmasıdır (Zelator, 008). Taım Eğer, elemaları tamsayılarda oluşa bir aritmetik dizide bir Hero üçgeii kear uzulukları alııyor ve alaı da tamsayı oluyorsa bu üçgelere aritmetik üçgeler deir. c ve d uygu tamsayılar olmak üzere bir üçgei kear uzulukları c, c+d, c+d ise bu üçgee d - aritmetik üçge deir. Sıfırda farklı bir d tamsayısı uygu egatif değer de alabileceğide, eğer d egatif ise o zama (-d) aritmetik üçge olarak isimledirilir., xd, tamsayıları içi x, x d, x d kearlı bir üçgei alaı da tamsayı oluyorsa bu üçgee tipide d- aritmetik üçge deir (Caa,00). Teorem 1..9 (Siüs Teoremi). Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c; iç açıları A, B, C ve çevrel çemberii yarıçapı da R ise, o zama a SiA dir (Ayres, 1954). b SiB c SiC = R Teorem (Kosiüs Teoremi). Bir ABC üçgeii kear uzulukları a, b, c ve iç açıları da A, B, C ise; a = b + c bccosa, b = a + c accosb, c = a + b abcosc dir (Ayres, 1954). Taım 1..0 Bir üçgedeki üç iç açı ya da üçgei köşe oktaları A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Sözgelimi bir ABC üçgeideki A açısı deildiğide, her zama o üçgei A köşesideki iç açıyı kast edeceğiz ve o alamda kullaacağız. Başka bir deyişle m( BAC) m( CAB) dir. Doğru parçaları geel olarak [AB] şeklide gösterilecektir. [AB]; A ve B oktaları ile bu oktaları birleştire bir doğru parçasıı gösterir. Kear uzulukları ise küçük harflerle gösterilecektir. Öreği, bir ABC üçgeii üç kear uzuluğuu α, β, γ ile gösterirsek; dir. BC CB, AC CA, AB BA

18 11 Üçgeler içi iyi bilie durumları şöyle verebiliriz. Bir üçgei açılarıı derece ciside ölçümleri A, B, C; kearlarıı uzulukları da α, β, γ ise, o zama (geelliği bozmaksızı) 0º < A B C < 180º, A + B + C = 180º ve (bu sıralamaya uyacak şekilde), 0 < α β γ dır, ayrıca üçge eşitsizlikleride α < β + γ, β < α + γ ve γ < α + β dır (Eğer üç reel sayı, bu üç üçge eşitsizliğii sağlarsa, o zama bu reel sayıları hepsii pozitif olması gerektiğie dikkat ediiz.). Bir üçgei açılarıa karşılık gele A, B, C dizisi (a) ile kear uzuluklarıa karşılık gele α, β, γ dizisi de (s) ile gösterilmek üzere bazı durumları şöyle özetleye biliriz. (a) dizisi bir aritmetik dizi alıdığıda üçgei, B = A+C ve A+B+C= 180º bağlatılarıı sağlaması içi gerek ve yeter şart B = 60º olmasıdır. Kosiüs teoremide, β = α + γ αγ olduğu ortaya çıkar. Hem de, (a) dizisi bir aritmetik dizi oluşturduğuda elde edile dik üçge bir Pythagorea üçgei olamaz. Çükü bu durumda dik üçgei açıları A= 30º, B = 60º, C = 90º biçimide aritmetik bir dizi oluşturacağıda; bu üçgei β ya bağlı α, β, γ kear uzulukları, ve 3 olarak elde edilir. Buula beraber, bu üç reel sayıda e çok ikisi pozitif bir 3 tamsayı olabileceğide, m pozitif bir tam sayı olmak üzere, m 3 olacaktır. Çükü β pozitif bir tam sayı ise o zama α ile γ ı her ikisii de pozitif irrasyoel sayılar olacağı açıktır (Zelator, 008).

19 1. KENARLARI ARĠTMETĠK DĠZĠ OLAN HERON ÜÇGENLERĠ Bu bölümde kearları aritmetik dizi ola Hero üçgeleride yola çıkarak x 3y z Diophatie deklemleri ve arasıdaki ilişkiler verildi. Ardışık tamsayı kearlı Hero üçgelerii sosuz sayıda olduğu ve buları asıl üretilebileceği gösterildi. Ayrıca, daha geel olarak herhagi bir aritmetik dizi kearlı Hero üçgelerii bulma problemii tam bir çözümü farklı bir metotla verildi. Kear uzulukları ardışık tamsayılar ola Hero üçgelerii varlığı gösterildi ve oları listesi verilerek özellikleri iceledi (Fleeor, 1987)..1. ArdıĢık Tamsayı Kearlı Hero Üçgeleri Bir üçgei a, b, c kear uzulukları ve alaı tamsayı ise bu üçgee Hero Üçgei dediğii Taım 1..7 de biliyoruz. Ayrıca kear uzulukları a, b, c ve s ( a b c) / ola bir üçgei alaıı Teorem 1..1 de A= s( s a)( s b)( s c) formülüyle hesaplarız. Bu formül Heroda birkaç yüz yıl öce Archimedes tarafıda bulumuş acak Hero formülü olarak bilimektedir. Bir üçgei kear uzulukları b 1, b, b+1 olsu. O zama s 3 b/ olur ve buu Hero formülüde yerie koyarsak; A = b 3( b 4) 4 soucua ulaşırız. A ı tamsayı olması içi 3( b 4) ifadesi bir kareye eşit olmalıdır. Buu b i durumua göre irdeleyelim. Bu ifadede; eğer b tek olsaydı o zama 3( b 4) ifadesi tek olurdu ki bu A ı tamsayı olamayacağıı gösterir. Buda dolayı b çift olacağıda b = z alırsak o zama ala A= z 3( z 1) olur. Burada alaı tamsayı, yai üçgei Hero üçgei olabilmesi içi gerek ve yeter şart 3 ( z 1) ifadesii bir tam kare olmasıdır. O zama z 1 3y olması gerektiğide z 3y 1

