ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem ühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye UZAY ÇERÇEVE SİSTEERİN STİK-PASTİK ANAİZİ İÇİN BİR YÖNTE Erdem Damcı, Turgay Çoşgun, Tuncer Çelk, Namık K. Öztorun İstanbul Ünverstes, İnşaat ühendslğ Bölümü, İstanbul 8, Türkye ÖZET : Uzay çerçeve yapıların gerçeğe yakın davranışlarının ncelenblmes ve göçme mekanzmalarının belrleneblmes amacıyla br yöntem sunulmuştur. Eksenel kuvvetn rjtlğe etks dkkate alınarak, doğrusal olmayan eleman lokal rjtlk matrs elde edlmş, daha sonra global koordnatlarda yapısal sstem rjtlk matrs elde edlmştr. Kestlern maksmum yük taşıma ve plastk moment kapasteler gözönüne alınmıştır. Söz konusu matrs ve çalışmada sunulan algortma kullanılarak artan dış yükler altında doğrusal olmayan elastk-plastk analzler yapılmıştır. Anahtar Kelmeler :Elastk-plastk analz; doğrusal olmayan analz; knc mertebe etkler; sonlu elemanlar; uzay çerçeve ABSTRACT: A method and an algorthm for the analyss of actual behavour and for determnaton of yeldng and collapsng mechanzm of the space frames s presented n ths study. Varaton of the rjdtes of the space frame elements dependng on axal loads are taken nto consderaton and the stffness matrx, consderng the non-lnear behavour, s evaluated n local coordnate system. Then the global system stffness matrx s assembled. Ultmate load carryng and plastc moment capactes of the sectons are taken nto consderaton. Three dmensonal non-lnear elastc-plastc analyss of the space frames under ncreasng loads are performed by usng presented algorthm. Grş Halen günümüzde, yapı davranışına at analz ve tasarımlar, geleneksel br hal almış olan elastk teorye göre yapılmaktadır. Bu teor le yapılan analzlerde knc mertebe etkler göz ardı edlmektedr. Gerçekte yapısal elemanların büyük br kısmı hesaplanan değerlere kıyasla daha düşük gerlmelere maruz kalmaktadır. Bu durum özellkle çelk yapılarda gereksz malzeme kullanımına neden olmaktadır. Brçok eleman se, gerçekte, hesaplanan kest tesrlerne kıyasla daha büyük tesrlere maruz kalmakta, çoğu zaman bu tür analz ve tasarım hataları yapısal uyum sayesnde yapı tarafından af edlmektedr. 6
Yapıları oluşturan elemanların davranışlarını gözardı ederek yapılan analzler gerçekç değldr. Yapı sstem çnde, daha rjt elemanlar ve brleşmler, zayıf kısımları destekleyeceklerdr. Yapının genel davranışı tüm elemanlarının etkleşmyle (yapısal uyum) gerçekleşecektr. Ancak gerçek yapısal davranışa mümkün olduğunca yaklaşılması durumunda, yapılar hem daha ekonomk, hem de daha emnyetl olacaktır. Bu amaçla doğrusal olmayan analz yöntemler daha sık kullanılmaktadır. Bu tür analzler yapablen programların çoğu yabancı kaynaklıdır. Ülkemzde de, bağımsız olarak, gerekl blgnn yaygınlaştırılmasına, korunmasına, kullanıma sunulmasına htyaç vardır. Yapıların elastk analznde, yapı elemanlarının rjtlk ve fleksbltelernn sabt olduğu kabul edlmekte ve yük deplasman grafğ doğrusal davranış göstermektedr. Bu varsayım yalnızca çubuklar üzernde eksenel kuvvet olmaması