GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇAPRAZLAMANIN SÖZDE RASSAL POPULASYONLARA ETKİSİ

Transkript

1 GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇARAZLAMANIN SÖZDE RASSAL OULASYONLARA ETKİSİ ınar SANAÇ Ali KARCI Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Mühendisli Faültesi Fırat Üniversitesi 239 Elazığ ÖZET Geneti algoritmalarda geneti operatörler ço büyü önem taşımatadır En genel haliyle çaprazlama, mutasyon ve seçim operatörleri geneti algoritmanın temel parçalarıdır Geneti operatörlerin algoritma üzerindei etileri daha öncei çalışmalarda ispatlanmıştır Özellile çaprazlama operatörü algoritma üzerinde en fazla oranla ullanılan operatörlerden birisidir Aynı şeilde başlangıç populasyonu oluşturma yöntemleri üzerinde de son zamanlarda çalışmalar gittiçe artmıştır Bu maalede, gelenesel şema teorisine dayalı olara çaprazlama operatörünün özel bir başlangıç populasyonu oluşturma yöntemi olan sözde rassal başlangıç populasyonları üzerindei etisi araştırılmıştır Çaprazlamanın çeşitliliği ne derece sağladığı ve hangi durumlarda şemayı bozmadığı incelenmiştir ve bu durumda algoritmanın iyiye doğru gidip gitmediği gözlemlenmiştir Çaprazlama yöntemlerinden olan n notalı çaprazlama metodu ullanılmıştır Buna bağlı olara uygunlu değerlerinin gösterdiği sıçramalar gözlemlenmiştir Teori açılamalar bir problem üzerinde denenmiş ve elde edilen sonuçlar arşılaştırılmıştır Anahtar Kelimeler: Sözde Rassal opulasyon, Başlangıç populasyonu, n notalı çaprazlama GİRİŞ Gelişigüzel arama metotlarından biri olan geneti algoritmalarda, rassal değerlerle yola çıara problemin çözümünü bulmaya çalışılır[] Bu aramanın belirli urallara dayalı olara yapılmasıyla ve rassallığın azaltılmasıyla bu metotlar daha iyiye götürülmeye çalışılır Bu sayede daha ısa sürede daha iyi sonuçlar bulma hedeflenir Gelenesel olara rassal başlangıç populasyonlarıyla arama yapmaya başlayan geneti algoritmalarda başlangıç populasyonu sözde rassal dizilerden faydalanılara oluşturulmuştur[2] bu sayede çeşitliliğin daha iyi sağlanması belenmetedir Kullanılan geneti operatörler de geneti algoritma için olduça önemlidirler Özellile çaprazlama operatörü geneti algoritmada mutasyondan daha yüse oranda ullanılır ve sonuca yaınsamada etili olması belenir Daha öncei çalışmalarda çaprazlama operatörünün rassal populasyonlar üzerindei etileri teori olara incelenmiştir[6] Bu çalışmada çaprazlamanın sözde rassal başlangıç populasyonlar üzerindei etileri araştırılacatır Buna göre maalenin iinci bölümünde sözde rassal populasyonlar, 3 bölümde çaprazlamanın rassal populasyon üzerindei etisi, 4 bölümde sözde rassal populasyon için çaprazlamanın belenen etisi anlatılmıştır 5 bölümde deneysel sonuçlar verilmiş ve 6 bölümde bu sonuçlar değerlendirilmiştir 2 SÖZDE RASSAL OULASYON Başlangıç populasyonu geneti algoritmanın il adımını oluşturduğu için, başlangıçta bireylerin çözüm uzayına dağılımı önemlidir Rassal dağıldığında bireyler birbirlerin ço yaın notalarda toplanabilirler ve bu notalar da çözümden ço uzata olabilir ve doğru sonuca ya ço fazla iterasyon sonunda ulaşılır veya da hiç ulaşılamayabilir Sonuca daha eren ulaşabilme için başlangıç populasyonları çeşitli yöntemlere göre oluşturulmatadır[2,3,4,5] Bunlardan bir tanesi de populasyon oluşturuluren sözde rassal dizilerden faydalanmatır 2 Sözde Rassal opulasyonları Oluşturma