5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki

Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 01 1 Üç basamaklı 5AB sayısı iki basamaklı AB sayısına bölündüğünde, bölüm 13 ve kalan 8 olmaktadır Buna göre, A + B toplamı A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5AB = 13 AB + 8 500 + AB = 13AB + 8 A + B = 4 + 1 = 5 bulunur 492 = 12 AB AB = 41 5 Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam bölünebilmektedir Buna göre, A > B > C koşulunu sağlayan kaç tane ABC sayısı yazılabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ABC sayısı 2 ve 5 ile tam bölündüğünden C = 0 dır A = 9 olamaz ( Bu durumda B = 9 veya B = 0 olması gerekir) A = 8 için B = 1 A = 7 için B = 2 A = 6 için B = 3 A = 5 için B = 4 bulunur 2 Üç basamaklı ABC sayısı, iki basamaklı AB sayısına bölündüğünde bölüm ile kalanın toplamı 17 olduğuna göre, C rakamı ABC A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 AB C AB 10 10 + C = 17 C = 7 6 Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki basamaklı CD sayısıdır AB24 CD Buna göre, bulunabilecek CD sayılarının toplamı A) 132 B) 136 C) 140 D) 144 E) 148 AB24 ve 36 sayıları 4 ile tam bölüündüğnden CD sayısı 4 ile tam bölünür CD 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 = 132 36 3 7 3 + 14 3 + 21 3 toplamının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır? A) 18 B) 24 C) 36 D) 45 E) 48 7 3 (1 + 2 3 + 3 3 ) = 7 3 2 2 2 2 (3 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 36 tane pozitif tam sayı bölüne vardır? 7 A B 2 Yukarıdaki bölme işleminde A üç basamaklı bir doğal sayıdır Buna göre, B doğal sayısının alabileceği en büyük değer A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A = 29 34 + B 2 A = 986 + B 2 A üç basamaklı olduğundan B 2 < 1000-986 B 2 < 14 olur 29 34 B nin alabilceği en büyük değer 3 tür 43 4 Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? A) 3 11 + 5 13 B) 7 15 + 1 C) 3 13 D) 257 E) 53781 257 sayısı asal sayıdır 8 Dört basamaklı 58A7 sayısının 11 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, 9 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 7 A + 8 5 = 11k + 3 (k Z + ) 11k = 7 A, A = 7 dir 5877 sayısının 9 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalandır Sıfır bulunur

Test 01 1 A 2 E 3 C 4 D 5 D 6 A 7 B 8 A 9 A 10 E 11 C 12 D 13 B 14 C 15 B 16 B 9 2700 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır? A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 27 100 = 3 3 2 2 5 2 = 2 2 3 3 5 2 Tek sayı olan 3 3 ve 5 2 asal çarpanlarının üsleri bir artırılarak çarpılır 4 3 = 12 elde edilir 13 a nın kaç farklı doğal sayı değeri için a + 25 a + 1 ifadesi doğal sayı olur? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 a + 25 a + 1 24 a + 25 = 1 + a + 1 1 a + 1 24 a + 1 sayısı 24 ün bölenleri olmalıdır 24 = 2 3 3 sayısının 4 2 = 8 tane doğal sayı böleni vardır a + 1 = 1 a = 0 10 Dört basamaklı (2a7b) sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre, beş basamaklı (5ab48) sayısının 9 ile bölümünden kalan A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8 2 + a + 7 + b = 9k (k Z + ) a + 1 = 2 a = 1 a + 1 = 24 a = 23 için verilen ifade doğal sayı olur 14 a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, 450 a = (b + 6) 3 a + b toplamı 9 un katıdır 5 + a + b + 4 + 8 = a + b + 17 ve 17 nin 9 ile bölümünden kalan 8 dir olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer A) 72 B) 80 C) 84 D) 90 E) 96 450 a = (b + 6) 3 2 3 2 5 2 a = (b + 6) 3 a = 2 2 3 5 11 30! (5 + 12!) sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 5 + 12! sayısının birler basamağı 5 tir a = 60 ve (b + 6) 3 = 2 3 3 3 5 3 b + 6 = 2 3 5 a + b = 60 + 24 = 84 tür b = 24 bulunur 15 a pozitif tam sayı olmak üzere, 5a 3 + 4 sayısının 7 ile bölümünden kalan 6 dır Bu sayı 30! içinde bulunan çok sayıdaki 2 asal çarpanlardından biriyle çarpıldığında sonuna bir sıfır gelir Ayrıca 30! sayısının sonunda 30 5 6 30 25 1 6 + 1 = 7 sıfır vardır 30! (5 + 12!) sayısının sondan 7 + 1 = 8 basamağı sıfırdır Buna göre, 125a 9 + 25a 6 + 3 sayısının 7 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 5a 3 = 7k + 6 5a 3 = 7k + 2 5a 3 sayısının 7 ile bölümünden kalan 2 dır 125a 9 + 25a 6 + 3 = 25a 6 (5a 3 + 1) + 3 25a 6 = (5a 3 ) 2 sayısının 7 ile bölümünden kalan 2 2 = 4 ve 5a 3 + 1 sayısının 7 ile bölümünden kalan 3 tür 44 12 a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, 25a 6 (5a 3 + 1) = 3 sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 3 + 3 1(mod7) a! = 240 b! olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük değer A) 6 B) 14 C) 15 D) 16 E) 24 16 a, b ve c asal sayılar olmak üzere, a 2 b + a 2 c = c 2 b 2 dir b ve c iki basamaklı olduklarına göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer a! = 240 b! a! = 15 16 b! b = 14 ve a = 16 bulunur A) 30 B) 32 C) 35 D) 37 E) 40 a 2 (b + c) = (c b) (c + b) a 2 = c b c b çift sayı olduğundan a = 2 dir c b = 4 c = b + 4 b = 13 için c = 17 olur a + b + c = 2 + 13 + 17 = 32 bulunur

Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 02 1 A = 18 2 + 27 2 + 36 2 5 A, B, C pozitif tam sayılar olmak üzere, olduğuna göre, A sayısının en büyük asal çarpanı A) 23 B) 29 C) 31 D) 37 E) 41 A + 2 B 3 B C 6 A = 9 2 (2 2 + 3 2 + 4 2 ) A = 3 4 29 4 3 bölme işlemleri veriliyor Buna göre, A nın alabileceği en küçük değer A) 81 B) 83 C) 84 D) 85 E) 86 Bölen kalandan büyük olacağı için C nin alabileceği en küçük değer 4 tür B = 6C + 3 B = 27 bulunur A + 2 = 3B + 4 A + 2 = 81 + 4 2 3ab4 dört basamaklı bir doğal sayıdır 3ab4 12 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değerleri ile en küçük tam sayı değerleri arasındaki fark A = 83 tür A) 75 B) 80 C) 120 D) 800 E) 960 3ab4 sayısı 4 ve 3 ile tam bölünebilmelidir 6 Dört basamaklı (3a7b) sayısı 45 ile tam bölünebilen tek sayı olduğuna göre, a rakamı b = 0 a = 2, 5, 8 b = 2 = 0, 3, 6, 9 b = 4 = 1, 4, 7 b = 6 a = 2, 5, 8 b = 8 a = 0, 3, 6, 9 3ab4 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değeri 12 arasındaki fark 3984 12 3024 12 = 80 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 b = 5 tir 3 + a + 7 + 5 = 9k (k Z) a = 3 bulunur 3 72 sayısını tam bölebilen farklı doğal sayıların toplamı A) 190 B) 195 C) 200 D) 205 E) 210 1 + 2+ 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 18 + 24 + 36 + 72 = 195 7 Beş basamaklı 72M5N sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, M + N toplamının alabileceği en büyük değer A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 72M5N sayısı 3 ile tam bölünebilen çift sayıdır N = 8 için M = 8 olur M + N = 16 dır 4 ABC3 dört basamaklı, DE iki basamaklı doğal sayılardır ABC3 DE Yukarıdaki bölme işlemine göre, DE nin alabileceği farklı değerlerin toplamı 35 8 A = (29!) 2 1 olduğuna göre, A nın sondan kaç basamağı 9 dur? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 29 5 29 25 5 + 1 = 6 5 1 29! sayısının sondan 6 basamağı sıfırdır 45 A) 97 B) 102 C) 115 D) 128 E) 133 Kalanın birler basamğı 3 veya 8 olur 13 + 18 + 23 + 28 + 33 = 115 (29!) 2 sayısının sondan 12 basamağı sıfır olur 29! 1 sayısının sondan 12 basamağı 9 dur

