ASİMETRİK BİR DİELEKTRİK DİLİM DALGA KILAVUZUNUN ETKİN KIRILMA İNDİSİNİN TEORİK OLARAK HESAPLANMASI

Eskşehr Osmangaz Ünverstes Mühendslk Mmarlık Fakültes Dergs Clt:XXII, Sayı:, 009 Journal of Engneerng and Archtecture Faculty of Eskşehr Osmangaz Unversty, Vol: XXII, No:, 009 Makalenn Gelş Tarh : 06.0.009 Makalenn Kabul Tarh : 5.05.009 ASİMETRİK BİR DİELEKTRİK DİLİM DALGA KILAVUZUNUN ETKİN KIRILMA İNDİSİNİN TEORİK OLARAK HESAPLANMASI Çğdem HARMANKUYU, Al ÇETİN ÖZET: Bu çalışmada br asmetrk dlm dalga kılavuzunun etkn kırılma ndsn tespt etmek çn hem analtk yöntem hem de br yaklaşım yöntem olan sonlu farklar yöntem kullanılmıştır. Dalga kılavuzunda dyot lazern etkn yayılımının sağlanması çn etkn nds değer hesaplanmıştır. Analtk yöntemle elde edlen sonuçla sonlu farklar yöntem le elde edlen sonuçların kullanılacak kılavuz türü çn geçerllğ karşılaştırılmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Optk dlm dalga kılavuzu, analtk yöntem, sonlu farklar yöntem, etkn kırılma nds, elektromanyetk dalga. THEORETICAL CALCULATION OF EFFECTIVE REFRACTIVE INDEX OF AN ASYMMETRICAL DIELECTRIC SLAB WAVEGUIDE ABSTRACT: In ths paper, we use both analytcal method and fnte dfference method to determne effectve refractve ndex of an asymmetrcal slab wavegude. Effectve ndex value s calculated to effcent propagaton of dod laser n slab wavegude. The valdty of the obtaned values by both of methods are compared for usng wavegude type. KEYWORDS: Optcal slab wavegude, analytcal method, fnte dfference method, effectve refractve ndex, electromagnetc wave., Eskşehr Osmangaz Ünverstes, Fen Edebyat Fakültes, Fzk Bölümü, 6480 ESKİŞEHİR

6 Çğdem HARMANKUYU, Al ÇETİN I. GİRİŞ Tümleşk optk çn pratk uygulamalar, çeştl geometrlere sahp delektrk dalga kılavuzlarında ışık yayınımının anlaşılması çn gerekldr. Kılavuzlanan dalga veya ışıma problemlernn çözümü çn etkn nds yöntem (EIM), k boyutlu dalga kılavuzları çn Marcatl tarafından gelştrlen Marcatl yöntem, sonlu farklar (FDM) yöntem, sonlu elemanlar yöntem (FEM) gb brçok yöntem kullanılmaktadır []. Pertürbasyon yöntem (PM) ve demet yayınım yöntem (BPM) nümerk sonuç elde etmekte kullanılan yaklaşım yöntemlerdr [-6]. Çalışılan dalga boyuna bağlı olarak kılavuzlanan modların sayısı hesaplanır. Bu yöntemlern kullanıldığı modellemeler kılavuzlama ve mod tutma yetenekler gb yapı tasarım çalışmalarının gelştrlmesnde öneml br rol oynar. Sonlu farklar yayınım yöntem, smetrk ve asmetrk yapılarda ışığın yayınımın analz edlmesnde başarıyla kullanılmaktadır. II. ASİMETRİK DİLİM DALGA KILAVUZU Dalga denklemnn çözümü, delektrk dlm teknğne dayanır. Delektrk dlmler, bastleştrlmş optk dalga kılavuzudur. Dlm dalga kılavuzlarının özellklernn araştırılması daha karmaşık delektrk dalga kılavuzlarının dalga kılavuzlayıcı özellklernn anlaşılması açısından oldukça faydalıdır. Br delektrk dlm dalga kılavuzu şekl de gösterldğ gbdr. Dalga kılavuzu, n kırılma ndsl çekrdek bölges ve n kırılma ndsl br alt tabakaya sahptr. n 3 kırılma nds (çekrdek üzerndek bölge) hava olablr. Yapı, n ndsl kılavuzlayıcı bölge her k tarafı, n n n3 () koşulunu sağlayacak k delektrk malzeme le çevrelenr. Tüm delektrk dalga kılavuzlarında olduğu gb, asmetrk dlm de belrl sayıda modu kılavuzlar.