halnde geçerldr. Gerçekte, br yapısal eleman üzerne etkyen normal kuvvet, elemanın rjtlk matrsn ve dolayısıyla fleksblte matrsn değştrmektedr. Bu olay knc mertebe etklernn, yan denge denklemlernn şekl değştrmemş sstem üzernde değl, şekl değştrmş sstem üzernde yazılması gereğnden ortaya çıkmaktadır. Çoğu kez düşük yükleme kademelernde yapısal deplasmanların yapının boyutlarına kıyasla çok küçük olmaları nedenyle, denge denklemlernn şekl değştrmemş sstem üzernden yazılması, büyük hatalara neden olmamaktadır. Ancak ler yükleme aşamalarında yapı elemanlarının üzerne etkyen normal kuvvet, burkulma yüküne yaklaştığında, eleman zaten belrl deformasyonlara maruz kaldığı çn deplasmanlar çok artmakta ve hata yüzdes hmal edlemez düzeylere çıkmaktadır. Eleman rjtlklernn değşm, üzerne etkyen eksenel kuvvetn değerne bağlı olarak, stablte fonksyonları (vesley fonksyonları) adı verlen boyutsuz fonksyonlar le göz önüne alınmıştır. Bu durumda eleman rjtlk matrslern, p/p cr oranına bağlı olarak, stablte fonksyonları yardımı le değşken olarak fade edlmştr. vesley fonksyonları adı verlen düzlem stablte fonksyonları, uzay çerçeve yapı elemanlarında, lokal kest eksenler çn ayrı ayrı göz önüne alınarak, eksenel kuvvet etksnde değşken lokal rjtlk matrs çıkartılmıştır. Doğrusal olmayan analzlern yapılablmes çn, bu tür analzler yapablen blgsayar programlarının, gerek yazılımının gerekse kullanımının ülkemzde yaygınlaştırılması, gelştrlmes ve bu amaçla konuda uzman personeln yetşmes, blglern eleştrlerle ve desteklerle güçlenmes hedeflenmş ve bu amaçla mevcut çalışma hazırlanmıştır. evcut çalışmada sunulan ve Çelk, T. tarafından önerlen yöntem, Damcı, E. tarafından yüksek lsans tez kapsamında blgsayara uyarlanmış (Damcı, ) ve Öztorun, N. K. tarafından gelştrlmş olan TUNA adlı genel amaçlı sonlu elemanlar programına (Öztorun, 99) lave edlmştr. atrs Deplasman Yöntemnde Kullanılan Stablte Fonksyonları Eksenel kuvvetlern rjtlk üzerne etks, vesley tarafından gelştrlmş stablte fonksyonları le göz önüne alınmıştır. Euler krtk yükü, k ucu mafsallı rjtlğ sabt br çubuk çn P E =π EI/ olduğuna göre, p p π ρ = = ; α = P π EI E ρ () 7
olarak tanımlanırsa, = α cotα α = ( + = + = = ) () şeklnde yazılablr. Verlen stablte fonksyonları (vesley,96), çubuk elemanların açı deplasman denklemlern elde etmek amacıyla kullanılablrler. Şekl de bu fonksyonların ρ ya bağlı değşm grafğ verlmştr. Görüldüğü gb eksenel kuvvetn olmadığı hallerde ρ = durumunda fonksyonları tek br değer alarak bre eşt olmaktadır. F F F F F 6 - - - - - - - - - -6 F F F F r F Şekl. vesley fonksyonları Doğrusal Olmayan okal Rjtlk atrsnn Elde Edlmes Deplasman metoduyla yapılan analzlerde, eksenel kuvvetn hmal edlp, çubuk rjtlk matrsnn sabt olduğu varsayımı le hareket edlmes gerçek davranışı yansıtmamaktadır. Stablte fonksyonlarını nceledğmzde çubuk rjtlğnn ρ =P/P cr oranına bağlı olarak, eksenel kuvvetn etks le değştğ görülmektedr. Dolayısıyla rjtlk matrslernn bu fonksyonlar cnsnden fade edlmes gerekr. E 6E E b =, d =, e =, f = E olmak üzere, uzay çerçeve çubuk elemanın lokal rjtlk matrs, 8
