Journal of the Faculty of Engneerng and Archtecture of Gaz Unversty 32:2 (2017) 429-438 Flled fonksyon kullanarak vana etkl ekonomk yük dağıtımı problemnn çözülmes İbrahm Eke 1*, Süleyman Sungur Tezcan 2, Coşkun Çelk 3 1 Kırıkkale Ünverstes, Elektrk Elektronk Mühendslğ Bölümü, 71450, Kırıkkale, Türkye 2 Gaz Ünverstes, Elektrk Elektronk Mühendslğ Mühendslğ Bölümü, 06570, Maltepe, Ankara, Türkye 3 Orta Doğu Teknk Ünverstes, Tübtak Uzay Teknolojler Araştırma Ensttüsü, 06800, Ankara, Türkye Ö N E Ç I K A N L A R Ekonomk yük dağıtımı problemnn flled fonksyonu metodu le çözülmes Vana etkl ekonomk yük dağıtımında problemnn analz Ekonomk yük dağıtımında problemnde letm hattı kayıplarının lave edlmes Makale Blgler Gelş: 14.03.2016 Kabul: 20.07.2016 DOI: 10.17341/gazmmfd.322167 Anahtar Kelmeler: Ekonomk yük dağıtımı, flled fonksyonu, vana noktası etks ÖZET Bu makalede, ekonomk yük dağıtımı problemne flled fonksyonu metodu uygulanmıştır. Vana etks gb doğrusal olmayan durumlar çeren ekonomk yük dağıtımı problemnn çözümünde önerlen methodun başarısı gösterlmştr. Eştlk ve eştszlk çeren üç farklı test durumunda, önerlen metot test edlerek doğrulanmıştır. Elde edlen benzetm sonuçlarına göre; flled fonksyon metodu, parametrelern lk değerlerne daha az bağlıdır ve gelştrlen dğer algortmalara göre daha verml çalışmaktadır. Bunlara lavaten, büyük güç sstemlernde önerlen algortmanın kolaylıkla uygulanableceğ öngörülmektedr. Solvng economc load dspatch problem wth valve-pont effects usng flled functon H I G H L I G H T S Solvng the economc load dspatch problem wth usng flled functon method The analyss of the economc load dspatch problem wth valve-pont effect Addton of transmsson lne losses n the economc load dspatch problem Artcle Info Receved: 14.03.2016 Accepted: 20.07.2016 DOI: 10.17341/gazmmfd.322167 Keywords: Economc load dspatch, flled functon, valf pont effect ABSTRACT Ths paper presents a flled functon method to solve economc load dspatch (ELD) of the thermal unt. The proposed method can take care of ELD consderng nonlnearty such as valve pont loadng. The effectveness of the proposed algorthm has been verfed on three dfferent test systems wth equalty and nequalty constrant. Smulaton results show that the flled functon method s less senstve to ntal values of parameters and s more effectve than other prevously developed algorthms. In addton, the proposed algorthm s hghly promsng for the large-scale system. * Sorumlu Yazar/Correspondng Author: eke@kku.edu.tr Tel: +90 318 357 42 42
1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Güç santrallernden, santrallern lmtler dâhlnde mnmum malyet le talep edlen gücün karşılanması çn hang santralden ne kadar güç alınacağının belrlenmesne ekonomk yük dağıtımı denr [1]. Farklı kısıtlar altında ekonomk yük dağıtımı problem lteratürde çözülmüştür [2,3]. Güç santrallernn yük merkezlerne olan uzaklıkları ve yakıt malyetlernn farklı olması nedenyle toplam malyetler aynı değldr. Mnmum malyetn elde edlmes çn yakıt malyetlernn yanında letm hattı kayıpları da dkkate alınmalıdır, bu yüzden amaç fonksyonu olan toplam malyetn mnmuma ndrlmes gerekmektedr [4]. Lteratürde, amaç fonksyonunu mnmuma ndrmek çn lk başlarda lambda terasyon, gradent metotlar gb matematksel metotlar kullanılmıştır [5]. Bu metotların dezavantajı, sstem büyüdüğünde hesaplama süresnn de artmasıdır. Bu dezavantajı gdermek çn lneer programlama teknğ kullanılmıştır. Ünte sayısının artması ve adım aralığının azalmasıyla beraber hesaplama süresn yne artmaktadır. Yapay snr ağları hem ekonomk yük dağıtımı problemnn çözümünde [6,7] hem de enerj problemlernn çözümünde [8] kullanılmıştır. Bu metotta öğrenme ve momentum oranlarının doğru seçlememes le terasyon sayısının artışı çözüm süresnn uzamasına neden olduğu, ekonomk yük dağıtımı [9], dnamk programlama [10] ve harmonk analz [11] gb konularda gözlenmştr. Global optmzasyon teknklernden genetk algortma, büyük boyutlardak güç sstemlernde ekonomk yük dağıtımı [12], röle koordnasyonu [13] ve enerj nakl hattı güzergah tesptnde [14] kullanılmıştır fakat bu teknğn dezavantajı, çaprazlama ve mutasyon le en y brey bulunulmaya çalışılsa da elde edlenn sonucun en y sonuç olduğunun garantsnn olmamasıdır. Ayrıca genetk algortma da brçok parametrenn ayarlanması gerekmektedr [15]. Sezgsel algortmalar; evrmsel programlama (EP) [16], parçacık sürüsü optmzasyonu (PSO) [17], karınca kolon arama algortması (ACSA) [18] ve tabu arama algortması (TSA) [19] ekonomk yük dağıtımı problemlernn çözümünde kullanılmıştır. Kullanıcının tanımladığı faktörlere bağlı olarak