HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 KOCELİ ÜNİVERSİESİ HR49 DENGELEMEDE ÖZEL KONULR Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR GÜZ 3 KOCELĐ
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 Đçindekiler Önöz Kullanılan Kıaltmalar Kullanılan Simgeler. Giriş. Matematik Model e maç Fonkiyonu. Fonkiyonel Model. Stokatik Model.3 maç Fonkiyonu 3. Doğrual Denklem Çözümleri 3. am Ranklı Doğrual Denklem Çözümleri 3. Rank Bozukluğu, Genelleştirlmiş er e Poydo er 4. Dolaylı e Koşullu Ölçüler Dengelemei 4. Dolaylı Ölçület Dengelemei 4. Dolaylı Ölçüler Đçin lternati Çıkarım 4.3 Koşullu Ölçüler Dengelemei 5. Bilinmeyenler raında Koşul Denklemleri Bulunan Dolaylı Ölçüler Dengelemei 6. Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemei 7. Bilinmeyenler raında Koşul Denklemeleri Bulunan Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemei 8. Dengeleme Heabı ürlerinin Karşılaştırılmaı e Birbirlerine Dönüşümü 8. Dolaylı e Koşullu Ölçülerin Birbirlerine Göre Ütünlükleri e Birbirlerine Dönüşümü 8. Dengelemenin En Genel Halinin Diğer Dengeleme ürlerine Dönüşümü 9. rdışık Dengeleme. Dinamik Ketirim (Ketirim, Süzgeçleme, Yumuşatma). Kalman Filtrelemei. Baye Filtrelemei. Kollokayon (Ketirim + Süzgeçleme). Jeodezik ğlarda Duyarlık e Güen Ölçütleri. Duyarlık Ölçütleri. Güen Ölçütleri.. Đç Güen Ölçütleri.. Dış Güen Ölçütleri 3. Dengeleme Sonuçlarının et Edilmei 3. Model eti 3. Uyuşumuz Ölçüler eti 3.3 Parametre eti 4. Kaynaklar 5. Ekler 5. et Dağılımlar 5. ablolar
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 3 / 8 ÖNSÖZ Dr. Orhan KUR 3 *Legendre, drien-marie (85), Nouelle méthode pour la détermination de orbite de comète, http://www.bibnum.education.r/mathematique/algebre/legendre-et-la-methode-de-moindre-carre
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 4 / 8 KULLNILN KISLMLR EKK GNSS En küçük kareler Global Naigation Satellite Sytem
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 5 / 8 KULLNILN SĐMGELER n u r m d B C K y Q y P w σ m ρ ij Ölçü ayıı ek anlamlı çözüm için gerekli ölçü (bilinmeyen) ayıı Koşul ayıı, bilinmeyenli koşul denklemi ayıı Bilinmeyenler araındaki koşul denklemi ayıı Serbetlik derecei Deekt ayıı Bilinmeyenlerin katayılar matrii Düzeltmelerin katayılar matrii Bilinmeyenler araındaki koşul denklemlerinin katayılar matrii Ölçüleri aryan-koaryan matrii Ölçüleri ter ağırlık matrii Ölçüleri ağırlık matrii Kapanmalar ektörü Birim ölçünün öncül kuramal duyarlığı Birim ölçünün öncül deneyel duyarlığı Birim ölçünün oncul duyarlığı i e j ölçüleri ararındaki korealyon katayıı
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 6 / 8. Giriş Đçerik HF : Derin Đçeriği e Kapamı Matematik model oluşturma. Rank deekti e genelleştirlmiş ter. Dolaylı e koşullu ölçüler dengelemei. Bilinmeyenler araında koşul denklemleri bulunan dolaylı ölçüler dengelemei. Bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemei. Bilinmeyenler araında koşul denklemleri bulunan bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemei. B dönüşümlerin bütün dengeleme modelleri kurulmaı. Matematik modeller araındaki ilişkiler. Matematik modeller ile ardışık ketirimler. Kalman Filtrelemei. Kollokayon, predikiyon e iltreleme. Bütün matematik model onuçlarının analiz edilmei. Content Mathematical modeling. Rank deect and generalized inere. Oberation and condition equation model. Oberation equation model with contraint. Mied model. Mied model with contraint. ranormation in D uing all mathematical model. Relationhip among the all mathematical model. Recurie parameter etimation or all mathematical model. Kalman iltering. Collocation, prediction and iltering. nalyzing the reult o the all mathematical model.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 7 / 8 HF : Matematik Model e maç Fonkiyonu. Matematik Model e maç Fonkiyonu.. Matematik model Bir problemi çözebilmek için yapılan ölçüler ile matematik model oluşturulur. Matematik model iki kıımdan oluşur. Birincii, ölçüler ile bilinmeyenler araındaki geometrik e izikel ilişkileri yanıtan onkiyonel modeldir. Đkincii ie, ölçüler araındaki cebrik yada izikel ilişkileri eya her ikiini birlikte yanıtan tokatik modeldir.. Fonkiyonel Model Mühendilik problemlerinin çoğunda deneyel ölçüler yapılmaktadır. Bu deneyel ölçüler ile elde edilen onuçların güenirliklerini artırmak için gereğinden azla ölçü yapılır. Eşit ağırlıklı e korelayonuz kabul edilen ölçüler ön değerlendirmeden geçirildikten onra, diğer ölçü e büyüklükler araındaki geometrik e izikel özelliklerle onkiyonel olarak ilişkilendirilir. Bu aşama matematik modelin onkiyonel kımını oluşturur. Ölçü ayıı (n), bilinmeyen Sayıı (u) e erbetlik derecei (n-u) olmak üzere; onkiyonel model aşağıdaki üç tipte kurulabilir. ] [ L [ L u y n y y y ] Bilinmeyenler Ölçüler Γ ( y) Ölçüler araında ilişkilere göre kurulan onkiyonel model y Φ( ) Bilinmeyenlerin onkiyonları olan ölçüler ile onkiyonel model Ψ ( y, ) Ölçüler e bilinmeyenler ile kurulan onkiyonel model Bazı durumlarda kurulan onkiyonel model ek (m) adet koşul ile deteklenebilir. Λ ( ) Bilinmeyenler araında oluşturulan koşul denklemleri.. Stokatik model Ölçülerin duyarlıklarını, ölçüler araındaki izikel yada cebrik eya her ikiini birlikte yanıtan modeldir. Σ D{} Σ y D{y} Bilinmeyenlerin aryan-koaryan matrii Ölçülerin aryan-koaryan matrii Not: D {*} ; * nin parametre grubunun açılım matrii operatörüdür. Bu notlarda E {*} da * nin parametre grubunun umut değerini göterecektir. µ y E{y} µ E{} Ölçülerin umut değeri Bilinmeyenlerin umut değeri.3. maç Fonkiyonu Ölçüler araındaki tutarızlıkları gidermek için de amaç onkiyonlarından yararlanılır. Bunlardan en iyi bilineni En Küçük Kareler (EKK) amaç onkiyonudur. EKK amaç onkiyonu ile edilen ölçüler e parametreler, gerçek değer olma olaılıkları en büyük olan değerlerdir.