Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,, gibi büyük harflerle gösteririz. ir x elemaný (öðesi) kümesinin elemaný ise bunu x biçiminde yazar ve x elemanýdýr diye okuruz. ðer bir x elemaný kümesinin elemaný deðilse bunu x biçiminde yazar ve x elemaný deðildir diye okuruz. ir kümesinin eleman sayýsý s() veya n() ile gösterilir. oðal sayýlar kümesi: N = {0, 1, 2, 3,... } Tam sayýlar kümesi: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } u gösterimlerdeki (...) üç nokta, kümenin elemanlarýnýn ardýþýk olarak devam edeceðini gösterir. 2. Ortak Özelik Yöntemi Kümenin elemanlarý arasýnda ortak bir özelik varsa bu özelik belirtilerek kümenin gösterimine ortak özelik yöntemi ile gösterim denir ve; = {x x in özeliði } ile gösterilir. uradaki x sembolü x: biçiminde de gösterilebilir. Kümede bir eleman birden fazla yazýlmaz. lemanlarýn yer deðiþtirmesi kümeyi deðiþtirmez.. KÜMLRÝN GÖSTRÝLMSÝ 1. Liste Yöntemi Kümenin elemanlarý, { } parantezi içine, sýra gözetmeksizin, nesneleri virgül ile ayýrarak yazýlýr. rnek... 3 T kelimesinin harflerinden oluþan kümeyi liste yöntemi ve ortak özelik yöntemiyle gösterelim. T kelimesinin harflerinden oluþan küme kümesi olsun. kümesinin liste yöntemiyle gösterimi: = {, T} kümesinin ortak özelik yöntemiyle gösterimi: = {x x, T kelimesindeki harfler} rnek... 1 1 ile 10 arasýndaki sayma sayýlarýnýn oluþturduðu kümesini, = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} biçiminde gösterebiliriz. u gösterime liste yöntemi ile gösterim denilir. 3. Þema (Venn diyagramý) Yöntemi Kümeyi oluþturan nesneler kapalý bir eðri içine, her eleman bir nokta ile gösterilip noktanýn yanýna elemanýn adý yazýlarak gösterilir. u gösterime Venn þemasý (diyagramý) ile gösterim denir. rnek... 2 Geçen yýllarda gördüðünüz N doðal sayýlar kümesini ve Z tam sayýlar kümesini liste yöntemiyle gösterelim. rnek... 4 1, 2, 3 elemanlarýnýn oluþturacaðý kümeyi verilen üç yöntemle de gösterelim: 22
Kümeler Liste yöntemi ile gösterimi: = {1, 2, 3} Ortak özelik yöntemi ile gösterimi: = {x: x doðal sayý, 0 < x < 4} Venn þemasý ile gösterimi: 1 2 3. KÜMLRÝN ÞÝTLÝÐÝ yný elemanlardan oluþan en az iki kümeye eþit kümeler denir. ve gibi iki kümenin birbirine eþit olmasý = biçiminde yazýlýr ve kümesi kümesine eþittir diye okunur. ve kümelerinin birbirine eþit olmamasý, biçiminde gösterilir. rnek... 9 = {x: x, 1213 sayýsýnýn basamaklarýndaki bir rakam} = {1, 2, 3} lemanlarý sayýlabilen sonlu çoklukta olan kümelere sonlu kümeler denir. lemanlarý sayýlamayacak çoklukta olan kümelere sonsuz kümeler denir. = {3, 1, 2} kümeleri ayný elemanlardan oluþur. Yani, = = dir.. NK KÜMLR rnek... 5 = {1, 2, 3} sonlu bir kümedir. s() = 3 tür. leman sayýlarý ayný olan kümelere denk kümeler denir. kümesi ile kümesi birbirine denk ise, biçiminde gösterilir. rnek... 6 N = {0, 1, 2, 3,... } þit kümeler ayný zamanda denk kümelerdir. Fakat denk kümeler eþit kümeler olmayabilir. olduðuna göre, doðal sayýlar kümesi sonsuz bir kümedir.. OÞ KÜM lemaný olmayan kümeye boþ küme denir. oþ küme veya { } sembolü ile gösterilir. rnek... 7 = {x: x N, x < 0} kümesi boþ kümedir. rnek... 10 M = {2, 3, 5, 6} Z = {a 6 < a < 15, x çift sayý} T = {3, 5, 7} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Z = M ) Z = T ) Z M ) M T ) Z T Z = {a 6 < a < 15, x çift sayý} rnek... 8 = {Türkçede ile baþlayan aylar} kümesi boþ kümedir. = {8, 10, 12, 14} olduðuna göre, Z ile M nin eleman sayýlarý eþittir. una göre, Z M olur. evap 23
Kümeler F. LT KÜM ve ÖZLT KÜM ir kümesinde bulunan her eleman ayný zamanda kümesinin de elemaný ise, kümesine kümesinin alt kümesi denir. kümesi nin alt kümesi ise, ile gösterilir ve alt küme diye okunur. Ya da þeklinde gösterilir ve kapsar diye okunur. ir kümenin kendisi hariç, tüm alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir. lt Kümenin Özelikleri 1. Her kümesi için dýr. rnek... 11 = {1, 2} = {1, 2, 3} kümelerini Venn þemasýyla gösterelim. 1 3 2 kümesinin her elemaný kümesinin de elemaný olduðu için, dir. 2. Her kümesi için dýr. 3. ve ise dir. 4. n elemanlý bir kümenin tüm alt kümeleri sayýsý: 2 n dir. 5. n elemanlý bir kümenin tüm özalt kümeleri sayýsý: 2 n 1 dir. 6. n elemanlý bir kümenin r elemanlý (n r) alt kümeleri sayýsý = dir. n n! r (n r)! r! 7. n elemanlý bir kümenin r elemanlý alt kümelerinin sayýsý, k elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit ise, n = r + k dir. ve kümeleri için ve ise, ve kümeleri eþit kümelerdir. rnek... 12 = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerini yazalým. oþ kümede olan ve kümesinde olmayan hiçbir eleman yoktur. una göre, dýr. kümesinin her elamaný yine kümesinin bir elemanýdýr. una göre, dýr. u durumda, verilen kümesinin; 0 elemanlý alt kümesi: 1 elemanlý alt kümeleri: {1}, {2} {3} 2 elemanlý alt kümeleri: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 3 elemanlý alt kümesi: {1, 2, 3} olur. 0! =1 1! =1 2! =1 2 = 2 3! =1 2 3 = 6......... n! =1 2 3... n olarak tanýmlanýr. rnek... 13 = {1, 2, 3} kümesinin eleman sayýsý 3 tür. una göre, kümesinin alt kümelerinin sayýsý, 2 3 = 2 2 2 = 8 olur. una göre, kümesinin özalt kümelerinin sayýsý, 2 3 1 = 8 1 = 7 olur. 24
