TĐTREŞĐM ANALĐZĐNDE DĐFERANSĐYEL QUADRATURE YÖNTEMĐ

Transkript

1 makale Ömer CĐVLEK Dr. Yük. Müh., Dokuz Elül Ünverstes, Đnşaat Mühendslğ Bölümü TĐTREŞĐM LĐZĐDE DĐFERSĐYEL QUDRTURE YÖTEMĐ GĐRĐŞ Kapalı matematk çözüm an analtk çözüm çoğu ugulamalı blm dalında ve mühendslk problemlernde ulaşılmak stenen deal çözümdür. ncak analtk çözüm, problemlern çeştl karakterstkler nedenle çoğu kez mkansız olur. Bu durumda problemn çözümüne ulaşmak çn saısal aklaşım kurmak zorunludur. Mevcut bu saısal çözümlern brbrlerne ve problem tplerne göre bazı üstünlükler vea bazı olumsuzlukları olablr. Yeter doğrulukta çözümler elde etmek çn günümüze kadar pek çok saısal analz öntem önerlmştr. Genel olarak saısal aklaşım öntemler zaman vea uza bölgesnn belrl aralıklara bölünerek çözüme brkaç adımda ulaşmaı vea çoğu durumda ardışık terason çözümlern gerektrr. Bu nedenle gelştrlen saısal öntemler; gerektrdkler hesaplaıcı htacı, çözüm çn harcanan zaman vea CPU(Merkez şlem brm) süres, denklemlern stabltes, kullanılan düğüm noktası saısı, problem çözümü çn ön şlemler, ve en önemls bu çözüm çn harcanan para an ekonom gb kıstaslar açısından çeştl avantalara vea dezavantalara sahp olur. Daha hassas sonuçların daha az saıda düğüm noktası kullanılarak elde edleblmes ve bölelkle daha az blgsaar htacı, sonuçların daha kısa sürede elde edleblmes an daha ekonomk çözümler elde edleblme mkanının araştırılması çalışmaları en öntemlern gelştrlmesne ol açmıştır. Bu metotlar çnde, Rchard Bellman tarafından [] gelştrlen ve lk defa "Dfferental Quadrature" term le tanıtılan bu metot herhang br sstemn dferansel formda elde edlmş önetc denklemlern mevcut sınır/başlangıç koşullarını da denklemlere dahl ederek çözümünü önerr. Đlk çalışmasında Bellman [] önerdğ bu metoda dar çeştl ugulamaları daha sonra aptığı çalışmalarında [] vermştr. Bu çalışmalarında Bellman; bomekank, akışkanlar dnamğ ve fzko-kma problemlernde karşılaşılan bazı lneer olmaan ad türevl dferansel denklemlern çözümünü vermştr. Metodun lteratürdek apı mekanğ ve apı mühendslğ alanındak lk ugulaması Bert ve ekb tarafından krş ve plakların ttreşm hesabıdır [3]. Bununla brlkte Shu ve Rchards tarafından ağırlık katsaılarının hesaplanması çn Genelleştrlmş Dferansel Quadrature (GDQ) metodu adıla genel br formülasonun önerlmesnden sonra 99 ılından tbaren dferansel quadrature metodu ve genelleştrlmş dferansel quadrature metodu le lgl çalışmalar büük br hız kazanmıştır []. Bu tarhten sonra apı mekanğ ve akışkanlar mekanğ gb ugulamalı mekank alanında dferansel quadrature metodu ve genelleştrlmş dferansel quadrature metodu kullanılarak apılmış pek çok çalışma mevcuttur [5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5]. Dnamk ükler etksndek apıların analz ve boutlandırılması zamana bağlı değşen kuvvetlern dkkate alınmasını gerektrr. Kuvvetler zamana bağlı olup, apının karakterstkler ve davranışı önemldr. Rüzgar, deprem, darbe, patlama kuvvetler, endüstrel apılarda makna ve motorların oluşturduğu ttreşm