HETEROJEN ZEMİNLERDE GEÇİŞ BÖLGESİNDEKİ AKIM KARAKTERİSTİKLERİNİN SAYISAL OLARAK İNCELENMESİ

Transkript

1 ETEROJEN ZEMİNLERDE GEÇİŞ BÖLGESİNDEİ AIM ARATERİSTİLERİNİN SAYISAL OLARA İNCELENMESİ Onur ABAY Temmuz 006 DENİZLİ

2 ETEROJEN ZEMİNLERDE GEÇİŞ BÖLGESİNDEİ AIM ARATERİSTİLERİNİN SAYISAL OLARA İNCELENMESİ Pamukkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez İnşaat Mühendslğ Anablm Dalı Onur ABAY Danışman: Prof. Dr. all ARAAN Temmuz 006 DENİZLİ

3

4 TEŞEÜR Başta ol gösterc önerler çn sagıdeğer tez danışmanım Pamukkale Ünverstes Mühendslk Fakültes İnşaat Mühendslğ Bölüm Başkanı Prof. Dr. all ARAAN a; Lsans ve üksek lsans derslernde blglernden ararlanmaktan zevk aldığım değerl hocam Pamukkale Ünverstes Mühendslk Fakültes İnşaat Mühendslğ Bölümü drolk Anablm Dalı Öğretm Ües Prof. Dr. N. Orhan BAYAN a; Blgsaar programlama konusundak öneml ardımları ve dostluğu çn Pamukkale Ünverstes Mühendslk Fakültes İnşaat Mühendslğ Bölümü drolk Anablm Dalı ndan Okutman Y. İnş. Müh. Gürhan GÜRARSLAN a; Ders ve tez çalışmalarım sırasında gösterdkler kolalıklar çn şerlermdek önetclerme; Öğrenm aşamım bounca anımda olan Alem e Teşekkür ederm. Onur ABAY İnş. Müh. Temmuz 006 DENİZLİ

5

6 v ÖZET ETEROJEN ZEMİNLERDE GEÇİŞ BÖLGESİNDEİ AIM ARATERİSTİLERİNİN SAYISAL OLARA İNCELENMESİ Aba Onur Yüksek Lsans Tez İnşaat Mühendslğ ABD Tez Yönetcs: Prof. Dr. all ARAAN Temmuz Safa Yeraltısuu hdrolok çevrmn öneml bleşenlernden brdr. Yeraltısuu ntelğnn artırılması toprak ve su kanaklarının brlkte planlanması ve sızma le taşınan kmasalların etksnn belrlenmes gb nedenlerle eraltısuunun ncelenmes büük öneme sahptr. Bu ncelemeler çn genellkle modelleme öntem kullanılmaktadır. Bu tezde geçş bölgesndek akım karakterstklernn ncelenmes çn eraltısuu akımının k boutlu temel denklemnde hdrolk letkenlk katsaılarının harmonk artmetk ve geometrk ortalamaları kullanılmıştır. Bu denklem saısal öntemlerden br olan sonlu farklar öntem le değşken ve sabt grd aralıkları kullanılarak çözülmüştür. Sonlu farklar öntem mplst aklaşımla ele alınmıştır. Modelleme se MS EXCEL ve VISUAL BASIC le kod azılarak gerçekleştrlmştr. Saısal örnekler oluşturularak sonuçlar somut olarak değerlendrlmştr. Bu örneklerde hdrolk letkenlk katsaılarının ukarıda anılan ortalamaları le hesaplanmış sonuçlar arasında gerekl karşılaştırmalar apılmıştır. Anahtar elmeler: eraltısuu modellemes kısm dferansel denklemler sonlu farklar öntem elektronk tablolama hdrolk letkenlk Prof. Dr. all ARAAN Yard. Doç. Dr. A. Cem OÇ Yard. Doç. Dr. Al GÖGÖZ

7 v ABSTRACT NUMERICAL INVESTIGATION OF FLOW CARACTERISTICS OF BOUNDARY REGIONS IN ETEROGENEOUS SOILS Aba Onur M. Sc. Thess n Cvl Engneerng Supervsor: Prof. Dr. all ARAAN Jul Pages Groundwater s one of the sgnfcant components of hdrologc ccle. Eamnaton of groundwater s so mportant due to needs lke ncreasng qualt of groundwater combned plannng of sol and water resources and determnaton of harms of chemcals carred b seepage. Modelng s generall utlzed as a method for ths eamnaton. In ths thess to eamne the flow characterstcs of sol boundar regons harmonc arthmetc and geometrc means of hdraulc conductvtes were used n two dmensonal groundwater flow equaton. Ths equaton was solved wth both varable and constant grd dstances usng fnte dfference method whch s one of the numercal methods. Fnte dfference method was based on mplct algorthm. Modelng was made b wrtng code n MS EXCEL and VISUAL BASIC. Then numercal eamples were consttuted to evaluate the results more effectvel. In these eamples necessar comparsons were made between the results whch were calculated wth tpes of hdraulc conductvtes mentoned above. ewords: groundwater modelng partal dfferental equatons fnte dfference method spreadsheet hdraulc conductvt Prof. Dr. all ARAAN Asst. Prof. Dr. A. Cem OÇ Asst. Prof. Dr. Al GÖGÖZ

8 v İÇİNDEİLER Safa Tez Ona Safası... Teşekkür... Blmsel Etk Safası... Özet...v Abstract...v İçndekler...v Şekller Dzn...v Tablolar Dzn... Smgeler ve ısaltmalar Dzn.... GİRİŞ..... Genel Blgler..... Model avramı Saısal Yöntemler.... LİTERATÜR TARAMASI Yeraltısuu İle İlgl Temel Çalışmalar Düşe Yeraltısuu areketn İnceleen Çalışmalar Yata Yeraltısuu areketn İnceleen Çalışmalar YERALTISUYU AIMININ TEMEL DENLEMLERİ VE SONLU FARLAR YÖNTEMİ Yeraltısuu Akımının Temel Denklemler Sonlu Farklar Yöntem Doğrusal aklaşım Talor sers aklaşımı ve saısal hatalar Düzenl grd apısı Düzensz grd apısı MATEMATİSEL MODEL Matematksel Modeln urulması Merkez Fark Yaklaşımı Artmetk ortalamalar armonk ortalamalar Geometrk ortalamalar İteratf Çözüm SAYISAL UYGULAMALAR Saısal Ugulamalarda ullanılan Yöntem Örnek Örnek Örnek Örnek SONUÇ Modellemee İlşkn Sonuçlar...67

9 6.. Önerler...68 anaklar...70 Ekler...7 Özgeçmş...78 v

10 v ŞEİLLER DİZİNİ Safa Şekl 3. Sonlu farklar öntem... Şekl 3. Sonlu farklar öntem çn düzenl grd apısı...5 Şekl 3.3 Sonlu farklar öntem çn düzensz grd apısı...9 Şekl 4. Düzensz grd apısının hesap molekülü... Şekl 4. Ağırlıklı ortalamaların hesabında noktalar arası uzaklıklar...3 Şekl 5..a Analtk öntem çözüm safası Ör...38 Şekl 5..b Saısal öntem harmonk ortalama çözüm safası Ör...39 Şekl 5..c Saısal öntem artmetk ortalama çözüm safası Ör...40 Şekl 5..d Saısal öntem geometrk ortalama çözüm safası Ör...4 Şekl 5..a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör....4 Şekl 5..b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör Şekl 5.3.a Analtk öntem çözüm safası Ör Şekl 5.3.b Saısal öntem harmonk ortalama çözüm safası Ör Şekl 5.3.c Saısal öntem artmetk ortalama çözüm safası Ör Şekl 5.3.d Saısal öntem geometrk ortalama çözüm safası Ör Şekl 5.4.a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör Şekl 5.4.b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör Şekl 5.5 drolk letkenlk katsaısı değerler Ör Şekl 5.6 anak Ytk safası kuu debler Ör Şekl 5.7.a armonk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör Şekl 5.7.b Artmetk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör Şekl 5.7.c Geometrk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör Şekl 5.8.a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör Şekl 5.8.b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör Şekl 5.9 drolk letkenlk katsaısı değerler Ör Şekl 5.0.a armonk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör Şekl 5.0.b Artmetk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör Şekl 5.0.c Geometrk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör Şekl 5..a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör Şekl 5..b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör Şekl 5..c A-A kestnde değşm bölges cvarındak konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör Şekl 5..d B-B kestnde değşm bölges cvarındak konuma göre hdrolk ük değerler çzelgesör

11 TABLOLAR DİZİNİ Safa Tablo 5. Saısal ve analtk çözümün hata ölçütlerle karşılaştırılmasıör...37 Tablo 5. A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör...4 Tablo 5.3 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör...43 Tablo 5.4 Saısal ve analtk çözümün hata ölçütlerle karşılaştırılmasıör...44 Tablo 5.5 A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör Tablo 5.6 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör Tablo 5.7 A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör Tablo 5.8 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör Tablo 5.9 A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör Tablo 5.0 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör Tablo 6. Örnek ve Örnek arasında görel hataların karşılaştırılması...68

12 SİMGELER VE ISALTMALAR DİZİNİ önündek hdrolk letkenlk katsaısı m/gün önündek hdrolk letkenlk katsaısı m/gün zz z önündek hdrolk letkenlk katsaısı m/gün drolk ük m Q Deb m 3 /gün önünde grd aralığı m önünde grd aralığı m z z önünde grd aralığı m S s Özgül depolama katsaısı m - T İletmllk katsaısı m /gün drolk letkenlk katsaısı m/gün b Akfer kalınlığı m S Depolama katsaısı n Zaman adımı m İterason adımı a m nc terasondak hdrolk ük m obs Analtk çözümdek hdrolk ük değer m est Saısal çözümdek hdrolk ük değer m obs Anatk çözümdek hdrolk ük değerlernn ortalaması m L Eleman saısı