Kümeler rnek... 14 ir kümenin 6 elemanlý alt kümelerinin sayýsý 2 elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþittir. = {x: x veya x } dir. una göre, bu kümenin 4 elemanlý alt kümelerinin ) 84 ) 80 ) 76 ) 72 ) 70 u kümenin eleman sayýsý n olsun. n n = 6 2 olduðuna göre, n = 6 + 2 = 8 olur. 8 elemanlý bir kümenin 4 elemanlý alt kümelerinin sayýsý: 8 8! = 4 (8 4)! 4! 8 7 6 5 4! = 4! 4 3 2 1 = 70 olur. rnek... 16 = {1, 2, 3} = {1, 3, 5, 7} olduðuna göre, kümesini liste biçiminde yazalým ve Venn þemasý ile gösterelim. kümesinin elemanlarý, hem nýn hem de nin elemaný olabilir. ir kümede bir eleman birden fazla yazýlmayacaðýný da göz önüne alarak kümesini yazalým: = {1, 2, 3}, = {1, 3, 5, 7} ise, = {1, 2, 3, 5, 7} olur. evap 2 1 3 5 7 rnek... 15 H = {a, b, c, d, e, f, g} Yukarýdaki taralý küme, kümesidir. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde g elemanýnýn bulunduðunu görelim. H = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinden d elemaný çýkarýlarak elde edilen {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin her birine g elemaný eklenirse istenen alt kümelerin sayýsý bulunur. {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin sayýsý 2 6 = 64 olduðuna göre, H = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin alt kümelerinin 64 tanesinde g eleman olarak bulunur. G. KÜMLRL ÝÞLMLR 1. Kümelerin irleþimi ve herhangi iki küme olmak üzere; ile kümelerinin bütün elemanlarýndan oluþan kümeye, bu iki kümenin birleþimi denir ve biçiminde gösterilir. birleþim kümesi diye okunur. þaðýda birleþim için daha sonra da kesiþim için verilecek olan özeliklerin ezberlenmesi gerekmez. oðruluklarý kolayca görülebilir. 2. irleþim Ýþleminin Özelikleri 1. = dýr. 2. = dýr. 3. = ise ( = ve = ) dir. 4. = dýr. 5. ( ) = ( ) = dir. 6. ise, = dir. 7. ( ) ve ( ) dir. 25
Kümeler 3. Kümelerin Kesiþimi ve herhangi iki küme olmak üzere; ile nin ortak elemanlarýndan oluþan kümeye, bu iki kümenin kesiþimi denir ve biçiminde gösterilir. kesiþim kümesi diye okunur. = {x: x ve x } dir. rnek... 17 ( ) = ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dýr. Þekildeki taralý küme ( ) kümesidir. = {a, b, c} = {a, c, d, e} olduðuna göre, kümesini liste biçiminde yazalým ve Venn þemasý ile gösterelim. kümesinin elemanlarý, hem hem de kümesinin elemanlarýdýr. una göre, = {a, c} dir. 5. Ýki Kümenin Farký ve herhangi iki küme olsun. da olup da de olmayan elemanlarýn kümesi \ veya biçiminde yazýlýr ve fark diye okunur. = {x: x ve x } dir. b a c d e Yukarýdaki taralý küme, kümesidir. 4. Kesiþim Ýþleminin Özelikleri 1. = dýr. 2. = dir. 3. ( ) ve ( ) dir. 4. = dýr. 5. ( ) = ( ) = dir. 6. ise, = dýr. 7. ( ) = ( ) ( ) dir. 8. ( ) = ( ) ( ) dýr. 9. ( ) = ( ) dýr. rnek... 18 = {1, 2, 3, 4} = {3, 4, 5, 6} olduðuna göre, ( ) kümesini liste biçiminde yazalým ve Venn þemasýyla gösterelim. rnek... 19 = {1, 2, 3, 4, 5} = {4, 5, 6} olduðuna göre, kümesini ve kümesini liste biçiminde yazýp Venn þemasýyla gösterelim. kümesi da olup de olmayan elemanlarýn kümesidir. una göre, = {1, 2, 3} olur. kümesi de olup da olmayan elemanlarýn kümesidir. una göre, = {6} dýr. 1 2 3 4 5 6 26
Kümeler rnek... 22 ( ) ( ) ( ) = dir. = {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6. Farkla Ýlgili Özelikler 1. = dir. 2. = dýr. 3. = dir. 4. ise, = dir. olduðuna göre, s( ) + s( ) kaçtýr? ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 Verilen kümeleri Venn þemasýyla gösterelim: 5. = ( ) dir. 6. ( ) = dir. 7. dýr. 8. ( ) = ( ) dir. 1 2 3 4 5 6 rnek... 20 = {1, 4} = {2, 5} = {3} olduðuna göre, kümesini bulalým. = ( ) ( ) ( ) = {1, 4} {2, 5} {3} = {1, 2, 3, 4, 5} olur. Yukarýdaki þemaya göre, = s( ) = 0 dýr. = {5, 6} s( ) = 2 dir. una göre, s( ) + s( ) = 0 + 2 = 2 olur. rnek... 23 s( ) = 2 s( ) = 5 s( ) = 4 olduðuna göre, s( ) kaçtýr? evap 1. s( ) = s( ) + s( ) + s( ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 2. s( ) = s() + s() s( ) 3. s( )= s() + s() + s() s( ) s( ) s( ) + s( ) Ç rnek... 21 s() = 12, s() = 25, s( ) = 6 ise s( ) = s() + s() s( ) = 12 + 25 6 = 31 olur. s( ) = s( ) + s( ) + s( ) = 2 + 4 + 5 = 11 evap 27
