I ) MATEMATİK TEMELLER

0 I ) MATEMATİK TEMELLER A) TANIMLAR VE İŞLEMLER B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER D) DIRAC DELTA FONKSİYONU E) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ F) "MOMENTUM" UZAYI DEĞİŞKENLERİ G) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

A) TANIMLAR ve İŞLEMLER. Vektörler ve Skalarlar Vektörlerin ne lup ne lmadıkları eğitimin değişik kademelerinde çekingen bir biçimde ve azar azar öğretilen bir knudur. [ B ve öne sahip nesne ] vea [ Sıralı elemanlı küme ] vea [ Knum: r ( x z) gibi davranan ifade ] larak sunulan vektör kavramının gerçek tanımı ileride uza-zaman simetrileri knusunda apılacaktır. Şimdilik bir vektörün kartezen bileşenleri kullanılarak = x z A A A A biçiminde ifade edildiği ile etineceğiz.. İşlemler Eşitlik için A B A B A B A B lması gerekir; tplama ve x x z z çıkartma ise C A B C A B C A B C A B ile verilir. Çarpma ise üç başlık altında incelenecektir. x x x z z z i) Bir saı (skalar) ile çarpılma : B k A B k A B k A B k A x x z z ii) Snucu skalar lduğu için Skalar çarpım larak adlandırılan çarpım : s A B Ax Bx AB Az Bz Bu işlemle ilintili bir kavram da A A A A larak tanımlanan vektörün bu vea Nrm udur. Aˆ A da Birim vektör larak adlandırılır. Bu adın gerekçesi A AˆAˆ sağlaarak birim Nrm a sahip luşudur. iii) Snucu vektör lduğu için Vektörel çarpım larak adlandırılan çarpım : C A B C A B A B C A B A B C A B A B x z z z x x z z x x Bu işlemin B A A B özelliği ve dlaısıla AA 0 luşu dikkat çekmektedir. Genellikten arılmadan A vektörü x-önünde B vektörü ise x-

düzleminde lacak şekilde kartezen krdinat sistemi eniden önlendirilerek ve B B cs B sin 0 A A 0 0 seçimi apılınca AB AB cs lduğu görülür. A B 0 için AB 0 luşu cs 0 90 70 vea A ve B nin birbirine dik lduğunun göstergesidir. Anı aklaşımla A B vektörünün bu AB sin önü ise hem A hem de B e dik lmaktadır. Tplama ve skalar ile çarpılma kuralları uarınca herhangi bir x z x 00 00 z 00 A vektörünün A A A A A A A larak azılması snucu kartezen birim vektörleri bulunur : xˆ 00 ˆ 00 zˆ 00.. Gemetri Yukarıda incelenen özellikler bazı gemetrik kavramların karakterleri hakkında ipuçları verir. Mesela düzlem plar krdinatlarda x tan x d dx x d dx diferansieli d x x x ifadenin r dr pada nın ise r dr rˆ dr ve d = = r r r lduğu görülür. Bu da larak tanımlanan açı nın larak azılınca pa daki d ile verildiğine işaret etmektedir dlaısıla rˆ dr d d d d r r sağlanır. r nin bir vektör lduğuna Diğer gemetrik kavramları da snsuz küçük vektörlerle inşa etmek mümkündür : Uzunluk : d ; Yüze : ds d d Hacım : dv d d d rˆ ds ds ds ve sn larak da Katı Açı : d 4 r r larak r tanımlanırlar.

4. Alanlar Eğer bir skalar belli bir uza parçasının her nktasında tanımlı ise Skalar alan larak adlandırılır. Anı durum W r lur ve bir W r lan bir vektör için geçerli ise bu sefer bir Vektör alanı söz knusudur. Bir dadaki sıcaklık dağılımı alana İstanbul bğazındaki su akıntısının hız dağılımı v v x z örnektir. T x z bir skalar ise bir vektör alana B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO ). Matematik eğitiminin ilk aşamalarında klalık sağlaması açısından bağımsız değişken saısının az tutulması hatta ile sınırlanması dğaldır. Ancak içinde aşadığımız Uza- Zaman prblemlere gerçekçi bir aklaşım için + = 4 bağımsız değişkeni zrunlu kılmaktadır. Zaman değişkeni biraz ertelense bile gerçekçi bir gemetrinin r x z ile luşturulması gerekir. Herhangi bir r x z fnksinunun diferansieli d dx d dz larak azılınca ilk akla gelen bu ifadei biri x z dr dx d dz vektörü lmak üzere iki vektörün skalar çarpımı larak rumlamak x z lacaktır. Diferansiel d dx d dz larak azıldığında rtaa çıkan x z vektör görünümlü ifade semblü ile gösterilir. Biraz sutlama apılarak Nabla diferansiel peratörü x z tanımlanır. larak

