7- EK 7. KARMAN-TREFFTZ PROFĐLLERĐ Karan-Trefftz dönüşüü : Bölü 7. 'de konfor dönüşüle ilgili ir örnek inceleede ζ ζ ( z ) 0 z 0 tipindeki ir fonksiyonun z düzleinin z 0 noktasında kesişen iki eğriyi, aralarındaki açı ζ düzleinde katı artacak tarzda dönüştüreceği gösterilişti. Bu dönüşü daha da genelleştirilerek ζ ζ ) ( z ) 0 F( z0 z0 şeklinde yazıldığı taktirde u fonksiyonun z düzleindeki herhangi ir şekli F(z 0 ) çarpanının odülü kadar üyüttüğünü (ve/veya küçülttüğünü) ve argüanı kadar da döndürdüğünü, fakat z 0 noktasının yakın civarında dönüşü üzerinde (z - z 0 ) çarpanının haki olduğunu gösterek ükündür. Yani z 0 noktasında kesişen iki eğri arasındaki açı ζ 0 noktasında katı daha üyük ir açı haline dönüşür. Diğer taraftan genel olarak ζ z + / z şeklinde verilen Joukowsky dönüşüünün de z ± noktalarında irer tekillik gösterdiği ve dönüşü dairesinin u noktaların herhangi irinden geçesi halinde ζ düzleinde u noktanın karşılığı olan noktada ir keskin kenar elde edileceği daha önceki inceleelerde elirtilişti. Aslında Joukowsky dönüşüünün de yukarıda elirtilen tipten dönüşü olduğunu gösterek ükündür. Bu aaçla Joukowsky dönüşüü irer defa ζ ( z ) ve ζ + ( z + ) şekillerinde yazılır ve u iki ifade iririyle oranlanırsa dönüşü ζ z ζ + z + (Ek7.-) şekline getirileilir. Bu son ifade z noktası ve unun dönüşü sonucu karşılığı olan ζ noktasının yakın civarında yaklaşık olarak ζ ( z ) 4 4 ζ z veya ( ) şekline getirileilir. Benzeri şekilde z ζ + + ( z ) ve ζ noktalarının yakın civarında da UCK35 Aerodinaik Ders notları
7- yazılailir. Bu iki ifade z ve z noktalarında kesişen iki eğrinin arasındaki açının Joukowsky dönüşüü sonucu iki katına çıkartıldığını gösterektedir. Niteki, u noktaların herhangi irinden geçen ir daire yayı ikiye katlanarak keskin ir firar kenarını eydana getirektedir. Tekil noktadan geçen daire yayı için π olan açının ζ düzleinde π olasının sorulusunun (z ± z 0 ) teriinin üssü olduğu ve u üssün yerine gii ir üyüklük olası halinde profil kenarındaki dış açının π kadar olacağını söyleek ükündür. Buna göre, Joukowsky dönüşüünün (Ek7.-) ile verilen şekli, üssü değiştirilerek daha genel ir halde ζ z ζ + z + (Ek7.-) şeklinde yazılailir. Böylece sayısı için uygun değerler seçilerek firar kenarı çok keskin olayan profiller elde edileilir. Yukarıdaki dönüşüe Karan-Trefftz dönüşüü adı verilir. Bu dönüşü ile daireden elde edilen profiller de Karan-Trefftz profilleri olarak adlandırılaktadırlar. Karan-Trefftz dönüşüündeki paraetresi daha genel ir ifadeyle τ / π (Ek7.-3) şeklinde yazıldığı taktirde, u ifadedeki τ profilin firar kenarındaki iç açıyı elirtir (Şekil Ek7.-). iy Daire iη Profil π τ π x ξ Şekil Ek7.- : Karan-Trefftz profilinin firar kenarı iç açısı Karan-Trefftz profilinin koordinatları ve hız dağılıı: (Ek7.-) ile verilen Karan-Trefftz dönüşüünü daha kolay inceleyeilek için ( z + ) + ( z ) ζ (Ek7.-4) ( z + ) ( z ) şeklinde düzenleek daha uygun olur. Bu ifadenin türevi de dζ 4 dz ( z ) [( z + ) ( z ) ] (Ek7.-5) UCK35 Aerodinaik Ders notları