Kümeler H. VRNSL KÜM Üzerinde iþlem yapýlan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. vrensel küme ihtiyaca yetecek kadar öge içerir ve genellikle harfi ile gösterilir. Tümleyenin Özelikleri evrensel küme olmak üzere, aþaðýdaki özelikler yazýlabilir: 1. ' = = 2. ( )' = = = = 3. 4. 5. (')' = ' = ' = 6. ( )' = ' ' 7. ( )' = ' ' 8. ' = 9. ' = ' vrensel küme sabit bir küme deðildir. Her iþlemde deðiþir. 10. 11. 12. 13. ' ' s( ) + s(') = s() = ' = ' I. TÜMLM olsun. evrensel kümesinde olup, kümesinde olmayan elemanlarýn oluþturduðu kümeye kümesinin tümleyeni denir. ' ile ya da ile gösterilir. unun küme ile gösterimi, = {x: x ve x } dir. rnek... 24 ve ayný evrensel kümenin alt kümeleridir. s( ) + s(') = 24 s() + s(') = 12 olduðuna göre, evrensel kümenin eleman sayýsý kaçtýr? ) 12 ) 15 ) 18 ) 21 ) 36 Yukarýdaki þekilde gösterilen taralý bölge, kümesinin tümleyenidir. evrensel küme olmak üzere, ve dir. s( ) + s(') = 24 + s() + s(') = 12 s( ) + s(') + s() + s(') = 36 s( ) + s(') + s(') + s() = 36 s() s() 2 s() = 36 s() = 18 olur. evap 28
Kümeler rnek... 25 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 7} evrensel kümesinde, kümesi tanýmlanýyor. una göre, ' kümesinin 3 elemanlý alt kümeleri ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 ) 13 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, = {1, 2, 7} ise, ' = {3, 4, 5, 6, 8} olur. una göre, s(') = 5 tir. 5 elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt kümeleri sayýsý: rnek... 27 evrensel kümesinde, ve kümeleri tanýmlanýyor. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3} = {1, 3, 5, 7} una göre, ( )' ( )' kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {1, 5, 8} ) {2, 5, 7} ) {1, 2, 3, 4} ) {4, 5, 6} ) {2, 4, 6} Verilenleri þema ile gösterelim: 2 1 5 3 7 4 6 8 5 5! = 3 (5 3)! 3! 5 4 3 2 1 = 21321 = 10 dur. rnek... 26 (' ) ( ') ( ) ifadesinin eþitini bulalým. evap = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, = {1, 2, 3}, = {1, 3, 5, 7} = {1, 3} = {1, 2, 3, 5, 7} vrensel kümede olup kümesinde olmayan elemanlarýn oluþturduðu küme; ( )' = {2, 4, 5, 6, 7, 8} olur. vrensel kümede olup da kümesinde olmayan elemanlarýn oluþturduðu küme; ( )' = {4, 6, 8} dir. ( )' ( )' kümesi; ( )' kümesinde olup, ( )' kümesinde olmayan elemanlardan oluþur. ( )' ( )' = {2, 5, 7} olur. evap ( ' ) ( ) = [ (' )] = [ ] =... ( ) (' ) ( ') ( ) = (' ) = (' ) ( ) = ( ) = olur. rnek... 28 n az birer elemaný bulunan farklý ve kümeleri, ( ) = olduðuna göre, kümesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisine daima eþittir? ) ) ) ) ) ' 29
Kümeler evrensel küme olmak üzere, = ' dir.... ( ) u iki dilden en çok birini bilenlerin sayýsý: s[( Ý)'] = a + c + d dir. ' = dir.... ( ) ( ) = ise, ( ') = ( ) (' ) = ( ) = a+b+c+d tane öðrencinin bulunduðu bir sýnýfta; lmanca bilenlerin kümesi, Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý olmak üzere; lmanca bilen öðrencilerin sayýsý: s() = b + c dir. Ýngilize bilen öðrencilerin sayýsý: s(ý) = a + b dir. Ýngilizce ve lmanca bilenlerin sayýsý: s(ý ) = b dir. Ýngilizce veya lmanca bilenlerin sayýsý: s(ý ) = s(ý) + s () s(ý ) = (a + b) + (b + c) b = a + b + c dir. u iki dilden sadece birini bilenlerin sayýsý: s(ý ) + s( Ý) = a + c dir. Sadece Ýngilizce bilenlerin sayýsý: s(ý ) = a dýr. Ýngilizce bilmeyenlerin sayýsý: s(ý' ) = c + d dir. u iki dilden en az birini bilenlerin sayýsý: s( Ý) = a + b + c dir. S a Ý b d = olur. c evap rnek... 29 20 kiþilik bir sýnýftaki her öðrenci tenis veya golf sporlarýndan en az birini oynamaktadýr. Tenis oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 2 katý; golf oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 3 katýdýr. una göre, bu sýnýfta tenis oynayan öðrenci sayýsý kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 10 ) 12 ) 15 T a u sýnýfta, tenis oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 2 katý olduðuna göre, a + b = 2b a = b dir.... ( ) Golf oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 3 katý olduðuna göre, b + c = 3b c = 2b dir.... ( ) Sýnýf mevcudu 20 olduðuna göre, b a + b + c = 20 dir.... ( ) ( ) ve ( ) da verilen a ve c nin eþitleri ( ) da yerine yazýlýrsa, a + b + c = 20 b + b + 2b = 20 4b = 20 b = 5 bulunur. una göre, bu sýnýfta tenis oynayanlarýn sayýsý, c s(t) = a+b= b + b = 2b = 10 olur. G evap 30
