UZUN ÖLÜ ZAMANLI SİSTEMLER İÇİN SMİTH ÖNGÖRÜCÜSÜ YÖNTEMİ İLE PI-P KONTROLÖR TASARIMI Tansel YÜCELEN Elektrk Mühendslğ Bölümü, Kontrol Mühendslğ Programı Elektrk-Elektronk Fakültes İstanbul Teknk Ünverstes, 80626, Maslak, İstanbul e-osta: yucelent@tu.edu.tr Anahtar sözcükler: Ölü Zaman, Smth Öngörücüsü, PI-P Kontrolörü ABSTRACT Long dead tme control systems have a lmted control erformance wth PID controller. In order to control long dead tme systems effcently, a redctve based control system s essental. The dervatve arameter of PID controller can be thought as a redctve art. However, n long dead tme systems, a redcton wth the ad of dervatve calculated sgn s not arorate. The am of ths aer s to ont out contollng long dead tme system wth model based redctve PI-P controller (Proortonal-Integral-Plus controller) whch have three adjustable arameter. Then, a smulaton s created for PI-P controller systems wth laboratory educaton thermal system called PT326 and s observed to be successful. 1. GİRİŞ Ölü zamanlı kontrol sstemler üzerne yaılan araştırmalar gün geçtkçe artmakta ve böyle sstemler çn tasarlanan kontrolörler gün geçtkçe çeştlenerek, gelşmektedr. Sanayde gerçeklenmş olan endüstryel kontrol sstemlernn hemen hemen tamamı ölü zamanlıdır ve böyle brçok sstem çn transfer fonksyonu (1) bağıntısındak gb verleblr. K Gc () s =.e 1+sT -Ds (1) Bu denklemde K arametres kazanç, T arametres zaman sabt ve D arametres ölü zamandır. (1) bağıntısına lşkn brm basamak cevabı şekl 1 de gösterlmştr. Şekl-1. Gc(s) n Brm Basamak Cevabı. Değnldğ gb endüstrde gerçeklenmş olan kontrol sstemlernn tamamına yakınında algılanması gereken cevabın doğrudan ölçülememes belrl br zaman geckmesne sebe olur. Şekl-1. den de görülebleceğ gb sstemde var olan e -Ds term sstemn, bell br D geckmesnden sonra ceva vermesn sağlamaktadır. (1) bağıntısı le verlen Gc(s) sstem, br kontrolör le kontrol edlmek stenrse, sstemde var olan geckme öneml sorunlar doğurablr. Böyle br durumda kontrolör esk verler değerlendrerek karar verr ve hatalı kontrol şaretler üretlr [1]. Bu bağlamda geckme genellkle, elemanların fzksel olarak ayrı olmalarından kaynaklanır ve çoğunlukla grş şaretndek br değşm le ölçülen değer arasındak geckme olarak ortaya çıkar [3]. Bu bldrde, uzun ölü zamanlı sstemler çn br öngörüsel PI-P kontrolör tasarımı verlmştr. PI-P (roortonal-ntegral-lus ya da oransal-ntegral-artı) kontrolör tasarımı verlmesndek amaç, uzun ölü zamanlı br kontrol sstemn kontrol edeblmek çn öngörü tabanlı ve hata oranı az olan br yöntemn gerekl olmasıdır. Yne bu bldrde, tasarımı verlen PI-P kontrolörü le PT326 adlı br termal laboratuar eğtm sstem çn benzetm model oluşturulmuş ve tasarlanan kontrolörün uygulanablrlğ denenmştr.