20 13 elde edilir. Bu deklem x dy 1 formuda iyi bilie Diophatie deklemleride biridir. Bu deklemi Pell deklemi olarak isimledirildiğii Taım de biliyoruz. Pell deklemlerii e küçük çözümlerii ise sürekli kesirler yardımıyla buluabileceğii Teorem 1..6 da biliyoruz (Robbis, 1993). Burada d 3 ve 3 içi sürekli kesir açılımıı Taım e göre verirsek; 1 1;1, olur. Burada 3 içi yakısak dizi ,,,,,,, olarak elde edilir. Yukarıdaki dizide başta başlayıp, birer atlayarak (, 1), (7, 4), (6, 15), (97, 56),... ikililerii buluruz ki buları her biri deklemimizi çözümlerie karşılık gelir. Bular da b i değerlerii verir. Bu şekilde elde edile bazı üçge örekleri Tablo.1 de verilmiştir. Bu yakısak diziler arasıdaki çözümleri sosuz sayıda olduğuu asıl bilebiliriz? İlk bulua çözümde hareketle bütü çözümleri ürete kolay bir yol var. Buu içi z dy 1 Pell deklemii e küçük çözümüü ( z 1, y 1 ) olduğuu var sayalım. O zama bütü pozitif çözümler z y d (z y d ) 1 1 olmak üzere ( z, y ) formudadır (Robbis, 1993). Öte yada d i birçok küçük değeri içi e küçük çözüm kolayca buluabildiğide d i yakısamalarıı hesaplamamız gereksizdir. d = 3 olması durumuda x 3y 1 Pell deklemii e küçük çözümü (, 1) olduğu kolayca buluur. O zama deklemi sağlaya bütü z değerleri, ( 3 ) irrasyoel ifadesii rasyoel bileşeleri olarak buluur. Hesaplamalar soucuda z içi, 7, 6, 97, 36, 1351 çözümleri elde edilir. Bu z lerde elde edile b=z kearlı üçgeleri küçük bir listesi Tablo.1 ile verilmiştir.

21 14 Tablo.1. Kearları Aritmetik Dizi Ola Üçgeler a b c Ala Bu değerleri ve devamıı üretecek bir formül bulabilir miyiz? Buu içi ( 3 ) irrasyoelii Biom teoremiyle açarsak k0 k k k ( 3 ) 3 soucua ulaşırız. k ı çift kuvvetlerie karşılık gele terimleri rasyoel kısımlarıda, elde edilir ki / z 3 kok b z k k, Hero üçgeii kearıa karşılık gelir. Bu souç, ardışık tamsayı kearlı Hero üçgeleri sosuz bir ailesii buluduğuu gösterir ki buları çok az bir kısmı Tablo.1 de verilmiştir. Fleeor (1987), Tablo.1 de verile ardışık üçgelere karşılık gele kearları oralarıı limit olarak 3 e yaklaştığıı göstermiştir. Bu ifadede z içi farklı bir gösterim de elde edebiliriz. ( 3) i Biom açılımıdaki çift terimleride z,

22 15 z ( 3 ) +( 3 ) biçimide de ifade edilebilir. ( 3 ) (0,67... ) limit değerii de 0 a yaklaştığıı dikkate alırsak; ifadesii sosuza gittiğide z 3 olur. O zama z / 1 z oraıı yaklaşık 3 olacağı açıktır.. Diğer Aritmetik Dizilere GeiĢlemeler Kesim.1 de b 1, b, b+1 aritmetik dizisii bir Hero üçgei kear uzulukları olduğuu gösterdik ve diğer aritmetik dizi formuda kearlı Hero Üçgelerii buluup bulumadığıı sorduk. Yukarıda taımlaa üçgelerde herhagi birisii bütü kearlarıı bir k tam sayısı ile çarparsak, o zama olar da aritmetik dizi formuda olur ve alaı da k ile çarpılmış hali olacağıda ala da bir tamsayıdır. (15, 0, 5) veya (6, 8, 30) üçgelerii bulara örek olarak verebiliriz. Acak bu yolla elde edilemeye aritmetik üçgeler var mıdır? Öce, x tamsayısı 1 x b şartıı sağlamak üzere, kearlar b x, b, b+x olarak alalım. O zama s 3 b/ yarı çevre ve Hero formülüde ala da b 3( b 4 x ) A= 4 buluur. Daha öce açıkladığı üzere b çift olmak zoruda olduğuda b=z alırsak, o zama alaı sadeleştirdiğimizde, A z z x 3( ) olur. Tekrar bu üçgei Hero olması içi gerek ve yeter şart 3( z x ) ifadesii bir tam kare olmasıdır. Burada z x 3y dersek o zama deklem x 3y z biçimide.derecede homoje Diophatie deklemie döüşür. Böyle deklemleri çözülebilir olduğuu, bu çözümleri Teorem 1..3 ile verildiğii belirtelim. Çözümleri her zama iki değişkeli parametrik deklemleri bir kümesi