Kümeler Ç özümlü T est 7. = {a, b, c, d, e, f} 1. = {, a, b, {c,d}} kümesi kaç elemanlýdýr? ) 6 ) 5 ) 4 ) 3 ) 2 8. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b veya c eleman olarak bulunur? ) 64 ) 60 ) 56 ) 52 ) 48 2. olmak üzere, 3. 4. 5. = {1, 2, 3, 4} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kümesi olamaz? ) ) {1, 2} ) {1, 2, 3, 4} ) {2, 4, 6} ) {1, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} = {2, 3, 4} kümeleri için aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) s() = 4 ) ) 4 ) {1, 2} ) { } = {a, b, c, d} = {a, c, e, f} olduðuna göre, s[ ( )] kaçtýr? ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ( ) ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisine her zaman eþittir? ) ) ) ) ) 9. 3 4 7 5 6 8 Yukarýdaki þekilde sayýlar bulunduklarý bölgelerin eleman sayýlarýný göstermektedir. s( ) = 37 olduðuna göre, x kaçtýr? x ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 Þekildeki taralý küme aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 10. oþ kümeden farklý K ve L kümeleri için, 11. s(k) = 2 s(l) s(k L) + s(k L) = 21 olduðuna göre, s(l) kaçtýr? ) 5 ) 7 ) 8 ) 10 ) 13 G = {x x < 100, x = 3n, n N + } 6. 127 tane özalt kümesi olan bir küme kaç elemanlýdýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 H = {y y < 120, x = 5m, m N + } kümeleri veriliyor. una göre, s(g H) kaçtýr? ) 56 ) 54 ) 50 ) 48 ) 45 31
Kümeler 12. 30 kiþilik bir turist grubunda, her turist Ýngilizce ve lmanca dillerinden en az birini biliyor. u grupta 25 kiþi Ýngilizce, 10 kiþi de lmanca bildiðine göre, her iki dili bilen kaç kiþi vardýr? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 17. ve birer küme olmak üzere, I. ise, = dir. II. ise, = dir. III. ( ) = dir. yargýlarýndan hangileri daima doðrudur? ) Yalnýz I ) Yalnýz II ) Yalnýz III ) I ve II ) II ve III 13. n elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt küme sayýsý ile 6 elemanlý alt küme sayýsý eþittir. una göre, bu kümenin 4 elemanlý alt küme ) 125 ) 126 ) 127 ) 128 ) 129 18. = {x : 0 < x < 128, x = 4 m, m N} = {y : 20 y < 148, y = 5 n, n N} olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 14. 15. = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin kaçýnda 5 elemaný bulunur? ) 10 ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 1 2 3 4 5 Þekilde verilen þemaya göre, s[ ( )] kaçtýr? ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 19. = {a, b, 1, 2} = {a, 1} = {a, 2} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) ) ) = ) = {a} ) = 20. Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluþan 42 kiþilik bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 3, voleybol ve basketbol oynayanlar 9, voleybol ve futbol oynayanlar 10, futbol ve basketbol oynayanlar 7 kiþidir. Futbol oynayanlar 22, voleybol oynayanlar 25 kiþi olduðuna göre, basketbol oynayanlar kaç kiþidir? ) 15 ) 16 ) 18 ) 20 ) 21 16. ve birer küme olmak üzere, s() = 10 s() = 8 olduðuna göre, s[( ) ( )] en çok kaçtýr? ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 ) 18 21. kümesinin alt küme sayýsý 8 ve s( ) = 10 s( ) = 11 olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 3 ) 8 ) 18 ) 22 ) 24 32
Kümeler 22. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} evrensel kümesi veriliyor. = {1, 3, 5} = {1, 2, 5, 6} olduðuna göre, [( ) ]' kümesinin eleman ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 27. Futbol, voleybol, basketbol oyunlarýnýn en az birini oynayanlardan oluþan bir sporcu kafilesinde; futbol oynayanlarýn sayýsý 43, basketbol oynayanlarýn sayýsý 38, voleybol oynayanlarýn sayýsý 28 dir. Futbol ve voleybol oynayanlarýn sayýsý 15, voleybol ve basketbol oynayanlarýn sayýsý 13, futbol ve basketbol oynayanlarýn sayýsý 21, üç oyunu da oynayanlarýn sayýsý 6 dýr. una göre, kafiledeki sporcu ) 66 ) 65 ) 64 ) 63 ) 62 23. n elemanlý bir kümenin, alt kümelerinin sayýsý ile özalt kümelerinin sayýsý toplamý 15 tir. una göre, n kaçtýr? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 24. ir sýnýfta matematik dersinden baþarý gösterenler, sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 30 u, Türkçe dersinden baþarý gösterenler sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 60 ý, bu iki dersin ikisinden de baþarý gösterenler sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 10 u dur. 25. u sýnýftaki öðrencilerin 16 tanesi her iki dersten de baþarýsýz olduðuna göre, sýnýfta kaç öðrenci vardýr? ) 80 ) 70 ) 60 ) 50 ) 40 s() = 12 s( ) = 3 olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 4 ) 6 ) 9 ) 12 ) 15 28. ir sýnýfta lmanca veya Ýngilizce dillerinden en az birini bilen 21 öðrenci vardýr. lmanca bilenlerin sayýsý; Ýngilizce bilenlerin sayýsýnýn 3 katý, her iki dili bilenlerin sayýsýnýn ise 6 