Test 02 1 B 2 E 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 E 9 C 10 C 11 D 12 E 13 E 14 E 15 B 16 B 9 x ve y doğal sayılar olmak üzere, 9x 2 y 2 = 23 olduğuna göre, x + y toplamı A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 9x 2 y 2 = 23 (3x y) (3x + y) = 1 23 3x y = 1 x = 4 ve y = 11 bulunur 3x + y = 23 x + y = 4 + 11 = 15 tir 13 a = 20 + 20 + 20 + + 20 62 tane b = 14 + 14 + 14 + + 14 73 tane olduğuna göre, a b nin 9 ile bölümünden kalan A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 a nın 9 ile bölümünden kalan 20 62 2 8 7 ve b nin 9 ile bölümünden kalan 14 73 5 1 5 tir A B nin 9 ile bölümünden kalan 7 5 8 olur 10 a nın kaç farklı doğal sayı değeri için 3a 21 a + 1 3a + 21 3a + 3 24 işleminin sonucu doğal sayı olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8 a + 1 3 3a 21 a + 1 = 3 24 a + 1 14 n Z + ve 74AB dört basamaklı bir sayıdır Bir satıcı, tanesi 45 liradan 2n tane gömlek satın alıyor Bu gömlekler için 74AB lira ödediğine göre, satıcı kaç gömlek satın almıştır? a + 1 sayısı 24 ün pozitif bölenleri olmalıdır a + 1 = 8 a = 7 a + 1 = 12 a = 11 a + 1 = 24 a = 23 için ifade doğal sayı olur A) 84 B) 108 C) 120 D) 144 E) 166 2n 45 = n 90 B = 0 dır 74A0 sayısı 9 ile tam bölünür A = 7 olur 7470 : 45 = 166 11 a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, a 3 = 12 b 4 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer A) 72 B) 96 C) 108 D) 126 E) 136 a 3 = 2 2 3 b 4 a 3 = 2 2 3 b b 3 b = 2 3 2 = 18 ve 15 Ahmet, Bora ve Cemil yaşlarını, verilen bir doğal sayıya bölerek sırasıyla 6, 7 ve 9 sayılarını bulmuşlardır Ahmet 20 yaşından küçük, Bora 20 yaşından büyük olduğuna göre, Cemil kaç yaşındadır? A) 24 B) 27 C) 30 D) 33 E) 36 Verilen doğal sayı k olsun a 3 = 2 3 3 3 18 3 a = 2 3 18 Ahmet = 6k, Bora = 7k ve Cemil = 9k olur 46 a = 108 bulunur a + b = 108 + 18 = 126 6k < 20 k = 3 tür 7k > 20 Cemil = 9k = 27 yaşındadır 12 4200 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 14 ile tam bölünür? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 4200 = 42 100 = 2 3 7 2 2 5 2 = 2 3 3 5 2 7 = 14 (2 2 3 5 2 ) 2 2 3 5 2 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 3 2 3 = 18 dir 16 11 e tam bölünemeyen pozitif tam sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor Bu sıralamada 50 sayı A) 50 B) 54 C) 56 D) 58 E) 60 n n = 50 10n = 50 11 11 n = 55 Atılan son sayı 55 olduğundan 50 sayı, son sayı olan 54 tür

Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 03 1 111 2 + 222 2 + 333 2 toplamı aşağıdaki sayılardan hangisine tam bölünemez? A) 11 B) 111 C) 222 D) 333 E) 666 111 2 (1 2 + 2 2 + 3 2 ) = 111 111 2 7 = 3 37 111 2 7 5 Altı basamaklı 1AB284 sayısı 66 ile tam bölünebilmektedir Buna göre, A + B toplamının alabileceği en büyük değer A) 7 B) 10 C) 12 D) 15 E) 17 66 = 2 3 11 olduğundan sayı 2 ile 3 ve 11 ile tam bölünebilmelidir Sayı 11 ile tam bölünemez 1 + A + B + 2 + 8 + 4 = A + B + 15 olduğundan A + B, 3 ün katı olmalıdır 4 8 + 2 B + A 1 = A B 3, 11 in katı ve A B = 3 olmalıdır A + B = 18 olamaz (A = 9, B = 9, A B = 0) A + B = 15 olur 2 Beş basamaklı 4A54B sayısı 15 ile kalansız bölünebilmektedir Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle bir tam sayı olamaz? A) 22 A B = 0 veya B = 5 tir B) 25 A C) 33 A D) 48 A E) 49 A 6 Üç basamaklı ABC sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, beş basamaklı 8ABC7 sayısının 9 ile bölümünden kalan 4A540 sayısı 3 katı olmalıdır A rakamı 2, 5, 8 olabilir 4A545 sayısı 3 ün katı olmalıdır A rakamı 0, 3, 6, 9 olabilir A yerine yazılabilecek rakamların hiçbirine 49 tam bölünmez A) 0 B) 1 C) 5 D) 7 E) 8 A + B + C = 9k + 4 (k Z + ) 8 + A + B + C + 7 = (9k + 4) + 15 = 9k + 19 3 A 1 14 A + B B Yukarıdaki bölme işlemlerinde A, B, C pozitif tam sayılar olduğuna göre, C A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 A = 14 B + 1 A + B = BC + 1 (14 B + 1) + B = BC + 1 15B = BC C = 15 bulunur 1 C B 19 un 9 ile bölünenden kalan 1 dir 7 360 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır? A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 Bölenlerin her birinde 2 çarpanı bulunmalıdır 36 10 = 2 3 3 2 5 = 2(2 2 3 2 5 1 ) 2 2 3 2 5 1 sayısının pozitif bölünlerinin sayısı (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18 dir 4 A = 21 5 7 5 olduğuna göre, A sayısının kaç tane asal olmayan doğal sayı böleni vardır? A) 31 B) 33 C) 35 D) 37 E) 39 A = 21 5 7 5 A = 7 5 (3 5 1) A = 7 5 242 A = 2 1 11 2 7 5 A sayısının (1 + 1) (2 + 1) (5 + 1) = 36 tane doğal sayı böleni vardır Bunlardan 3 tanesi asal 33 tanesi asal değildir 8 Beş basamaklı AB248 sayısının 5 ve 9 ile bölümünden kalanlar aynıdır Buna göre, beş basamaklı 2A4B8 sayısının 11 ile bölümünden elde edilebilecek kalanların toplamı kaç olur? A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 16 5 ile bölümünden kalan 3 olduğundan 9 ile bölümünden kalan da 3 olmalıdır A + B + 2 + 4 + 8 = 9k + 3 (k Z + ) A + B = 9k 11 olur 2A4B8 sayısının 11 ile bölümünden kalan 8 b + 4 A + 2 = 14 (A + B) = 14 (9k 11) = 25 9k 47 k = 0 için kalan 3, k = 1 için kalan 5 ve k = 2 için kalan 7 olur toplamları 16 dır

Test 03 1 A 2 E 3 D 4 B 5 D 6 B 7 C 8 E 9 C 10 B 11 C 12 B 13 B 14 D 15 D 16 E 9 A 38 x 2 x 13 a, b Z, a 0 ve b 0 olmak üzere, 108 a = (1 b) 4 olduğuna göre, b nin alabileceği en küçük değer Pozitif tam sayılarla yapılan yukarıdaki bölme işlemine göre, A nın alabileceği en büyük değer A) 236 B) 241 C) 264 D) 272 E) 290 x 2 < 38 x = 6 (En büyük) A = 38 x + x 2 A = 264 bulunur 10 36 n sayısının birbirinden farklı tüm doğal sayı bölenlerinin sayısı 49 olduğuna göre, n doğal sayısı A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 36 n = (2 2 3 2 )n = 2 2n 3 2n (2n + 1) (2n + 1) = 49 2n + 1 = 7 n = 3 bulunur A) 7 B) 5 C) 4 D) 5 E) 7 108 a = (1 b) 4 2 2 3 3 a = (b 1) 4 a = 2 2 3 = 12 ve (b 1) 4 = 2 4 3 4 b 1 = 2 3 veya b 1 = 2 3 b = 7 veya b = 5 bulunur b nin alabileceği en küçük değer 5 tir 14 3x 78 x 2 3x 78 ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, x in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 3x 6 A) 24 B) 32 C) 36 D) 48 E) 60 x 2 3 72 x 2 = 1 x = 1 x 2 = 2 x = 0 3x 78 72 x + 2 = 3 x 2 x 2 = 1 x = 3 x 2 = 2 x = 4 11 a ve b doğal sayılardır 64! = b 5a olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük değer A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 64 5 64 25 12 2 x 2 = 3 x = 1 x 2 = 72 70 15 28! 27! 3n x 2 = 3 x = 5 x 2 =72 x = 74 toplamları = 4 12 = 48 olur ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, n nin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 27!(28 1) 27! 27 27! 3 3 3 n = 3 n = 3 n 27 3 9 9 3 3 3 3 1 a nın alabileceği en büyük değer 12 + 2 = 14 tür n nin alabileceği en büyük değer (n + 3 + 1) + 3 = 16 dır n nin alabileceği değerler 0, 1, 2,, 16 olmak üzere 17 tanedir 16 a ve b birer pozitif tam sayı ve p asal sayı olmak üzere, a 2 4b 2 = p 48 12 a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, a 2 b 2 = 116 olduğuna göre, a A) 28 B) 30 C) 36 D) 40 E) 58 a b = 2 a = 30 ve b = 28 bulunur a + b = 58 a b = 1 a b = 4 ve olamaz a + b = 116 a + b = 29 Bu durumda a ve b tam sayı olmaz a 2b = 1 a + 2b = p olduğuna göre, a + b toplamının p türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 p 1 2 a + b = P + 1 2 D) 3 p 1 4 a = P + 1 ve b = P 1 2 4 + P 1 = 3P + 1 bulunur 4 4 B) 2 p + 1 2 E) 3 p + 1 4 C) 2 p + 1 4