çözümün kaltes değşmekte olduğundan bu faktörlern yanlış seçlmes çözüm süresnn uzamasına yol açmaktadır. Flled fonksyon metodu (FFM), kısıtlanmış koşullu amaç fonksyonlarının global mnmum noktasını bulmak çn önerlmş determnstk br yöntemdr [20]. FFM dek temel amaç, blnen br optmzasyon algortmasıyla problemn herhang br lokal mnmum noktasını bulmak ve daha sonra bu noktaya göre tanımlanacak br flled fonksyon sayesnde bu lokal mnmum noktasından kaçarak daha düşük değerl br lokal mnmum bulmaktır. Yöntem, bu şlem belrl br sayıda tekrar ederek problemn global mnmum noktasına ulaşmayı amaçlar. [21] çok değşkenl malyet fonksyonlarının global mnmum noktasını bulmak çn önerlen lk flled fonksyonlardan brdr. [22] de analtk yönden gelştrlmş flled fonksyonlar önerlmştr. [24] de global konveks flled fonksyon kullanarak yöntemn başarısı artırılmıştır. Lteratürdek bazı çalışmalarsa belrl problem alanlarında (keskl fonksyon [23] veya lneer olmayan tamsayı programlama [25] gb) yöntemn etknlğn artırmayı amaçlamaktadır. Bu makalenn amacı, jeneratörlern lmtlern dkkate alarak yen br metot olan flled fonksyon metodunu, ekonomk yük dağıtımı problemne - vana etkl ve vana etksz olarak- uygulamaktır. Lteratürde bu konuya daha önce hç uygulanmamış br metodun uygulanması le sadece daha y çözüm bulunmamakta aynı zamanda hesaplama süres fark edlr şeklde kısalmaktadır. Ayrıca, önerlen yöntem matematksel hesaplamaya dayandığından, sezgsel algortmalarda rastlanan rastgele sonuç bulma sorunu, önerlen yöntemde görülmemekte olup her çalıştırmada aynı sonucu bulmakta ve böylelkle sonuç kesn olarak hesaplanmaktadır. 2. EKONOMİK YÜK DAĞITIMI (ECONOMIC LOAD DISPATCH) Gderek artan elektrk enerjs talebn karşılamak çn; lerye dönük şletme planlaması olan ekonomk yük ve reaktf güç dağıtımı gb planların, sstemn bütün kısıtlarını karşılayacak şeklde önceden yapılarak, enerj üretm ve şletme malyetnn mnmum sevyeye ndrlmes gerekmektedr. Ekonomk yük dağıtımının temel amacı; sstemden talep edlen gücün, jeneratörlern çalışma sınırları gb çeştl eştlkler ve eştszlkler çnde mnmum malyetle karşılanmasının planlanmasıdır. Şekl 1 de, tek br baraya bağlanan N tane üretm brmnn grşler, üretm brmlernn malyet oranı olan F le çıkışları se üretlen enerj mktarı olan P le gösterlmektedr. Sstemn toplam malyet oranı, üretm brmlernn malyetlernn toplamına eşttr ve şletme sınırlaması olan çıkış gücünün talep gücüne eşt olması karşılanmalıdır. Eş. 1 de gösterldğ gb, jeneratörlern yakıt malyetler üretlen enerj mktarlarının knc dereceden fonksyonudur. 1 F 1 P 1 2 F 2 P 2 F N N Şekl 1. N tane üretm üntesnn P yük yükünü sağlaması (Drvng the load, Pyük wth N generaton unts) F cp 2 a bp (1) Burada; a, b, c le. jeneratörün malyet katsayıları ve P le ürettğ aktf güç gösterlmektedr. Eş. 2 de gösterldğ P N P yük 430
gb, hedef fonksyonu F T, malyetler toplamına eşttr. Problemn amacı, hedef fonksyonunu mnmze etmektr. İlk durumda, letm hattı kayıpları veya şletm lmtler hmal edlmştr [5]. n F T= F 1+F 2+F 3+.+F N F( P) (2) 1 Eş. 3 de gösterldğ gb, sınırlama fonksyonu; yük tarafından talep edlen güç le üretlen güçler toplamının farkıdır ve sıfır olmalıdır [5]. N 1 Pyük P 0 (3) Bu problem, Lagrange fonksyonu barındırmaktadır. Eş. 4 de sınırlama fonksyonunun, br çarpan le çarpıp, hedef fonksyonuna eklenmes gösterlmştr [5]. FT (4) Hedef fonksyonun uç değer çn gerekl şartları bulmak çn, her br bağımsız değşkene göre Lagrange fonksyonunun brnc türevler alınıp sıfıra eştlenmeldr. N tanes güç çıkışının değer ve br tanes belrsz Lagrange çarpanı λ olmak üzere toplam N+1 değşken vardır. Eş. 5 de gösterldğ gb, güç çıkış değerlerne göre kısmı türev alınarak sonuca gdlr [5]. 2.1. Ekonomk Yük Dağıtımında Vana Etks (Valve-pont Effects n Economc Load Dspatch) Üntelern devreye grp çıkmalarında vanalar açma veya kapama yaparak sstem etklemektedr, vana etks denen bu etknn hesaba katılması le Şekl 2 den görüldüğü gb yakıt malyet açısından daha doğru sonuçlar elde edlmektedr. Gerçek hayatta, yakıt mktarı değşmne ve vana etklernden dolayı türevlenemeyen noktalara sahp olan ekonomk yük dağıtım problemnn amaç fonksyonunu, konveks olmayan malyet fonksyonu le fade etmek gerekmektedr. Eş. 11 de Malyet fonksyonuna, snüzodal fonksyonların eklenmes le vana etks hesaba katılır. F a b P c P d sn( e ( P P)) (11) 2 mn j j j j j j j j j j e j ve f j j. üntenn vana etksn gösteren yakıt malyet katsayılarıdır. Vanaların açılıp kapılmasının etks, snüzodal br termn Eş.1 e eklenmes le fade edlmektedr. df( P) 0 P dp (5) Eş. 6 da verldğ gb üretlen güçler toplamı le talep edlen güçler toplamının eşt olması