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 8 / 8 Korelayonuz e eşit ağırlıklı alınan normal dağılımlı iki ölçü kümei y j ~ N( µ y, σ y ), y k ~ N( µ y, σ y ) e ölçü hataları y j e µ y ε ~ (, ) j j N σ y j, y k e µ y ε ~ (, ) k k N σ y k olmak üzere aryan e ko-aryan aşağıdaki bağıntılar ile heaplanır. j j k k y j j σ E{ ε ε } σ E{ ε ε } σ E ε ε } j yk k k y j yk { j k ρ y j y k σ y j yk σ y σ j yk Burada [ L ] e bir ektörüdür. Yukarıdaki gibi kendi içeriinde eşit ağırlıklı e korelayonuz, m olduğu arayılan ölçü gruplarını ortalama değerleri, korelayon katayıları e ortalama değerlerinin aryanları ketirilir. Bu ölçü grupları araındaki izikel e geometrik ilişkiler ile kurulan yeni model çok değişkenli (multiariate) model olarak tanımlanır. Ön değerlendirme onucu elde edilen ölçüler ektörü [ y y L ] y, çok değişkenli modelden elde edilecek umut değerleri µ [ µ µ L ] ile y n y y y µ y n göterilir. Bu modelin gerçek hatalar ektörü i y µ y ε olur. Bu ölçü kümeinin aryan-koaryan matrii ön değerlendirme onuçlarından yararlanarak aşağıdaki şekilde oluşturulur. Σ y σ σ L σn σ σ σ L n L L L L σ n σ n L σ n Normal dağılımlı ölçüler y ~ N( µ y, Σ y ) çok değişkenli olaılık onkiyonu, y ~ N( µ y, Σ y ) yada ( y) n (π ) det Σ y e ( yµ y ) Σy ( yµ y ) n {(π ) det Σ }.5 y ep{ ( y µ y ) Σ y ( y µ y ) / } ε ~ N(, Σ y ) ( ε) (π ) n det Σ y e ε Σ y ε n.5 {(π ) det Σ y} ep{ ε Σ y ε / } şeklinde göterilir. Bu olaılık onkiyonunun belli bir aralıkta makimum değer alabilmei için, negati ekponaniyelin minimum olmaı gerekir. ( y µ y ) Σ y ( y µ ) ε Σ y y ε min EKK amaç onkiyonu y P e Σ σ σ abit bir değer olduğundan, yukarıdaki amaç onkiyonu; ε Pε min şeklindeki yaygın olarak bilinen EKK amaç onkiyonuna dönüşür. Umut değeri E { } ε ( E { y ˆ} µ y ) olan düzeltmeler ektörü Gerçek hatanın umut değeri olan yˆ y düzeltme değeri kullanılarak da EKK amaç onkiyonu aşağıdaki şekilde yazılır. P min Uygulamalar: 6 7 7 6 7 6 y Φ( ) ( ) + ( y y ) y Φ ) (
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 9 / 8 Uygulama : Hazır beton üreten bir irmada, aynı koşullar altında üretilen kirişlerin bir türüne belli zaman aralıklarında aynı anda uygulanan 5 adet beton baınç dayanım ( ck ) e donatı çeliği çekme dayanımı ( yk ) tetleri yapılmış e bu tet değerleri aşağıda erilmiştir. i ck[mpa] yk[mpa] i ck[mpa] yk[mpa] d 47. ±. mm b w 5. ±. mm.8 47. 6 8. 46.8 R 8. ±.9 mm 7.3 43. 7.6 46.6 φ. ±.9 mm 3.9 46.9 8 7.9 43.6. ±4.7 mm 4 8.5 44.6 9 8.3 48.4 5 9.6 48.8 3 5.6 43.7 6 8.9 4.5 3.6 46. 7 3.9 48.5 3.5 4.8 8.3 48.5 33 5.9 44.3 9.4 46.6 34 9. 4.7.8 45.4 35 9.4 49. 8.9 4.8 36 5.8 49.8 8. 43. 37. 49. 3 4.7 48.4 38.8 45.4 4 6.4 44. 39.7 48.4 5 8.7 48.9 4 4.4 4.3 6. 49. 4 3.3 44. 7.6 4.4 4 3.7 4.5 8. 4.4 43 4. 48.6 9 8.8 4.8 44 9.5 46.6.5 46.6 45 7.4 4.4. 49. 46 9.9 43.3 6.9 434.6 47. 44.3 3 6.8 4.9 48 7.4 44.7 4. 45.7 49. 45. 5.5 46.9 5 9.6 4.9 Min:.9 46.6 Ma: 6.8 434.6. 5 şer kez ölçülen bu tet değerini ınılara ayırtarak hitogramlarını çiziniz. Hitogram üzerinde bu örneklemeye ait normal dağılım onkiyonunu çiziniz.. Her bir tet ölçüünün kein değerlerini e kein değerin tandart apmalarını heaplayınız. 3. Yapılan tetlerin kuramal ortalamalarının e kuramal ortalamanın tandart apmaının güen aralıklarını heaplayınız. 4. Yapılan tetler araındaki aryan-koaryan e izikel korelayon katayılar matrilerini heaplayınız. 5. V e M bağıntılarında yer alan ck e yk değişkenlerini tokatik, diğer değişkenleri (d, b w, R, n 3, φ, ) abit değerler olarak kabul ederek; V e M büyüklükleri araındaki korelayon katayıını (ρ VM ) heaplayınız. V e M değerlerinin %95 güenirlikli, güen bölgelerini belirleyiniz. Σ σ σ ck σ ck ck yk σ yk yk δ G δ σ V σvm Σ G Σ G σvm σm 6. V e M bağıntılarında yer alan bütün değişkenleri ( ck, yk, d, b w, R, φ, ) tokatik olarak kabul ederek; V e M büyüklükleri araındaki korelayon katayıını (ρ VM ) heaplayınız. V e M değerlerinin %95 güenirlikli, güen bölgelerini belirleyiniz. 7. yk a + b ck şeklinde erilen doğrual regreyon modelini heaplayınız. Bu model için ketirdiğiniz a e b katayılarının %95 güenirlikle anlamlılıklarını tet ediniz.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 BĐLGĐ: BĐLGĐ: BSĐ BĐR KĐRĐŞĐN KESME KUVVEĐ e EĞĐLME MOMENĐ HESPLRI: BSĐ BĐR KĐRĐŞĐN KESME KUVVEĐ e EĞĐLME MOMENĐ HESPLRI: Beton baınç dayanım ( ck ) e donatı çeliği çekme dayanımı ( yk ) değerleri ölçülen tek donatılı bir kirişin, keme kueti e eğilme momenti heapları aşağıdaki bağıntılarla gerçekleştirilir (Şekil ). { Not: Kuet N (Newton), uzunluklar (mm) e baınç MPa (N/mm ) olarak alınmıştır }. (a) (b) Şekil-. Bait kirişin (a) enine e (b) boyuna keiti. Ölçülenler ck [MPa] Beton baınç dayanımı (µ ck -5MpaN/mm ) yk [MPa] Donatı çeliği çekme dayanımı (µ yk 4MpaN/mm ) h [mm] Kirişin yükekliği (µ h 5mm) d [mm] Kirişin aydalı yükekliği (µ d 47mm) b w [mm] Kirişin genişliği (µ bw 5mm) R [mm ] Çekme donatıının çapı (φ8mm) n [ ] Çekme donatıının ayıı ( 3 ) [mm ] Çekme donatıının keit toplam alanı (3φR ) φ [mm] Etriye keiti çapı (mm) [mm] Etriyelerin aralıkları (mm) V C [N] Keme kuetine beton katkıı (N) V S [N] Keme kuetine etriye katkıı (N) V [N] Keme kueti (N) M [Nmm] Eğilme momenti (Nmm) Heaplananlar: (a) Foniyon değerlerinin Heaplanmaı V c V V + ck w yk yk b.59 d M ck w c d V.8 b R.5 n π R.75 π d V yk φ R ) R (.5 δ π δ (b) Foniyonların ölçü değerlerine göre doğruallaştırılmaı e hata yayılma kuralı. δ δ M V φ φ M M R M d M b M h M M M V V R V d V b V h V V V w yk ck w yk ck δ δ δ δ δ δ δ δ φ R d b h w yk ck F δ δ h d b w
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 ck w ck d b.9 V d V yk φ h V ck w.8 d b V.8 b d V yk ck w φ + R V d V yk φ yk d V φ ck w yk ck b.59 M ck w yk yk b.8 d M h V ck w ck yk w b.59 b V yk d V ck w yk yk b R.36 R d R V V φ V F δ δ F φ φ M M R M d M b M h M M M V V R V d V b V h V V V w yk ck w yk ck F F Σ Σ σ σ σ σ M VM VM V σ σ σ σ σ σ σ σ Σ φ R d w h yk yk ÇÖZÜM: () ck nin Hitogramı yk nin Hitogramı () n 5 ± 3. MPa µ ck 9.9 MPa ck ±.4 MPa n 5 ± 5.96 MPa µ ck 49.3 MPa ck ±.84 MPa
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 (3) P( 9.7 MPa < µ ck <.73 MPa ).95 P( ±.36 MPa < S ck < ±.53 MPa ).95 P(47.37 MPa < µ yk < 4.68 MPa ).95 P( ±.7 MPa < S yk < ±.5 MPa ).95 (4) K 9. -.49 MPa² R -.3 %-3 -.49 35.5 (5) V 586.66 N M 38478.6 Nmm Σ 3636.58 66575.94 MPa² R.73 %73 66575.94 78394664.97 P( 39.47 N < µ V < 78.86 N ).95 P( ±85.73 N < S V < ±65.4 N ).95 P(3759687.68 Nmm< µ M < 38969.54 Nmm).95 P(±996.3 Nmm< S M <±444457.86 Nmm).95 (6) V 586.66 N M 38478.6 Nmm Ky 59864. 37443.9 MPa² R.8 %8 37443.9 63643678786.9 P( 575. N < µ V < 9598.33 N ).95 P( ±96. N < S V < ±86.4 N ).95 P( 337768.7Nmm < µ M < 638389.5 Nmm).95 P(±73349.Nmm< S M <±59694.6Nmm).95 (7) yk 4.4 -.545 ck S ±6.8 MPa S a ±5.76 MPa S b ±.9 MPa a 7.9 b.9 Z %95.64