Bölme ve Bölünebilme 1 Dört basamaklı A35B sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, bölümün alabileceği en büyük değer A) 613 B) 661 C) 696 D) 697 E) 698 Son iki basamağı 4 ün katı ve rakamları toplamı 3 ün katı olmalıdır B = 2 veya B = 6 olabilir 5 81 6 n BÖLÜM 03 Test 04 sayısının birbirinden farklı tüm doğal sayı bölenlerinin sayısı 32 olduğuna göre, n A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 81 6 n = 3 4 2 n 3 n B = 2 için A nın alabileceği en büyük değer 8 ve B = 6 için A = 4 olur 8352 Buna göre, A35B sayısı en büyük 8352 olur = 696 dır 12 = 2 n 3 n+4 (n + 1) (n + 4 + 1) = 32 (n + 1) (n + 5) = 32 n = 3 bulunur 2 220 sayısının a tam sayısına bölümünden kalan 4, 365 sayısının a tam sayısına bölümünden kalan 5 ve 410 sayısının a tam sayısına bölümünden kalan 14 tür Buna göre, a nın alabileceği en büyük değer A) 24 B) 32 C) 36 D) 48 E) 72 EBOB(216, 360, 396) = 36 6 239 241 + 1 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı A) 79 B) 80 C) 81 D) 83 E) 85 239 241 + 1 = (240 1) (240 + 1) + 1 = 240 2 1 + 1 = 240 2 = 2 8 3 2 5 2 3 Kenar uzunlukları tam sayı ve alanı 84 birimkare olan kaç farklı dikdörtgen çizilebilir? Pozitif bölenlerinin sayısı, üsler 1 artırılarak çarpılırsa 9 3 3 = 81 bulunur A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 84 ün doğal sayı olan bölenlerinin sayısı, 84 = 2 2 3 1 7 1 olduğundan 7 a ve b aralarında asal iki doğal sayı olmak üzere, (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 12 dir 42 2 42 4 Üç basamaklı (7ab) sayısı iki basamaklı (ab) sayısının 21 katıdır Buna göre, (ab) sayısı aşağıdaki sayılardan hangisin tam bölünür? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 11 7ab = 21 ab 700 + ab = 21 ab 2 700 = 20 ab ab = 35 bulunur gibi iki dikdörtgenin alanı aynı olduğundan 12 2 = 6 farklı dikdörtgen çizilebilir 12a 12 a 12 12 : a 1 = 15 a b olduğuna göre, a + b toplamı A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 b a 1 = 15 12(a 1) a 12b = 15 a 4b = 5 a a = 4, b = 5 ve a + b = 9 dur 5a = 4b b a 1 = 15 8 Dört basamaklı 7a6b sayısı 30 ile kalansız bölünebildiğine göre, bölümün en büyük değeri A) 242 B) 248 C) 252 D) 262 E) 268 Sayı 10 un ve 3 ün katı olmalıdır 49 Bu sayı 5 ile tam bölünebilir b = 0 ve sayı en büyük 7860 olur 7860 = 262 dir 30

Test 04 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 D 11 C 12 D 13 B 14 C 15 D 16 C 9 a, b ve c pozitif tam sayılardır a 6 c b ve c b 2 b 3 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı A) 70 B) 113 C) 183 D) 264 E) 296 3 < b < 6 olmalıdır a = 6c + b ve c = b(b 2) + 3 tür b = 4 için c = 11 ve a = 70 ve 13 a nın kaç farklı doğal sayı değeri için a + 26 a + 26 a + 2 ifadesi doğal sayı olur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 a + 2 72 a + 2 1 a + 26 a + 2 = 1 + 24 a + 2 a + 2 sayısı 24 ün pozitif bölenleri olmalıdır a + 2 = 1 a = 1 (olamaz) a + 2 = 2 a = 0 b = 5 için c = 18 ve a = 113 bulunur a nın alabileceği değerlerin toplamı 70 + 113 = 183 tür 10 Dört basamaklı 6a7b sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, a rakamı kaç farklı değer alır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Sayı 5 ve 9 ile bölünebilmelidir b = 5 için a = 0 veya a = 9 olabilir b = 0 için a = 5 olur a rakamı 3 farklı değer alabilir 11 a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, 35 3 35! = 3 a b olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük değer A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 11 11 3 3 3 3 bölümler toplanır ve a = 11 + 3 + 1 = 15 bulunur 1 a + 2 = 3 a = 1 a + 2 = 24 a = 22 a nın alabileceği 7 farklı değer vardır 14 a ve b birer doğal sayı olmak üzere, 488 (a 4) 2 = (b 1) 3 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer A) 65 B) 123 C) 188 D) 215 E) 260 2 3 61 (a 4) 2 = (b 1) 3 a 4 = 61 a = 65 ve (b 1) 3 = 2 3 61 3 b 1 = 2 61 a + b = 188 dir b = 123 bulunur 15 x, y, z, t birer doğal sayı olmak üzere, 13! + 14! 2x 3y 5z 7t ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri A) 91 B) 117 C) 132 D) 143 E) 182 13!(1 + 14) 2 x 3 y 5 z 7 t = 13!15 2 x 3 y 5 z 7 t Elde edilen rasyonel ifadede 2 nin, 3 ün, 5 in ve 7 nin tüm kuvvetleri sadeleştirilirse, sonuç 1113 = 143 olur 50 12 a ve b doğal sayıları için dir a 2 b 2 = 41 Buna göre, a sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünür? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 (a b) (a + b) = 1 41 a b = 1 a = 21 ve b = 20 dir a + b = 41 a sayısı 7 ile tam bölünür 16 AB8 üç basamaklı doğal sayıdır AB8 x 25 Yukarıdaki bölme işlemine göre, farklı x kalanlarının toplamı kaç olur? A) 24 B) 41 C) 65 D) 150 E) 300 Bir sayının 25 ile bölümünden kalan, son iki basamağının 25 ile bölümünden kalandır B = 0 için x = 8 B = 1 için x = 18 B = 2 için x = 3 B = 3 için x = 13 B = 4 için x = 23 olur Toplamları 65 tir

Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 05 1 a, b, c Z + olmak üzere, a b = 45 b c = 75 olduğuna göre, a b c çarpımının alabileceği en küçük değer A) 180 B) 196 C) 216 D) 225 E) 240 EBOB(45, 75) = 15 tir 5 Boyutları 8 cm, 12 cm ve 16 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan en az kaç tanesi ile içi dolu bir küp yapılabilir? A) 40 B) 56 C) 60 D) 72 E) 96 EKOK(8, 12, 16) = 48 48 48 48 8 12 16 = 6 4 3 = 72 b = 15, a = 3 ve c = 5 bulunur 15 3 5 = 225 elde edilir 2 Çarpımları 720 olan iki doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğü 6 dır Buna göre, bu iki sayının ortak katlarının en küçüğü A) 96 B) 120 C) 180 D) 240 E) 360 EBOB(a, b) EKOK(a, b) = a b 6 EKOK(a, b) = 720 EKOK(a, b) = 120 6 Bir torbada 150 den fazla ve 250 den az sayıda bilye vardır Torbadaki bilyeler beşer, altışar ve sekizer sayıldığında daima 3 bilye artmaktadır Buna göre, torbadaki bilyelerin sayısı A) 234 B) 237 C) 240 D) 243 E) 245 x = 5a + 3 = 6b + 3 = 8c + 3 x 3 = OKEK(5, 6, 8) = 120 x = 120k + 3, k Z + k = 2 için bilye sayısı 243 olur 3 Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutunun boyutları 48 cm, 72 cm ve 84 cm dir Bu kutu, küp biçimindeki özdeş kutularla doldurulacaktır Buna göre, en az kaç tane kutu ile dolar? A) 160 B) 168 C) 174 D) 180 E) 196 EBOB(48, 72, 84) = 12 48 72 84 12 12 12 = 4 6 7 = 168 7 6 < a 36 olmak üzere, dır EBOB(a, 18) = 6 Buna göre, a nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı A) 102 B) 72 C) 66 D) 54 E) 42 a = 6k ve a 18t (k, t Z + ) a = 12, a = 24, a = 30 olabilir toplamları 12 + 24 + 30 = 66 dır 4 20 m, 24 m ve 28 m uzunluğundaki üç demir çubuk kesilerek birbirine eşit ve en büyük boyda parçalara ayrılacaktır Buna göre, kaç kesim yapmak gerekir? A) 9 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18 EBOB(20, 24, 28) = 4 Bir çubuğu n tane kesim n + 1 tane parçaya ayarır 20 = 5 parça 4 kesim, 4 24 = 6 parça 5 kesim ve 4 28 = 7 parça 6 kesim olmak 4 üzere, 4 + 5 + 6 = 15 kesim yapmak gerekir 8 Ali ile Berk bir miktar cevizi dörder dörder paylaştıklarında 1 ceviz, altışar altışar paylaştıklarında ise 5 ceviz artıyor Paylaşılan ceviz sayısı 100 den çok olduğuna göre, en az A) 113 B) 114 C) 115 D) 166 E) 117 x = 8a + 1 = 12b + 5 x + 7 = 8(a + 1) = 12(b + 1) x + 7 = k EKOK(8, 12) x + 7 = k 24 k = 5 için x + 7 = 120 x = 113 bulunur 51