kuvvetler, fabrka krenlernde oluşan ttreşmlern apıa etkler vea uçak-uza sanande kullanılan gövde ve kanat gb elemanların maruz olduğu aero-dnamk üklern oluşturduğu etkler örnek olarak verleblr. Etken kuvvetlern sabt br değer oktur. Yan ükler zamanın br fonksonu şeklnde fade edlrler. Kuvvetn zamanla değşmes neden le apı kütlesne etken kuvvetlerde zamanla değşeceğnden apının davranışının değşmesne neden olacaktır. Mühendslk apılarının büük br çoğunluğu kullanım süreler bounca br vea daha fazla herhang br tp dnamk üklemee maruz kalırlar. Yapıa etk eden kuvvetler en genel manada; perodk ve perodk olmaan kuvvetler vea determnstk ve kef (random) kuvvetler olarak dört farklı grupla sınıflandırılablr. rıca belrtlmeldr k ttreşm hareket; en genel manada herhang br fzksel sstemn vea

2 herhang br apının ener utma kapastesnn olup olmamasına göre; sönümlü vea sönümsüz ttreşm ve apıa etk eden br dış kuvvetn varlığına göre de serbest ve zorlanmış ttreşm olarak sınıflandırılır. DĐFERSĐYEL QUDRTURE (DQ) YÖTEMĐ Dferansel quadrature metodu; br fonksonun verlen br arık noktadak br uza değşkenne göre kısm türev, o değşken bölgesnn bütün arık noktalarındak fonkson değerlernn ağırlıklı br lneer toplamı le fade edlr, şeklnde tanımlanan düşüncee daanır. Yeter aklaşıkta sonuçlar elde etmek çn daha az saıda grd kullanan dferansel quadrature metodu; fzk ve mühendslkte karşılaşılan başlangıç değer ve sınır değer problemler çn farklı br aklaşım ortaa komuştur. Bu amaçla tek boutlu (Şekl ) br fonksonun brnc türevn (,,...,) noktalarında arık nokta çn göz önüne alırsak.nc arık nokta çn brnc türev,,..., olacaktır. Burada değşken bölgesndek arık noktaları, Y() bu noktalardak fonkson değerlern, ve brnc dereceden türev çn bu değerler fonkson değerlerne bağlaan ağırlık katsaılarını fade eder. ğırlık katsaılarının hesabı, karşılık gelen koordnat önlernde fonksonel aklaşımlar le gerçekleştrlr. Test fonksonu a da aklaşım fonksonu olarak blnen bu fonksonların seçmnde sürekllk şartına dkkat edlmeldr. Yaklaşım fonksonları, alan değşkenlernn olası kararlı an ünform durumlarını tanımlaablmel ve dferansel denklemdek a da sınır şartlarındak mevcut en üksek derecel dferansele kadar türevnn alınablmes gerekr. Yan sürekllk şartı çn, br koordnat önündek düğüm saısı, dferansel denklemdek karşılık gelen bağımsız değşkene göre en üksek derecel türevn br fazlasına eşt olmalıdır. Bellman ve arkadaşları [,] ağırlık katsaılarının hesabı çn k farklı öntem önermşlerdr. Bunlardan brncsnde denklem tam olarak alındığında, test fonksonu olarak (-) vea daha küçük dereceden seçlen polnom fonksonu çn; Yk() k-, k,,..., () verlen denklem 'de erne azılırsa aşağıda belrtldğ formda br lneer denklem takımı verr k (3) ( k ) k ncak bu denklem sstemnn katsaılar matrsnn determnantı Vandermonde formunda olduğundan tekl br çözüme sahptr. Bu tekllğ gdermek çn, ağırlık katsaıları, değşk grd nokta saıları le (3) denklem eşt düğüm değerler çn hesaplanmalıdır. Denklem aşağıdak matrs formda da verleblr.