23 16 olarak verildiği açıktır. Yukarıdaki deklemleri bütü çözümleri, ile tamsayı ve g = ( 3,, 3 ) olmak üzere; 3 3 x=, y, z g g g biçimide verilir. Deklem homoje olduğu içi, primitif çözümleri herhagi bir katı da bir çözüm ve ile da aralarıda asal tamsayılar olurlar. Primitif çözümleri ile i farklı değerleri içi oluşa üçgelere karşılık geldiğii söyleyebiliriz ki bular Tablo. ile verilmiştir. Tablo.. Kearları Aritmetik Ola Üçgei Arta b Değerleri x a b c x a b c Tablodaki değerler yukarıdaki formüllerde elde edilmiştir. Tabi ki x = 1 alırsak Kesim.1 deki kearları b - 1, b, b+1 ola üçgee döüşür. Ayrıca x değerlerii hepsi 1 modülüe göre 1 ya da -1 e kogrüet olduğua dikkat çekilmelidir..3 Bir Hero Üçgeide Ġki Dik Hero Üçgei OluĢturulması Kesim.1 de verile Tablo.1 deki herhagi bir üçgei dikkate alalım. Bu üçgei kear uzuluğu çift olaa, karşı köşede bir dik idirelim (Üç kearıı ortasıdaki keara). Eğer üçge dar açılı ise ou iki dik üçgee ayırır. Fleeor, bu şekilde elde edile dik üçgeleri her birii Hero olduğuu ve oları taba kear uzuluklarıı farkıı 4 olduğuu göstermiştir (Fleeor, 1987). Bu gerçek kesim.1

24 17 de icelee üçgeleri hepside ortaya çıkmıştır ve buu görmek çok zor değildir. Eğer kearlar ardışık tamsayılar ise, yüksekliği h olarak aldığımızda, bu yükseklik b tabaıı u ve v uzuluklarıa ayırdığıı ġekil.1 de görürüz. O zama Pythagorea teoremide b z kullaırsak; h u z z h v z z buluruz. Bu ifadeleri ikiciside biricisii çıkarırsak, ( v u)( v u) 8z elde ederiz. Burada v u z olduğuda vu 4 soucua ulaşırız. O zama üçgei h yüksekliği h (z 1) ( z ) A z 3z 3 olup bu ifade bir tam sayıdır. Böylece her ikisi de Hero olup, bu üçgeleri taba uzulukları z ve z+ dir. Dolayısıyla oları farkı 4 tür. ġekil.1. Bir Hero Üçgeii İki Dik Üçgee Ayrılması Kesim. deki üçgeler içi yukarıdakie bezer bir hesaplama ile yükseklik, tabaı z x ve z +x uzuluklu parçalara ayırır. O zama yükseklik öcede olduğu gibi 3z 3x ifadesie döüşür ki bu durumda da A z ifadesi tamsayı halie gelir. Böylece kearları b x, b, b + x aritmetik diziside oluşa her bir Hero üçgei, tabaları farkı 4x ola iki dik Hero üçgeie döüşür. Bezer bir hesaplamayla diğer kearlarda (çift olmaya) herhagi birisii yüksekliğide, iki Hero üçgeii üretilemeyeceği gösterilebilir. Gerçekte herhagi bir Hero

25 18 üçgeii e az bir kearıı çift olduğuu ve birbirie dayaa iki dik üçgee ayrılabileceğii gösterebiliriz. Kesim.1 ve. de çalışıla üçgeler dar açılı olmayabilirdi ki bu durumda yükseklik çift kearlı tabaıı dışıa düşer. Bu durumda (gerçekte b < 4x olduğu zama) yukarıdakie bezer hesaplamayla bir Hero üçgei, farklı iki dik Hero üçgeii farkı olduğu gözlemleebilir. Bu durum daha ayrıtılı olarak 4. bölümde icelemiştir.

26 19 3. ÜÇGENDE AÇILARIN VE KENARLARIN DĠZĠ OLUġTURMASI Bu bölümde bir üçgei açılarıı ya da kearıı dizi oluşturması içi trigoometrik durumlarıı e olması gerektiğii vereceğiz. Daha sora üçgei geometrik dizili üçge olup olmadığıı kousua değieceğiz. Bir üçgede (a) ı dizi olabilmesi içi B açısıı 60º olması gerektiğii ve ı oraıı (, 3] aralığıa düştüğüü göstereceğiz. Özel olarak; 1 3 içi bu üçge, A B C , 60, 90 açılı üçgelere döüşür. Öte yada, ρ = 3 içi üçge eşkeardır. Teorem 3.1. Üçgeii kear uzulukları α, β, γ, yarı çevresi τ ve üçgei iç teğet ( )( )( ) çemberii yarıçapı r ise; r olarak verilir. Ġspat. Bir üçgei çevresii τ ile yai τ = α + β + γ ile gösterirsek; yarı çevre τ = (α + β + γ)/ olur. AH AE x BH BD y DC CE z r IE r IH r ID ġekil 3.1. Üçgei İç Teğet Çemberii Merkezi ġekil 3.1. de, x + z + y = τ ; x + y + z = τ, x + y = γ, y + z = α ve x + z = β olur. Burada B C A r y. ta z.ta x.ta ; A B C r ( ) ta ( ) ta ( ) ta elde edilir. İki açıı toplamıı tajatıı; (3.1)