olarak çıkartılır. Burada, stablte fonksyonlarının alt ndslerndek brnc rakam, stablte fonksyonunu, knc rakam se fonksyonun etkl olduğu kest eksenn göstermektedr. Görüldüğü gb, matrste r = olduğunda = = = = olacaktır ve rjtlk matrs. mertebe matrsne dönüşecektr. Bu da esasta, doğrusal olmayan analz yöntemnn, doğrusal analz yöntemnn br devamı olduğunun göstergesdr. Rjtlk matrsn lk oluşturulma aşamasında eksenel kuvvetlern blnmemes şlem güçleştrmektedr. Bu sorunun aşılması çn eksenel yük sıfır kabul edlr ve lk adımda doğrusal analz yapılır. İknc adımda, bulunan eksenel kuvvetler le stablte fonksyonları hesaplanır ve matrsler yenden oluşturulur. Uç kuvvetler yenden hesaplanarak br öncek uç kuvvetler le karşılaştırılır. İk sonuç arasındak fark stenlen hata oranını sağlayıncaya kadar terasyona devam edlr. Uzay Çerçevelern Elastk-Plastk Analz Yapıların yük-deplasman bağıntılarının doğrusal olmaması, knc metebe etklerne ve yapı elemanlarının şekldeğştrme bağıntılarının doğrusal davranış göstermemesne bağlıdır. Yapı elemanlarının şekldeğştrme davranışında, malzemey rjt plastk kabul ederek, rjt plastk teor le yapı analz, küçük düzlem çerçevelern boyutlandırılmasında pratk br yöntem olmasına rağmen uzay yapı sstemlernde pek kullanışlı ve pratk br yöntem değldr. Çerçeve sstemlerde, yapı elemanlarının deal elasto-plastk malzemelerden oluştuğu kabulu yapılarak, elastk-plastk analz yöntem uygulamak daha gerçeğe yakın br yaklaşım olacaktır. Yük-deplasman lşksne at doğrusal olmayan davranışın belrlenmes açısından, doğrudan doğruya yapı elemanlarındak plastk deformasyonların ve kalıcı şekldeğştrmelern blnmes gerekmektedr. x y N K,, = (). b. b p. xp yp N p bp bp pb 9
İler yükleme kademelernde yapı elemanlarındak plastk mafsal oluşumu, yukarıda verlen akma şartının alt sınırını fade eden bağıntının sağlanması durumunda meydana gelmektedr. Burada, x, y, b ve N kest tesrler olup sırasıyla eğlme momentler, burulma moment ve normal kuvvet fade etmektedr. Kestn plastk yük kapasteler se, xp, yp, bp ve N p değerleryle fade edlmştr (Çakıroğlu ve Özer, 98). Plastk afsallı Çubuğun okal atrsler Herhang br yükleme safhasında, plastk mafsallaşma gerçekleştkten sonra, dış yuüklern arttırılmaya devam edlmesyle brlkte çubuk uç dönmeler, θ j =θ durumundan farklı olarak, θ = θ + θ () j H haln alır. Burada θ H çubuk ucundak plastk mafsal dönmesdr. θ se düğüm noktası dönmesdr. Görüldüğü gb, kestte plastkleşme oluştuktan sonra çubuk uç dönmeler çubuğun bağlı olduğu düğüm noktası dönmesyle plastk mafsal dönmesnn toplamına di ei di fi ei eşttr. afsal dönmes ssteme lave br serbestlk dereces daha kazandırmaktadır. ucu mafsallı çerçeve çubuk elemanın lave serbestlk dereceler le büyütülmüş lokal rjtlk matrs, yukarıda verldğ şeklde çıkartılır. Görüldüğü gb plastk mafsal oluşan uçtak eğlme rjtlğne at lave termler satır ve sütun olmak üzere matrs sonuna eklenmştr. Kestte Plastkleşmenn oluşmasından tbaren mafsallı uçtak moment değerler plastk mafsal momentlerne eşt olacağından, uç momentlerne at stablte fonksyonları le gelştrlmş brm deplasman sabtler, plastk mafsal momentler çn de kullanılmıştır. Aynı şeklde, ucu plastk mafsallı br çubuk eleman çn büyütülmüş lokal deplasman matrs se, [ x y z θ θ θ x y z θ θ θ θ θ θ ] x y z j j j xj yj zj h x h y h z