3 { Ψ( ) / } [ ]{ Ψ( ) } () Benzer şlemler k ve daha fazla dereceden türev fadeler çn de azılablr. Bölece, her br dereceden türev çn ağırlık fadeler brnc dereceden türev fadesnden farklı olmaktadır. Đknc dereceden türev çn DQ aklaşımı ψ ψ ( ) B ψ ( );,,..., (5) olarak verlr. Burada B knc dereceden türev çn ağırlık katsaısıdır. Denklem (5) brnc dereceden ağırlık katsaıları cnsnden ψ ( ) ψ k k ψ( k ) ;,,..., (6) olarak azılır. Denklem () le verlen polnom fonkson ugulanırsa knc dereceden türev fades k (7) ( k )( k ) k 3 B olmaktadır. Bu denklem ukarıda verlen (3) denklemne benzer aklaşımla çözülür. Örnek olarak Şekl 'de görüldüğü şeklde eşt aralıklı altı nokta( 6) seçelm. 0 /5 3 /5 3/5 5 / Örnek olarak 6 noktalı eşt aralıklı düğüm nokta dağılımı çn brnc mertebeden türev çn gerekl ağırlık katsaısı

4 olarak elde edlr. Daha hassas sonuç elde edlmek stenrse daha büük saıda aralığa bölünerek hesap apılır. Đknc, üçüncü ve dördüncü dereceden ağırlık katsaıları B, C, D, aşağıdak formda hesaplanır B C k k k k k B k D k k C k (8) Genelleştrlmş Dferansel Quadrature (GDQ) Yukarıda temel prenspler verlen DQ aklaşımında ağırlık katsaılarının hesaplanmasında çeştl güçlükler ortaa çıkmaktadır. Brnc öntemde elde edlen denklemn katsaılar matrs Vandermonde sstem olduğundan determnantının hesabında güçlük çıkar ve denklemn çözümü tekldr. Özellkle grd saısı arttıkça sonuçların hassaset azalablmektedr. grd saısı 0 den büük olduğu durumlarda sonuçların güvenrllğ azalmaktadır. Bunlara laveten, her br şlem adımında X denklem takımını çözme zorunluluğu vardır. Đknc aklaşımda se farklı sınır şartları ve geometr çn metodun ugulanablrlğ azalmaktadır. Yan; gerek, daha az saıda grd noktası seçlerek her şlem adımında br lneer denklem takımı çözme gerektren brnc öntemde gerekse de düğüm noktalarının dağılımını kısıtlaan Legendre aklaşımında metodun ugulanablrlğ açısından çeştl güçlükler vardır. Dolaısıla; hem bu güçlükler gdermek açısından hem de metodun kullanım alanı ve ugulanablrlğn kolalaştırmaa önelk çabalar sonucunda k arı grup tarafından bağımsız olarak metot gelştrlerek ağırlık katsaılarının hesabı farklı grd noktaları ve üksek dereceden türevler çn ugun br formda elde edleblmş ve genelleştrlmş dferansel quadrature metodu ortaa çıkmıştır. Bu öntemde sonsuz saıda düğüm noktası kullanılablmektedr. Shu ve Rchards ağırlık katsaıları çn herhang br tekllğe neden olmaan ve büük saıda lneer denklem takımı çözümü gerektrmeen analtk fadeler önermşlerdr. Bu metotta brnc ve knc dereceden türevler çn []; M ( ) ; ( ) M ( ),,,...,, ¹ (9) B P ( ) ; ( ) P ( ),,,...,, ¹ (0) Burada M ( ) ( ), P ( ) (,, ) ve (r ) (r) r [ (r ) ];,,,...,, ¹; ve r,3,..,- çn ()

5 (s ) (s) B s[ (s ) B B ];,,,...,, ¹; ve s,3,..., - çn (r) (r) ;,,..., ve r,,...,, (3) B (s), B (s) ;,,..., ve r,,..., Harmonk Dferansel Quadrature (HDQ) Harmonk dferansel quadrature öntemnde ağırlık katsaılarının hesaplanması çn önerlen test fonksonu trgonometrk a da harmonk formda olduğundan metot harmonk dferansel quadrature olarak önerlmştr [6]. Bu fonkson () u k [, sn( d), cos( d ),.., sn ( d ), cos ( d)] (5) olarak verlmektedr. Burada d p. Bu öntemde brnc ve knc mertebeden ağırlık katsaıları ; P( ( d / ) P( ) )sn[ ]( d / ) ¹ (6) şeklndedr. Denklemde P( ) sn, d,,..., olarak tanımlıdır. Eğer çn brnc mertebeden ağırlık katsaısı hesaplanacak olursa fade şeklnde olur.,,,..., çn (7) Benzer olarak knc merteben ağırlık katsaıları [7]; B d d ctg ( ) ve B B, ¹ (8, 9) Düğüm okta Tp ve Seçm