yöntemleri: Eğer gerçel odlama yapılacasa, bir romozomdai gen sayısı adar asal sayı bulunur ve her sayı bu asal tabanlarda yazılır ve daha sonra tersi alınır Hesaplanaca sayı φ p (n) olara gösterilirse; φ p (n) = a 0 * p - +a * p a m * p -m- Burada p asal tabanı, m ise basama sayısını gösterir, a i ler atsayılardır ve 0 a i < p dir Buna göre iili tabanda φ p (n) değerleri Tablo dei gibi hesaplanır: Tablo de elde edilen sayılar populasyonu oluşturma için ullanılır Bu notadan sonra populasyon, bu sayılar yardımıyla 2 farlı yöntem ullanara oluşturulabilir Bunlar; Halton ve Hammersley dizileridir[2,3] Bu çalışmada Halton sözde rassal dizileri ullanılmıştır

2 Tablo : İi tabanında φ p (n) değerleri ondalı iili iili ondalı n = = φ 2 (n) = 0 = Halton dizileriyle romozom oluşturulursa, populasyondai i romozom için ; x i = (φ p (i), φ p2 (i),, φ pn (i)) i=, 2,, N (N : populasyon boyutu) şelinde oluşturulur Her romozomun bu şeilde oluşturulmasıyla Halton sözde rassal populasyonu meydana gelir Halton populasyon, çözümleri uzaya belirli aralılarla dağıtır Bu nedenle sözde rassal populasyon oluşturma yöntemleri içerisinde olduça sı ullanılır[3] 3 ÇARAZLAMANIN RASSAL OULASYONA ETKİSİ Herhangi bir odlama alfabesinden oluşabilece romozom gruplarına şema denir Örneğin iili odlama ullanılıyorsa, alfabe A= {0, } den oluşur Bu alfabeye göre oluşabilece şemalardan bazıları 0**, **00, 0*, şelinde gösterilebilir Burada *, o genin 0 veya olmasının önemli olmadığını gösteriri Yani * lı genler de olsalar 0 da olsalar aynı şemaya dahil olacalardır demetir * lar dışındai veya 0 lara tanımlayıcı genler denir Bir şemada tanımlayıcı genlerin sayısı o şemanın mertebesini verir Buna göre Holland, bir şemanın çaprazlama sonrasında hayatını sürdürme olasılığını araştırmıştır Goldbeg, t anında verilen H şemasındai birey sayısından yola çıara t+ anında elde edilece olan H şemasındai birey sayısını hesaplamıştır[6] m t ; t anında H şemasına ait birey sayısı,, h şemasının t anındai ortalama f t uygunlu değeri ve f t, t anında populasyonun ortalama uygunlu değeri olma üzere, t+q anında H şemasına ait bireylerin sayısının şöyle olması belenir: m t+ f t ) ) m t ) y ) f t Burada y ), H şemasının çaprazlama sonucunda yaşamını devam ettirme olasılığıdır t+ anında H şemasına ait birey sayısının daha fazla olması belenir, çünü şema bir sonrai nesilde yaşamını sürdürebilir, hem de başa şemaların çaprazlanmasından H şemasına ait birey meydana gelebilir 3 N Notalı Çaprazlamanın Etisi Sabit uzunlulu bir evrimsel algoritma için, eğer L uzunluğunda odlama yapılacasa ve ullanılan alfabenin eleman sayısı C ise, C L tane atar oluşturma mümündür Eğer mertebeden bir şema H ile gösterilirse, bu şema C L- tane atar içerebilecetir Çaprazlama olayı, R rassal değişeniyle tanımlansın İili odlama düşünüldüğünde H için 2 tane çaprazlama olayının olması mümündür (0 R 2 ) Her R çaprazlama olayı uzunluğunda bir bit maselemeyle sunulabilir Eğer o bitin masesi ise, bu demetir i j notadai aleller yer değiştirece, 0 ise yer değiştirmeyecetir Bütün n notalı çaprazlamada bit maseleme ullanılabilir Bir nesilde bütün çaprazlama olaylarının toplam olasılığı olmalıdır R (R) = Bir H şeması için çaprazlama olayı düşünülürse, seçilece ebeveynlerin biri H ya ait olsun, diğer birey ise eyfi seçilsin Bu ii bireyin çaprazlanması sonucunda oluşan evlatlardan bir tanesi