Artan ve Azalan Fonksionlar. ARTAN VE AZALAN FONKSÝYONLAR ii) Teorem : f : (a, b) R, = f() fonksionu (a, b) için sürekli ve türevlenebilen bir fonksion olsun. ) (a, b) için f ý () > 0 f() fonksionu bu aralýkta artandýr. ) (a, b) için f ý () < 0 f() fonksionu bu aralýkta azalandýr. f( ) f( ) a b a b deðerleri (a, b) aralýðýnda den e artan deðerler alýrken fonksionun alacaðý deðerler azalandýr. < Δ = > 0 f( ) > f( ) Δ = f( ) f( )< 0 Ýspat : i) ) (a, b) için f ý () = 0 f() fonksionu bu aralýkta sabit fonksiondur. f( ) f( ) α α a b a b bir Buradan Δ f( ) f( ) = < 0 Δ Buradan Δ lim = ý f () < 0 Δ 0 Δ azýlabilir. O halde (a, b) için f ý () < 0 olur. Baþka bir deiþle f() fonksionu (a, b) aralýðýnda azalan bir fonksion olup aralýðýn her noktasýndan fonksiona çizilen teðetlerin o ekseni ile aptýðý açýlar geniþ açýlardýr. Geniþ açýlarýn tanjantlarý negatif olduðundan f() in (a, b) aralýðýnýn her noktasýndaki türevi de negatiftir. f() fonksionu ve (a, b) için < ise f( ) < f( ) dir. < Δ = > 0 f( ) < f( ) Δ = f( ) f( )> 0 Buradan Buradan Δ f( ) f( ) = > 0 Δ Δ lim = ý f () > 0 Δ 0 Δ azýlabilir. O halde (a, b) için f ý () > 0 olur. Baþka bir deiþle, f() fonksionu (a, b) aralýðýnda artan olup bu aralýðýn her noktasýnda çizilen teðetlerin o ekseni ile aptýðý açýlar dar açýdýr. Dar açýlarýn tanjantlarý pozitif olduðundan (a, b) aralýðýnýn her noktasýnda fonksionun türevi de pozitiftir. m = tanα = f ý () > 0 m = tanα = f ý () < 0 dýr. Bir fonksion belli aralýkta deðilde daima artansa monoton artan, daima azalansa monoton azalan adýný alýr. f( + ) > f() ise monoton artan f( + ) < f() ise monoton azalandýr. Bütün bu açýklamalardan sonra verilen f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleerek aþaðýdaki gibi artan ve azalan olduðu aralýklarý görebiliriz. f ý () = 0 denkleminin kökleri ve olsun. + f ý () + + f() artan azalan artan 5
Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek f() R R, f() = + fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = = 0 = O halde fonksion (, ) aralýðýnda f ý () < 0 olduðundan fonksion azalan, (, + ) aralýðýnda f ý () > 0 olduðundan fonksion artandýr. Örnek + f ý () + f() azalan f() artan f() = 6 6 + 5 fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = 6 6 = 0 ( ) = 0 ( + )( 6) = 0 Buradan = ve = 6 bulunur. Örnek f() R R, f() = fonksionunun daima azalan olmasý için m ne olmalýdýr? f ý () in iþareti daima negatif olmalýdýr. Bunun için, f ý () = + m = 0 denkleminde a < 0 ve Δ < 0 olmalýdýr. Buna göre; Örnek m + + Δ = b ac = (m).( ).( ) < 0 = m 6 < 0 m < m < < m < bulunur. f() R R, f() = + 6 fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = + 6 + 6 = 0 denkleminin reel kökleri oktur. Dolasýla a > 0 olduðundan türevi daima pozitif olacaktýr. O halde fonksion daima artandýr. Buna monoton artan da denir. O halde fonksionun artan olduðu aralýk tüm reel saýlardýr. 6 + f ý () + + f() artan azalan Tabloda görüldüðü gibi, artan ~ (, ) (6, + ) aralýðýnda f ý () > 0 olduðundan fonksion artan ~ (, 6) aralýðýnda f ý () < 0 olduðundan fonksion azalandýr. Örnek 5 a + f : R { } R, f() = + fonksionu = noktasýnýn dýþýnda her erde artan olabilmesi için a ne olmalýdýr? f fonksionu = in dýþýnda daima artan ise, R { } için f ý () > 0 olmalýdýr. 6
Artan ve Azalan Fonksionlar Buna göre, Uarý : Bu þekildeki kesirli fonksionlara R de artandýr vea azalandýr denilmez. Çünkü fonksionu tanýmsýz apan saýlar vardýr. Örnek 6 f : R R, f() = e 6 + fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = ( 6). e 6 + = 0 e 6 + 0 6 = 0 = tür. O halde (, ) aralýðýnda fonksion azalan, (, + ) aralýðýnda fonksion artandýr. Örnek 7 ý a.