BULANIK MODELLEME YAKLAŞIMININ TENÖR KESTİRİMİNDE KULLANILMASI ABSTRACT

Transkript

1 BULANIK MODELLEME YAKLAŞIMININ TENÖR KESTİRİMİNDE KULLANILMASI Use of Fuzzy Modelng Approach n Grade Estmaton MADENCİLİK, Clt 45, Sayı, Sayfa 39-47, Hazran 6 Vol.45, No., pp 39-47, June 6 Bülent TÜTMEZ (*) A. Erhan TERCAN (**) ÖZET Tenör kestrm madenclk yatırım ve projelernn gelştrlmesnde büyük br önem taşır. Bu çalışmada tenör kestrmne bulanık mantık yaklaşımı tanıtılmış ve yaklaşım Karsantı (Adana) krom yatağından elde edlen verlere uygulanmıştır. Uygulamada Takag-Sugeno tp bulanık modelleme yordamı kullanılmıştır. Bulanık model, sırasıyla verlern kümelenmes, kural sstemnn oluşturulması ve parametre optmzasyonu aşamalarını zlemektedr. Esnek ve şeffaf br model yapısı kullanılarak elde edlen kestrm değerler ölçülen tenör değerler le karşılaştırılmış ve kestrmlern başarısı test edlmştr. Anahtar Sözcükler: Bulanık Mantık, Bulanık Modelleme, Kümeleme, Tenör Kestrm. ABSTRACT Grade estmaton has a great mportance n developng mnng nvestment and projects. In ths study, fuzzy logc approach to grade estmaton s ntroduced and the approach s appled to the data obtaned from the Karsantı (Adana) chromum depost. In the applcaton, Takag-Sugeno fuzzy modellng algorthm s used. The fuzzy model follows the steps of clusterng, constructon of rule based system and parameter optmzaton. Estmated values obtaned by usng a flexble and transparent model structure are compared wth actual grade values and the success of the estmaton s tested. Keywords: Fuzzy Logc, Fuzzy Modelng, Clusterng, Grade Estmaton. (*) Dr., İnönü Ünverstes, Maden Mühendslğ Bölümü, 448 Malatya, btutmez@nonu.edu.tr (**) Prof.Dr., Hacettepe Ünverstes, Maden Mühendslğ Bölümü, 653, Ankara

2 . GİRİŞ Tenör kestrm yen maden yataklarının şletmeye alınmasında ve yatırım planlamasında öneml br rol oynar. Tenör kestrmnde geleneksel yöntemler olarak belrtleblecek geometrk hesaplama teknklerne ek olarak son yıllarda jeostatstksel kestrm yöntemler de yaygın olarak kullanılmaktadır. Krgng gb jeostatstksel kestrm yöntemler (Goovaerts, 997) başarılı kestrm yapmalarına karşın bazı sakıncalar çermektedr. Dehl (997), Bardossy ve Fodor () jeostatstksel yöntemlern eksklklern detaylı olarak ortaya koymuştur. Bunlardan en önemller, ver sayısı az olduğunda anlamlı varogram modellernn oluşturulamaması ve kestrm teknğnn esnek olmamasıdır. Son yıllarda özellkle esnek hesaplama (soft computng) ve yapay zeka teknklerndek hızlı gelşmeler bu yöntemlern farklı alanlarda genş br kullanım alanı bulmasına yol açmıştır. Esnek hesaplama teknklernden br ve en etkn bulanık mantık da; kaya mekanğ (Grma ve Babuska, 999; Gokceoglu, ; Gokceoglu ve Zorlu, 4; Karakus ve Tutmez, 6), açık ocak ekpman seçm (Kesmal ve Bascetn, ) gb alanlara uygulanmış ve başarlı sonuçlar alınmıştır. Benzer şeklde bulanık mantık ve bu mantıkla gelştrlen bulanık küme teors, tenör kestrm problemne