Test 05 1 D 2 B 3 B 4 C 5 D 6 D 7 C 8 A 9 B 10 B 11 B 12 A 13 B 14 E 15 E 16 C 9 Üç zilden birincisi 40 dakika bir, ikincisi 60 dakikada bir, üçüncüsü de 90 dakikada bir çalmaktadır Saat 14 te birlikte çalan bu üç zil, saat kaçta tekrar ilk kez birlikte çalar? A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 EKOK(40, 60, 90) = 360 360 60 = 6 saat sonra, yani saat 20 de tekrar birlikte çalar 13 Komşu iki kenarının uzunlukları 168 metre ve 180 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir tarla, alanları eşit kare şeklinde parsellere ayrılarak karelerin köşelerine birer fidan dikilecektir Buna göre, en az kaç fidana ihtiyaç vardır? A) 210 B) 240 C) 250 D) 260 E) 280 168 = 2 3 3 7 EBOB(168, 180) = 12 180 = 2 2 3 2 5 168 = 14 ara, 15 sıra ve 12 180 12 = 15 ara, 16 sıra fidan dikilecektir 15 16 = 240 fidana ihtiyaç vardır 10 a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, a + a + a = b 12 15 18 olduğuna göre, b nin alabileceği en küçük değer A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40 a 12 + a 12 + a 12 = b 37a 180 = b (15) (12) (10) a = 180 için b = 37 bulunur 14 Eni 1240 cm, boyu 1800 cm ve derinliği 400 cm olan dikdörtgenler prizması biçiminde üstü açık bir yüzme havuzunun iç yüzeyleri, kare biçimindeki eş fayanslarla kaplanacaktır Buna göre, bu iş için en az kaç fayansa ihtiyaç vardır? A) 2600 B) 2740 C) 2760 D) 2800 E) 2915 EBOB = 40 = Taban çevresi x 400 + 1800 1240 2 3040 400 40 40 40 40 1800 1260 + = 1420 + 1395 40 40 = 2815 11 Üç ayrı televizyon kanalından birincisinde 40 dakikada bir, ikincisinde 48 dakikada bir, üçüncüsünde ise 60 dakikada bir reklam yayımlanmaktadır Saat 15:00 te aynı anda reklam yayımlayan bu üç kanal, saat kaçta tekrar birlikte reklam yayımlar? A) 18:30 B) 19:00 C) 19:30 EKOK(40, 68, 60) = 2 4 3 5 = 240 240 D) 20:00 E) 20:30 60 = 4 saat sonra saat 19:00 da 15 9x + 6y = EBOB(9, 6) eşitliğini sağlayan x ve y tam sayıları için, (x, y) ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) (1, 1) B) (3, 4) C) (5, 7) D) (7, 10) E) (10, 14) 3x + 2y = 1 denklemi x = 1 ve y = 1 için sağlanır 3x + 2y = 3 1 + 2 ( 1) 3x 3 = 2y 2 x 1 2 3(x 1) = 2( y 1) = y 1 = t x = 1 + 2t, y = 1 3t 3 (x, y) (1, 1), (3, 4), (5, 7), (7, 10), 52 (10, 14) ikilisi denklemi sağlamaz 12 a ve b ardışık iki doğal sayı olmak üzere, EBOB(a, b) = x 11 EKOK(a, b) = 9x + 2 olduğuna göre, bu sayılardan küçük olan A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 Ardışık iki doğal sayı aralarında asal sayılardır En büyük ortak bölenleri 1 ve en küçük ortak katları bu iki sayının çarpımı olur EBOB(a, b) = 1 x 11 = 1 x = 12 EKOK(a, b) = x 11) (9x + 2) = 1 110 = 10 11 küçük sayı 10 dur 16 a ve b birer doğal sayı olmak üzere, EBOB(a, b) = 3 12 EKOK(a, b) = 35 (a + b) olduğuna göre, a + b toplamı A) 32 B) 35 C) 36 D) 45 E) 48 a = 3k ve b = 3t, k, t Z + olsun 12 EKOK(a,b) = 35 (a + b) 12 (k t 3) = 35 3(k + t) 12 k t = 35(k + t) k t = 35 k = 5 ve t = 7 k + t = 12 a = 15, b = 21 ve a + b = 36 bulunur

Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 06 1 Hem 48 hem de 60 ile tam bölünebilen üç basamaklı kaç doğal sayı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 EKOK(48, 60) = 240 240 sayısının katları olan üç basamaklı sayılar 240, 480, 720, 960 olmak üzere 4 tanedir 5 185, 423 ve 482 sayıları, aynı a doğal sayısına bölündüğünde sırasıyla 5, 3 ve 2 kalanlarını vermektedir Bu koşula uyan en büyük a sayısı A) 36 B) 48 C) 60 D) 72 E) 90 EBOB(180, 420, 480) = 60 6 3 19, 4 7 ve 8 38 sayılarına tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayının pozitif bölenlerinin toplamı 2 İki doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğü 12 ve ortak katlarının en küçüğü 420 dir A) 21 B) 24 C) 25 D) 28 E) 30 Verilen sayılara tam bölünebilen en küçük doğal sayı x olsun Bu sayılardan biri 60 olduğuna göre, diğeri A) 72 B) 84 C) 90 D) 96 E) 108 60 x = 12 420 x = 84 3 x : 19 = 19x 3, x : 4 7 = 7x 4, x : 8 38 = 19x 4 olduğundan x sayısı 3 ve 4 ün en küçük ortak katı, yani 12 olmalıdır 12 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 bulunur 7 Bir terzi 3 günde 4 gömlek, kalfası ise 4 günde 3 gömlek dikebilmektedir İkisi birlikte 100 gömleği bitirdiğinde, bunlardan kaç tanesini kalfa dikmiş olur? A) 24 B) 30 C) 36 D) 42 E) 45 3 Tanesi 75 liradan bir miktar pantolon ve tanesi 35 liradan bir miktar kazak alan bir kimse toplam 405 lira ödemiştir Buna göre, alınan pantolon sayısı A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 x tane pantolon ve y tane kazak almış olsun 75x + 35y = 405 4 pantolon ve 3 kazak almıştır Terzi: 3 günde 4 gömlek Kalfa: 4 günde 3 gömlek Terzi: 12 günde 16 gömlek Kalfa: 12 günde 9 gömlek diker İkisi birlikte 12 günde 25 gömlek ve 4 12 = 48 günde 100 gömlek dikmiş olurlar Bunun 4 9 = 36 sını kalfa dikmiş olur 8 Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 42 cm, 54 cm ve 72 cm dir 53 Bu prizmadan en büyük boyutlu ve eşit hacimli kaç küp kesilebilir? 4 24 litrelik, 27 litrelik ve 30 litrelik kaplarda bulunan üç farklı kalitedeki yağ, birbirine karıştırılmadan eşit hacimli şişelere doldurulacaktır Buna göre, bu iş için en az kaç şişeye ihtiyaç vardır? A) 24 B) 27 C) 30 D) 36 E) 45 EBOB(24, 27, 30) = 3 24 3 + 27 3 + 30 = 8 + 9 + 10 = 27 3 tane şişeye ihtiyaç vardır A) 720 B) 750 C) 756 D) 760 E) 780 EBOB(42, 54, 72) = 6, küpün bir ayrıtı 6 cm olmalıdır Dikdörtgenler prizmasının hacmi 42 54 72 = küpün hacmi 6 6 6 = 7 9 12 = 756