2. UZUN ÖLÜ ZAMANLI BİR KONTROL SİSTEMİ İÇİN UYGUN KONTROLÖR SEÇİMİ Uzun ölü zamana sah kontrol sstemler çn PID (roortonal-ntegral-dervatve ya da oransalntegral-türev) kontrolör le elde edlen kontrol erformansının sınırlı olduğu blnmektedr [1]. Uzun ölü zamana sah br kontrol sstemn y br erformans le kontrol edeblmek çn kontrolör öngörü arametresne sah olmalıdır. Aslında PID kontrolörün türev (D) kısmı öngörü arametresn zaten çermektedr. Ancak, kontrol sstem uzun br ölü zamana sah olduğu zaman kontrolör çıkışındak, hata şaretnn türev yardımıyla yaılan öngörü uygun değldr [9]. Ayrıca D kısmı, hatanın değşm hızını kontrol şaretne aktardığı çn an referans değşmlernde, yüksek frekanslı şaretlerde ve uzun br ölü zaman süresnden sonra çok kısa yerleşme zamanına sah sstemlerde; kontrol şaretnn çok büyümesne neden olablr [8]. Bu sebelerden ötürü PID kontrolörün D arametresnden ötürü böyle sstemler çn ratkte terch edlen br yöntem değldr. Ölü zamanlı ve uzun ölü zamanlı sstemler çn kullanılan br yöntem Smth Öngörücüsü dür. Smth Öngörücüsü model şekl-2 de verlmştr. arametres) sah olmasından ötürü, PI-P t br kontrolör ya da PI t br kontrolör, sstem kontrolörü olarak, Smth Öngörücüsü yaısı çnde kullanılablr. PI ve PIP kontrolörlere lşkn dferansyel yasalar aşağıdak sırasıyla (2) ve (3) denklemlernde olduğu gbdr. K u() t =e() t.k + e() t dt (2) T 1 - [ u() t -u( t-d) ] dt (3) T Yasalardan görülebleceğ gb PI-P kontrolör Smth Öngörücüsü le kolayca elde edleblr. Zaten PI-P kontrolör yaısı, k arametrenn (K ve T) PI kontrolör arametrelerne dayanılarak belrlenmes dışında Smth Öngörücüsü le aynıdır [5]. Ayrıca PI-P kontrolör, D>T olduğunda PI kontrolörden daha üstündür ve daha büyük D değerler çn (uzun ölü zamanlı sstemler) daha az hata yaar [10]. Çok büyük ölü zamanlar çn PI-P kontrolörünün tolam mutlak hatası, PI kontrolörünün tolam mutlak hatasının %50 s kadardır [1]. Bu sebele uzun ölü zamanlı sstemler çn uygun kontrolör PI-P kontrolörüdür. 3. PI-P TİPİ BİR KONTROLÖRÜN PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİ PI-P kontrolörüne lşkn arametreler (4) bağıntısı le verlmştr. 1 F() s =K 1+ st (4) Şekl-2. Smth Öngörücüsü. Smth Öngörücüsü kontrolör çıkış şaretn sstem model le besleyerek sstem çıkışına aktarır. Çıkışa aktarılan bu şaret, gerçek sstem çıkış şaretnden çıkartılarak, kontrolör çıkış şaretnn geckmesz modele uygulanı çıkışta oluşan şaret le tolanır (şekl 2). Eğer sstemde herhang br modelleme hatası yoksa Z(s) n sıfır olacağı aşkardır ve bu deal br durumdur. Ancak, ratkte modelleme hatası yamadan sstem modellemek nerdeyse olanaksızdır. Smth öngörücüsü modelleme hatalarına karşı dayanıklı br yaıya sahtr. Smth Öngörücüsü, smnden de anlaşılableceğ gb çnde öngörü elemanını barındırır. Bu öngörü, kontrol şaret kontrol edlen sstemn br model