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 3 / 8 Uygulama : Bağıl yatay hareketlerin izlenebilmei amacıyla Kuzey nadolu Fay ının (KF) her iki taraını kapayan bir kenar ağı taarlanmıştır (Şekil). Đlk yıl gözlemlerin değerlendirmei onucu elde edilen koordinatlar ablo- de erilen ağda, iki yıl onra gerçekleştirilen kenar ölçüleri EUÖ ile yapılmış e bu kenarların projekiyon yüzeyine indirgenmiş değerleri ablo- de erilmiştir. Şekil-. Sürekli Mikro Jeodezik Deormayon ğı. ablo-.. Yılda Elde Edilen Koordinatlar NN [m] y [m] N3 45977.48 48473.38 N4 4584.9 494664. N6 4596.3 49466.7 N7 4558.6 4874.5 Dilim Orta Meridyeni3 o. 3 kez ölçülen her bir kenara ait ölçüleri ınılara ayırarak hitogramlarını çiziniz.. 3 kez ölçülen her bir kenar ölçülerinin kein değerlerini e kein değerin kareel ortalama hatalarını heaplayınız. 3. Ölçülen kenarlar araındaki korelayon katayıını heaplayınız. 4. 3 kez ölçülen her bir kenar ölçülerinin kein değerlerinin e kein değerlerinin kareel ortalama hatalarının güen aralıklarını heaplayınız. 5. N3 e N4 noktalarında bir değişim olmadığı bilindiğine göre; N6 e N7 noktalarının koordinatlarını heaplayınız. 6. Değerlendirme onucunda elde edilen KOH nın güen aralığını heaplayınız. 7. N6 e N7 nokta koordinatlarının e nokta konumlarındaki değişimin güen aralıklarını belirleyiniz. 8. α.95 e α.99 güenle deormayon miktarlarını (N6 e N7 nokta konum değişimlerini) belirleyiniz.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 4 / 8 ÇÖZÜM: ablo-. Kenar Ölçüleri (Ortalamalar e Ortalamaların Duyarlıkalrı) y y y 3 y 4 y 5 DN BN DN BN DN BN DN BN DN BN N6 N7 N6 N3 N6 N4 N7 N3 N7 N4 357.7 9478.955 545.894 494.639 883.7 357.6 9478.964 545.897 494.633 883.77 3 357.64 3 9478.958 3 545.94 3 494.6 3 883.9 4 357.6 4 9478.959 4 545.9 4 494.653 4 883.79 5 357.79 5 9478.945 5 545.897 5 494.646 5 883.68 6 357.75 6 9478.95 6 545.96 6 494.69 6 883.5 7 357.64 7 9478.99 7 545.94 7 494.67 7 883.77 8 357.53 8 9478.966 8 545.886 8 494.69 8 883.59 9 357.85 9 9478.98 9 545.98 9 494.69 9 883.7 357.54 9478.97 545.894 494.65 883.9 357.79 9478.956 545.9 494.64 883.8 357.65 9478.959 545.935 494.64 883.8 3 357.6 3 9478.94 3 545.89 3 494.659 3 883.9 4 357.8 4 9478.96 4 545.873 4 494.64 4 883.5 5 357.6 5 9478.973 5 545.98 5 494.645 5 883.54 6 357.68 6 9478.98 6 545.87 6 494.649 6 883.8 7 357.6 7 9478.96 7 545.893 7 494.643 7 883.45 8 357.86 8 9478.95 8 545.94 8 494.64 8 883.75 9 357.68 9 9478.989 9 545.896 9 494.6 9 883.64 357.97 9478.98 545.888 494.63 883.87 357.7 9478.94 545.893 494.637 883.6 357.47 9478.958 545.899 494.648 883.8 3 357.74 3 9478.974 3 545.98 3 494.65 3 883.67 4 357.67 4 9478.958 4 545.95 4 494.636 4 883.56 5 357.37 5 9478.943 5 545.89 5 494.646 5 883.86 6 357.56 6 9479. 6 545.9 6 494.65 6 883.6 7 357.5 7 9478.94 7 545.897 7 494.69 7 883.49 8 357.7 8 9478.968 8 545.89 8 494.64 8 883.84 9 357.67 9 9478.943 9 545.9 9 494.65 9 883.9 3 357.68 3 9478.977 3 545.98 3 494.63 3 883.56 () HİSOGRMLR y -Kenarı y -Kenarı y 3 -Kenarı y 4 -Kenarı [m y 5 -Kenarı
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 5 / 8 () ------------------------------------------------- j n ±σ j [mm] y j [m] ±σ yj [mm] ------------------------------------------------- 3.8 357.6673. 3 6.66 9478.9643 3.4 3 3 4.3 545.97.6 4 3. 494.6367.3 5 3 6.7 883.7 3.5 ------------------------------------------------- (3). -.3. -.34.4 4.95 -..55 -.68.3 mm². -.6 -.3 -.5 9.5 -.49 -.58 -.3 R. -.39.33 Σ y 6.83 -.6.63..5 4.98.37. 9.3 (4) P( 357.6 m < µ y < 357.7 m ).95 P(.78 mm < σ y <.97 mm ).95 P( 9478.96 m < µ y < 9478.97 m ).95 P(.43 mm < σ y < 4.7 mm ).95 P( 545.9 m < µ y3 < 545.9 m ).95 P(.9 mm < σ y3 < 3.49 mm ).95 P( 494.63 m < µ y4 < 494.64 m ).95 P(.78 mm < σ y4 <.98 mm ).95 P( 883.7 m < µ y5 < 883.8 m ).95 P(.44 mm < σ y5 < 4.8 mm ).95 (5) NN Yukarı [m] Sağa [m] N3 c c N4 c 3 c 4 N6 N7 3 4 [ 3 3 3 4][ 4]+[ 4] ( ) ϕ ŷφ( )[ϕ ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ( )][ ( 3)+( 4) ( c ) +( c ] ) ( c 3 ) +( c 4 ) Pσ ( 3 c ) +( 4 c ) ( 3 c 3 ) +( 4 c 4 ) ŷ ŷ[ŷ ŷ 3 ŷ 4 y y 3 3 y 4 4 ŷ 5][y y 5]+[ 5] Σ y σ ±. mm σ ±.73 mm 4596.99963 m 9.9 3.7-4. 6.83 mm² 49466.673 Σ 3.79-33.4 9.55 4558.793 6.5-35.9 4874.48497 9.84
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 6 / 8 (6) P(.38 mm < <.3 mm ).95 (7) -3.37 mm 9.9 3.7-4. 6.83 mm² d -36.88 Kd 3.79-33.4 9.55-3.7 6.5-35.9-35.3 9.84 P( 4596.9988 m < _N6 < 4596.837 m ).95 P( 49466.6536 m < y_n6 < 49466.6939 m ).95 P( 4558.793 m < _N7 < 4558.3793 m ).95 P( 4874.4669 m < y_n7 < 4874.5386 m ).95 (8) d 47.77 mm Kd.58 4. mm² 47. 7. d_n6 47.77 mm d_n7 47. mm m_n6 ±.3 mm m_n7 ± 5. mm P( 8. mm < d_n6 < 67.43 mm ).95 d_n6 8. mm P( 37.3 mm < d_n7 < 57.4 mm ).95 d_n7 37.3 mm P(.94 mm < d_n6 < 73.6 mm ).99 d_n6.94 mm P( 33.83 mm < d_n7 < 6.6 mm ).99 d_n7 33.83 mm Kaynaklar hmet OPÇU (), Betonarme I, Ekişehir Omangazi Ünieritei, 9 ralık. http://mm.ogu.edu.tr/atopcu/inde_doyalar/derler/betonarme/sunular/betonarme 4.pd ydemir ZORBOZN (), Betonarme I Uygulamaları, Örnek 4. http://www.yildiz.edu.tr/~caydemir/bet/o4by.pd Orhan KUR (), Olaılık-Đtatitik Der Notları, KOÜ, Müh. Fak., Đnşaat Mühendiliği Bölümü. Polat, Z. (), 8. KESME e BURULM, Yıldız eknik Ünieritei, 9 ralık. http://www.yildiz.edu.tr/~hendekci/zp_keme_burulma_9may9.pd Şeket ÖZDEN (), Betonarme Der Notları, KOÜ, Müh. Fak., Đnşaat Mühendiliği Bölümü.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 7 / 8 3. Doğrual Denklem Çözümleri 3.. am ranklı doğrual denklem takımı çözümü y HF 3: Doğrual Denklem Çözümleri n, u u n Matri göterimi ile Genel Doğrual Denklem akımı n e u Satır e ütun ayıı, n,u n*u boyutlu katayılar matrii, u u boyutlu bilinmeyenler ektörü, y n n boyutlu abit terimler ektörü, olmak üzere; genel denklem çözüm üç şekilde gerçekleştirilir. ) n u ie det{ } olmak koşulu ile ek nlamlı Çözüm aşağıdaki gibi bulunur. u u, u yu Bilinmeyenlerin çözümü ) n < u ie tek anlamlı çözüm için Lagrange Dönüşümü nden yararlanılır. [ ( ) ] y Bilinmeyenlerin çözümü u u, n Qu, u ( ) n Bilinmeyenlerin ter ağırlık matrii 3) m > n ie tek anlamlı çözüm için Gau Dönüşümü nden yararlanılır. [( ) ] y Bilinmeyenlerin çözümü u Q u, n u, u ( ) n 3.. Rank bozukluğu, genelleştirilmiş ter e poydo ter. Bilinmeyenlerin ter ağırlık matrii 3... Genelleştirilmiş er (Generalized Inere) rank( n,n )n ie - - I ardır. Benzer şekilde tam atır ya da tam ütun ranklı bir dikdörtegen matriinde teri tanımlanabilir. ) rank( m,n )m ( m < n ) olun rank( )m olur. ( ) ( ) I m ardır. I m ( ) { ( ) } B B n,m matriinin m, n matrii ile çarpımı I m olur. B matriine matriinin ağ teri (right inere) denir. n,m m, n rank( C ) m ile B C ( C ) de matriinin ağ teri olduğundan B matrii tek anlamlı değildir. Uygulama 3: şağıdaki,3,3 matrinin ağ terini heaplayınız. rank() B 3, / 6 5,3 B 3, I, ) rank( m,n )n ( n < m ) olun rank( )n olur. ( ) ( ) I n ardır. I n ( ) {( ) } B B n,m matriinin m, n matrii ile çarpımı I n olur. B n,m matriine m, n matriinin ol teridir (let inere) e ağ ter gibi tek anlamlı değildir.