( + ). (a + ) a + a a f() = = ( + ) ( + ) a = > 0 a > 0 buradan ( + ) + f ý () + f() azalan a > bulunur. artan Soruda türevin grafiði verildiðine göre bu grafikten türevin iþaretini bir tablo ile gösterebiliriz. Bu tabloa göre, f() fonksionu, (, ) ve (, + ) aralýklarýnda artan (, ) aralýðýnda ise azalandýr. Örnek 8 f() fonksionu (0, + ) aralýðýnda artan ve (0, + ) için f() > 0 ise f(),, f (), f( ), (fof)() f() fonksionlarýnýnda artan vea azalan olup olmadýklarýný gösteriniz. f() fonksionu (0, + ) aralýðýnda artan ise aný aralýkta f ý () > 0 dýr. Buna göre, a) ( f()) ý = f ý () < 0 olduðundan f() fonksionu aný aralýkta azalandýr. f () b) = < 0 olduðundan aný aralýkta f() f() f() ý + f ý () + + ý artan azalan fonksionu azalandýr. artan f ý () c) (f() ) ý ý = f().f() olduðundan aný > 0 + aralýkta f() fonksionu artandýr. + ý d) (f( ) ý = f( ). > 0 olduðundan aný + + aralýkta f( ) fonksionu artandýr. f() fonksionunun türevinin grafiði ukarýda verilmiþtir. Buna göre, f() in artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. ý e) [(fof)()] ý = f(f()).f() > 0 olduðundan + aný aralýkta (fof)() fonksionu da artandýr. ý + 7
Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 9 = t + t = t t þeklinde tanýmlanan parametrik fonksionunun R de artan vea azalan olduðu aralýklarý bulunuz. ~ olduðundan f ý () > 0 t > 0 (Padanýn daima pozitif olduðunu görünüz.). ý ý d (t) t f() = = = d ý (t) 6t + t > 0 t > dir. ve, t deðiþkenine baðlý olduðundan t e den büük deðerler verildikçe de = t + t =. + = den büük deðerler alacaðýndan, fonksionun artan olduðu aralýk (, + ) aralýðýdýr ~ Benzer þekilde f ý () < 0 t < 0 t < dir. = t + t t = için = t e den küçük deðerler verildikçe de den küçük deðerler alacaðýndan, f() in azalan olduðu aralýk (, ) aralýðýdýr. YEREL MAKSÝMUM VE MÝNÝMUM NOKTALAR (YEREL EKSTREMUM NOKTALAR) mutlak mak. 5 Bir fonksionun birden fazla erel (baðýl) maksimum ve minimum deðerleri olabilir. Yerel maksimum deðerlerinin en büüðüne mutlak maksimum vea fonksionun en büük deðeri denir. Yerel minimum deðerlerinin en küçüðüne mutlak minimum vea fonksionun en küçük deðeri denir. EKSTREMUM NOKTALAR ÝLE TÜREVÝN ÝLÝÞKÝSÝ Teorem (Fermat Teoremi) : f : [a, b] R fonksionu sürekli ve (a, b) aralýðýnda türevli olsun. f() in o (a, b) noktasýnda erel ekstremumu varsa f ý ( o ) = 0 dýr. erel min. erel mak. mutlak min. p q k l m n t u a b Bu teoremin karþýtý her zaman doðru olmaabilir. Yani, f ý ( o ) = 0 olduðu halde ( o, f ý ( o )) noktasýnda erel ekstremumu olmaabilir. f : A R, = f() fonksionunda a A ve ε eterince küçük pozitif bir reel saý olmak üzere a noktasýný içine alan (a ε, a + ε) aralýðýndaki her saýsý için; Örnek = ~ f() f(a) ise (a, f(a)) noktasýna fonksionun erel (baðýl) maksimum noktasý, f(a) deðerine de fonksionun erel maksimum deðeri denir. ~ Eðer f() f(a) ise (a, f(a)) noktasýna fonksionun erel (baðýl) minimum noktasý, f(a) deðerine de fonksionun erel minimum deðeri denir. f : R R, f() = fonksionu f ý (0) = 0 olduðu halde (0, 0) noktasý fonksionun erel ekstremum noktasý deðildir. 8
Artan ve Azalan Fonksionlar Uarý : Bir f() fonksionunun apsisli noktada erel ektremumu (maksimum vea minimumu) olduðu halde fonksionun bu noktada türevi olmaabilir. c + + c + f ý () + f() f(c) azalan artan + Örnek f : R R, f() = + fonksionunun erel ekstremum noktasýný bulunuz. f() in grafiðinde de görüldüðü gibi fonksionun A(, ) noktasýnda bir erel minimum deðeri olduðu halde, = noktasýnda türevi; ise f() =, f ý () = f ý ( + ) = < ise f() = +, f ý () = f ý ( ) = f ý ( + ) f ý ( ) olup bu noktada türevi oktur. A (c, f(c)) minimum noktadýr. NOT : Türevlenebilen bir fonksionun birinci türevinin kökleri erel maksimum vea erel minimum noktalarýnýn apsisleridir. Bu noktalar esas fonksionda erine azýlarak ordinatlarý da bulunabilir. min. ma. + f ý () + + f() f( ) f( ) ma. min. ) BÝRÝNCÝ TÜREVDEN YARARLANILARAK EKSTREMUM NOKTALARININ ÝNCELENMESÝ f : (a, b) R e tanýmlý ve türevlenebilen bir fonksion verilmiþ olsun. i) f() fonksionu bir = c noktasýnýn solunda artan saðýnda