Test 06 1 C 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 C 8 C 9 D 10 B 11 C 12 C 13 C 14 D 15 A 16 A 9 36 kg fasulye, 48 kg nohut, 60 kg bulgur hiç artmayacak ve birbirine karışmayacak şekilde torbalara konacaktır Torbalara konulan ağırlıklar eşit olacağına göre en az kaç torba gerekir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 EBOB(36, 48, 60) = 12 36 12 = 3 torba, 48 60 = 4 torba, = 5 torba olmak üzere, toplam 3 + 4 + 5 = 12 torba 12 12 gerekir 13 Dairesel bir yarış pistinin etrafını üç atletten birincisi 60 saniyede, ikincisi 75 saniyede ve üçüncüsü de 90 saniyede koşmaktadır Başlangıç noktasından aynı anda koşmaya başlayan bu üç atlet, tekrar başlangıç noktasında ilk kez bir araya geldiğinde, en yavaş koşan atlet kaç tur atmış olur? A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 EKOK(60, 75, 90) = 900 saniye 900 90 = 10 tur 10 6 ve a doğal sayısı aralarında asal sayılar olmak üzere, 14 a, b ve c doğal sayılar olmak üzere, EKOK(6 a, a + 6) = 330 3a = 4b = 5c olduğuna göre, a EBOB(a, b, c) = 4 A) 3 B) 5 C) 7 D) 11 E) 13 Bu sayıların çarpımları ile toplamlarıda aralarında asaldır EKOK(6a, a + 6) = 330 6a (a + b) = 330 olduğuna göre, a + b + c toplamı A) 160 B) 172 C) 180 D) 188 E) 192 EKOK(a, b, c) = 60 tır a(a + b) = 55 3a = 4b = 5c = 60k olsun a = 5 bulunur a = 20k, b = 15k, c = 12k olur 11 a sayısı 105, 135 ve 165 sayılarını kalansız bölen bir doğal sayıdır Buna göre, a + 90 a ifadesinin en küçük değeri A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 a = EBOB(105, 135, 165) a = 15 a + 90 a = a a + 90 a = 1 + 6 = 7 EBOB(a, b, c) = 4 olduğundan k = 4 alınırsa a = 80, b = 60 ve c = 48 olur a + b + c = 80 + 60 + 48 = 188 dir 15 87x + 45y = EBOB(87, 45) eşitliğini sağlayan x ve y tam sayıları için x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 26 B) 13 C) 1 D) 15 E) 29 87x + 45y = 3 29x + 15y = 1 x = 1 ve y = 2 denklemi sağlar 29x + 15y = 29( 1) + 15 2 29(x + 1) = 15( y + 2) x + 1 15 = y + 2 29 = k x = 1 + 15k, y = 2 29k x + y = 1 14k, k Z + bulunur k = 2 için x + y = 29 k = 1 için x + y = 25 54 12 a, b Z + için EBOB(a, b) = 6 k = 0 için x + y = 1 k = 1 için x + y = 13 olur x + y = 26 olamaz a 2 b 2 = 612 16 a ve b ardışık tek doğal sayılar olmak üzere, olduğuna göre, a EKOK(a, b) + 1 = 7(a + b) A) 36 B) 48 C) 54 D) 60 E) 72 olduğuna göre, a + b toplamı EBOB(a, b) = 6 a = 6k ve b = 6t, k, t Z + olsun a 2 b 2 = 612 36k 2 36t 2 = 612 A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 a ve b aralarında asal sayılar ve b = a + 2 dir k 2 t 2 = 17 (k t) (k + t) = 1 17 k t = 1 k = 9 ve t = 8 bulunur k + t = 17 a = 6k = 54 tür a (a + 2) + 1 = 7(a + a + 2) a 2 + 2a + 1 = 14a + 14 a 2 1a 13 = 0 (a 13) (a + 1) = 0 a = 13 b = a + 2 = 15 bulunur a + b = 28 dir

Modüler Aritmetikte İşlemler BÖLÜM 03 Test 07 1 (4862) 27 sayısının 9 ile bölümünden kalan A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 2 1 2 (mod 9) 2 4 6 + 3 1 2 3 8 (mod 9) 2 2 4 (mod 9) 2 3 8 (mod 9) 2 4 7 (mod 9) 2 5 5 (mod 9) 2 6 1 (mod 9) 5 Aşağıdakilerden hangisi 7 x 2 x (mod 13) denkliğinin bir kökü değildir? A) 12 B) 24 C) 30 D) 36 E) 48 12 1 (mod 13) x = 12, x = 24, x = 36, x = 48, için 7 x 2 x 1 olur x = 30 olamaz 2 4 43 + 7 43 + 10 43 toplamının 11 ile bölünden kalan A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 7 4 (mod 11) 7 43 ( 4) 43 (mod 11) 4 43 + ( 4) 43 + 10 43 4 43 4 43 + 10 43 (mod 11) 10 = 10 (mod 11) 10 2 = 1 (mod 11) (10) 2 21 + 1 = 10 (mod 11) 6 Aynı hastanede çalışan Hemşire Fatma 4 günde bir, Doktor Ahmet 6 günde bir nöbet tutmaktadır Bu iki görevli birinci nöbetlerini pazartesi günü birlikte tutuğuna göre, altıncı nöbetlerini hangi gün birlikte tutar? A) Salı B) Çarşamba C) Perşembe D) Cuma E) Cumartesi EKOK(4, 6) = 12 olduğundan 12 nin katlarında birlikte nöbet tutarlar 1 2 3 4 5 6 12 12 12 12 12 6 nöbetlerini 5 12 = 60 gün sonra tutarlar 60 4 (mod 7) Pazartesi gününden 4 gün sonra cuma günü olur 3 4 240 + 7 300 sayısının 6 ile bölümünden kalan A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4 1 4 (mod 6) 7 1 1 (mod 6) 4 2 4 (mod 6) 7 300 1 (mod 6) 4 240 4 (mod 6) 4 240 + 4 300 4 + 1 5 (mod 6) 7 200 x 1 (mod 19) denkliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 m asal sayı, a ve m aralarında asal ise a m 1 1 (mod m) dir Buna göre, x = 18 olur 55 4 3x 4 (mod 10) denkliğini sağlayan üç basamaklı en küçük x doğal sayısı A) 105 B) 106 C) 107 D) 108 E) 109 7/ 3x 4 (mod 10) 21 x 7 4 (mod 10) x 8 (mod 10) x = 8 + 10k k = 10 için x = 108 bulunur 8 5x 3 (mod 9) denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5x 3 (mod 9) 2 5x 2 3 (mod9) x 6 (mod 9)

Test 07 9 7 23 1 E 2 E 3 E 4 D 5 C 6 D 7 D 8 C 9 B 10 B 11 E 12 C 13 C 14 C 15 A 16 B 13 a tam sayı, p asal sayı ve p, a nın tam böleni değilse sayısının birler basamağındaki rakamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 7 1 7 (mod 10) 7 2 9 (mod 10) 7 3 3 (mod 10) 7 4 1 (mod 10) 7 23 7 4 5 + 3 7 3 3 (mod 10) a p 1 1 (mod p) dir (Fermat Teoremi) Buna göre, 12 162 sayısının 17 ile bölümünden kalan A) 4 B) 7 C) 8 D) 12 E) 15 12 16 1 (mod 17) (12 16 ) 10 1 (mod 17) 12 160 1 (mod 17) 12 162 12 160 12 2 1 8 8 (mod 17) 10 m pozitif tam sayı olmak üzere, 63 15 (mod m) olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı 14 x = 521769 olduğuna göre, x 23 sayısının 11 ile bölümünden kalan A) 120 B) 124 C) 127 D) 132 E) 144 63 15 (mod m) 63 15 0 (modm) 48 0 (mod m) m sayısı 48 in poziti bölenleri olmalıdır Toplamları 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 124 olur A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 x sayısının 11 ile bölümünden kalan 9 6 + 7 1 + 2 5 = 6 dır x 6 (mod 11) x 10 1 (mod 11) x 2 3 (mod 11) x 23 (x 10 ) x 3 1 7 (mod 11) x 3 7 (mod 11) x 23 7 (mod 11) 11 6x 9 (mod 15) denkliğini sağlayan üç basamaklı en küçük x doğal sayısı A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104 3/ 2x 3 (mod 5) 3 2x 3 3 (mod5) x 4 (mod 5) x doğal sayısı en küçük 104 olur 15 7 23! sayısının 13 ile bölümünden kalan A) 1 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12 7 12 1 (mod 13) tür 23! içinde 12 çarpanı bulunduğundan 7 23! 1 olur 16 AB iki basamaklı bir doğal sayıdır Buna göre, 56 AB 4 (mod 7) AB 2 (mod 5) sistemini sağlayan kaç farklı AB sayısı vardır? 12 x 3 9 (mod 11) x 4 3 (mod 11) olduğuna göre, x 21 in 11 ile bölümünden kalan A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 x 3 x 4 9 3 (mod 11) x 7 5 (mod 11) (x 7 ) 3 5 3 (mod 11) x 21 4 (mod 11) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5 AB 20 (mod 35) 7 AB 14 (mod 35) İkinci denklikten birinci denkliği taraf tarafa çıkaralım 2 AB 6 (mod 35) AB 3 (mod 35) AB 3 + 35 32 (mod 35) AB 32 + 35 67 (mod 35) Sistemi sağlayan iki farklı AB sayısı vardır