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 8 / 8 Uygulama 4: şağıdaki 3, 3 3 5,3 matrinin ağ terini heaplayınız. rank() B 7,3 / 3 4 8 5 B,3 3, I, 3) ) e ) de tanımlanan ağ e ol terlerde çarpım ıraları değiştirilerek yeni terler elde edilir. Bu terler ile elde edilen birim matrilerle olağanütü (etraordiner) birim matriler tanımlanır. 3... Genelleştirilmiş er (Generalized Inere) Bu aşamaya kadar erilen ter tanımları; düzgün kare matri e tam ütun ya da tam atır rankı dikdörtgen matriler için yapılmıştır. Bu başlık altında herhangi ranklı bir dikdörtgen matriin terinden bahedilecektir. anım: koşulunu ağlayan nm boyutlu denir. n,m matriine mn boyutlu matriinin genel teri Genelleştirilmiş terlerin özellikleri: rank ( m,n )r, m n e r k n olun; rank( )k olabilecek ) ( ) ) ( ) 3) ( ) 3) ( ) ardır. eşgüçlüdür (idempotent matri ) e rank( ) rank( ) ( ) G, ( ) F olun, ) G ( ), F ( ) ) G e F ; G e F nin imetrikliklerinden bağımız imetriktirler. 3... Releki Genelleştirilmiş er (Releie Generalized Inere) anım: r e r r r ar ie matriine matriinin releki genelleştirilmiş teri (relekie generalized inere) denir. Releki genelleştirilmiş ter özellikleri: r r rank( r r r ar ie )rank() ar ie n,m matriine r n,m matrii nın imetrik releki teri olan ( ) r n,m m,n m,n matriinin releki genelleştirilmiş m,n matriinin releki genelleştirilmiş teridir. poziti ön tanımlıdır (pozitie emi deinit). 3...3. ekil (Singüler) Matrilerin Genel terlerinden Birinin Bulunmaı det( n,n ) ie n, n matrinin en az bir atır ya da ütunu doğual bağımlı demektir. Doğrual bağımlı atır ya da ütun, matrinin on atırına ya da ütununa gelecek şekilde düzenlenire matrii aşağıdaki gibi elde edilir. rank( n,n ) r < n, dn-r (rank bozukluğu, rank deekti) r,r n,n d,r r,d d,d r,r n,n d,r r,d d,d
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 9 / 8 3...4. Poydo er (Peudo Inere) a) Poydo teri + ( ) ( ) dan heaplanmaı anım: + matriinin bir genel teri olan matrii; m,n n,m + + + + ( + ) + ( + ) + koşullarını ağlıyora matriinin Poydo eri ya da Moore-Penroe eri olarak adlandırılır. Poydo matri için aşağıdaki özellikler geçerlidir. Herhangi bir matriin poydo teri + ( ) ( ) ile heaplanır. ( + ) + matrii nn boyutlu düzgün (regüler) bir matri ie; r + dir. ( ) + ( + ) ie + ( + ) matrii tam atır ranklı e B matrii tam ütun ranklı ie; + ( ) e B + ( B B ) B dir. Burada + ; matriinin ağ teri e B + ; B matrinin ol teri olarak da adlandırılır. rank( + ) rank( ) Simetrik n,n S D S matriinin izi özdeğerler matriinin izine eşittir. iz( + ) iz( D ). Poydo ter matriin izi nn matriinin genel terlerinden izi minimum olandır. iz( + ) min. Uygulama 5: şağıdaki matriinin Poydo (Moon-Penroe) terini bulunuz.,3 4 Çözüm:,3 matrinin birnci atırı ile çarpılır ie ikinci atır elde edileceğinden, rank(, 3 )< olur. 6, rank( ) < olduğundan,( ) /6 4 5, rank( ) < olduğundan, ( ) /5 4 ( ) /6 ( ) /5 4 + ( ) ( ) /3 4 Kontrol : ( + ) + /5 4 Kontrol : ( + ) + /6 4 6 6 Kontrol 3: + /6 4 4 6 Kontrol 4: + + + / (6 3) 6 /3 4 4
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 b) ekil Değer yrıştırmaı Đle Çözüm Her hangi bir matri tekil değerlerine ayrıştırılabilir. Đki ortogonal e bir köşegen matriten oluşan ayrıştırılmış matriler yardımı ile Genel ter yada Poydo er kolayca heaplanabilir. Bir matri ( n, u ); ütün ortogonal olan bir S n,u ( S u,n S n,u I u, u ), bir ortogonal matri D u,u ( D u,u D u, u D u, u D u, u I u, u ) e bir köşegen V u, u matrilerine aşağıdaki şekilde ayrıştırılabilir. n, u u y n n, u S n, u V u,u D u, u Doğrual denklem takımı matriinin tekil değerlere ayrıştırılmaı Bu ayrıştırma onucunda elde edilen matriler yardımı ile matriin genel yada poydo teri aşağıda erilen bağıntılar ile heaplanabilir. rrank{ n, u } matrinin rankı u, n D u, u V u, u S u, n + u, n D u, u V + u, u S u, n [/ / / uu] V u, u / ] [/ + / rr V u, u u u, n y n d min { n, u} r Rank deekti ayıı u + u, n y n d min { n, u} r> Çoğunlukla n u jeodezik problemlerin çözümde yukarıda erilen bağıntılar kullanılır. n<u olan çözümler için Pre d., ) kaynağında aya 65'e bakınız. 3...5. Simetrik Matrilerin Genelleştirilmiş erleri (Generalized Inere o Simetrical Matri) a) N N N u,n n, u u, u imetrik matriinin rankı rank( u, u )rank( u, n )r<u dur. u, u matriin genel teri aşağıdaki gibi heaplanır. N N N N r,r r,d u,n n, u u, u N N N r,r r,d N u,u u, u r d,r d,d d,r d,d N matrii N u,u u,u matriinin hem genelleştirilmiş teridir, hem de releki genelleştirilmiş teridir ( N r ). u, u Uygulama 6: şağıdaki imetrik N matriinin genel terlerinden üç taneini bulunuz. N 3,3 4 Çözüm : Birici atırın ile çarpımı ikinci atıra e ile çarpımı üçüncü atıra eşit çıktığından, ikinci e N üçüncü atırlar birinci atırla doğrual bağımlıdır. rank( 3,3 ) < 3, d3 dir.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 N 3,3 N 3,3 / 4 N 3,3 Yukarıdaki genel terlere benzer olarak diğer lineer bağımız elemanlarla altı genel ter daha heaplanabilir. b) N u,u matrii özdeğer e özektörlerine ayrıştırılıra N u,u S D S S u,r D S r,r u,d d,r S r,d d,d S r,u d,u S u, r D S r,r r,u D r,r köşegen[ λ λ... λ r ] S : λi (i,,...,r) olan özdeğerlere karşılık gelen öz ektörler. u,r rank( D r, r )r, du-r (rank bozukluğu) N + D S u,u S u, r r,r r, u Uygulama 7: Uygulama 6 daki N 3,3 matriinin genel terlerinden biri olan poydo terini heaplayınız. Çözüm: rank( N 3,3 ) < 3, d3 dir. d adet özdeğer ıırdırdır. Matriin karakteritik polinomu aşağıdaki gibidir. P(λ) λ 3 + 6 λ (λ + 6 ) λ ie λ 6 e λ λ 3 dır. 6 / 6 D D D r [ /6 ] λ 6 5 ( N λ I 3,3 3, 3 ) ie y, için 5 z 5 6 S r S / 6 y z y den z N + 3,3 S r D r S r / 6 [ /6 ] / 6 [ ] /36 4 c) Poydo ter, imetrik matri aşağıdaki gibi alt matrilere ayrıştırılarak da elde edilebilir. N N Q Q N u,u r,r r,d Q N N e N + r,r r,d Q Q u,u u, u Q Q olun. dir. r,d d, r d,r d,d d,r d,d C r,r ( N N r, r r,r + N r, d N ) r,d