Asmetrk Br Delektrk Dlm Dalga Klavuzunun Etkn Kırılma İndsnn Teork Olarak Hesaplanması 7 Şekl. Br delektrk dlm dalga kılavuzu. Dalgaların k polarzasyonu mümkün olmasından dolayı k farklı özdeğer denklem elde ederz [7]. Işık, çnde bulunduğu ortamda lerlerken yayılma doğrultusuna dk, brbrlerne de dk olarak ttreşen elektrk ve manyetk alanlara sahp br elektromanyetk dalgadır. Işık dalgasını oluşturan elektrk alan enne elektrk (TE), manyetk alan se enne manyetk (TM) dalgası olarak adlandırılır. TE dalgaları olarak fade ettğmz ara yüzeye paralel elektrk vektörlerne sahp dalgalar çn özdeğer denklem, ( ) κ = nk β () / ( ) ( ) γ= β -n k = n -n k -κ / ( ) 3 ( 3) δ= β -n k = n -n k -κ (3) (4) olmak üzere, arctan ( γ κ ) +arctan ( δκ ) =κd-nπ (5) şeklndedr [8]. Yukarıdak eştlklerde k, dalganın çnde bulunduğu ortamın yayınım sabt; β, dalga vektörünün yayınım doğrultusundak bleşen; κ, dalga vektörünün enne bleşen; γ ve δ, zayıflama katsayıları; N se mod sayısıdır. TE dalgası çn özdeğer denklem yukarıdak denklemn tanjantı alınarak;

8 Çğdem HARMANKUYU, Al ÇETİN tanκd= κ( γ+δ) ( κ -γδ) (6) şeklnde elde edlr. TM dalgaları çn aynı şlemler tekrarladığımızda, ( ) ( ) 4 3 3 tanκd= n κ n γ+n δ nnκ -n γδ (7) özdeğer denklemn elde ederz [8]. III. SONLU FARKLAR YÖNTEMİ Sonlu farklar yöntem karmaşık delektrk kest profllern de nceleyeblecek şeklde delektrk ara yüzeylern geometrsnde herhang br sınırlama yapmadan optk dalga kılavuzlarının ncelenmesne zn verr. Stern tarafından önerlen yarı vektörel sonlu farklar yöntem [9, 0] optk dalga kılavuzlarının tasarım problemlernde yaygın olarak kullanılmaktadır. Elektrk alan çn skaler dalga denklem, de E = (8) µε dt şeklnde fade edleblr. Eştlktek ε ve µ sırasıyla alanın çnde hareket ettğ ortamın permtvtes (elektrksel geçrgenlğ) ve permeabltesdr (manyetk geçrgenlğ). Analzmzde, z-doğrultusunda yayılan ve y-yönünde polarze olmuş br TE modunu düşünürsek, alanı E (x,y,z) y j(ωt-βz) = E y(x,y) e (9) şeklnde kabul edeblrz []. Gerekl şlemler yapılarak, y dey β E y de dx + = ω µεey (0) dy

Asmetrk Br Delektrk Dlm Dalga Klavuzunun Etkn Kırılma İndsnn Teork Olarak Hesaplanması 9 bağıntısına ulaşılır. Düşey ve yatay bleşenler brleştren toplam yayınım sabt olarak k = ω µε fadesn kullanırsak skaler dalga denklem, y dey de dx ( ) + + k β Ey = 0 () dy şeklne dönüşür. Ortamdak yayınım sabt k, boşluktak yayınım sabt k 0 le tabaka çn kırılma nds n n çarpımı olmak üzere skaler dalga denklemn, y dey ( 0 ) y de dx + + kn β E = 0 () dy olarak yazablrz []. Bu denklem, lgl ortam çndek β nın özdeğern ve TE alan dağılımını tanımlamak çn çözülmes gereken öz fonksyondur. Denklem çözmek çn sonlu farklar yöntemnn uygulanmasında E alanı ve n kırılma ndsnn, x ve y koordnatlarına göre farklı br değer olduğu ve dalga kılavuzu kestn gösteren br kutu çnde sınırlandığı düşünülür. Kutu şekl de görüldüğü gb sırasıyla x ve y doğrultularında x ve y boyutlarında daha küçük dkdörtgen alanlara ayrılır. Şekl. Asmetrk br dalga kılavuzunda eksenlern, aralıkların, grd noktalarının sonlu farklar yöntemyle gösterlmes.