13 . GİRİŞ.. Genel Blgler Sulama ve ağış sonucu görülen sızma eraltısuu düzenn ükselmesne neden olmakta ve gübreler tarım laçları ve kmasallar sızıntı suları le taşınarak eraltısuunun ntelğn bozmaktadır. drolk düze farkları nedenle komşu akferlern eraltısuu düzelernde ve ntelklernde zaman çnde değşmeler görülmektedr. Anı zamanda eraltısuu düzenn aşırı arttığı kesmlerde toprak üzenden buharlaşma sonucu zemndek tuzluluk oranı artmakta ve toprağın verm azalmaktadır. Bu olumsuzlukları ortadan kaldırmak ve toprak su kanaklarının brlkte ve uzun sürel kullanımını sağlamak amaçları le çalışmalar ürütülmektedr. Fakat sstemlern eraltısuu düzenn zaman çndek değşmnn meteorolok koşullarla brlkte düşünülmeden tasarımı nşa edlmes ve şletlmes toprak ve su kanaklarının bell br süre sonunda etkn ve sürdürüleblr bçmde kullanımını engellemektedr. Toprak ve su kanaklarını meteorolok koşullar le brlkte değerlendrerek farklı şletme poltkalarına göre zamanla değşken olarak modellemek olanaklıdır. Bölece tümleşk entegre kanak önetm aklaşımı le farklı olaların akfer üstündek olası etkler önceden kestrlerek toprak ve su kanaklarının bütün olarak kullanımına önelk şletme poltkaları belrleneblmektedr arahan 997. Yukarıda anılan etknlkler ürütmek çn doğal br sürecn gerçek boutlarındak sonuçlarını gözlemleme öntem ugulanması zor br seçenektr. Anı zamanda bu sürecn nedenlern değştrmek vea etklemek olanaksıza akındır. Fakat anı sürecn modelnde oluşum parametrelern değştrmek eldedr.

14 .. Model avramı Model kavramı le blmsel ugulamalarda ve günlük aşamın brçok alanında karşılaşılmaktadır. Model gerçeğn bastleştrlmş durumunu temsl etmek çn tasarlanan br araçtır Wang ve Anderson 98. Benzer bçmde eraltısuu modeller de gerçeğn br temsldr ve bu modeller doğru kurulduklarında eraltısuu kanaklarının şletlmes ve önetm çn oldukça ararlıdır. Örneğn eraltısuu model kullanılarak çeştl önetm şemalarını denemek ve mutlak olaların etklern kestrmek olanaklıdır. Bu kestrmn doğruluğu modeln araz koşullarını ne kadar temsl ettğne bağlıdır. Bu nedenle araz verler kestrm amaçlı modeller çn temel gerekllktr. Yeraltısuu akışı modeller üç ana bölüme arılablr. Bunlar kum tankı modeller analog modeller ve matematksel modellerdr. um tankı modeller sıkışmaan gözenekl ve apısında su akışı bulunan br zemnle doldurulmuş br tank le oluşturulur. Analog modeller petrol gb daha vskoz akışkanların davranışının br katıdak ısı aılımının ve elektrk akımının ncelenmesne önelk temel fzk lkelerne daanan modellerdr. En çok kullanılan modeller se matematksel modellerdr. Bunlar sürekllk denklemne daanan ve kısm dferansel denklemlern belrl başlangıç ve sınır koşulları altında çözülmesn esas alan modellerdr. Başlangıç koşulları genelde t 0 olarak gösterlr ve denen vea gözlemn başladığı anda sstemn koşullarını temsl eder. Sınır koşulları se dene vea gözlem başladıktan sonra t > 0 anında sstemn sadece sınırlarındak koşullardır. Matematksel br model analtk ve saısal öntemler olarak k tür öntemle çözüleblr..3. Saısal Yöntemler Araz durumunun benzetm çn çok karmaşık olması durumunda br matematksel model oluşturmak ve bu model analtk olarak çözeblmek çn çoğu zaman bastleştrc varsaımlar apılır. Bu nedenle modeln gerçeğ temsl etme eteneğ ve buna bağlı olarak çözümün doğruluğu azalır. Örneğn brçok analtk çözüm ortamın homoen ve zotrop olduğu varsaımını gerektrr. Bu varsaım da doğada geçerl değldr.

15 3 Saısal öntemler analtk olarak çözülemeen matematksel modellerde çözümün doğrulunu artırma amacıla kullanılır. Yeraltısuu çn matematksel modeller 800 lü ıllardan ber kullanılmaktadır. 960 larda saısal blgsaarlar kullanılmaa başlanınca saısal modeller eraltısuu çalışmaları çn oldukça ugun modeller durumuna gelmştr. Başlıca saısal çözüm öntemler sonlu farklar öntem sonlu elemanlar öntem sınır elemanlar öntem ve spektral öntemler olarak sıralanablr. Bu tezdek çözümlerde sonlu farklar öntem kullanılmıştır. Saısal öntemler mplst ve eksplst olarak k aklaşım le çözüleblr. İmplst aklaşımda sstemn tüm noktaları eşzamanlı çözülür. İmplst öntemlern matematksel formülasonu ve blgsaarda programlanması eksplst aklaşıma göre daha zordur bellek gereksnm ve şlem süres fazladır. Buna karşı her durumda stabldrler. Eksplst aklaşımda se modeldek değerlern blndğ noktalardan ararlanılarak değerler blnmeen noktalar çözülür. Eksplst öntemlern formülasonu ve programlanması daha kola ve bellek gereksnm le şlem süres daha azdır. Fakat sadece küçük t zaman aralıkları çn stabldrler. Bu çalışmada gelştrlen matematksel modelde komşu zemnlere at farklı ata hdrolk letkenlk katsaılarının harmonk artmetk ve geometrk ortalamaları kullanılarak hdrolk ük değerler sonlu farklar öntem le hesaplanmıştır. Elde edlen hdrolk ük değerler saısal örnekler çersnde değerlendrlmştr.

16 4. LİTERATÜR TARAMASI.. Yeraltısuu İle İlgl Temel Çalışmalar 800 lü ıllarda Fransa da eraltısuu çalışmalarında öneml br gelşme sağlanmış dene ve gözlem amaçlı çok saıda artezen kuusu açılmıştır. 856 ılında mühends enr Darc Les Fontanes Publques de la Vlle de Don adlı ktabını aımlamıştır. Bu ktabın eknde Darc Yasası olarak blnen lke er almaktadır. Buna göre Darc aptığı br dz dene sonucunda verlen br kum çeşd çn debnn noktalar arasındak basınç farkı ve kest alan le doğru orantılı uzaklığın farkı le ters orantılı olduğunu göstermştr. Arsène Jules Etenne Duput 863 ılında Darc Yasası ndan ola çıkarak denge koşulları altındak br kuua olan su akışını tanımlaan br denklem türetmştr. 870 ılında Alman blmadamı Adolph Them Duput nn formülünü düzenlemştr. Bölece br kuudan pompa apılarak ve denge koşullarındak akın kuularda su düze alçalmasının gözlenmes le br akfern hdrolk özellklernn hesaplanması olanaklı duruma gelmştr. Yeraltısuu hdrolğ çn oldukça öneml ve sonrak blmsel çalışmalara öncülük etmş br dğer çalışma L.A. Rchards tarafından 93 de gerçekleştrlmştr. Rchards denklem dogun olmaan zemnlerdek su akışının benzetm çn kullanılmaktadır... Düşe Yeraltısuu areketn İnceleen Çalışmalar Çok tabakalı zemnlerde tabakalararası düşe eraltusuu hareketne lşkn zemn sınıfı nceleme alanının büüklüğü zemnn dogunluk durumu zemnn tabakalanma durumu ve bunların ncelenmesnde kullanılan öntemlere ve modellere önelk çalışmalar apılmıştır.

17 5 umlu zemnlern görel hdrolk letkenlğnn kestrmne lşkn br çalışma Ruan ve Illangasekare 999 tarafından gerçekleştrlmştr. Bu çalışmada Mualem 976 tarafından gelştrlmş br hdrolk letkenlk model ele alınmıştır. Laboratuvar koşullarında br kum sütunu denende Mualem modelnn kumlu zemnlern hdrolk letkenlğn temsl ettğ gösterlmştr. Özellkle kumlu zemnlere önelk dogun olmaan hdrolk letkenlk model gelştrlmştr. Bu modelde kum taneler ünform küreler olarak kabul edlmştr. Dogun olmaan akımların saısal benzetm çn bloklararası permeabltelern kestrmn Gasto vd 00 ele almıştır. Bu çalışmada Warrck 99 tarafından tanımlandığı gb bloklararası letkenlğ hesaplarken her zemn türü ve grd aralığı çn arı çzelgeler üretme gerektrmeen ve ağırlıklı değerler hesaplamada kullanılan bast br öntem verlmştr. Deneler Brooks ve Core 964 ve van Genuchten 980 hdrolk fonksonları kullanılarak sunulmuştur. Grd aralıklarının fazla olması durumunda ble bloklararası letkenlğ doğru hesaplamak çn kullanımı kola saısal algortmalar üretlmştr. Severno vd 003 zemn hdrolk letkenlklernn ortalamaları konusunda laboratuvar erne araz ölçeğnde çalışmıştır. Bu çalışmada araz ölçeğndek zemn letkenlğ eğrsn kalbre etmek çn gereksnm duulan hdrolk parametrelern değşkenlğn ölçmek çn br öntem verlmştr. drolk parametreler rastgele uza fonksonları olarak kabul eden br stokastk model Dagan ve Bresler n 979 akım tüpü aklaşımı benmsenerek türetlmştr. Dogun olmaan zemn hdrolk özellklernn nvers kestrm üzerne Btterlch vd. 003 tarafından br nceleme apılmıştır. İnvers öntemler genellkle saısal benzetml verlern ölçülmüş verlere ugulandığı ağırlıklı en küçük kareler aklaşımı nı kullanır. Anılan ncelemede nvers öntemler dogun olmaan zemn hdrolk özellklernn sürekl ve çok adımlı sütun deneler le belrlenmesnde kullanılmıştır.