27 0 ta1 ta ta( 1 ) 1 ta.ta olduğuu biliyoruz. Burada; ve 1 A B ta ta A B ta( ) A B 1 ta.ta A B C C 1 ta ( ) ta(90 ) cot( ) C ta( ) olacağıda (3.1) ile (3.) ifadeleride hareketle, r r r 1 ( )( ) r veya degi ola [ r( ) r( )] r ( )[( )( ) r ] r ( )( )( ) (3.) ( )( )( ) r (3.3) olur ki bu da araadır. Teorem 3.. Bir üçgede (s) dizisii bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart cot( A/ ),cot( B/ ),cot( C / ) dizisii de bir aritmetik dizi oluşturmasıdır. B A C Ġspat. Taım de cot cot cot olduğuu göstermeliyiz. (3.1) i kullaarak; B A C cot cot cot 1 1 ta( B ) ta( A ) ta( C ) ( ) r r r

28 1 elde ederiz (Zelator, 008). Teorem 3.3. (s) dizisii bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart A C 1 ta( ).ta( ) olmasıdır. 3 Ġspat. Taım de A C 1 ta ta 3 olduğuu göstermek yeterlidir. (3.1) i ve (3.3) ü kullaılmasıyla; A C 1 r r 1 ta ta. 3 3 r 1 ( )( )( ) 1 1. ( )( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) olur ki ispat biter (Zelator, 008). Teorem 3.4. Bir üçgei kear uzuluklarıı kareleri ola α, β, γ ı bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart cosa, cosb, cosc dizisii bir aritmetik dizi oluşturmasıdır. Ġspat. Taım de, cot B cot A cot C olduğuu göstermeliyiz. Buu içi cot cot cot ( ) 1 yarım açı formülüü kullaarak başlayalım. cot B cot A cot C cot B 1 cot A 1 C cot B cot A cot C cot 1

29 ((3.1) de) ( ) ( ) ( ) r r r ( ) ( ) ( ) r r r (β = τ - (α + γ)) i kullaılması ve eşitlikleri τ ile çarpılması soucuda ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 [ ] ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 olarak buluur ki ispat biter (Zelator, 008). Teorem 3.5. Bir üçgei hem açılarıı oluşturduğu (a) dizisi hem de kearlarıı oluşturduğu (s) dizisii aritmetik olması içi gerek ve yeter şart üçgei eşkear olmasıdır. Yai bu aritmetik dizilerde fark sıfırdır. Ġspat. : Eğer üçge eşkearsa (a) ı ve (s) i aritmetik dizi olacağı açıktır. Çükü bir üçge eşkear ise, A = B = C = 60º ve α = β = γ olur. Burada açık olarak; (a) ile (s) dizilerii her ikisi de farkı sıfıra eşit ola aritmetik dizilerdir. : Yai, (a) ve (s) dizilerii her ikisi de aritmetik dizi ise o zama üçge eşkeardır. Gerçekte, Teorem 3.3 de dolayı (s) dizisi bir aritmetik dizi olduğuda A C 1 ta( ).ta( ) olur. 3 Öte yada, (a) bir aritmetik dizi de olduğuda, özel olarak B = 60º elde ederiz ve burada A + C = 10º olduğuda C = 10º A buluur. Böylece,

30 3 Teorem 3.3 de A A 1 ta ta 60 3 ta 60 ta A A 1 ta. 1 ta 60 ta A 3 ve ta 60 3 olduğuda A A A 1 A A A A 3ta 3 ta 1 0 ( 3 ta 1) 0 ta (0 90 ) 30 ; 60 3 ifadelerie ulaşırız ki burada B = 60º ve C = 60º olur. Böylece A = B = C = 60º olup, üçge eşkeardır (Zelator, 008). Teorem 3.6. bir reel sayı olmak üzere, (s) dizileri aritmetik dizi oluştura dik üçgeler ise, üçgei kear uzulukları 3, 4, 5 biçimide verilirler. Ġspat. Böyle bir dik üçgei α, β, γ kear uzulukları iki şartı sağlamalıdır: 4 4 ( ) 3 5 0; (3 5 )( ) 0 ve ( + > 0 olduğuda) ve β = α + γ da β = 4α/3 elde ederiz ve δ pozitif reel sayı olacak şekilde, α = 3δ koyarsak, α = 3δ, β = 4δ, γ = 5δ ya ulaşırız (Zelator, 008). Teorem 3.7. Bir üçgei α, β, γ kear uzulukları dizisii bir harmoik dizi olması içi gerek ve yeter şart olmasıdır. A B C dizisii de bir harmoik dizi si ( ),si ( ),si ( ) Ġspat. Harmoik dizi taımıda si si si B A C olduğuu ispatlamalıyız. Sağ tarafta sol tarafa ulaşalım.