formundadır. Burada da, deplasman vektöründek lave üç blnmeyen plastk mafsala at dönmeler temsl etmektedr. Çubuğun yalnız j ucunda plastk mafsal oluşması halnde de aynı şlemler takp edlerek j ucuna at dönme rjtlkler kullanılır ve yen matrsler oluşturulur. Her k uçta plastk mafsal olması halnde se, aynı şeklde lokal rjtlk matrs 8*8, deplasman vektörü se *8 boyutlarında olacaktır. Büyütülmüş eleman rjtlk matrslernn sstem rjtlk matrsne yerleştrlmes sırasında, yük vektörü de büyütülmekte ve lave serbestlklere karşılık gelen satırlara, kestte akma şartını sağlayan eğlme momentler yerleştrlmektedr. Bu sayede çubuk uç kuvvetler, br öncek yüklemede k akma şartını sağlayan kest tesrlern taşımaya devam etmektedr. İşlem Adımları Yukarıda verlen yöntem, orantılı yük arttrımı uygulayacak ve her yük arttırımında yapı sstemnde oluşablecek plastk mafsallar kontrol ederek, yapı stabltesn kaybedp göçme durumuna gelene kadar yük arttırımına devam edecek şeklde, TUNA adlı genel amaçlı sonlu elemanlar programına uyarlanmıştır. Program, uzay çerçevelern elastk-plastk analznde aşağıda verlen temel adımları takp etmektedr:. Grş verler okunur,. Yük faktörü belrlenen aralıkta arttırılır,. Eksenel kuvvetler sıfır kabul edlr (lneer çözüm aşaması),. Eksenel kuvvete göre stablte fonksyonları - hesaplanır. N= çn tüm stablte fonksyonları sabt değernn alır,. Her eleman çn global rjtlk matrsler kullanılarak sstem rjtlk matrs oluşturulur. Eğer çubuk uclarında plastk mafsal varsa her mafsal çn satır ve sütun sstem rjtlk matrsne lave edlr, 6. Sstem rjtlk matrsnn determnantı alınarak yapı sstemnn stabltes kontrol edlr, negatf se şlem durdurulur, değlse şleme devam edlr, 7. Tüm dış yük vektörü λ yük faktörüyle çarpılır, 8. Akma şartını sağlamış ve uçlarında plastk mafsal oluşmuş çubukların saklanmış uç momentler, mafsal aded kadar sırasıyla dış yük vektörüne eklenr, 9. =K.X denklemn çözülerek düğüm noktası deplasmanları ve mafsal dönmeler X hesaplanır,. Bulunan deplasmanlarla çubuk uç kuvvetler ve plastk mafsal momentler hesaplanır,. Çubuk eksenel kuvvetler saklanır,. Br öncek adımdak çubuk eksenel kuvvetler le son bulunan eksenel kuvvetler arasındak fark her çubuk çn belrlenr. Tüm çubuklarda, eksenel kuvvet farkı, müsaade edlen tolerans sınırının altına düşünceye kadar terasyon. adımdan tbaren tekrar edlr.. Son terasyon netcesnde doğrusal olmayan çubuk uç kuvvetler bulunmuştur. Eksenel kuvvet ve uç momentler saklanır,. Son terasyondak uç kuvvetler kullanılarak, her çubuk çn çubuk uçlarında akma şartı kontrol edlr. Uçlarında plastk mafsal oluşmuş çubukların numaraları ve uç momentler saklanır,. Analze arttırılmış dış yük vektörüyle devam etmek çn şlemler. adımdan tbaren tekrarlanır.