şartının yanında k tane daha ek şart vardır. Bunlar Eş. 7 de gösterldğ gb her br brmnn gücünün, zn verlen mnmum güce eşt veya büyük olması ve her br brmnn gücünün, zn verlen maksmum güce eşt veya küçük olmasıdır [5]. N P P (6) yük 1 P P P (7) mn max Her br brmnn gücü, mnmum güç maksmum güç aralığında se Eş. 8, maksmum güce eşt se Eş. 9 ve mnmum güce eşt se Eş. 10 da gösterldğ gb daha ayrıntılı yazılablr [5]. df Pmn P Pmax çn dp (8) df P P çn,max dp (9) df P P çn,mn dp (10) Şekl 2. Üretm brmnn grş-çıkış karakterstğ, keskl çzg: vana etkl, düz çzg: vana etksz (Input-Output characterstcs of a generaton unt, dashed: wth valve effect, straght: wthout valve effect) 2.2. Ekonomk Yük Dağıtımında İletm Hattı Kayıpları (Transmsson Lne Losses n Economc Load Dspatch) Br güç sstemnde ekonomk dağıtım yapılırken, dkkat edlmes gereken en öneml kısıtlayıcı faktör, Eş. 12 de verldğ gb, sstemde üretlen toplam gücün, sstemden talep edlen toplam güce eşt olması durumudur. Bu durum hesaplanırken, letm esnasında oluşan hat kayıplar göz önünde tutulmalıdır [4]. (12) Sstemdek toplam letm kayıpları Eş. 13 dek şeklde fade edlr [4]: (13) Burada; 431
P d; P loss ; P ; P j; B j ; Sstemden talep edlen toplam güç; letm esnasında oluşan kayıplar; nc jeneratörün çıkış gücü; j nc jeneratörün çıkış gücü; kayıp katsayısı. 3. FİLLED FONKSİYON METODU (THE FILLED FUNCTION METHOD) Mühendslk alanında karşılaşılan br çok optmzasyon problem lneer değldr ve brden çok yerel mnmum çerr. Bu durumsa, bütün yerel mnmum noktalar arasındak en y çözümün bulunmasını yan global optmzasyon problemn doğurur. Br global optmzasyon metodunun başarısı çözüm uzayı taranırken karşılaşılan yerel mnmum noktalarına takılmamasına ve eğer varsa daha y br yerel mnmum noktasını bulablmesne bağlıdır. Lteratürde karşılaşılan global optmzasyon metotları genel olarak k kategorye ayrılablr. Bunlardan brncs olan determnstk yöntemler; global optmum çözümün bulunmasını garant ederler, ancak yüksek çalışma süreler nedenyle sadece küçük ölçekl problemlerde etkn br bçmde uygulanablrler. Dal ve sınır yöntem [26], Lagrangan bastleştrmes [27], dnamk programlama [28] bu tür metotlara örnek olarak verleblr. Yne determnstk global optmzasyon yöntemlerne örnek olarak verebleceğmz; Flled fonksyon metodu [20, 29], Tunnelng ve Basn-hoppng [30] yöntemler yardımcı br fonksyon kullanarak çözüm uzayında karşılaşılan br yerel mnmum noktasından kaçma stratejs üzerne kurulmuşlardır. İknc grup global optmzasyon metodu se probalstk veya olasılığa dayalı yöntemlerdr. Bu yöntemler, gerçek çözümün gerekl olmadığı ya da polnomsal zamanda çözülemedğ durumlarda, kabul edleblr br çözümün bulunması çn kullanılır. Benzetml tavlama, genetk algortmalar ve tabu arama bu tür yöntemlere örneklerdr. Global optmzasyon yöntemlernn detaylı br analz bu çalışmanın kapsamı dışında olduğundan, bu bölümde sadece ekonomk yük dağılımı problemnn çözümü çn seçlen yöntem olan Flled fonksyon metodu üzernde durulacaktır. Şekl 3 de üç üntel ve vana etkl dağıtım sstem çn malyet fonksyonunun grafğ verlmştr. 3 üntenn üreteceğ toplam güç değer sabt olduğundan k üntenn değşmnn zlenmes yeterldr. Grafkte de görüldüğü üzere ekonomk yük dağıtımı problem çok noktalı br optmzasyon problemdr. Yan problemn çözüm uzayında pek çok lokal mnmum noktası bulunmaktadır. Flled fonksyon metodu çözümü ararken karşılaştığı lokal mnmum noktalarından kaçarak global mnmum noktasına ulaşmayı amaçlamaktadır. 3.1. Tanım (Defnton) Flled fonksyon metodu (FFM) lk olarak 1990 da Renpu Ge tarafından sürekl global optmzasyon problemlernn çözümü çn önerlmştr [20]. FFM çok noktalı optmzasyon problemlernn çözümü çn kullanılablecek br yöntemdr. Rn de tanımlı br f fonksyonunun optmum noktasının bu yöntemle bulunablmes çn fonksyonun aşağıdak özellklere sahp olması gerekmektedr: 1. f fonksyonu sürekl türevleneblr olmalıdır. 2. f fonksyonunun sonlu sayıda lokal mnmumu olmalıdır. 