yardımıyla tolanarak elde edlr. Uzun ölü zamanlı kontrol sstemler çn, çnde ölü zaman komanzasyonu olan Smth Öngörücüsü y br yöntemdr [4] Değnlecek öneml br nokta, kontrolör seçmdr. Smth Öngörücüsünün br öngörüye (Türev Bu bağıntıda PI-P kontrolörünün arametreler K kazancı ve T arametresdr. PI-P kontrolörü, üç tane ayarlanablr arametreye sah, model tabanlı br öngörüsel kontrolördür. Brçok endüstryel kontrol sstem çn transfer fonksyonunun (1) bağıntısı le verleceğne değnmştk. (1) bağıntısını ncelersek sstemn blnen ya da deneysel olarak bulunmuş arametreler K ve T dr. Belrlenmes gereken arametreler D, K ve T arametrelerdr. Bunlardan K ve T aşağıdak verlen bağıntılardan hesalanablrler [5]. K= K K (5) T=T.T (6) Kontrolörün ntegral etksnden ötürü sstem sürekl rejm hatasının sıfıra gdeceğ aşkardır. K ve T arametreler sabtlerdr. Kontrol edlen br sstemde genellkle tasarım, krtk sönüm çn ve hızlı br yerleşme zamanı çn yaılır. Şekl 2 de verlen sstemde deal durumda Z(s)=0 olacağı çn sstem
transfer fonksyonunu kontrolör ve geckmesz modele dayanarak yazarsak bulacağımız karakterstk denklem (7) de verlmştr. Bu karakterstk denkleme ( Pc(s) ) ve stenlen karakterstk denkleme ( Pe (s) le gösterlen (8). bağıntı) dayanarak baskın kutu atama yöntem le T ve K sabt katsayıları belrleneblr. 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P z =z T.T +z T +T.K.K + K.K (7) c 2 2 e( ) n. n P z =z +2.W.ξ z+w (8) ξ =1 (Krtk Sönüm) (9) Tz= 4 ( ξ -W n ) (10) T.T=1 T =1 (11) 2 n K.K =W =12 K =1 K=1 K (12) (9) ve (10). bağıntılarda sstemn Pe(s) olnomu ve sstem cevabına yönelk seçmler yaılmıştır. (11) ve (12). bağıntılarda se T ve K değerler baskın kutu atama yöntem sonucunda stedğmz değerler doğrultusunda belrlenmştr. Bu denklemler sonucunda (13) ve (14) bağıntıları elde edlr. K=1 K (13) T=T (14) Bu verlen değerlerden ve kontrol edlecek sstemn modelnden gderek ( (1) nolu bağıntı ), öngörüsel kontrolör (15) ve (16) bağıntıları le fade edleblr. 1 K( u() t -u( t-d) ) () () (15) dt dt 1+ dt dt 1 K( u() t -u( t-d) ) () () (16) dt dt 1+ dt dt u t =K 1+ e t - u t =e t.k 1+ - Görülebleceğ gb (16) bağıntısı, (15) bağıntısına (13) ve (14) bağıntıları uygulanmasıyla, (15) bağıntısının daha bast br haldr. Parametre seçm le açık çevrm sstemn T zaman sabt, kaalı çevrmde de aynen korunmuştur [1], [7]. 4. PT326 ADLI TERMAL SİSTEMİN MODELLENMESİ VE TERMAL SİSTEMİN PI-P KONTROLÖR İLE BENZETİM MODELİ PT326 termal sstem ve kontrolörden oluşan gerbeslemel blok yaı şekl 3 de gösterlmştr. Kontrolörün 2 grş olmasının neden, kontrolör bloğu çersnde şekl 2 de verlen Smth Öngörücüsü yaısını oluşturmaktır (R(s) ve Y(s) kullanılarak, Z(s) kontrolör bloğu çnde oluşturulmaktadır). Bu sstemn modeln oluşturmak çn öncelkle sstem elemanlarını tanımak gerekr. Şekl 3 dek grş, stenen referans sıcaklığıdır; sstem