Modüler Aritmetikte İşlemler BÖLÜM 03 Test 08 1 A = 2 5 + 3 5 + 4 5 + 5 5 + 6 5 olduğuna göre, A sayısının 7 ile bölümünden kalan A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5 2 (mod 7) 4 3 (mod 7) dir 2 5 + 3 5 + ( 3) 5 + ( 2) 5 + 6 5 6 5 (mod 7) 6 1 6 (mod 7) 6 2 = 1 (mod 7) (6 2 ) 2 6 1 1 6 6 (mod 6) 5 Aşağıdakilerden hangisi 63 x 4 (mod 5) denkliğini sağlayan x doğal sayılarından biri değildir? A) 6 B) 8 C) 10 D) 14 E) 18 63 3 (mod 5) n = 1 için x = 6 3 1 3 (mod 5) n = 2 için x = 10 3 2 4 (mod 5) n = 3 için x = 14 3 3 2 (mod 5) n = 4 için x = 18 3 4 1 (mod 5) bulunur 3 4n+2 4 (mod 5) x = 8 olamaz x = 4n + 2 dir 2 x 4 (mod 5) x 6 (mod 7) sistemini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 10 B) 12 C) 24 D) 34 E) 35 7x 28 (mod 35) 5x 30 (mod 35) 2x 2 (mod 35) x 1 (mod 35) x 1 + 35 34 (mod 35) 3 3x 1 (mod 11) denkliğini sağlayan iki basamaklı x doğal sayılarının toplamı A) 395 B) 406 C) 417 D) 428 E) 432 3x 1 (mod 11) 4 3x 4 1 (mod 11) x 4 (mod 11) x = 4 + 11k (k Z + ) k = 1 için x = 15 k = 2 için x = 26 k = 3 için x = 37 k = 4 için x = 48 k = 5 için x = 59 k = 6 için x = 70 k = 7 için x = 81 k = 8 için x = 92 + 428 4 ( 18) 26 x (mod 13) 6 Pazartesi günü, 17 günlük izne çıkan bir memur haftanın hangi günü işbaşı yapar? A) Pazartesi B) Salı C) Çarşamba D) Perşembe E) Cuma 17 3 (mod 7) Pazartesi gününden 3 gün sonra Perşembe olur 7 n Z + olmak üzere, 5 n 1 sayısı 23 ile tam bölünebilmektedir Buna göre, n nin alabileceği en küçük değer A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 5 n 1 0 (mod 23) 5 n 1 (mod 23) n 22 (en az) 8 8 x 4 (mod 5) 27 x 4 (mod 11) sistemini sağlayan en küçük x pozitif tam sayısı A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 8 x 3 x 4 (mod 5), 27 x 5 x 4 (mod 11) 57 denkliğini sağlayan en büyük negatif x tam sayısı 3 4 1 (mod 5) 5 5 1 (mod 11) A) 12 B) 9 C) 6 D) 3 E) 1 ( 18) 26 = 18 26 dir 18 5 (mod 13) 18 2 12 (mod 13) 18 12 1 (mod 13) 18 2 12 18 2 1 12 = 12 (mod 13) x = 12 + 13k (k Z + ) k = 1 için x = 1 bulunur 3 4k+2 1 3 2 4 (mod 5) 5 5t + 3 4 (mod 11) x 4k + 2 5t + 3, x + 2 sayısı 4 ün ve 5 in katıdır x + 2 = 20 x = 18 bulunur

Test 08 9 ( 27) 50 x (mod 5) 1 E 2 D 3 D 4 E 5 B 6 D 7 D 8 D 9 E 10 B 11 C 12 B 13 E 14 A 15 C 16 E 13 10! denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 ( 27) 50 = 27 50 ve 27 2 (mod 5) 2 1 2 (mod 5) 2 2 4 (mod 5) 2 3 3 (mod 5) 2 4 1 (mod 5) 2 50 2 4 12 + 2 1 2 2 4 (mod 5) x = 4 bulunur sayısının 11 ile bölümünden kalan A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 10! 1 10 (mod 11) 10 4x 5 (mod 7) denkliğini sağlayan iki basamaklı kaç doğal sayı vardır? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 4x 5 (mod 7) 2 4x 2 5 (mod 7) x 3 (mod 7) x = 3 + 7k (k Z + ) k = 1, 2, 3,, 13 için x sayısı iki basamaklı olur 13 tane doğal sayı vardır 14 16! + 5 35 sayısının 17 ile bölümünden kalan A) 5 B) 6 C) 8 D) 11 E) 15 16! 1 (mod 17) dir 5 16 1 (mod 17) 5 35 5 2 16 + 3 1 5 3 = 6 (mod 17) 16! 5 35 1 + 6 5 (mod 17) 11 30! 0 (mod 3 n ) 30 3 olduğuna göre, n nin alabileceği en büyük tam sayı değeri A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 10 10 3 3 3 3 1 n nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10 + 3 + 1 = 14 tür 15 a iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, a 2 5 (mod 11) denkliğini sağlayan kaç farklı a sayısı vardır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 a 2 5 (mod 11) a = 4 (mod 11) veya a = 7 (mod 11) a sayısı 15, 26, 37, 48, 59, 70, 81, 92 veya 18, 29, 40, 51, 62, 73, 84, 95 olabilir Denkliği sağlayan 16 tane iki basamaklı sayı vardır 58 12 p bir asal sayı ise, (p 1)! 1 (mod p) dir (Wilson Teoremi) Buna göre, 12! + 3 26 sayısının 13 ile bölümünden kalan A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 3 12 1 (mod 13) 26 = 2 13 + 2 olduğundan 3 6 3 2 9 (mod 13) 12! 1 (mod 13) 12! + 3 26 1 + 9 8 (mod 13) 16 x 3 + 2x 2 + 5x 3 (x 2 + ax + 1) [mod (x 2)] olduğuna göre, a A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 Polinomların x 2 ile bölümünden kalanlar eşittir x = 2 için 8 + 8 + 10 3 = 4 + 2a + 1 a = 9 bulunur

Modüler Aritmetikte İşlemler BÖLÜM 03 Test 09 1 (81473) 53 sayısının 11 ile bölümünden kalan A) 1 B) 2 C) 5 D) 8 E) 10 81473 sayısının 11 ile bölümünden kalan 3 7 + 4 1 + 8 = 7 dir 81473 7 (mod 11) 7 1 7 (mod 11) 7 2 5 (mod 11) 7 3 2 (mod 11) 7 10 1 (mod 11) 7 53 2 5 10 + 3 7 3 2 (mod 11) 5 m pozitif tam sayı olmak üzere, 51 33 (mod m) 29 5 (mod m) denklemini sağlayan m sayılarının toplamı A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36 51 33 0 (mod m) 18 0 (mod m) 29 5 0 (mod m) 24 0 (mod m) EBOB(18, 24) = 6 dır m sayısı 6 nın bölenleri olmalıdır m 1 + 2 + 3 + 6 = 12 2 9 15 + 10 15 + 11 15 + 12 15 + 13 15 toplamının 7 ile bölümünden kalan A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9 15 + 10 15 + 1 15 + 12 15 + 13 15 + 2 15 + 3 15 + 4 15 + 5 15 + 6 15 (mod 7) 2 15 + 5 15 0 (mod 7) ve 3 15 + 4 15 0 (mod 7) dir 6 1 6 (mod 7) 6 2 1 (mod 7) 6 15 (6 2 ) 7 6 6 (mod 7) 6 ( 25) 20 x (mod 11) denkliğini sağlayan en büyük negatif x tam sayısı A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 ( 25) 20 = 25 20 ve 25 3 (mod 11) 3 10 1 (mod 11) 3 20 1 (mod 11) x = 1 + 11k (k Z) k = 1 için x = 10 olur 3 x 3 (mod 4) x 2 (mod 5) sistemini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 x 3 (mod 4) 5x 15 (mod 20) x 2 (mod 4) 4x 8 (mod 20) Sonda bulunan iki denklik taraf tarafa çıkarılılarak x 7 (mod 20) bulunur Sistem sağlayan en küçük x doğal sayısı 7 dir 7 72 12 (mod p) denkliğini sağlayan kaç tane p asal sayısı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 p 72 12 p 60 60 = 2 2 3 5 olduğundan p asal sayıları 2, 3 ve 5 tir 8 (3 14 1) (3 14 + 1) 59 çarpımının 7 ile bölümünden kalan 4 x, üç basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, x = 7 (mod 8) x = 5 (mod 6) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer A) 103 B) 116 C) 119 D) 121 E) 124 3x 21 (mod 24) x 1 (mod 24) 4x 20 (mod 24) x = 1 + 24k (k Z + ) k = 5 için x = 119 bulunur A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (3 14 1) (3 14 + 1) = 3 28 1 3 1 3 (mod 7) 3 2 2 (mod 7) 3 3 6 (mod 7) 3 4 4 (mod 7) 3 5 5 (mod 7) 3 6 1 (mod 7) 3 28 3 4 6 + 4 3 4 4 (mod 7) 3 28 1 3 (mod 7)