3. X n mutlak değer sonsuza gderken f(x) de sonsuza gtmeldr. Tekrarlı br yöntem olan flled fonksyonun her br terasyonu 2 fazdan oluşur. İlk fazda herhang br başlangıç noktasından başlanarak geleneksel optmzasyon yöntemlernden bryle br yerel mnmum noktası bulunur. Daha sonra, knc fazda, bu yerel mnmum noktası kullanılarak flled fonksyon adı verlen br yardımcı fonksyon oluşturulur. Buradak öneml nokta, asıl fonksyonun yerel mnmumu olan noktanın burada tanımlanan flled fonksyonun yerel maksmumu olmasıdır. Genel olarak knc faz, flled fonksyonun mnmze edlmes şdr. Bu sayede mevcut yerel mnmum noktasından uzaklaşarak, eğer varsa, daha küçük br yerel mnmumun bulunması hedeflenr. İknc fazın sonunda bulunan nokta br sonrak terasyonun başlangıç noktası olarak kabul edlr ve bu şlem, daha y br yerel mnmum bulunamayana kadar, tekrarlı olarak devam eder. Son adımda bulunan yerel mnmum problemn global çözümü olarak kabul edlr. P(X) flled fonksyonu matematksel olarak aşağıdak şeklde fade edleblr [22] Tanım 1. Br B 1 bağlı bölgesndek tüm noktaların en dk nş zdüşümler(steepest descent trajectory) X 1 e yakınsıyorsa B 1 bölgesne f(x) n X 1 lokal mnmumundak yuvası denr. Tanım 2. f(x) n X 1 lokal mnmumundak yuvasına f(x) n X 1 lokal maksmumundak tepes denr. Tanım 3. f(x) fonksyonunun X 1 ve X 2 lokal mnmumları çn, eğer f(x 2)>f(X 1) se X 2 lokal mnmumu, X 1 lokal mnmumundan büyüktür denr. Bu durumda B 2 yuvası B 1 yuvasından daha yüksektr. Şekl 3. Üç üntel vana etkl dağıtım sstem çn malyet fonksyonunun değşm (Varatons of the cost functon for a three unts dstrbuton system wth valve-pont effect) 432 Tanım 4. Aşağıdak şartları sağlayan herhang br P(X) fonksyonu, F(X) n X 1 noktasındak flled fonksyonu olarak kullanılablr;
1. X1, P(X) n br lokal maksmumuysa ve B1 yuvası, P(X) ın br tepesnn br parçasıysa, 2. P(X) n hçbr Bh de durağan (statonary) noktası yoksa, (Bh, B1 den daha yüksek tüm yuvalardır.) 3. Herhang br Bl de P(X) mnmum yapan br X noktası varsa. (Bl, (eğer varsa) B1 den daha düşük tüm yuvalardır.) 3.2. Lteratürde Kullanılan Flled Fonksyonlar (Flled Functons n the Lterature) FFM sürekl olarak gelşen br yöntemdr. Algortmada kullanılan flled fonksyonu gelştrlerek yöntemn hızı, vermllğ veya belrl problemlerdek performansı gelştrleblr. Eş. 14 de gösterldğ gb, lk olarak önerlen flled fonksyonu [20] de sunulan P fonksyonudur; X exp p PX ( ) r f( X) 2 X1 2 (14) Yukarıdak fonksyon X 1 lokal mnmum noktasına ve orjnal f(x) fonksyonuna bağlı olarak türetlmştr. Bu fonksyonun sakıncası k ayrı ayarlanablr parametre (p ve r parametreler) ve üssel fonksyon (exp) çermesdr. Tek parametre çeren fonksyonların en sık kullanılanı Eş. 15 de gösterldğ gb, Q fonksyonudur [20]. * * 2 f ( X ) f ( X1 ) exp A X 1 Q ( X, A) X (15) Burada, algortmanın çalışması sırasındak tek parametre A dır. (p parametres poztf br tamsayıdır.) Bu fonksyonun zayıf tarafı se çerdğ üssel termdr. Özellkle a parametresnn yüksek değerler çn üssel termn nümerk hesaplanması mümkün olmamaktadır. Lteratürde önerlmş olan br dğer flled fonksyon se bu çalışma kapsamında da kullanılan G fonksyonudur [23]. Bu fonksyon çft parametrel olmasına rağmen üssel term çermedğ çn nümerk hesap bakımından daha kolaydır. Öte yandan, günümüzde blgsayarların şlem gücünün yüksek olması flled fonksyonda çft değşken parametre olmasını nümerk hesaplama açısından br dezavantaj olmaktan çıkarmıştır. G fonksyonunun genel formu Eş. 16 da gösterldğ gbdr., px, 1 1 1 G ( X) A f( X) f( X ) p X X (16) Burada p>0 ve 0<μ<1 ayarlanablr parametrelerdr. A µ (y) = yv µ (y) şeklnde tanımlanır. Buradak V µ (y) fonksyonunun y<0 çn azalan, y 1 çn artan olması gerekmektedr. Ayrıca V µ (-τ)=1, V µ (0)=µ ve V µ (y) cµ şartlarını sağlamalıdır. (τ>0 yeternce küçük br sayı ve 0<c<1 br sabttr). Bu çalışmada kullanılan V µ(y) fonksyonu Eş. 17 de gösterldğ şekldedr. 1 c V ( y) (1 c) c y / t c (17) Seçlen fonksyonun yukarıda belrtlen şartları sağladığı kontrol edleblr. 3.3. Algortma (The Algorthm) Ekonomk yük dağıtımı problemnn FFM le çözülmes çn gelştrlen algortma aşağıda sunulmuştur. Algortmanın sadeleştrlmş akış dyagramı Şekl 4 de verlmştr. 1. Başlangıç Flled fonksyonun tanımındak parametreler çn sınırları belrle Parametrelere lk değerlern ver ve artış/azalış stratejlern belrle Br x 0 başlangıç noktası seç. 2. Orjnal fonksyonda lokal mnmum nokta araması En dk nş (steepest descent) algortması kullanarak x 0 noktasından başlayarak f(x) n x* lokal mnmumunu bul 3. Komşuluk araması x* n N(x*) komşuluk kümesn tanımla. N(x*)={w 1, w 2,, w q} burada q toplam komşu sayısıdır ve q<2n. (n, aramanın yapıldığı uzayın boyut sayısıdır). l = 1 yap. Şmdk nokta x c y w l olarak tanımla. 4. Flled fonksyonda lokal arama x* dak flled fonksyon, P(x*), tanımlanır. En dk nş algortması kullanarak x c noktasından başlayarak P(x*) n lokal mnmum noktası, x', bulunur. 5. x' noktasının ncelenmes Eğer f(x')<f(x*) se x 0 = x' ataması yap ve 2. adıma gt. 6. Dğer arama yönlernn ncelenmes l y 1 artır. Eğer l<q se 3b adımına dön Değlse Flled fonksyonun parametrelern güncelle, 3a adımına dön. Flled fonksyon parametreler 1. adımda tanımlanan sınır değerlere gelrse x* ın o ank değer global mnmum olarak kabul edlr ve program sonlandırılır. 4. NÜMERİK ÇALIŞMA (NUMERICAL STUDY) 4.1. Test Durumları (Test Cases) Ekonomk yük dağıtımı problemnn yen global optmzasyon teknğ olan flled fonksyon le çözümü çn üç ayrı test sstem seçlmştr. İlk sstemde vana etks yer almazken, dğer k sstemde vana etks altında ekonomk yük dağıtımı problemnn çözümü ele alınmıştır. İknc test sstemnde dğerlernden farklı olarak üntelern üretebleceğ en düşük güç değer sıfır kabul edlmştr. 433