azalan ise = c, f() in bir maksimum noktasýdýr. ii) + + c + (c, f(c)) maksimum noktadýr. c + f ý () + f() artan f(c) azalan f() fonksionu bir = c noktasýnýn solunda azalan saðýnda artan ise = c, f() in bir minimum noktasýdýr. ~ (, f( )) noktasý erel maksimum noktasýdýr. ~ (, f( )) noktasý erel minimum noktasýdýr. Uarý : Türevlenebilen bir fonksionun erel ekstremum noktasýnýn olabilmesi için türevinin bu noktada iþaret deðiþtirmesi gerekir. Örnek f : R R, f() = + 6 fonksionunun erel ekstremum noktalarýný bulunuz. f() in türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = 6 6 = 0 ( ) = 0 Buradan = 0 ve = 9
Artan ve Azalan Fonksionlar 0 + f () + + f() 6 ~ (, 0) aralýðýnda f() azalan (0, + ) aralýðýnda f() artan olduðundan = 0 apsisli nokta f() in erel minimum noktasýdýr. f(0) = 6, (0, 6) noktasý maksimum nokta f() =, (, ) noktasý minimum noktadýr. Örnek f() = (m ) + m + fonksionun = de bir maksimumu olduðuna göre m nin deðeri kaçtýr? f() in = de bir erel maksimumu varsa, ý f 0 olmalýdýr. = f ý () = (m ) Örnek 5 ý f =. m + = 0 m = bulunur. f : R R, f() = fonksionunun erel ekstremum noktalarýný bulunuz. f ý () =. + + f ý () = 6( + + ) 6.( + ) = 0 Buradan = 0 ve = = bulunur. 0 + f ý () + f() 7 8 + + + 5 ~ (, ) aralýðýnda ve (, 0) aralýðýnda fonksion azalan olup noktasýnda f ý ( ) = 0 olduðu halde bu noktada türevin iþaretinde bir deðiþiklik olmadýðý için erel ekstremum oktur. Örnek 6 f() = m + n + 5 fonksionunun = apsisli noktadaki erel ekstremum deðeri 7 olduðuna göre m + n nin deðeri kaçtýr? f() in = de bir erel ekstremumu olduðuna göre f ý () = 0 dýr. Buna göre; f ý () = m + n f ý () = m + n = 0 m + n = arýca = de f() = 7 olduðundan Örnek 7 f() = m + n + 5 = 7 m + n = dir. Bu denklemleri ortak çözdüðümüzde, m n = m+ n = ise m + n = 9 bulunur. f : R R, f() = a + (b ) + 5 fonksionunun = ve = de erel ekstremumlarý olduðuna göre a ve b kaç olmalýdýr? Fonksionun erel ekstremum noktalarýnda türevi sýfýr olduðundan; f ý () = a + b olup f ý ( ) = 0 ve f ý () = 0 dýr. ( ) a( ) + b = 0 + a + b = 0 a + b = ve () a. + b = 0 a + b = 0 a b = a + b = a b = a = m = n = 5 buradan, ve b = 5 bulunur. 0
Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 8 f : R R, f() = m 8 fonksionunun erel ekstremum deðerlerinden birisinin olduðu bilindiðine göre, 8 m nin deðeri kaçtýr? ý f() =. m dir. m = 0 ( m) = 0 denkleminden = 0 ve = m bulunur. Bu deðerleri denklemde erine azdýðýmýzda; ~ = 0 ise f(0) = 8 olduðundan bahsedilen ekstremum deðeri deðildir. ~ = m ise 8 f(m) = (m) m(m) 8 = 8m 8 m m = 8 + = m = 8 m = ( ) m = bulunur. Tabloda görüldüðü gibi = apsisli noktada erel maksimum = ve = apsisli noktalarda erel minimum vardýr. Arýca = ve = apsisli noktalarda ikinci türevin sýfýr olduðuna ve bu noktalarýn maksimum ve minimum olmadýðýna dikkat ediniz. Örnek 0 f : R R, f() = + + 9 fonksionu verilior. Buna göre, f ý () in erel minimum noktasýný bulunuz. f ý () = + 6 fonksionunun erel minimum noktasýný bulmalýýz. O halde f ý () in tekrar türevini almalýýz. f ýý () = 6 + 6 = 0 6 = 6 = + f ýý () + f ý () 5 Örnek 9 f ý ( ) = ( ) + 6( ) = 6 = 5 bulunur. f ý () O halde f ý () in erel minimum noktasý (, 5) dur. f() fonksionunun türevinin grafiði ukarýda verilmiþtir. Buna göre f nin hangi deðerinde erel maksimumu vardýr? Fonksionun türevinin grafiði verildiðine göre bu grafikten türevin iþaretini inceleebiliriz. + f ý () + + f() min ma min ) ÝKÝNCÝ TÜREVDEN YARARLANARAK YEREL EKSTREMUM VE DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTALARININ BULUNMASI f() fonksionu (a, b) aralýðýnda türevli ve f ý () ve f ýý () türevleri mevcut olsun. f ý () = 0 denkleminin,, kökleri bulunsun. Bu kökleri ikinci türevde erine azdýðýmýzda sonuç negatif ise maksimum, sonuç pozitif ise minimum, sýfýr ise dönüm (büküm) noktasý vardýr. f ý () = 0 denkleminin,, kökleri bulunsun.