18 6.3. Yata Yeraltısuu areketn İnceleen Çalışmalar Pratkte eraltısuunun atadak alansal hareket düşedek hareketne oranla daha belrgndr. Bu nedenle eraltısuunun atadak hareket de çok saıda aında ncelenmştr. Bu çalışmalardan bazıları aşağıda sıralanmaktadır. Freeze ve Wtherspoon 966 kararlı bölgedek eraltısuu akımı çn gelştrlmş br matematksel model kullanarak saısal ve analtk çözümler karşılaştırmıştır. Bu çalışmada saısal çözümün analtk çözüme olan avantaları belrtlmştr. Yne Freeze ve Wtherspoon 967 aptıkları sonrak çalışmada permeablte değşmnn ve su tablası apılandırmasının konfgürasonunun etksn ncelemştr. Basınçlı akferlerdek kararsız akıma sonlu farklar öntemnn mplst aklaşımı ugulanarak Bredehoeft ve Pnder 968 tarafından br saısal model gelştrlmştr. Anılan modelde düşe sızma düzensz sınır koşulları ve homoen olmaan akfer koşulları göz önüne alınmıştır. Modelden elde edlen sonuçlar bast geometrl akferlern analtk sonuçlarıla ve araz çalışmalarının sonuçlarıla karşılaştırılmıştır. Bredehoeft 969 daha önce aptığı çalışmaları da kapsaan br modelde sonlu farklar öntemn eraltısuu akımı denklemlerne ugulamıştır. Bu modelde ölçülmüş potansel verlerden letmllk katsaısı dağılımını hesaplamak çn sonlu farklar öntemnn kullanımı ncelenmş ve analog modellerle karşılaştırma apılmıştır. Talor ve Luthn 969 tarafından apılmış çalışmada akferlern zamana bağlı çözümlemes çn hesaplamalı blgsaar öntemler önerlmştr. Bu çalışmada sonlu farklar öntemnn serbest üzel akferdek alçalma çn doğru sonuçlar verdğ gösterlmştr. Bredehoeft ve Pnder 970 tarafından apılmış br başka çalışmada se çok akferl sstemler ele alınmıştır. Çok akferl eraltısuu sstemlernde alansal akımın saısal çözümlemesnn gerçekleştrldğ bu çalışmada sonlu fark öntem le çözüm apmak çn teratf ADIM alternatng drecton mplct method alternatf önlü mplst öntem kullanılmıştır. Anılan model basınçlı br tabaka ve k akfer çn üç boutlu olarak çözülmüştür.

19 7 Sızdırmalı ve sızdırmaz artezen koşullarındak heteroen akferlere lşkn çalışmalarında Prckett ve Lonnqust 97 br k ve üç boutlu ünform olmaan eraltısuu benzetm çn genel br blgsaar programı gelştrmştr. Arıca artezenden su tablasına dönüşüm buharlaşma üze suları eraltısuu haznes arası su değşm apa ve doğal beslenme hızı kuulardan değşken zamanlı çekm konularına da bu çalışmada er verlmştr. Darc asası ve kütlenn korunumu lkesnn dkkate alındığı sonlu fark modeller Gauss elmnason ok etme öntem ve teratf ADIM le arı arı çözülmüştür. Larson ve Trescott 977 anzotropk akım problemlernn çözümüne önelk etkl br mplst öntem gelştrmştr. Bu çalışmada test problemler çn farklı teratf öntemler gerektren hesaplamalar karşılaştırılmıştır. nzelbach 986 eraltısuu akımı ve çözünmüş madde taşınımına lşkn br model sunmuştur. Sonlu farklar ve sonlu elemanlar öntemlerne lşkn kodlar ve bu kodların ugulamaları verlmştr. apsamlı br çalışma Anderson ve Woessner 99 tarafından gerçekleştrlmştr. Anılan çalışma FLOWPAT MODPAT PAT-3D AQUIFEM N AQUIFEM ve MODFLOW azılımlarının kullanımını çermektedr. İk boutlu kararsız heteroen anzotrop ortamda eraltısuu krllğn önlemek amacıla İrfanoğlu 994 br çalışma apmıştır. Burada sabt grd aralıkları kullanılmış ve problem çözmek çn C dlnde br benzetm programı azılmıştır. İmplst algortma kullanılarak eraltısuu akımı ve krllk letm denklemler arı arı çözülmüştür. Çözümlerde Gauss ok etme öntem ve teratf ADIM kullanılmıştır. Yılmaz 999 bara altından sızma problemn ncelemştr. Problemn çözümünde sabt grd aralıkları kullanılmış k boutlu homoen zotrop kararlı eraltısuu akım denklem ETP elektronk tablolama programı le çözülmüştür. ETP çözümünde MS EXCEL azılımının döngüsel başvuru özellğnden ararlanılmıştır. Toprak dolgu baralarda görülen serbest üzel sızma Avaz 004 tarafından ele alınmıştır. Değşken grd aralıkları kullanılarak kararsız heteroen anzotrop ortamda

20 sızma olaına lşkn kısm dferansel denklem ETP kullanılarak ADIM le çözülmüştür. 8 Yeraltısuu akımının k boutlu modellenmesne lşkn çalışmalarında Gürarslan 005 Gürarslan ve arahan 006 br saısal model gelştrmştr. Zamana bağlı kısm dferansel denklem değşken zemn özellkler tanımlanarak düzensz sonlu fark hesap şeması le mplst çözülmüştür. Bu modeln olumlu anı Gauss Sedel terason şeması kullanılması ve bölece oğun matrs şlemlerne grlmemesdr. Arıca şlemler hızlandırmak çn SOR successve over relaon ardışık aşırı rahatlama teknğ seçlmştr. Bu modelde hdrolk ük değerler bakımından uumlu sonuçlar elde edlmştr. arahan ve Avaz 005 a saısal çözümler çn TGMSS tme-dependent groundwater modelng usng spreadsheet smulaton elektronk tablolama benzetm kullanarak zamana bağlı eraltısuu modellemes teknğn gelştrmştr. Bu geleneksel çözüm öntemler erne elektronk tablolamaı kullanan pratk br öntemdr. Anılan çalışmada düzensz akfer geometrs değşken sınır koşulları çekm ve/vea besleme değerler heteroen akfer parametreler hdrolk letkenlk özgül depolama katsaısı gb etmenlern TGMSS le kolaca değerlendrlebleceğ gösterlmştr. Modelde sonlu farklar öntem kullanılmış ve TGMSS le çözülen saısal örneklern sonuçları MODFLOW sonuçları le karşılaştırılarak aralarında tutarlılık olduğu gösterlmştr. Çözümde hdrolk letkenlk katsaılarının artmetk ortalamaları kullanılmıştır. arahan ve Avaz 005 b TGMSS modeln kullandıkları br başka çalışmada se zotropk heteroen akferde k boutlu Darc akışı sonlu farklar öntem le çözülmüş ve saısal ugulamalar verlmştr. TGMSS nn çözümler kolalaştırmadak etks gösterlmştr. Sonlu farklar öntemndek her elemanın orta noktası elektronk tablodak br hücre le eşleştrlmştr. Bu çözümde se hdrolk letkenlk katsaılarının harmonk ortalamaları kullanılmıştır. arahan vd 006 çeştl teratf algortmalar Gauss Sedel Red Black Blok Gauss Sedel İteratf ADI ve doğrudan br çözüm algortması ADI - Thomas algortması kullanarak k boutlu eraltısuu akımının modellemesnde teratf

21 öntemlern üstünlüğünü analtk br örnek üzernde doğrulamıştır. Modelde harmonk ortalama kullanılmıştır. 9 Yukarıda sıralanan çalışmaların çerklernden anlaşılacağı üzere lteratürde zemnlern hdrolk letkenlkler ve akış karakterstkler başlıkları altında toplanablecek çok saıda çalışma er almaktadır. Fakat farklı hdrolk özellklere sahp komşu zemnlerde bulunan noktalar arasındak letkenlklernn belrlenmes le lgl hesaplamalı aınlar azdır. Yan komşu zemnlern hdrolk letkenlk katsaılarının geçş araüzünde hdrolk letkenlk katsaısının davranışını nasıl etkleeceğ üzerne eternce çalışma bulunmamaktadır. Bu nedenle bu tezde farklı özellktek zemnler arasında hdrolk letkenlklern kestrm ve geçş bölgelerndek akım davranışı ncelenecektr.

22 0 3. YERALTISUYU AIMININ TEMEL DENLEMLERİ VE SONLU FARLAR YÖNTEMİ 3.. Yeraltısuu Akımının Temel Denklemler Doğal süreçlern ve fzksel olaların çözümlenmesnde matematksel aklaşımlara sıkça başvurulmaktadır. Matematksel olarak fade edleblen bu olalara lşkn denklemler de analtk vea saısal öntemler le çözülerek sonuca ulaşılmaktadır. Benzer bçmde eraltısuu akımı da Darc asası ve kütlenn korunumu lkesnn brlkte kullanımı le kısm dferansel denklem olarak türetlmştr. eteroen ve anzotrop br akferde sstemde kanak/tk olarak sadece kuu olması durumunda eraltısuu akımının üç boutlu dferansel denklem Q T T Tzz ± S z z. t 3. le tanımlanablr. 3. denklem anı zamanda eraltısuu akımının temel denklemdr. Anı koşullarda an heteroen ve anzotrop ortamda akımın k boutlu ncelenorsa z eksen göz önüne alınmaz. Bu durumunda akım denklem Q T T ± S. t 3..a bçmnde gösterleblr arahan vd a denklemnde letmllk katsaısı erne hdrolk letkenlk katsaısı kullanıldığında 3..b denklem elde edlr. Bu tez kapsamında akım k boutlu ncelenecektr.