31 4 1 1 si si si B A C B A C cos ec cos ec cos ec B A C 1 cot 1cot 1cot B A C cot cot cot 1 1 ta ta ta B A C ((3.1) de) ( ) ( ) ( ) r r r ( ) ( ) ( )( ) 1 1 olur ki bu da araadır. Teorem 3.8. (a) dizisii aritmetik dizi ve (s) dizisii de geometrik dizi olduğu üçgeler sadece eşkear olalardır (Yai farkı sıfır ola aritmetik diziler ve oraı 1 ola geometrik diziler). Ġspat. Bir üçgede (s) dizisi bir geometrik dizi ve (a) bir aritmetik diziyse, o zama üçgei eşkear olması gerektiğii Teorem 3.5 de biliyoruz. Gerçekte eğer durum böyle ise o zama B=60º ve β = αγ şartları ayı zamada sağlaması gerekirdi. Teorem 1..9 da, si A si 60 sic

32 5 olur. Böylece, si A si C. si 60 si ve si 60 olduğuda si A.si C elde edilir. 4 Öte yada cos( A C) cos(180 B) cos cos AcosC si Asi C cos AcosC cos AcosC 4 4 olduğuda 3 9 si Asi C si Asi C cos AcosC cos Acos C (1 cos A)(1 cos C ) cos Acos C cos Acos C cos Acos C ifadelerii elde ederiz. Eğer iki sayıı toplamı S ve çarpımı P ise, oları x -Sx + P= 0 biçimideki ikici derecede deklemii iki kökü olması gerektiğii hatırlayalım. Yukarıda verilelere göre cos A ve cos C reel sayıları x x 0 ( x ) ikici derecede deklemii iki kökü olmalıdır. Bu ikici derecede deklemi 1/4 biçimide bir katlı kökü buluur. Dolayısıyla cos A cos C ve cos A > 0, cos C > 0 olduğuda hareketle cos A cos C elde edilir. Burada A=60º = C olacağıda üçge eşkeardır (Zelator, 008). Şimdi de kearları geometrik dizi oluştura rasyoel kearlı ve rasyoel alalı hiçbir üçgei bulumadığıı ifade ede teoremi verelim. Teorem 3.9. Kearları geometrik dizi oluştura rasyoel kearlı ve rasyoel alalı bir üçge yoktur.

33 6 Ġspat. Burada, kear uzulukları geometrik dizi ola rasyoel alalı üçgeler göz öüe alımıştır. Kearları a, ar, ar (burada a, r ve r 0 ) alırsak o zama yarı çevre s a r r (1 ) olur. Hero ala formülüü kullaırsak; a A r r r r r r r r 4 (1 )( 1 )(1 )(1 ) olur ve bu souç bir rasyoel sayı olmalıdır, ayrıca burada y ike (1 r r )( 1 r r )(1 r r )(1 r r ) y olmak zorudadır. Burada m, Z, (m,) = 1 ve Y Z deklemi ike m r alalım, o zama tam sayı olur. Y ( m m )( m m )( m m )( m m ) Bu deklemi sağıdaki 4 terimi ikişer ikişer aralarıda asal olduğu kolayca görülür. Buu alamı, buradaki her bir terimi kare olması gerektiğidir. Gerçekte de terimlerde ikisii çarpımıı da kare olacağı görülür. Bu yüzde Y ' ( m m )( m m ) m m deklemii elde ederiz. 4 4 Bu deklemi tek çözümü m = 0 ike ki çözümdür. Burada 0 olduğuda sadece m = 0 yai r = 0 olur. Böylece teoremi ispatlamış oluruz (Buchholz & MacDougall, 1998). 3.1 Açıları Dizi Ola Üçgeler (a) dizisii bir aritmetik dizi olması içi gerek ve yeter şartı B = 60º olması gerektiği heme görülür. Bu B = A + C ve A + B + C = 180º şartlarıda çıkar. Üstelik kosiüs teoremide; cos60 ( ) 3 elde ederiz. Şimdi de, iki pozitif β ve τ reel sayıları verildiğide 0< α β γ olacak şekilde B = 60º açılı bir tek üçge taımladığıda oraı (, 3] yarı kapalı

34 7 aralığıa düştüğü görülecektir. Gerçekte β > 0, τ > 0 ve < ρ 3 şartlarıda, tam olarak(gereklilik ve yeterlilik), B = 60º açılı bir tek üçge belirleir. Başka bir deyişle, içi < ρ 3 olacak şekilde, iki pozitif β ve τ reel sayıları verildiğide yukarıdaki koşulları sağlaya Euclides geometriside bir tek üçge oluşturulabilir. Şimdi içi böyle olduğuu görelim. Eğer α ve γ ı toplamı S ile çarpımları da P ile gösterilirse; yukarıda elde ettiğimiz bağıtıda (α + γ) = β + 3αγ olacağıda S olduğu soucua ulaşılır. 3 S 3P P Öte yada α ve γ reel sayıları, X SX + P = 0 ikici derecede deklemii kökleridir. α ve γ reel kökler olduklarıda, bu ikici derecede deklemi diskrimiatı egatif olamaz. Burada; S ( S) 4P 0 S 4P 0 S S 3 (β ve S i her ikisi de pozitif olduğu içi) β S ve S = τ β olduğuda, 3 (β > 0 içi) 3 elde ederiz; burada da (açık olarak), ; 1 olur. Böylece ifadesi bir gerek şart olarak ortaya çıkar. Öte yada X SX + P = 0 deklemie geri döersek ; α ile γ, α γ olacak şekilde deklemi kökleri olduğuda (ikici derece deklem formülüde), elde ederiz. Daha öcede S S 4 P S S 4 P, S P ve S = τ β olarak verile ifadeler kullaılırsa; 3 (3 )( ) (3 )( ) 3, 3 ifadesii veya dek ola,