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları / 8 Q N r, r r,r Q Q r,d r, r Q, d d,d C N C N r,r r,r r,r r,r N N r,r r,d N N r r, r N r,d Uygulama 8: Uygulama 6 deki N 3,3 matriinin genel terlerinden biri olan poydo terini heaplayınız. Çözüm : Birici atırın ile çarpımı ikinci atıra e ile çarpımı üçüncü atıra eşit çıktığından, ikinci e üçüncü atırlar birinci atırla doğrual bağımlıdır. rank( 3,3 bağımlı atır e ütunlara göre alt matrilere ayrıştırılarak aşağıdaki gibi çözülür. N 3,3 4 N, [ ], N ) < 3, d3 dir. N 3, 3 matrii doğrual N [ ] N 4, C N N N, (,, +, N ) (+5) /6, Q N,, C, N, C N /36,, Q,, Q, N /36 [ ] Q,, N N,, Q 4 /36 N + 3,3 /36 4 Öde: Uygulama 4 de erilen imetrik matri N nin Poydo terini, herhangi bir matriin poydo terini eren N + N ( N N ) N (N N ) N bağıntıı ile heaplayınız. Kaynaklar lred LEICK (995), GPS Uydu Ölçmeleri, Đkinci Bakı, Willey, Intercience Publication. llan abjerg NĐELSEN (), En Küçük Kareler Dengelemei: Doğrual e Doğrual olmayan ğılıklı Regreyon nalizi, S.Sy. 53. http://www.imm.dtu.dk/pubdb/iew/edoc_download.php/84/pd/imm84.pd Edward M. MIKHIL, Friedrich E. CKERMNN (976), Gözlemler e En Küçük Kareler, homa Y. Cromell Company, Inc., ISBN: -7-48-5. Edward J. Krakiwky (994), Synthei o Recent dance in the Method o Leat Square, Department o Geodey and Geomatic Engineering, Uniertty o New Brunwick, Fredericton, N.B., Canada, Reprinted ugut 976 with Correction, Latet Reprinting October 994. http://gge.unb.ca/pub/ln4.pd Ergün ÖZÜRK e Muzaer ŞERBEÇĐ (989), djutment, Volume II, Publication o Karadeniz echnical Unierity, Faculty o Engineering and rchitecture, rabzon, urkey. Ergün ÖZÜRK e Muzaer ŞERBEÇĐ (99), djutment, Volume III, Publication o Karadeniz echnical Unierity, Faculty o Engineering and rchitecture, rabzon, urkey. Karl-Rudol KOCH (999), Doğrual modellerde parameter ketirimi e hipotez teti, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Newyork, ISBN-54-6557-4. Nico Sneeuw and Friedhem Krumm (), djutment heory, Geodätiche Intitut, Unierität Stuttgart, September 7,.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 3 / 8 Orhan KUR (), Sayıal Çözümleme, Der Notları, KOÜ, Müh. Fak., Đnşaat Mühendiliği Bölümü. Paul. CROSS (983), Đleri En Küçük Karelerin Konum Belirlemeye Uygulanmaı, Kuzey Doğu London Politeknik, ISBN--9738-6-. http://eabedhabitat.ile.wordpre.com///cro_994.pd Petr Vanicek (995), Introduction to djutment Calculu, hird Corrected Edition, Department o Geodey & Geomatic Engineering, Unierity o New Brunwick, Fredericton, N.B., Canada, Latet Reprinting October 995, http://gge.unb.ca/pub/ln35.pd William H. Pre, Saul. eukolky, William. Vetterling, Brain P. Flannery (), Numerical Recipe in C, he rt o Scientiic Computing, Second Edition, Cambridge Unierity Pre, United Kingdom, ISBN -5-438-5. URL http://en.wikipedia.org/wiki/singular_alue_decompoition ( Ekim 3). http://gge.unb.ca/pub/ln4.pd http://gge.unb.ca/pub/ln35.pd http://www.imm.dtu.dk/pubdb/iew/edoc_download.php/84/pd/imm84.pd http://ta.ulu.ru/emuhin/_inde/_pilocu/_git/doc/mycoureware/5-numethied/-reading/pd/other_book/rao_c.r.,_h.outenberg._linear_model.._leat_square_and_l.pd (7 Eylül 3). http://www.google.com.tr/url? at&rctj&q&erc&rm&ourceweb&cd3&edceiqfjc&urlhttp%3%f%fa.yimg.com %Fkq%Fgroup%F364%F75393448%Fname %F456note.pd&eirXg3UqKeihgemr4GQCg&ugFQjCNHdeNYdMoup659IX4uHc9EijiEg& igsyuuq4ldcbv-8zsj3dxg (7 Eylül 3)
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 4 / 8 HF 4: Dolaylıa e Koşullu Ölçüler Dengelemei 4. Dolaylı e Koşullu Ölçüler Dengelemei 4. Dolaylı Ölçüler Ölçüler Dengelemei Ölçüler bilinmeyenlerin onkiyonları şeklinde yazılır e EKK amaç onkiyonuna göre çözülür. n Ölçü ayıı u ek anlamlı çözüm için gerekli ölçü ayıı n-u Serbelik derecei + ŷφ( ) K y σ P y+φ( )+( Φ( ) ly Φ( ) ( Φ( ) ) ) Dengeli Ölçüler Bilinmeyenlerin onkiyonu ölçüler (Fonkiyonel model) Stokatik Model Đkinci derceden terimlerin ihmal edildiği aylor erii Ötelenmiş gözlemler Bilinmeyenlerin katayılar matrii l Q Pl * Duyarlık Heapları m P Q ( P ) Q ŷ Q Q P Q ŷ PQ y Matematik model Bilinmeyenler Bilinmeyenlerin ter ağırlığı Dengeli ölçülerin ter ağırlığı Düzeltmelerin ter ağırlığı 4. Dolaylı Ölçüler Đçin lternati Çıkarım y+φ( )+ w Q y wy Φ( ) Ω Q y k ( w) Ω Q y e+ k e e Ω k e e k [ Q y ][ k ] [ w ] [ k ] [ Q k Q Q y Q Q y w kq y (w ) Q y k w Q y Q Q ][ w ] Q y k +Q y kw N Q y Q N Q k Q y Q y Q Q y
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 5 / 8 * Duyarlık Heapları m Q y k w Q N Q k Q y Q y Q Q y Q Q y Q k Q y Q y Q Q ŷ Q y Q Q 4.3 Koşullu Ölçüler Dengelemei Kolullu ölçüler dengelemei yönteminde onkiyonel model, ölçülerin dengeli değerleri araındaki matematikel e izikel ilişkiler üzerine kurulur. Ölçülerin dengeli değerleri dengelemeden önce bilinmediğinden, dengeli ölçülerin yaklaşık değerlerini yeterince yanıtan ilk ölçüler yardımı ile doğrual olmayan dengeli ölçülerin onkiyonları taylor eriine açılalır. aylor eriinde ikinci e daha yükek dereceden terimler ihmal edilir e dengeli ölçülerin dieraniyelleri yerine düzeltmeleri yazılarak düzeltme koşulldenklemleri oluşturulur. n u n-u Ölçü ayıı ek anlamlı çözüm için gerekli ölçü ayıı Doğrual bağımız koşul denklemlerinin ayıı (Serbelik derecei) Ψ(ŷ) Ψ(y+) K y σ Q y Ψ(y)+( Ψ(ŷ) ŷ )ŷy Ölçülerin onkiyonları (Fonkiyonel Model) Stokatik Model Đkinci derceden terimlerin ihmal edildiği aylor erii B + w Q y Matematik model EKK amaç onkiyonu, düzeltme koşul denklemlerini ağlayacak şekilde Lagrange (Korelat) katayılarından yararlanarak genişletilerek koşullu ölçüler dengelemeinin amaç onkiyonu oluşturulur. Ω Q y +k (B +w) Lagrange Koşulu Lagrange koşulu düzeltmelere göre minimum yapılarak koşullu ölçülerin normal denklemelerine ulaşılır. Ω ( Q y +k B) e e Q y B k Korelat Denklemleri B Q y B k+w Normal Denklemler BQ y B k w Normal Denklemler k(b Q y B ) w Q y B k ŷy+ φ(ŷ) Normal Denklemlerin Çözümü (Korelatlar) Düzeltmeler Dengeli Ölçüler Sonuç Denetimleri
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 6 / 8 Dengeli ölçülerin onkiyonlarından yararlanarak duyarlık heapları yapılır. Dengeleme onuçları itatitik yöntemlerle tet edilir. Duyarlık Heapları Q y (k BQ y )Q y (Q y B k) Q y k B Q y B kk ( w) k w m Q y k w Q k (B Q y B ) Q Q y B Q k B Q y Q ŷ Q y Q Korelatların ter ağırlığı Düzeltmelerin ter ağırlığı Dengeli ölçülerin ter ağırlığı Koşullu ölçülerdeki normal denklemelerin boyutu koşul denklemlerinin ayıı (r r) kadardır. Dolaylı ölçüler dengelemeinde normal denklemlerin boyutunu bilinmeyen ayıı (u u) belirler. Dengeleme heabı cep heaplayıcıları ile yapılıyora, normal denklemlerin boyutunun dengleme yönteminin eçinde önemli olduğu unutulmamalı e hangi dengeleme yönteminde normal denklemlerin boyutu küçük ie o dengeleme yöntemi eçilmelidir. Dengeleme heabının dolaylı yada koşullu ölçüler yöntemlerinden herhangi birii ile yapılmaı dengleme onuçlarını değiştirmediği unutulmmalıdır. Korelayonlu ölçülerin dengelenmeinde koşullu ölçüler yöntemi daha hızlı onuç erir. Çünkü ölçülerin ağırlık matrii yerine ter ağırlık matrii ile koşullu ölçüler dengelemeinin her aşamaı heaplanabilir. Korelayonlu ölçülerde teri alınacak matriin en büyüğü ölçülerin (n n) boyutlu ter ağırlık matrii üzerinde gerçekleştirlir. Q y σ K y Stokatik Model B + w Q y Matematik model Ω Q y +k (B +w) Lagrange Koşulu Q y B k B Q y B kw k(b Q y B ) w Q y B k ŷy+ φ(ŷ) Korelat Denklemleri Normal Denklemler Normal Denklemlerin Çözümü (Korelatlar) Düzeltmeler Dengeli Ölçüler Sonuç Denetimleri