23 Q ± Ss.. t 3..b Anzotrop zemnlerde hdrolk letkenlk katsaısı lern her eksen önündek değerler brbrnden farklıdır. Zemn zotrop kabul edlrse olacaktır. Buna göre zotrop ve heteroen zemnde akım denklem ± Q.. S s t 3.3 olur. eteroenlk ve homoenlk kavramları se hdrolk letkenlk katsaısı lern konuma bağlı olarak değşp değşmedğ le lgldr. omoen ortamlarda değerler sabttr an konumdan bağımsızdır ve türevn dışında er alır. eteroen br ortamda se değerler değşkendr an konuma bağlıdır ve türevn çnde gösterlr. Buna göre 3. denklem anzotrop ve homoen br ortamda 3.4 le gösterlr. Q ±.. S s t 3.4 Zemn zotrop kabul edlrse 3.4 denklemnde gb br değer alınablr. Daha sonra her k anı le bölünerek anı denklem zotrop ve homoen br ortamda 3.5 le gösterlr. Q ±... S s t a-b denklemler k boutlu akım çn doğal durumu en ansıtan denklemlerdr. Bu nedenle de blg-şlem süres bellek gereksnm ve çözüm duarlılığı ve 3.5 ten daha fazladır. Yapılan bastleştrmelern şlem süresn azaltmakta fakat gerçeğ temsl gücünü zaıflatmaktadır. alınlığı b olan basınçlı br akfern letmllk katsaısı T 3.6 da depolama katsaısı S 3.7 de verlmştr. Serbest üzel akferlerde b olduğundan T. dr. Arıca 3.6 ve

24 3.7 dan Ss/S/T olduğu blnmektedr. Bu nedenlerle 3.5 denklem başka br bçmde 3.8 dek gb gösterleblr. T b S S b s Q ±.. T S T t Sonlu Farklar Yöntem 3... Doğrusal aklaşım a b aralığında tanımlı br fonkson olsun. [ab] aralığı 0 a N b olacak bçmde elemanlara arılsın ve bu değerlerne karşılık gelen değerler {a b} olsun. nn değer genellkle bçmnde gösterlr. örneğn dferansel denklem gb bazı matematksel problemlern çözümü olarak blnen durumundaken değerler tam olarak hesaplanamaz ve bazı aklaşımların sonucu olarak verlr. Bu durumda { } n aklaşık değerdr ve olarak gösterlr. - farkı le gösterleblr ve bastleştrme amacıla b-a/n olarak sabt alınablr. Burada a* ve 0 N dr Şekl 3.. ger fark - ler fark merkez fark 0 - N Şekl 3. Sonlu farklar öntem

25 3 fonksonunun noktasındak. mertebeden türev d bu fonksona d noktasında teğet olan doğrunun eğmne eşttr Şekl 3. ve bu türev üç farklı oldan akınsar. noktasından kadar lerde olan noktası dkkate alınırsa k noktalı ler fark denklem 3.9.a azılır. İk nokta term ve olmak üzere k nokta azıldığından ler term se den sonra br nokta gereksnmnden kullanılır. d 3.9.a d noktasından kadar gerdek - noktası çn de k noktalı ger fark denklem 3.9.b azılablr. d d 3.9.b Üçüncü olarak den br öncek - ve den br sonrak noktaları göz önünde tutulursa üç noktalı merkez fark denklem 3.9.c azılır. d d 3.9.c 3.9.a-c denklemler üksek mertebeden türevlern sonlu fark göstermler çn gelştrleblr. Örneğn fonksonunun noktasındak knc mertebeden türev d d d d d d 3.0 d dr. 3.9.a-c de verlen d değerler 3.0 da erlerne konursa knc mertebeden türevler elde edlr. Buna göre 3.9.a ve 3.0 kullanılarak ler fark 3.0.a

26 d d d d d d d d d d d d 3.0.a 3.9.b ve 3.0 kullanılarak ger fark 3.0.b d d d d d d d d d d d d 3.0.b 3.9.c ve 3.0 kullanılarak merkez fark 3.0.c d d d d d d burada da erne / alınarak -/ ve / arı aralığında / / d d 3.0.c olarak elde edlr. 4

27 Talor sers aklaşımı ve saısal hatalar Doğrusal aklaşım görel olarak bast br çözümdür. Bu nedenle saısal öntemler çn aslında öneml olan akınsama hatalarını şleme katmamaktadır. Sonlu fark çözümler çn en duarlı ollardan br Talor sers aklaşımıdır Lam Düzenl grd apısı Yata aralıkları h düşe aralıkları k olan ve grd boutları brbrne eşt br düzenl grd sstem Şekl 3. de verlmştr. Adım boutu grd genşlğ vea grd boutu olarak adlandırılan h serlern akınsaması çn küçük seçlr. : k k k h h h Şekl 3. Sonlu farklar öntem çn düzenl grd apısı Br fonksonu cvarında h ve -h noktalarında Talor sersne açılırsa sırasıla hh h! h 3! a -h-h h! h 3! b

28 bulunur. Bu denklemler gösterm bastleştrmek çn k alt ndsl bçmde azılablr. alt nds önünü alt nds önünü göstermek üzere e bağlı türevler çn... 3!! h h h 3..a... 3!! h h h 3..b elde edlr. term 3..a ve 3..b de alnız bırakıldıktan sonra knc ve daha üksek mertebeden türevler çeren termler keslrse brnc mertebeden türev çn ler fark 3.3.a ve ger fark 3.3.b elde edlr. Serlern akınsaması çn h eternce küçük seçldğnden knc ve sonrak keslen termler brnc keslen termden daha küçüktür. Bu nedenle de keslen tüm termler brnc keslen termdek h nn mertebesnde azılır. Yakınsama hataları da kesme hataları olarak blndğ çn h nn mertebesndedr ve 0h olarak gösterlr.... 3!! 3 3 h h h 0 h h 3.3.a... 3!! 3 3 h h h 0 h h 3.3.b esme hataları aklaşık olarak h le orantılıdır. h arı değerne ndrlrse kesme hataları da aklaşık olarak arıa ner. Bu tür sonlu fark anlatımlarının brnc mertebeden doğruluğa sahp olduğu söleneblr. esme hatası fzksel olarak türevn tam değer le sonlu fark değer arasındak farkı belrtr. 6

29 7 Brnc mertebeden türevn merkez fark denklemn azmak çn 3..a ve 3..b düzenlenerek 3.3.c elde edlr. Bu denklemde kesme hatası 0h dr ve aklaşık olarak h le orantılıdır. 3 h... 3 h 3! h 0 h 3.3.c 3.3.c de görüldüğü üzere merkez fark aklaşımı knc mertebeden doğruluğa sahptr. Grd boutu h arıa ndrldğnde kesme hatası br önceknn /4 üne düşer. Bu nedenle merkez fark ler fark vea ger fark aklaşımlarından daha duarlı çözüm sağlar. Şekl 3. de de türev temsl eden gerçek eğme en akın aklaşımın merkez fark olduğu görülmektedr. İknc mertebeden türevn merkez farkını elde etmek çn 3.3.a ve 3.3.b düzenlenerek 3.3.d azılablr. Burada da kesme hatası 0h dr. 4 h... 4 h 4! 3.3.d h 0 h Anı mantıkla elde edlen önündek sonlu fark açılımları da 3.4 te verlmştr. İler fark aklaşımı k 0 k 3.4.a Ger fark aklaşımı k 0 k 3.4.b

30 8 Merkez fark aklaşımı k 0 k 3.4.c İknc mertebeden türev merkez fark aklaşımı k 0 k 3.4.d 3.3 ve 3.4 denklemler çözümlerde sıklıkla kullanılmaktadır. Fzksel problemlern çoğunda kısm dferansel denklemler knc mertebeden türevl olduğu çn üksek mertebeden türevlerde sonlu fark öntemnn kullanımı azdır. Doğruluğu daha fazla olan denklemler de fazla term çerdğnden ender kullanılırlar. Bunların erne doğruluğu daha az olan denklemler kullanıp nceleme alanını daha fazla grd aralığına bölerek anı duarlılık sağlanablr Düzensz grd apısı Ele alınan problemn koşullarının değşken olması durumunda sonucun duarlılığını artırmak çn grd boutlarının küçük seçlmes gerekmektedr. Bu durum se şlem süresn ve bellek gereksnmn artırmaktadır. İk öntemn enlemes le değşmn fazla olduğu erlerde küçük grd boutu seçlp dğer bölgelerde değşken ve düzenl artan br grd apısı ugulanablr. Bu nedenle de düzensz grd apısından söz edlmeldr. noktasından uzaklıkları önünde n - önünde h önünde m ve - önünde k kadar olacak br grd apısı ele alınsın. Burada h n ve m k dr Şekl 3.3. Brnc mertebeden türevler 3.3.a ler fark ve 3.3.b ger fark denklemlerne benzer bçmde azılarak düzensz grd apısı çn 3.5.a ler fark ve 3.5.b ger fark denklemler elde edlr.