uygulanmış ve br ölçüde başarılı sonuçlar elde edlmştr. (Pham, 997; Bardossy ve Fodor, 4; Tutmez ve Dag, 6). Bu çalışmanın ana konusunu, bulanık mantığa dayalı tenör kestrm oluşturmaktadır. Bu amaçla Takag-Sugeno tp bulanık modelleme yaklaşımını esas alan br tenör kestrm yöntem gelştrlmş ve yöntem, Karsantı (Adana) krom yatağından elde edlen verlere uygulanmıştır. Örnek nceleme, yöntemn tenör kestrmne başarıyla uygulanableceğn göstermştr. Yazının knc bölümünde genel tenör kestrm problem tanımlanmış daha sonra bulanık mantığın temel felsefesne değnlmştr. Üçüncü bölümde, Takag-Sugeno tp bulanık modelleme yöntem ve bu yöntemn esasları ayrıntılı olarak açıklandıktan sonra dördüncü bölümde yöntemn Karsantı (Adana) krom yatağında örnek uygulaması gerçekleştrlmştr. Beşnc ve son bölümde se sonuçlar verlmştr.. PROBLEM VE YAKLAŞIM.. Tenör kestrm Tenör kestrm problem, en bast halyle belrl noktalarda blnen tenör değerlernden hareketle blnmeyen noktalardak tenörlern kestrm şeklnde tanımlanablr. (Tercan ve Karaygt, ). Bu amaçla br maden sahasından n sayıda örnek alınsın ve x α, α =,..., n bu örneklern alındığı lokasyonları göstersn. Örneklern ölçülen tenör değerler de g( x α ), α =,..., n olsun. Kestrm şlem; örneklenmemş x β, β =,..., N noktalarındak g( x β ) tenör değerlernn belrlenmesnden barettr... Bulanık kümeler En bast tanımıyla bulanık mantık, yaklaşık akıl yürütme mantığıdır. Geleneksel mantık yapısı olarak tanımlanan sembolk mantık, dealleştrlmş kavram ve önermelerden çıkarılacak deal sonuçlarla lglenrken, bulanık mantık gerçek dünyadak bulanıklığı ve belrszlğ ele alarak yaklaşık çözümler üretr. Bulanık mantık, kl hesaplama yerne, çok sevyel hesaplama teknğn kullanır. Temel yaklaşım, kesn yanlış ve kesn doğru fadelernn arasına sonsuz sayıda doğruluk değern çeren fonksyon yerleştrmektr. Bu fonksyona üyelk fonksyonu (membershp functon) adı verlr. Tenör değşkenn tanımlarken kullanılan düşük, orta ve yüksek gb ntelemeler brer sözel (lngustk) fadedr. Günlük yaşamda ve mühendslk uygulamalarında; ılık hava, güçlü adam, sert kaya, büyük proje gb sözel fadeler yaygın olarak kullanılan ve bulanıklık çeren kavramlardır. Belrllk getrme yaklaşımı, k değerl kümeler kuramının, çok değerl kümeler kuramına dönüşümünden doğar. Bulanık küme, değşk üyelk derecesnde öğeler olan br topluluktur. Klask küme kuramında kümeye at olma durumunda, at olmama durumunda se üyelk değer atanır. Oysa bulanık kümelerde öğe, br bölümüyle (örneğn:.4) kümeye at ken br bölümüyle (örneğn:.6) de kümenn dışındadır. Dğer br fadeyle, öğeler bulanık kümeye kısmen attr. Bulanık kümelerde, klask kümelerdek üyelğ μ :,, tanımlayan karakterstk fonksyon; A { } yern üyelk fonksyonuna; : [, ] μ bırakır. A