BAŞLA Flled fonksyon parametrelernn sınırları belrle, lk değerlern ver. x0 başlangıç noktasını seç x0'dan başlayarak x* lokal mnmumunu bul (Steepest descent) x* n N(x*) komşuluk kümesn belrle. N(x*) = { w1, w2,, wq } q = N kümesnn eleman sayısı l = 1 N(x*) kümesnn wl elemanını xc olarak seç x* dak flled fonksyonu, P(x*), tanımla. P(x*) n lokal mnmum noktasını, x', bul. f(x')<f(x*) Evet x0 = x' Hayır l = l + 1 Evet l < q Hayır Flled fonksyonun parametrelern güncelle flled fonksyon parametreler == sınır değerler Evet x* global mnmum olarak kabul edlr SON Şekl 4. FFM akış dyagramı (FFM Flow dagram) FFM de algortmayı çalıştırırken seçlen başlangıç noktası çözümün başarısını etklemektedr. Bu nedenle, hem bu etky gözlemek hem de en doğru çözümü elde edeblmek amacıyla, bu çalışma kapsamında gerçekleştrlen tüm nümerk hesaplamalar farklı başlangıç noktaları seçlerek tekrar edlmştr. Bu amaçla tüm test durumları, güven aralığı krterler göz önünde tutularak, ortalama malyet fonksyon değernn gerçek değern ±%1 yakınında olma htmal en az %99 olana kadar farklı başlangıç noktalarıyla 434 tekrar çözülmüştür. Tüm nümerk çözümler, 3,1 GHz, Intel Core 5 şlemcl br blgsayarda, Matlab ortamında gerçekleştrlmştr. 4.1.1. Brnc test sstem (Frst test system) Brnc test sstem [4] çn malyet fonksyonunda vana etkler dahl edlmemştr. Malyet fonksyonu olarak (1) kullanılmıştır. Tablo 1 ve Tablo 2 de parametreler verlen
üç üntel termk santraln ekonomk yük dağıtımı yapılmıştır. Bu test sstem çn talep edlen yük 975 MW tır. Tablo 1. Brnc test sstemndek üntelern parametreler (Parameters of the unts n the frst test system) Ünte a b c 1 500 5,3 0,004 2 400 5,5 0,006 3 200 5,8 0,009 Tablo 2. Brnc test sstemndek üntelern güçlernn alt ve üst lmtler (Lower and upper power lmts of the unts n the frst test system) Ünte P mn (MW) P max (MW) 1 200 450 2 150 350 3 100 225 Brnc test sstemnde, başlangıç noktasından bağımsız olarak, algortmanın her çalıştırılmasında üç üntenn en uygun çalışma noktaları sırayla 450 MW, 325 MW ve 200 MW (toplam 975 MW) bulunmuştur. Bu değerler çn hesaplanan malyet fonksyonu 8236$ olarak bulunmakta olup bu sonuç [4] de verlen sonucu sağlamaktadır. Önerlen algortmanın ekonomk yük dağıtımı problemnde uygulanablrlğ gösterlmştr. Yapılan nümerk çalışmada vana etks malyet fonksyonuna katılmadığında çözümün çok hızlı br şeklde bulunabldğ gözlenmştr. 3,1 GHz, Intel Core 5 şlemcl br blgsayarda tek br çözümün tamamlanması ortalama 0,45 sn sürmüştür. 4.1.2. İknc test sstem (Second test system) İknc test sstem [31] çn (11) kullanılarak malyet fonksyonunda vana etkler dahl edlmştr. Üç üntel termk santraln parametreler Tablo 3 ve Tablo 4 de verlmştr. Bu test sstemnde, 750 MW talep yük mktarı çn ekonomk yük dağıtımı problem çözülmüştür. Tablo 3. İknc test sstemndek üntelern parametreler (Parameters of the unts n the second test system) Ünte a b c d e 1 550 8,1 0,00028 300 0,035 2 309 8,1 0,00056 200 0,042 3 307 8,1 0,00056 200 0,042 Tablo 4. İknc test sstemndek üntelern güçlernn alt ve üst lmtler (Lower and upper power lmts of the unts n the second test system) Ünte P mn (MW) P max (MW) 1 0 680 2 0 360 3 0 360 İknc test sstemnde vana etks hesaba katılmıştır. Ayrıca dğer sstemlerden farklı olarak üntelern en küçük üretm güçler (P mn ) 0 olarak alınmıştır. Sonuçlar ncelendğnde FFM nn verdğ sonuçların %82 snde ünte değerler 449 MW, 150 MW ve 151 MW (toplamda 750 MW) ve malyet fonksyon değer 7340$ çıkmıştır. Bu sonuçlar, [31] de belrtlen problemn gerçek çözümünü sağlamaktadır. Dğer sonuçlar se 7341$ lık br malyet değerne ulaşmıştır. Bu fark, başlangıç noktasının problemn çözümü üzerndek etksn göstermektedr. Başka br deyşle, gerçekleştrlen nümerk çalışmanın %18 nde %0,014 lük br hata söz konusudur. Aynı hata oranı [31] de testlern %9 unda %0,1 olarak belrtlmş olup Tablo 5 de gösterlmştr. Buradan hareketle kullandığımız flled fonksyonun başlangıç noktasından kaynaklanan hataları düşürdüğünü söyleyeblrz. Öte yandan, vana etks eklendğnde ve çözüm uzayı genşletldğnde problemn çözümü, özellkler yukarıda verlen blgsayarda, ortalama 1,25 sn sürmüştür. Bu değer de algortmanın hala kabul edleblr sürelerde çalıştığını göstermektedr. Tablo 5. Testlerdek