31 Şekl 3.3 Sonlu farklar öntem çn düzensz grd apısı 0 n n 3.5.a 0 h h 3.5.b Merkez farkın elde edlme öntem se farklıdır ve enden Talor açılımı apılır:... 3!! n n n 3.6.a... 3!! h h h 3.6.b 3.6.a denklem h le 3.6.b denklem n le çarpıldıktan sonra h *3.6.a- n *3.6.b farkından düzensz grd apısı çn brnc mertebeden türevn merkez fark denklem 3.6.c bulunur. 0 hn n h hn n n h h 3.6.c İknc mertebeden türevn merkez farkı da h*3.6.an*3.6.b düzenlemes le 3.6.d bçmde azılır: k m h n : 9

32 ... 4! 3! h nh n h n n h h hn n h n 0 h n n h h hn n h n 3.6.d Düzensz grd apısında önüne at denklemler önüne benzer bçmde oluşturulur. Bu denklemler 3.7 de verlmştr. İler fark aklaşımı 0 m m 3.7.a Ger fark aklaşımı 0 k k 3.7.b Merkez fark aklaşımı 0 km m k km m m k k 3.7.c İknc mertebeden türev merkez fark aklaşımı 0 m k m k k km m k m 3.8.d 0

33 4. MATEMATİSEL MODEL 4.. Matematksel Modeln urulması eteroen anzotrop ortamda k boutlu eraltısuu akımının denklem Q.. S s t 4. olarak verlmşt. Bu bölümde 4. denklemn eraltısuu akım problemlernde sıkça kullanılan saısal öntemlerden br olan sonlu farklar öntem le çözmek çn br matematksel model gelştrlmştr. Sonlu farklar öntemnde değnldğ üzere Talor sers açılımında merkez fark aklaşımı knc mertebeden doğruluğa sahptr ve gerçeğ temsl gücü ler fark ve ger fark aklaşımlarından fazladır. Bu nedenle denklemn açılımında merkez fark aklaşımı kullanılmıştır. Arıca mplst aklaşım her durumda stabl olduğu çn eksplst aklaşım erne mplst aklaşım terch edlmştr. Sonlu farklar öntemnde doğal ortam üzerne br grd apısı kurulur ve eksen takımı seçlr. Sonuçların duarlılığını artırmak çn küçük grd aralıkları seçmek şlem süresn ve bellek gereksnmn artırmaktadır. Bu nedenle çözümde değşmn fazla olduğu kesmlerde küçük değşmn daha az olduğu kesmlerde genş grd aralıkları seçlmş ve düzensz grd apısı kullanılmıştır. Çözümde kullanılan düzensz grd apısının molekülü Şekl 4. de gösterlmştr. Grd apısındak çözüm noktası erleşmnde düğüm merkezl ve hücre merkezl öntemler agındır. ücre merkezl gösterm elektronk tablolama çn kolalık sağladığından çözümde bu öntem seçlmştr.

34 Şekl 4. Düzensz grd apısının hesap molekülü 4.. Merkez Fark Yaklaşımı 4. denklemnn mplst merkez sonlu fark açılımını apmak çn öncelkle bu denkleme at termler açılmalıdır. Buna göre 4. n termler / / [ ] [ ] / / 4. / / [ ] [ ] / / / / - - -/ /

35 3 Q Q.... n te n zaman adımını göstermektedr. Nonlneerlğ ortadan kaldırmak çn değer n erne n zaman adımında alınmıştır. S s n n S s 4.5 t t Brden fazla başlangıç koşulu tanımlamamak çn 4.5 n açılımı ger fark aklaşımı le apılmıştır. Geçş bölgesndek hdrolk ük değerlernn ve akımın davranışını belrleecek parametreler lern ortalamalarının hang öntemle seçleceğdr. Bu nedenle 4. ve 4.3 denklemlerndek / -/ / ve -/ termlernn açılımında değerlernn artmetk harmonk ve geometrk ağırlıklı ortalamaları kullanılmıştır. Beşnc Bölüm de bu ortalamalar kullanılarak elde edlen sonuçlar üzerne br değerlendrme apılacaktır. Ağırlıklı ortalamalar kavramı değşken grd apısından dolaı kullanılmıştır. Çünkü değşken grd apısı nedenle komşu noktalardak değerlernn ortalamalara etks anı olmaacaktır. Ağırlıklı ortalamalar hesaplanırken br eksen üstündek değerlerle brlkte bu değerler arasındak uzaklıklar da dkkate alınmaktadır. Ağırlıklı ortalamaların gösterm Şekl 4. de verlmştr. Yazımda ve anlatımda br kolalık sağlamak amacıla hdrolk letkenlk katsaılarının artmetk harmonk ve geometrk ağırlıklı ortalamaları kavramları buradan sonra kısaca sırasıla artmetk ortalamalar harmonk ortalamalar ve geometrk ortalamalar olarak adlandırılacaktır. - [-]/ []/ Şekl 4. Ağırlıklı ortalamaların hesabında noktalar arası uzaklıklar

36 4... Artmetk ortalamalar önünde / ve -/ termlernn artmetk ortalamaları / 4.6.a / 4.6.b olarak hesaplanır. 4.6.a ve 4.6.b denklemler 4. de erlerne azılırsa [ ] [ ]. [ ] [ ]. 4.6.c Burada [ ] aa. [ ] bb. olarak kısaltılırsa bb bb aa aa 4.6.d bulunur. 4

37 önünde / ve -/ termlernn artmetk ortalamaları / 4.7.a / 4.7.b olarak hesaplanır. 4.7.a ve 4.7.b denklemler 4.3 de erlerne azılırsa [ ] [ ]. [ ] [ ]. 4.7.c Burada [ ] cc. [ ] dd. olarak kısaltılırsa dd dd cc cc 4.7.d bulunur. 4.6.d 4.7.d 4.4 ve 4.5 denklemlernde bulunan termler 4. ana denklemnde zaman adımları da dkkate alınarak erlerne azılırsa 5

38 6 aa. n aa bb. n bb. n cc. n cc dd. n dd. n Q n n S s.. n t 4.8 S s aa bb cc dd. n t aa. n bb. n cc. n dd. n Q n n S s.. n t 4.9 Burada br kısaltma apmak amacıla S s aa bb cc dd ab t 4.0 Q n n S.. n t s ac 4. olarak gösterleblr. 4.9 da terason adımı m gösterlr blnmeen değer olan n alnız bırakılırsa m n [ aa. m n bb. m n cc. m elde edlr. n dd. m n ac]/ ab armonk ortalamalar Bu aklaşımda da artmetk ortalamalara benzer br ol zlenmştr. önünde / ve -/ termlernn harmonk ortalamaları

39 [ ] / 4.3.a [ ] / 4.3.b olarak hesaplanır. 4.3.a ve 4.3.b denklemler 4. de erlerne azılırsa [ ] [ ] [ ] [ ] 4.3.c Burada [ ] ee [ ] ff olarak kısaltılırsa ff ff ee ee 4.3.d bulunur. 7

40 önünde / ve -/ termlernn harmonk ortalamaları [ ] / 4.4.a [ ] / 4.4.b olarak hesaplanır. 4.4.a ve 4.4.b denklemler 4.3 de erlerne azılırsa [ ] [ ] [ ] [ ] 4.4.c Burada [ ] gg [ ] hh olarak kısaltılırsa hh hh gg gg 4.4.d bulunur. 8

41 4.3.d 4.4.d 4.4 ve 4.5 denklemlernde bulunan termler 4. ana denklemnde zaman adımları da dkkate alınarak erlerne azılırsa 9 ee. n ee ff. n ff. n gg. n gg hh. n hh. n Q n n S s.. n t 4.5 S s ee ff gg hh. n t ee. n ff. n gg. n hh. n Q n n S s.. n t dek termler S s ee ff gg hh ad t Q n n S.. n t s ae olarak kısaltılırsa azımda kolalık sağlanablr. 4.6 da n alnız bırakılırsa m n [ ee. m n ff. m n gg. m elde edlr. n hh. m n ae]/ ad Geometrk ortalamalar Geometrk ortalama aklaşımda da artmetk ve harmonk ortalamalara benzer br ol zlenmştr. önünde / ve -/ termlernn geometrk ortalamaları / / [ ]* [ ] / 4.0.a

42 [ ] [ ] / / * / 4.0.b dr. 4.0.a ve 4.0.b denklemler 4. de erlerne azılarak [ ] [ ] [ ] [ ] * * / / [ ] [ ] [ ] [ ] * * / / 4.0.c elde edlr. 4.0.c de [ ] [ ] [ ] AA * / / [ ] [ ] [ ] BB * / / bçmnde kısaltmalar apılırsa... BB BB AA AA 4.0.d bulunur. önünde / ve -/ termlernn geometrk ortalamaları [ ] [ ] / / * / 4..a [ ] [ ] / / * / 4..b 30

43 bulunur. 4..a ve 4..b denklemler 4.3 de erne azılırsa [ ] [ ] [ ] [ ] * / / [ ] [ ] [ ] [ ] * / / 4..c bulunur. Burada [ ] [ ] [ ] CC * / / [ ] [ ] [ ] DD * / / olarak kısaltılırsa... DD DD CC CC 4..d denklemne ulaşılır. 4.0.d 4..d 4.4 ve 4.5 denklemlerndek termler 4. ana denklemnde zaman adımları da dkkate alınarak erlerne azılırsa... n BB n BB AA n AA... n DD n DD CC n CC 3

