DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI"

Tülay Adanır
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DAMLA SERTKAYA AZİZ ARSLAN

2 TANIM: G, toplamsal değişmeli grup olsun. f G G ENDOMORFİZMA HALKALARI x f(x) dönüşümü x, y G için f x + y = f x + f y koşulunu sağlıyorsa f ye G toplamsal değişmeli grubun endomorfizmi denir. f, G nin endomorfizmi olsun. O halde; f fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar. i) f 0 = 0 ii f x = f(x) x G için; G nin f ve g endomorfizmleri için; f = g f x = g x x G için. NOT: G değişmeli grubunun bütün endomorfizmlerinin kümesini End(G) ile gösterelim. End G = f f G G grup omomorfizmi } TEOREM: Bir değişmeli grubun tüm endomorfizmlerinin kümesi f, g End(G) ve x G için; i) f + g x = f x + g(x) ii) fg x = f(g x ) işlemleri ile birlikte birimli bir halkadır. İSPAT: f, g End G ve x, y G için; f + g x + y = f x + y + g x + y (işlem tanımından) = f x + f y + g x + g(y) (fg homomorfizma) = f x + g x + f y + g(y) ( G değişmeli olduğundan ) = f + g x + f + g (y) (tanımdan) fg x + y = f(g x + y ) = f(g x + g y ) = f g x + f(g y ) = fg x + fg(y) f + g ve fg birer endomorfizma olduğundan f + g ve fg End(G) olur. Buradan End(G) kümesi üzerinde toplama ve çarpma işleminin tanımlı olduğu görülür. 2

3 (1) (End G, +) değişmeli grup mu? f, g, End G ve x G için; f + g + x = f + g x + (x) = f x + g x + (x) = f x + [g x + (x)] = f x + g + x = f + g + (x) Buradan f + g + = f + (g + ) olduğu görülür. O halde End(G) kümesi üzerinde toplama işlemi birleşmelidir. 0 G G x 0 f + 0 x = f x + 0 x = f x + 0 = f x 0 + f x = 0 x + f x = 0 + f x = f x Buradan 0 End(G) olduğu görülür. O halde 0 endomorfizması End(G) kümesinin toplamsal birimidir. Keyfi bir f End(G) olsun. f G G x f(x) f G G x f x = f x x, y G için; f x + y = f x + y = f x + f y = f x f y = f x + f (y) Buradan f End(G) olduğu görülür. Gerçekten; f + f x = f x + f x = f x f x = 0 = 0(x) f + f x = f x + f x = f x + f x = 0 = 0(x) f + f = 0 olur. O halde f End(G), f End(G) nin tersidir. 3

4 f, g End(G) ve x G için; f + g x = f x + g x = g x + f x = g + f (x) Buradan f + g = g + f olduğu görülür. O halde; End(G) kümesi toplamaya göre değişmeli grup olur. (End G, +) değişmeli grup (2) f, g, End(G) ve x G için; fg x = fg x = f(g x ) = f g x = [f(g)](x) fg = f(g) olur. (3) f, g, End(G) ve x G için; f + g x = f + g x = (f x ) + (g x ) = f x + g (x) = f + g (x) Buradan f + g = f + g olduğu görülür. O halde; End(G) kümesi üzerinde tanımlanan çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır. Benzer şekilde soldan dağılma özelliğinin olduğu da görülür. Yukarıdaki 3 özellik sağlandığından End(G) kümesi üzerinde tanımlanan toplama ve çarpma işlemleri ile birlikte bir halkadır. (4) I G G x I x = x fi x = f I x = f x If x = I f x = f(x) Buradan If = fi = f olduğu görülür. O halde; End(G) kümesi üzerinde tanımlanan toplama ve çarpma işlemleri ile birlikte birimli bir halkadır. TANIM: Elemanları bir G değişmeli grubun endomorfizmleri olan halkaya endomorfizm halkası denir. 4