7-3 şeklinde hesaplanailir. Bu türev ifadesi sıfıra eşitlenerek Karan-Trefftz dönüşüünün tekil noktalarının da Joukowsky dönüşüündeki gii z ± noktaları olduğu görülür. Buna göre dönüştürülecek daire z ± noktalarının irinden geçecektir. Dönüşüün pratikteki uygulanış tarzı Joukowsky profili için yapılandan farklı değildir : - z Düzleinde daire üzerindeki noktalar z r e iφ şeklinde tanılanır. θ için istenen değerler seçilerek (örneğin, 0 - π aralığında eşit θ aralıklarıyla alınailir) r 'nin değerleri daha önce (7Ek3) ifadesiyle verildiği gii r G sinθ F cosθ + + F + ( G sinθ F cosθ ) şeklinde hesaplanır. - Daire üzerindeki u noktalara karşılık gelen profil noktalarının koordinatları Karan- Trefftz dönüşüü için verilen (Ek7.-4) ifadesi reel ve iajiner kısılarına ayrılarak hesaplanır. Bu aaçla (Ek7.-4) ifadesinde φ i i Re z z Re z + z, φ değişken dönüşüleri kullanılarak reel ve iajiner kısılar sırasıyla ξ t (Ek7.-6a) + t t cos ( φ φ) η t sin ( φ φ ) (Ek7.-6) + t t cos ( φ φ ) şeklinde elde edilir. Burada R t (Ek7.-6c) R R r + r + cosθ (Ek7.-6d) R r + r cosθ (Ek7.-6e) sinθ φ φ tan (Ek7.-6f) r / / r dir. Karan-Trefftz profilinin veter uzunluğu θ 0 θ π ( + F ) ( + F ) F c ξ o + ξ c (Ek7.-7) şeklinde ulunailir. Kalınlık ve kaurluk oranları ise UCK35 Aerodinaik Ders notları
7-4 { [ η( θ ) η( θ )] + [ η( θ ) η( θ )] } Max δ (Ek7.-8a) c { [ η( θ ) η( θ )] / } ax γ (Ek7.-8a) c ifadeleri yardııyla hesaplanailir. Yapılan inceleeler Karan-Trefftz profillerinin kalınlık oranlarının daha ziyade F paraetresiyle, kaurluk oranının da daha ziyade G paraetresiyle ilgili olduğunu gösterektedir. dönüşü paraetresi ise firar kenarı iç açısını etkilediği gii aksiu kalınlık noktasının veter oyunca ulunduğu yeri de etkileektedir. Bu paraetreler arasında ayrıca ikinci erteeden etkileşiler de söz konusudur. Istenilen kalınlık ve kaurluk oranlarına sahip ve aksiu kalınlık noktası konuu veter ıyunca istenilen noktada yer alan (veya firar kenarı iç açısı istenilen iktarda olan) ir Karan-Trefftz profili elde etek için F, G ve paraetrelerinin alaları gereken değerleri iteratif olarak hesaplaak ükündür[,] Karan-Trefftz profilinin hız dağılıı da dζ U ζ U z dz (Ek7.-9a) ağıntısı yardııyla ulunur. Burada U z daire düzleindeki hızın şiddeti olup, değeri U sinθ + sin ( α + β ) (Ek7.-9) z dir. θ ve β açıları daire düzleindeki geoetri yardııyla F + G G θ θ α sin sin θ + tan (Ek7.-9c) ( + F ) + G F G β tan (Ek7.-9d) + F şeklinde tanılanaktadır. Ayrıca dönüşüün türevinin utlak değeri de dζ t dz R / (Ek7.-9e) + t t cos ( φ φ ) şeklinde ulunur. Bütün u ağıntıların halinde Joukowsky profili vereceğini görek ükündür. Karan-Trefftz profiline etkiyen kuvvet ve oentler: Karan-Trefftz profiline etkiyen kuvvet ve oentlerle ilgili hesap yöntei daha önce Joukowsky profili için uygulanandan pek farklı değildir. Aradaki tek fark dönüşü foksiyonlarının farklılığından kaynaklanaktadır. Şayet Karan-Trefftz dönüşüü ζ z + 3 z + O 3 z UCK35 Aerodinaik Ders notları