hata oranları ve yüzde hata mktarlarının karşılaştırılması (Comparson of the error rates of the tests) Testlerdek yüzde hata oranı Yüzde hata mktarı Önerlen Flled %18 %0,014 Algortması le [31] %9 %0,1 4.1.3. Üçüncü test sstem (Thrd test system) Vana etkler yanı sıra ünte lmtler farklı olan üçüncü test sstem [31] çn ekonomk yük dağıtımı problem çözülmüştür. Tablo 6 ve Tablo 7 da parametreler verlen sstem çn talep yük 850 MW tır. Tablo 6. Üçüncü test sstemndek üntelern parametreler (Parameters of the unts n the thrd test system) Ünte a b c d e 1 561 7,92 0,001562 300 0,0315 2 310 7,85 0,00194 200 0,042 3 78 7,97 0,00482 150 0,063 Tablo 7. Üçüncü test sstemndek üntelern güçlernn alt ve üst lmtler (Lower and upper power lmts of the unts n the thrd test system) Ünte P mn (MW) P max (MW) 1 100 600 2 100 400 3 50 200 Üçüncü test sstemmzde hem vana etks eklenmş hem de üntelern mnmum güçler 0 dan daha büyük değerler olarak alınmıştır. Algortma farklı başlangıç noktaları çn çalıştırılmıştır ve bunların tamamında 300 MW, 400 MW ve 150 MW çalışma değerler ve 8234$ toplam malyet değer hesaplanmıştır. Bu sonuçlar, [31] sunulan gerçek değerler tutmaktadır. Dkkat edlecek öneml br sonuç, algortmanın başlangıç noktasından bağımsız olarak tüm çalışmalarda gerçek değer bulablmş olmasıdır. Ayrıca 435
problemn her br çözümü ortalama 1,1 sn de tamamlanmıştır. İknc test sstemyle kıyaslandığında çözüm uzayının alt sınırdan daraltılmış olmasının yöntemn doğru çözümü daha kısa br sürede bulmasını sağladığını söyleyeblrz. 4.1.4. Dördüncü test sstem (Fourth test system) Bu test grubu altı üretm üntes çeren 26 baralı sstem ele almaktadır [4]. Tablo 8 ve Tablo 9 de parametreler verlen altı üntel termk santraln ekonomk yük dağıtımını hat kayıpları dkkate alınarak yapılmıştır [4]. Hat kayıpları çn gerekl olan B, B 0 ve B 00 matrsler [4] nolu referanstan alınmıştır. Bu test sstem çn malyet fonksyonu olarak (12) kullanılmış olup talep edlen yük mktarı 1263 MW tır. Dördüncü test sstemmzde hat kayıpları dkkate alınırken, vana etks hmal edlmştr. Önerlen flled fonksyon metodu le elde edlen sonuçlar, Tablo 10 da lteratürdek sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Talep edlen yük mktarı 1263 MW a göre her br üntenn güç değerler elde edlmştr. Bu sonuçlara göre, önerlen metot le en düşük hat kaybı bulunmuştur. Tablo 8. Dördüncü test sstemndek üntelern parametreler (Parameters of the unts n the fourth test system) Ünte a b c 1 240 7 0,0070 2 200 10 0,0095 3 220 8.5 0,0090 4 200 11 0,0090 5 220 10.5 0,0080 6 190 12 0,0075 Tablo 9. Dördüncü test sstemndek üntelern güçlernn alt ve üst lmtler (Lower and upper power lmts of the unts n the fourth test system) Ünte P mn (MW) P max (MW) 1 100 500 2 50 200 3 80 300 4 50 150 5 50 200 6 50 120 Tablo 10. Dördüncü test sstemnde önerlen metot le bulunan sonuçların lteratür le karşılaştırılması (Comparson of the results of the proposed method aganst lterature for the fourth test system) [4] [32] Önerlen Flled Fonksyonu Metodu Hat Kaybı 12,807 12,757 12,5974 (kw) P1 (MW) 447,69 447,74 447 P2 (MW) 173,19 173,37 183,5 P3 (MW) 263,49 262,79 254,8 P4 (MW) 138,81 138,35 150 P5 (MW) 165,59 166,28 146,5 P6 (MW) 87,03 87,233 93,797 436 4.1.5. Beşnc test sstem (Ffth test system) Bu test grubu altı üretm üntes çeren 30 baralı sstem ele almaktadır [33]. Tablo 11 ve Tablo 12 de parametreler verlen altı üntel termk santraln ekonomk yük dağıtımını hat kayıpları dkkate alınarak yapılmıştır [33]. Hat kayıpları çn gerekl olan B, B 0 ve B 00 matrsler [33] nolu referanstan alınmıştır. Bu test sstem çn malyet fonksyonu olarak (12) kullanılmış olup talep edlen yük mktarı 283,4 MW tır. Tablo 11. Beşnc test sstemndek üntelern parametreler (Parameters of the unts n the ffth test system) Ünte a b c d e 1 150,0 2,00 0,0016 50,0 0,0630 2 25,0 2,50 0,0100 40,0 0,0980 3 0,0 1,00 0,0625 0,0 0,0 4 0,0 3,25 0,00834 0,0 0,0 5 0,0 3,00 0,025 0,0 0,0 6 0,0 3,00 0,025 0,0 0,0 Tablo 12. Beşnc test sstemndek üntelern güçlernn alt ve üst lmtler (Lower and upper power lmts of the unts n the ffth test system) Ünte P mn (MW) P max (MW) 1 50 200 2 20 80 3 15 50 4 10 35 5 10 30 6 12 40 Beşnc test sstemmzde hem hat kayıpları hem de vana etks dkkate alınmıştır. Önerlen flled fonksyon metodu le elde edlen sonuçlar, Tablo 13 da lteratürdek sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu çalışmada da önerlen yöntem, hat kayıplarını dkkate alarak üntelern güç değerlern bulmuştur. Bu sonuçlara göre, önerlen metot le en düşük hat kaybı bulunmuştur. 