Artan ve Azalan Fonksionlar i) f ýý ( ) > 0 ise (, f( )) noktasý minimum noktadýr. ii) f ýý ( ) < 0 ise (, f( )) noktasý maksimum noktadýr. II. ol : f() in türevinin iþaretini inceleerek de bu soruu çözebiliriz. f() = + f ý () = 6 = 0 = 0 ve = iii) f ýý ( ) = 0 ise (, f( )) noktasý dönüm (büküm) noktasýdýr. B(, f( )) C(, f( )) 0 + f ý () + + f() f(0) f() ma min minimum noktanýn ordinatý f() =. + = 8 bulunur. Örnek f() = + eðrisinin minimum noktasýnýn ordinatý nedir? Fonksionun birinci türevinin kökleri maksimum ve minimum noktalarýnýn apsisleridir. Buna göre, f ý () = 6 6 = 0 ( ) = 0 = 0 ve = Bu kökleri ikinci türevde erine azalým. f ýý () = 6 6 A(, f( )) ~ = 0 ise f ýý (0) = 6.0 6 = 6 < 0 olduðundan = 0 apsisli nokta maksimum noktadýr. ~ = ise f ýý () = 6. 6 = 6 > 0 olduðundan = apsisli nokta minimum noktadýr. Bu noktaý esas fonksionda erine azalým. f() = + ise f() =. + = 8 + = 8 minimum nokta (, 8) olup ordinatý 8 dir. Örnek f() = +.ln eðrisinin ekstremum noktasýný bulunuz. f ý () = +.ln +. + ln = 0 ise = dir. f ýý () = + f ýý () = + > 0 olduðundan = apsisli nokta fonksionun minimum noktasýdýr. Örnek f : (0, π) R, f() = sin + cos fonksionunun ekstremum noktasýný bulunuz. f ý () = cos sin = 0 cos = sin ise tan = dir. Buradan, π 5π = ve = f ýý () = sin cos = (sin + cos) ýý π π π f = sin + cos = + < 0 π olduðundan = noktadýr. apsisli nokta maksimum
Artan ve Azalan Fonksionlar olduðundan noktadýr. apsisli nokta minimum Örnek f() = a b 9 + c fonksionu o eksenini de kesior ve A(, 9) eðrinin dönüm noktasý olduðuna göre, minimum noktasýný bulunuz. 5 ýý π f = = > 0 f() fonksionu o eksenini (0, ) noktasýnda kesiorsa, c = dir. A(, 9) eðrinin dönüm noktasý olduðuna göre bu noktalarýn apsisinde ikinci türev sýfýrdýr. Buna göre; f ý () = a b 9 f ýý () = 6a b f ýý () = 6a b = 0 b = a dýr. Arýca A(, 9) noktasý fonksionun üzerinde olduðundan f() de erine azalým. Buna göre; 5π = f() = a b 9 + 9 = a. b. 9 + 9 = a b 9 + ve b = a = a a = a a =, b = f() = 9 + bulunur. Bu fonksionun minimum noktasýný bulalým. f ý () = 6 9 = 0 ( ) = 0 +.( + ).( ) = 0 ise = ve = bulunur. Bunlarý ikinci türevde erine azalým. f ýý () = 6 6 f ýý ( ) = 6( ) 6 = < 0 olduðundan (, f( )) noktasý maksimum noktadýr. f ýý () = 6. 6 = > 0 olduðundan (, f()) noktasý da f() in minimum noktasýdýr. ÝKÝNCÝ TÜREVÝN GEOMETRÝK ANLAMI BÝR EÐRÝNÝN KONKAVLIÐININ YÖNÜ f : [a, b] R fonksionu sürekli ve (a, b) aralýðýnda birinci ve ikinci türevleri mevcut olsun. i) (a, b) aralýðýnda f ýý () > 0 ise eðrinin çukurluðu ukarýa doðrudur. ii) i) ii) Vea kýsaca dýþbüke (konveks) denir. (a, b) aralýðýnda f ýý () < 0 ise eðrinin çukurluðunun önü aþaðýa doðrudur. Vea kýsaca içbüke (konkav) denir. Baþka bir deiþle çukurluk aþaðý doðru konkav, çukurluk ukarý doðru konkav þeklinde de ifade edilebilir. Gerçekten; α α a b Yukarýdaki þekilde görüldüðü gibi çukurluk ukarýa doðru olan bir eðri üzerinde apsisi daha büük olan bir noktadaki eðim açýsý daha büüktür. α > α olup tanα > tanα bunu f ý ( ) > f ý ( ) þeklinde de azýlabilir, bu durumda; f ý () fonksionu deðiþkeni ile aný önde deðiþtiðinden artan fonksiondur. Dolasýla bunun türevi de pozitiftir, ani f ýý () > 0 dýr. O halde ikinci türevi pozitif apan deðerleri için eðrinin çukurluðu ukarý doðru konveks olacaktýr. α α 0 a b