H ya ait ise, H şeması yaşamını sürdürür, hiçbiri H ya ait değilse, H bozulur Bu durumda y, H nın yaşamını sürdürme olasılığı, b de H nın bozulma olasılığı olma üzere; y ) = (R)_y/R) = (R) y/r) R R b ) = (R)_b/R) = (R) b/r) R R y ) + b ) = 32 N Notalı Çaprazlama için Yaşamını Sürdürme Teorisi N notalı çaprazlamada, çaprazlama olayı için n tane esim notası belirtilir Bu çaprazlama olaylarını te ve çift notalı çaprazlama olara sınıflandırma uygundur Çift olayda H nın tanımlama pozisyonları (genleri) arasına çift sayıda esim notası gelir(şeil ) Bu durumda tanımlayıcı alellerin hiçbiri yer değiştirmeyecetir ya da tümü yer değiştirecetir Bunun tersine te çaprazlama olayında; tanımlama pozisyonları arasına gelen esim notaları te sayıdadır(şeil 2) Bu durumda da bu tanımlayıcı alellerin bir bölümü yer değişir Bu durumda şemanın bozulma ihtimali yüsetir

3 2 d d2 d3 çift,l,l,,l,n) n/2 2x n 2x n L L L = çift,l,,l,2x) x= 0 2x L L Şeil Çift Çaprazlama Olayı 2 Şeil 2 Te Çaprazlama Olayı çift te ) = ) = Rte (R) (R) Te ve çift çaprazlama olayları bütün çaprazlama ümesini oluşturduğundan toplamları dir ) + çift te = ) Bu durumda H şemasının bozulma ve yaşama olasılıları sırasıyla şöyledir: d s d d2 d3 ) = (R)d /R) + ) = (R)s /R) + Rte Rte (R) s d (R) /R) /R) Eğer R çift ise; /R) 0 ; eğer R te d = ise; s /R) = dir Buna göre, tanımlama uzunluğu olma üzere, =2 için çift çaprazlama olayının olma olasılığı n notalı çaprazlama için şöyledir; n/2 2x n 2x n L L L çift 2, L, L, n) = x= 0 2x L L Burada L /L oranı esim notasının ii tanımlama notası arasına yerleşme olasılığını, (L-L )/L ise esim notasının ii tanımlama notası dışında olma olasılığını gösterir 2x indesi daima çifttir, 0 dan n e adar bütün çift sayıları içerir Kombinasyon ise, n tane esim notasından seçilebilen çift sayı yollarının sayısını hesaplar Bu sonuç sadece iinci dereceden şemalar için geçerlidir Bu ilişiyi daha yüse şemalar için genelleştirme mümündür, çünü çift sayıların toplamı yine bir çift sayıdır Bu denlem en genel haliyle şöyle gösterilebilir: 4 SÖZDE RASSAL OULASYONLAR ÜZERİNDE ÇARAZLAMANIN ETKİSİ 3 bölümdei rassal populasyon için te ve çift çaprazlama olaylarının olma olasılığı sözde rassal populasyon için de geçerlidir Buna göre eğer çift çaprazlama olayı gerçeleşmişse, şema bozulmaz Te çaprazlama olayı gerçeleşmişse, bu durumda şema, bozulur veya hayatini sürdürmeye devam eder Buna göre 3 bölümdei denlemler sözde rassal populasyonlar için de geçerlidir Bu durumda çaprazlamanın geneti algoritmayı iyiye götürmesi gerelidir 5 DENEYSEL SONUÇLAR Deneysel çalışmalar yapılıren geneti algoritma ullanılara program yapılmıştır rogramda, sı ullanılan f (x) = N i= 2 (x i 0 cos(2πx i ) + 0) trigonometri fonsiyon ullanılmıştır[4] roblemde değişenlerin tanım aralığı [-5,5] olara alınmış ve fonsiyonun masimumu araştırılmıştır roblem boyutu 28 olara seçilmiştir rogramda populasyon boyutu 60 olara alınmıştır Gerçel odlama yapılmıştır Başlangıç populasyonu Halton Sözde Rassal opulasyon şelinde oluşturulmuştur rogramda lasi geneti algoritmadan farlı olara, mutasyon yapılmamıştır Te notalı ve ii notalı çaprazlama ullanılmış, bunlar uygunlu değerlerine göre değerlendirilmiştir Seçim operatörü ise sadece ebeveynlerin seçiminde ullanılmıştır Bir sonrai nesil için sadece çaprazlama sonucu oluşan bireyler ullanılır; esi bireyler bir sonrai nesle taşınmaz Elitizm ullanılmamıştır Şemalar ontrol edilmemiştir, çünü gerçel odlamada şemaya haim olma, genler verilen aralıta sonsuz değer alabileceğinden zordur Bu nedenle, populasyondai ortalama uygunlu değeri ve en iyi uygunlu değerlerine baılmıştır ve buna dayalı olara şemalar haında yorum yapılmıştır Buna göre te ve ii notalı çaprazlamanın uygunlu-iterasyon grafi değişimi aşağıda verilmiştir