5 ÖRNEK: G bir sonsuz devirli grup olsun. G yerine Z halkasının (Z, +) grubunu alırsak; k Z için, a k : Z + Z + End Z + (Z, +, ) ÇÖZÜM: x = y alalım. x a k x = xk dönüşümü bir endomorfizmadır. a k x = xk = yk = a k y O halde a k dönüşümü iyi tanımlıdır. a k x + y = x + y k = xk + yk = a k x + a k y O halde a k dönüşümü endomorfizmadır. a k End(Z + ) a: Z + Z + x a(x) 1 a 1 = t a x = a x. 1 = a( ) = a 1 + a a(1) = x. a 1 = x. t = a t (x) φ End Z + Z a k = a l alalım. a k k a k x = a l (x) xk xl a l l dönüşümünü tanımlayalım. k l (Z sıfır bölensiz olduğundan) φ a k = φ(a l ) O halde φ dönüşümü iyi tanımlıdır. φ(a k + a l )=φ a k+l = k + l = φ a k + φ(a l ) (a k + a l ) x = a k x + a l x = xk + xl = x k + l = a k+l (x) a k + a l = a k+l 5

6 φ a k. a l = φ a kl = kl = φ a k. φ a l a k. a l x = a k a l x = a k xl = xl k = x lk = x kl = a kl (x) a k. a l = a kl O halde φ işlemleri korur. φ a k = φ a l alalım. φ a k = k = φ a l = l φ a k = φ a l k = l olur. O halde φ dönüşümü 1 1 dir. k Z için φ f = k olacak şekilde f End Z + bulabileceğimizden φ örtendir. Böylece End Z + (Z, +, ) TEOREM: R birimli bir halka ise R tüm sol çarpımlarının endomorfizmler halkasına izomorftur. İSPAT: R birimli bir halka olsun. End(R), R nin toplamsal grubunun tüm endomorfizmlerinin oluşturduğu küme ve a, R nin sabit bir elemanı olsun. a, x R için; T a : R R x ax biçiminde tanımlanan bu dönüşüme a ile sol çarpım denir. x, y R için x = y olsun. T a x = ax = ay = T a (y) O halde T a dönüşümü iyi tanımlıdır. x, y R için T a x + y = a(x + y) = ax + ay = T a x + T a (y) O halde T a dönüşümü R nin toplamsal grubunun bir endomorfizmasıdır. Dolayısıyla; a R için T a End(R) a, b R için; i) T a + T b ii) T a T b O halde End(R) halkasında tanımlıdır. 6

7 Ayrıca x R için; i) T a+b x = a + b x = ax + bx = T a x + T b x = T a + T b (x) ii) T ab x = ab x = a bx = T a bx = T a T b x = T a T b (x) Dolayısı ile; i) T a+b = T a + T b ii) T ab = T a T b Görüldüğü gibi T a + T b ve T a T b sol çarpımlarıdır. S = { T a a R, T a : R R} olmak üzere tüm sol çarpımlarının kümesi S olsun. S, End(R) nin bir alt halkasıdır. Çünkü; S R ; T 1 : R R x T 1 x = 1. x = x T 1 S olduğundan S T a+b S ve T a T b S olduğunu gösterelim. T a+b : R R x a + b x = ax + bx = T a x + T b (x) T a+b S T ab : R R x ab x = a bx = a T b x = T a T b x = T a T b (x) T a T b S O halde S, R nin bir alt halkasıdır. φ: R S a φ a = T a b φ b = T b şeklinde φ fonksiyonu tanımlayalım. a, b R için a = b olsun. ax = bx x G için. T a x = T b (x) T a = T b φ a = φ(b) 7

8 a = b iken φ a = φ(b) elde edilir. O halde φ fonksiyonu iyi tanımlıdır. φ: R S a + b φ(a + b) φ a + b = T a+b = T a + T b = φ a + φ(b) T a+b x = a + b x = ax + bx = T a x + T b (x) φ ab = T ab = T a T b = φ a φ(b) T ab x = ab x = a bx = a T b x = T a (T b x ) = T a T b (x) O halde φ fonksiyonu homomorfizmadır. Kerφ = a R φ a = 0 S } a Kerφ ise x R için ax = 0 S R halkası birimli olduğundan özel olarak x = 1 için a. 1 = a = 0 Kerφ {0} Her zaman {0} Kerφ olur. Kerφ {0} ve {0} Kerφ olduğundan Kerφ = {0} O halde φ fonksiyonu 1 1 dir. φ: R S? f = T a g = T b f S için f: R R R birimli olduğundan f 1 R = a dersek f = T a biçimindedir. O halde; f S için φ a = f = T a şeklinde a R vardır. O halde φ fonksiyonu örtendir. Yukarıdaki işlemlerimizden görüyoruz ki; R birimli halka ise R S olur. SONUÇ: Her R halkası herhangi bir değişmeli grubun endomorfizmler halkasına izomorftur. ÖRNEK: Z x Z birimli halkasını Z x Z modül olarak alalım. End(Z x Z )= { f Z x Z Z x Z f Z x Z modül omomorfizması } kümesini tanımlayalım. Z xz End(Z x Z ) olduğunu gösteriniz. 8