Artan ve Azalan Fonksionlar Yukarýdaki þekilde görüldüðü gibi çukurluk aþaðýa doðru (kýsaca konkav) olan bir eðri üzerinde apsisi daha büük olan noktadaki eðim açýsý daha küçüktür. Buna göre; α < α ise tanα < tanα ve bunu f ý ( ) < f ý ( ) þeklinde de gösterebiliriz. O halde f ý () fonksionu deðiþkeni ile ters önde deðiþmekte olduðundan azalan fonksiondur. Dolasýla bunun türevi de negatiftir, ani f ýý () < 0 dýr. O halde ikinci türevi negatif apan deðeri için eðrinin çukurluðu aþaðýa doðru (konkav) olacaktýr. Uarý () : f() fonksionu bir A( o, o ) noktasýndaki teðetinin üst tarafýnda kalýorsa çukurluk ukarý doðru (konveks); teðetinin alt tarafýnda kalýorsa çukurluk aþaðý doðru (konkav) adýný alýr. A teðet Uarý () : f ý (a) = 0, f ýý (a) = 0, f ýýý (a) = 0 olmasý hallerinde = a için sýfýr olmaan ilk türev bulununcaa kadar türev almaa devam edilir. Bu taktirde (a, f(a)) noktasý; sýfýr olmaan ilk türevin derecesi tek ise bir büküm noktasý, çift ise ekstremum noktasýdýr. Örnek f() =. 6 + 8 5 eðrisinin aþaðý ve ukarý doðru konkav olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun ikinci türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = + 8 f ýý () = = ( ) = 0 = =, = + f ýý () + + 0 0 f () < 0 f () > 0 < ve > için f ýý () > 0 olduðundan eðri ukarý doðru konkav < < için f ýý () < 0 olduðundan eðri aþaðý doðru konkavdýr. f ý ( ) > 0, f ý ( ) > 0 f ýý ( ) < 0, f ýý ( ) > 0 f ý ( o ) 0, f ýý ( o ) = 0 dýr. Uarý () : Sürekli bir f() fonksionunun çukurluðunun ön deðiþtirdiði noktaa fonksionunun dönüm (büküm) noktasý denir. = f() denklemi ile verilen bir eðri üzerindeki bir (a, f(a)) noktasýnýn büküm (dönüm) noktasý olmasý için; f ýý (a) = 0 ve f ýýý (a) 0 olmalýdýr. Örnek f() = e eðrisinin konkavlýðýný inceleiniz. = e f ý () = e ve f ýý () = e > 0 olduðundan ve þekilde de görüldüðü gibi R için eðrinin konkavlýðý ukarý doðrudur.
Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek f : R R, f() = eðrisinin konkavlýðýný inceleiniz. f ýý ( h) = 0( h ) = 0h < 0 f ýý ( + h) = 0( + h ) = 0h > 0 = in saðýnda ve solunda f ýý () iþaret deðiþtirdiðinden = apsisli nokta dönüm (büküm) noktasýdýr. Örnek 6 f() = + f ý () = ve f ýý () = < 0 olduðundan ve þekilde de görüldüðü gibi R için çukurluðun önü aþaðý doðrudur. Örnek f : R R, f() = + 5 eðrisinin konkavlýðýný inceleip büküm noktasýný bulunuz. f ý () = 6 + f ýý () = 6 6 = 6( ) = 0 ise = f ýýý () = 6 0 bu durumda; < için çukurluðun önü aþaðý doðru > için çukurluðun önü ukarý doðru = noktasý f() in dönüm noktasýdýr. Örnek 5 f : R R, f() = + ( ) 5 eðrisinin büküm (dönüm) noktasýný bulunuz. + f ýý () + f ý () = 5( ), f ýý () = 0( ), f ýýý () = 60( ) olup = için f ýý () = 0 ve f ýýý () = 0 olduðundan = in büküm noktasý olup olmadýðý hakkýnda birþe sölenemez. = de f ýý () in iþaret deðiþtirip deðiþtirmediðini araþtýralým. fonksionunun dönüm (büküm) noktasýný bulunuz. f ý () =, f ýý () = + = 0 ise, f ýýý () = = ise = = dir. f ýýý ( ) 0 olduðundan = apsisli nokta f() in dönüm (büküm) noktasýdýr. Örnek 7 f() = + + m eðrisinin dönüm (büküm) noktasý = + doðrusu üzerinde ise, m deðeri kaçtýr? Önce fonksionun dönüm noktasýný bulalým. Bu noktada ikinci türev sýfýr olup bu nokta = + doðrusu üzerinde olduðundan bu doðru denklemini saðlar. f ý () = + 6 + m f ýý () = 6 + 6 = 0 = Dönüm noktasý A(, 0) noktasýdýr. Bu noktaý f() de erine koalým. Örnek 8 6 = ise = + den = 0 dýr. 0 = ( ) + ( ) + m( ) + m = 0 m = bulunur. f() = a + b eðrisinin = apsisli noktasý dönüm (büküm) noktasý olup, bu noktadan çizilen teðet + = 0 doðrusuna paralel olduðuna göre, a + b nin deðeri kaçtýr? 5