30 Çğdem HARMANKUYU, Al ÇETİN Burada dalga kılavuzu arakest x ve y yüzey boyutuna karşılık gelen M N grd çzglerne bölünür [3]. Sonlu farklar yöntem, kolay programlanablmes, elde edlen smülasyon sonuçlarının kabul edleblr olması nedenyle terch edlen br yaklaşımdır. Özdeğer matrs denklemler, sonlu farklar yöntem kullanılarak türetleblr [4]. Elektrk alan ve magnetk alan çn bu özdeğer matrs denklemler çözülür. Skaler dalga denklem, knc dereceden Taylor ser açılımından yararlanılarak lneer matrs denklemn sağlayacak şeklde oluşturulablr [5, 6]: + j j j+ j + + ( nj) Ej + + = n effej E E E E Χ Y Χ Y Y Χ (3) Burada = 0,,,...,I + ve j 0,,,...,J = + olmak üzere (, j) grd noktalarındak E j normalze olmuş elektrk alan ve n j kırılma ndsdr. X = k x ve Y = k y grd noktaları arasındak normalze olmuş koordnat basamaklarıdır ve n eff dalga kılavuzu modunun etkn ndsdr. Problem tamamlamak çn sınır koşulları özelleştrlr. Farklı seçenekler olmasının yanında, alanları sınırların dışında sıfır yapmak en bast seçmdr. Bu yaklaşım, doğru alan çözümünün sıfır olduğu, kılavuzlayıcı tabakalardan yeternce uzak olduğumuz yerlerde geçerldr. Sınır koşulları E 0 = E I+ = E E 0 = = 0 j j j+ şeklndedr. Sınırlar dışında alanların çözümü yapılmaz. =,...,I ve j =,..., J çn veya I J brleştrlmş br toplamı çn se tüm denklemler çözülmeldr. J ndsler cnsnden sabtler tanımlarsak, lneer matrs denklem, E + j E j + be j + ajej+ be j+ + = n effej Χ Χ (4) şeklnde olur. Burada

Asmetrk Br Delektrk Dlm Dalga Klavuzunun Etkn Kırılma İndsnn Teork Olarak Hesaplanması 3 a ( n ) j = j b = Υ X Y şeklndedr. Her x konumu çn y kapsayan br vektör tanımlayarak matrs notasyonuna y doğrultusunu da sokablrz: E E = M (5) E j Böylece verlen çn tüm j denklemlern düşey olarak lsteleyerek x boyunca br matrs fark denklem çnde devam eden ndslern aşağıdak gb gruplayablrz: + eff BE + A E + BE = n E (6) Burada, a b 0 L 0 0 b a b 0 0 0 0 b a 3 b 0 0 A = M 0 O M 0 0 b aj b 0 0 0 b a L j B = Χ Ι şeklndedr ve I, J J lk brm matrstr. İknc b, E0 = 0 ve E j+ = 0 olması nedenyle A matrsnn üst ve alt satırlarında görünmez.

3 Çğdem HARMANKUYU, Al ÇETİN Matrs formunda x boyunca tüm I denklemler yazılarak, A B 0 L 0 0 E E B A B 0 0 0 E E 3 3 3 0 B A B 0 0 E E = n eff M 0 O M M M I I I 0 0 B A B E E I I I 0 0 L 0 B A E E (7) elde edlr. Burada tekrar knc B, E 0 = 0 ve ortaya çıkmaz. Bu denklem, I E + = 0 olması nedenyle alt ve üst satırlarda E E = M (8) I E olmak üzere, aşağıdak gb bast şeklde yazılablr: eff AE = n E (9) Bu, n eff özdeğer denklem ve E özvektörü çn çözülen matrs denklemdr. Çeştl matrs yöntemler, özdeğer ve özvektörlern belrlenmes çn uygundur. Alan dağılımı, br delektrk dlm dalga kılavuzu yapısının br özmoduna karşılık geldğnden etkn nds hesaplanablr [7]. Etkn ndsn tam değer, alan çözümü yakınsak se elde edleblr. Dalga kılavuzunun parçalara ayrılması, sonlu farklar yöntem le elde edlen etkn nds üzernde temel br etkye sahptr. En yüksek etkn ndsl kılavuzlanan modun genlğ, yayınım süresnce artarak maksmum genlğe ulaşır. Bunun yanı sıra, dalga kılavuzlarında mod özellklern belrleyeblmek çn yayınım sabt β elde edlr. Düzlem delektrk yapımız, şekl 3 dek gb kılavuzlayıcı nds,5, alt tabaka nds,45 ve örtü nds.4 olan br asmetrk delektrk dlm dalga kılavuzu olsun. Ortam olarak,

