AR SİSTEM MODELLEMEDE FARKLI ALGORİTMALARIN KARŞILAŞTIRILMASI

Transkript

1 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. J. Fac. Eng. rch. Gazi Univ. Cilt 19, No 4, , 2004 Vol 19, No 4, , 2004 R SİSTEM MODELLEMEDE FRKLI LGORİTMLRIN KRŞILŞTIRILMSI Şaban ÖZER *, Şeref SĞIROĞLU ** ve hmet KPLN * Eletroni Mühendisliği Bölümü, Mühendisli Faültesi, Erciyes Üniversitesi, 38039, Kayseri, sozer@erciyes.edu.tr ** Bilgisayar Mühendisliği Bölümü, Mühendisli Mimarlı Faültesi, Gazi Üniversitesi, 06570, Maltepe, nara, ss@gazi.edu.tr ÖZET Bu maalede, yazarlar tarafından geliştirilen sayısal tabu araştırma algoritmasının, R (uto Regressive) sistem modelleme performansı analiz edilmiş ve arşılaştırılmıştır. Bu arşılaştırmada, en üçü afes areler, çift afes, affine projesiyon, en üçü ortalama areler, normalize edilmiş en üçü ortalama areler ve özyineli (recursive) en üçü areler, uyarlanabilir lasi metotlar ien 8 farlı eğitim algoritması ile eğitilmiş yapay sinir ağları, lasi ve sayısal (nümeri) tabu araştırma algoritması ullanılmıştır. Bu çalışmada, 16 farlı algoritmanın modelleme performansı 4. ve 6. dereceden ii farlı R sistem üzerinde test edilmiştir. Genel olara, yazarlar tarafından geliştirilen sayısal tabu araştırma algoritmasının, doğrusal R sistem modellemede daha başarılı olduğu anlaşılmıştır. nahtar Kelimeler: R sistem, modelleme, yapay sinir ağları, uyarlanabilir metotlar, tabu araştırma, algoritma. COMPRISON OF LGORITHMS FOR R SYSTEM MODELING BSTRCT In this paper, performance of numeric tabu search algorithm developed by authors on R (uto Regressive) system modeling was compared to adaptive methods and artificial neural networs. The adaptive methods are Least Squares Lattice, Double Lattice, ffine Projection algorithm, Least Mean Squares (LMS), Normalized LMS and Recursive Least Squares (RLS). rtificial neural networs trained with eight learning algorithms and classic and numeric tabu search algorithms were the rest of algorithms compared with. The performances of total 16 algorithms were tested on two R systems having 4th and 6th orders. The numeric tabu search algorithm was found the most successful algorithm on linear R systems. Keywords: R system, modeling, artificial neural networ, adaptive methods, tabu search, algorithm. 1. GİRİŞ Sistemlerin modellenmesinde ullanılan lasi teniler, model yapısının ve bazı istatistii değerlerin (model derecesi, giriş ve gürültünün dağılımı vb.) bilinmesi durumunda iyi çözüm sunar. Bu bilgilerin elde edilemediği durumlarda performansta düşme yaşanmatadır. Yapay zea tenilerinde ise model yapısının tam olara bilinmesi zorunluluğu ortadan almata, faat bu yöntemlerde de bazı parametrelerin sisteme bağımlı olara doğru şeilde seçilmesi ve çeşitli deneme-yanılma işlemlerinin yapılması geremetedir. Uyarlanabilir sistemler çevre şartlarına göre endi endisini en iyiye doğru analize edebilen sistemlerdir. Bu sistemler en ço haberleşme ve ontrol sistemlerinde uygulanmatadır [1]. Uyarlanabilir sistemlerin en önemli özelliği zamanla değişen sistemlere rahatlıla uygulanabilmesi ve yeni durumlara göre endi endini ayarlayabilmesidir. Doğrusal sistemlerde belirli girişlere arşı çıışın istenen şeilde olması, diğer tür girişlerin uygulandığı durumlarda veya ontrol edilen sistemin zamanla çevre şartlarından etilenere özellilerinin değişmesi durumunda sistemlerin ararsız davranması uyarlanabilir sistemlerde daha az gözlenmetedir. Bu şeilde sistemden belenilen ile elde edilen çıış arasındai far uyarlanabilir sisteme giriş olara verilmetedir. Bu farın sıfır olması, sistemin arzu