Artan ve Azalan Fonksionlar =, f nin dönüm noktasý olduðuna göre; f ý () = a + b f ýý () = 6 a f ýý () = 6. a = 0 a = = apsisli noktadan çizilen teðet + = 0 doðrusuna paralel olduðuna göre eðimleri eþittir. f ý () = ().. + b = 6 + b = + b + = 0 doðrusunun eðimi dir. O halde bu eðimleri eþitleelim. + b = b = olup, a + b = + = 7 bulunur. MAKSÝMUM VE MÝNÝMUM PROBLEMLERÝ. çarpýmýný tek deðiþkenli fonksion haline getirip türevini alýp sýfýra eþitleerek ekstremum noktalarýný bulalým. f() =. = ( ) = f ý () = = 0 = bulunur. = ise. + = = 6 bulunur. O halde. =. 6 = 8 en büük deðer olarak bulunur. Örnek, R + ve + = ise. çarpýmýnýn en büük deðeri alabilmesi için in deðeri kaç olmalýdýr?. çarpýmýný tek deðiþkene baðlý olarak azalým ve türevini alýp sýfýra eþitleelim. f() =. = ( ) = f() = f ý () = 8 = 0.(6 ) = 0 = 0 ve = 6 bulunur. Deðiþken bir ifadenin maksimum ve minimum deðerleri, ugulama alaný çok olan deðerlerdir. Bir merminin ulaþabileceði en büük üksekliðin bulunmasý, verilen bir hacimde depo apýlabilmesi için minimum miktarda malzemee ihtiaç duulmasý, bir küre içine erleþtirilecek en büük hacimli silindirin boutlarýnýn bulunmasý gibi sorulara verilecek cevaplar bu gibi problemlerin çözümü ile elde edilecektir. Maksimum ve minimum problemlerini çözebilmek için evvela maksimum ve minimum olmasý istenilen büüklüðün alnýz bir deðiþken cinsinden ifade edilip, sonra bunun türevi sýfýra eþitlenerek elde edilen denklem çözülür. Bu denklemin kökleri esas fonksionda erlerine azýlarak maksimum ve minimum deðerleri bulunur. Örnek, R + ve + = ise. çarpýmýnýn en büük deðeri kaçtýr? = 0 çarpýmý maksimum apamaacaðýndan = 6 dýr. Örnek f() = a + fonksionunun minimum deðerinin olmasý için a nýn pozitif deðeri kaçtýr? f ý () = a a = 0 = a Bunu f() fonksionunda erine azarak minimum deðere eþitleelim. Örnek f() = a a.a + = a = 6 a = 6 a = bulunur. Bir dikdörtgenin üç kenarýnýn uzunluklarý toplamý 6 cm ise, alaný en çok kaç cm olur? Dikdörtgenin üç kenarýnýn toplamý 6 ise, + = 6 dýr. 6
Artan ve Azalan Fonksionlar A() =. = (6 ) = 6 A ý () = 6 = 0 = 9 = 9 ise.9 + = 6 = 8 Alaný :. = 9.8 = 6 cm olarak bulunur. Örnek 5 Toplamlarý 0 olan iki pozitif tamsaýnýn kareleri toplamý en fazla kaç olur? Bu saýlardan birine dersek diðeri 0 olur. Kareleri toplamýný bir fonksion þeklinde ifade edecek olursak, f() = + (0 ) = + 0 0 + f() = 0 + 00 f : [, 9] R þeklinde tanýmlanan f() fonksionun maksimum deðerini bulmak istioruz, fonksion bir parabol belirtir. f ý () = 0 = 0 = 5 f() = + 9 = 8 f(5) = 5 + 5 = 50 f(9) = 9 + = 8 O halde saýlarýn kareleri toplamý en fazla 8 olur. Örnek 6 5 + ý + Hipotenüs uzunluðu añ olan bir dik üçgenin alaný en fazla kaç cm olur? Üçgenin dik kenarlarýna ve dielim. Üçgenin alaný, A(ABC) =. min dir. B A a C Örnek 7 + = a A(ABC) = f() =. a ý f() =. a +. = 0 a a = a a = = a ise = a dýr. a f(a) =.a. a a = a.a = cm bulunur. Bir kenarý ekseni diðer kenarý ekseni üzerinde ve bir köþesi = eðrisi üzerinde deðiþen dikdörtgenlerin en büüðünün alaný kaç cm dir? Alan fonksionu; S() =. ( ) S() = S ý () = = 0 = ise =± + + min = a dir. ma 8 8 S =. = 8 6 6 = = = bulunur. 9 Pisagordan, 7
Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 8 A Bir küre içine erleþtirilebilen maksimum hacimli silindirin arýçapýný ve üksekliðini bulunuz. D F h AB = AC BC AB = (R) AB = R AB = R D R r A r = AB =. R R V =π r. h =π. R π V =π. = (R ) ý π V() = (R ) π π (R ) = 0, 0 olduðundan R = R R = = ± Silindirin üksekliði R = h = bulunur. Silindirin arýçapý r = AB R =. R =. R 8R R =. = r = R bulunur. C B B Silindirin deðiþken olan taban arýçapýna, üksekliðine de dielim. Bu silindirin hacmi V = π.. dir. AEC üçgeni ile ADF üçgeni benzer olduðundan h r = = (h ) r h h in bu deðerini V hacim formülünde erine azalým. r V =π.. =π..(h ). h ý πr V () =.[ (h ).( ). +.(h ) ] h πr.(h )[(h )] = 0 ise h = h h ve = h h V ý () + + ma min h = ani maksimum hacimdeki silindirin h üksekliði dür. E r C Örnek 9 Yarýçapý r üksekliði h olan bir dik koni içine erleþtirilmiþ maksimum hacimdeki silindirin üksekliðini bulunuz. Örnek 0 A(, ) noktasýndan çizilen doðrular ve koordinat eksenleri ile birinci bölgede oluþan üçgenlerden alaný en küçük olanýn alaný kaç br dir? 8