44 t n n S n Q s n t S DD CC BB AA s.... n DD n CC n BB n AA t n n S n Q s tek termler AB t S DD CC BB AA s 4.4 AC t n n S n Q s olarak kısaltılablr. 4.3 de n alnız bırakılırsa.. [ n BB n AA n m m m AB AC n DD n CC m m ]/ elde edlr İteratf Çözüm ve 4.6 denklemlern çözmek çn teratf öntemler matrs öntemler vea bu öntemlern brleşm le elde edlen öntemler kullanılablr. Anılan öntemler kullanılırken olumlu ve olumsuz anları göz önünde tutulmalıdır. Matrs öntemlernn olumlu anları başlangıç değer terason parametres ve hata toleransı gerektrmemeler ve şlemler br kez apmalarıdır. Olumsuz anları se hesaplama süresnn ve bellek gereksnmlernn fazla olmasıdır. İteratf öntemlern olumlu anları depolama gereksnmnn ve hesaplama sürelernn az olmasıdır. Olumsuz 3

45 anları da başlangıç değer terason parametres hata toleransı ve koşullanmış br matrs apısı gerektrmelerdr Gürarslan Matrs öntemlernn ver depolama gereksnmlernn fazla olması nedenle eraltısuu çözümlemelernde teratf öntemlerle daha sık karşılaşılmaktadır. İteratf öntemler nokta ve blok olarak ke arılır. Nokta teratf öntemler eksplst blok teratf öntemler mplst karakterldr Ames 99. Yan sstemn genel çözümü mplst olmasına karşın teratf çözüm mplst vea eksplst karakterl olablr. İteratf şlemler çabuklaştırmak çn lteratürde Lusternk Atken Chebshev Eşlenk Eğm SOR gb teknkler bulunmaktadır. Bunların arasında SOR teknğ daha etkn çözüm sağladığı çn kullanımı daha agındır Gürarslan 005. Bunlara göre noktasında herhang br zaman adımında m nc terasondak hdrolk ük değer m nc terasondak hdrolk ük değer a le gösterlrse ve 4.6 denklemlerne lşkn Gauss-Sedel terason şemaları sırasıla [ aa. bb. a cc. dd. a ac] / ab a 4..a [ ee. ff. a gg. hh. a ae] / ad a 4.9.a [ AA. BB. a CC. DD. a AC] / AB a 4.6.a olarak azılır. Bu denklemlerde m nc terasonda blnen noktaların m nc terasonda blnmeen noktaların değerler kullanılmaktadır. Çözüm algortmasında 4..a 4.9.a ve 4.6.a denklemlernde a eps koşulu sağlandığında terason döngüsünden çıkılır ve br sonrak zaman adımına geçlr. Burada eps bell br tolerans değerdr. Yen zaman

46 adımına geçldğ anda ne terason döngüsü başlar ve her zaman adımında bu şlem nelenr. SOR teknğ le hızlandırma adımının denklem de 34 a * r a * r 4.7 olarak verlr Gürarslan 005 Gürarslan ve arahan 006 arahan vd 006. Lteratürde r katsaısı sınır koşulları ve sstem geometrs gb parametrelere bağlı olarak seçlmektedr. Bu tezdek saısal ugulamalarda Örnek ve Örnek de r8; Örnek 3 ve Örnek 4 te r5 değerler kullanılmıştır.

47 35 5. SAYISAL UYGULAMALAR 5.. Saısal Ugulamalarda ullanılan Yöntem Bu bölümde eraltısuu akımının temel denklem düzenl geometrde değşken ve sabt grd apısı kullanılarak analtk ve saısal öntemlerle çözülmüş ve bu çözümlern sonuçları karşılaştırılmıştır. Denklemn mplst açılımı nedenle karşılaşılan matrs şlemlernden kaçınmak çn teratf öntemlern kullanımı daha ugundur arahan vd 006. TGMSS modelnde arahan ve Avaz 005 mplst br aklaşım olan teratf ADIM kullanılmış ve bölece herhang br kod gerektrmeen stabl br çözüm teknğ elektronk tablolama programı oluşturulmuştur. Bu çalışmada se mplst sonlu farklar öntem le elde edlen denklem sstem teratf br teknk le VISUAL BASIC dlnde br kod azılarak çözülmüştür. Zamana bağlı k boutlu eraltısuu akım denklem değşken zemn koşullarına göre çözülmüştür. Bölece ver safalarında apılan herhang br değşklk anı anda çözüm safasına ve çözüm grafklerne ansıtılmaktadır. 5.. Örnek Gelştrlen saısal modeln doğruluğunu sınamak çn Örnek de eraltısuu akımı temel denklemnn saısal çözümü analtk çözümle karşılaştırılmıştır. Analtk öntem ele alınan problemn gerçek çözümünü vermektedr. esaplarda nceleme alanı * br dr. Bu alan 005 br olarak her k önde 0 eşt parçaa bölünerek çözümde sabt grd apısı kullanılmıştır. Maksmum terason saısı mater0000 maksmum hata toleransı eps özgül depolama katsaısı S s 00 maksmum hesap süres tma3600 gün hesap adımı dt3600 gün olarak alınmıştır.

48 36 ararlı eraltısuu akımına lşkn en bast denklem T. 0 dr. İletmllk katsaısı T olarak alındığı zaman bu denklemn analtk çözümü olarak verlmştr Lesnc ve dğ Buna göre Örnek çn azılan kodda lk olarak denklemdek ve değşkenlernn katsaılarına bağlı olarak değşen ler çeren analtk çözüm safası düzenlenmştr. Bu katsaılar a; b0; c04; d05 olarak alınmıştır. Saısal çözümler se Dördüncü Bölüm de tanımlanan ve hdrolk letkenlk katsaılarının artmetk harmonk ve geometrk ortalamalarına bağlı olarak hücre merkezl olarak apılmıştır. Çözüm safasında bu üç ortalama çn brer hesap butonu er almaktadır. er br ortalamaa at buton le çözüm safasında değerler ve grafkler elde edlmektedr. odda arıca depolama katsaısı % görel hata % RE ve hdrolk letkenlk katsaısı safaları bulunmaktadır. Saısal çözüm algortmasının kullandığı hdrolk letkenlk katsaısı değerler de ukarıda verlen a b c d katsaılarına bağlı olarak fonksonel br değşm göstermektedr Ek. Analtk ve saısal sonuçlar arasında karşılaştırma apmak çn ararlanılan bazı hata ölçütlernn tanımları aşağıda verlmştr. L Ortalama Mutlak ata Mean Absolute Error: MAE obs est L 5. ata arelernn Ortalaması Mean Square Error: MSE L L obs est 5. 3 ata arelernn Ortalamasının arekökü Root Mean Square Error: RMSE L L obs est 5.3

49 37 4 Düzeltlmş Vermllk atsaısı Modfed Coeffcent of Effcenc: E L obs est 5.4 obs L obs te verlen termlern açılımları: obs : Analtk çözümdek hdrolk ük değer est : Saısal çözümdek hdrolk ük değer obs : Analtk çözümdek hdrolk ük değerlernn ortalaması L: Eleman saısı Çözümde ukarıdak hata ölçütler le apılan karşılaştırmada saısal öntem le analtk öntem arasında en küçük hata mktarı geometrk ortalamada görülmüştür Tablo 5.. Arıca saısal öntemdek harmonk artmetk ve geometrk ortalamaların sonuçları analtk öntemn sonuçları le aklaşık anı değerler vermştr. Bu durum saısal modellemenn doğruluğunu göstermektedr Şekl 5..a-d. Analtk ve saısal çözüm safalarında 050 çn önünde A-A ve 050 çn önünde B-B kestler alınmıştır. Bu kestlerde çözüme lşkn hdrolk ük değerler konuma bağlı olarak çzelge Tablo 5. Tablo 5.3 ve grafk Şekl 5..a Şekl 5..b bçmnde verlmştr. Vrgülden sonrak basamak saısı artırıldığında da analtk çözüme en akın değerler geometrk çözümün verdğ görülmektedr. Bu durum en az hata mktarı le geometrk çözümde karşılaşılmasını doğrulamaktadır. Tablo 5. Saısal çözüm ve analtk çözümün hata ölçütlerle karşılaştırılması Ör. RMSE MAE MSE E r %RE MAX %RE ORT.O 387E-05 64E-04 49E-09 00E E-03 80E-03 A.O 385E E-04 48E-09 00E E-03 84E-03 G.O 46E E E- 00E E-03 37E-04 Tablo 5. de r korelason katsaısını göstermektedr.

50 B A A Şekl 5..a Analtk öntem çözüm safası Ör. B 38

51 B A Şekl 5..b Saısal öntem harmonk ortalama çözüm safası Ör. B 39

52 B A A Şekl 5..c Saısal öntem artmetk ortalama çözüm safası Ör. B 40

53 B A A Şekl 5..d Saısal öntem geometrk ortalama çözüm safası Ör. B 4

54 4 Tablo 5. A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. ANALİTİ ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ Analtk armonk Artmetk Geometrk Şekl 5..a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör.

55 43 Tablo 5.3 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. ANALİTİ ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ Analtk armonk Artmetk Geometrk Şekl 5..b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör.