2 Ş. Özer vd. R Sistem Modellemede Farlı lgoritmaların Karşılaştırılması edilen şeilde çalışması anlamına gelir. Uyarlanabilir modelleme, sistem parametrelerini, hatayı sıfır yapaca şeilde ayarlama için ullanılır. Uyarlanabilir algoritmalar ii gruba ayrılır [1]. Birinci grup, LMS algoritmalarına dayalı olan algoritmalardır [2,3]. LMS algoritması, bir azaltım (gradient) arama algoritması ile sistem hatasının aresinin ortalamasını minimize eder ve hesap armaşılığının az olmasından ve gürbüzlüğünden dolayı ço popülerdir. Faat LMS algoritmaların yaınsama oranı sisteme ve giriş istatistilerine bağlıdır. Sistem parametrelerinin tahminindei düşü yaınsama oranından dolayı LMS algoritması her zaman tatmin edici çözümler vermemetedir. İinci grup, hatanın aresinin deterministi bir toplamını en aza indiren RLS algoritmasına dayanır. RLS algoritması, LMS algoritmasından daha hızlı yaınsama özelliği göstermesine rağmen hesaplama armaşılığı fazladır [4]. Levinson-Durbin algoritmasının bir uzantısı olara yorumlanabilen afes yapılı sistem ço sayıda üstünlülere sahip olup işaret işleme ve onuşma analizi gibi uygulamalarda ullanılır [5]. ffine Projesiyon algoritması (P) son yıllarda ullanılan yeni bir yalaşımdır [6]. Yazarlar tarafından daha önce sunulan bir çalışmada; LS, ileri ve geri, Burg ve geometri afes algoritmalarının performansları arşılaştırılmıştır [7]. Bu çalışmada, sayısal tabu araştırma (ST) algoritmasının performansı; uyarlanabilir R modellerinden olan DL, LSL, P, LMS, normalize edilmiş LMS (NLMS), RLS ile yapay zea metotlarından olan yapay sinir ağları (YS) ve sezgisel algoritmalardan tabu araştırma (T) algoritmasının performansları arşılaştırılmıştır. 2. UYRLNBİLİR R MODELLEME VE KULLNILN KLSİK METOTLR Prati uygulamalarda arşılaşılan ayrı zamanlı sistemlerde, veri olara yalnızca çıış değerlerinin yardımıyla sistemin modellenmesi istenilen durumlarda R modelleri ullanılabilir [1-3]. Uyarlanabilir tahmin yöntemlerinde genel olara her iterasyonda tahmin edilen parametrelerin öncei değerleri ullanılara modelleme hatasını en az yapaca şeilde yaınsaması göz önüne alınmıştır. Buna göre +1 = + M e (1) formülde zamanındai tahmini parametre vetörü, M algoritma azancı, çıışın öncei değerleri ve e modelleme hatasıdır. Bu genel formülde M, ve e fonsiyonlarının değişi durumları için farlı uyarlanabilir yöntemler geliştirilmiştir [1-12]. Doğrusal sistemlerin modellenmesinde ullanılan R modelleme yöntemlerinden, LMS [3], normalize edilmiş LMS (NLMS) [8], RLS [9], ffine Projesiyon algoritması (P) [6], Least Square Lattice (LSL) [10] ve Çift Kafes (Double Lattice-DL) [11] aşağıda ısaca tanımlanmıştır. Uyarlanabilir LMS: Bu yöntemde parametreler her iterasyonda hatayı en aza indirece şeilde değişmetedir. Tahmini parametre vetörü = + λe X +1 (2) eşitliğinden elde edilir. Eğer λ<1 ise, x[n] dizisinin n. elemana yaın değerlerinin ağırlığı daha önceilere göre artar [12]. Bu durumda yeni parametrelerin oluşmasında son çıış değerlerinin etili olduğu görülür. Böylece parametre vetörü, her iterasyon için bir öncei hata ve çıış değerlerinden faydalanara hatayı en aza indirece şeilde yeniden hesaplanır. Normalize edilmiş LMS (NLMS): Bu yöntemde, LMS yöntemlerinde yer alan çıış