Test 09 9 x 2 1 (mod 7) 1 B 2 E 3 D 4 C 5 A 6 A 7 B 8 D 9 B 10 A 11 B 12 A 13 C 14 A 15 B 16 B 13 3x 467 (mod 11) denkliğini sağlayan iki basamaklı en küçük x doğal sayısı A) 11 B) 13 C) 15 D) 20 E) 22 denkliğini sağlayan iki basamaklı en büyük x tam sayısı A) 95 B) 96 C) 97 D) 98 E) 99 x 2 1 (mod 7) x 1 (mod 7) veya x 1 (mod 7) 467 nin 11 ile bölümünden kalan x 1 + 7k veya x = 1 + 7t 7 6 + 4 = 5 tir x 8, 15, 22, ve ya x 6, 13, 20 3x 5 (mod 11) 4 3 4 5 (mod 11) Denkliği sağlayan iki basamaklı en küçük sayı 13 tür x 9 (mod 11) x = 9 + 11k, k = 8 için x = 97 bulunur 10 Bir ilaç kutusunda 20 tablet vardır Hastaya ilk tablet saat 21:00 de veriliyor ve her 8 saatte bir tablet alması söyleniyor Buna göre, hasta son tableti saat kaçta alır? A) 05:00 B) 11:00 C) 15:00 D) 19:00 E) 23:00 Hastaya 1 tablet verildiğine göre geri kalan 19 tabletten sonuncusu 19 8 = 152 saat sonra verilecektir 152 8 (mod 24) 14 5 40! sayısının 17 ile bölümünden kalan A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 5 16 1 (mod 17) dir 40! içinde 16 çarpanı bulunduğundan 40! sayısı 16 nın katıdır 5 40! 5 16k 1 dir 21:00 + 8 05:00 (mod 24) 11 Aşağıdakilerden hangisi 3 x 2 x (mod 5) denkliğinin bir kökü değildir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 3 4 = 1 (mod 5) ve 2 4 1 (mod 5) olduğundan x = 4k (k Z + ) 15 (12!) 15! sayısının 13 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 12 12! 1 (mod 13) ve 15! çift sayıdır (12!) 15! ( 1) 15! 1 (mod 13) 60 k = 1 için x = 4 k = 2 için x = 8 k = 3 için x = 12 k = 4 için x = 16 olur x = 6 olamaz 12 1 5 + 2 5 + 3 5 + + 16 5 x (mod 17) denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1 5 + 16 5 0 (mod 17) 2 5 + 15 5 0 (mod 17) 7 5 + 8 5 0 (mod 17) olduğundan x 0 (mod 17) olur 16 ab iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, ab 4 (mod 5) ab 6 (mod 7) olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer A) 16 B) 15 C) 12 D) 9 E) 7 ab 4 (mod 5) 7 ab 28 (mod 35) ab 6 (mod 7) 5 ab 30 (mod 35) Son iki denklik taraf tarafa çıkarılarak 2 ab 2(mod 35) ab 1 (mod 35) bulunur ab = 1 + 35k, k = 2 için ab = 69 ve a + b = 15 olur

Modüler Aritmetikte İşlemler BÖLÜM 03 Test 10 1 5 20 sayısının 7 ile bölümünden kalan A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5 6 1 (mod 7) 5 6 3 + 2 1 5 2 = 4 (mod 7) 5 367 15 sayısının birler basamağındaki rakam A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 7 1 7 (Mod 10) 7 2 9 (Mod 10) 7 3 3 (Mod 10) 7 4 1 (Mod 10) 7 3 4 + 3 7 3 3 (Mod 10) 2 5 günde bir nöbet tutan bir doktor birinci nöbetini salı günü tuttuğuna göre, altıncı nöbetini hangi gün tutar? A) Çarşamba B) Perşembe C) Cuma D) Cumartesi E) Pazar Birinci nöbetinden sonra 5 nöbet daha tutacaktır Altıncı nöbetini 5 5 = 25 gün sonra tutar 25 4 (Mod 7) 6 4 163 sayısının 17 ile bölümünden kalan A) 1 B) 10 C) 13 D) 5 E) 16 4 16 1 (Mod 17) 4 16 10 + 3 4 3 13 (Mod 17) Salı gününden 4 gün sonra cumartesi günü tutar 7 7 x 1 (mod 18) 3 (42973) 42 sayısının 11 ile bölümünden kalan A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 42973 sayısının 11 ile bölümünden elde edilen kalan 3 7 + 9 2 + 4 = 7'dir 42973 7 (Mod 11) 7 10 1 (Mod 11) 7 10 4 + 2 7 2 5 (Mod 11) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7 1 7 (Mod 18) 7 2 13 (Mod 18) 7 3 1 (Mod 18) x = 3 bulunur 61 8 Aşağıdakilerden hangisi 4 7x 15 (mod 23) denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 7x 15 (mod 23) 10 7x 10 15 (mod 23) x 12 (mod 23) 5 x 3 x (mod 7) denkliğinin bir köküdür? A) 4 B) 7 C) 10 D) 12 E) 15 5 6 1 (Mod 7) 3 6 1 (Mod 7) x = 6k, k Z dir x {6, 12, 18, } x = 12 denkliğin bir köküdür

Test 10 9 x 3 (mod 6) 1 C 2 D 3 A 4 C 5 B 6 C 7 B 8 D 9 D 10 D 11 A 12 E 13 C 14 C 15 B 16 B 13 4 14 + 14 4 + 34! x (mod 6) x 7 (mod 8) sistemini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 3 B) 5 C) 9 D) 15 E) 39 x 3 (mod 6) 4 x 12 (mod 24) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük tam sayı değeri A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4 1 4 (mod 6) 14 1 2 (mod 6) x 7 (mod 8) 3 x 21 (mod 24) Denklikleri taraf tarafa çıkarılır x 9 (mod 24) x 9 + 24 (mod 24) x 15 (mod 24) 4 2 4 (mod 6) 14 2 4 (mod 6) 4 14 4 (mod 6) 14 3 2 (mod 6) 34! 0 (mod 6) olduğundan 4 14 + 14 14 + 34! 4 + 4 + 0 2 (mod 6) olur 10 5x 3 13 (mod 13) denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 3 12 1 (mod 3) 4 x 12 (mod 24) 3 13 3 (mod 13) olduğundan 5x 3 (mod 13) olmalıdır x = 11 için 5x = 55 ve 55 = 3 (mod 13) olur 14 n pozitif tam sayı olmak üzere, 9 1 9 2 9 3 9 n 1 (mod 17) olduğuna göre, n nin alabileceği en küçük değer A) 2 B) 3 C) 16 D) 20 E) 23 n(n + 1) (3 2 ) 2 = 3 n(n + 1) = (3 n ) n + 1 3 16 1 (mod 17) (3 16 ) 17 1 (mod 17) n nin alabileceği en küçük değer 16 dır 11 25! 24! sayısının 23 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 24!(25 1) = 24! 24 0 (mod 23) 15 x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 5x 3y = 2 (mod 7) 3x + 11y = 3 (mod 7) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4/5x 3y 2 (mod 7) 6x 5y = 1 (mod 7) 3/3x 4y 3 (mod 7) 2x 5y = 2 (mod 7) Denklikler taraf tarafa toplanarak 8x 3 (mod 7) x 3 (mod 7) bulunur 62 16 15 2+30! 12 m pozitif tam sayı olmak üzere, 3 5 0 (mod m) olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı A) 243 B) 314 C) 320 D) 343 E) 364 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 = 36 1 3 1 = 364 sayısının 13 ile bölümünden kalan A) 1 B) 4 C) 5 D) 10 E) 12 5 2 + 30! = 15 2 15 30! dir 15 2 (mod 13) 15 2 4 (mod 13) 15 12 1 (mod 13) 15 30! 1 (mod 13) (30! içinde 12 çarpanı bulunduğundan) 15 2 + 30! 15 2 15 30! 4 1 4 (mod 13)

BİRE BİR BÖLÜM 03 Test 11 1 A4BC ve A5BC dört basamaklı birer doğal sayıdır A4BC sayısı 15 e bölündüğünde kalan 12 olduğuna göre, A5BC sayısı 15 e bölündüğünde kalan kaç olur? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 A4BC = 15k + 12 A5BC = A4BC + 100 = (15k + 12) + 100 = 15k + 112 = 15k + 15 7 + 7 Kalan 7 olur 5 n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalansız bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile gösteriliyor Buna göre, S(36) S(48) kümesi kaç elemanlıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 S(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} S(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} S(36) S(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 6 İki basamaklı a ve b pozitif tam sayıları için 2 a, b ve c farklı asal sayılar olmak üzere, ab + ac = 2a 2 + 12 olduğuna göre, a b c çarpımı a(b + c) = 2(a 2 + 6) a = 2 dir b + c = a 2 + 6 b + c = 10 b ve c asal sayılarının biri 3 ve diğeri 7 dir a b c = 2 3 7 = 42 bulunur (Cevap 42) a! b! = 132 olduğuna göre, a + b toplamı A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 a! = b! 11 12 dir b = 10 a = 12 bulunur a + b = 22 dir 7 n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi tam bölen her bir p asal sayısı için p 2 de n yi tam bölüyorsa n ye bir kuvvetli sayı denir 3 5 e tam bölünemeyen pozitif tam sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor Bu sıralamadaki 60 sayı A) 70 B) 74 C) 75 D) 82 E) 86 n n = 60 4n = 300 5 Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir kuvvetli sayı değildir? A) 8 B) 27 C) 32 D) 63 E) 125 63 = 3 2 7 dir 63 sayısı 7 2 ile tam bölünmediği için kuvvetli sayı değildir n = 75 Atılan sayıların sonuncusu 75 tir 60 sayı 74 olur 8 a ve b birer pozitif tam sayı ve p asal sayı olmak üzere, a 2 b 2 = p olduğuna göre, b nin p türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 63 4 Dört basamaklı 7A8B sayısı 45 sayısının tam katıdır Buna göre, A yerine yazılabilecek rakamların toplamı A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 B = 0 için A = 3 ve B = 5 için A = 7 bulunur A yerine yazılabilecek rakamların toplamı 10 dur A) p 1 2 D) p + 1 3 (a b) (a + b) = 1 p a b = 1 a + b = 1 a + b = p a + b = p 2b = p 1 b = p 1 dir 2 B) p 1 3 E) p + 2 3 C) p + 1 2