4.2. Değerlendrme / Yorum Gerçekleştrlen nümerk çalışmanın amacı, FFM algortması le ekonomk yük dağıtımı problemn çözmeye çalışmak ve böylece önerlen yöntemn başarısını ve vermllğn ölçmektr. Bunun çn lteratürde kullanılan 5 farklı test sstem seçlmştr. Yapılan hesaplamaların tamamında problemn kısa br süre çernde çözüldüğü gözlenmştr. Bu sayede, problem çok sayıda farklı başlangıç değeryle çözmek mümkün olablmektedr. Böylece, hem başlangıç değernn etks gözlemleneblmş hem de yöntemn başarısı etkn br bçmde ölçüleblmştr. Ayrıca FFM, evrmsel algortmalarda olduğu gb rassal değşkenler çermedğ çn aynı başlangıç değer çn her çalıştırılışta aynı çözüm bulunmaktadır. Bu da yöntemn, ekonomk yük dağıtımı veya benzer problemlere uygulanablrlğn artıran br özellğdr. FFM nn ekonomk yük dağıtımı problemn çözmedek başarısını değerlendrrsek; test sstemlern ksnn farklı başlangıç
Tablo 13. Beşnc test sstemnde önerlen metot le bulunan sonuçların lteratür le karşılaştırılması (Comparson of the results of the proposed method aganst lterature for the ffth test system) Genetk Algortma [33] Hbrt yaklaşım [33] Önerlen Flled Fonksyonu Metodu Maksmum Mnmum Maksmum Mnmum Malyet Malyet Malyet Malyet Malyet P 1 108,6192 150,7244 177,1951 182,4784 102 P 2 63,1641 60,8707 48,6799 48,3525 79,40 P 3 42,7218 30,8965 20,2534 19,8553 49,40 P 4 20,4320 14,2138 21,8570 17,1370 10 P 5 18,5043 19,4888 12,0258 13,6677 29,80 P 6 39,1609 15,9154 13,3454 12,3487 20,39 P (MW) 292,6022 292,1096 293,3566 293,8395 290,99 Malyet ($/h) 1117,1285 996,0369 992,4815 984,9365 1075,6215 P kayıp 9,2027 8,7060 9,9566 10,4395 7,5911 Zaman (s) 0,1410 0,5780 0,0310 0,0150 0,16 noktaları çn gerçekleştrlen tüm tekrarlarında lteratürde verlen kesn sonuçları elde edebldğ görülmüştür. Sadece knc test sstemnde, bazı başlangıç değerler çn %0,014 lük çok küçük br hata oranı ölçülmüştür. Bu oran br çok değşkenl optmzasyon problem çn hmal edleblecek derecede küçük br değerdr. 5. SONUÇLAR ( CONCLUSIONS) Yenleneblr enerj kaynaklarının artan şeklde kullanılması, bu kaynakların güç ssteme ve özellkle ekonomk yük dağıtımı problemne olan etklernn ncelenmesn zorunlu hale getrmektedr. Bu çalışmada, lteratürde güç sstemler konusunda sıklıkla uygulanmamış olan flled fonksyon algortması kullanılmıştır. Flled fonksyon algortması, matematksel süreç le çözüme ulaştığından sezgsel algortmalara göre hem daha az zamanda sonuca ulaşmaktadır hem de büyük mktarda hafıza gerektrmemektedr. Sezgsel algortmalara göre br başka avantajı se; sezgsel algortmalardak gb mutasyon, çaprazlama gb brçok farklı operatör çermedğnden flled fonksyon algortması kolaylıkla uygulanablmektedr. Bu yüzden, çok sayıda jeneratör çeren büyük güç sstemlernde flled fonksyon algortması kolaylıkla uygulanableceğ öngörülmektedr. Flled fonksyon algortması le teratf olarak, her terasyonda çözüm bulunur ve daha y sonuç elde etmek çn, br terasyonun sonucu br sonrak terasyonun grş olablmektedr. Böylelkle, sezgsel algortmaların dezavantajı olan çözüme ulaşmak çn son kısmın tamamlanmasının zorunluluğu, Flled fonksyon algortması çn geçerl değldr. Bu yüzden, anlık olarak ara çözüm gerektğnde çözüme gdeblmektedr. Bütün bu avantajları sayesnde, Flled fonksyon algortması kolaylıkla uygulanablr, daha az zaman ve hafıza alan br algortma olmaktadır. Bu yüzden, ekonomk yük dağıtımı gb karmaşık br konuda bu algortma başarı le uygulanmıştır. Elde edlen sonuçlarda oldukça kısa zamanda sonuca ulaştığı tespt edlmştr. Sezgsel algortmalarda, rastgele sonuç bulunup bu sonuçların ortalaması veya en ys alınarak sonuç değer bulunmaktadır. Flled fonksyon algortmasında se matematksel süreç le şlem yapıldığından aynı başlangıç durumu çn her defasında aynı sonuç bulunmaktadır. Böylelkle, sezgsel algortmalarda karşılaşılan rastgelelk sorunu da ortadan kaldırılmıştır. TEŞEKKÜR (ACKNOWLEDGEMENT) Bu çalışma, 2219 Yurtdışı Doktora Sonrası Araştırma Bursu Programı kapsamında TÜBİTAK tarafından (Başvuru Numarası: 1059B191300593) ve Kırıkkale Ünverstes Blmsel Araştırma Projeler Koordnasyon Brmnce (Proje Numarası: 2012 / 112) desteklenmştr. KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Pradhana M., Royb P.K., Palc T., Grey wolf optmzaton appled to economc load dspatch problems, Int. J. Electr. Power Energy Syst., 83 (1), 325-334, 2016. 2. Parouha R.P., Das K.N., DPD: An ntellgent parallel hybrd algorthm for economc load dspatch problems wth varous practcal constrants, Expert Syst. Appl., 63 (1), 295-309, 2016. 3. Zou D., L S., Wang G.G., L Z., Ouyang, H., An mproved dfferental evoluton algorthm for the economc load dspatch problems wth or wthout valve-pont effects, Appl. Energy, 181 (C), 375-390, 2016. 4. Saadat H., Power system analyss, WCB/McGraw- Hll, A.B.D, 1999. 5. Wood A.J., Wollenberg B.F., Power generaton operaton and control, John Wley, New York, 1984. 6. Yalcnoz T., Short M., Neural networks approach for solvng economc dspatch problem wth transmsson capacty constrants, IEEE Trans. Power Syst., 13 (2), 307-313, 1998. 7. Yalçnöz T., Altun H., Comparson of smulaton algorthms for the Hopfeld neural network: an applcaton of economc dspatch, Turksh Journal of Electrcal Engneerng & Computer Scences, 8 (1), 67-80, 2000. 8. Es H.A., Kalender F.Y., Hamzaçeb C., Forecastng the Net Energy Demand of Turkey by Artfcal Neural 437