4 Her bileşenli ifadee vektör denemez ancak x z geçerli lduğunun ispatı bölüm snunda prblem larak verilecektir. için bu akıştırmanın. A ve A Elde böle bir vektör diferansiel peratör lunca herhangi bir A r A r A r A r vektör alanı ile luşturulacak x z A A Az x z x A tanımlanması dğaldır. vea xˆ ˆ zˆ A işlemlerinin de x z A A A x z. ve A Sn larak A ve A işlemlerinin bileşimi lan tanımlanır. Dönmeler altında değişmeen x z Laplace peratörü larak adlandırılır ve geniş ugulama alanı vardır. Bu peratörün sadece skalarlara değil A Z larak vektörlere de etki edebileceği görülmektedir. 4. Vektör DO Çiftleri işlemlerinin iki tanesinin üstüste ugulanmasından sadece beş geçerli ve anlamlı ifade elde edilir : A A A.

5 A 0 0 lduğu klaca gösterilir. Geri kalan üçü ise aralarında A A A özdeşliğini sağlarlar. C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO. Jacbian Kartezen krdinat sistemlerinin en önemli özelliği birim vektörlerin önlerinin knumdan bağımsız lmasıdır; dlaısıla herhangi bir nktadaki ˆx ile bambaşka bir nktadaki ŷ birim vektörleri xˆ ˆ 0 xˆ ˆ zˆ benzeri eşitlikleri sağlarlar. Ancak dğanın simetrileri açısından kartezen krdinatlar her zaman elverişli değildir. Mesela kartezen krdinatlarda küre denklemi değişken cinsinden r R x z R iken küresel krdinatlarda tek larak azılır. Kartezen dışı q q q krdinat sistemleri luştururken eni krdinatların en azından erel larak dik lma şartı aranacaktır. Bölece verilen bir nktada qˆ ˆ q 0 qˆ qˆ ˆ q ve benzeri ifadeler geçerliliğini kruacaktır. Kartezen krdinatlar: x z r r r dan erel dik krdinatlar q q q e geçerken başlangıç nktası q q r ; i j tanımları ve j j i bunların ters üz edilmesi snucu erişilen r r q ; i j ifadeleri lacaktır. i i j Bu aşamada krdinat sistemi değişikliğinin alanları ve hacımları kaçınılmaz bir biçimde amulttuğu hesaba katılmalıdır. x- düzleminde P: 4 Q : 4 nktalarının kartezen krdinatlarda akla getirdiği alan x x 4 4 dğrularının belirlediği birimlik alandır. Öte andan anı nktalar plar krdinatlarda P : r 5 5 Q : r 5 7 larak ifade edildikleri için r 5 eğrisi ve 5 7 dğruları arasında hiç bir alan kalmadığı görülür. Ancak iki krdinat sisteminde de PQ uzaklığının lması dğru çözüm lunu göstermektedir: krdinat sistemleri değişse bile iki nkta arasındaki uzaklık anı kalır. Dlaısıla çıkış nktası çk akın iki nkta arasındaki uzaklığın vea uzaklık karesinin değişmezliği lacaktır.