Test 11 1 A 2 (42) 3 B 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 E 10 (6) 11 C 12 B 13 (9) 14 B 15 E 16 D 9 a bir pozitif tam sayı ve p = a 2 + 3 tür p bir asal sayı olduğuna göre, I a çift sayıdır II p nin 4 ile bölümünden kalan 3 tür III p + 4 asaldır ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III p sayısı 3 ten büyük bir asal sayı olduğundan tek sayıdır a 2 çift sayı olur a 2 çift sayı a çift sayıdır a 2, 4 ile tam bölünür 13 a, b ve c pozitif tam sayıları için 7! 6! = 2 a 3 b 5 c olduğuna göre, a + b + c toplamı 6!(7 1) = 6! 6 = 2 4 3 2 5 (2 3) = 2 5 3 3 5 1 a + b + c = 5 + 3 + 1 = 9 bulunur (Cevap 9) p = a 2 + 3 sayısının 4 ile bölümünden kalan 3, p + 4 = a 2 + 7 asal sayıdır 14 A = 11 + 22 + 33 + + 121 olduğuna göre, A yı tam bölen asal sayıların toplamı A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 10 (n + 1)! n! (n 1)! = 2 3 3 5 2 7 olduğuna göre, n 11 12 11(1 + 2 + 3 + + 11) = 11 2 = 11 6 11 (n 1)! [n(n + 1) n 1] = (n 1)! [n 2 + n n 1] = 2 3 11 2 = (n 1)! (n 2 1) Toplamları 2 + 3 + 11 = 16 bulunur = 2 3 3 5 35 14243 5! n 2 1 = 35 n = 6 bulunur (Cevap 6) 15 a = 3! 7! b = 4! 6! c = 5! 5! 64 11 a bir pozitif tam sayı olmak üzere, 8a a + 3 ifadesi bir tam sayının karesine eşit olduğuna göre, a 8a 8a + 24 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 a + 3 8 24 a + 3 sayısı 24 ün bir bölenidir 8a a + 3 = 6 a = 3 için a + 3 = 4 olur 12 6! a çarpımı bir pozitif tam sayının karesi olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri A) 4 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20 6! a = b 2 2 4 3 2 5 a = b 2 a = 5 bulunur 8a a + 3 = 8 24 a + 3 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c a = 42 3! 5! b = 24 3! 5! c = 20 3! 5! olduğundan c < b < a dır D) b < c < a E) c < b < a 16 n bir tam sayı olmak üzere, 60 ifadesi bir asal sayıya eşittir n Buna göre, n nin alabileceği değerlerin toplamı 60 n A) 54 B) 56 C) 58 D) 62 E) 64 = 22 3 5 n 2 2 3 5 = 2 n = 30 n 2 2 3 5 = 3 n = 20 n 2 2 3 5 = 5 n = 12 n Toplamları 62 bulunur

BİRE BİR BÖLÜM 03 Test 12 1 a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, dir EBOB(a, b) = 1 a b = 120 olduğuna göre, kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi bulunabilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 (1, 120), (3, 40), (5, 24), (8, 15) ya da (120, 1), (40, 3), (24, 5), (15, 8) olmak üzere 8 tane (a, b) ikilisi bulunur 5 a ve b pozitif tam sayıları arasında a = EBOB(120, b) bağıntısı vardır Buna göre, I a çift sayı ise b de çift sayıdır II a tek sayı ise b çift sayıdır III b çift sayı ise a da çift sayıdır ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III 120 = 2 3 3 5 dir D) II ve III E) I, II ve III b çift sayı ise EBOB(120, 2k) = a çitf sayıdır 2 a ve b pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni d olmak üzere, I d 2 sayısı, a 2 sayısını böler II d 2 sayısı, a + b 3 sayısını böler III d 2 sayısı, a 3 + b 2 sayısını böler ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III 6 a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, EBOB(a, b) = 6 EKOK(a, b) = 72 a + b = 42 olduğuna göre, a b A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15 a b D) II ve III E) I, II ve III d 2 sayısı a sayısını her zaman bölmediği için a + b 3 sayısını bölmez a + b = 42 b = 42 a a (42 a) = 6 72 42a a 2 = 432 a 2 42a + 432 = 0 (a 18) (a 24) a = 18 için b = 24 a - b = 6 bulunur a = 24 için b = 18 7 16 x 1 (mod 7) 3 Eni 108 metre, boyu 180 metre olan dikdörtgen biçimindeki bir tarla, hiç alan artmayacak biçimde eş karelere bölünerek küçük bahçeler yapılıyor Bu şekilde en az kaç tane eş bahçe elde edilir? 17 y 4 (mod 7) denkliklerini sağlayan x ve y pozit tam sayıları için x + y toplamının alabileceği en küçük değer A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 108 = 2 2 3 3, 180 = 2 2 3 2 5, EBOB = 36 108 180 = 3 5 = 15 36, 36 (Cevap 15) 16 x 2 x 1 (mod 7) olmalıdır 2 1 2 (mod 7) 2 2 4 (mod 7) 2 3 4 (mod 7) x = 3 (En küçük) 17 y 3 y 4 (mod 7) olmalıdır 4 a, b, c pozitif tam sayılar ve a < b < c dir EBOB(a, b) = 6 3 1 3 (mod 7) 3 2 = 2 (mod 7) 3 3 = 6 (mod 7) 65 EBOB(b, c) = 7 olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer 3 4 = 4 (mod 7) x + y = 3 + 4 = 7 dir 8 1 < a < 10 olmak üzere, A) 55 B) 75 C) 84 D) 97 E) 105 a = 6k, b = 6t 18 a 0 (mod a) denkliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır? b = 7m, c = 7n b sayısı 6 ve 7 nin katıdır a = 6, b = 42, c = 49 olur a + b + c = 6 + 42 + 49 = 97 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 18 a tam sayı olmalıdır a 18 a = 18 1 ve 1 < a < 10 a a a = 2, a = 3, a = 6, a = 6 olabilir

Test 12 1 C 2 C 3 (15) 4 D 5 C 6 A 7 D 8 C 9 D 10 B 11 E 12 (90) 13 (4) 14 D 15 D 16 C 9 19 34 + 20 50 toplamının 17 ile bölümünden kalan A) 4 B) 6 C) 9 D) 13 E) 16 19 34 2 34 2 2 16 + 2 1 2 4 (mod 17) ve 20 50 3 3 16 + 2 1 3 2 9 (mod 17) dir 13 16 5 + 24 5 + 32 5 toplamının 7 ile bölümünden kalan 16 15 + 24 5 + 32 5 2 5 + 3 5 + 4 5 (mod 7) 123 0 4 (mod 7) Toplamları 4 + 9 = 13 olur (Cevap 4) 14 2 30 3 15 çarpımının 5 ile bölümünden kalan 10 2 a 3 b 0 (mod 108) 2 b 3 a 0 (mod 9) sistemini sağlayan a ve b pozitif tam sayıları için a + b toplamı en az A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2 4 1 (mod 5) 2 30 2 4 7 + 2 1 2 2 4 (mod 5) 3 4 1 (mod 5) 3 15 3 4 3 + 3 1 3 2 2 (mod 5) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 2 b 3 a 0 (mod 9) a = 2 (En az) 2 a 3 b 0 (mod 108) 2 2 3 b 0 (mod 108) b = 3 (En az) 2 30 2 15 4 2 3 (mod 5) a + b = 2 + 3 = 5 bulunur 15 Aşağıda beş lambadan oluşan bir reklam panosu gösterilmiştir A B C D E 11 3, 6 ve 9 ile kalansız bölünebilen üç basamaklı sayıların en küçüğü ile en büyüğünün toplamı A) 918 B) 998 C) 1008 D) 1018 E) 1098 EKOK(3, 6, 9) = 18 999 18 55 9 En küçük olan 18 6 = 108 dir En büyük olan 999 9 = 990 dır Panodaki lambalar A lambasından başlayarak soldan sağa doğru, E lambasından sonra ise sağdan sola doğru devamlı olarak yanıp sönmektedir Örneğin, lambalar A - B - C - D - E - D - C - B - A - B - sırasında yanıp söndüğünden 7 sırada yanıp sönen lamba C lambasıdır Buna göre, 100 sırada yanıp sönen lamba hangisidir? A) A B) B C) C D) D E) E Toplamları 108 + 990 = 1098 olur 100 4 (mod 8) olduğundan 100 sırada yanıp sönen lamba 4 sırada bulunan D lambasıdır 66 12 m, 1 den büyük bir tam sayı ve 75 3 (mod m) 110 2 (mod m) olduğuna göre, m nin alabileceği değerler toplamı 72 0 (mod m) 108 0 (mod m) EBOB(72, 108) = 36 m sayısı 36 nın bölenleri olmalıdır Toplamları: 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 90 (Cevap 90) 16 7k + 4 biçimindeki bir sayı 5 ile kalansız bölünebildiğine göre, 30 dan küçük k pozitif tam sayıları kaç tanedir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7k + 4 0 (mod 5) (7k + 4) + 1 1 (mod 5) 7k 1 (mod 5) k = 3 için 21 1 (mod 5) olduğundan en küçük k sayısı 3 tür k {3, 8, 13, 18, 23, 28} olur