6 Dferansel quadrature metodunda çözümün hassaset bazı problem türlernde sınır koşullarına bağlı olsa da genelde bu hassaset düğüm noktalarının seçmne ve saısına bağlıdır. Daha önce apılan çalışmalarda gösterlmştr k; lneer türden denklemler ve homoen sınır koşullarına sahp problemlerde eşt aralıklı seçlen düğüm noktaları çözüm hassaset açısından eterldr. Bununla brlkte ttreşm problemlernde daha çok br dğer tür (Chebshev-Gauss-Lobatto) grd nokta seçmnn daha ugun olduğu gösterlmştr. Zamana bağlı denklemlerde ve başlangıç değer problemlernde se eşt aralıklı olmaan türden düğüm nokta seçm en ugun çözümler türetmştr. Sonuç olarak, her tür problem çn en etkl seçmn blnmes analz süresn kısaltacaktır. Düğüm noktalarının seçmnde sıkça kullanılan ve önerlen eşt aralıklı ve eşt olmaan aralıklı Chebshev-Gauss-Lobatto grd dağılımları çalışma kapsamında kullanılacaktır. Her k doğrultuda an her br koordnat önünde (tek boutlu problemler çn br önde) eşt aralıklı seçlen [, 6, 7, 8, 9, 0];,,,,..., ;,,..., (0) düğüm noktaları tanımlanır. Bazı durumlarda eşt aralıklı olmaan noktaların daha sonuç verdğ blnmektedr. Đk boutlu problemler çn eşt olmaan grd noktaları Chebshev-Gauss-Lobatto noktaları çn lgl bağıntılar şu şekldedr: cos π ; cos π SYISL UYGULMLR Dkdörtgen Plak : Đnce elastk dkdörtgen br plağın serbest ttreşmne at önetc denklem boutsuz formda F + k X X F + k Ω Y Y F F (5) olarak tanımlıdır. Burada F ttreşmn boutsuz mod fonksonu, W boutsuz frekans olup, le verlr, X /a ve Y /b boutsuz koordnatlar, a ve b plağın ve doğrultusundak boutları, k a / b plak kenarlarının oranı, h plak kalınlığı, r, malzeme oğunluğu, ve D plak eğlme rtlğ olup D Eh3 /(-n) şeklnde tanımlıdır. Metodun ugulanmasıla k Dk F k+ k Bk B m F km+ k D k F k Ω F k m k (6) denklem elde edlr. Sınır koşullarının çözüme dahl edlmes le serbest ttreşm problem [ S bb] [ S bd] [ ] [ ] S db S dd F F b d Ω { 0} { } F d (7) şeklnde tanımlanır. Bazı düzenlemeler ve matrs şlemlernden sonra denklem

7 ([ ] Ω [ I] ){ F } 0 S d (8) [ ] [ ] [ ] S S S [ S ] [ S ] haln alır. Burada dd db bb bd ve b le d alt ndsler sınır koşulları ve önetc denklemlerndek dferansel quadrature analoglarında kullanılan düğüm noktalarını belrtr ve toplam denklemdek katkısını gösterr. Elde edlen temel frekans değerler plak kenar boutlarının oranı k a/b çn Tablo 'de verlmştr. Bu tabloda, dörtkenarın ankastre, BBBB bast, SSSS se serbest olarak oturduğunu gösterr. Tablodan görüleceğ üzere Lessa [3] tarafından verlen sonuçlar dkkate alınınca her k önde 9 adet düğüm noktası kullanılarak eter doğrulukta sonuçlar elde edlmştr. Elastk Krşler : Lneer elastk br krşn eğlmel durum çn serbest ttreşm denklem d d d (EI ) + ρ 0 d d d t (9) olarak blnr. Burada r kütle, t zaman parametresdr. Denklem tab frekans değer ρ o L ω Ω E I oçn boutsuzlaştırılıp