3 Şekl de tenör çn örnek bulanık küme gösterm verlmektedr. Orta-düşük ve ortayüksek geçşlernde paylaşım bölges sözkonusu olup kesn (crsp) br ayrım geçerl değldr. modellemeden daha uygundur (Pegat, ). Algortmanın dezavantajı ler matematksel hesaplamalara (ağırlıklı lokal/global en küçük kareler kestrm gb) gereksnm duymasıdır. üyelk dereces.5 düşük orta yüksek 3.. Bulanık Modeln Aşamaları Genel olarak br bulanık model; bulanıklaştırma aşaması (fuzzfcaton), kural temell sonuç çıkarım mekanzması (reasonng mechansm) ve durulaştırma (defuzzfcaton) aşamalarından oluşur (Şekl ). TS modelde ayrıca br durulaştırmaya gerek duyulmaz ve bu aşamada ağırlıklı ortalama alınarak sayısal kestrm değerler üretlr (Takag ve Sugeno, 985) tenör Şekl. Tenör çn bulanık küme gösterm (Tutmez, 5). Bulanıklaştırma Blg Tabanı Durulaştırma Ver Tabanı Kural Tabanı Bulanık küme teors özellkle tenör ve kalınlık gb rezerv parametrelernn keskn ayrımlar yerne esnek olarak değerlendrlmes çn elverşldr. Kestrm blgsnn verlern özellğnden çıkarılabldğ ver-temell (data drven) modelleme yaklaşımı pratk avantajlar da sağlamaktadır (Tutmez, 5). 3. BULANIK MODELLEME Bulanık modeller, değşkenler arasındak lşkler kurallar yardımıyla tanımlamaya yarar. Bulanık modellern kapalı kutu (black box) modellerden (örneğn snr ağları, genetk algortmalar) en öneml farkı; sstem tanımlamayı bastleştrmes ve saydam (transparent) analzler yapılmasına olanak tanımasıdır (Setnes vd., 998) Geleneksel bulanık modellemede uzman görüşü (expert opnon) kullanılarak, sözel fadeler yardımıyla çözüm aranırken, son yıllarda verye bağlı modeller de (data-drven) artış gözlenmektedr. En genel bulanık modelleme teknkler Mamdan tp bulanık modelleme ve Takag-Sugeno (TS) tp bulanık modellemedr. Bu çalışmada ver esaslı br yaklaşımla (uzman görüşü vb. kullanılmadan) TS algortması gelştrlmştr. TS modelleme algortması sstem kontrolünde lokal kestrmlere olanak tanıması ve kümeleme algortmaları le brlkte kullanılablmes nedenyle Mamdan Bulanık Muhakeme Mekanzması Bulanık Çıkarım (reasonng) Şekl. Bulanık modeln aşamaları. 3.. Bulanık Kümeleme (Bulanıklaştırma) Bulanık kümeleme (fuzzy clusterng), verlern doğrudan bulanıklaştırılmasını sağlayan yöntemlerden brdr. Kümeleme şlem ayrıca verler br araya toplayarak şlem hızını artırır ve sstem daha genel br yapı çnde ele almaya olanak tanır. Kümeleme yordamları, verler arasındak uzaklıkları kullanarak verler temsl edecek en uygun küme merkezlern belrleyen yordamlardır. Bulanık kümeleme yordamları çnde en yaygın kullanılan yordam, bulanık c- ortalamalar yordamı (Fuzzy c-means clusterng algorthm-fcm) dır. FCM lk olarak Bezdek vd. (984) tarafından yerblmler problemlerne uygulanmıştır. Yöntem, verler arasındak uzaklıkları kullanan teratf br mnmzasyon yordamıdır. Kümeleme yordamına gren ve yordamdan elde edlen bleşenler () fadesnde verlmştr (Sousa ve Kaymak, ):

