PARA-ZAMAN İLİŞKİSİNİN PRENSİPLERİ KONU-3 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 1
PARA-ZAMAN İLİŞKİSİNİN PRENSİPLERİ KONULAR Sermaye Getirisi Faizin Menşei Basit Faiz Bileşik Faiz Muadillik kavramı Nakit akış diagram ve tabloları Faiz Formulleri Nakit akışının aritmetik sıralaması Nakit akışının geometrik sıralaması Efektif ve Efektif olmayan faiz hadleri Zamanla değişen faiz hadleri Sürekli Bileşiklemek EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 2
NAKIT AKIŞ DIYAGRAMI CASE I (I. DURUM) Nakit akışı (borç veren gözüyle) P = $12000 F = $? N= 5 i = 10% CASE II (2. DURUM) P = $7000 F = $? N=5 i = 1% EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 3
I. DURUM F = P * (F/P,10%,5) = 12000 (1,6105) =19326 II. DURUM F = P * (F/P,1%,5) =7000* (1,0773) =7541,1 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 4
NAKIT AKIŞ DIYAGRAMI Nakit akışı, eşit taksitli (borç veren gözüyle) P = $ 2000 A= $? N= 4 i = 10% Nakit akışı, eşit taksitli (borç veren gözüyle) P = $ 4000 A= $? N=4 i = 1% EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 5
I. DURUM A = P * (A/P,10%,4) = 2000 (0,2563) =512,6 II. DURUM A = P * (A/P,1%,4) = 4000 (0,3155) =1262 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 6
NAKİT AKIŞ DİYAGRAMI P = 20000 A1 = 4000 N=5 -A2 = 2500 F=? i= 1% P = 8000 A1 = 2700 N=5 -A2 = 1500 F=? i= 10% EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 7
I. DURUM F = P * (F/P,1%,5) - A * (F/A,1%,5) = 20000 (1,0510) - (4000-2500)( 5,101)= 21020 7651,5 = 13368,5 II. DURUM F = P * (F/P,10%,5) - A * (F/A,10%,5) = 8000 (1,6105) - (2700-1500)( 6,1051)= 12884-7326.12 =5557.88 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 8
NAKİT AKIŞ DİYAGRAMI P =? A1 = 1700 N = 5 -A2 = 1200 F= 12000 i= 1% P =? A1 = 1500 -A2 = 700 F= 17000 i= 10% EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 9
I. DURUM P = F * (P/F,1%,5) + A * (P/A,1%,5) = 12000 (0.9515) + (1700-1200)( 4.8534)= 11418 + 2426.7 = 13844.7 II. DURUM P = F * (P/F,10%,5) + A * (P/A,10%,5) = 17000 (0.6209) + (1500-700)( 3.7908)= 10555.3 + 3032.64 = 13587.9 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 10
1. Durum : Yatırımcı 6 yıl sonra $10000 olacak bir yer almak isterse ve her yıl yerin değeri %8 artarsa yatırımcı şimdi ne kadar ödemek ister. P=F(P/F, i%, N) =F (P/10000, 8%,6) = $10.000(0.6302) = $6302 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 11
2. Durum : (Problem Tipi, P veriliyor, F nin değeri isteniyor, Gösterim (F/P, i%, N)) Michael citibanktan 10 ay sonra ödenmek üzere $ 11000 kredi alıyor Faizin %1 olduğu durumda 10. ay ödeme miktarı ne olur. P(F/P, i%, N) = P( F / 11000, 1%, 10) = > F = P * [ (1+i)^N ]= 11000 * (1.01)^10 =11000 (1.1046) = 12150 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 12
3. Durum Bir makine major bir bakım ve yatırımdan geçerse üretim %20 artmakta ve yıllık gelir $20000 artmaktadır. Faiz %15 ve period sayısı 5 yıl ise bu yatırıma ne kadar harcayabiliriz Problemin Gösterimi P=A(P/A, i%, N) = A(P/20000, 15%, 5) = = 20000 (3.352) = $ 67 044 P = A * [ (1+i)^N -1 ] / [i*(1+i)^n] = $ 67 044 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 13