DQ metodu ugulanarak; D Y Ω Y ; 3,,..,(-) (30) Bu denklem farklı mesnet durumları çn gerekl sınır koşulları altında çözülürse plakların çözümündek (8) denklemne benzer olarak br özdeğer problem elde edlr. Bu denklemn temel frekans değer çn çözümünden çeştl düğüm değerler çn Tablo 'de üç farklı mesnet durumu çn elde edlmştr. Tabloda karşılaştırmalı olarak hem HDQ ve hem de GDQ le brlkte kesn sonuçlar verlmştr. Bu tabloda ankastre, B bast mesnet göstermektedr. Tablo 'den görüleceğ üzere HDQ öntem le 7 düğüm noktası le kesn değerler le örtüşen sonuçlar hesaplanmıştır. DQ öntemnde 7 düğüm noktası çn sonuçlar eter hassasette değldr. Düğüm nokta saısı 9 alınınca DQ öntem çn sonuçlar eterl bulunmuştur. Eksenel ttreşm durumunda hareket denklem d (E d d ) ρ 0 d t (3) şeklndedr. Bu denklem çn gerekl olan dferansel quadrature formu 30 denklemne benzer azılır. Elde edlen sonuçlar k farklı mesnet durumu çn Tablo 3'de verlmştr. Daresel plak: Sabt kalınlıklı nce daresel plağın serbest ttreşm denklem 3 u u u u ρh u r r r r r r r D t olarak verlr. Kabul edelm k u deplasman fonksonu u ( r,t) U( R) e ωt (33) (3)

8 formunda olsun. Bölece (33) denklem (3) de azılarak 3 U U U U + + Ω U 3 3 R R R R R R R 0 (3) boutsuz ttreşm denklem elde edlr. Burada R r/a, a plağın dış arıçapı, h kalınlık, D eğlme rtlğ, ve W boutsuz frekans değer olup şeklnde tanımlanır. Elde edlen lk üç frekans değer Tablo 'de karşılaştırmalı olarak verlmştr. HDQ öntem le hesaplanan değerler düğüm noktası kullanılınca Blevns [9] tarafından verlen kesn değerlere çok akındır. GDQ öntemnde 9 düğüm çn hesaplanan sonuçlar k ve üçüncü frekans değerler çn ugun değldr. Elastk zemne oturan krşler : Elastk zemne oturan ünüform br krşn hareket denklem EI d + ρ d + k 0 d d t (35) şeklndedr. Bu denkleme metodun ugulanması le D Y + k Y ρω Y (36) olarak verlen br özdeğer problem elde edlr. E,, r, k ve L boutsuz değerler ve elastk zemne oturmuş bast mesnetl br krş çn elde edlen lk üç frekans değer Tablo 5'de kesn değerler le brlkte verlmştr.tablodan görüleceğ üzere GDQ ve HDQ öntemler 9 düğüm noktası çn ugun olmakta, ancak DQ öntemnde eter doğrulukta sonuçlar düğüm noktası çn hesaplanmaktadır. Dğer örneklerde olduğu gb, HDQ daha az düğüm noktası le daha hassas sonuçlar vermştr. Ω ω Tablo. Dkdörtgen plak çn farklı kenar boutlarına bağlı Boutsuz temel frekans( a ρh/d ; ν 0.3; 9) Tablo. Elastk krşn eğlmel ttreşm durumunda boutsuz temel frekans değerler ( Ω ρ ω l /EI )

9 Tablo 3. Eksenel ttreşm durumunda krş çn boutsuz lk üç frekans değer ( Ω ρω /E ) Tablo. Kenarlarından ankastre bağlı daresel plağın br lk üç frekans değer ( Ω ρh ω a /D ) (Lessa,969) GDQ Kesn HDQ (9) (Blevns,98) () Ω Ω Ω Tablo 5. Elastk zemne oturan bast mesnetl ünüform krş çn lk üç frekans değer DQ GDQ HDQ Kesn () (9) (9) Çözüm (Chen, 000) Ω Ω Ω Bölüm 3.'de çözülen BBBB mesnetl kare plak (k) ttreşm problemnde DQ öntemlernn ve özellkle HDQ öntemnn dğer öntemlere göre üstünlüklern vurgulamak açısından Tablo 'de verlen sonuçlar sonlu elemanlar ve sonlu farklar metodu kullanılarak da hesaplanmıştır. Elde edlen hata değerler düğüm noktasına bağlı olarak Şekl 3'de verlmştr.