Yapılan ardışık analzlerde uzay çerçeve yapıların doğrusal olmayan elastk-plastk analznde şu kabuller yapılmıştır :. alzeme doğrusal elastk tam plastktr.. Çubuk eksenne dk gerlmeler hmal edlmştr. Dolayısıyla akma şartı denklem () de verldğ gbdr.. Çubuk eksenne dk kestler, şekldeğştrmeden sonrada çubuk eksenne dk ve düzlem kalırlar.. Plastk mafsalların düğüm noktalarında oluştuğu kabul edlerek dealleştrlmştr.. İknc mertebe etklernde, kesme kuvvetlernn burulmaya olan etkler hmal edlmştr. Orantılı artan dış yüklern etks altındak yapılarda, dış yükün küçük olduğu aşamalarda yapı tamamen elastk durumdadır ve herhang br düğüm noktası çn yük-deplasman bağıntısı lneerdr. Plastk mafsalların oluşumuyla elastk davranış bter. İlk plastk mafsalın oluştuğu noktaya karşılık gelen yük faktörüne de λ e elastk lmt çarpanı denr. Yükün arttırılmasıyla brlkte yen yapı sstemnde plastk mafsal oluşumu devam edecektr. Oluşan plastk mafsallar, çerçeve yapı göçme durumuna gelene kadar dönmeye devam edecektr. Yapı her plastk mafsalda stabltesn braz daha kaybedp göçme durumuna gelecektr. Bu durumda yük-deplasman eğrs se sonsuza gdecektr. kn kn kn 9 kn kn kn kn 9 6 6 kn kn kn 7 8 kn kn kn kn kn kn 8 m 8 6 7 8 m 8 m y 7 x z Düğüm Noktası Çubuk (a) Şekl. Tek katlı uzay çerçeve (b) Örnek Şekl (a) da verlen örnekte tek katlı uzay çerçeve sstemn, artan düşey ve yatay yükler etksnde, elastk-plastk analz yapılmıştır. Sstemn göçme yükü ve göçme mekanzması belrlenmştr. Kutu kestlernden oluşan çubuklarda b/d oranı krşlerde /, kolonlarda se / olarak alınmıştır (Orakdöğen, 99). Düğüm noktalarına etkyen dış yükler, / oranında düzgün artan λ yük faktörü le çarpılarak ardışık analzler yapılmıştır. Her yük artımında çerçeve elemanlarda akma
şartı kontrol edlerek plastk mafsal kontrolü yapılmış ve akma şartını sağlayan uç noktalara plastk mafsallar yerleştrlerek, sstem stabltesn kaybedene kadar analze devam edlştr. Göçme yükü λ u =.99 olarak bulunmuştur. Göçmeden önce meydana gelen 8 adet plastkleşen kestn yerler ve oluşum sırası Şekl (b) de gösterlmştr. Plastk kestlern oluşum sırası, oluştukları çubuk ve yük faktörler de ayrıca Tablo de sunulmuştur. afsal No 6 7 8 Çubuk No 8 6 7 Çubuk Ucu j j j j j λ.88.88.9.9.986.99.99.99 Tablo. Plastk kestlern oluşum sırası, eleman numaraları ve yük faktörler, Yük Faktörü (λ),8,6,, Orakdöğen, 99,,,8, x Yönünde Deplasman (m) Şekl. Yük-deplasman grafğ Analz sonucu elde edlen numaralı düğüm noktasındak yük-deplasman (λ-δ) grafğ Şekl de görülmektedr. Sstemnde plastkleşen lk kest, yük faktörünün λ e =.88 değer çn - numaralı çubukların j uçlarında oluşmaktadır. Bu değer sstemn elastk sınırıdır. Sonuç Ülkemzde yaygınlaşmakta olan doğrusal olmayan hesap yöntemnn benmsenmes ve lerk çalışmalarda temel oluşturması amacıyla, gelştrlmeye açık br yöntem sunulmuştur. İknc mertebe