35 8 ve (3 )(1 ) 1 3 (3 )(1 ) 1 3 ifadesii elde ederiz ve ayrıca eşitliğii kullaarak, (3 )(1 ) (3 )(1 ) 1, (3.4) soucua ulaşırız. Fakat ek bir şart olarak; (3.4) de dolayı 0 olması (β > 0 olduğuda) (3 )(1 ) olmasıa dek olduğuda; (3 )(1 ) 1 (1 3 içi) 3( 1) (3 )(1 ) ( ) 0; soucuu elde ederiz. Ayrıca 1 < ρ 3 olduğuda hareketle < ρ 3 elde edilir ki bu da araadır. Teorem 1..9 da R olduğuu hatırlayalım si A si 60 si C (Burada R, çevrel çemberi yarıçapıdır). Burada B 60 alırsak, si 60 3 olduğuda hareketle si A 3 si C ifadesie ulaşırız. Buu (3.4) ile birleştirirsek, si A 3 (3 )(1 ) ve

36 9 3 (3 )(1 ) si C souçlarıa ulaşırız. Ayrıca, olur. 0 0 A B C 180 (A + B + C = 180º olduğuda) 0 si A si B si C 1 0 si A si 60 si C si A si C 1 3 (3 )(1 ) 3 3 (3 )(1 ) Eğer ilk eşitliği işareti doğruysa, o zama ikicisii ve tersii de doğru olması gerekir; burada ρ = 3 olması durumu tam olarak eşkear üçge olması durumua karşılık gelir (yai, A = B = C = 60º). Üstelik dördücü eşitsizlikte, ayı işaretli olması durumu tam olarak 1 3 içi sağlaır ki, bu A B C , 60, 90 olması durumua karşılık gelir. Eğer cebirsel işlemler yapılırsa so eşitsizliği (1 3) 0 olduğu görülür. Tersie olarak 3 olmak üzere (3.4) ü kullaılması ve siüs teoremiyle birlikte B = 60º olarak belirleyebiliriz. So olarak ta α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α şeklideki üç üçge eşitsizliğii sağladığıı kolayca gösterebiliriz; üçücü eşitsizlik, γ β α > 0 da dolayı heme görülür; ikicisi ise α + γ = τ β da kolaylıkla buluur. Gerçekte (β > 0 olduğuda) ifadeside olur ki bu geçerlidir. Çükü u, 3 şartıı sağladığıı varsaymıştık. Şimdi α + β > γ üçge eşitsizliğii ispatlayalım. (3.4) de dolayı (β > 0 olduğuda) 3 (3 )(1 ) 3 (3 )(1 ) (Bu eşitsizliği her tarafıı 4 ile çarparsak)

37 30 3( 1) 4 3( 1) (3 )(1 ) (3 )(1 ) 4 (3 )(1 ) 1 0 ( 1) 0 olur ki bu eşitsizlik 1 olduğuda doğrudur. Çükü < 3 dür. Bua göre şu souçları elde ederiz. Açıları A, B, C; kear uzulukları α, β, γ ola bir üçgede açıları (a) dizisii bir aritmetik dizi oluşturması içi gerek ve yeter şart B = 60º olmasıdır. dur. olmak üzere 3 olacak şekildeki bir üçgede çevre uzuluğu Tersie olarak 3 olacak şekilde iki pozitif reel sayı τ ve β verildiğide B = 60º açılı ve B açısıı oluştura kearları; (3 )(1 ) 1 ve 3 (3 )(1 ) 1 3 biçimide ola bir özel üçge işa edilebilir. Ayrıca bu üçgede; 3 (3 )(1 ) si A olarak buluur. ve 3 (3 )(1 ) si C Üçgede 1 3 olduğu zama, açıları A = 30º, B = 60º, C = 90º ola bir dik üçge buluur. Öte yada ρ = 3 içi üçge eşkeardır. 3. Açıları Aritmetik Dizi OluĢtura Tamsayı Kearlı Üçgeleri Taımlaması ve Belirlemesi Açıkça görüleceği gibi, kear uzulukları tamsayı ola ve açılarıı (a) dizisi bir aritmetik dizi oluştura bütü üçgeleri parametrik olarak taımlayabilmek içi, üç değişkeli x + 3y = z Diophatie deklemii geel çözümüe ihtiyacımız olacaktır. Burada x + y = z ( verile pozitif bir tamsayıdır) biçimideki üç değişkeli Diophatie deklemii iyi alaşıldığıı ve geel çözümlerii uzu zamadır bilidiği belirtelim. Fazla ayrıtıya girmeksizi, x + 3y = z Diophatie