10 % Hata DQ GDQ HDQ Sonlu Elemanlar Sonlu Farklar Düğüm nokta saısı () Şekl 3. Çeştl öntemler çn düğüm nokta saısına bağlı hata değerler Şekl 3'den görüleceğ üzere kullanılan bütün metotlar çn düğüm nokta saısı arttıkça hata değerler azalmaktadır. En büük hata değer sonlu farklar, en küçük hata değerler se harmonk dferansel quadrature(hdq) çn elde edlmştr. Hata değer; her k önde 9 düğüm nokta kullanılarak elde edlen sonuçlar Lessa [3] tarafından verlen değerler referans alınmak üzere HDQ çn %0.0, GDQ çn %, DQ çn %.7, Sonlu elemanlar çn %.78 ve sonlu farklar [] çn %.7 olarak hesaplanmıştır. 6 çn se en ugun sonuç %.85 hata değer le HDQ çn hesaplanmıştır. Bu hata değer sonlu elemanlarda 8, sonlu farklar öntemnde 0 çn bulunmuştur. Sonuç olarak denleblr k daha az düğüm saısı kullanılması daha az blgsaar kapastes ve hesap süres demek olup, bu örnek çn HDQ le 6 çn sn 'den daha az sürede hassas sonuçlar elde edlmştr. Bu hassasete sahp sonuçlar sonlu elemanlarda 8 çn hesaplanmış olup hesap süres aklaşık sn ve sonlu farklarda 0 çn hesap süres aklaşık 3. sn dr. Hesaplar, Pentum-II şlemc ve 8 RM belleğe sahp kşsel blgsaarda apılmıştır. ncak unutulmamalıdır k daha büük çaplı problemlerde daha fazla düğüm nokta saısı kullanılınca hesap süres bakımından avanta daha belrgn olacaktır. Şunu da belrtmek gerekr k: DQ öntemler ve özellkle HDQ öntem pek çok problemde pek çok araştırmacı tarafından vurgulandığı üzere sonlu farklardan çok üstündür [3,, 5, 6, 7, 8, 3,, 5, 5]. Bu üstünlük çok daha az düğüm nokta saısı ve bu nedenle daha az blgsaar hesap süres bakımındandır. ncak metodun sonlu elemanlardan her zaman üstün olduğunu sölemek anlış olur. Özellkle karmaşık malzeme davranışı ve kırılma mekanğ gb hareketl sınır koşullarına sahp problemlerde sonlu elemanlar ve sınır elemanlar öntemler üstünlüğünü korumaktadır. DQ öntemlernde test fonksonu a da aklaşım fonksonu olarak blnen fonksonların seçmnde sürekllk şartına dkkat edlmeldr. Benzer zorunluluk sonlu elamanlar öntemndek enterpolason fonksonlarının seçmnde de vardır. ncak DQ metodunda, seçlen fonksonlarının Rtz metodunda olduğu gb çözümün başlangıcında sınır şartlarını sağlaması zorunluluğu oktur. Lneer olmaan davranışa sahp sönümlü vea sönümsüz dnamk problemlerde [5] HDQ öntem le hesaplanan değerler; sonlu farklar, ewmarkb, Trapez ve Wlson-q öntemlernden daha hassas olup çok daha az düğüm noktası kullanılmıştır. ncak aklaşık 60 ıllık br geçmş olan sonlu elemanlar metodu da malzeme özellklernn lneer olmadığı dnamk problemlerde hesap ve aklaşım üstünlüğünü korumaktadır. Hesaplamalı mekank alanında ıllık br geçmş olan DQ öntemler le lgl en teor ve aklaşımların gelştrlmes le öntemn pek çok problemde kullanılablecek esnek aklaşımı ve pratk ugulaması öne çıkacaktır. SOUÇ Dferansel quadrature metotları son ılların lg çeken br saısal analz öntemdr. Bu azıda üç farklı DQ metodu krşlern ve plakların serbest ttreşm hesabına ugulanmıştır. HDQ metodu daha az düğüm nokta saısı le daha hassas sonuçlar vermektedr. DQ

