KONU: ÇARPANLARA AYIRMA TARİH:29.11.2011 YER:LAB.4 _PC5
İçindekiler KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ :...3 A.ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA :...3 B.GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA:...3 C.İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI:...4 D.TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI:...5 Pascal Üçgeni:...7 FORMÜLLER...8 Kaynakça... Hata! Yer işareti tanımlanmamış. 2
KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ : Bir denklemin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasıdır.çarpanlara ayırma ; rasyonel ifadelerin sadeleşmesinde ve denklem çözümünde kullanılır.8.sınıf müfredatına dahildir.matematiğin zincirini oluşturacak olan bu konu işlemlerimizi daha basit hale getirmemizi sağlar. A.ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA : A(X).B(X)+A(X).C(X)=A(X).[B(X)+C(X) Ortak çarpan parantezine almaktaki amaç terim sayısını bire düşer ÖRNEKLER 1: 1-)ax+bx-cx ifadesini çarpanlara ayıralım! ax+bx-cx üç terimlisinde ortak çarpan x tir.buna göre; ax+bx-cx=x.(a+b-c) olur. 2-)a b c+a b c+a bc ifadesini çarpanlarına ayıralım! İfade üç terimlidir ve abc ortak çarpandır.o halde; a b c+ab c+a bc=abc(ab+bc+a c)dir.mektir.böylece ifadelerde sadeleştirme kolaylıkla yapılabilir. B.GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA: Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde guplara ayrılır ve her grupta ortak bi çarpan bulunmaya çalışılır. ÖRNEKLER 2: 1-)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by) 3
=x(a+b)+y(a+b) =(a+b).(x+y) 2-)x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a) =x(x-a)+2(x-a) =(x-1).(a-1) 3-)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1) =a(x-1)-1(x-1) =(x-1).(a-1) C.İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: a-b=(a-b).(a+b) ÖRNEKLER 3 : 1-)4x - 9=(2x-3)(2x+3) 2x - 3 2-)(2a-3) - (a-2)= =(2a-3) (a-2) =[(2a-3)-(a-2)].[(2a-3)+(a-2)] =(2a-3-a+2).(2a-3+a-2) =(a-1).(3a-5) 3-)(2x-3)-1= = (2x-3)-1 4
=[(2x-3)-1].[(2x-3)+1] =(2x-3-1).(2x-3+1) =(2x-4).(2x-2) =4(x-2).(x-1) 4-)(298-98)-200.392 =16 (1994/ÖSS) 2a = (298-98)(298+98)-200.392 =16 2a = 200.396-200.392 =16 2a =200(396-392) =16 2a =100.4 =16 a=100.4 a=25 D.TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2-2ab+b 2 Tam kare üç terimli ifadelerde,iki terimin kare kökleri çarpımının iki katı,üçüncü(ortadaki) terimi vermektedir. ÖRNEKLER 4 : 1-)x 2 +4x+4 ifadesi tam kare midir? x 2 + 4x +4=(x+2) 2 x 2 2.x.2=4x (ortadaki terim) o halde x 2 +4x+4 tam karedir 5
2-)2000-4000.1999+1999 işleminin sonucu kaçtır? 2000 1999 2.2000.1999=4000.1999 olduğuna göre 2000-4000.1999+1999=(2000-1999) =1 olur. E.ÜÇ TERİMLİYİ ÇARPANLARA AYIRMA: x+bx+c şeklindeki bir üç terimli çarpanlarına ayrılırken, çarpımları c(sabit terim),toplamları b(x in katsayısı) olan iki sayı aranır. ÖRNEKLER 5 : 1-)x+y+4x-6y+19 ifadesinin en küçük değeri nedir? x+y+4x-6y+19 =(x+4x+4)+(y-6y+9)+6 =(x+2)+(y-3)+6 (x+2) en az 0 (y-3) en az 0 olacağına göre (x+2)+(y-3)+6 nın en küçük değeri 6 olur çarpanlarına ayrılır. 6
Pascal Üçgeni: Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur. Pascal üçgeninin bazı özellikleri: Kenarlar "1"den oluşur ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir. Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...) Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi) Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 20, 21, 22, 23,24,... (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=24 ) Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir. ( Örnek: (a+b) 3 =1a 3 +3ab 2 +3a 2 b+1b 3 ) (pascal üçgeni, 2011) 7
1. İki Kare Farkı - Toplamı FORMÜLLER I) a 2 b 2 = (a b) (a + b) II) a 2 + b 2 = (a + b) 2 2ab ya da a 2 + b 2 = (a b) 2 + 2ab dir. 2. İki Küp Farkı - Toplamı I) a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) II) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) III) a 3 b 3 = (a b) 3 + 3ab (a b) IV) a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab (a + b) 3. n. Dereceden Farkı - Toplamı I) n bir sayma sayısı olmak üzere, x n y n = (x y) (x n 1 + x n 2 y + x n 3 y 2 +... + xy n 2 + y n 1 ) dir. II) n bir tek sayma sayısı olmak üzere, x n + y n = (x + y) (x n 1 x n 2 y + x n 3 y 2... xy n 2 + y n 1 ) dir. 4. Tam Kare İfadeler I) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2 = (a b) 2 + 4ab II) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b) 2 = (a + b) 2 4ab III) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) 8
IV) (a + b c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab ac bc) (FORMÜLLER, 2011) 9
Kaynakça FORMÜLLER. (2011, ARALIK 6). ARALIK 6, 2011 tarihinde http://www.matematikcifatih.tr.gg/harfliifadeler.htm. adresinden alındı pascal üçgeni. (2011, aralık 6). aralık 6, 2011 tarihinde http://www.frmtr.com/performansbilgileri/1020478-pascal-ucgeni-8-sinif.html. adresinden alındı 10