T(t) çıkışının bu referans sıcaklığını olabldğnce yakın tak etmes stenr. To(t) çevre sıcaklığıdır, çevre sıcaklığı devamlı sstem saracağı çn br bozucu olarak değerlendrleblr. Kontrolör bu bozucu etksn gdermeldr. Ayrıca Ct termal kaaste, Rt termal drenç elemanlarıdır. Şekl-3. Termal Sstem Kontrolü. Isı debsn [J/s] q(t) olarak ve sıcaklığıda [K] T(t) olarak tanımlarsak şekl 3 dek ssteme at dferansyel denklem bağıntısı aşağıdak gb verleblr, q=c t ( ) T-T0 d T-T 0 d + (17) R t fakat blndğ gb dferansyel denklemlerle tasarım yamak zordur. Bu yüzden (17) nolu denklem aşağıdak gb Lalace dönüşümü kullanılarak s- domennde tanımlanablr [6]. () = 1 T() s + Ct s T0 ( s) R + t Q s.. (18) Bu tasarım sonucunda şekl 3 dek yaıyı, şekl 4 dek gb zaman geckmes ve PI-P kontrolörünüde dahl ederek, tam olarak br blok dyagram ve Smth Öngörücüsü yaısında fade edeblrz [8]. Kontrolör tasarlayacağımız sstemn deneysel olarak belrlenen Rt değer 0.8, Ct değer 0.75 ve zaman geckme değer 1 sanyedr. Şekl-4. Termal Sstemn Benzetm Model.
Bldrnn 3. bölümündek (13) ve (14) bağıntıları le PI-P kontrölörü arametreler, (13) bağıntısından, 0.8=1 K K =1.25,(14) bağıntısından, = olarak belrleneblr. 0.80.75=1.T T 0.6 Bu koşullar altında şekl 4 tek sstemn brm basamak cevabı 5. şekldek gb verleblr. Şekl 5 tek ceva çn PT326 adlı sstem le oluşturulan model deal kabul edlmştr. Bu koşulda daha önce de değnldğ gb Z(s)=0 olacaktır. Bu durumda sstem stenlen gb krtk sönümlü ve sürekl hal hatası yamamaktadır. Bu koşullarda sstemn yerleşme zamanı yaklaşık 3.77 sanyedr. (10). bağıntıya nlgöre Ts yerleşme zamanı 4 sanyedr ( Ts = 4Hz.w, ζ=1, w n = 1). Teork olarak hesalanan değerle benzetm model değer brbrlerne yakın olarak bulunmuşlardır. Şekl 6 tan anlaşılableceğ gb model kutbunun sanal eksene yaklaşması sonucu yerleşme süres artmıştır (Ts=4.02 sn). Bu değşm dışında sürekl hal hatası yne sıfır olarak kalmış ve sstem yne krtk sönümlü davranmıştır. Her k durumda da Smth Öngörücüsü ölü zamanı komanze etmştr ve stenlen brm basamak cevabını vermştr. Ssteme modelleme sırasında değnlen To(s) çevre bozucu sıcaklığı etk etmes durumunda sstem davranışı şekl 7 de verlmştr. Şekl-7. Ssteme Bozucu Etk Etmes Durumunda Sstemn Brm Basamak Cevabı. Şekl 7 den görüldüğü gb ssteme 30. sanyede bozucu çevre sıcaklığı etkmştr, ancak sstem bozucu sıcaklığı yerleşme zamanı le eş sürede komanze ederek yne sürekl hal hatası sıfır olmuştur. Şekl-5. Smth Öngörücüsü le Sstem Brm Basamak Cevabı. Sstem modelnn deal olmadığını varsayarsak ve model aydasındak s= -1 R t.c t noktasını sstem cevabını olumsuz etklemes bakımından daha baskın yaacak şeklde s eksen takımına yaklaştırırsak (Rt.Ct değern 0.6 dan 0.8 e çeklr) bu durumda K değerde (Rt) 0.8 den 0.9 a çeklrse sstem model yeterl derecede değştrlmş olur. Bu durumda sstemn brm basamak cevabı şekl 6 da verlmştr. Şekl-6. Sstemn Br Takım Hatalar le Modellenmes Sonucunda Sstemn Brm Basamak Cevabı. Benzetm model sonucunda; PI-P kontrolörü kullanarak kontrol edlen br termal sstem üzernde, belrlenen arametreler çerçevesnde (K, T, D), stenlen koşulların (Sürekl hal hatası, krtk sönüm, y yerleşme zamanı) sağlandığı gözlenmştr. 