tahminlerindei hata toplamına e olara iterasyonlar arası parametre değişimi de diate alınır [8]. Tahmini parametre vetörü T [ x ] + 1 = + T + 1 (3) elde edilir. RLS: Bu yöntemde, uyarlanabilir azanç, ovaryans matrisi, P yardımıyla her iterasyon için ayarlanır ve tahmini parametre vetörü aşağıdai ifade ile verilir [10]. P = + ) T 1+ P 1 T [ x( t ] (4) Çoğunlula RLS yöntemi, LMS yöntemlerine göre daha hızlı yaınsar. Faat başlangıç değerleri ve yuvarlatma hataları açısından LMS den daha hassastır [9]. ffine Projesiyon lgoritması (P): Bu algoritma, model parametrelerinin arasındai farı en aza indirme için geliştirilmiştir [6]. Burada model parametreleri = + µx w (5) 1 ifadesinden elde edilir. L L Uyarlanabilir LSL: Bu yöntemde, modelin, afes (lattice) yapısına benzeyen bir yapıya sahip olduğu varsayılır [10] ve ileri ve geri hata vetörleri bulunur. Levinson yöntemi yardımıyla, yansıma atsayıları ullanılara model parametreleri belirlenir [10]. Bu amaç için 432 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 19, No 4, 2004

3 R Sistem Modellemede Farlı lgoritmaların Karşılaştırılması Ş. Özer vd. aˆ m [] i aˆ = ˆ m 1 m eşitlileri ullanılır. [] i + ˆ * aˆ [ m i] m m 1 i= 1, 2,...,m-1 i=m (6) Çift Kafes (DL-Double Lattice): Bu yöntemde ii ayrı afes yapısı yer alır ve model parametreleri tahmin edilir [11]. Yöntemde başlangıç değerleri elde edilditen sonra aşağıdai eşitli ullanılara, ~ b e ~ 1( n 1) e 1( n 1) γ ( n 1) = γ 1( n 1) (7) B * ( n 1) model parametreleri hesaplanır. 3. YPY SİNİR ĞLRI 1 Yapay sinir ağları bir yapay zea yalaşımı olup, biyoloji sinir sisteminin algoritmi olara talit edilmesi prensibine dayanır. Literatürde mevcut bir ço YS yapısı vardır [13]. Ço atlı perseptronlar (ÇKP), bir ço alana uygulanmış olan bir ağ tipidir. ÇKP ları öğretmede bir ço algoritma ullanılabilir [13-22]. Genel olara bir ÇKP-YS modeli üç atmandan oluşmuştur ve ara atta ii salı tabaa mevcuttur. Giriş atındai nöronlar tampon gibi davranırlar ve giriş sinyalini ara attai nöronlara dağıtırlar. ra atmandai her bir nöronun çıışı, endine gelen bütün giriş sinyallerini taibeden bağlantı ağırlıları ile çarpımlarının toplanması ile elde edilir. Elde edilen bu toplam, bir fonsiyondan geçirilere bir nöronun çıışı hesaplanabilir. Burada ullanılan fonsiyon, basit bir eşi, sigmoid veya hiperboli tanjant fonsiyonu olabilir. Diğer atlardai nöronların çıışları da aynı şeilde hesaplanır. Literatürde YS'ları eğitmede bir ço öğretme algoritması bulunmatadır [13,22]. Bu çalışmada, momentumlu geri yayılım (MBP) [14], te adım seant (TS) [15], Broyden, Fletcher, Goldfarb ve Shannon (BFGS) [16], Levenberg-Marquardt (LM) [17,18], Fletcher-Reeves (FR), Powell-Beale (PB) ve Pola-Ribiere (PR) [19,20] ve Resilient geri yayılım (RG) [21] öğretme algoritmaları ullanılmıştır. Bu algoritmalar ile ilgili detaylı bilgi [22] nolu aynatan olaylıla elde edilebilir. 4. TBU RŞTIRM (T) LGORİTMSI Glover tarafından geliştirilen T algoritması önceleri ayrı optimizasyon problemlerine uygulanmıştır [23,24]. T'nın zei bir yapıda olmasının arasında, belleğinde arama uzayının geçmiş bilgilerini tutma özelliği vardır. Bu sayede arama sınırlandırılmış ve diğer algoritmalarda arşılaşılan yerel optimumdan urtulmatadır. Brucer'e göre, T, yerel optimuma düşüşten açınma için bir belle fonsiyonu ullanıp, üresel optimumu hızlı bir şeilde aramada bir veya daha ço yerel arama yordamını (prosedürünü) hiyerarşi olara yönlendiren zei bir tenitir [25]. lgoritmanın oluşturulmasında temel alınan ii önemli unsur, daha önce denenmiş çözümleri yeniden işleme almaması ve yerel optimum notadan uzalaşıp üresel optimum çözüme ulaşabilmesidir [26]. Klasi Tabu araştırma (KT) algoritması, yalnızca ombinasyonel problemlere değil fonsiyon minimizasyonu veya masimizasyonu ile ilgili problemlere de uygulanmıştır [27,28]. Bu tür problemlere uygulanması durumunda 1 ve 0 değerlerinden oluşan vetör elemanları iili sayı düzeninden onlu sayı düzenine çevrilir. Burada her bir parametrenin aç iili (bit) ile ifade edileceği problemi yaşanmatadır. Eğer iili sayısı az olursa, araştırma uzayı üçülmete dolayısıyla daha hızlı çözüm bulunmata, faat çözümlerin tam istenilen değerler olmaması durumu ortaya çımatadır. Fazla olursa da, ço büyü bir araştırma uzayıyla arşı arşıya alınmatadır. Bu yüzden her parametre için en uygun iili sayısını seçme büyü önem taşır. yrıca, omşu sayısının sabit olması, bir başa deyişle, iyi sonuç veren bölgelerde üretilen çözümler ile ötü sonuç veren bölgelerden elde edilen çözüm sayılarının aynı olması, önemli bir dezavantajdır. Sıralama ve terarlamaya dayalı tabu listesi ullanan lasi algoritmada, sı değişen veya yeni değişmiş olan elemanlara ait omşulular tabulaştırılmata, dolayısıyla bir tür cezalandırılmata, faat iyi sonuç veren elemanların ürettileri omşu sayısı sabit almatadır. Sayısal problemlere lasi tabu araştırmasının uygulanmasında arşılaşılan önemli bir problem de omşu çözümlerin üretilmesi aşamasında her bir parametrenin en sağdai iilinin değişmesi parametrenin sayısal değerinde büyü bir değişime sebep olmatadır. Bu ise "omşulu" mantığına ayırı bir durum ortaya oymatadır. Parametrenin etrafında araştırma yapılması geretiği durumlarda (özellile iterasyonun ilerlediği, araştırmanın global minimumu estirebildiği bölgelerde), parametre değerinin büyü oranda değişmesi, istenen sonucu bulmada gecimeye ve fazla hesap yapılmasına sebep olmatadır. KT algoritmasında arşılaşılan bu zorluların üstesinden gelme için yazarlar tarafından Sayısal Tabu raştırma (ST) algoritması geliştirilmiştir [29-32]. Bu algoritmanın en önemli özelliği çözüm vetörünün reel sayılardan oluşmasıdır. Böylece iili sayı düzeninden geçişte yaşanan zorlular ortadan aldırılmıştır. Bununla beraber KT algoritmasında yeni omşu çözümler üretmede ullanılan iili değiştirme yöntemi uygulanamayacağından, ST algoritması için farlı bir omşu üretme işlemi gerçeleştirilmesi zorunludur. ynı zamanda, Tabu listesi yapısının belirlenmesi ve buna bağlı olara aspirasyon riterinin de tespit edilmesi gerelidir. Bu Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 19, No 4,

4 Ş. Özer vd. R Sistem Modellemede Farlı lgoritmaların Karşılaştırılması çalışmada, omşu çözümler aşağıdai yöntemle üretilir. İl iterasyonda her çözüm elemanı için 5 omşu üretilmetedir. Her elemana ait bütün omşular değerlendirilditen sonra, bu değerlendirme değerlerinin ortalaması her eleman için hesaplanır. Eğer, s j =(s j,1, s j,2,...,s j,n ), j nci iterasyondai çözüm vetörü ise, bir sonrai iterasyondai omşulu sayısı, No_N(s j+1, ), aşağıdai formül ile belirlenir. No_N(s ) = No_N(s () ) + 2 mas() - min() j+ 1, j, 1 (8) Burada, () bu elemanın j nci iterasyondai tüm omşularının değerlendirme değerinin ortalaması, mas() ve min() ise sırasıyla aynı iterasyonda üretilen tüm omşuların değerlendirme