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 7 / 8 Uygulama 9: Bir üçgenin iç açıları ölçülmüş, ölçü değerleri duyarlıkları ile birlikte aşağıdaki tabloda erilmiştir. Verilenlerden yararlanarak üçgenin iç açılarının dengeli değerlerini; a) dolaylı ölçüler yöntemine göre, b) koşullu ölçüler yöntemine göre, heaplayınız e onuçları tartışınız. L 3 i L i (g) m i (cc) 4,35 ±3 L () 6,7 (y) L ±5 3 98,948 ±6 a) Dolaylı Ölçüler Denglemei Đle Çözüm : n3 u - Bilinmeyenlerin e bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin eçimi + + d L y y + dy y L - Fonkiyonel model oluşturulmaı l+φ() L + d -(L - ) L + y dy -(L - y ) L 3 + 3 g -y -d -dy -{L 3 (- -y )} 3 [ cc] d - dy - Stokatik modelin oluşturulmaı,,, c c 3 9 p ii P,36, m i,5 - Matematik modelin oluşturulmaı l P - Normal denklemler oluşturulmı, çözümü e bilinmeyenlerin keindeğerlerinin heaplanmaı P P l,5,5,6-5,5 5,5,874,357 Q( P ), 7857 [ cc] [ g] Q,83 4,3597 P l + 7,86 6,74 - Düzeltmelerin, dengeli ölçülerin heaplanmaı e onuç denetimleri l P,83 7,86,3 6,86 cc m - Duyarlık heapları K m Q Q l Q K l m Q l 54,5 54,4,874,3,6,3,6 [ cc] [ cc ],357,7857 3, 4,3597 L L + 6,74 88,93,95 98,946869 ±7,89 cc [ g] L +? Bilinmeyenleri aryan-koaryan matrii,543,486,949 [ cc ] Φ () Dengeli ölçülerin ter ağırlık matrii Dengeli ölçülerin aryan-koaryan matrii
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 8 / 8 b) Koşullu Ölçüler Denglemei Đle Çözüm i L i (g) m i (cc) 4,35 ±3 6,7 ±6 3 98,948 ±9 L 3 L () (y) L n3 Ölçü ayıı u ek anlamlı çözüm için gerekli ölçü ayıı r Koşul ayıı (erbetlik derecei) i,,...,n l i l i i Dengeli ölçüler - Fonkiyonel model oluşturulmaı l l l 3 g l - Ölçülere göre doğruallaştırma l l l 3 g 3 l l... l ll 3 cc B +w Düzeltme koşul denklemleri - Stokatik modelin kurulmaı q i m i p i c c9 cc q [..78 4. ] [q][ p] 7.78 - Lagrange Fonkiyonu e Normal Denklemlerin Kurulmaı Ω[ p] k( + + 3 ) p + p + p 3 3 k( + + 3 ) Ω i p i i k i p i k q i k i,,3 Korelat denklemleri Düzeltmeler düzeltme koşul denklemelrinde yerine konulura, normal denklmelere ulaşılır. [ k + w [q] k + w 7.78 k+ p] cc Normal denklemeler k.878 Korelat Korelat denklemlerinden düzeltmeler heaplanır. [.83 7.86.3 ] l [ 4.3597 6.74 98.946869] Düzeltmeler Dengeli Ölçüler - Sonuç Denetimleri l + l + l 3 g
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 9 / 8 HF 5: -l e C+w 5. Bilinmeyenler raında Koşul Denklemleri Bulunan Dolaylı Ölçüler Dengelemei Ölçüler ile bilimeyenler araındaki onkiyonel ilişkinin yanı ıra bilinmeyenler araında da koşullar olabilir. Bu türden problemler aşağıdaki şekilde dengelenir. n u m n+m-u + ŷy+ ŷφ( ) Γ( ) K y σ P Ölçü ayıı Bilinmeyen ayıı, Bilinmeyenler araındaki koşul ayıı Bilinmeyenler araındaki koşulların ayıı Dengeli blinmeyenler Dengeli ölçüler Bilinmeyenlerin onkiyonu ölçüler Bilinmeyenler araındaki koşul denklemleri Stokatik Model Yukarıdaki erilen onkiyonel model bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine göre aylor eriine açılıp ikinci daha yükek dereceden terimler göz ardı edilire aşağıdaki matematik model elde edilir. l C +w Düzeltme denklemleri Koşul denklmeleri (Φ ), C ( Γ ), ll Φ( ) e wγ( ) Düzeltme denklemleri koşul denklemleri ile birlikte EKK'e göre çözebilmek için aşağıdaki Lagrange koşulu yazılır. Ω( l) P ( l)+ k (C +w) Lagrange koşulu Ω P l P +l Pl+k C +k w Lagrange koşulu bilinmeyenlere e korelatlara göre minimumlaştırılır. Ω ( P l P +k C)e Ω k e (C+w) Minimumlaştırılan denklemler tekrar düzenlenerek normal denklemlere ulaşılır. [ P C C [ N C C [ k] [ ] [ k] [ + Pl w ] [ k] [ Q Q k C N ] [ ] Normal Denklemler Pl w ] N P MC N C N C Q k Q k ] [ Pl w ] Q N N C Q k CN Q k M Normal denklemlerden önce bilinmeyenler Gau algoritmaı ile indirgenir e korelatlar heaplanır. Daha onra korelatlardan yararlanarak bilinmeyenler bulunur.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 3 / 8 kq k (C N Pl+w) Korelatlar (Lagrange çarpanları) N ( Pl C k) Dengeleme bilinmeyenleri Daha onra dengeli bilinmeyenler, düzeltmeler e dengeli ölçüler heaplanır. Model teti e uyuşumuz ölçülerden önce duyarlık heapları yapılır. m ± P Soncul birim ölçünün kareel ortalama hataı Sonuçların tet edilmeinde kullanılan ter ağırlıklar aşağıdaki bağıntılar ile heaplanır. Korelatlara hata yayılma kuralı uygulanıra korelatların ter ağırlığı elde edilir. Q N N C Q k C N Bilinmeyenlerin ter ağırlığı Dengeli ötelenmiş gölemlerden l yararlanarak, dengeli ölçülerin ter ağılık matrii e bu matriten yararlanarak düzeltmelerin düzeltmelerin ter ağırlık matrii heaplanır. Q ŷq l Q Q Q y Q ŷp Q ŷ Dengeli Ölçülerin ter ağırlık matrii Düzeltmelerin ter ağırlık matrii Uygulama a: Bir dik üçgenin üç kenarı ölçülmüş ölçü değerleri ağırlıkları ile birlikte aşağıda erilmiştir. Đki dik kenarı birbirine yakın olan bu dik üçgende geçekleştirlen ölçüleri; a) dolaylı ölçüler yöntemine göre, b) bilinmeyenler araında koşul denklemleri bulunan dolaylı ölçülere göre, dengeleyerek onuçları irdeleyiniz. (a) Dolaylı ölçüler dengelemei ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ + K y [p p 3] p Çözüm: j y j [m] m j [cm]..75 99.98.5 3 4.4.5 y ( ) ( ) y y 3 (b) Bilinmeyenler araında koşul u (dik kenarlar birbirine eşit olun) bulunan dolaylı ölçüler dengelemei ile [ ] l [cm] [cm] 'P -.. -...77.77 -.43. [p].789 cm 'P Pl.3 cm 4.5.5 -.4.5 9.4998 -. Q.35 -.8 -. -.8.59 -.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 3 / 8 ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ + Γ( ) K y [p p 3] p y Qy..........5..77.77 -.487. N n C w 9.4998.5 -. 4.5 -.4. -. -3. Nz nz Qz z 9.4998.5. -..667.667.3333.8653.5 4.5 -. -.4.667.667 -.6667 -.347. -.. 3..3333 -.6667 -.8334-8.633 SN L L+ SN + 99.98.87 99.9887 99.98.87 99.9887. -.3 99.9887. -.3 99.9887 3 4.4.53 4.453 Karşılaştırma: σ,5 cm (a) (b) σ j [cm] P j [ ] j [m] j [m] j [m],75 4,,79 99,9887,5 9 99,98 99,979 99,9887,5 σ,3,355