4 T n [ x x,..., x ] R, k N xk = k k nk,..., (), = () de belrtlen ver kümes her br parametre vektöründen oluşan br matrstr. k: kümelemede kullanılacak verler, n: parametre (boyut) sayısını, N: toplam ver sayısını göstermektedr. Bulanık c-ortalamalar yordamı () nolu eştlkte tanımlanan amaç fonksyonunun mnmze edlmesne dayanır (Jang vd, 997). Amaç fonksyonu J; üyelk ( μ ) ve uzaklık (d) termlernden oluşmaktadır. c N m J ( X, U, V ) = μ d ( x, v ) () = k = k Eştl () de c; küme sayısını göstermekte olup, c n le sınırlıdır. v ; küme merkezlern göstermekte olup, (3) le hesaplanır: v N k = = N μ x k = m k μ m k k k (3) m Burada μk üyelk fonksyonunu, m se bulanıklaştırma parametresn göstermektedr. d (.), uzaklık olup (4) eştlğ le hesaplanır. d k = ( x k v ) A : brm matrs T A ( x k v ) (4) Amaç fonksyonunun mmmzasyonu, kısıtlara sahp br optmzasyon problemnn çözümüne dayanır (Ross, 4). Bu amaçla önce küme sayısı c ve başlangıç üyelk matrs U matrs belrlenr. Bu matrs terasyonla yenden hesaplanır ve r terasyon sonunda U r matrs elde edlr. Üyelk matrsnn hesabı, amaç fonksyonunda yer alan karakterstk fonksyonunun (üyelk fonksyonu) bulunmasıyla gerçekleştrlr. Matrsn elemanları (6) kısıtı altında (5) nolu eştlkten elde edlr. ( r+ ) μ k =, < m < (5) c /( m ) = ( d / d ) j k jk (r+ ) μ k = (6) İterasyon şlem, U U ( r+ ) ( r) ε durma (termnaton) krter sağlandığında sona erer. ε, yordamı sona erdrecek küçük (. gb) br sayıdır. Kümeleme şlem sonucunda üyelk matrs ve küme sayısı elde edlr. Küme sayısının optmze edlmes de (cluster valdty) br başka öneml konudur. Bu optmzasyon çn çeştl yöntemler önerlmştr (Xe and Ben, 99; Kaymak and Babuska, 995) Bulanık Kural Sstem Uzman sstemlerde (expert systems) kullanılan eğer-sonra (f-then) mantıksal lşks bulanık kuralların omurgasını oluşturur. Kurallar, grdçıktı lşksn mantıksal olarak oluşturarak sstem kontrol etmey sağlarlar. Kural sstem; öncül (antecedent) ve sonuç (consequent) kısımlarından oluşur. Çok sayıda grdnn (x,x,..., x N ) ve tek çıktının (y) olduğu (multple nput, sngle output: MISO) br sstemde kural mekanzması (7) fades le verlr. EĞER (x =X ) VE...VE (x n =X n ) İSE (y=y ) EĞER (x =X ) VE...VE (x n =X n ) İSE (y=y ) (7) EĞER (x =X N ) VE...VE (x n =X Nn ) İSE (y=y N ) Kural sstemnde x, X uzayında μ x (x) üyelğne sahptr. Br başka fade le X, x değşkennn sözel değerdr. Kural sayısı arttıkça, ncelenen vernn etkn (geçerl) olduğu kurallarda değerlendrp nha üyelk derecesnn elde edlmes gerekr. Bu şlem çn mantıksal operatörler kullanılır. Operatörler, kuralların brleştrlerek (composton) değerlendrlmesnde ve sonuç üzernde etkl olan araçlardır (Yager ve Flev, 994). Çzelge de k bulanık küme ( A ve B) çeştl mantıksal operatörlerle şleme tab tutulmaktadır. Çzelge. Mantıksal operatörler OPERATÖR İŞLEM VE (and) A B = mn (μ A,μ B ) VEYA (or) A B = max (μ A,μ B ) ÇARPIM (product) A*B = (μ A *μ B ) TS model yapısında kural çıktısı br sabt (. mertebe TS) olableceğ gb br doğrusal denklem (. mertebe TS) ya da br polnom da (. mertebe TS) olablr.. mertebe doğrusal