4. Durum Katsumi citibanktan $6000 krediyi 18 ay geri ödemeli alırsa faizin %1 /ay olduğu sözleşmeye göre aylık ne kadar ödemesi gerekmektedir. Problemin Gösterimi A=P (A/P, i%, N) =6000 (A/6000, 1%, 18) = 6000*(0.061) = $366 A = P * [i*(1+i)^n] / [(1+i)^N -1 ] = $366 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 14
5. Durum : Güney Afrika elçiliği personeli Martin King Garanti bankası aylık eşit 300 TL ödeme yapmak şartı ile 60 ay sonra toplu para alma konusunda anlaşmaya varmıştır. Getiri oran %1 olarak belirlendiğine göre 60 ay sonraki toplu para miktarı ne kadardır. Problemin Gösterimi F = A (F/A, i%, N) = 300( F/300, 1%, 60) = 300 (81.67) = 24501 TL F = A * [ (1+i)^N -1 ] / i = 24501 tl EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 15
6. Durum Bir kadın emeklilik tasarrufu olarak 25 yıl çalıştıktan sonra $100000 sahibi olmak isterse bunuda $A yatırarak sağlarsa ve tasarruf hesabı %6 kazandırırsa yıllık ne kadar tasarruf edilmelidir. Problemin Gösterimi A =F(A/F, i%, N) = 100000(A/100000, 6%, 25) = 100000 (0.0182) = $1820 (0,0182) A = F * i / [(1+i)^N -1 ] = $1820 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 16
UNIFORM GRADYAN NAKİT AKIŞINI DÖNÜŞTÜRME FORMULLERİ (N-1)G (N-2)G (N-3)G G 2G 3G 1 2 3 4 N-2 N-1 N Period EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 17
UNIFORM GRADYAN NAKİT AKIŞINI DÖNÜŞTÜRME FORMULLERİ F = G/i (F/A,i%,N) NG/i (Gradyanı gelecek zaman değerine dönüştürme formülü) P = G { 1/i[( ((1+i)^N -1) / (i(1+i)^n) ) (N / (1+i)^N) ] } (Gradyanı şimdiki zaman değerine dönüştürme formulü) P = G (P /G, i%, N) A = G [ 1/i (N / ( (1+i)^N -1) )] (Gradyanı eşit ödemelere dönüştürme formulü) A= G (A/G, i%, N) EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 18
UNIFORM GRADYAN NAKİT AKIŞINI DÖNÜŞTÜRME FORMULLERİ Örnek 3-14 : Yıl sonu ödemelerinin $1000 ikinci period, $2000 üçüncü period, $ 3000 dördüncü period olduğu durumda faiz oranı % 15 ise a) Birinci dönem başındaki şimdiki zaman değeri b) 4 yılın herbir dönem sonundaki eşit ödeme miktarı eşdeğeri nedir? Çözüm: a) P0= G (P/G, i%, N) = 1000(P/1000, 15%, 4) = 1000 * (3.79) = $3790 b) A = G (A/G, i%, N) = 1000(A/1000, 15%, 4) = 1000 * (1,3263) = $1326,30 A yı P yi kullanarakda bulabiliriz. A = P (A/P,15%,4) = 3790 * (0.3503) = $1326 Örnek 3-15: Aritmetik gradyan formulüne diğer bir örnek şöyle olsun ; Biri tablodaki ödemeye sahip olsun bu ödemenin şimdiki zaman eşdeğeri nedir? i=%15 alınsın ve aritmetik gradyan faiz formulleri kullanılsın. Yıl sonu Ödeme 1 $5000 2 6000 3 7000 4 8000 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 19
UNIFORM GRADYAN NAKİT AKIŞINI DÖNÜŞTÜRME FORMULLERİ Çözüm 3-15 Tablodakini aşağıdaki şekillerle ifade edilen ödemeler olarak düşünürsek; P OT =? $5000 $6000 $7000 $8000 P OA $5000 $5000 $5000 $5000 P OT = P OA + P OG = A (P/A, 15%, 4)+G(P/G,15%,4) = $5000(2.855)+$1000(3.79) = $14275 + $ 3790 = $18065 A T = A+A G = $5000 + G(A/G,15%,4) = $6326 P OT = A T (P/A,15%,4) = $18065 P OG $1000 $2000 $3000 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 20