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 3 / 8 Uygulama b: Bir üçgenin iç açıları ölçülmüş ölçü değerleri ağırlıkları ile birlikte aşağıda erilmiştir. Bir açıı dik e iki kenarı eşit olmaı itenen bu dik üçgende geçekleştirlen ölçüleri; a) dolaylı ölçüler yöntemine göre, b) bilinmeyenler araında koşul denklemleri bulunan dolaylı ölçüler yöntemine göre, dengeleyerek onuçları irdeleyiniz. σ m.5c j yj [m] mj [c] Pj [ ] 49.97.5. 5...5 3..5.36 y y 3 ( ) ( ) y Çözüm: (a) Dolaylı ölçüler dengelemei ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K y [p p 3] p c.5 j y j [m] 49.97 m j [c].5 P j [ ] j [m] 49.97 5...5 5. 3..5.36 u [ ] l [c] [c] 'P..4.... - - -..66 [p].368 'P Pl m.49 c.36.36.36.36.6.36 Q.763 -.53.4 -.53.3977. Bilinmeyenler j j [g] 49.97 j [c].4 j [m] 49.974 5.. 5. Dengeli Ölçüler j y j [g] 49.97 j [c].4 y j [m] 49.974 5.. 5. 3..66.66. m.49 c c
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 33 / 8 (b-) Bilinmeyenler araında koşul (taban açıları eşit olundik kenarlar birbirine eşit olun) bulunan dolaylı ölçüler dengelemei ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K y [p p 3] p Γ( )[ ][] aban çıları eşit olun [ ] l [c] Pj [ ],,,5 -, -, -,,36 N z z n3,36,36,36 m,36,6 -,36 u - k 4, Q z z [c],3,3,6333,69,69,3,3 -,3667 -,3 -,3,6333 -,3667 -,79 -,8 -,37 [p],5 m,36c Bilinmeyenler j j [g] j [c] j [m] 49,97,69 49,9969 5, -,3 49,9969 Dengeli Ölçüler j y j [g] j [c] y j [m] 49,97,69 49,9969 5, -,3 49,9969 3, m -,37,63,,36c l z c
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 34 / 8 (b-) Bilinmeyenler araında koşul (taban açılarının toplamı g olun üçüncü açı dik açı olun) bulunan dolaylı ölçüler dengelemei ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K y [p p 3] p Γ( )[ + g ][] aban çılarının toplamı g olun [] l[c] Pj[],5 - - -,36 N z z n3,36,36,36 m,36,6,36 u k, Q z z [c],377 -,377,693,38,38 -,377,377,377,6,6,693,377 -,53 -,74 -, [p] m 3,3,5c Bilinmeyenler j j [g] j [c] j [m] 49,97,38 49,9838 5,,6 5,6, Dengeli Ölçüler j y j [g] j [c] y j [m] 49,97,38 49,9838 5,,6 5,6, 3, m -,,,,5c l z c
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 35 / 8 (b-3) Bilinmeyenler araında koşul (Üçgen, ikizkenear dik üçgen olun üçgenin taban açıları eşit olun + taban açılarının toplamı g ) bulunan dolaylı ölçüler dengelemei ile çözüm. ŷ[ŷ ŷ ŷ 3]Φ( )[ ] Pσ g K y [p p 3] p Γ( )[ g] + [ ] aban çıları eşit olun aban çılarının toplamı g olun [] l[c] Pj[],5 - - -,36 N z z n3,36,36,36 m,36,6 -,36 u - 4, 3, Q z z [c],,,5,5 3, 3,,, -,5,5 -, -,,5 -,5 -,85,35 -,63 -,,5,5,35 -,75 -,74 [p],6 m,97c Bilinmeyenler j j [g] j [c] j [m] 49,97 3, 5, 5, -, 5, Dengeli Ölçüler j y j [g] j [c] y j [m] 49,97 3, 5, 5, -, 5, 3, m -,,,,97c k k l z c
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 36 / 8 HF 6: + B + w 6. Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemei Bazı problemlerin çözümünde kurulan onkiyonel modelde bilinmeyenler ile ölçüler koşul denklemlerinde yer alırlar. Bu tip problemlerin EKK yöntemine göre çözümü aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir. n u r r u [,,, u ] y[ y, y,, y n ] [,,, n ] K y Ψ(, ŷ) Ölçü ayıı Bilinmeyen ayıı Bilinmeyenli koşul denklem ayıı Serbetlik derecei Dengeli Bilinmeyenler Vektörü Ölçüler ektörü Düzeltmeler ektörü Ölçülerin aryan-koaryan matrii Bilinmeyenli koşul denklemleri Kurulan bilinmeyenli koşul denklemlerli ölçülere e bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine göre doğruallaştırılır. ŷy+ + Dengeli ölçüler Bilinmeyenlerin dengeli değerleri Ψ(, ŷ) Ψ(, y) + ( Ψ + ) (Ψ +,ŷ, y ŷ ), ŷ, y Doğruallaştırılmış koşul denkleminde dieraniyeller onucu elde edilen katayılar matrilerde, bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri e ölçü değerlerinden yararlanarak elde edilen kapanmalar ektörü yardımıyla bilinmeyenli düzeltme koşul denklemi oluşturulur. r u ( Ψ ), ŷ, y B r n ( Ψ ŷ ), ŷ, y w r Ψ(, y) Bilinmeyenlerin katayılar matrii Düzeltmelerin katayılar matrii Kapanmalar Ölçülerin aryan-koaryan matrii kullanılarak matematik model aşağıdaki şekilde kurulur. Fonkiyonel Model Stokatik Model +B +w Q y σ K y Matematik model Bilinmeyenli düzeltme koşul denklemlerinin tek anlamlı çözümü EKK amaç onkiyonuna eşdeğer olan Lagrange Fonkiyonu yardımıyla gerçekleştirilir. Ω Q y k ( +B +w) k[k a,k b,, k r ] Lagrange onkiyonu Lagrange çarpanları Lagrange Fonkiyonu düzeltmelere e bilinmeyenlere göre minumumlaştırılarak normal denklemler oluşturulur.
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 37 / 8 Ω Q y e k B e e Ω k e e Denklemler yeniden düzenlenerek aşağıdaki bağıntılara ulaşılır. Q y B k k Düzeltmeler Düzeltmeler bilinmeyenli düzeltme koşul denklmelerinde yerine yazılır, korelat koşul denklemleri e bilinmeyenler araındaki koşul denklemeleri normal denklemlerin imetri koşulunu ağlayacak şekilde düzenlenerek, normal denklemler oluşturulur. B Q y B k+ +w NB Q y B N k+ +w [ N ] Normal denklemler ] [ k ] [ w Denklem itemlerinin çok büyük olmadığı problemlerin çözümü doğrudan aşağıdaki gibi elde edilir. [ k ] [ Q k N Q Q N Q ] [ w ] M N Q M Q k N N Q N Q N w Bilinmeyenler k N ( +w) Korelatlar Q y B k Düzeltmeler Duyarlık heapları; Q y k N k k w m ± Q y r u Q Q y B Q k B Q y Q ŷ Q y Q Uygulama : Bir çember üzerinde ölçülerek elde edilen n adet koordinat çiti ( k,y k ) yandaki tabloda erildiğine göre; genel denklemi ( k a) +( y k b) R olan çemberin merkez M(a,b) koordinatlarını e R yarıçapını bilinmeyenli koşullu ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz. r Bilinmeyenli koşul ayıı n Ölçü ayıı (r) u3 Bilinmeyen ayıı k y 3.39 4. 9.4 46.69 3 3.55 5.78 4 6.53 5.8 5.88 46.67 6 8.7 4.3 7.85 33.33 8 6.55 9.4 9 3.5 9. 9. 33.3
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 38 / 8 * Bilinmeyen ayıı kadar eriden yararlanarak, bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin heaplanmaı (k,,3) [ k y k ][ a c] b [ k+ y k ], c R a b, R c+a +b w - [m] 3.39 4.. 93.47 -.4.37 -.3.8 9.4 46.69. 57.47 -..7 -.7 4.9 3.55 5.78. 566.6 3. -.34.3. a.794 m, b 4.879 m, R.8 m * Matematik Modelin Kurulmaı ψ j (â, b, R, j, ŷ j ) ( j â) +( ŷ j b) R j,,,r * Yaklaşık değerlere doğruallaştırma: j. koordinat çitine ait doğrual olmayan bilinmeyenli koşul denklemi doğruallaştırılır ie, bilinmeyenli düzeltme koşul denklemi aşağıdaki şekilde oluşturulmuş olur. [ ( j a ) R j ( y j b ) R j ][ da db dr] + [ ( j a ) R j ( y j b ) R j ][ j j] + [ R j R ] y [ N R j ( j a ) +( y j b ) ] [ k ] [ w ] B'QyB -w[cm].......... -.. -............ -.8 -.59 -. -........... -.3 -.95 -.............3 -.95 -. -.59...........8 -.58 -. -8.4............ -. -5.88...........8.59 -. -3.9...........3.95 -. -.8.......... -.9.96 -. -5.9.......... -.8.6 -. -8.84 ------------------------------------------------------------ ----------------- ------ -. -.8 -.3.3.8..8.3 -.9 -.8..... -.59 -.95 -.95 -.58..59.95.96.6.... -. -. -. -. -. -. -. -. -. -..... [ k ] [ Q k N M M N Q ] [ w ]