5 denklem regresyon çözümlemesne dayanır ve (7) sstem (8) genel formuyla fade edleblr. R : EĞER x = A ve...ve x n = An İSE y = a x + b, =,,..., K (8) (8) sstemnde; R : ncelenen kural, x = [x,x,...,x n ] T X grd vektörü A,...,A n : grd bulanık kümeler, y : kural çıktısı, K : kural sayısı, a,b : regresyon sabtlerdr Parametre Optmzasyonu ve Kestrm Parametre kestrm global veya lokal regresyon teknkler kullanılarak yapılır. En küçük kareler kestrmnn kullanıldığı şlemde, model denklemler kurallardan gelen ağırlıklar le çarpılarak hatanın mnmze edlmes amaçlanır (Babuska, 998). Kural çıktılarının dahl olduğu kestrm (9) eştlğyle fade edlmştr. Bu şlem durulaştırma aşamasına karşılık gelmektedr. y K β ( x) = = K = T [ a x + b ] β ( x) (9) (9) eştlğnde K: kural sayısını, β se her kuralın aktvasyonunu (etknlğn) göstermektedr. β ; vernn her kuraldak ağırlığı (üyelk değer) bulunduktan sonra, br operatör (çoğunlukla maksmum) yardımıyla () eştlğ le hesaplanmaktadır. n β = μ ( x ), =,,..., K () j= A j j 4. UYGULAMA Bu bölümde TS bulanık model yardımıyla tenör kestrmn gösteren br uygulama verlmştr. Modeln genel yapısı Şekl 3 de verlmektedr. Uygulama çn Adana Karsantı krom yatağından elde edlmş olan (Köse, 4) sondaj verlernden yararlanılmıştır. Kümeleme şlemnden önce verler en büyük ve en küçük tenör değerler dkkate alınarak [.8-9.4] aralığında standartlaştırılmış ve verlern yaklaşık olarak %75 lk bölümü (35 lokasyon) model (tranng), %5 lk bölümü se ( lokasyon) test (testng) çn rastgele ayrılmıştır (Şekl 4). X X BULANIK SONUÇ ÇIKARIM MEKANZMASI Tenör [GRD MODEL ÇIKTI] Şekl 3. Oluşturulan model X model test X Şekl 4. Verlern saha üzerndek yerler 4.. Kümeleme Bulanık kümeleme yordamında kullanılan ver dosyasında her lokasyona at x ve x koordnatlarının yanı sıra bu noktalarda ölçülmüş tenör (%Cr O 3 ) değerler bulunmaktadır. Kümeleme şlemnde grdler ve çıktı parametres brarada şleme tab tutulmuş ve 3 boyutlu analz yapılmıştır. Elde edlen küme merkezler Çzelge de verlmektedr. Kümeleme şlemnde öneml br konu en uygun küme sayısının belrlenmesdr. Bu optmzasyonu gerçekleştrmek çn gelştrlmş çeştl yaklaşımlar mevcut olmasına karşın bu yaklaşımların ver değşkenlğn dkkate almadıkları görülmüştür. Yerblmlernde ve özellkle tenör kestrmnde ver değşkenlğnn

6 kestrm şlemnde dkkate alınması gerekmektedr. Bu nedenle bu çalışmada, Tutmez (5) tarafından gelştrlen yen br kümeleme ndeks yaklaşımından yararlanılmıştır. Yaklaşım, ver değşkenlğn küme merkezlernn tenör değerler arasında da aramakta ve en küçük küme sayısı le şlem yapmayı hedeflemektedr. (-) fadeler ndeksn amacını ve kısıtlarını vermektedr. Std. sapma j =,..., n; =,..., c [ x ] Std. sapma[ v ] j () mn( n ) n : küme sayısı () c c Küme sayıları ve bunlara karşılık gelen değşkenlkler Şekl 5 te gösterlmektedr. Bu uygulama çn yapılan optmzasyon sonucu en uygun küme sayısı 3 olarak bulunmuştur. Standart Sapma Küme Sayısı Şekl 5. Küme sayısı-standart sapma değşm 4.. Üyelk Fonksyonları ve Kurallar Üyelk fonksyonları kural sstemnn çnde oluşturulan mantık döngüsünün sözlü fadesdr. Lteratürde çeştl üyelk fonksyonları bulunmasına karşın (üçgen, trapez, Normal dağılım fonksyonu gb) en uygun fonksyonun seçlmesnde krtere öncelkle dkkat edlmes gerekr (Baglo vd., 994): - amaca uygunluk - bastlk Çzelge. Kümeleme sonucunda elde edlen küme merkezler. X X Tenör Küme Küme Küme Küme Küme Küme Küme Bu uygulamada, kümeleme sonucunda elde edlen üyelk matrsnn elemanlarının projeksyonu ve bazı temel statstkler