56 Örnek Örnek de elde edlen değerler pratk değerlerden küçüktür. Örnek de ler gerçeğe aklaştırmak çn lteratürde verlmş olan ve Örnek de kullanılan a b c d katsaıları /50 oranında küçültülmüştür. Yen katsaılar a00; b0004; c0008; d0003 olarak seçldğ çn denklem gereğ değerler artırılarak gerçeğe aklaştırılmıştır. Arıca T denklem gereğ letmllk azalmıştır. Bu durumda elde edlen en hdrolk letkenlk katsaısı değerler Ek de verlmştr. Bunun dışında Örnek de zlenen öntem Örnek dek le anıdır. esaplarda nceleme alanı * br dr. dd005 br olarak her k önde 0 şer eşt parçaa bölünmüştür ve sabt grd apısı le çözüm apılmıştır. Maksmum terason saısı mater0000 maksmum hata toleransı eps özgül depolama katsaısı S s 00 maksmum hesap süres tma3600 gün hesap adımı dt3600 gün olarak alınmıştır. esaplama sonucu saısal çözümün en küçük hata mktarı ne geometrk ortalamada görülmüştür Tablo 5.4. Gerçeğe akın değerler le şlem apıldığında görel maksmum hata mktarları Örnek e göre azalmaktadır. Saısal öntemdek harmonk artmetk ve geometrk ortalamaların sonuçları analtk öntemn sonuçları le aklaşık anı değerler vermştr. Bu durum saısal modellemenn doğruluğunu göstermektedr Şekl 5.3.a-d. Analtk ve saısal çözüm safalarında 050 çn önünde A-A ve 050 çn önünde B-B kestler alınmıştır. Bu kestlerde çözüme lşkn hdrolk ük değerler konuma bağlı olarak çzelge Tablo 5.5 Tablo 5.6 ve grafk Şekl 5.4.a Şekl 5.4.b bçmnde verlmştr. Bu örnekte de analtk çözüme en akın değerler geometrk çözüm vermektedr. Bu durum en az hata mktarı le geometrk çözümde karşılaşılmasını doğrulamaktadır. Tablo 5.4 Saısal çözüm ve analtk çözümün hata ölçütlerle karşılaştırılması Ör. RMSE MAE MSE E r %RE MAX %RE ORT.O 93E-03 3E-0 37E-06 00E E-03 8E-03 A.O 9E-03 3E-0 370E-06 00E E-03 8E-03 G.O 343E-06 40E-05 8E- 00E E-05 77E-06

57 B A A Şekl 5.3.a Analtk öntem çözüm safası Ör. B 45

58 B A A Şekl 5.3.b Saısal öntem harmonk ortalama çözüm safası Ör. B 46

59 B A A Şekl 5.3.c Saısal öntem artmetk ortalama çözüm safası Ör. B 47

60 B A A Şekl 5.3.d Saısal öntem geometrk ortalama çözüm safası Ör. B 48

61 49 Tablo 5.5 A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. ANALİTİ ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ Analtk armonk Artmetk Geometrk Şekl 5.4.a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör.

62 50 Tablo 5.6 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. ANALİTİ ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ Analtk armonk Artmetk Geometrk Şekl 5.4.b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör.

63 Örnek 3 Örnek ve Örnek de hdrolk letkenlk katsaısı değerler bell br fonksona göre değşm göstermektedr. Doğada se bu durumla karşılaşmak olanaksızdır. Zemnlern hdrolk letkenlk katsaıları an değşmler göstereblmektedr. Bu nedenle bu örnekte farklı br ol zlenmştr. Örnek 3 te nceleme alanı çn hdrolk letkenlk safasında 5 m/gün 5 m/gün 3 35 m/gün 4 30 m/gün 5 40 m/gün ve 6 50 m/gün olmak üzere altı farklı hdrolk letkenlk katsaısı tanımlanmıştır Şekl 5.5. Maksmum terason saısı mater000 hata toleransı eps0000 özgül depolama katsaısı S s 00 maksmum hesap süres tma3600 gün hesap adımı dt3600 gün olarak alınmıştır. İnceleme alanı değşken grd apısında çözülmüş ve uzunluklar önünde 3800 m önünde 650 m seçlmştr. anak Ytk safasında üç adet besleme ve pompa kuusunun debler Q Q 3 43 m 3 /gün tk ve Q 864 m 3 /gün kanak seçlmştr. Bu kuuların erleşm Şekl 5.6 da gösterlmştr. Çözüm safasında saısal önteme at harmonk artmetk ve geometrk ortalamalar çn üç farklı buton atanmıştır. Bu butonlar kend ortalama aklaşımları le lgl sonuçları azdırmaktadır. armonk artmetk ve geometrk ortalamalara lşkn çözüm safaları sırasıla Şekl 5.7.a-c de verlmştr. uuların bulunduğu noktadan geçecek bçmde alınan sırasıla önünde A-A ve önünde B-B kestlerndek hdrolk ük değerlernn değşm çzelge Tablo 5.7 Tablo 5.8 ve grafk Şekl 5.8.a Şekl 5.8.b olarak verlmştr. Burada görüldüğü üzere harmonk artmetk ve geometrk ortalamalarla elde edlen sonuçlar brbrne oldukça akındır.

64 Şekl 5.5 drolk letkenlk katsaısı değerler Ör. 3 5

65 Şekl 5.6 anak Ytk safası kuu debler Ör. 3 53

66 B A A Şekl 5.7.a armonk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör. 3 B 54

67 B A A Şekl 5.7.b Artmetk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör. 3 B 55

68 B A A Şekl 5.7.c Geometrk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör. 3 B 56

69 57 Tablo 5.7 A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. 3 ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ armonk Artmetk Geometrk Şekl 5.8.a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör. 3

70 58 Tablo 5.8 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. 3 ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ armonk Artmetk Geometrk Şekl 5.8.b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör. 3

71 Örnek 4 Geçş bölgesndek hdrolk ük değerlernn değşmn daha ncelemek çn Örnek 4 te hdrolk letkenlk katsaısı 5 00 m/gün olarak değştrlmştr. Bölece hesapta umuşak geçş ve an geçş erne aşırı an geçş kullanılmıştır. Buna göre hdrolk letkenlk safasında 5 m/gün 5 m/gün 3 35 m/gün 4 30 m/gün 5 00 m/gün ve 6 50 m/gün olarak hdrolk letkenlk katsaıları tanımlanmıştır Şekl 5.9. Bunların dışında terason saısı hata toleransı özgül depolama katsaısı maksmum hesap süres hesap adımı değşken grd apısı değerler kanak-tk kuu debler ve erleşmler le çözüm öntem Örnek 3 le anıdır. armonk artmetk ve geometrk ortalamalara lşkn çözüm safaları sırasıla Şekl 5.0.a-c de verlmştr. Yne kuuların bulunduğu noktadan geçecek bçmde sırasıla önünde A-A ve önünde B-B kestler alınmıştır. drolk ük değerlernn değşm çzelge Tablo 5.9 Tablo 5.0 ve grafk Şekl 5..a Şekl 5..b olarak verlmştr. Arıca geçş bölgesndek değşm daha ansıtmak çn 5 00 m/gün olan bölge cvarındak önünde m ve önünde m arası hdrolk ük değerler grafğ Şekl 5..c ve Şekl 5..d de verlmştr. Örnek 4 ün çözümü sonucunda zemndek hdrolk letkenlk katsaıları arasında umuşak erne aşırı an geçş olması durumunda geçş bölgesndek hdrolk ük davranışı daha belrgn gözlemlenmştr. Aşırı artırılmış değernden küçük değerlerne geçşte grafktek eğrler brbrlerne enden akınlaşmaktadır Şekl 5..c ve Şekl 5..d. Anı geçş bölgesnde geometrk ortalama le hesaplanan hdrolk ük değerler artmetk ortalama le hesaplanandan küçük harmonk ortalama le hesaplanandan büüktür. Dolaısıla geometrk ortalamanın eğrs dğer ksnn ortasındadır.

72 Şekl 5.9 drolk letkenlk katsaısı değerler Ör. 4 60

73 B A A Şekl 5.0.a armonk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör. 4 B 6

74 B A A Şekl 5.0.b Artmetk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör. 4 B 6

75 B A A Şekl 5.0.c Geometrk ortalama çn hdrolk ük değerler Ör. 4 B 63

76 64 Tablo 5.9 A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. 4 ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ armonk Artmetk Geometrk Şekl 5..a A-A kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör. 4

77 65 Tablo 5.0 B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. 4 ARMONİ ARİTMETİ GEOMETRİ armonk Artmetk Geometrk Şekl 5..b B-B kestnde konuma göre hdrolk ük değerler grafğ Ör. 4

78 armonk Artmetk Geometrk Şekl 5..c A-A kestnde değşm bölges cvarındak konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör armonk Artmetk Geometrk Şekl 5..d B-B kestnde değşm bölges cvarındak konuma göre hdrolk ük değerler çzelges Ör. 4

79 67 6. SONUÇ 6.. Modellemee İlşkn Sonuçlar Bu bölümde tez kapsamında gerçekleştrlmş çalışmaların sonuçları özetlenmştr. Daha sonra sonuçların blmsel çalışmalarda ve ugulamada kullanılmasına önelk önerler sunulmuştur. Tezde geçş bölgesndek akım karakterstklernn ncelenmes çn k boutlu eraltısuu akımı temel denklemnn saısal çözümünde hdrolk letkenlk katsaılarının harmonk artmetk ve geometrk ortalamaları kullanılmıştır. Saısal çözümün analtk çözüm le karşılaştırılması çn saısal örnekler türetlerek sonuçların daha değerlendrlmes sağlanmıştır. Örnek de eraltısuu akımının Lesnc vd 998 tarafından verlmş olan analtk çözümü saısal çözümle karşılaştırılmıştır. Analtk çözümde zemn hdrolk letkenlkler bell sabt saılara bağlı olarak fonksonel bçmde değşmektedr. Saısal çözümde anı hdrolk letkenlklern harmonk artmetk ve geometrk ortalamaları kullanılmıştır. Analtk ve saısal çözümlerde aklaşık anı sonuçlar bulunmuştur. Bölece kurulan matematksel modeln saısal öntemle çözümünün doğruluğu gösterlmştr. Bu karşılaştırmada kullanılan hata ölçütlernn tümü çn en küçük hata mktarı le geometrk ortalamada karşılaşılmıştır. Dolaısıla analtk çözüme en akın sonucu geometrk ortalama vermektedr. Örnek de se analtk öntem çn Örnek de verlen sabt saılar küçültülerek değerler artırılmıştır. Burada amaç gerçeğe daha akın değerler le şlem apmaktır. Bunun dışında Örnek dek le anı ol zlenmştr. Sonuçlarda analtk ve saısal çözümler aklaşık anı değerler vermştr. En küçük hata le ne geometrk ortalamada