etkler göz önüne alınarak, malzeme davranışının deal elasto-plastk olduğu kabuluyle, uzay çerçeve yapı sstemlernn, geometrk doğrusal olmayan elastk-plastk analzlern yapmak amacıyla, çeştl dış etkenlere maruz çerçeve yapı sstemlern göçmeye götüren plastk mafsal oluşumları ve yapı davranışının ncelenmes hedeflenmştr. Plastk mafsalların çubuk uzernde oluştuğu yerler ve akma bölgelernn uzunluğu bu çalışma kapsamına alınmamıştır. afsalların düğüm noktalarında oluştuğu kabul
edlmş böylece analz kolaylığı getrlmştr. Ancak, gerçekte, plastkleşmenn belrl br boya yayıldığı ve plastkleşmenn mafsal dealzasyonundan zyade, sınırlı br bölge olarak gözönüne alınması gerçeğ ayrı br çalışmada sunulacaktır. Gelştrlen matrsdeplasman yöntem le, deforme olmuş çubuk elemanlar üzernde eksenel kuvvetn çubuk rjtlğne etks hesaba katılmış, düğüm noktalarına bağlı çubuklarda oluşacak plastk mafsalların tüm yapı rjtlğne etks kolaylıkla nceleneblmştr. Her düğüm noktasının dönmes ve düğüm noktalarında oluşan plastk mafsalların dönmeler ayrı ayrı hesaplanablmştr. İknc mertebe etklerde, deforme olmuş sstem üzernde kesme kuvvetlernn burulma rjtlklerne etks hmal edlmştr. Verlen açı-deplasman denklemler le öncelkle, uzay çerçeve yapı sstemler ncelenmş ve dğer yapı sstemlernn de nceleneblmes çn alt yapı oluşturulmuştur. Artan dış yükler altında çerçeve yapıların elastk-plastk analzler yapılarak, elastk lmtler (λ e ) le göçme yükler (λ u ) belrlenmştr. Yapı sstemnde, akma şartını sağlayan kestlern uç noktalarına plastk mafsallar yerleştrlerek, plastk mafsalların tüm yapı davranışına etkler ve yapıların mekanzma durumları detaylı br şeklde nceleneblmştr. Referanslar Çakıroğlu, A. ve Özer, E., 98, alzeme ve Geometr Değşm Bakımından neer Olmayan Sstemler, atbaa Teknsyenler Basımev, İstanbul. Çelk, T., Elastk Stablte Ders Notları (yayınlanmamış), İstanbul. Damcı, E.,, Uzay Çerçeve Sstemlern Elastk-Plastk Analz, Yüksek sans Tez, İ.Ü. Fen Blmler Ensttüsü, İstanbul. vesley, R. K., 96, The Applcaton of Electron Dgtal Computer to Some Problems of Structural Analyss, Struct. Engr., -. ajd, K.I., 97, Non-near Structures, Butterworths, ondon. Orakdöğen, E., Nsan 99, Uzay Çubuk Sstemlerde İknc ertebe mt Yük İçn Yapı Ağırlığını nmum Yapan Br Boyutlandırma Yöntem, Doktora Tez, İ.T.Ü. Fen Blmler Ensttüsü, İstanbul Öztorun N. K., 99, Computer Analyss of ult-storey Buldng Structures, Ph.D. Thess n Cvl Engneerng,.E.T.U., Ankara. Öztorun, N.K., Çıtıpıtıoğlu, E. and Akkaş, N., 99, esh Generaton and Data Structures for the Fnte Element Analyss of Shear Wall Buldngs, Developments n Computatonal Technques For Structural Engneerng, Cvl-Comp Press, 67-8, Ednburgh, UK. Öztorun, N.K., Çıtıpıtıoğlu, E. and Akkaş, N., 998, Three- Dmensonal Fnte Element Analyss of Shear Wall Buldngs, Computers & Structures, Vol. 68 No.-, pp. -.