11 metodu se daha doğru sonuçlar çn daha fazla saıda düğüm noktasına htaç dumakta, ancak daha çok düğüm saısı kullanılınca hesap süres artmaktadır. GDQ metodu ağırlık katsaılarının hesabının daha bast oluşu ve ünüform a da ünüform olmaan düğüm dağılımı çn ugun olması br avantadır. Sonuçların aklaşıklığı, gerektrdğ hesaplaıcı kapastes ve ugulama alanının çeştlğ dkkate alınınca DQ metotlarının ve özellkle HDQ metodunun apıların dnamk analznde kullanılacak etkl br metot olacağı söleneblr [5, 6, 7,, 6, 7]. Bu azı, azarın kend makalelernden ve dğer araştırmacıların azılarından derlenmş ve son ıllarda popüler olan bu metodun Ülkemzdek araştırmacılara duurulması amaçlanmıştır. TEŞEKKÜR Yazar; Dferansel quadrature metotlarıla lgl bazı öneml belge ve makaleler sağlaan Oklahoma Ünverstes Profesörlernden Saın C.W.Bert' e ve akın lgs nedenle anı ünverstede görevl ssoc. Prof. Dr. M.Cengz LT'a saısal hesaplar çn gerekl programlar sırasında ardımlarını esrgemeen Đnş.Müh..K.BLTCIOĞLU'na teşekkür eder. KYKÇ. Bellman, R., Cast, J., Dfferental Quadrature nd Long-Term Integraton., Journal of Mathematcal nalss nd pplcatons, 3, 35-38,97.. Bellman, R., Kashef, B.G., Cast, J., Dfferental Quadrature : Technque For The Rapd Soluton Of onlnear Partal Dfferental Equaton., Journal Of Computatonal Phscs, 0, 0-5, Bert CW, Jang SK, Strz G. Two ew ppromate Methods For nalzng Free Vbraton of Structural Components. I Journal 987; 6 (5): Shu, C., Rchards, B. E., pplcaton of Generalzed Dfferental Quadrature To Solve Two- Dmensonal Incompressble aver -Stokes Equatons, Internatonal Journal For umercal Methods In Fluds, 5, , Cvalek, Ö., Çok Serbestlk Derecel Sstemlern Harmonk Dferansel Quadrature (HDQ) Metodu le Lneer ve Lneer Olmaan Dnamk nalz, Doktora Tez, Dokuz Elül Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Đzmr, Cvalek, Ö., pplcaton of Dfferental Quadrature (DQ) and Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ) for Bucklng nalss of Thn Isotropc Plates and Elastc Columns, Engneerng Structures, n Internatonal Journal, 6(), 7-86, Cvalek, Ö., Ülker, M., Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ) For smmetrc Bendng nalss Of Thn Isotropc Crcular Plates, Internatonal Journal of Structural Engneerng and Mechancs, Vol. 7, -, Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Generalzed Dfferental Quadrature (GDQ) pproach For Lnear nd onlnear Dnamc Response Of Sngle-Degree-of- Freedom (SDOF) Sstems, Engneerng Structures,(Hakem değerlendrmesnde), Cvalek, Ö., Ülker, M., Free Vbraton nalss Of Elastc Beams Usng Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ), Mathematcal and Computatonal applcatons, Vol. 9(), 57-6, Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Plakların Dferansel Quadrature Metodu le Stablte ve Ttreşm nalz, IMO Teknk Derg, 003; Vol., Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Dktörtgen ve Kare Plakların Dferansel Quadrature Metodu le Statk Hesabı., Dokuz Elül Ünverstes Fen ve Mühendslk Dergs,003(Baskıda).. Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Lnear Statc nd Vbraton nalss Of Crcular nd nnular Plates B The Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ) Method, Osmangaz Ünverstes, Mühendslk ve Mmarlık Fakültes Dergs,Vol.6,5-76, Bert CW, Malk M. Dfferental quadrature method n computatonal mechancs: a revew. ppled Mechancs Revew 996;9:-8.. Bert CW, Wang Z, Strz G. Statc and Free Vbratonal nalss of Beams and Plates b Dfferental Quadrature Method. cta Mechanca 99;0:-. 5. Du H, Lm MK, Ln, RM. pplcaton of Generalzed Dfferental Quadrature Method to Structural Problems. Internatonal Journal for umercal Methods n Engneerng 99; 37: Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Stress nalss Of Crcular Plates B The Harmonc Dfferental Quadrature (HDQ) Method, Selçuk Ünverstes,

12 Mühendslk ve Mmarlık Fakültes Dergs (Yaına Kabul edld), Cvalek, Ö., Dferansel Quadrature Metodu Đle Elastk Çubukların Statk, Dnamk Ve Burkulma nalz, XVI Mühendslk Teknk Kongres, Kasım, ODTU, nkara, Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Dferansel Quadrature Yöntemlerle Yapıların Karşılaştırmalı Dnamk nalz, Beşnc Ulusal Deprem Mühendslğ Konferansı, 6-30 Maıs 003, Bldr no : T-033, Đ.T.Ü., Đstanbul. 9. Cvalek, Ö., Çatal,H.H., Br ve Đk boutlu apıların genelleştrlmş dferansel quadrature öntemle dnamk analz, Türke Đnşaat Mühendsler Odası, Mühendslk Haberler, Saı 7, s.39-6, Cvalek, Ö., Çatal, H.H., Stablt and Vbraton nalss Of Plates B Dfferental Quadrature Method, Turksh Chamber of Cvl Engneerngs, Dgest,, December,003.. Cvalek, Ö., Three Dfferent Tpe Dfferental Quadrature Methods (DQM) For Lnear Bucklng nalss Of Unform Elastc Columns, Techncal Journal of Yıldız Technque Unverst,,5-59, Cvalek, Ö., Çatal, S. Genelleştrlmş Dferansel Quadrature Metodu Đle Bazı Sınır Değer Problemlernn Saısal Çözümü Üzerne, Dokuz Elül Ünverstes Fen ve Mühendslk Dergs,00(Baskıda). 3. Lessa W. Vbraton of Plates, S, SP-60, Ugural C. Stress n plates and shells. Second Edton, McGraw Hll Companes, Chen, C., Vbraton of prsmatc beam on an elastc foundaton b the dfferental quadrature element method, Computers and Structures, 000,77, Shu C, Xue H., Eplct computatons of weghtng coeffcents n the harmonc dfferental quadrature, Journal of Sound and Vbraton 997; 0(3): Strz G, Wang X, and Bert C.W., Harmonc Dfferental Quadrature Method and pplcatons to nalss of Structural Components, cta Mechanca 995;: Paz, M., Structural Dnamcs, Theor and Computaton, Champman & Hall., Blevns, R.D., Formulas For atural Frequenc nd Mode Shapes, Malabur, Florda: R.E.Kreger,98.