80 karşılaşılmıştır. Arıca gerçeğe aklaştırılmış değerler söz konusu olduğunda görel maksmum hata mktarları Örnek e göre azalmıştır Tablo Tablo 6. Örnek ve Örnek arasında görel hataların karşılatırılması %RE MAX ÖR ÖR Azalma Oranı %.O 853E-03 59E A.O 706E-03 55E-03 6 G.O 439E-03 87E Örnek 3 te analtk öntemden bağımsız br ol zlenerek sadece saısal öntemde kullanılan ortalamaların etks zlenmştr. İnceleme alanında 6 adet farklı hdrolk letkenlk katsaısı tanımlanmıştır. Bölece doğal durumda daha sık karşılaşılan an hdrolk letkenlk katsaısı değşmler modellenmştr. İnceleme alanında ve önlernde kestler alınmıştır. armonk artmetk ve geometrk ortalamalar brbrne çok akın değerler vermştr. Geçş bölgesndek hdrolk ük değerlernn değşmn daha ncelemek çn Örnek 4 te hdrolk letkenlk katsaıları arasında aşırı an geçş kullanılmıştır. Yne sadece saısal öntemler le apılan çözümde harmonk artmetk ve geometrk ortalamalar brbrne akın değerler vermştr. Arıca aşırı artırılmış değernden daha küçük değerlerne geçşte geometrk ortalama le hesaplanan değerler artmetk ortalamadan küçük ve harmonk ortalamadan büük kalmıştır. 6.. Önerler Yeraltısuu akımı ncelenrken matematksel modeller gelştrmek daha kısa sürede çözüme ulaşmak çn terch edleblr. Matematksel modeller oluşturulurken doğal zemn koşullarının modele doğru bçmde aktarılmasının çözümün duarlılığını artıracağı ve sonucu gerçeğe aklaştıracağı unutulmamalıdır. Problem koşullarının bastleştrlmes çn apılan kabuller şlem süresn azaltmasına karşın çözümü gerçekten uzaklaştırmaktadır. Matematksel modellern saısal öntemler le çözümünde klask aklaşımlar erne elektronk tablolama öntem kullanılablr. Elektronk tablolardak br hücre saısal

81 69 öntemdek br nokta le eşleştrlerek çözümde kolalık sağlanmaktadır. Arıca elektronk tablolamada düzensz akfer geometrs değşken sınır koşulları çekm ve besleme değerler ve hdrolk letkenlk özgül depolama katsaısı gb akfer parametreler kolaca tanımlanablmekte ve bunlardan herhang brnde apılacak değşklğn çözümdek etks anında zleneblmektedr. Sonuçlar çzelge grafk vea kontur olarak verleblmekte bölece sunumlarda anlatım kolalığı sağlanmaktadır. drolk letkenlk özellkler farklı olan komşu zemnler arasında eraltısuu akımı ncelenrken saısal öntemlerden ararlanılablr. Saısal öntemde hdrolk letkenlk katsaılarının geometrk ortalaması analtk önteme çok akın değerler vermektedr. Analtk öntem le saısal öntem arasındak en küçük görel hata le saısal öntemde hdrolk letkenlklern geometrk ortalaması kullanıldığında karşılaşılmaktadır. Bu tez kapsamında ncelenen örneklerde geçş araüzlerndek davranışı en bçmde geometrk ortalamanın ansıttığı görülmüştür.

82 70 AYNALAR Ames W. F. 99 Numercal Methods for Partal Dfferental Equatons Academc Press New York 45 s. Anderson M. P. and Woessner W. W. 99 Appled Groundwater Modelng: Smulaton of Flow and Advectve Transport Academc Press San Dego 38 s. Avaz M. T. 004 Serbest Yüzel Sızma Problemlernn Çözümü Içn Pratk Br Yaklaşım Yüksek Lsans Tez Anadolu Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Eskşehr 9 s. Btterlch S. Durner W. Iden S. C. nabner P. 003 Inverse Estmaton of the Unsaturated Sol draulc Propertes from Column Outflow Eperments Usng Free-Form Parameterzatons. Vadose Zone Journal OL Bredehoeft J. D. 969 Fnte Dfference Appromaton to the Equatons of Groundwater Flow. Water Resources Research Vol. 5. Bredehoeft J. D. and Pnder G. F. 968 Applcaton of the Dgtal Computer for Aqufer Evaluaton. Water Resources Research Vol. 45. Bredehoeft J. D. and Pnder G. F. 970 Dgtal Analss of Aral Flow n Multaqufer Groundwater Sstems: A Quas Three Dmensonal Model. Water Resources Research Vol Brooks R.. and Core A. T. 964 draulc Propertes of Porous Meda. drol. Pap. 3 Colorado State Unverst Fort Collns. Dagan G. and Bresler E. 979 Solute Dsperson n Unsaturated eterogeneous Sols at Feld Scale Theor. Sol Scence Socet of Amerca Journal Freeze R. A. and Wtherspoon P. A. 966 Theoretcal Analss of Regonal Groundwater Flow : Analtcal and Numercal Solutons to the Mathematcal Model. Water Resources Research Vol Freeze R. A. and Wtherspoon P. A. 967 Theoretcal Analss of Regonal Groundwater Flow : Effect of Water-Table Confguraton and Subsurface Permeablt Varaton. Water Resources Research Vol Gasto J. M. Grfoll J. Cohen Y. 00 Estmaton of Internodal Permeabltes for Numercal Smulaton of Unsaturated Flows. Water Resources Research 38 Gürarslan G. 005 Düzensz Sonlu Fark esap Şeması ullanarak İk Boutlu Yeraltısuu Akımının Modellenmes Yüksek Lsans Tez Pamukkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü 65 s. Gürarslan G. arahan. 006 Düzensz Sonlu Fark esap Şeması ullanılarak Zamana Bağlı İk Boutlu Yeraltısuu Modellemes Yednc Uluslararası İnşaat Mühendslğnde Gelşmeler ongres İstanbul baskıda. İrfanoğlu B. 994 Yeraltısuunda rllğn Nümerk Smülasonu Yüksek Lsans Tez Orta Doğu Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Ankara 06 s. arahan. 997 Yüzesel Su Yeraltısuu İlşksnn Üç Boutlu Matematk Modellemes İnşaat Mühendslğnde Gelşmeler III. Tenk ongre Ankara s

83 arahan. and Avaz M. T. 005 a Transent Groundwater Modelng Usng Spreadseets. Advances n Engneerng Software arahan. and Avaz M. T. 005 b Tme-Dependent Groundwater Modelng Usng Spreadsheet. Wle Perodcals Inc. Comput. Appl. Eng. Educ arahan. Gürarslan G. Avaz M.T. 006 Yeraltısuu Modellemesnde İteratf ve Doğrudan Çözüm Algortmalarının arşılaştırılması Yednc Uluslararası İnşaat Mühendslğnde Gelşmeler ongres İstanbul baskıda. nzelbach. 986 Groundwater Modelng: An Introducton wth Sample Programs n BASIC Elsever New York 333 s. Lam C. Y. 994 Appled Numercal Methods for Partal Dfferental Equatons Prentce all Sngapore 6 s. Larson S. P. and Trescott P. C. 977 Soluton of Water-Table and Ansotropc Flow Problems b Usng the Strongl Implct Procedure. Journal Research of U. S. Geologcal Surve Lesnc D. Ellot L. Ingham D. B. 998 A Boundar Element Method for the Determnaton of the Transmssvt of A eterogeneous Aqufer n Groundwater Flow Sstems. Engneerng Analss wth Boundar Elements Mualem Y. 976 A new Model for Predctng the draulc Conductvt Unsaturated Porous Meda. Water Resources Research Prcket T. A. and Lonnqust G. 97 Selected Dgtal Computer Technques for Groundwater Resource Evaluaton Illnos State Water Surve Bulletn 55 6 s. Ruan. and Illangasekare T Estmaton of Relatve draulc Conductvt of Sand Sols Based on A Sheet Flow Model. Journal of drolog Severno G. Santn A. Sommella A. 003 Determnng the Sol draulc Conductvt b Means of A Feld Scale Internal Dranage. Journal of drolog -5. Talor G. S. and Luthn J. N. 969 Computer Methods for Transent Analss of Water-Table Aqufers. Water Resources Research Vol. 5. van Genuchten M. T. 980 A Closed-Form Equaton for Predctng the draulc Conductvt of Unsaturated Sols. Sol Scence Socet of Amerca Journal Wang. F. and Anderson M. P. 98 Introducton to Groundwater Modelng: Fnte Dfference and Fnte Element Methods Academc Press San Dego 37 s. Warrck A. W. 99 Numercal Appromaton of Darcan Flow Through Unsaturated Sol. Water Resources Research Yılmaz. 999 Elektronk Tablolama Yöntem le Yeraltı Su Akımının İncelenmes Yüksek Lsans Tez. İstanbul Teknk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü İstanbul 66 s. 7

84 ELER 7

85 Ek Analtk ve saısal öntemlerde kullanılan hdrolk letkenlk katsaısı değerler Ör. 73

86 Ek Analtk ve saısal öntemlerde kullanılan hdrolk letkenlk katsaısı değerler Ör. 74

87 Ek 3 Özgül depolama katsaısı değerler tüm örnekler çn 75

88 Ek 4 Çözüm tablosunun şematk gösterm 76