katýdýr. una göre, sýnýftaki lmanca bilenlerin sayýsý kaçtýr? ) 20 ) 19 ) 18 ) 17 ) 16 29. ir sýnýfta lmanca veya Ýngilizce dillerinden en az birini bilen 21, en çok birini bilen 8, hiçbirini bilmeyen ise 3 öðrenci vardýr. una göre, bu sýnýfta iki dil bilen öðrencilerin ) 20 ) 19 ) 18 ) 17 ) 16 26. ve kümeleri evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, kümesinin eleman sayýsý 27 dir. s( ) = 8 s(' ') = 4 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 12 ) 15 ) 17 ) 19 ) 20 30. ve ayrýk kümelerdir. ve kümeleri evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s() = 12 s( ) = 8 s( ) = 5 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 21 ) 23 ) 24 ) 25 ) 26 33
Kümeler T estin Ç özümleri 5. = dýr.... ( ) 1., a, b, {c,d} elemanlarýndan oluþan kümesi dört elemanlýdýr. evap = dir.... ( ) una göre, ( ) ( ) = dir. evap 6. 2. kümesi, kümesinin alt kümesi ise, daki her eleman nin de elemanýdýr. kümesinde 6 diye bir eleman olmadýðýndan kümesinde 6 olamaz. una göre, verilen koþullara göre, kümesi {2, 4, 6} olamaz. 3. ; 1, 2, 3, 4 elemanlarýndan oluþan bir kümedir. Yani s() = 4 tür. evap kümesinin her elemaný ayný zamanda kümesinin de bir elemanýdýr. kümesi nýn alt kümesidir. ( dýr.) kümesinin elemanlarý içinde 4 vardýr. Yani 4 dýr. 1 ile 2 nin ikisi de kümesinin elemaný olduðu için bu elemanlardan oluþan bir küme nýn alt kümesidir. Yani {1, 2} dýr. nýn elemanlarý içinde gibi bir sembol olmadýðýndan yi eleman kabul eden bir küme nýn alt kümesi olamaz. Yani { } ifadesi yanlýþtýr. ðer olsaydý doðru olurdu. evap n elemanlý bir kümenin özalt kümesi sayýsý 127 ise, 2 n 1 = 127 7. 2 n = 127 + 1 2 n = 128 2 n = 2 2 2 2 2 2 2 2 n = 2 7 dir.... ( ) 2 n = 2 7 ise n = 7 dir. una göre, 127 tane özalt kümesi olan bir küme 7 elemanlýdýr. = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümeleri sayýsýndan, içinde eleman olarak b ve c nin bulunmadýðý {a, d, e, f} kümesinin alt kümeleri sayýsý çýkarýlýrsa istenen bulunmuþ olur. {a, b, c, d, e, f} kümesinin tüm alt kümelerinin sayýsý, 2 6 = 64 tür. {a, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin sayýsý, 2 4 = 16 dir. una göre, = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin 64 16 = 48 tanesinde b veya c eleman olarak bulunur. evap evap 8. 4. s( ) = 37 ( ) = ( ) ( ) 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + x = 37 = {a, b, c, d} {a, c, e, f} 33 + x = 37 = {a, c} x = 37 33 olduðuna göre, s[ ( )] = 2 dir. x = 4 tür. evap evap 34
Kümeler 9. 12. Þekildeki taralý küme dir. u kümede olup kümesinde olmayan elemanlar verilen taralý kümeyi oluþturur. Her turist Ýngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bildiðinden, gruptaki turist sayýsý, Ýngilizce veya lmanca bilenlerin kümesinin eleman sayýsýna eþittir. Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý, lmanca bilenlerin kümesi olsun. una göre, taralý böle, s( Ý) = s() + s(ý) s( Ý) 30 = 10 + 25 s( Ý) ( ) 30 = 35 s( Ý) kümesidir. s( Ý) = 35 30 = 5 olur. evap evap 10. s(k) = 2 s(l)... ( ) s(k L) = s(k) + s(l) s(k L)... ( ) olduðuna göre, s(k L) + s(k L) = 21 s(k) + s(l) s(k L) + s(k L) = 21 s(k) + s(l) = 21... ( ) olur. s(k) nýn ( ) daki deðeri ( ) da yerine yazýlýrsa, bulunur. 11. s(k) + s(l) = 21 2 s(l) + s(l) = 21 3 s(l) = 21 s(l) = 7 evap G kümesi, 100 den küçük ve 3 ün katý olan pozitif doðal sayýlardan oluþmaktadýr. H kümesi, 120 den küçük ve 5 in katý olan pozitif doðal sayýlardan oluþmaktadýr. una göre, G = {3, 6, 9,..., 99} ise s(g) = 33 H = {5, 10, 15,..., 115} ise s(h) = 23 olur..k.o.k.(3, 5) = 15 olduðu için, G ve H kümesinde bulunan elemanlar 100 den küçük ve 15 in katý olan pozitif doðal sayýlardan oluþmaktadýr. una göre, G H = {15, 30, 45, 60, 75, 90} ise s(g H) = 6 olur. una göre, s(g H) = s(g) + s(h) s(g H) = 33 + 23 6 = 50 bulunur. evap 13. n elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt küme sayýsý ile 6 elemanlý alt küme sayýsý eþit ise, n n = ise n = 3 + 6 ise n = 9 olur. 3 6 9 elemanlý bir kümenin 4 elemanlý alt küme sayýsý: 9 9! 5! 6 7 8 9 = = = 126 olur. 4 (9 4)! 4! 5! 4 3 2 1 14. evap kümesindeki 5 elemaný dýþýnda kalan diðer 4 eleman ile 2 elemanlý alt kümeler oluþturup, sonra da bu alt kümelere 5 elemanýný yazdýðýmýzda 3 elemanlý, içinde 5 elemaný bulunan alt kümeler yazýlmýþ olur. una göre, kümesinin, içinde 5 elemaný bulunan 3 elemanlý alt kümeleri sayýsý: 4 4! 4 3 2 1 = = = 6olur. 2 (4 2)! 2! 2! 2 1 15. evap = {1, 2, 3, 4}, ={2, 3} ve = {3, 4, 5} olduðuna göre, = {2, 3, 4, 5} olur. ( ) kümesi, kümesinde olup kümesinde olmayan elemanlardan oluþur. una göre, ( ) = {1} ve s[ ( )] = 1 dir. evap 35