Networks, Journal of the Faculty of Engneerng and Archtecture of Gaz Unversty, 29 (3), 495-504, 2014. 9. Lee F.N., Brepohl A.M., Reserve constraned economc dspatch wth prohbted operatng zones, IEEE Trans. Power Syst., 8 (1), 246-254, 1993. 10. Bellman R., Dynamc Programmng Prnceton Unversty Press, Prnceton, NJ, 1957. 11. Germeç K.E., Erdem H., Tme-harmonc analyss n electrc power systems, Journal of the Faculty of Engneerng and Archtecture of Gaz Unversty, 30 (2), 263-271, 2015. 12. Chen P.H., Chang H.C., Large-scale economc dspatch by genetc algorthm, IEEE Trans. Power Syst., 10 (4), 1919-1926, 1995. 13. Gürsu B., Optmum overcurrent relay coordnaton va genetc algorthm method stopped by penalty functon n substatons, Journal of the Faculty of Engneerng and Archtecture of Gaz Unversty, 29 (4), 665-676, 2014. 14. Eroğlu H., Aydn M., Automaton of electrcal transmsson lnes' route optmzaton and project drawng, Journal of the Faculty of Engneerng and Archtecture of Gaz Unversty, 30 (4), 723-732, 2015. 15. Zaman M.F., Elsayed S.M., Ray T., Sarker R.A., Evolutonary Algorthms for Dynamc Economc Dspatch Problems, IEEE Trans. Power Syst., 31 (2), 1486-1495, 2016. 16. Snha N., Chakrabart R., Chattopadhyay P., Evolutonary programmng technques for economc load dspatch, IEEE Trans. Evol. Comput., 7 (1), 83-94, 2003. 17. Kumar N., Nanga U., Sahay K.B., Economc load dspatch usng mproved partcle swarm optmzaton algorthms, 6th IEEE Power Inda Internatonal Conference (PIICON), Delh, 1-6, 2014. 18. Sum-Im T., Economc dspatch by ant colony search algorthm, 2004 IEEE Conference on Cybernetcs and Intellgent Systems 416-421, 1-3 Aralık 2004. 19. Naama B., Bouzeboudja H., Allal A., Solvng the Economc Dspatch Problem by Usng Tabu Search Algorthm, Energy Proceda, 36 (1), 694-701, 2013. 20. Renpu G., A flled functon method for fndng a global mnmzer of a functon of several varables, Math. Program., 46 (1-3), 191-204, 1990. 21. Ge R., Qn,Y., A class of flled functons for fndng global mnmzers of a functon of several varables, Journal of Optmzaton Theory and Applcatons, 54 (2), 241-252, 1987. 22. Lu X., A class of augmented flled functons, Computatonal Optmzaton and Applcatons, 33 (2-3), 333-347, 2006. 23. Ng C.K., L D., Zhang L.S., Dscrete global descent method for dscrete global optmzaton and nonlnear nteger programmng, J. Global Optm., 37 (3), 357-379, 2007. 24. Lucd S., Pccall V., New classes of globally convexzed flled functons for global optmzaton, J. Global Optm., 24 (2), 219-236, 2002. 25. Shang Y.L., Zhang L.S., A flled functon method for fndng a global mnmzer on global nteger optmzaton, J. Comput. Appl. Math., 181 (1), 200-210, 2005. 26. Gupta O.K., Ravndran A., Branch and bound experments n convex nonlnear nteger programmng, Manage. Sc., 31 (12), 1533-1546, 1985. 27. Fsher M.L., The Lagrangan relaxaton method for solvng nteger programmng problems, Manage. Sc., 50 (12), 1861-1871, 2004. 28. Marsten R.E., Morn T.L., A hybrd approach to dscrete mathematcal programmng, Math. Program., 14 (1), 21-40, 1978. 29. Sahner A., Gokkaya H., Ygt T., A new flled functon for nonsmooth global optmzaton, Internatonal Conference of Numercal Analyss and Appled Mathematcs, 972-974, 2012. 30. Levy A., Montalvo A., The tunnelng algorthm for the global mnmzaton of functons, SIAM Journal on Scentfc and Statstcal Computng, 6 (1), 15-29, 1985. 31. Lu X., Applcaton of flled functon method to multmodal economc load dspatch problems, Electron. Lett., 47 (18), 1042-1043, 2011. 32. Alhajr M.F., El-Hawary M.E., Pattern search optmzaton appled to convex and non-convex economc dspatch, IEEE Internatonal Conference on Systems, Man and Cybernetcs, Montreal, Que., 2674-2678, 7-10 Ekm 2007. 33. Malk T.N., ul Asar A., Wyne M.F., Akhtar S., A new hybrd approach for the soluton of nonconvex economc dspatch problem wth valve-pont effects, Electr. Power Syst. Res., 80 (9), 1128-1136, 2010. 438