38 31 deklemii pozitif tamsayılardaki bütü çözümleri; d, κ, λ pozitif tamsayılar ve κ ile λ aralarıda asal (yai (κ, λ) = 1 içi) olmak üzere; d 3 d (3 ) x, y d, z (3.5) biçimide taımladığıı ifade edelim. Şimdi kear uzulukları α, β, γ tamsayıları ve (a) dizisi bir aritmetik dizi ola bir üçge düşüelim ki bu durumda B = 60º olması gerekecektir. Bu üçgee Teorem ile verile Kosiüs Teoremii uygularsak; 0 deklemie ulaşırız. 0 < α β γ olduğuu dikkate alır ve γ ya göre bu so ikici derecede deklemi çözersek; 4 3 (3.6) ifadesii elde ederiz. Burada sayılar teorisii bilie bir soucuda faydalaarak hareket ederiz. Bu souca göre; eğer ve m pozitif tamsayılarsa o zama m (m i ici derecede kökü) i rasyoel olması içi gerek ve yeter şart m i ici kuvvette bir tamsayı; yai bir k pozitif tamsayısı içi m = k olmasıdır. Buu alamı m k ı pozitif bir tamsayı olmasıdır. Özel olarak, bir pozitif tamsayıı kareköküü rasyoel olması içi gerek ve yeter şart bu pozitif tamsayıı bir tam kare olmasıdır (yai mükemmel kare) (Nagell,1951). Çükü yukarıda verile (3.6) e göre hareket edersek (β, γ, α tam sayılar oldukları içi) 4 3 kareköküü bir rasyoel sayı olması gerektiği ortaya çıkar. γ ı bir pozitif tamsayı olması içi gerek ve yeter şart bir δ pozitif tamsayısı içi ve α ve δ tamsayılarıı ayı türde (yai her ikisi 4 3 ; 0 de tek veya her ikisi de çift) olmasıdır. α ile δ ı her ikisi de pozitif tamsayılar olduklarıda, 0 olduğu açıktır. Buula beraber olması durumu bir çelişkidir. Bu kolayca görülebilir. Burada γ > 0 olduğuda α > δ olması gerekir. Acak bu durum geçerli

39 3 olduğuda ifadeside (β ve α ı her ikisi de pozitif oldukları içi) β < α elde edilir ki bu ise α β olmasıyla çelişir. Böylece (3.6) ifadesideki hesaplamada dolayı; ,,, olarak elde edilir (pozitif tamsayılar kümesi). ( ) 3,,, (3.7) (3.7) deki ikici deklem; x + 3y = z Diophatie deklemii bir pozitif tamsayı çözümüü (δ, α, β) üçlüsü olduğuu gösterir. (δ, α, β) çözüm üçlüsü; d, d, 3 d(3 ) olarak buluur ki bu ifadeler ile (3.7) ile birleştirilirse δ, α, β tamsayıları; d, κ, λ Z + ve (κ, λ) = 1 içi d(3 ) 3 d,, d 4 4 formülleride buluur. (3.8) İlk gözlemimiz; κ, λ parametreleri tamsayı ve (κ, λ) = 1 olduğuda bu tamsayıları ya her ikisi de tek, ya da olarda birisii çift, diğerii tek olması gerektiğii görürüz. Eğer κ ile λ farklı ikililer ise, o zama β ve γ ı tamsayı olması içi d, 4 ü bir katı olmalıdır. Öte yada eğer κ λ 1 (mod ) ise, o zama 1 (mod 4) olacağıda, 3κ +λ 0 (mod 4) elde edilir. Burada β ve γ pozitif tamsayı olmaları gerektiğide, d pozitif bir değer alır. Ayrıca κ λ 1 (mod ) olduğu zama d = i = 1 veya κ + λ 1(mod ) olmak üzere i = 4 içi; iκλ, 3 3 i, i 4 4 tamsayıları ikişer ikişer aralarıda asal ve λ, 3 ile bölüemeye bir sayıdır. Eğer i, κ ve λ; tamsayıları yukarıdaki şartları sağlamak üzere λ, 3 ü bir katı ise o zama bu üç tamsayıda herhagi ikisii e büyük ortak bölei 3 e eşit olacaktır. Sora, (3.8) formülleride

40 33 α β δ şartıı geçerli olduğuu kabul edelim. Dolayısıyla bu κ ve λ tamsayı parametrelerii sağlaması gereke şartlarıı belirlememizi mümkü kılar. Daha sora β = γ + α αγ deklemii pozitif tamsayılardaki bütü çözümlerii elde ettikte sora, bu çözümler arasıda α β γ eşitsizliğii sağlaya çözümleri belirlemeliyiz. (3.8) ifadesie bu şartlar uygulaırsa; d(3 ) 3 d d 4 4 (3.9) elde edilir. d, κ, λ lar pozitif olduğuda, kısa bir cebirsel işlem soucuda, (3.9) daki ilk eşitsizlikte; yada 3 (3.10) elde edilir. Burada (λ, κ) = 1 olduğuda 1 içi λ = κ = 1 ve 3 içi λ = 3, κ = 1 olacağıı belirtelim. (3.8) de dolayı ilk durumda; α = β = γ = d olduğuu, ikici durumda ise α = β = γ = 3d olduğuu görürüz ki, her iki durumda da üçge eşkear olur (aşağıda bu durumu bir taesi kabul edilmiştir). λ ve κ pozitif tamsayı olduklarıda, (3.10) ifadesi 1 λ κ veya 3 3κ λ değerleri içide elde edilebilir ki buu aralık gösterimi (0,1] [3 ) olarak buluur. (3.10) altıda, (3.9) daki ikici eşitsizliği de sağladığıı gösterelim. 3 bir irrasyoel sayı olduğuda 3κ λ sıfır olamaz. Eğer 3κ λ > 0 ise o zama 3 3 olacağıda (3.9) daki ikici eşitsizlikte; 3 d(3 ) d (olduğu içi) 0 1, (3.10) ile uyumlu ve 3κ λ > 0 olması gerektiğide 0 3 buluur. Bezer şekilde eğer 3κ λ < 0 ise o zama 3 3 olacağıda ve ikici eşitsizlikte 3 elde edilir ki (3.10) ile uyumlu ve ayı