7 kullanılarak yapılan deneysel çalışmanın sonucunda, her küme çn brer adet yamuk (trapezod) üyelk fonksyonu tanımlanmıştır. Yamuk bçmndek üyelk fonksyonlarından yararlanılmasının neden; projeksyonlar sonucunda elde edlen yapının, maksmum üyelk aşamasında ( μ = ) br aralık (nterval) tanımlamayı zorunlu kılmasıdır. Öte yandan yamuk tpte fonksyonlar sstem bastleştrmeye de olanak tanımaktadır. Şekl 6 da tanımlı fonksyonlar grd (x ve x koordnatları) verlern temsl etmektedr. Yerblmlerndek saha çalışmalarında sondajların brbrne yakın olması durumunda benzerlklernn artması, brbrlernden uzaklaştıklarında benzerlklernn azalması beklenr. Bu blgden hareketle elde edlen küme merkezleryle sondaj lokasyonları arasında mantıksal br lşk kurulmuş ve bu kural sstem çnde yakın fades le temsl edlmştr. Her br kümenn br adet kuralla temsl edldğ mekanzmada grd parametreler, mantıksal kural operatörü ve her br kümey temsl eden doğrusal denklem parametreler yer almaktadır. Kural : EĞER vernn x koordnatı. küme merkeznn x koordnatına VE x koordnatı. küme merkeznn x koordnatına yakın İSE, tenör değer: t = -.7x -.47x +.55 Kural : EĞER vernn x koordnatı. küme merkeznn x koordnatına VE x koordnatı. küme merkeznn x koordnatına yakın İSE, tenör değer: t = -.384x.36x Kural 3 : EĞER vernn x koordnatı 3. küme merkeznn x koordnatına VE x koordnatı 3. küme merkeznn x koordnatına yakın İSE, tenör değer: t 3 = -.73x +.46x Kestrmlern Değerlendrmes Üyelk dereces (μ) Üyelk dereces (μ).küme.küme 3.küme x.küme 3.küme.küme Model ve test verler kullanılarak yapılan kestrmlern performansı korelasyon katsayısı (r) kullanılarak Şekl 7 de gösterlmektedr. (r>.7) değer yerblmler problemler çn başarılı performansa şaret etmektedr (Swan ve Sandlans, 995). Modeln performansı kural sayısının artışına paralel olarak br mktar daha yükseltleblr. Yne de modelleme problemlernde sstemn en genel bçmde fade edlmes amaçlandığından 3 kural kullanılarak oluşturulan modeln pratk avantajlar da sağlayacağı düşünülerek sonuçlar yeterl bulunmuştur. 5. SONUÇLAR Bulanık mantık, esnek br hesaplama teknğ olarak rezerv kestrm problemne uygulanmıştır. Bulanık modeln şeffaflık ve esneklk özellklerne ek olarak modele grlecek özellkler de ver temell olarak tanımlayablmes kullanım kolaylığı sağlamıştır x Şekl 6. Grd üyelk fonksyonları Gerçek yataktan alınan model ve test verler üzernde yapılan çalışmalar, bulanık modelleme teknğnn başarı le uygulanableceğn göstermştr. Kümeleme yoluyla kural sayısı en aza ndreblmekte ve ver değşkenlğn dkkate alan br kestrm yapılablmektedr.