5. SONUÇ Bu çalışmada uzun ölü zamanlı sstemler çn Smth Öngörücüsü yöntem le br PI-P kontrolör tasarımı verlmş ve tasarlanan PI-P kontrolör çn, stenen koşulları sağlayacak, katsayılar belrlenmştr. Belrlenen katsayılardan gderek, katsayıların doğruluğu ve sstemn stenlen şeklde çalışması PT326 adlı termal br sstem çn benzetm model le gösterlmştr. Bu sstem model, endüstryel kontrol sstemlernde sıkça karşılaşılan br yaıda olduğu çn terch edlmştr. Bu model sonucunda sstemn uzun ölü zaman etksn komanze ederek gderdğ, sürekl hal hatası yamadığı, yerleşme süresnn kısa olduğu ve ssteme br bozucu etkdğ zaman bozucuyu komanze ettğ gözlenmştr. Smth Öngörücü yöntem kullanılarak gerçeklenen PI-P kontrolörünün daha yüksek mertebeden sstemlere kolayca uygulanableceğ gösterleblr. Ayrıca, önerlen tasarımda aşım ve ölü zaman etks bulunmadığı çn, tasarım, deal br kaalı çevrm sstem brm basamak cevabı özellğn de taşımaktadır [2]. Yne bu çalışmada kullanılan PI-P kontrolörü, PID kontrolör le karşılaştırıldığında, sstemn uzun br ölü
zamana sah olması durumunda ble, öngörüsel kontrol gerçekleştreblme özellğnde olduğu gösterleblr. Ayrıca bu öngörü, kontrol şaretnn alçak geçren br fltres olarak gerçeklendğnden, PID kontrolörün türev kısmında olduğu gb, yüksek frekanslı bozucular kuvvetlendrlmeden yerne getrlrler. KAYNAKLAR [1] Arıkan, T., ÖLÜ ZAMANLI KONTROL SİSTEMLERİNDE TASARIM YÖNTEMLERİ, İstanbul Teknk Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Yüksek Lsans Tez, 1997. [2] Bateson N. R., CONTROL SYSTEM TECHNOLOGY, Prntce Hall, 1996. [3] D Azzo J. J., Houls C. H., LINEAR CONTROL SYSTEM ANALYSIS AND DESIGN, McGraw-Hll Book Comany, 1981. [4] Fredland B., ADVANCED CONTROL SYSTEM DESIGN, Prentce-Hall Internatonal Edtons, 2001. [5] Hagglund T., A DEAD TIME COMPENSATING THREE TERM CONTROLLER, 9th IFAC/IFORS Sym. On Identfcaton and System Parameter Estmaton, Budaest, Hungary, 1991. [6] Kuo B., AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS, Prentce-Hall, Inc. A Smon & Schuster Comany, 1999. [7] Mddleton R. H., Goodwn G. C., DIGITAL CONTROL AND ESTIMATION: A UNIFIED APPROACH, Prentce-Hall, Englewood Clffs, 1990. [8] Nse N., CONTROL SYSTEMS ENGINEERING, Wley Internatonal Edton, 2004. [9] Palm W. J., CONTROL SYSTEMS ENGINEERING, John Wlley & Sons, 1986. [10] Young P. C., Lees M. J., Chota A., Tych W., Chalab Z. S., MODELLING AND PI-P CONTROL OF A GLASSHOUSE MICRO-CLIMATE, Pergamon Press, Oford, 1994.