9 ÇÖZÜM: Keyfi bir a, b (Z x Z ) alalım. T (a,b) : Z x Z Z x Z (x,y) (a,b)(x,y)=( ax,by) dönüşümünü alalım. (x,y),(z,t) ε Z x Z ve (x,y) = (z,t) olsun. (x,y) = (z,t) (x,y) (z,t) = 0 Z x Z (x z,y t) = 0 Z x Z (a,b)(x z,y t) = (a,b) 0 Z x Z (a (x z),b(y t)) = 0 Z x Z (a,b) ε Z x Z (Z x Z, Z x Z - modül) (a x a z,by bt) = 0 Z x Z (a x,by) (az,bt) = 0 Z x Z T (a,b) (x,y) =T (a,b) (z,t) olduğundan T (a,b) iyi tanımlıdır. T (a,b) ( ((x,y) + (z,t)) = (a,b)((x,y) + (z,t)) = (a,b)(x + z,y + t) =( a (x + z),b(y + t)) =( a x + a z,by + bt) =( a x,by) + (az,bt) =T (a,b) (x,y) + T (a,b) (z,t) T (a,b) ( ((x,y)(z,t)) = (a,b) ((x,y)(z,t)) =( a,b) (x,y)(z,t) = ((a,b)(x,y))(z,t) =T (a,b) ( (x,y))(z,t) Görüldüğü gibi T (a,b) bir Z x Z modül homomorfizmasıdır. φ Z x Z End(Z x Z ) (x,y) T (x,y) (x,y),(z,t) ve (m,n) ε Z x Z için; T x,y +(z,t)(m,n) = ((x,y)+(z,t))(m,n) 9

10 = (x,y)(m,n) + (z,t)(m,n) = T (x,y) (m,n)+t (z,t) (m,n) (m,n) ε Z x Z için sağlanacağından; T ( x,y + z,t ) = T (x,y) + T (z,t) eşitliği sağlanır. T x,y z,t (m, n) = ((x,y)(z,t))(m,n) =(x,y)((z,t)(m,n)) =(x,y)( T (z,t) (m,n)) = T (x,y) (T (z,t) (m,n)) (m,n) ε Z x Z için sağlanacağından; T x,y z,t = T (x,y) T (z,t) eşitliği sağlanır. O halde φ halka homomorfizmasıdır. (x,y),(z,t) ε Z xz alalım ve φ((x,y))= φ((z,t)) olsun. φ((x,y)) = φ((z,t)) T (x,y) = T (z,t) T (x,y) (m,n)= T (z,t) (m,n) (m,n) ε Z xz için ((x,y)(m,n)) = ((z,t)(m,n)) ZxZ birimli halka (m,n) = 1 Z xz seçelim. (x, y) 1Z xz =(z, t) 1Z xz (x,y) = (z,t) olduğundan φ fonksiyonu bire birdir. t ε End(Z x Z ) seçelim. t Z x Z Z x Z Z x Z - modül homomorfizmasıdır. t Z x Z Z x Z (1,1) t ((1,1)) = (a, b) (Halka homomorfizması birim elemanı birime götürmek zorunda değildir.) (x,y) ε ZxZ için; t((x,y)) = t((1,1)(x,y)) = t((1,1))(x,y) = (a, b) (x,y) = T a,b (x, y) (x, y) Z xz için sağlanacağından t = T a,b eşitliği sağlanır. 10

11 φ a, b = T (a,b) = t olacak şekilde (a, b) ε Z xz var olduğundan φ fonksiyonu örtendir. Bütün bu eşitlikler Z xz End(Z xz ) olduğunu gösterir. 11

12 12

Benzer belgeler

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli