MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ GRUP HALKALARI VE ÖNEMİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2011

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRUP HALKALARI VE ÖNEMİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez 18/07/2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir Prof. Dr. Naime EKİCİ Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ GRUP HALKALARI VE ÖNEMİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman :Prof. Dr. Naime EKİCİ Yıl: 2011, Sayfa: 89 Jüri :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT Bu çalışmada, grup halkası konusunu ele aldık. Grup halkasının sıfır bölensiz olduğu özel bir kaç durumu inceledik. [ ] grup halkasından cismine bir dönüşümü tanımlayarak, [ ] idempotent eleman olmak üzere nin cisminin asal alt cismi tarfından içerildiğini gösterdik. [ ] grup halkasının hangi şartlar altında asal olduğunu söyledik. Her grubu için kompleks sayılar cismi olmak üzere [ ] nin yarı basit olduğunu söyledik. sonlu grup olmak üzere [ ] grup halkasının homomorfizmalarına değindik. Grup halkasında ve serbest grup halkasında türev tanımını vererek Fox türevinin uygulamasında kullanacağımız bir teorem ve bu teoremin uygulaması amacı ile bir kaç örnek verdik. Sonlu üreteçli, değişmeli grubu için ( ) integral grup halkasının birim grubunu ve ( ) nin otomorfizmasını hesapladık. Ayrıca grup halkasında ortaya konan hipotezleri verdik. Anahtar Kelimeler: Grup, Halka, Cisim, Grup Halkası, Fox Türevleri I

4 ABSTRACT MSc. THESIS GROUP RINGS AND THE IMPORTANCE OF THE SUBJECT ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATİCS Supervisor :Prof. Dr. Naime EKİCİ Year: 2011, Pages: Jury :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Assoc. Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Assoc. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT In this study, we deal with the concept of group ring. We survey some case which group ring has no zero divisors. We define a map, from the group ring [ ] into the field. Let [ ] be an idempotent and we have shown that is contained in the prime supfield of. We mention some condition which the group ring [ ] is prime. Let be field of complex numbers, we say that for all group rings, [ ] is semisimple. Let be finite group, we obtain homorphisms of the group ring [ ]. We define derivation in the group ring and in the free group ring and we establish a theorem which we use applications of Fox s derivation and we have some examples with applications of this theorem. Let be a finitely generated abelian group, we compute the group of units of the integral group ring ( ) and the group of automorphisms of ( ). Furthermore, we mention hypothesis in the group ring. Key Words: Group, Ring, Field, Group Ring, Fox s Derivation II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın her aşamasında hiçbir zaman yardımlarını ve desteğini esirgemeyen, bilgisi ve kişiliğiyle örnek aldığım saygıdeğer danışmanım Prof. Dr. Naime EKİCİ ye sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca hiçbir zaman desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan sevgili babam Osman ŞENOL, annem Kadiriye ŞENOL, ablam Meral ERDEM, abim Gürsel ŞENOL a teşekkür ederim. Son olarak Onur YAĞCI a, Ç.Ü. Matematik bölümünün saygıdeğer öğretim üyelerine ve araştırma görevlisi arkadaşlarıma yardım, destek ve teşviklerinden dolayı teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER.....V 1. GİRİŞ TEMEL TANIM ve TEOREMLER Ayrışım ve Bir Kümenin Kardinalitesi Gruplar Halka Cisim Modül Vektör Uzayları Lineer Dönüşümler ve Matrisler İç Çarpım Uzayları Serbest Gruplar Grup Etkisi Jacobian Matris ve Taylor Serisi GRUP HALKASI NEDİR Giriş Sıfır Bölen Idempotent Yarı Basitlik GRUP HALKALARINDA HOMOMORFİZMALAR GRUP HALKASINDA TÜREV Serbest Grup Halkasında Türev Fox Türevlerinin Uygulamaları DEĞİŞMELİ İNTEGRAL GRUP HALKASINDA BİRİMLER ( ) nin Birimleri ( ) nin Otomorfizmaları IV

7 7. GRUP HALKALARINDA BAZI ÖNEMLİ PROBLEMLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ V

8 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Grup halkası konusu oldukça eskidir. Grup halkası, 1854 yılında A. Cayley in On the Theory of Groups as Depending on the Symbolic Equation =1, Phil. Mag., 7, makalesinde ele alınmış ve 1897 yılında T. Molien tarafından tam olarak tanıtılmıştır. Grup halkası konusu R. Brauer, F. G. Frobenius, E. Noether ve I. Schur ın çalışmalarından sonra grup temsillerindeki uygulamalarından dolayı önem kazanmaya başlamıştır lı yıllarda grup halkası konusu bilim adamlarının etkili bir şekilde dikkatini çekmeye başladı. I. Kaplansky, halka teorisindeki ünlü problemlere grup halkası sorularının dahil olmasını sağlamıştır. Böylece grup halkası, halka teorisinin ilginç alanlarından biri oldu. Grup halkası teorisi çeşitli cebirsel teori konularında karşımıza çıkmaktadır. Özellikle grup temsillerinin gelişmesinde merkezi bir rol oynamaktadır. Grup halkası, matematiğin homolojik cebir, cebirsel topoloji ve cebirsel -teorisi gibi dalları için de önemlidir. Çağdaş cebirciler S.A.Amitsur, H.Bass, E. Formanek, N. D. Gupta, I. N. Herstein, G. Higman, A. V. Jategaonkar, I. Kaplansky, W. May, K. W. Roggenkamp, W. Rudin e H. J. Zassenhaus yaşamları boyunca alanın gelişmesi için çok büyük katkıda bulunmuşlardır. Ayrıca D. S. Passman ve S. K. Sehgal da alana yaptıkları önemli katkılardan dolayı bu listeye eklenmelidir. Grup halkalarıyla ilgili yeterli Türkçe kaynak bulunmamaktadır. Bu tezin temel amaçlarından birisi de bu konudaki eksikliği gidermektir. Bu nedenle grup halkaları hakkında yazılmış temel kaynaklar ve makaleler incelenerek bir derleme yapılmış ve konunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacak örnekler verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde çalışmamızda kullanmış olduğumuz bazı temel tanım ve teoremleri verdik. Üçüncü bölümünde grup halkasının nasıl inşa edildiğinden, grup halkasında toplama ve çarpmanın nasıl tanımlandığından bahsettik. Grup halkası konusunun kafamızda canlanabilmesi için somut birkaç örnek verdik. Grup halkasında sıfır bölensizliğin, grubun yapısına bağlı olarak özel birkaç durumda sağlandığını gösterdik. Bir [ ] grup halkasından bir cismine dönüşümü tanımladık ve 1

9 1.GİRİŞ, [ ] nin bir idempotent elemanı olmak üzere nin nın asal alt cisminde içerildiğini ispatladık. [ ] grup halkasının hangi şartlar altında asal olduğunu söyledik. Bu bölümde son olarak yarı basitlik konusuna değindik ve her grubu için kompleks sayılar cismi olmak üzere [ ] nin yarı basit olduğunun ispatını verdik (D. S. Passman, 1976). Dördüncü bölümde grubun sonlu olması durumunda grup halkasındaki homomorfizmalardan bahsettik. Beşinci bölümde herhangi bir çarpımsal grubu ve rasyonel tam sayıların halkası ile ilişkilendirilmiş grup halkasını ele alarak grup halkasından grup halkasına bir dönüşüm tanımlayarak bu dönüşüme grup halkasında bir türev dedik ve türevin sağladığı özellikleri verdik. Serbest grup halkasını ve elemanlarını tanımladık. serbest grubunun her bir üretecine karşılık gelen ye göre türevi tanımladık ve bu türevin =, özelliğine sahip olduğunu ve ( ) ( ) e bir ve yalnız bir türev olduğunu söyleyip bu türevin formülünü verdik (R. H. Fox, 1953). Bir serbest grubunun bir üretecinin bir kuvvetinin türevinin hesaplanabilmesi için geliştirilmiş formülü verdik ve bu formülü anlayabilmemiz için elemanı alarak türev hesabının nasıl yapılacağına dair örnekler verdik. Fox Türevinin uygulamalarına değindik. bir serbest grup ve, nin normal alt grubu olmak üzere nin üreteç kümesinin nasıl belirleneceğine dair bir teorem verdik (Wan Lin, 2000) ve bu teoremin uygulaması olarak örnekler vererek bu bölümü bitirdik. Altıncı bölümde sonlu üreteçli, değişmeli grubu için ( ) integral grup halkasının birim grubu ( ( )) yi hesapladık ve sonlu üreteçli değişmeli olduğunda ( ) nin grup otomorfizmalarını inceledik. Yedinci bölümde grup halkaları alanında karşılaşılan önemli problemlerden bahsettik ve grup halkalarında hipotez olarak ortaya konulan problemleri verdik. 2

10 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1.Ayrışım ve Bir Kümenin Kardinalitesi Tanım boş olmayan bir küme ve için kümeleri, nın bir takım alt kümeleri olsun. (i) için (ii), için = ve (iii) = ise { } ailesine kümesinin bir ayrışımı denir. Tanım olmak üzere,,, kümeleri verilsin. O zaman = {(,,, ),1 } kümesine,,, nin kartezyen çarpımı denir. Tanım olmak üzere,,, kümeleri verilsin. O zaman kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesine,,, üzerinde bir bağıntı denir. Tanım kümesi üzerinde bir bağıntısı verilsin. (i) Eğer her için ise ye bir yansıyan bağıntı denir. (ii) Eğer her, için iken ise ye bir simetrik bağıntı denir. (iii) Eğer her,, için ve iken ise ye bir geçişken bağıntı denir. Eğer bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişken ise ye üzerinde bir denklik bağıntısı denir. Tanım 2.1.5, üzerinde bir denklik bağıntısı ve olsun. = { } kümesine nın ye göre denklik sınıfı denir. 3

11 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım : fonksiyonu verilsin. Eğer her, için ( ) = ( ) iken = ise ye birebir fonksiyon denir. Eğer her içn ( ) = olacak biçimde bir varsa ye örten fonksiyon denir. Eğer hem örten hem de birebir ise ye birebir eşleme denir. Tanım bir küme olsun. Eğer = ise ya da bir pozitif tamsayı olmak üzere {1,2,, } arasında birebir bir eşleme varsa ya bir sonlu küme denir. Sonlu olmayan bir kümeye de sonsuz küme denir. Eğer sonlu ise ve ile {1,2,, } arasında birebir bir eşleme varsa sayısına nın kardinalitesi denir ve ile gösterilir. Sonlu kümelerde olduğu gibi bir sonsuz kümenin büyüklüğü de tanımlanır. Bunun için bütün kümelerin sınıfı ve, için eğer dan ye birebir bir eşleme tanımlıysa o zaman ~ olsun. ~ üzerinde bir denklik bağıntısıdır. yı içeren denklik sınıfına nın kardinalitesi denir ve ile gösterilir. Eğer, elemanlı sonlu küme ise ~{0,1,2,, 1} olacağından {0,1,2,, 1} = olur. 2.2.Gruplar Tanım boş olmayan bir küme olmak üzere den ye tanımlı bir :, (, ) fonksiyona üzerinde bir ikili işlem denir. Tanım boş olmayan bir küme ve üzerinde bir ikili işlemi tanımlı olsun. Eğer (i) işlemi birleşme özelliğini sağlarsa; yani, her,, için ( ) = ( ) ise 4

12 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (ii) Her için = = olacak şekilde bir varsa ( ye nin birim elemanı denir) (iii) Her için = = olacak şekilde bir varsa ( ne nın ters elemanı denir) o zaman (, ) sıralı ikilisine bir grup denir. Eğer (, ) grubunda fazladan her, için = ise bu gruba değişmeli denir. Tanım bir grup olsun. Eğer için = olacak şekilde bir varsa ye nin bir sol birim elemanı ve eğer için = olacak şekilde bir varsa ye nin bir sağ birim elemanı denir. Tanım bir grup ve olsun. Eğer için = oluyorsa ye nin bir sol sıfır elemanı ve eğer için = oluyorsa ye nin bir sağ sıfır elemanı denir. Tanım ve iki grup ve : fonksiyonu verilsin. Eğer her, için ( ) = ( ) ( ) ise ye den ye bir grup homomorfizması denir. Eğer ek olarak birebir ise ye bir grup monomorfizması; örten ise ye bir grup epimorfizması ve hem 5

13 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER birebir ve hem de örten ise ye bir grup izomorfizması denir. Ayrıca, den ye bir izomorfizma ise ye nin bir otomorfizması denir. Tanım : bir grup homomorfizması olsun. ( ) = { ( ) = } kümesine nin çekirdeği denir. Tanım bir grup ve, nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer, nin işlemine göre kapalı ve bu işleme göre bir grup ise o zaman ya nin bir alt grubu denir ve ile gösterilir. Tanım bir grup ve olsun. Eğer = olacak şekilde bir pozitif tamsayısı varsa bu pozitif tamsayılarının en küçüğüne nın mertebesi denir. Bu durumda nın mertebesi sonludur denir. Eğer nın mertebesi sonlu değilse nın mertebesi sonsuzdur denir. Tanım bir değişmeli grup ve olsun. Eğer bir 1 için = ise ya torsiyon eleman denir. Her için elemanı torsiyon eleman ise ye torsiyon grup denir. Eğer nin birimden başka torsiyon elemanı yoksa ye torsiyonsuz grup denir. Tanım bir grup ve, nin verilmiş bir elemanı olsun. elemanının merkezleyeni ( ) ile gösterilir ve ( ) = { = } olarak tanımlanır. Tanım bir grup, olsun. Bu takdirde 6

14 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ( ) = { = } kümesine nın içindeki normalleyeni denir. Tanım bir grup ve olsun. nin i içeren bütün alt gruplarının kesişimine tarafından üretilen alt grup denir ve ile gösterilir. e in bir üreteç kümesi ve in elemanlarına da grubunun üreteçleri denir. Tanım bir grup olsun. Eğer = olacak şekilde bir varsa ye tarafından üretilen devirli grup denir. Tanım bir grup, ve olsun. = { h h } ve = {h h } kümelerine sırasıyla ın deki sol koseti ve sağ koseti denir. Tanım bir grup ve olsun. ın deki farklı sol (sağ) kosetlerinin sayısına ın deki indeksi denir ve [ : ] ile gösterilir. Tanım bir grup olsun. nin bir alt grubu ve bir elemanı olsun. Her için elemanına nin ya göre eşleniği denir. = { h h } kümesine nın ya göre eşleniği denir. Tanım bir grup ve, nin bir alt grubu olsun. Eğer her için = 7

15 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ise ye nin bir normal alt grubu denir. Tanım bir grup ve, nin bir normal alt grubu olsun. / üzerinde bir çarpma işlemi şöyle tanımlansın. Her, / için ( )( ) = olsun. Bu işleme göre / bir gruptur ve bu gruba nin ile bölüm grubu denir. Tanım bir grup ve olmak üzere : için ( ) = şeklinde tanımlanan dönüşüm örten bir homomorfizmadır. Bu homomorfizmaya doğal homomorfizma denir. Tanım , grubunun bir alt grubu olsun. Her : otomorfizması için ( ) ise alt grubuna nin karakteristik alt grubu denir. Tanım bir grup ve,,, nin elemanları olsun. [, ] = elemanına ile nin komütatörü denir. ve, grubunun boştan farklı alt kümeleri olsun. [, ] = [, ]:, 8

16 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER olarak tanımlanır. Burada = = ise [, ] komütatör grubuna nin komütatör alt grubu denir ve ile gösterilir. Tanım boştan farklı bir küme olsun. üzerinde tanımlı bire bir ve örten bir fonksiyona üzerinde bir permütasyon denir. Bir kümesi üzerinde tanımlı bütün permütasyonların kümesi ( ) ile gösterilir ve ( ) kümesi fonksiyonların bileşke işlemine göre bir gruptur. ( ) grubuna kümesi üzerindeki simetrik grup denir. Tanım bir grup ve bir küme olsun. Eğer bir : ( ) homomorfizması varsa homomorfizmasına nin permütasyon temsili denir. 2.3.Halka Tanım boş olmayan bir küme olsun. üzerinde "+" ve " " ikili işlemleri verilsin. Eğer (i) (ii) (,+) bir değişmeli grup ise için çarpma işlemine göre birleşme özelliğine sahipse; yani her,, ( ) = ( ) (iii) ise, üzerinde dağılma özellikleri sağlanırsa; yani her,, için ( + ) = + ( + ) = + ise (,+, ) sıralı üçlüsüne bir halka denir. 9

17 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Eğer her, için = ise halkaya değişmeli halka denir. nin toplamsal birimi 0 ile gösterilir ve buna nin sıfırı denir. Eğer her için 1 =1 = olacak şekilde 1 varsa 1 elemanına halkanın birim elemanı ve halkaya da birimli halka denir. Tanım bir halka ve, olsun. Eğer, 0 iken =0 ise ya sol sıfır bölen ve ye sağ sıfır bölen denir. nin değişmeli olması durumunda sıfır bölen ifadesi kullanılır. Tanım birim elemanlı ve değişmeli bir halka olsun. sıfır bölensiz ise ye tamlık bölgesi denir. Tanım Eğer halkasında her için =0 olacak biçimde bir pozitif tamsayısı varsa bu sayılarının en küçüğüne nin karakteristiği denir. Eğer böyle bir pozitif tamsayı yoksa nin karakteristiği 0 olarak tanımlanır. nin karakteristiği ( ) ile gösterilir. Tanım bir halka ve olsun. = ise elemanına idempotent eleman denir. Tanım bir halka ve olsun. Eğer bazı pozitif tam sayıları için =0 oluyorsa elemanına nilpotent eleman denir. Tanım birimli bir halka ve 0 olsun. Eğer =1 olacak şekilde varsa ye nın sağ tersi ve =1 olacak şekilde varsa ye nın sol tersi denir. Eğer olmak üzere = =1 ise ye nın tersi ve ya da tersinir (birimsel) eleman denir. Tanım bir halka ve, nin bir toplamsal alt grubu olsun. Eğer her ve için ise ya nin bir sol ideali ve her ve için ise ya nin bir sağ ideali denir. Eğer hem sol ideal ve hem de sağ ideal ise ya nin 10

18 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER bir ideali denir. ve {0 den farklı her idealine }, nin idealleridir. {0 } ye nin aşikar ideali denir. nin nin öz ideali denir. Tanım bir halka ve olsun. nin i içeren bütün ideallerinin kesişimine tarafından üretilen ideal denir ve ile gösterilir. Eğer = {,,, } ise {,,, } =,,, ile gösterilir ve buna,,, tarafından üretilen ideal denir. =1 için idealine tarafından üretilen temel ideal denir. Tanım , halkasının bir ideali olsun. nın her elemanı nilpotent eleman ise ya nil ideal; eğer bazı tamsayıları için =0 ise ya nilpotent ideal denir. Tanım ve iki halka ve : fonksiyonu verilsin. Eğer her, için ( + ) = ( ) + ( ) ve ( ) = ( ) ( ) ise ye den ye bir halka homomorfizması denir. Eğer ek olarak bire bir ise ye bir halka monomorfizması, örten ise bir halka epimorfizması ve bire bir eşleme ise bir halka izomorfizması denir. den ye tanımlı bir izomorfizmaya otomorfizma denir. Tanım herhangi bir halka olsun. : tanımlı bir fonksiyon olsun. toplamsal grup otomorfizması olmak üzere her için ( ) = ( ) ( ) ise ya anti-otomorfizma denir. Tanım ve iki halka ve : bir halka homomorfizması olsun. ( ) = { ( ) =0 } 11

19 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER kümesine nin çekirdeği denir. Tanım bir halka ve, nin bir ideali olsun. olmak üzere koşulunu gerçekleyecek şekilde nin bir ideali mevcut değilse ye nin bir maksimal ideali denir. Tanım halkasının, idealleri için veya koşullarını gerçekleyen nin idealine asal ideal denir. Tanım bir halka =0,1, olmak üzere tüm (,, ) sonsuz dizilerinin kümesi [ ] ile gösterilsin. Burada >0 tam sayısı için =0 olacak şekilde vardır. [ ] in elemanlarına üzerinde polinomlar denir. [ ] üzerinde "+" ve " " işlemleri (,, ), (,, ) [ ] için (,, ) + (,, ) = ( +, +, ) ve (,, ) (,, ) = (,, ), =0,1,2, için = şeklinde tanımlansın. Bu işlemler ile birlikte üzerinde belirsizli polinom halkası denir. [ ] bir halkadır ve bu halkaya 2.4.Cisim Tanım birimli bir halka ve 0 1 olsun. Eğer nin sıfırdan farklı her elemanı tersinir ise ye bir bölüm halkası denir. Değişmeli bir bölüm halkasına cisim denir. 12

20 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım bir halka ve, nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. Eğer, nin işlemlerine göre kapalı ve bu işlemlere göre bir halka ise ya nin bir alt halkası denir. bir cisim ve, nin bir alt halkası olsun. Eğer aynı zamanda bir cisim ise ye nin bir alt cismi denir. nin kendisinden farklı her alt cismine nin bir öz alt cismi denir. Tanım Eğer cismi öz alt cisme sahip değilse bir asal cisimdir. Tanım tamlık bölgesi ve bir cisim olsun. Eğer nin bir alt halkası ve her ve 0, için = olacak şekilde mevcut ise cismine nin kesir cismi denir. Tanım bir cisim ve, nin bir alt cismi olsun. O zaman ye nin bir cisim genişlemesi denir. Tanım bir cisim ve üzerinde bir belirsizinin polinom halkası [ ] olsun. [ ] in kesirler cismi ( ) ile gösterilir. ( ) = ( ) ( ) ( ), ( ) [ ] ve ( ) 0 dır. Burada sabit polinomlar nin elemanları ile gösterilirse, ( ) in bir alt cismi olup ( ), nin bir cisim genişlemesi olur. ( ) e üzerindeki rasyonel fonksiyonlar cismi denir. Tanım bir asal sayı ve N olmak üzere eleman sayısı olan sonlu cisme Galois Cismi denir ve ( ) ile gösterilir. 2.5.Modül Tanım bir halka, bir toplamsal değişmeli grup, işlemi 13

21 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (, ) şeklinde tanımlı bir sol çarpım olsun. Eğer, ve, için (i) ( + ) = + (ii) ( + ) = + (iii) ( ) = ( ) ise ya bir sol -modül denir. Eğer birimli bir halka olmak üzere için 1 = ise ya birimli sol -modül denir. Benzer şekilde sağ -modül ve birimli sağ -modül tanımlanır. Tanım bir halka, bir -modül ve olsun. Eğer, nın toplamsal alt grubu ve, için ise ye nın alt modülü denir. Bir bölüm halkası üzerindeki bir vektör uzayının bir alt modülüne alt uzay denir. Tanım Bir modülü verilsin. Eğer nin alt modülleri sadece {0} ve ise ye basit modül denir. Tanım bir -modül olsun. { =0} kümesi nin bir idealidir. Bu ideal sıfıra eşitse ye faithful modül denir. den ye bir halka homomorfizması verilsin. Eğer bir faithful -modül ise halka homomorfizmasına faithful homomorfizm denir. Tanım ve iki -modül ve : bir fonksiyon olsun. Eğer (i), için ( + ) = ( ) + ( ) (ii) ve için ( ) = ( ) oluyorsa ye bir -modül homomorfizması denir ve den ye tüm -modül homomorfizmalarının kümesi (, ) ile gösterilir. 14

22 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım bir halka, değişmeli halka ve bir sol -modül olsun. ve, için ( ) = ( ) = ( ) oluyorsa ye bir -cebir denir. Tanım bir -modül ve olsun. nin sıfırdan farklı her elemanı için =1,2,, için 0 olmak üzere = + + olacak şekilde bir ve bir tek {,,, } ve {,,, } bulunabiliyorsa ye üzerinde serbest -modül denir. 2.6.Vektör Uzayları Tanım vektörlerin bir kümesi ve bir cisim olsun. Ayrıca = (,,, ), = (,,, ) ve için iki vektörün toplamı ve skalerle bir vektörün çarpımı + = ( +, +,, + ) ve = (,,, ) şeklinde tanımlansın. Buna göre eğer aşağıdaki aksiyomlar sağlanırsa ye cismi üzerinde bir vektör uzayı denir. Her, ve, için (i) (,+) değişmeli bir gruptur. (ii) (iii) ( + ) = + (iv) ( + ) = + (v) ( ) = ( ) (vi) 1 = olacak şekilde 1 vardır. Tanım 2.6.2, cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve, nin herhangi bir alt kümesi olsun. Eğer, de tanımlanan toplama ve skalerle çarpma 15

23 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER işlemlerine göre bir vektör uzayı ise ya nin bir alt vektör uzayı ya da kısaca alt uzayı denir. Tanım Bir cismi üzerinde tanımlanan vektör uzayındaki vektörlerin bir kümesini içeren bütün alt uzayların arakesitine o kümenin -lineer gereni denir. Tanım 2.6.4, cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve = {,,, } olsun =0 olması =1,2,, olmak üzere =0 olmasını gerektiriyorsa kümesine cismi üzerinde lineer bağımsızdır denir. Eğer için 0 ise kümesine cismi üzerinde lineer bağımlıdır denir. Tanım 2.6.5, cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve = {,,, } olsun. = kümesi nin bir alt uzayıdır. alt uzayına tarafından gerilen alt uzay denir. Tanım 2.6.6, cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve, nin bir alt kümesi olsun. Buna göre aşağıdaki koşullar sağlanırsa o zaman alt kümesine nin bir bazı veya tabanı ve bazdaki eleman sayısına nin boyutu denir. (i) alt kümesi lineer bağımsızdır. (ii) alt kümesi yi gerer. 16

24 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım 2.6.7, cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ve, nin iki alt uzayı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa o zaman ye ve alt uzaylarının direkt toplamı denir ve = şeklinde gösterilir. (i) = + (ii) = {0} 2.7.Lineer Dönüşümler ve Matrisler Tanım ve, cismi üzerinde tanımlanmış iki vektör uzayı olsun. Eğer : dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlar ise o zaman bu dönüşüme bir lineer dönüşüm denir. (i) Her, için ( + ) = ( ) + ( ) (ii) Her ve için ( ) = ( ) vektör uzayından lineer form denir. cismi içine olan bir lineer dönüşüme lineer fonksiyonel ya da Tanım 2.7.2, cismi üzerinde bir vektör uzayı olmak üzere, = olacak biçimdeki bir : lineer dönüşümüne, bir izdüşüm denir. Tanım 2.7.3,, bir cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, : fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa dönüşümüne bilineer dönüşüm denir. (i) Her, her,, her için dır. ( +, ) = (, ) + (, ) (ii) Her, her, her, için 17

25 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (, + ) = (, ) + (, ) dır. Tanım 2.7.4, bir cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, : bilineer dönüşümü her, için (, ) = (, ) eşitliğini sağlarsa bilineer dönüşümüne simetriktir denir. Simetrik bir bilineer fonksiyona, vektör uzayı üzerinde bilineer form denir. Tanım 2.7.5,, bir cismi üzerinde vektör uzayları olmak üzere, : bilineer bir dönüşüm olsun. = { ve her için (, ) =0} kümesi vektör uzayının alt uzayıdır. : bilineer bir form olsun. = {0} ise bilineer formuna dejenere olmayan bilineer form denir. Tanım bir iç çarpım uzayı ve, üzerinde dejenere olmayan bir bilineer form olsun. Bir : lineer dönüşümünün ek dönüşümü her, için ( ( ), ) =, ( ) olacak şekildeki bir : lineer dönüşümüdür. Tanım Bir = kare matrisinin izi matrisinin esas köşegen elemanlarının toplamı olarak tanımlanır ve ( ) ile gösterilir. Yani ( ) = dır. 18

26 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım Eğer bir cisim ise,, ile tipindeki birim matris nin sütunları ifade edilirse üzerindeki bir permütasyon matris nin sütunlarının değiştirilmesi ile elde edilen matristir. Tanım bir grup, bir cism ve, cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. : ( ) homomorfizmasına nin üzerindeki bir lineer temsili ya da kısaca nin - temsili denir. Varsayalım ki nin bir bazı {,, } olsun. O zaman ise (, ) de bir matrisi vardır öyle ki bu eleman verilen baza göre bir lineer dönüşümünü temsil eder. : (, ) dönüşümü bir homomorfizmadır ve bu homomorfizma verilen baz ile ilişkili matris temsili olarak isimlendirilir (Burada (, ), üzerinde tanımlı bütün tipinde tersinir matrislerin kümesidir ve ( ) de nin tersi olan bütün lineer dönüşümlerinin grubudur). 2.8.İç Çarpım Uzayları Tanım 2.8.1, cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı olmak üzere, : dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlarsa bu dönüşüme üzerinde bir iç çarpım denir. Üzerinde iç çarpım tanımlanmış bir vektör uzayına iç çarpım uzayı denir. (i) Her için, 0 (ii) Her için, =0 olması için gerek ve yeter koşul =0 olmasıdır. (iii) Her, için, =, dir.(,,, nin karmaşık eşleniğidir) (iv) Her, ve için, =, dir. (v) Her,, için, + =, +, dir. 19

27 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım olmak üzere, kompleks sayılar cismi üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı, : dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlarsa bu dönüşüme üzerinde bir Hermityen iç çarpım denir. Üzerinde Hermityen iç çarpım tanımlanmış bir vektör uzayına Hermityen iç çarpım uzayı denir. (i) Her için, 0 (ii) Her için, =0 olması için gerek ve yeter koşul =0 olmasıdır. (iii) Her, için, =, dir. (iv) Her, ve için, =, dir. (v) Her, ve için, =, (vi) Her,, için, + =, +, dir. Tanım bir iç çarpım uzayı ve, olsun. Eğer, =0 ise ve birbirine diktir denir. Bütün vektörleri ikişer ikişer birbirine dik olan kümeye dik küme, her vektörü birim uzunluğa sahip olan (yani normu 1 olan) bir kümeye de ortonormal küme denir. Tanım 2.8.4, cismi üzerinde tanımlanmış bir iç çarpım uzayı ve kümesi olsun. O zaman, nin bir alt = {, =0, için} kümesine dik tümleyen denir. 20

28 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.9.Serbest Gruplar Tanım bir küme olsun., ile aralarında bire bir eşleme olan küme ve = olsun. için :, ( ) = şeklinde tanımlansın. = { } ve 1 olsun. {1} kümesini ele alalım. Bu kümenin elemanlarından oluşan ve sonlu terimi dışındaki bütün terimleri 1 olan (,, ) dizisine in elemanları üzerinde bir kelime denir. = (,, ) bir kelime olsun. Eğer bu kelimede için ile komşu değilse yani = ise ve bir 1 için =1 iken için =1 özellikleri sağlanır ise a indirgenmiş kelime denir. Eğer = (,,,,1,1, ) bir indirgenmiş kelime ise =±1,,,, ve = olmak üzere = şeklinde gösterilebilir. üzerinde bütün indirgenmiş kelimelerin kümesi ( ) olsun. ( ) üzerinde bir ikili işlem aşağıdaki gibi tanımlansın. =, = ( ) olsun. Genelliği bozmaksızın kabul edebiliriz. 0 olmak üzere =0,1,2,, 1 için = koşulunu sağlayan en büyük tamsayı olsun. = ( ) =, < <, = < 1, = =. ( ) yukarıda tanımlanan ikili işleme göre gruptur ve ( ) = ile gösterilir. ( ) e üzerinde bir serbest grup denir. Tanım herhangi bir grup,, nin bir üreteçler kümesi olsun. Eğer ( ) ise, grubu üzerinde serbest olup ya nin serbest üreteçler kümesi denir. Teorem bir grup,, olsun. Eğer grubu hem hem de üzerinde 21

29 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER serbest ise, = dir. Başka bir deyişle, bir serbest grubun herhangi iki serbest üreteçler kümesinin kardinalitesi aynıdır. Bu kardinaliteye o grubun rankı denir Grup Etkisi Tanım bir grup ve boştan farklı bir küme olsun. Bir :, (, ) (, ) = fonksiyonu verilsin. Eğer (i) Her için = ise; (ii) Her ve, h için ( h) = (h ) ise; O zaman fonksiyonuna nin üzerine bir etkisi ve ya bir -kümesi denir. bir grup olsun. Her, için = olarak tanımlı fonksiyonu nin kendi üzerine bir etkisidir. Buna nin kendi üzerine soldan çarpma etkisi denir. Benzer şekilde nin kendi üzerine sağdan çarpma etkisi tanımlanabilir. Teorem Bir grubu bir kümesi üzerine etki etsin ve olsun. Her için ( ) = biçiminde tanımlı fonksiyonu üzerinde bir permütasyondur ve : ( ), ( ) = biçiminde tanımlı fonksiyonu bir homomorfizmadır.(burada ( ), nın permütasyonlarının grubudur) Yukarıda görüldüğü gibi eğer bir grubu bir kümesi üzerine etki ederse nin her elemanı üzerinde bir permütasyon tanımlar ve den ( ) içine bir homomorfizma tanımlıdır. O halde bir grubunun her etkisi nin bir permütasyon temsilini tanımlar. Tanım grubu kendi üzerine soldan çarpma biçiminde etki etsin ve her, için ( ) = olsun. ( ) ve : ( ), ( ) = biçiminde tanımlı fonksiyonu nin bir permütasyon temsilidir. Buna nin sol 22

30 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER regüler temsili denir. Benzer şekilde nin kendi üzerindeki sağdan çarpma etkisi de nin bir permütasyon temsilini tanımlar. Buna nin sağ regüler temsili denir Jacobian Matris ve Taylor Serisi Teorem R açık bir küme, : R olmak üzere = (,,, ), de türevlenebilen bir dönüşüm ise her 1,1 için ( ) kısmi türevleri vardır ve nin noktasındaki Jacobian Matrisi ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) dır. Tanım Bir noktasının -komşuluğu (, ) = { : < } olarak tanımlanan kümedir. Buradaki noktasına komşuluğun merkezi, sayısına ise komşuluğun yarıçapı denir. Tanım fonksiyonu bir noktasının bir komşuluğunda tanımlı olsun. Eğer lim ( ) ( ) varsa, fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir denir. Bu limit değeri ( ) ile gösterilir. 23

31 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım Bir karmaşık fonksiyonu bir noktasının belli bir (, ) komşuluğundaki bütün noktalarda diferansiyellenebiliyorsa, da analitiktir denir. Eğer bir karmaşık fonksiyonu bir kümesinin bütün noktalarında analitikse, üzerinde analitiktir denir. Bir fonksiyonu nin tüm noktalarında analitikse ye tam fonksiyon denir. Teorem Bir fonksiyonu, yakınsaklık yarı çapı >0 olan ( ) = ( ) kuvvet serisi ile verilsin. O zaman her 0 tamsayısı için = ( ) ( )! dir. Diğer taraftan, fonksiyonu bir sayısını içeren bir açık kümenin her noktasında her basamaktan türeve sahip ise ( ) ( ) ( )! kuvvet serisi oluşturulabilir. Bu seriye nin civarındaki Taylor Serisi denir. 24

32 3.GRUP HALKASI NEDİR 3.GRUP HALKASI NEDİR 3.1.Giriş bir cisim olsun. 3 elemanlı {,, } kümesi verilsin ve bu kümeyi taban kabul eden vektör uzayı olsun. Bu durumda kümesi,, için + + şeklindeki bütün toplamların kümesidir. Eğer 4, 5 ya da 6 elemanlı küme verilirse, bu yapıyı oluşturmak zor değildir. Fakat daha büyük bir küme verilirse notasyonu kullanılır. Genellikle, eğer kümesi verilirse o zaman tabanıyla - vektör uzayı, şeklinde tüm formal toplamlardan oluşur. Burada dır. Sonuç olarak nin sonsuz olmasında hiçbir zorluk yoktur. Burada sadece toplamının sonlu olması kısıtlanmaktadır. Bunun anlamı sadece sonlu sayıda katsayılarının sıfırdan farklı olmasıdır. de ki toplam + = ( + ) ve skalerle çarpım = ( ), ( ) şeklindedir. nin elemanları nasıl çarpılır? ( ) ( ) = ( ) çarpımı çok fazla ilginç değildir ve hiçbir doğal seçimle varlığı görülemez. O zaman bir küme değil bir çarpımsal grup kabul edilmelidir. O halde bir cisim ve sonlu olması gerekmeyen çarpımsal bir grup olsun. O zaman [ ] grup halkası tabanlı -vektör uzayıdır ve çarpma 25

33 3.GRUP HALKASI NEDİR = ( ) =, şeklinde tanımlıdır. Burada = = dir. de ki birleşme özelliği [ ] deki çarpmanın birleşme özelliğini garanti eder. Böylece [ ] bir halkadır ve aslında bir -cebirdir. nin sonlu olduğunu kabul edelim. Bu durumda [ ] sonlu boyutlu - cebirdir. Sonlu boyutlu -cebir çalışmaları sonlu grup çalışmalarından daha iyi bir şekilde şekillendiği için [ ] grup halkası grup teorisinin konusu olarak ele alınır. Eğer sonsuz ise o zaman ne grup teorisi ne de halka teorisi özel bir şekilde ilerlemez ve burada ilginç olan şey ikisi arasındaki karşılıklı etkidir. Örnek = (,+, ), = {, } ise grup halkasını belirleyelim. = =,

34 3.GRUP HALKASI NEDİR Örnek bir küme ve nin kuvvet kümesi ( ) olsun.her, ( ) için + ve aşağıdaki şekilde tanımlansın: + = ( )\( ) ve = olsun. ( ) bu işlemlerle bir halkadır. Şimdi = {1,2,3} kümesini alalım. ( ) =,{1},{2},{3},{1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} şeklindedir. ( ) nin sıfırı ve birimi kümesidir. = {,,, } Klein-4 grubunu alalım. ( ) grup halkasını bulalım. ( ) = =, ( ) = { e+ a+ b+ c P(S) } ( e+{1}a+{2}b+ c), ({1,2,3}e+{1,2,3}a+{1,2,3}b+{1,2,3}c) P(S)G olsun. ( + {1} + {2} + ) + ({1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} ) = {1,2,3} + {2,3} + {1,3} + {1,2,3} ({1} + {2} ) ({1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} + {1,2,3} ) = {1,2} + {1,2} + {1,2} + {1,2}. 27

35 3.GRUP HALKASI NEDİR 3.2.Sıfır Bölen [ ] grup halkasında [ ] nin bir bazı ile nin elemanları özdeşlenirse deki toplamı ve çarpımı adi toplam ve adi çarpım olarak görebiliriz. Özel olarak bu notasyon da ki nokta atılabilir. Ayrıca eğer, nin alt grubu ise, bazının bir alt kümesi olduğu için nın - lineer gereni [ ] dır. Böylece [ ], [ ] içerisine gömülebilir., nin birimden farklı bir elemanı olsun. O zaman, < > devirli grubunu ve [ ], [< >] i içerir ve [< >] grup halkasını düşünebiliriz. İlk olarak sonlu >1 mertebeli olsun. O zaman 1,,,, in farklı kuvvetleridir ve (1 )( ) =1 =0 denklemi gösterir ki [< >] ve böylece [ ] sıfır bölene sahiptir. Tersine eğer sonsuz mertebeli ise in bütün kuvvetleri farklıdır ve [< >], formundaki bütün sonlu toplamlardan oluşur. Böylece [< >] grup halkasını [ ] polinom halkası gibi görebiliriz ve aslında [< >] in her elemanı in yeterince büyük kuvveti tarafından bölünebilen in bir polinomudur. Böylece [< >], ( ) rasyonel fonksiyon cismi tarafından içerilir. Bu nedenle [< >] bir tamlık bölgesidir. Eğer birimden farklı sonlu mertebeli bir torsiyon elemana sahipse o zaman [ ] aşikar olmayan sıfır bölenlere sahiptir. Fakat eğer birimden farklı sonlu mertebeli elemana sahip değilse o zaman en azından sıfır bölenler açık şekilde yoktur. 25 yılın üzerinde uğraşılan torsiyonsuzdur gerek ve yeter koşul [ ] sıfır bölensizdir hipotezi aslında grupların oldukça basit sınıfları olan serbest gruplar ya da değişmeli gruplar için doğrudur. Değişmeli gruplar için olan ispat oldukça kolaydır. değişmeli, torsiyonsuz ve, [ ] için =0 olsun., ve yı kapsayan nin sonlu üreteçli alt grubu olsun. Bu durumda ve, [ ] a aittir. Değişmeli grupların temel teoremi gereğince,< >, < > ve < > sonsuz devirli grupların direkt çarpımıdır. O zaman [ ] nin [,,, ] polinom halkası ve (,,, ) rasyonel fonksiyon cismi arasında olduğunu göstermek zor değildir. Aslında [ ], (,,, ) nin ( ) nin yeterince 28

36 3.GRUP HALKASI NEDİR büyük kuvveti tarafından bölünebilen,,, ye bağlı bütün polinomlarının kümesidir. Böylece [ ] bir tamlık bölgesidir ve ya =0 ya da =0 dır. R bir halka olsun., için αrβ =0 α=0 ya da β =0 oluyorsa halkasına asaldır denir. Açık bir şekilde değişmeli olma durumunda genel tanımla bu uyuşmaktadır. Örneğin; matris halkası 2 için sıfır bölenlere sahip olmasına rağmen her zaman asaldır. Teorem [ ] grup halkasının asal olması için gerek ve yeter koşul nin birimden farklı sonlu normal alt grubunun olmamasıdır. İspat. Kabul edelim ki, nin birim olmayan sonlu normal alt grubu ve = h olsun. Eğer h ise h = ve böylece h = ve = h = dır. Özel olarak = 1 ise =0 dır., G de normal olduğu için için = ve böylece = dır. Böylece, [ ] nin bir bazı ile değişmelidir ve merkezcildir ve [ ] = [ ] =0 dır. Sonuç olarak ve sıfır olmadığı için [ ] asal değildir. Karşıt yönünü göstermek oldukça zordur. nin sonlu bir normal alt grubunun nasıl bulunacağını düşünmeliyiz. Eğer böyle bir alt grup ve h ise h sonlu mertebelidir ve için h = h = dir. 29

37 3.GRUP HALKASI NEDİR Böylece h nin deki eşlenikleri tarafından içerilir ve h olan sonlu sayıda eleman vardır. Şimdi aşağıdaki kümeleri düşünelim. ( ) = { in de sonlu sayıda eşleniği vardır} ( ) = in de sonlu sayıda eşleniği vardır ve in mertebesi sonludur. Yardımcı Teorem O zaman bir grup ve ( ) ve ( ) yukarıdaki gibi tanımlansın. (i) ( ) ve ( ), nin normal alt gruplarıdır. (ii) ( ) ( ) ve ( ) ( ) bölüm grubu torsiyonsuz değişmeli gruptur. (iii) ( ) 1 G birimden farklı sonlu normal alt gruba sahiptir. İspat. (i) ( ) olduğunu gösterelim. ( ) = { } olmak üzere ( ) = { ( ) sonlu} dır. ( ) dir ve ve için = = olup ( ) ve böylece ( ) dir. ( ) olduğunu gösterelim. ( ) olsun. O halde ( ) sonludur. ( ) sonlu mudur? ( ) = { } = {( ) } ( ) ( ), olsun. = h h ( ) = (h h ) 30

38 3.GRUP HALKASI NEDİR ( ) = (h h ) ( ) = (h h ) iyi tanımlıdır ( ) = (h h ) ( ) = (h h ) ( ) = (h h ) = h h O halde birebirdir. h h C( ) için h h ( ) olup (h h ) = h h dir. Yani örtendir. Böylece ( ) = C( ) elde edilir. O halde ( ) sonlu ve ( ) dir., ( ) olsun. ( ) = { }, ( ) = { } sonludur ve C( ) = ve C( ) = olsun. ( ) = { } = {( )( ) } ( ) ( ) = {( )(h h ), h } ( ) C( ) C( ) C( ) C( ) C( ) = C( ) C( ) = C( ) ( ) sonludur. 31

39 3.GRUP HALKASI NEDİR ( ) O halde ( ) dir. ( ), için ( ) ise ( ) = { ( ) midir? } sonludur. ( ) = { ( ) } ( ) = {( ) ( ) } ( ) ( ) C( ) sonlu olduğundan ( ) de sonludur. ( ) dir. Böylece ( ) olduğu görülür. ( ) olduğunu gösterelim. ( ) = { } olmak üzere ( ) = { C( ) sonlu ve < } dır. ( ), ( ) dir. ( ) olsun. O halde ( ) sonludur ve < dur. ( ) = { } = {( ) } ( ) ( ) fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösterdik. ( ) = C( ) olduğundan C( ) sonludur. ( ) olduğundan in mertebesi sonludur. = olsun. ( ) = ( ) =1 < olup ( ) dir., ( ) olsun. 32

40 3.GRUP HALKASI NEDİR ( ) = { } ve ( ) = { } sonludur ve <, < olur. ( ) nin sonlu olduğunu gösterdik. =, = olsun. ( ) sonlu olduğundan ( ) ( ) elemanının mertebesi sonludur. ( ) elemanının mertebesi m olsun. ( ( ) ) = ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) = ( )( )( )( ) ( )( ) = ( )( ) ( ) = ( ) = ( ) = < ( ) O halde ( ) dir. ( ), için ( ) midir? C( ) in sonlu olduğunu gösterdik. = olsun. C( ) sonlu olduğundan ( ) C( ) elemanının mertebesi sonludur. ( ) elemanının mertebesi n olsun. ( ( ) ) = ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) = ( )( )( )( ) ( )( ) = ( )( ) ( ) = ( ) = 33

41 3.GRUP HALKASI NEDİR < ( ) = ( ) ( ) dir. Böylece ( ) olduğu görülür. (ii) ( ) olduğu açıktır. ( ) ve ( ) olduğundan ( ) ( ) dir. Bu durumda ( ) ( ) bölüm grubundan söz edebiliriz. ( ) ( ) = { ( ) ( )} dir ve ( ) ( ) ( ) nın mertebesi olsun. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) nın mertebesi sonludur. = olsun. ( ) = = in mertebesi sonludur. ( ) ( )= ( ) ( ) birim elemandır. O halde ( ) ( ) torsiyonsuzdur. ( ) ( ) nin değişmeli olduğunu gösterelim., ( ) için =<, >ve ( ), ( ) ( ) ( ) olsun. ( ) ( ) = ( ) ( ) olduğunu göstermek için ( ) olduğunu göstermeliyiz. Lemma 3.2.3, ( ) nin sonlu üreteçli alt grubu olsun. O zaman sonludur. İspat. Passmann (1971), Lemma 2.2 ye bakınız. 34