7-5 şeklinde seriye açılarak daha önce Joukowsky profilleri için yapılan inceleeler tekrarlanırsa Joukowsky profilleri için verilen A i katsayılarının karşılığı olarak Karan- Trefftz profilleri için A A iα 0 V e i Γ π iα V e A 3 iα iα i ΓV e Γ ( ) V e V a ( f ig) π 4π elde edilir. Bu katsayılar Joukowsky profillerinde olduğu gii aerodinaik kuvvetler ve yunuslaa oenti için verilen genel ağıntılarda kullanılarak kuvvetler için D 0, L 4π aρv sin( α + β ) (Ek7.-0) ve eksen takıının aşlangıç noktası etrafında (yaklaşık veter orta noktası) yunuslaa oenti için de M o 3 ( ) ρπ V sin α + 4π aρv sin( α + β ) ( f cosα g sinα ) (Ek7.-) elde edilir. Kuvvet ve oent katsayıları a CD 0, CL 8π sin( α + β ) (Ek7.-) c C M o a f g ( ) π sin α + 8π sin( α + β ) cosα sin 4 α 3 c c c c (Ek7.-3) olarak elde edileilir. Hücu kenarı ve çeyrek veter noktası etrafındaki yunuslaa katsayıları Joukowsky profilleri için yapılanlara enzer şekilde hesaplanailir. Uygulaalar Karan Trefftz (ve özel olarak halinde Joukowsky) profillerinin koordinat ve hız dağılıları ile taşıa ve yunuslaa katsayılarının hesaplanasına yönelik irer örnek alt progra vbasic dili için hazırlanış olup Talo Ek7.- de veriliştir. Okuyucunun u prograı kullanak için gerekli girdileri sağlayan ve alt progradan gelen ilgilerin çıktılarını kaydeden ir ana progra yazası yeterlidir. Bu prograı FORTRAN veya aşka ir dile aktarak kolaylıkla ükündür. Alt prograların girdileri F, G ve paraetrelerinin, istenilen kalınlık ve kaurluk oranlarıyla aksiu kalınlık noktası konularına sahip olacak Karan-Trefftz (veya Joukowsy) profili için gerekli değerleri olup azı örnek profiller için u değerler Talo Ek7.- 'de sunuluştur. Bir örnek olarak kalınlık oranı %, kaurluk oranı %3 ve aksiu kalınlık noktası konuu %35 olan ir Karan-Trefftz profili için elde edilen sonuçlar Talo Ek7.-3 ve Şekil Ek7.- 'de görülektedir. Kaynaklar UCK35 Aerodinaik Ders notları
7-6 [] M.A.Yükselen, M.Z. Eri, "A general iterative ethod to design Karan-Trefftz and Joukowsky airfoils", Int.J. for Nuerical Methods in Engineering, Vol.0, s.349-368, 984. [] M.A.Yükselen, "Karan-Trefftz ve Joukowsky profillerinin karakteristikleri", I.T.Ü. Dergisi, Cilt:47 Sayı:4, 989. UCK35 Aerodinaik Ders notları