8 (a) Model vers : Dynamc Behavour of Systems, Internatonal Journal of Adaptve Control and Sgnal Processng, 8, Kestrlen r = Ölçülen (b) Test vers : Bardossy, Gy., Fodor, J., ; Tradtonal and New Ways to Handle Uncertanty n Geology, Natural Resources Research,,(3), Bardossy, G., Fodor J., 4; Evaluaton of Uncertantes and Rsks n Geology, Sprnger,. Bezdek, J.C., Ehrlch, R., Full, W., 984; FCM: The Fuzzy c-means Clusterng Algorthm, Computers and Geoscences,,(-3), 9-3. Dehl, P. 997; Quantfcaton of the Term -Geologcal Assurance- n Coal Classfcaton Usng Geostatstcal Methods, Schrftenrehe der GDMB, H.79, Gokceoglu, C., ; A Fuzzy Trangular Chart to Predct the Unaxal Compressve Strength of Ankara Agglomerates from Ther Petrographc Composton, Engneerng Geology, 66, Kestrlen 6 4 r =.73 5 Ölçülen Şekl 7. Kestrmlern performansı. KATKI BELİRTME Yazarlar, Erasmus Unversty Rotterdam öğretm üyes Dr. Uzay Kaymak a ve Tübtak Münr Brsel Vakfı na katkılarından dolayı teşekkür eder. KAYNAKLAR Babuska R., 998; Fuzzy Modelng for Control, Kluwer Academc Publcaton, Boston. Baglo, S., Fortuna, L., Grazan, S., Muscato, G., 994 ; Membershp Functon Shape and the Gokceoglu, C., Zorlu, K., 4; A Fuzzy Model to Predct the Unaxal Compressve Strength and the Modulus of Elastcty of a Problematc Rock, Engneerng Applcatons of Artfcal Intellgence, 6-7. Goovaerts, P., 997; Geostatstcs for Natural Resources Evaluaton, Oxford Unversty Press, New York, 483. Grma M.A., Babuska, R., 999; Fuzzy Model for the Predcton of Unconfned Compressve Strength of Rock Samples, Int. J. Rock Mechancs and Mnng Scences, 36, Jang, J.S.R., Sun, C.T., Mzutan, E., 997; Neuro-Fuzzy and Soft Computng, Prentce Hall, 64. Karakus, M., Tutmez, B., 6; Fuzzy and Multple Regresson Modelng for Evaluaton of Intact Rock Strength Based on Pont Load, Schmdt Hammer and Sonc Velocty, Rock Mech Rock Eng, 39, (), Kaymak, U., Babuska, R., 995; Compatble Cluster Mergng for Fuzzy Modelng, In Proc. FUZZ-IEEE/IFES 95, Yokohama, Japan,

9 Kesmal, A., Bascetn, A., ; Applcaton of Fuzzy Multple Attrbute Decson Makng n Mnng Applcatons, Mneral Resources Engneerng,,, 59-7 Köse, A., 4; Bootstrap a Dayalı Rezerv Kestrm Yöntemlernn Gelştrlmes, Doktora Tez, Hacettepe Ünverstes, Ankara. Pham, T.D., 997; Grade Estmaton Usng Fuzzy-Set Algorthms, Mathematcal Geology, 9, Pegat, A., ; Fuzzy Modelng and Control, Physca-Verlag, 78. Ross, T.J. 4; Fuzzy Logc wth Engneerng Applcatons, McGraw-Hll. Setnes, M., Babuska, R., Verbruggen, H.B., 998; Transparent Fuzzy Modellng, Int. J. Human-Computer Studes, Sousa, J.M.C, Kaymak, U., ; Fuzzy Decson Makng n Modelng and Control, World Scentfc, Takag, T., Sugeno, M., 985; Fuzzy Identfcaton of Systems and Its Applcatons to Modellng and Control, IEEE Transactons on Systems, Man, and Cybernetcs, 5, 6-3. Tercan, A.E., Karaygt, A.İ. ; Estmaton of lgnte reserve n the Kalburcayr Feld, Kangal Basn, Svas, Turkey, Internatonal Journal of Coal Geology, 47, 9-. Tutmez, B., 5; Bulanık Küme Yaklaşımıyla Rezerv Kestrm, Doktora Tez, Hacettepe Ünverstes, Ankara. Tutmez, B., Dag, A., 6; Use of Fuzzy Logc n Lgnte Reserve Estmaton, Energy Sources, (kabul edld). Xe, X.L., Ben, G., 99; Valdty Measure for Fuzzy Clusterng, IEEE Trans. Pattern Analyss and Machne Intellgence,, Yager R., Flev D.P., 994; Essentals of Fuzzy Modelng and Control, John Wley&Sons. Swan, A.R.H., Sandlands, M., 995; Introducton to Geologcal Data Analyss, Blackwell, Oxford.