Artan ve Azalan Fonksionlar B Bu durumda = de minimum deðerini aldýðýndan üçgenin en küçük alaný; E 0 A(, ) D C 8 A(OBC) = f() = + + 8 f() = + +. f() = + 6 + 6 = br bulunur. Medana gelen üçgenin alaný, A(OBC) = ( + ).( + ) ABE üçgeni ile ADC üçgeni benzer üçgenlerdir. Buna göre; =.= A(OBC) =.( + ).( + ) f() = + ( + ) f() = + (. + ) 8 f() = + +, fonksionu bulunur. ý 8 f() = + = 0 deðer alýr. = [ + + + ] = [ + + + ] 8 = ise = 9 = ± ýý 6 f () = ýý 6 f () = > 0 olduðundan minimum, ýý 6 f ( ) = < 0 olduðundan maksimum ( ) Örnek Eþkenar bir üçgenin içine çizilebilen ve alaný maksimum olan dikdörtgenin boutlarýný bulunuz. B G ABC eþkenar üçgenin bir kenarý a olsun. Yüksekliði, a AH = h = a AK = HE = KF = dielim. ve uzunluklarýnýn deðiþken olduðunu görün. AKF üçgeni ile AHC üçgenleri benzer olduðundan a AK KF = = AH HC a a a = = a DEFG dikdörtgeninin alaný Alan =. =. A() =. (añ ñ. ) = añ ñ A ý () = añ ñ = 0 D añ = ñ K A H a = E a/ F C 9
Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek = (a ) olduðundan a a a = a. =. = Dikdörtgenin boutlarý a a = ve = bulunur. Üst kýsmý arýçaplý bir arým daire þeklinde ve esas kýsmý ve boutlu bir dikdörtgen þeklinde olan bir pencerenin çevresi sabit bir a saýsýna eþittir. Buna göre pencerenin alanýnýn maksimum olabilmesi için pencerenin boutlarý ne olmalýdýr? Pencerenin çevresi π + + = a dýr. = a π Alan = π +. dir. A() = π +. [a π ] = π + a π ] ý A() =π + a π a π = 0 a = ( π+ ) a = π+ = [a ( π+ )] a( π+ ) =. a π+ Örnek Yandaki þekilde, A ACE doðrusal [AB] [BC] [CD] [DE] [BC] // [DE] B C AB = DE = 8 dir. D 8 θ Buna göre tanθ nýn hangi deðeri için, AC + CE toplamý en küçüktür? Δ ABC de sinθ= = sinθ Δ CDE de 8 cosθ= 8 = cosθ 8 f( θ ) = + = + sinθ cosθ ý cosθ 8.sinθ f( θ ) = + = 0 sin θ cos θ bulunur. B 8.sinθ cosθ = cos θ sin θ 8.sin θ= cos θ sin θ = cos θ 8 A tan θ= ise tanθ= θ D C 8 θ E E aπ+ a aπ a = π+ a a =. = π+ π+ O halde pencerenin boutlar ý a a = ve = ani = dir. π+ π+ 0
ALIÞTIRMALAR. f() = 9 + 7 fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. Cevap : (, ) (, + ) artan (, ) azalan Artan ve Azalan Fonksionlar 6. f() = + 5 + 5 fonksionunun azalan olduðu aralýktaki tamsaýlarýn toplamý kaçtýr? Cevap : 7 m 7 7. f() = fonksionu R { } için +. f() = m + + 7 fonksionu m nin hangi deðeri için monoton artandýr? artan ise m nin alacaðý deðerleri bulunuz. Cevap : m > 7 Cevap : < m < 8. f() = sin + cos fonksionunun maksimum deðeri kaçtýr? Cevap : ñ. f() = + 5 fonksionunun erel ekstremum noktalarýný bulunuz. Cevap : A(0, 5) ma. nokta B(, ) min. nokta 9. f() = + a b + fonksionunun iki tane dönüm noktasý vardýr. Bu noktalarýn apsisler toplamý ise a kaçtýr? Cevap : 6. f() = a + + b fonksionunun A(, ) noktasý minimum noktasý ise a+b toplamý kaçtýr? Cevap : m 0. f() = fonksionunun erel ekstremum + noktalarýnýn apsisleri ve olmak üzere, = 5 ise m kaçtýr? Cevap : 5. f() = (m ) + a + b eðrisinin erel ekstremum noktalarýnýn apsisleri toplamý 9 ise m nin deðeri kaçtýr? Cevap :. f() = + + fonksionunun dönüm noktasýndan çizilen teðetin denklemini bulunuz. Cevap : = +
ALIÞTIRMALAR. 5 = f ý () Yukarýda f() in türevinin grafiði verilmiþtir. Buna göre, f() in erel maksimum noktasýnýn apsisi kaçtýr? 6. f() = 9 Artan ve Azalan Fonksionlar parabolü üzerindeki herhangi bir nokta ile orjin arasýndaki en kýsa uzaklýk kaç birimdir? Cevap : 7 Cevap :. m + m + = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamýnýn minimum olmasý için m kaç olmalýdýr? Cevap : 7. = parabolünün = 0 doðrusuna en kýsa uzaklýðý kaç birimdir? Cevap : 5 8. = + parabolünün A(5, 0) noktasýna en kýsa uzaklýðý kaç birimdir?. A(, ) ve B(, ) noktalarý arasýndaki uzaklýðýn en kýsa olabilmesi için kaç olmalýdýr? Cevap : ñ5 Cevap : 9. f() = m + + fonksionunun konkav (iç büke) olduðu aralýk (, ) ise m deðeri nedir? 5. d Cevap : 6 C A 0 B Yukarýdaki þekilde ABOC dikdörtgeninin A köþesi d doðrusu üzerinde deðiþmektedir. Buna göre ABOC dörtgeninin alaný en fazla kaç br olur? Cevap : 5 5 0. = 9 parabolü ve = 8 doðrusu ile kesilerek, bir kenarý = 8 doðrusu üzerinde iki köþesi parabol üzerinde deðiþen dikdörtgenlerin en büük olanýnýn alaný kaç birim karedir? Cevap : 6 6