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 39 / 8 Qk k.7 -.6 -.6 -.4.6..6 -.4 -.6 -.6 -.. -..4745 -.6.7 -.6 -.6 -.4.6..6 -.4 -.6 -.6 -. -. -.7573 -.6 -.6.7 -.6 -.6 -.4.6..6 -.4 -.6 -.9 -..8589 -.4 -.6 -.6.7 -.6 -.6 -.4.6..6.6 -.9 -. -.795.6 -.4 -.6 -.6.7 -.6 -.6 -.4.6..6 -. -..865..6 -.4 -.6 -.6.7 -.6 -.6 -.4.6.. -..55.6..6 -.4 -.6 -.6.7 -.6 -.6 -.4.6. -. -.734 -.4.6..6 -.4 -.6 -.6.7 -.6 -.6.6.9 -..97 -.6 -.4.6..6 -.4 -.6 -.6.7 -.6 -.6.9 -..84 -.6 -.6 -.4.6..6 -.4 -.6 -.6.7 -.6. -. -.393 ------------------------------------------------------------ ----------------- ------ -. -.6 -.6.6.6..6.6 -.6 -.6 -. -. -..788. -. -.9 -.9 -....9.9. -. -. -. -7.875 -. -. -. -. -. -. -. -. -. -. -. -. -. 3.94 -Q [cm] ( N ) N w Q [m]....56.. 4.9..349 Q y B k Q [cm].7 -. -. -.6 -.5 -.5. -.3 -.5.4 -. -. -.5 -.4..4 -.5.5 -..6.4745..... -... -..... -. -.. -.. -. -.9.46.33 -.6 -..4 -.. -. -.5 -. -.7 -.5 -. -.5 -..3 -..8 -.4.4 -.5 -.5.3 -.9. -. -.4 -. -.5 -.3 -. -.3 -.. -.8.6 -.349.6..3 -.7.4 -.3.. -. -. -. -.3. -. -...5589.63.8 -.4.3 -.9.4. -.5 -.3 -.3 -.9. -.6 -.3..779.7 -. -.7.5 -.5 -. -. -... -..3 -...88.63. -.4.5..3. -. -.5.3 -.9.5 -.4 -.676.47 -.33 -. -. -. -.8 -. -.3 -..5 -.7.5 -.74.3.5..8.6... -.3.5 -.3.497.7. -. -.5 -.5 -.5. -.4 -.5.4 -.55. -. -. -. -.. -. -.. -.8.46.33 -.7 -..4 -.3.3 -...4 -.5 -.4.3 -.9. -..63.7.. -.8.4 -.3 -.66.63.7 -.4. -.9 -.89.6 -. -.6.5.377.64. -.5 -.337.45 -.34 -.96.5.6834 m ± Q y.76cm r u
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 4 / 8 HF 7: + B + w e C+w 7. Bilinmeyenler raında Koşul Denklemeleri Bulunan Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemei Bazı problemlerin çözümünde kurulan onkiyonel modelde bilinmeyenler ile ölçülerin koşul denklemleri yanı ıra bilinmeyenler araında da bazı kııtlamalar yer alabilir. Bu tip problemlerin EKK yöntemine göre çözümü aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir. n u r m Ölçü ayıı Bilinmeyen ayıı Bilinmeyenli koşul denklemi ayıı Bilinmeyenler araındaki koşul ayıı n r u m [,,, u ] y [ y, y,, y n ] [,,, n ] K y Ψ(, ŷ) Γ( ) Bilinmeyenler Vektörü Ölçüler ektörü Ölçüler ektörü Ölçülerin aryan-koaryan matrii Bilinmeyenli koşul denklemleri Bilinmeyenler araındaki koşul denklemleri Kurulan bilinmeyenli koşul denklemlerli ölçülere e bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine göre doğruallaştırılır. ŷy+ + Dengeli ölçüler Dengeli bilinmeyenler Ψ(, ŷ) Ψ(, y) + ( Ψ + ) (Ψ +,ŷ, y ŷ ), ŷ, y Γ( ) Γ( ) + (Γ + ) Doğruallaştırılmış koşul denkleminde dieraniyeller onucu elde edilen katayılar matrilerde, bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri e ölçü değerlerinden yararlanarak elde edilen kapanmalar ektörü yardımıyla bilinmeyenli düzeltme koşul denklemi oluşturulur. r u ( Ψ ), ŷ, y B r n (Ψ ŷ ), ŷ, y C m u (Γ ) Bilinmeyenlerin katayılar matrii Düzeltmelerin katayılar matrii Düzeltmelerin katayılar matrii w Ψ(, y) Bilinmeyenli koşul denklemi kapanmaları ( r ) w Γ( ) +B +w C +w Bilinmeyenli düzeltme koşul denklmleri Dengeleme bilinmeyenleri araındaki koşul denklemleri Ölçülerin aryan-koaryan matrii kullanılarak matematik model aşağıdaki şekilde kurulur. Fonkiyonel Model Stokatik Model
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 4 / 8 +B +w Q y σ K y Matematik model C +w Bilinmeyenli düzeltme koşul denklemlerinin tek anlamlı çözümü EKK amaç onkiyonuna eşdeğer olan Lagrange Fonkiyonu yardımıyla gerçekleştirilir. Ω Q y k ( +B +w ) k (C +w ) k [ k a,k b,, k r ] e k [ k, k t,, k m ] Lagrange onkiyonu Lagrange çarpanları Lagrange Fonkiyonu düzeltmelere e bilinmeyenlere göre minumumlaştırılır. Ω k e k C e e Ω Q l e k B e e Denklemler yeniden düzenlenerek aşağıdaki bağıntılara ulaşılır. Q y B k k +C k Düzeltmeler Korelatlar araındaki koşul denklemleri Düzeltmeler bilinmeyenli düzeltme koşul denklmelerinde yerine yazılır, korelat koşul denklemleri e bilinmeyenler araındaki koşul denklemeleri normal denklemlerin imetri koşulunu ağlayacak şekilde düzenlenarek, normal denklmeler oluşturulur. * Normal Denklemler [ N C C ] [k k ] [ w ] w NB Q y B * Normal Denklemlerin Çözümü [k ][ Q k N Q N M C Q k ] [ w Q N Q M C Q k k Q k CM N Q k C M Q k ] w M N HC M C Q k H Q M M C Q k CM Q k N N Q N Q y B k * Duyarlık Heapları r+m u m ± Q y Q Q y B Q k B Q y Q ŷ Q y Q
HR49 Dengelemede Özel Konular Der Notları 4 / 8 Uygulama : Uygulama 'de erileri kulanarak çemberin parametrelerini; merkez koordinatları araında ba e yarıçapınının R.m olacak şekilde heaplayınız. r Bilinmeyenli koşul ayıı n Ölçü ayıı (r) u3 Bilinmeyen ayıı m Koşul ayıı Bilinmeyen ayıı kadar eriden yararlanarak, bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin heaplanmaı (Uygulama 'den) a.794 m, b 4.879 m, R.8 m * Matematik Modelin Kurulmaı: bilinmeyenli düzeltme koşul denklemleri Uygulama ile aynıdır. Koşul denklemleri aşağıdaki şekilde kurulur. Γ( )[ Γ (â, b, Γ (â, b, R)] [ R.] â b [ ] C[ w ] [ 7.9 [cm].8 ] NBQ yb w.......... -.. -.............. -.8 -.59 -... -........... -.3 -.95 -...............3 -.95 -... -.59...........8 -.58 -... -8.4............ -... -5.88...........8.59 -... -3.9...........3.95 -... -.8.......... -.9.96 -... -5.9.......... -.8.6 -... -8.84 ---------------------------- ----------------------------------- ------------ C ------- -- -. -.8 -.3.3.8..8.3 -.9 -.8....... -.59 -.95 -.95 -.58..59.95.96.6... -... -. -. -. -. -. -. -. -. -. -....... ---------------------------- ----------------------------------- C ------------ ------- w --........... -.... -7.9............... -.8 Q k k.96 -.8 -.9 -.6 -..4.8.9.6. -.4 -.8..4. -7.6599 -.8.84 -.8 -. -.3.8.6.8.3.3 -.8 -.6... -8.85 -.9 -.8.8 -.4 -.3.9.8..4.4 -.9 -.8. -.7. -.935 -.6 -. -.4.9 -..6..4..3 -.6 -.3. -.3. -.46 -. -.3 -.3 -....3.3.. -. -.3. -.44. -9.968.4.8.9.6..96 -.8 -.9 -.7 -..4.8. -.4.99 -.37.8.6.8..3 -.8.84 -.8 -.3 -.3.8.6. -..99-4.936.9.8..4.3 -.9 -.8.8 -.4 -.4.9.8..6.99 -.796.6.3.4.. -.7 -.3 -.4.9 -.3.6.3..3.99-5.983..3.4.3. -. -.3 -.4 -.3.99..3..44. -9.539 ------------------------------------------------------------------ -Q --------------------- [cm] -.4 -.8 -.9 -.6 -..4.8.9.6. -.4 -.8..4. -6.699 -.8 -.6 -.8 -.3 -.3.8.6.8.3.3 -.8 -.6. -.. -6.449 -... -.. -. -. -. -.. -. -.... -.775 --------------------------------------------------------------------------------- Q k ------- k ---.4. -.7 -.3 -.44 -.4 -..6.3.44.4 -... -. -9.359......99.99.99.99.... -.. -4.6865