4 Şeil 3 Te notalı çaprazlama için en iyi ve ortalama uygunlu grafiği Şeil 4 Çift notalı çaprazlama için en iyi ve ortalama uygunlu grafiği Şeil 3 ve Şeil 4 te te ve ço notalı çaprazlama için her jenerasyondai en iyi uygunlu ve ortalama uygunlu değerleri verilmiştir Buna göre te ve ço notalı çaprazlamada populasyonun ortalama uygunlu değerlerinde ço fazla farlılı görülmemetedir Çift notalıda daha inişli çıışlı bir grafi mevcuten, te notalı çaprazlamada ortalama uygunlu değeri daha düzgün bir grafi oluşturmuştur En iyi uygunlu değerlerine baılırsa, ii çaprazlama yöntemi arasında açı bir far vardır Te notalı çaprazlamada 30 iterasyona adar en iyi uygunlu değeri hemen hemen değişmemiş,30 iterasyondan sonra sıçrama gerçeleştirmiş ve daha sonra terar birbirine benzer değerlerle 50 iterasyona adar gitmiştir Ço notalı çaprazlamada ise, en iyi uygunlu biraç sıçrama yapmış, faat 30 iterasyondan sonra süreli artışa geçmiştir Ço notalı çaprazlama olayından sonra populasyonda genel olara ço fazla bir değişim olmasa da en iyi birey süreli daha iyiye doğru gitmiştir Tablo 2 Çaprazlama metotlarının Karşılaştırılması En iyi Uygunlu Ortalama Uygunlu İterasyon No Te Notalı Çaprazlama Ço Notalı Çaprazlama Tablo 2 de görüldüğü gibi en iyi uygunluğa te notalı çaprazlamada 40 iterasonda ulaşılıren, ço notalı çaprazlamada 65 iterasyonda ulaşılmıştır Faat elde edilen uygunlu değerleri arasında olduça büyü bir far vardır 6 SONUÇ Elde edilen grafiler ve tabloya göre, çaprazlama olayının geneti algoritmayı iyiye götürdüğünü söyleyebiliriz Sözde rassal populasyon başlangıçta çeşitliliği iyi sağladığı için çaprazlamayla büyü sıçramalar gerçeleşmemiştir Fonsiyon tutarlı bir yol izlemiştir N notalı çaprazlama metodu, sözde rassal başlangıç populasyonu üzerinde olumlu etiler yapmıştır ve fonsiyon hiçbir zaman daha ötüye gitmemiştir

5 Eğer şemalar bozulsaydı, bu durumda yeni şemalar oluşmuş olaca veya ötü şemalar elde edilmiş olacatı ve bunun sonucu olara da fonsiyon ötüye gideceti veya algoritma uzun iterasyonlar boyunca devam edeceti O zaman te ve ço notalı çaprazlamanın sözde rassal populasyon için şemayı bozma olasılığının düşü olduğu sonucu çıarılabilir KAYNAKLAR: [] D: E Goldberg, Genetic Algorithm in Search, Optimization and Machine Learning,Addison-Wesley, 989 [2] J H Halton On the eciency of certain quasi-random sequences ofpoints in evaluation multi-dimensional integrals Numer Math, 2:84 90, 960 [3] SANAÇ, A KARCI, Geneti Algoritmalarda Sani Rassal opulasyonların arşılaştırılması, Ya/Em 2004 Yöneylem Araştırması/Endüstri MühendisliğiXXIV Ulusal Kongresi 6-8 Haziran 2004, Çuurova Üniversitesi, Adana [4] Yiu-Wing Leung, An Orthogonal Genetic Algorithm with Quantization for Global Numercal Optimization,, IEEE Trans on Evolutionary Computation, vol:5, no:, 200 [5] Y J Cao, Q H Wu, D W Shimmin, Study Of Initial opulation In Evolutionary rogramming [6] William MSpears, Evolutionary Algorithims The Role of Mutation and Recombination, 2000