41 34 zamada 3κ λ < 0 olması gerektiğide 3 elde edilir. Burada α β γ olmak üzere (3.8) ve (3.10) ile birlikte; β = α + γ αγ deklemii bütü pozitif tamsayı çözümlerii taımlaacağı açıktır. Üstelik kosiüs teoremide üçgei B açısıı 60º olarak buluruz. Geriye gerçek bir üçgei oluştuğuda emi olmak içi; α + β > γ, β + γ > α, α + γ > β üçge eşitsizliklerii gerçekleştiğii kotrol edilmesi kalır. ((3.8) de dolayı) 3 3 olması gerektiği; ve κ ile λ ı pozitif olmasıda açıktır. İkici üçge eşitsizliği ola β + γ > α ifadesi ( ) 3 0 ifadesie dek olur ki geçerli olduğu açıktır. Üçücüsü ola α + γ > β üçge eşitsizliğii gerçekleştirmek içi, (3.10) de faydalaarak 3κ λ > 0 ile 3κ λ < 0 olması durumlarıı irdelemek gerekir. Ayrıtıları bir keara bırakıyoruz. Ayrıca, (3.8) ile (3.10) ifadelerii birleştirir ve gerekli hesaplamaları yaparsak oraıda 3 olması gerekeceğide, öceki kesimdeki souçta buu sağladığıı görürüz. Burada şu souçları çıkarırız. Kear uzulukları α, β, γ tamsayıları α β γ ve ou açılarıı (a) dizisi bir aritmetik dizi olacak şekildeki bütü üçgeleri parametrik gösterimi (3.8) ifadeleri ile verilmiştir. Burada, d, κ, λ pozitif tamsayılar, (κ, λ) = 1, 3κ λ veya 1 dir (veya aralık gösterimi (0,1] [3 ) olur.). Ayrıca κ ile λ ı her ikisi de tek olduğuda d herhagi bir pozitif tamsayı olabilir. Acak κ + λ 1 (mod) içi d, 4 ü bir katı olmalıdır. Ek olarak B = 60º açısı ve Teorem 1..9 da dolayı a si 60 3 si A 3 ifadesi elde edilir ki burada 0 < A 60º ve φ = 60º A olacağıda φ, (a) aritmetik dizisii farkıdır. Yai 0º φ 60º buluur. So olarak C açısı, C = 10º A = φ +A = φ + 60º olarak buluur. Ayı zamada verile bir (κ, λ) ikilisi içi, d yi değiştirmek suretiyle bezer üçgeleri

42 35 bütü sııfıı üretilebileceğii belirtelim. Üstelik aralığıa düşer. Yai < ρ 3 dir. oraıda ρ, (, 3] 3.3 Örekler Aşağıda kear uzulukları tamsayı, (a) dizileri aritmetik dizi, 1 λ, κ 5 eşitsizliklerii sağlaya λ ve κ farklı ikili olduğuda d parametresi 4 e eşit, λ ile κ ı her ikisii de tek olduğu durumda d = 1 olacak şekildeki bütü üçgeleri listesii veriyoruz. Aşağıdaki veriler; öceki bölümdeki formüllerde A açısıı değerii yaklaşık olarak belirlemek içi ve bilimsel hesap makiesi kullaılarak elde edilmiştir. Aşağıda o iki üçge vardır. Burada tüm bezer üçgeler sııfı λ ve κ yı sabitleyerek ve d yi değiştirmek suretiyle elde edilmesie rağme, aşağıdaki örekler bu sııfları birbiriyle bağlatılı olmadığıı göstermektedir. Buu edei; λ, 3 ü katı alıdığı içi üçgei her bir kearıı 3 ü katı olmasıdır. 3 Örek , d 1, 1, 3, si A, A 60, 0, B 60, C Örek3.3., 1, d 4, 8, 13, 15, , si A, A , , B 60, C Örek , 1, d 1, 3, 7, 8, , si A, A , , B 60, C Örek , 1, d 4, 16, 49, 55, , si A, A , , B 60, C Örek , 1, d 1, 5, 19, 1, ,si A,

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI

ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: ANA ÇOKGEN YAVRU ÇOKGEN İLİŞKİSİ: KENAR VE ALAN BAĞINTILARI HAZIRLAYANLAR: AYŞENUR İREM OKAY EZGİ HARPUT ÖZEL

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:10-Sayı/No: : 383-388 (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE BAZI ÜÇGENSEL VE DÖRTGENSEL

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014 PROJENİN AMACI:

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

26 Nisan 2009 Pazar,

26 Nisan 2009 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

İç bükey Dış bükey çokgen

İç bükey Dış bükey çokgen Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

1. Hem % 15 i, hem de % 33 ü tam sayı olan en küçük pozitif sayı nedir? c)

1. Hem % 15 i, hem de % 33 ü tam sayı olan en küçük pozitif sayı nedir? c) TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 10. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2005 Soru kitapçığı türü A 1. Hem % 15 i, hem de % 33

Detaylı