değerlerinin en büyü ve en üçü değerleridir [32]. j nci iterasyonda, ncı elemanın i nci omşulu sayısı aşağıdai ifade ile üretilir [31]. i N s + 1, ) = N ( s ) + i( 1) ( j) (9) ile ( j j, α ESIG ( j ) = λ β (10) j + ESIG burada λ pozitif bir sabit olup (j) atsayısının başlangıç değerini belirler, α ve β ise bu atsayının değişimini ontrol etmetedirler. ESIG ise gelişmede elde edilmiş en son iterasyon değeridir. Geliştirilen ST algoritması, didörtgen miroşerit antenlerin rezonans freansının ve bant genişliğinin hesaplanmasında etili olduları tespit edilmiştir [31,32]. Bu maalede, ST algoritmasının R sistem modelleme performansı incelenere arşılaştırılmıştır. 5. BENZETİMLER Uyarlanabilir doğrusal modelleme yöntemlerinden LMS, NLMS, RLS, P, LSL ve DL algoritmaları ile seiz farlı öğrenme algoritması ile eğitilmiş YS lar ile, KT ve ST algoritmalarının performanslarını inceleme ve arşılaştırma için 4. dereceden ve 6. dereceden ii farlı R test sistemi ullanılmıştır. Bu test sistemleri aşağıda verilmiştir. Sistem #1: y[] = u[] y[-1] y[-2] y[-3] y[-4] (11) Sistem #2: y[] = u[] y[-1] y[-2] y[-3] y[-4] 0.217y[-5]+0.178y[-6] (12) (11) ve (12) nolu eşitlilerde y[] ve u[] sırasıyla modelin çıışını ve girişini temsil etmetedir. Model parametreleri, sistemleri ararlı yapaca şeilde seçilmiştir. Bu sistemlere özellile gauss dağılımında, sıfır ortalamalı, standart sapma değeri 1 olan, 1000 adet elemana sahip giriş dizisi uygulanmış ve istenen çıış dizisi elde edilmiştir. Bu dizinin işaret/gürültü oranı 8 db'dir. Bu oran arttırıldığında lasi metotların iyi sonuç verdiği bilinmetedir. Bu çıış dizisi her bir algoritmanın performansını belirleme amacıyla ullanılmıştır. YS için il test sisteminde (sistem #1) giriş olara, sistem çıış dizisinin il 500 elemanı ullanılara ayan pencereleme yoluyla elde edilen boyutlarındai matris, çıış dizisi olara ise sistem çıış dizisinin 5. elemanından 500. elemanına adar olan ısmı ullanılmıştır. Testtei YS yapısı 4 nörondan oluşan giriş atmanı, 10'ar nörondan oluşan ii gizli atman ve 1 adet nöronun yer aldığı çıış atmanından ibarettir. İinci test sisteminde (sistem #2) ise, boyutlarındai giriş matrisi ullanılmış ve giriş atmanındai nöron sayısı 6 olara alınmıştır. ra ve çıış atmanlarındai transfer fonsiyonları doğrusal seçilmiştir. Bunun sebebi, yapılan denemeler sonucunda, modellenen sistemin doğrusal yapıda olmasından dolayı doğrusal olmayan transfer fonsiyonlarının sistemi modellemete doğrusal olanlara nispetle daha düşü performans gösterdiğinin tespit edilmesidir. YS öğrenme algoritmaların performansını belirleme için ağ yapısı belirli bir iterasyon ( veya ) boyunca eğitilmiş, daha sonra öğrenmede ullanılmayan sistem çıış dizisinin son 500 elemanından oluşan giriş dizisiyle işleme tabi tutulmuş, çııştan elde edilen dizi ile model çıışı arasındai farın MSE (hataların arelerinin ortalaması) değeri belirlenmiştir. Birinci ve iinci test sistemlerine ait, belirli iterasyon sonunda elde edilen MSE sonuçları Şeil 1 de ve Tablo 1'de gösterilmiştir. Bu gösterimlerde verilen değerlerden de görülebileceği gibi sistem modellemede ST algoritmasının en düşü hata verdiği, dolayısıyla en yüse performansa sahip olduğu görülmetedir. Uyarlanabilir metotların, gere performans baımından gerese hesaplama süresi baımından, yapay zea metotlarından daha iyi olduğu tespit edilmiştir. T algoritması YS lardan daha yüse performans gösterse de ço uzun hesaplama zamanlarına ihtiyaç duymuştur. Uyarlanabilir metotlar arasında en yüse performansları sırasıyla DL ve LSL algoritmaları göstermiştir. 6. SONUÇLR Bu çalışmada, doğrusal sistem modellemede literatürde mevcut ve en ço ullanılan uyarlanabilir metotlar, yapay sinir ağları ve tabu araştırma 434 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 19, No 4, 2004