UNIFORM GRADYAN NAKİT AKIŞINI DÖNÜŞTÜRME FORMULLERİ Örnek 3-16: Aritmetik gradyan formulüne diğer bir örnek şöyle olsun ; Biri tablodaki ödemeye sahip olsun bu ödemenin şimdiki zaman eşdeğeri nedir? i=%15 alınsın ve aritmetik gradyan faiz formulleri kullanılsın. Yıl sonu Ödeme 1 $8000 2 7000 3 6000 4 5000 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 21
UNIFORM GRADYAN NAKİT AKIŞINI DÖNÜŞTÜRME FORMULLERİ Çözüm 3-16 Tablodakini aşağıdaki şekillerle ifade edilen ödemeler olarak düşünürsek; P OT =? $8000 $7000 $6000 $5000 P OA $8000 $8000 $8000 $8000 $3000 $2000 $1000 P OT = P OA - P OG = A (P/A, 15%, 4)-G(P/G,15%,4) = $8000(2.855)-$1000(3.79) = $22840 - $ 3790 = $19050 A T = A-A G = $8000 - G(A/G,15%,4) = $6672,55 A T = P OT (A/P,15%,4) = $6672 P OG EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 22
GEOMETRİK SIRALI NAKİT AKIŞININ ŞİMDİKİ ZAMAN VE EŞİT ÖDEMEYE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Period sonu 0 1 2 3 4 N A1 A2= A1(1+f*)^1 A3= A1(1+f*)^2 A4= A1(1+f*)^3 AN= A1(1+f*)^N-1 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 23
EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 24
GEOMETRİK SIRALI NAKİT AKIŞININ ŞİMDİKİ ZAMAN VE EŞİT ÖDEMEYE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Örnek 3-17 : Şekil 3-23 deki geometrik sıralı yıl sonu ödemeler dikkate alındığında P,A,A 0,F değerlerini bulunuz. Birinci yıldan sonra yıllık artış oranı = 20% ve yıllık faiz oranı =%25 Şekil 3-23 1000(1.2)^3 1000(1.2)^1 1000(1.2)^2 1000 0 1 2 3 4 Yıl sonu EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 25
GEOMETRİK SIRALI NAKİT AKIŞININ ŞİMDİKİ ZAMAN VE EŞİT ÖDEMEYE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Çözüm : P = $1000 / 1.2 (P/A, (25%- 20% /1.20), 4) = 833.33 ( P/A, 4,167%, 4) = 833,33 [ ((1,04167)^4-1)/ (0,04167 (1,04167)^4 )] =833,33 (3,6157) = $3013,08 A= 3013,08 (A/P, 25%, 4) = $1275,86 A 0 = $3013,08 (A/P, 4,167%, 4) = $833,34 F = $3013,08 (F/P,25%,4) = $7356,15 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 26
GEOMETRİK SIRALI NAKİT AKIŞININ ŞİMDİKİ ZAMAN VE EŞİT ÖDEMEYE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Örnek 3-18 : Bir ısı pompası elektrik rezistanslı soba yerine düşünülmektedir. Kışın ısı gereksinimleri düşünüldüğünde yıllık $600 elektrik faturasından tasarruf edilecektir. Elektrik fiyatları yıllık %14 artmakta olup, biz bu dönüşüm için ne kadar bütçe ayırabiliriz. (Faiz oranı %12 alınsın). Isı pompasının ömrü 15 yıl olup hurda değeri önemsizdir. Çözüm 3-18: 1. 1. Yıl sonu tasarruf = $600 (1,14)=$684 P = $684/1,14 (P/A, 12%-14% / 1.14, 15) = $600 (P/A, -1.75%, 15) = = $600 [ ((0.9825)^15-1 )/ (-0.0175(0.9825)^15) ] = $600 (17.326) = $10395 A = P (A/P,12%,15) = 10395 (0.1468) = 1525.99 A0 = P (A/P,İcr%,15) = P (A/P, -1.75%,15) = 10395/17.326 = 600 F = P (F/P,12%,15) = 10395 (5.4736) = 56898 EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 27
PARANIN ZAMANA GÖRE DEĞERLERİNİN DÖNÜŞÜMÜ KATSAYILARI TABLOSU ( İ= 1%) EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 28
PARANIN ZAMANA GÖRE DEĞERLERİNİN DÖNÜŞÜMÜ KATSAYILARI TABLOSU ( i= 10%) EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 29
Gradyanı şimdiki zaman değerine dönüştürme tablosu EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 30
Gradyanı eşit ödemelere dönüştürme tablosu EMY 521 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ 31