7-7 Talo Ek7.- : Karan-Trefftz profilleri için örnek alt-progra (vbasic) Su KATJO(N, F, G,, Chord, AlfaD, x, y, Cu) ReDi x(n), y(n), Cu(N) ' Paraetrelerin hesaı N N - Chord / ( * ) * ( - (F / ( + F)) ^ ) * C Chord / XLE * - Chord BetaR Atn(G / ( + F)) A ( + F) * ( + F) + G * G A Sqr(A) A Sqr((F * F + G * G) / A) If F > 0 Then AMU Atn(G / F) AlfaR AlfaD * pi / 80 ' Sirkulasyon, tasia ve yunuslaa katsayilarinin hesai GAMMA 4 * pi * A * * Sin(AlfaR + BetaR) CL * GAMMA / Chord CY CL * Cos(AlfaR) C 4 * ( * - ) / 3 / C ^ * pi * Sin( * AlfaR) C F * Cos(AlfaR) - G * Sin(AlfaR) C 8 * pi * A / (C * C) * C * Sin(AlfaR + BetaR) CMO C + C CMhk CMO - CY * (As(XLE) / Chord) CMc4 CMO - CY * (As(XLE) / Chord - 0.5) Alfa0 -BetaR * 80 / pi Text_CL Round(CL, 3) Text_CMc4 Round(CMc4, 3) Text_Alfa0 Round(Alfa0, ) ' profil koordinatlari NN N / + : If F 0 Then NN N / dteta * pi / N For i To NN TETA -(i - ) * dteta For K To SinT Sin(TETA) CosT Cos(TETA) ARG -F * CosT + G * SinT R ARG + Sqr( + * F + ARG * ARG) R Sqr( + R * R + * R * CosT) R Sqr( + R * R - * R * CosT) T R / R If R < Then DFI Atn( * SinT / (R - / R)) - pi ElseIf R Then DFI pi / Else DFI Atn( * SinT / (R - / R)) End If DENOM + T ^ ( * ) - * T ^ * Cos( * DFI) XX * ( - T ^ ( * )) / DENOM YY * * T ^ * Sin( * DFI) / DENOM ' Profil üzerindeki hız dağılıı UCK35 Aerodinaik Ders notları
7-8 SinDlt A * Sin(TETA + AMU) TanDlt SinDlt / Sqr( - SinDlt ^ ) Dlt Atn(TanDlt) Teta TETA - AlfaR - Dlt DET ( * / R) ^ * T ^ ( - ) / DENOM u * (Sin(Teta) + Sin(AlfaR + BetaR)) / DET ii i If K Then ii N - i + x(ii) XX - XLE y(ii) YY Cu(ii) u * u TETA -TETA Next K Next i x() Chord: x(n) x() y() 0: y(n) y() Cu() 0 If Then Cu() (Cos(AlfaR + BetaR)) ^ / A Cu(N) Cu() End Su Talo Ek7.-3: Joukowsky ve Karan-Trefftz profilleri için F,G ve paraetrelerinin değerleri Karan-Trefftz profilleri (xδ/c 0.40) Joukowsky profilleri γ δ F G F G 0.05 0.0703 0.00000.9594 0.04005 0.00000 0.00 0.0 0.0346 0.00000.9808 0.08354 0.00000 0.5 0.0579 0.00000.8764 0.304 0.00000 0.0 0.0760 0.00000.83365 0.837 0.00000 0.05 0.0688 0.0359.95968 0.03989 0.040 0.05 0.0 0.0348 0.0700.986 0.0830 0.083 0.5 0.05 0.05.87685 0.3048 0.304 0.0 0.074 0.337.83535 0.845 0.84 0.05 0.0655 0.070.96066 0.03944 0.0788 0.0 0.0 0.03397 0.390.907 0.08 0.644 0.5 0.0535 0.033.8800 0.885 0.575 0.0 0.07099 0.66.84047 0.8005 0.3598 0.05 0.0647 0.305.9680 0.0387 0.36 0.5 0.0 0.03345 0.3057.9483 0.08065 0.340 0.5 0.0505 0.3300.8869 0.69 0.33788 0.0 0.06885 0.33935.84659 0.767 0.3584 UCK35 Aerodinaik Ders notları
7-8 Talo Ek7.-3: Örnek uygulaa Cu - Cp KARMAN-TREFFTZ Profili δ0. γ0.03 x δ/c0.35 Hücu açısı 5 I X/C Y/C Cu-Cp.00000 0.00000 0.00000 0.973-0.000 0.7459 3 0.89785-0.0044 0.75496 4 0.78699-0.00790 0.7873 5 0.6504-0.067 0.8077 6 0.5003-0.0536 0.846 7 0.3550-0.0363 0.847 8 0.54-0.03505 0.7744 9 0.030-0.03049 0.679 0 0.078-0.0843 0.3587 0.00000 0.00000.9403 0.05 0.0467.6693 3 0.0985 0.058.7503 4 0.033 0.07530.379 5 0.34953 0.0873.99706 6 0.5003 0.08536.8357 7 0.65344 0.07058.59 8 0.790 0.04787.34976 9 0.90004 0.049.0877 0 0.97303 0.00657 0.8730.00000 0.00000 0.00000 Cl.033 C(O) 0.4656 C(HK) -0.36473 C(C/4) -0.0 α 5 Karan Trefftz profili δ 0. γ 0.03 X δ 0.35 X / C Şekil Ek7.- : Karan-Trefftz profilinin asınç dağılıı UCK35 Aerodinaik ders notları M. Adil Yükselen