42 3.GRUP HALKASI NEDİR =<, > olduğundan sonlu üreteçlidir ve Lemma den <, > komütatör alt grubu sonludur. O halde [, ] = ( ) dir. O halde ( ) ( ) değişmelidir. Lemma bir grup ve,,, nin sonlu alt grupları ve = olsun. (i) Eğer için [ : ] sonlu ise o zaman [ : ] sonludur. (ii) grubu alt gruplarının sonlu sayıda sağ kosetlerinin birleşimi yani = olsun. O zaman bazı ler için [ : ] < dur =1,2, ; = 1,2, ( ). İspat. (i) Eğer, nın bir koseti ise = dir. için en fazla [ : ][ : ] [ : ] seçim yapılabilir. Dolayısıyla [ : ] sonludur. (ii) lerin birbirinden farklı olduğunu ve sayısının olduğunu kabul edelim. üzerine indüksiyon yapalım. =1 durumunda ispat açıktır. 1 için doğru olsun. Eğer nin kosetlerinin bir tam kümesi arasında ise [ : ] < olur ve böylece ispat biter. Aksi takdirde eğer yoksa dir. Fakat = olduğundan, dir., dir ve,,,, kosetlerinin sonlu birleşimi olarak yazılabilir. İndüksiyon hipotezinden =1,2, 1 için [ : ] < olduğu için ispat biter. Şimdi Teorem in ispatına dönelim. = [ ] için S ile { 0} kümesini gösterelim. Yani;, = ifadesinde katsayıları sıfırdan farklı olan bütün grup elemanlarının kümesi olsun. Böylece 35

43 3.GRUP HALKASI NEDİR, =0 iken nin boş bir alt kümesidir. Kabul edelim ki [ ] asal olmasın. ve grup halkasının sıfırdan farklı elemanları olmak üzere [ ] =0 olsun. Eğer ve ise ( ) [ ]( ) =0 dır ve 1, 1 dir. Genelliği bozmaksızın ve 1 i içersin. = +, = + olsun. Burada, ( ) ve, ( ) dir. 1, ve tarafından içerildiği için ve, [ ( )] nin sıfırdan farklı elemanlarıdır. =0 olduğunu gösterelim. 0 olsun. O zaman = + sıfır değildir çünkü ( ) ve ( ) olduğu için bu iki toplam arasında iptal etme durumu olmaz. O halde da sabit olan bir elemanı seçilebilir. Eğer ise [ : ( )] sonludur ve böylece Lemma nin (i) şıkkından dolayı = ( ), de sonlu indekse sahiptir. h elemanı da ki her elemanı merkezler ve böylece h, ı merkezler. Şimdi = {,, } ve = {,, } olsun. Eğer, de ile eşlenirse o zaman = olacak şekilde sabit seçilmiş olur. h olsun ve [ ] =0 ı ele alalım. h =0 dır ve h, ı merkezler. 0=h h = h ( + )h = + h h Böylece h h = olup (h h ) dır. = h h olacak şekilde, vardır. Diğer bir deyişle = h h dir. O halde ve de eşleniktir. nin tanımından h h = = dır. Böylece h, yi merkezler. O halde h için uygun bir, vardır öyle ki h ( ) ve ( ), dir. 36

44 3.GRUP HALKASI NEDİR [ : ] sonlu olduğundan = şeklinde nın sağ kosetlerinin sonlu birleşimidir ve = ( ),, dır. Böylece, ( ) alt gruplarının kosetlerinin sonlu bir birleşimi olarak yazılabilir. O halde Lemma nin (ii) şıkkından bazı ler için [ : ( )] sonludur. Buradan ( ) çelişkisi elde edilir. Çünkü ( ) idi. Böylece =0 dır. =0 ve,, [ ( )] nın sıfırdan farklı elemanları olduğu için [ ( )] aşikar olmayan sıfır bölenlere sahiptir. Bu yüzden ( ) torsiyonsuz değişmeli grup olamaz. Yardımcı Teorem (ii) ye göre ( ) ( ) torsiyonsuz değişmelidir ve böylece ( ) 1 dir. Böylece Yardımcı Teorem (iii) birim olmayan sonlu normal alt gruba sahip olduğu zaman ki durum ispatlanmış olur. O halde Teorem in ispatı tamamlanmış olur. Sonuç olarak; Teorem sıfır bölen probleminin güzel bir uygulamasıdır. Yani, torsiyonsuz grupsa [ ] nin aşikar olmayan sıfır bölenlere sahip olması için gerek ve yeter koşul [ ] nin karesi sıfır olan sıfırdan farklı elemanlara sahip olmasıdır. Eğer [ ], 0, =0 ise [ ] sıfır bölene sahiptir. Tersine ve, [ ] nin sıfırdan farklı elemanları ve =0 olsun. torsiyonsuz olduğu için Teorem den [ ] asaldır. Böylece [ ] 0 dır. Fakat [ ] [ ] = [ ]( ) [ ] =0 dır. Böylece [ ] nın her elemanının karesi sıfırdır. 3.3.Idempotent Bir sonlu grubun grup halkasına tekrar dönelim ve grup halkasının regüler temsilini düşünelim. = [ ] yi sağdan çarpımla lineer dönüşüm olarak etki eden -vektör uzayı olarak görebiliriz. Özel olarak, sonlu boyutlu olduğunda seçilen her bir baz [ ] için belirgin bir matris temsili verir. Böyle olan her bir bazdan : [ ] bir faithful homomorfizm elde edilir (Burada, üzerinde tipindeki matrislerin halkasıdır). Açık bir şekilde = = dir. İlk olarak kabul edelim ki, doğal bazına yani nin kendisine karşılık gelsin. O zaman her bir için sadece ile sağdan çarpımla baz elemanlarının 37

45 3.GRUP HALKASI NEDİR sırası değişir. Böylece ( ) bir permütasyon matrisdir. Eğer 1 ise için ve böylece ( ) =0 dır. Tersine eğer =1 ise (1) birim matristir ve (1) =n= dir. Matris iz fonksiyonları -lineerdir ve böylece = [ ] için ( ) = ( ) = dır. Diğer bir deyişle ( ), nın birim katsayısı in bir sabit skaler katıdır. Böylece keyfi grubu için : [ ] dönüşümü tanımlanır. Bu dönüşüme iz dönüşümü denir ve = dır. Aslında, [ ] üzerinde -lineer fonksiyoneldir ve =, = için = dir ve =1 gerek ve yeter koşul =1 olduğundan, ve üzerinde simetriktir. Böylece = olur. [ ] idempotent eleman ve sonlu olsun. Bir lineer dönüşümün izi bazın seçiminden bağımsız olduğundan için uygun bir baz alarak = ( ) eşitliği hesaplanabilir. Yani vektör uzayını = + (1 ) şeklinde direkt toplam olarak yazarsak için bir baz olarak nin bir bazı ve (1 ) nin bir 38