6 x x x dx dq dq dq q q q ile d ve dz için azılacak benzeri ifadeler matris gösteriminde x x x dx dq q q q d = dq q q q z z z dz dq q q q biçiminde özetlenebilir. Kısmi türevlerden luşan matris Jacbian larak adlandırılır ve J ile gösterilir. dx dq dx d dz d dq dq dq J J dq İki nkta arasındaki uzaklığın karesi larak azılırsa krdinat sisteminin erel dik lma şartının diagnal bir matris lmasına eşdeğer lduğu anlaşılır. dz dq J J çarpımının pzitif ve. Metrik Fnksinları ve Birim Vektörler Pzitif ve diagnal bir matris lan Metrik matrisi G G h lmak ise ij i ij üzere dx dx d dz d dz G J J larak tanımlanır ve ifadesi de h dq h dq h dq h dq h dq h dq biçimini alır. Bölece dx d dz nin erini alacak uzunluklar d i hi dqi lmaktadır. Bu nktada erel dik krdinat sistemlerinde hacım elemanının d d d h h h dq dq dq alan vektör elemanlarının da h h dq dq h h dq dq h h dq dq ile verileceği görülmektedir. dx dq j j j dr d = dq = j dq j dq + j dq dz dq j j j J ve

7 x x x q q q d d d h q h q h q z z z q q q eşitliklerinin karşılaştırılmasından qˆ i x q i h i q i z qi lduğu anlaşılır. Dlaısıla en kestirme l : snucun birim vektör lacağı bilindiğine göre Jacbian matrisinin sütunlarını nrmalize ederek qˆi birim vektörlerini bulmak nrmalizasn için gerekli bölmei aparken kullanılan ifadei de h i larak belirlemektir.. Alternatif Tanım Kartezen krdinatlarda tanımlanan diferansiel peratör işlemlerini erel dik q q q krdinatlarda da ifade edebilmek için x x q x q x q benzeri kısmi türev zincir kuralları kullanmak uzun ve zahmetli bir ldur. Bunun erine d dr dq dq dq q q q ile verildiğine ve dr h dq h dq h dq lduğuna göre h q h q h q larak klaca azılır.

8 4. A ve A Alternatif Tanımları Ancak A ve A ifadeleri için kestirme bir gemetrik aklaşım benimsenerek ds kapalı bir üze üzerindeki alan elemanı V de bu kapalı üzein içinde kalan hacım lmak üzere A ds A Lim ve V V 0 d kapalı bir eğri bunca l elemanı S de bu kapalı eğrinin içinde kalan alan lmak üzere Ad A Sˆ Lim kullanılır. Uzun ancak basit işlemler snucu S S0 h h A h h A h h A A h hh q q q ve A h qˆ h qˆ h qˆ h h h q q q h A h A h A bulunur. Karmaşık hesaplarda emniet açısından başlangıç nktasının A = ˆq hh q ˆq hh q ˆq hh q ha ha ha lması tavsie edilir.

9 5. Alternatif Tanım Laplace peratörü ise hh hh hh hh h q h q q h q q h q lmaktadır; ancak bu peratörün gereğinde vektörlere de etkili lacağı unutulmamalıdır. 6. İki Temel Terem A ds A Lim eşitliği V V 0 V 0 kşulundan dlaı erel bir ifadedir. Öte andan kmşu iki hacmın rtak duvarlarından birinde pzitif lan AdS negatif lacağı için net katkı sıfır lur. Bu işlem rtak duvarı lmaan sınıra kadar ötekisinde sürdürülerek erelden glbale bir genelleme sağlanır ve A dv A ds elde edilir. Anı mantıkla A ds A d lmaktadır. S V S 7. Elektrdinamik İçin Ntasn Uarısı Küresel krdinatlarda bir merkez nktasından uzaklığı ifade eden r değişkenini silindir krdinatlarda z-ekseninden uzaklığı ifade etmek için de kullanmak karışıklığa l açar. Genelde ile gösterilen bu değişken elektrdinamikte ük ğunluğu semblü larak da işlev aptığı için silindir krdinatlarda erine s kullanmak gerekir. D) DIRAC DELTA FONKSİYONU x Dirac Delta Fnksinu : x 0 x 0 x 0 ; ; dx x

0 x x sağlaan bir ifadedir. f x x a f a x a ve x ax özellikleri klaca gösterilir. f x x a f a x a a luşu dx f x x a f a delta fnksinunun eleme özelliğine l açar. f x ifadesini 0 f x sağlaan bir x nktası etrafında değerlendirmek kullanılıp için Talr açılımı f x f x f x x x... x x f x f x f x x x... f x denkleminin tüm çözümleri göz önüne alınınca da mesela a 0 için x elde edilir. f x 0 x f f x x a x a a a a bulunur. x N n n xn x 0 x < 0 dx x U x eşitliği Dirac Delta ve Birim Basamak fnksinları x 0 arasındaki ilişkii belirler. Delta fnksinunun türev temsili dğal larak du x x lmaktadır. Delta fnksinunun integral temsili için ise snucu dx sıçrama apan bir belirli integral seçilip türev alınır : sin kx dk SGN x = U x k snucunun türevi dk cs kx x verir. Bu snuca i dk kx vea daha genel x dk exp ikx x x dk exp ik x x sin 0 eklenerek integral temsili bulunur.

E) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ Dirac delta fnksinunun eleme özelliği f x dx x x f x ve integral temsili x x dk exp ik x x kullanılarak f x dk ikx dx ikx f x exp exp elde edilir. Bu nktada f k dx exp ikx f x : Furier dönüşümü f x dk exp ikx f k : Ters Furier dönüşümü tanımları apılır. Önemli bir uarı : Zaman-Frekans eşlenik değişken çiftinin Furier dönüşüm frmüllerinde Minkwski metriğinden kanaklanan bir işaret farkı vardır ve Furier dönüşümü : f dt exp i t f t ile verilir. Ters Furier dönüşümü : f t d exp i t f Daha sut bir aklaşım : çıkarak ve dx x x dk k k x k f x x f f k k f tanımlarından la Tamamlık bağıntıları ve ikx exp ikx exp k x özdeşliklerini kullanarak f k k F dx k x x f dx ikx f x exp (Furier)

f x x f dk x k k f dk ikx f k exp dönüşümlerini elde etmektir. (Ters Furier) F) "MOMENTUM" UZAYI DEĞİŞKENLERİ Kuantum fiziğinin anısıra elektrdinamik hesaplarda da knum uzaı kadar "mmentum" uzaına gerek vardır. İki uza arasında geçişleri sağlaan dönüşümler katlı integraller larak karşımıza çıkar. Bu üzden bunlarda er alan exp i k r k r teriminin vea kısaca ifadesinin değişik krdinat sistemlerinde azılışı çk önemlidir. Kartezen krdinatlarda r x z k k k k k r k x k k z klaca x z x z azılır. Ancak erel dik sistemlerde mmentum krdinatlarını dikkatle tanımlamak gerekir. Silindir krdinatlarda r s cs s sin z k luşuna paralel larak k biçiminde tanımlanır ve cs cs sin z k r s k z elde edilir. Küresel krdinatlarda ise r r sin cs r sin sin r cs luşuna paralel larak k k sin cs k sin sin k cs biçiminde z k r r k sin sin cs cs cs tanımlanır ve elde edilir. İncelenen prblemlerin simetrileri bu karmaşık ifadeleri integral aşamasında basitleştirecek lsa da la en genel biçimlerle başlamak simetrileri kullanarak ifadeleri kademe kademe basitleştirmek en sağlıklı ldur. Diğer bir önemli bilgi ise exp i k r ifadesinin küresel krdinatlarda küresel harmnikler ve hatta Legendre plinmları kullanarak açılımını veren Raleigh * bağıntısıdır : exp i k r 4 i j kr Y rˆ Y k ˆ m m 0 0 m i j kr P rˆ kˆ.

G) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ -Butta benzer aklaşımlarla elde edilen f k d r exp ik r f r : Furier dönüşümü f r d k exp ik r f k : Ters Furier dönüşümü frmülleri geçerli lacaktır. Önemli bir nkta: kartezen lmaan krdinat sistemlerinde mmentumun da uza krdinatlarından arı ve kendine has ön değişkenleri lması gereğidir. Yukarıda değinildiği gibi silindir krdinatlarda cs sin ve k k r s s z cs sin z küresel krdinatlarda ise r r sin cs r sin sin r cs k k sin cs k sin sin k cs kullanmak gerekir. -Butta Furier dönüşümlerinin önemli bir özel hali küresel simetrie sahip fnksinların dönüşümleridir. f r f r durumunda f k d r exp ik r f r ldukları için integralinde d r k r r f k de skalar lmak zrundadır ve f k f k skalar lur. Snuç k 'nın önünden bağımsız lduğu için genellikten arılmadan k 0 0 k alınır ve f k exp d dw r dr ikrw f r 0 r dr sin kr f r k elde edilir. 0