5 R Sistem Modellemede Farlı lgoritmaların Karşılaştırılması Ş. Özer vd MSE LMS NLMS RLS P Tablo 1. R modeli parametrelerinin hesabında ullanılan metotların arşılaştırılması Metotlar Sistem #1 (MSE) Sistem #2 (MSE) Ortalama Süre (s) LMS 0,4340 1,4511 0,54 NLMS 5,8352 1,3390 0,64 Uyarlanabilir RLS 0,5873 3,4165 0,85 P 3,7436 8,1874 0,82 LSL 0,1384 1,2572 4,02 Yapay Sinir ğları Tabu raştırma LSL algoritmaları arşılaştırılmıştır. 4. ve 6. dereceden ii farlı doğrusal sistem bu metotları test etme için ullanılmıştır. R modelleme testlerinde, sayısal tabu araştırma algoritması en az hata ile en etili algoritma olmuştur. Bu algoritmayı sırasıyla düşü hesaplama zamanına sahip uyarlanabilir DL ve LSL metotları izlemiştir. Genel olara lasi metotların gere zaman gerese performans açısından daha uygun çözümler sağladığı görülmüştür. YS nın gürültülü verilere arşı abul edilebilir sonuçlar vermesi beleniren en ötü sonucu vermesindei sebep olara, giriş veri sayısının yeterli olmaması, gürültü seviyesinin yüse olması, uygun YS yapısı veya parametrelerinin iyi belirlenememiş olması sıralanabilir. Bu onu daha sonrai çalışmalarda araştırılabilece bir onu olara arşımıza çımatadır. Yapay zea tenilerinin hesaplama süresinin ço fazla olmasının sebepleri ise ullanılan öğrenme algoritmasının yerel minimuma taılma probleminin olması veya başlangıç arama yönünün iyi belirlenememesi olabilir. Farlı yapay zea DL MBP FR PB PR BFGS LM Şeil 1. Elde edilen tüm sonuçların grafisel gösterimi DL 0,0880 1,1457 3,37 MBP 1,9659 2, ,10 FR 1,8323 2, ,20 PB 2,0982 2, ,41 PR 1,8660 2, ,90 BFGS 1,1242 1, ,58 LM 2,0140 2, ,34 TS 1,5544 2, ,49 RG 1,3780 3, ,94 T 1,3864 0, ,70 ST 0,0514 1, ,30 algoritmalarının seçimi veya farlı parametrelerle test edilmesi araştırılaca yeni onular olabilecetir. KYNKLR sistem #1 sistem #2 TS RG T ST metotlar 1. Hayin, S., daptive Filter Theory, 3 rd ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, Widrow, B. ve Stearns, S.D., daptive Signal Processing. Englewood Cliffs, Prentice- Hall, NJ, Macchi, O., The Least Mean Squares pproach with pplications in Transmission. Wiley, New Yor, Eleftheriou, E. ve Falconer, D., Tracing properties and steady-state performance of RLS adaptive filter algorithms, IEEE Trans. coust., Speech, Signal Processing, Cilt SSP-34, , Oct Friedlander, B., Lattice filter for adaptive processing, Proc. IEEE, Cilt 70, , ug Tanaa, M., Kaneda, Y. Maino, S. ve Kojima, J., Bloc Exact Fast ffine Projection Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 19, No 4,