46 3.GRUP HALKASI NEDİR bazının birleşimini seçebiliriz. üzerinde sıfır etki şeklinde etki ettiği için ilk küme üzerinde birim etki ve ikinci küme = ( ) = dır. Eğer nın karakteristiği nin mertebesini bölmezse = ( ) dır. Diğer bir deyişle, nın asal bir alt cisminde içerilir. Örneğin; ( ) =0 ise asal alt cisim rasyonel sayılar cismi, ( ) = ise asal alt cisim ( ) Galois cismidir. Karakteristik 0 olduğunda 0 olduğundan 0 1 dır. Teorem [ ] bir idempotent eleman olsun. O zaman, nın asal alt cismi tarafından içerilir. İspat. İlk olarak cisminin karakteristiği >0 olsun ve = özelliğini göz önünde bulunduralım. Cebirde, karakteristiği olan cisim üzerinde ki dönüşümün inci kuvveti iyi tanımlıdır. ( + ) = + özdeşliği değişmeli -cebirinde ve değişmeli olmayan -cebirinde uygun bir genelleme ile vardır. bir -cebiri olsun. nın komütatör alt uzayı [, ],, için [, ] = ile tanımlanan bütün Lie çarpımları tarafından üretilen alt uzayı şeklinde tanımlıdır. Lemma 3.3.2, karakteristiği >0 olan bir cismi üzerinde bir cebir olsun. Eğer,, ve >0 bir tamsayı ise [, ] elemanı vardır öyle ki ( ) = dır. 39

47 3.GRUP HALKASI NEDİR İspat. Passman(1971), Lemma 3.4 e bakınız. Teorem in ilk kısmını yani cisminin karakteristiği >0 olan durumu ispatlayalım. =, [ ] de bir idempotent eleman olsun ve, nin bir alt kümesi ve mertebesi nın karakteristiği nin bir kuvveti olan bütün elemanlarının kümesi olsun. sonlu olduğu için için nin uygun bir kuvveti vardır öyle ki =1 dir., olan herhangi bir tamsayı olsun ve = olduğundan Lemma yi uygulayabiliriz. Böylece [ ] nin komütatör alt uzayında bir elemanı vardır öyle ki = = ( ) + dır. Bu eşitliğin her iki tarafının izini hesaplayalım., [ ] için = olduğundan [, ] =0 olur ve =0 elde edilir. olmak üzere herhangi bir için =1 olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. Böylece = ( ) = dır. Bu eşitliği bütün tamsayıları için ele alalım. Özel olarak = ve +1 ise ( ) = = = dır. için = denilirse = olur. Bu şekilde ki bütün elemanları ( ) de içerildiği için teorem karakteristik >0 için ispatlanmış olur. Şimdi karakteristiğin sıfır olduğu ikinci durumu ele alalım. 40

48 3.GRUP HALKASI NEDİR Lemma = [,, ] karakteristiği sıfır olan bir tamlık bölgesi olsun öyle ki tamsayıları üzerinde bir halka olarak sonlu üreteçli olsun ve elemanı rasyonel sayılar halkasında içerilmesin. O zaman nın bir maksimal ideali vardır öyle ki = karakteristiği >0 olan bir cisimdir ve nin görüntüsü ( ) de içerilmez. nın karakteristiği sıfır ve =, [ ] de idempotent eleman olsun. Eğer = [ ] ise karakteristik sıfır durumunda bir tamlık bölgesidir ve, tamsayıları üzerinde bir halka olarak sonlu üreteçlidir. Ayrıca, [ ] de idempotentdir ve [ ] katsayıları da olan bütün elemanları içeren [ ] nin alt halkasıdır. Şimdi, nın herhangi bir maksimal ideali olsun. Bu durumda = karakteristiği >0 olan bir cisimdir. [ ] [ ] = [ ] doğal homomorfizması altında nin görüntüsü idempotentdir. Böylece Teorem in ilk kısmından nin görüntüsü ( ) de içerilir. Teorem nin ikinci kısmı, Lemma de = alınırsa hemen görülür. Böylece, nın asal alt cismi tarafından içerilir özelliği ispatlanmış olur. Şimdi nın karakteristiği sıfır ise 0 1 özelliğini gösterelim. İkinci özelliğin ispatı için bazı kısıtlamalar kabul edeceğiz., karakteristiği sıfır olan bir cisim ve =, [ ] de idempotent eleman olsun. = ( ), nun sonlu üreteçli cisim genişlemesidir ve, [ ] de idempotentdir. Ayrıca, kompleks sayılar cismi içerisine gömülebilir ve, [ ] de idempotentdir. O halde ilk kısıtlama olarak = olarak kabul edebiliriz. Burada kompleks sayılar cismidir. İkinci olarak 0 olduğunu göstermeliyiz. Eğer idempotent ise o zaman 1 de idempotentdir ve böylece 1 = (1 ) 0 eşitsizliği 1 i sağlar. Şimdi [ ] kompleks grup halkasını ele alalım. Eğer =, = [ ] nin elemanları ise 41

49 3.GRUP HALKASI NEDİR (, ) = ve = (, ) = dır. Burada, nın eşleniğidir ve, nın mutlak değeridir. Açık bir şekilde (, ) bir ortonormal baz olan grup elemanları ile Hermityen iç-çarpımdır ve bu bazla ilişkili normdur. [ ] üzerinde = şeklinde tanımlansın. O zaman dönüşümü ( + ) = +, ( ) =, = eşitliklerini sağlar. Böylece, mertebesi 2 olan bir halka anti-otomorfizmasıdır. (, ) = = eşitliğini inceleyelim. Eğer, [ ] nin üçüncü bir elemanı ise (, ) = (, ) = (, ) olur. Gerçekten; =, =, = olsun. =, = dır. 42

50 3.GRUP HALKASI NEDİR (, ) = = (, ) = ( ) = (, ) = ( ) =. Diğer bir deyişle hem sağ hem de sol çarpım için bu iç çarpımla bir ek dönüşümdür. Şimdi sonlu olduğu zaman en az 0 iddiasının bir alternatif ispatını elde etmek için yukarıda ki ifadeler kullanılmalıdır. = [ ], idempotent elemanı tarafından üretilen [ ] nin bir sağ ideali ve, nın ortogonal tümleyeni olsun. O zaman [ ] sonlu boyutlu olduğu için + = [ ] bir direkt toplam ayrışımıdır. Fakat, [ ] nin sadece bir alt uzayı değil aynı zamanda [ ] nin bir sağ idealidir., ve [ ] olsun. bir sağ ideal olduğu için ve (, ) = (, ) =0 dır. Böylece için ortogonaldir ve dir. + = [ ] olmak üzere [ ] iki sağ idealin direkt toplam olarak bir ayrışımıdır. + =1, 1 in bir ayrışımına karşılık gelsin. ve, = [ ] ve = [ ] ile idempotentdir., [ ] =(1 ) [ ] ye ortogonaldir. [ ] için 0=(,(1 ) )=((1 ), ) dır. Buradan (1 ) [ ] =0 dir. Böylece = elde edilir. O halde = ( ) = = dir. O halde bir self-adjoint idempotent, bir izdüşümdür. [ ] = = [ ] olduğu için hem hem de, ideali için sol birimdir. 43

51 3.GRUP HALKASI NEDİR = = = olur ve = olduğundan = = = elde edilir. Bu sonucun ve 0 için elde edilmiş olması değil sonsuz gruplara genişletilebilir olması önemlidir. nin sonlu olması burada çok önemlidir. + = [ ] ayrışımı sonsuz boyutlu iç-çarpım uzaylarında genellikle doğru değildir. İspat gerçekte özel bir elemanına dayanmaktadır. olsun. [ ] nin ve 1 elemanları arasındaki uzaklığı inceleyelim. (,1) = 1 = ( 1, 1) şeklinde tanımlansın. + =1 ve (, ) =0 olduğundan (,1) =(, ) = + olur. Böylece (,1) dir ve eşitlik ancak = iken elde edilir. Diğer bir deyişle, nın 1 e en yakın olan tek elemanıdır. Şimdi bir keyfi grup,, [ ] de bir idempotent eleman ve = [ ] olsun. nın 1 e uzaklığı = (,1) = 1 şeklinde tanımlansın. Eğer sonsuz ise [ ] tam olmadığı için 1 e çok yakın olacak şekilde nın elemanının bulunduğuna dair hiçbir kanıt yoktur. Fakat nın elemanlarının uzaklığı ile ilişkili bir dizisi vardır. nın elemanlarının uygun bir,, dizisi seçilebilir öyle ki 44