TEST. f() = 5 + fonksionunun azalan olduðu aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? 5 A) < < B) < < C) 0 < < D) 0 < < E) < < Artan ve Azalan Fonksionlar 6. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) f() = B) f() = C) f() = e D) f() = + E) f() = 5. f() = fonksionunun artan olduðu aralýk ln aþaðýdakilerden hangisidir? (, R + ) A) (0, e) B) (, e) C) (e, + ) 7. f() fonksionu (a, b) aralýðýnda pozitif deðerli ve artan bir fonksion olduðuna göre aþaðýdaki fonksionlardan hangisi aný aralýkta artandýr? A) f() B) f() C) f () D) E) f() f () D) (, 0) E) ( e, ) 8. (a, b) aralýðýnda (a, b) için türevi pozitif olan fonksion aþaðýdakilerden hangisidir? A) B) C). f() = + b + + m fonksionu daima artan olduðuna göre b nin alacaðý deðerler aþaðýdakilerden hangisidir? a b a b a b A) < b < B) < b < C) < b < D) E) D) < b < E) 0 < b < a b a b. f : R {} R olmak üzere, + m f() = fonksionunun daima artan olmasý için m aþaðýdakilerden hangisi olmalýdýr? A) m < B) m < 0 C) < m D) < m < E) 0 < m < 9. Yukarýda tepe noktasý T(, ) olan parabol verilmiþtir. Buna göre aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) f ý ( ) > 0 B) f(0) > 0 C) f ý () = 0 D) f ý () < 0 E) f ý () = 0 f() 5. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima azalandýr? A) f() = B) f() = C) f() = log D) f() = + E) f() = + 0. f() =. ln eðrisinin erel ektremum noktasýnýn apsisi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) e e
TEST. f() = a + b fonksionunun erel minimum noktasý (, 5) ise a+b toplamý kaçtýr? 7. Artan ve Azalan Fonksionlar A) B) C) D) 5 E) 6. f() = + fonksionu için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) < < aralýðýnda fonksion artandýr. B) = de erel minimum vardýr. C) = de erel maksimum vardýr. D) < < aralýðýnda fonksion azalandýr. E) < < aralýðýnda fonksion artandýr.. [a, b] aralýðýnda tanýmlý f() fonksionu için f ý () < 0 olduðuna göre aþaðýdakilerden hangisi daima doðrudur? A) f(b) < f() < f(a) B) f(a) < f() < f(b) C) f(a) < f() D) f(a) < f(b) E) f(a) = 0 8. Yukarýda f() fonksionunun grafiði verilmiþtir. Buna göre aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) f ýý () = 0 B) f ýý ( ) < 0 C) f ýý ( ) = 0 D) f ý (0) < 0 E) f ý ( ) > 0 A(0, ) P = ñ Yukarýda A(0, ) noktasýnýn = ñ eðrisine en akýn noktasý P ise AP uzunluðu kaçtýr? A) B) C) ñ D) ñ5 E) ñ6. f() = + 5 7 fonksionunun dönüm noktasý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 9. R olmak üzere ( ).( + ) çarpýmýnýn alacaðý en büük deðer kaçtýr? 55 A) B) C) D) E) 8 5. f() = (m ) + n + 0 fonksionunun dönüm (büküm) noktasý (, 0) ise m+n toplamý kaçtýr? A) 7 B) 8 C) 0 D) E) 0. = = 6 6. Bir iþ erinde bir günde üretilen tane birim malýn malieti f() = + + 0 lira olduðu bilinmektedir. Birim malýn satýþ fiatý 50 lira olduðuna göre günlük kârýn maksimum olabilmesi için bir günde kaç birim mal üretilmelidir? A) 8 B) 0 C) D) E) Yukarýdaki þekilde = parabolünün içine bir kenarý = 6 doðrusu diðer kenarý ekseni üzerinde ve bir köþesi de = parabolü üzerinde deðiþen bir dikdörtgen erleþtirilmiþtir. Bu dikdörtgenin maksimum alaný kaç br dir? A) 6ñ B) 6ñ C) ñ5 D) 5ñ E) ñ Cevaplar: - A -C -D -A 5-D 6-B 7-C 8-D 9-C 0-E -B -C - A -B 5-D 6-C 7-A 8-D 9-E 0-E