Kümeler 16. ( ) ( ) kümesi, de olup de olmayan elemanlardan oluþur. u kümenin eleman sayýsýnýn en çok olmasý için, nin eleman sayýsý en az olmalýdýr. Yani, s( ) = 0 dýr. ve kümeleri ayrýk kümeler olduðundan, s[( ) ( )] = s() + s() = 10 + 8 = 18 dir. evap 19. b 1 a 2 Verilen kümeler yandaki þemada gösterilmiþtir. una göre, nin her elemaný nýn da elemaný olduðundan kümesi kümesini kapsar. una göre, dir. nin her elemaný nýn da elemaný olduðundan kümesi kümesinin alt kümesidir. Yani, dýr. olduðundan, 17. Ì = dir. Hem kümesinde hem de kümesinde olan eleman, a olduðundan, = {a} dir. kümesinde olup, kümesinde olmayan elemanlar, 1 ve b olduðundan, = {1, b} dir. ise, nýn her elemaný nin de elemaný olup, una göre, seçeneðindeki ifade yanlýþtýr. = dýr. una göre, I. ifade yanlýþtýr. evap É ise, nin her elemaný nýn da elemaný olup, = dýr. una göre, II. ifade de yanlýþtýr. = ve ( ) = = olup, III. ifade doðrudur. evap 20. Futbol oynayanlarýn kümesi F, voleybol oynayanlarýn kümesi V, basketbol oynayanlarýn kümesi olmak üzere, s(f V ) = s(f) + s(v) + s() s(f V) s(f ) s(v ) + s(f V ) Verilenleri bu eþitlikte yerine yazarsak; 42 = 22 + 25 + s() 10 7 9 + 3 42 = 24 + s() 18. kümesi, 0 ile 128 arasýndaki 4 ün katý olan doðal sayýlardan oluþuyor. kümesinin elemanlarý; 4, 8, 12, 16,..., 112, 116, 120, 124 tür. s() = 42 24 s() = 18 olur. evap kümesi, 19 ile 148 arasýndaki 5 in katý olan doðal sayýlardan oluþuyor. kümesinin elemanlarý; 20, 25, 30, 35,..., 130, 135, 140, 145 tir. Hem 4 ün hem de 5 in katý olan sayýlar, 20 nin katý olan sayýlardýr. una göre, kümesi; 20 nin katý olan ve hem nýn hem de nin elemanlarýndan oluþan kümedir. = {20, 40, 60, 80, 100, 120} olur. una göre, s( ) = 6 dýr. evap 21. kümesinin alt küme sayýsý 8 ise, (8 = 2 3 olduðu için), s( ) = 3 tür. s( ) = s( ) + s( ) + s( ) dýr.... ( ) Verilenleri bu eþitlikte yerine yazarsak; s( ) = 10 + 3 + 11 = 24 olur. evap 36
Kümeler 22. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = {1, 3, 5} {1, 2, 5, 6} = {1, 2, 3, 5, 6}... ( ) 25. vrensel küme, = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olduðuna göre, evrensel kümede olup daki kümede olmayan elemanlarýn kümesi; [( ) ]' = [( ) ( )]' = {0, 4, 7, 8, 9, 10} olur. una göre, s[( ) ]' = 6 dýr. 23. evap n elemanlý bir kümenin; alt kümelerinin sayýsý 2 n, özalt kümelerinin sayýsý 2 n 1 dir. una göre, n n 2 + 2 1= 15 n 2 2 = 16 s( ) = s() + s( ) 26. s(' ') = s[( )'] = 4 dir. s() = x + y olsun.... ( ) = 12 + 3 = 15 x y 8 4 evap 24. n 2 = 8 n 3 2 = 2 n= 3 olur. evap Türkçeden baþarýlý olanlarýn kümesi T, matematikten baþarýlý olanlarýn kümesi M ve her iki dersten de baþarýsýz olanlar sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % x i olsun. una göre, s(t) + s(m) s(t M) = % 60 + % 30 % 10 = % (60 + 30 10) = % 80 olur.... ( ) Sýnýftaki öðrencilerin sayýsý; Türkçeden veya matematikten baþarýlý olanlarýn sayýsý ile bu iki dersin ikisinden de baþarýsýz olanlarýn sayýsý toplamýna eþittir. una göre, % 100 = % 80 + % x ise, x = 20 dir. Sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 20 si 16 kiþi olduðundan, sýnýfta = 80 öðrenci vardýr. 16 100 20 evap evrensel kümesinin eleman sayýsý 27 olduðuna göre, s() = x + y + 8 + 4 27 = x + y + 12 x + y = 15... ( ) una göre, s() = x + y = 15 olur. 27. F 13 9 15 6 10 7 6 Futbol oynayanlarýn kümesi F, basketbol oynayanlarýn kümesi, voleybol oynayanlarýn kümesi V olmak üzere, verilenler sondan baþlýyarak, yandaki þemaya yerleþtirilirse, kafiledeki sporcu sayýsý: 13 + 9 + 6 + 15 + 6 + 7 + 10 = 66 dýr. V evap evap 37
28. 29. Her iki dili bilenlerin sayýsý x, lmanca bilenlerin kümesi ve Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý olsun. Verilenlere göre, s(ý) = 2 x, s( Ý) = 21 ve s() = 3 s(ý) = 6 x olur. una göre, s( Ý) = s() + s(ý) s( Ý) S a a + b + c + d öðrencinin bulunduðu bir sýnýfta; lmanca bilenlerin kümesi, Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý olmak üzere; en az bir dil bilen 21, en çok bir dil bilen 8, hiçbir dil bilmeyen 3 öðrenci olduðuna göre, a + c + b = 21...( ) d + a + c = 8...( ) d = 3...( ) denklemlerini yazabiliriz. ( ) deki d nin deðerini ( ) de yerine yazdýðýmýzda, a + c = 5 bulunur....( ) ( ) deki a + c deðerini ( ) de yerine yazdýðýmýzda b = 16 bulunur. 21 = 6 x + 2 x x 21 = 7 x x = 3 tür. una göre, s() = 6 x = 6 3 = 18 dir. b c Ý d evap evap 1. olmak üzere, 2. Kümeler 3. ir kümenin üç elemanlý alt kümelerinin sayýsý dört elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit olduðuna göre, bu kümenin eleman ) 5 ) 6 ) 7 ) 9 ) 12 4. evaplý T est.. 2 = {a, b, c, d} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kümesi olabilir? ) ) {a, b} ) {a, b, c} ) {b, c, d} ) {a, b, c, d} M = {a, b, c, d} N = {a, b, c, 15} kümeleri için aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) s(m) = 4 ) s(n) = 4 ) c N ) {a, b} M ) M N = {2, 5, 7, 10, 12} kümesinin üç elemanlý alt kümelerinin sayýsý kaçtýr? ) 10 ) 15 ) 20 ) 21 ) 35 30. Verilenleri þema ile gösterelim. 8 12 5 una göre, s() = 8+12+5= 25 olur. evap 5. ve F iki küme olmak üzere; s() = 4 s(f) = 7 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) F ise, s( F) = 0 dýr. ) F ise, s( F) = 7 dir. ) F ise, s( F) = 4 tür. ) F ise, F = F dir. ) F ise, s(f ) = 11 dir. 38