4 Bu özel durum Hankel dönüşümü larak adlandırılır ve f k r dr sin kr f r k : Hankel 0 f r k dk sin kr f k r : Ters Hankel 0 dönüşüm frmülleri kullanılır. Bazı önemli ve ararlı Hankel dönüşümleri tabl larak aşağıda verilmektedir: f r f k r r 4 r exp r exp r r r ik r k k k k

5 PROBLEMLER P. ) Knum bileşenleri dönme işlemi altında RR= R SO() dx dx sağlaan bir dönme matrisi ardımıla d = R d larak dönüşür. dz dz Vektörlerin "Dönmeler altında knum gibi davranan ifade" tanımından la çıkarak knum x x bileşenlerine göre türevlerin de = R biçiminde z z dönüştüklerini dlaısıla 'Nabla Operatörü'nün de bir vektör lduğunu ispat edin. P. ) A 0 lduğunu dlaısıla B 0 durumunda B A azılabileceğini gösterin. P. ) 0 lduğunu dlaısıla E 0 durumunda E V azılabileceğini gösterin. P.4 ) W W W özdeşliğini ispatlaın. P.5 ) Bir vektör alanı W r r x z nktasında W F G H değerini alır. W vektörünün silindir krdinat bileşenlerini hesaplaın.

6 P.6 ) Bir vektör alanı W r r x z nktasında W F G H değerini alır. W vektörünün küresel krdinat bileşenlerini hesaplaın. P.7 ) x s cs s sin z z larak tanımlanan silindir krdinatlar için hs h hz metrik fnksinlarını sˆ ˆ zˆ s z birim vektörlerini W W ifadelerini elde edin. P.8 ) x r sin cs r sin sin z r cs larak tanımlanan fnksinlarını ˆ ˆ ˆ r küresel krdinatlar için hr h h r birim vektörlerini metrik W W ifadelerini elde edin. ifadesini w cs kullanarak eniden azın. P.9 ) x z z larak tanımlanan z parablik krdinatlar için metrik fnksinlarını ˆ ˆ zˆ h h hz silindir birim vektörlerini W W ifadelerini elde edin. P.0 ) x cs sin z larak tanımlanan parablik krdinatlar için h h h metrik fnksinlarını ˆ ˆ ˆ birim vektörlerini W W edin. ifadelerini elde

7 P. ) x x z z krdinat sisteminde h h hz vektörlerini metrik fnksinlarını ˆ ˆ zˆ W W Laplace denklemini Z z expik z z ifadelerini elde edin; birim 0 özel durumu için 'Değişkenlerine Arıştırın'. P. ) z x i kmpleks değişkeni kullanarak azılan basitleştirin. 0 * z z DD 'ini P. ) A B ifadesinin açılımını apın. P.4 ) Dr ctn ˆ r için D ifadesini hesaplaın. kx cs k sin P.5 ) x r cs r sin Düzlem Plar krdinatlarda SO() simetrisine sahip f r f r Furier dönüşümü ( -Butta Hankel dönüşümü ) frmülünü elde edin. İpucu : J d cs n sin n 0 fnksinunun P.6 ) f k g k h k çarpımının Ters Furier dönüşümünü Dirac gösterimi kullanarak apın ve f g h x dx dx f x x x g x hx Çifte Katlama ifadesini elde edin.

8 P.7 ) a) k V B vektör çarpım ifadesinde bir Vx V V z vektörüne etki edecek k işleminin 0 kz k k 0 k x z k k 0 x matrisi ile temsil edilebileceğini gösterin b) V B V k k B çözümünün mümkün lmadığını gösterin c) k V c skalar çarpım ifadesinde ise k işleminin matris temsilinin k k k x z lduğunu gösterin d) sn larak iki işlemi bir arada ele alıp k V B denkleminin bir bileşenini feda edip nun erine k V c denklemini erleştirerek elde edilen mesela kz 0 için 0 kz k Vx Bx kz 0 k x V B kx k k z Vz c matris denkleminden V vektörünü elde edin. İpucu : e.g. V kxk k kz kzk x x x B V = kz kx kxk k k z B kz kx k kz V z k c kz kzkx k z Bu 'Teklik' şartını taşımıan çözüm bir anlamda V ve V verilince vektörünün elde edilebileceği knusunda (Helmhltz teremi) umut vermektedir. V