6 Ş. Özer vd. R Sistem Modellemede Farlı lgoritmaların Karşılaştırılması lgorithm, IEEE Trans. Speech and udio Processing, Cilt 7, 79-87, Jan Özer, Ş., Güney, K. ve Kaplan,., R model parametrelerini ve derecesini tahmin etme metodları, Politeni Dergisi, Cilt 3, No 3, 67-76, Peters, S. D. ve ntoniu,., Self-Tuning NLMS daptive Filter Using Parallel daptation, IEEE Trans. on Circuits & Systems-II nalog and Digital Signal Processing, Cilt 44, No 1, 11-21, January Chansarar, M. M. ve Desai, U.B., Robust Recursive Least Squares lgorithm, IEEE Trans. on Signal Processing, Cilt 45, No 7, , July Goodwin, K. daptive Filtering, Prediction and Control, Prentice-Hall, Swami,. ve Mendel, J.M., Lattice lgorithms For Recursive Instrumental Variable Methods, International Journal Of daptive Control and Signal Processing, Farhang-Boroujeny, B., Fast LMS/Newton lgorithms Based on utoregressive Modelling ve Their pplication To coustic Echo Cancellation, IEEE Trans. on Signal Processing, Cilt 45, No 8, , ugust Hayin, S., Neural Networs: Comprehensive Foundation, Macmillan College Publishing Company, New Yor, US, ISBN , Rumelhart, D. E. ve McClelland, J. L., Parallel Distributed Processing. Cilt 1, The MIT Press, Cambridge, Battiti, R., First and Second Order Methods for Learning: Between Steepest Descent and Newton's Method, Neural Computation, Cilt 4, No 2, , Gill, P. E., Murray, W. ve Wright, M. H., Practical Optimization, cademic Press, New Yor, Levenberg, K., Method For the Solution of Certain Nonlinear Problems in Least Squares, Quart. ppl. Math., Cilt 2, , Marquardt, D. W., n lgorithm For Least- Squares Estimation of Nonlinear Parameters, J. Soc. Ind. ppl. Math., Cilt 11, , Powell, M. J. D., Restart Procedures for the Conjugate Gradient Method, Mathematical Programming, Cilt 12, , Scales, L. E., Introduction to Non-Linear Optimization, Springer-Verlag, New Yor, Riedmiller, M. ve Braun, H., Direct daptive Method for Faster Bacpropagation Learning: The RPROP lgorithm, Proceedings of the IEEE Int. Conf. On Neural Networs, San Francisco, C, , Sağıroğlu, Ş. Beşdo, E., ve Erler, M., Mühendislite Yapay Zea Uygulamaları I: Yapay Sinir ğları, Ufu Kitabevi, Kayseri, Glover, F., Tabu Search - Part I, ORS Journal on Computing, Cilt 1, No 3, , Glover, F. Tabu Search - Part II, ORS Journal on Computing, Cilt 2, No 1, 4-32, Brucer, P. n Efficient lgorithm for the Jobshop Problem With Two Jobs, Computing, Cilt 40, , Hao, J.K. Dorne, R. ve Galinier, P., Tabu Search For Frequency ssignment In Mobile Radio Networs, Journal Of Heuristics, Cilt 4, No 1, 47-62, Pham, D. T. ve Karaboga, D., Intelligent Optimisation Techniques: Genetic lgorithms, Tabu Search, Simulated nnealing and Neural Networs, Springer Verlag, Karaboga, D., ve Kaplan,., Optimizing Multivariable Functions Using Tabu Search lgorithm, In The Tenth Int. Symp. on Comp. and Inf. Sciences, (ISCIS X), October 30, Turey, Cilt 2, , Karaboga, D., Güney, K., Kaplan, ve., dağlı,., new effective side length expression obtained using a modified tabu search algorithm for the resonant frequency of a triangular microstrip antenna. International Journal of RF and Microwave Computer-ided Engineering, Cilt 8, 4-10, Özer, Ş., Güney, K., ve Kaplan,., Calculation Of Characteristic Impedance and Dielectric Constant Of Coplanar Waveguide With The Use Of Fuzzy Inference Systems, TINN'99, Istanbul, , Özer, Ş., Güney, K., ve Kaplan,., Computation Of The Resonant Frequency Of Electrically Thin and Thic Rectangular Microstrip ntennas With The Use Of Fuzzy Inference Systems, Int. Jour. of RF and Microwave Computer-ided Engineering, Cilt 10, No 2, , Kaplan,., Güney, K., ve Özer, Ş., Fuzzy associative memories for the Computation of the bandwidth of rectangular microstrip antennas with thin and thic substrates. Int. J. Electronics, Cilt 88, No 2, , Gazi Üniv. Müh. Mim. Fa. Der. Cilt 19, No 4, 2004