Kümeler 6. 7. 8. = {a, b, {c,d}, e, f} = {a, {b,c}, {e}, f} olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 = {1, 2, 3} = {2, 3, 4} = {3, 4, 5} olduðuna göre, ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {1, 2, 3} ) {2, 4} ) {3, 5} ) { } ) {1, 2, 3, 4} ={x x, 1 ile 41 arasýnda 5 in katý ve doðal sayý} ={x x, 5 ile 80 arasýnda 3 ün katý ve doðal sayý} olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 11.,, kümelerinin alt küme sayýlarý sýrasýyla; 1, 4, 16 olduðuna göre, kümesinin eleman ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 12. = {a, b, c, d, e} kümesinin, 4 elemanlý alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur? ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 ) 9 13. olmak üzere, 14. s() + s() = 18 s() = 6 olduðuna göre, s( ) en çok kaçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 9 = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b e- lemaný bulunur? ) 4 ) 6 ) 8 ) 12 ) 16 9. olmak üzere, s() = 12 s() = 13 olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman sayýsý en çok kaçtýr? ) 25 ) 24 ) 23 ) 21 ) 20 15. kümesinin eleman sayýsý 12 ve kümesinin eleman sayýsý 19 dur. una göre, kümesinin eleman sayýsý en az kaç olabilir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 10., birer kümedir. 16. olmak üzere, s() = 2 s( ) s( ) = s( ) + 1 s( ) = 18 s( ) = 4 olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 6 ) 12 olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman sayýsý en az kaçtýr? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7.T. 2 1-2- 3-4- 5-6- 7-8- 9-10- 11-12- 13-14- 15-16- 39
Kümeler evaplý T est.. 3 1. ve, evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s( ) = 18 s(' ') = 9 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 9 ) 18 ) 27 ) 36 ) 45 6. s( ) = 26 3 s( ) = 4 s( ) = 2 s( ) olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 8 ) 10 ) 12 ) 15 ) 16 7. ir okuldaki öðrencilerin % 65 i Ýngilizce, % 75 i Türkçe, % 85 i Rusça biliyor. 2. ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? una göre, okulda bu üç dili bilen öðrencilerin sayýsý en az yüzde kaçtýr? ) 15 ) 20 ) 25 ) 30 ) 35 ) ) ) ) ) 3. Üç yabancý dilin seçmeli ders olarak okutulduðu bir okulda, en az bir dil bilen öðrenci sayýsý 180, en çok bir dil bilen 120 ve sadece bir dil bilen 48 kiþi vardýr. una göre, bu okuldaki öðrenci ) 240 ) 248 ) 252 ) 268 ) 272 8. ir sýnýfta Türkçe veya Ýngilizce dillerinden en az birini bilenlerin sayýsý 15, en çok birini bilenlerin sayýsý 8 dir. u dillerden yalnýzca birini bilen 5 öðrenci olduðuna göre, bu sýnýfta kaç öðrenci vardýr? ) 18 ) 20 ) 21 ) 22 ) 23 9. 24 kiþilik bir sýnýfta biyoloji dersinden geçenlerin kümesi, matematik dersinden geçenlerin kümesi M dir. 4. ir iþyerinde, Ýngilizce bilmeyenler 11, Türkçe bilmeyenler 8, Ýspanyolca bilmeyenler 5 kiþidir. una göre, bu iþyerinde en az kaç kiþi vardýr? ) 11 ) 13 ) 14 ) 16 ) 19 s() = 7 s(m) = 9 s(m ) = 12 olduðuna göre, s(m ) + s( M) kaçtýr? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 5. ile ayný evrensel kümesinin alt kümeleridir. s() = 16 s( ) = 3 s(') + s(') = 19 olduðuna göre, ( )' kümesinin eleman ) 3 ) 6 ) 8 ) 10 ) 12 10. Kýrmýzý veya mavi kalemlerden en az birine sahip olan öðrencilerden oluþan 20 kiþilik bir sýnýfýn % 70 inde kýrmýzý, % 40 ýnda mavi kalem vardýr. una göre, öðrencilerin kaçýnda hem kýrmýzý kalem hem de mavi kalem vardýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 40
Kümeler 11. ve boþ kümeden farklý birer kümedir. s( ) = 3 s( ) s(' ) = s( ) olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý en az kaçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 10 ) 20 16. ir kümede bulunan 12 tane sayma sayýsýndan; M ile tam bölünenlerin sayýsý 3, N ile tam bölünenlerin sayýsý 6 dýr. M ye de, N ye de bölünemeyen 4 sayý olduðuna göre, M ve N ye bölünebilen kaç sayý vardýr? ) 5 ) 4 ) 3 ) 2 ) 1 12. ve boþ kümeden farklý birer kümedir. s( ) = s( ) 1 = s( ) + 1 olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý en az kaçtýr? ) 0 ) 3 ) 6 ) 9 ) 12 17. n az birer elemaný bulunan, birbirinden farklý ve kümeleri için olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) ' = ) = ) = ) = ) = 13. ve boþ kümeden farklý olmak üzere, [' ( )] ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisine daima eþittir? ) ) ) ) ' ) 18. 17 kiþilik bir sýnýftaki öðrenciler; futbol, voleybol, basketbol oyunlarýndan en az birini oynamaktadýrlar. Futbol oynayanlarýn sayýsý 10, voleybol oynayanlarýn sayýsý 11, basketbol oynayanlarýn sayýsý 12 dir. u üç oyundan herhangi ikisini oynayanlarýn sayýlarý da birbirine eþittir. una göre, futbol ve basketbol oynayanlarýn sayýsý en az kaçtýr? ) 3 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 14. ir grupta, lmanya yý gören 8, Kanada yý gören 5 kiþi vardýr. lmanya yý ve Kanada yý gören 2 kiþi olduðuna göre, sadece lmanya yý görenlerin sayýsý, sadece Kanada yý görenlerin sayýsýndan kaç fazladýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 19. ve, evrensel kümesinin alt kümeleri ve s( ) + s() = 8 s() + s( ) = 14 s( ) + s( ) = 10 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) 16 15. ir sýnýfta hem futbol hem de basketbol oynayanlarýn sayýsý 3, futbol veya basketboldan en az birini oynayanlarýn sayýsý 9 dur. Futbol oynayanlarýn sayýsý, yalnýz basketbol oynayanlarýn sayýsýnýn 2 katý olduðuna göre, bu sýnýfta basketbol oynayanlarýn ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 20. = {a, {a,b}, c} = {{a,c}, b} kümeleri veriliyor. una göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4.T. 3 1-2- 3-4- 5-6- 7-8- 9-10- 11-12- 13-14- 15-16- 17-18- 19-20- 41
1. 2. 3. evaplý T est.. 4 = {a, b, e, f} = {a, c, e, g} olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman ) 2 ) 3 ) 4 ) 6 ) 8 s() = 8 s() = 6 s( ) = 11 olduðuna göre, s( ) kümesinin eleman ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 = {a, b, c, d, e, f, g, h} = {a, d, f, h} = {c, e} olduðuna göre, kümesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) {b, g} ) {b, c, g} ) {b, c, e, g} ) {a, b, d, f, g, h} ) {c, e, g} Kümeler 5. ir kümenin iki elemanlý alt kümelerinin sayýsý yedi elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit olduðuna göre, bu kümenin üç elemanlý alt kümelerinin ) 90 ) 84 ) 56 ) 35 ) 9 6. 8. F = {2, 4, 6} P = {2, 3, 4, 6, 8, 10} olduðuna göre, F P koþulunu saðlayan en fazla kaç farklý kümesi yazýlabilir? ) 2 ) 3 ) 5 ) 8 ) 16 7. oþ kümeden farklý T ve Z kümeleri için, 3 s(t) = 2 s(z) s(t Z) + s(t Z) = 25 olduðuna göre, s(z) kaçtýr? ) 9 ) 12 ) 15 ) 18 ) 21 = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 e- leman olarak bulunmaz? ) 31 ) 28 ) 24 ) 18 ) 16 4. Y = {x 12 < x < 70, x = 4n, n N} V = {y 20 < y < 90, y = 6m, m N} olduðuna göre, (Y V) kümesinin eleman ) 21 ) 22 ) 23 ) 24 ) 25 9. kümesinin dört tane elemaný, kümesinin beþ tane elemaný kümesinin elemaný deðildir. s( ) = 16 olduðuna göre, s() + s() kaçtýr? ) 16 ) 18 ) 23 ) 28 ) 33 42
Kümeler 10., ve boþ olmayan kümelerdir. s( ) = 2 s( ) s() = 2 s() + 4 olduðuna göre, kümesi en az kaç elemanlý olabilir? ) 6 ) 8 ) 10 ) 11 ) 14 14. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {(x, y) : 3 < x y < 10 ve x, y } = {(x, y + 1) : (x, y) } olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kümesinin elemaný olabilir? ) (1, 2) ) (2, 4) ) (5, 1) ) (2, 1) ) (6, 3) 11. a, b, c birer tam sayý olmak üzere, {a, b, c} = {1, 3, 6} {a, c, d} = {6, 5, 3} {b, c, d} = {5, 6, 1} kümeleri veriliyor. una göre, a + b c + d kaçtýr? ) 29 ) 28 ) 14 ) 13 ) 10 15. Ýngilizce, Fransýzca, lmanca dillerinden en az birini bilenlerin oluþturduðu 28 kiþilik bir toplulukta Ýngilizce bilenlerin hepsi Fransýzca, Fransýzca bilenlerin hepsi lmanca bilmektedir. Sadece bir dil bilenlerin sayýsý, sadece iki dil bilenlerin sayýsýnýn, sadece iki dil bilenlerin sayýsý da üç dil bilenlerin sayýsýnýn 2 katýna eþit olduðuna göre, sadece lmanca bilenlerin ) 18 ) 16 ) 12 ) 8 ) 4 12. 13. s( ) = 13 s( ) = 9 s( ) = 29 olduðuna göre, s() + s() kaçtýr? ) 29 ) 30 ) 32 ) 36 ) 42 a b d c f g e m h Yukarýdaki þemaya göre, {d, f, g, m} kümesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 16. evrensel kümedir. s(') = 5 s( ) = 4 s( ) = 1 s() = 15 olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 7 17. Ýki elemanlý alt kümelerinin sayýsý altý elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit olan bir kümenin üç elemanlý alt kümelerinin ) 42 ) 45 ) 48 ) 52 ) 56.T. 4 1-2- 3-4- 5-6- 7-8- 9-10- 11-12- 13-14-Ê 15-16- 17-43