Asmetrk Br Delektrk Dlm Dalga Klavuzunun Etkn Kırılma İndsnn Teork Olarak Hesaplanması 33 kılavuzlayıcı tabakanın kalınlığı µ m olan br yapı, ışık kaynağı olarak dalga boyu 0.98 µ m olan dyot laser kullandığımızı tasarlayalım. Şekl 3. Br boyutlu dlm dalga kılavuzu yapısı Asmetrk br delektrk dlm dalga kılavuzu çn analtk yöntemden yararlanarak elde edlen Eş.(6) dak özdeğer denklemn Brent yöntemyle [8] çözerek bulduğumuz yayınım sabt değer, β = 94880 cm - ve β yayınım sabt le lşkl olan temel modun etkn değer neff = β k0 = βλ π den neff =.4799 olarak bulunur. Sonlu farklar yöntemyle elde edlen sonuçları değerlendrmek çn grd noktalarını Χ = k 0.5 µ m olacak şeklde seçerek 6 6, 3 3, 64 64, 8 8 boyutunda özdeğer matrsler oluşturulur. Bunu yaparken n kırılma ndsl, n kırılma ndsl ve n 3 kırılma ndsl

34 Çğdem HARMANKUYU, Al ÇETİN bölgeler eşt aralıklara bölünür. Bu özdeğer denklemnn çözümünden bulunan etkn nds değerler se aşağıdak tabloda verlmştr: Tablo. Sonlu farklar yöntem kullanılarak dlm dalga kılavuzundan elde edlen sonuçlar. x ( µm) Örtü grd noktaları Kılavuz grd noktaları Alt tabaka grd noktaları Matrs boyutu Etkn nds 0.5 4 4 8 6 6,4750 0.5 8 8 6 3 3,474 0.065 6 6 3 64 64,4739 0.035 3 3 64 8 8,4739 Bu tabloya göre farklı bölmelere ayrıldığı halde aynı değere yaklaşıldığından uygun etkn kırılma ndsnn n eff =,4739 olduğu görülmektedr. Etkn kırılma ndsnn bu değer kullanılarak β = 94498 cm - elde edlr. Şekl 4 de etkn kırılma ndsnn grd noktalarının sayısına göre değşm görülmektedr. Şekl 4. Sonlu farklar yöntemyle elde edlen etkn kırılma nds değerlernn grd noktalarını sayısına bağlı olarak değşm.

Asmetrk Br Delektrk Dlm Dalga Klavuzunun Etkn Kırılma İndsnn Teork Olarak Hesaplanması 35 Grd noktalarının sayısı artıkça etkn kırılma nds kararlı duruma doğru yönelmekte, grd nokta sayısı belrl br değere ulaştıktan sonra etkn değer sabt kalmaktadır. Sabt etkn nds değer bzm çn uygun kırılma nds değer olarak alınablr. Şekl 5 de elektrk alan şddetnn x mesafesne göre değşm çzlmştr. Elde edlen eğrler analtk ve sonlu farklar yöntemnden bulunan yayınım sabt değerlernn alınmasıyla çzlmştr. Her k eğrnn de aynı karakterde olduğu fakat farklı genlklere sahp olduğu görülmektedr. Elde edlen eğrlern yapılan dğer çalışmalarla [9] uyumlu olduğu söyleneblr. Şekl 5. Analtk yöntem ve sonlu farklar yöntem kullanılarak çzlen elektrk alan şddetler. IV. SONUÇ Tasarlanan ışık kaynağının dalga boyuna bağlı olarak analtk yöntemden bulduğumuz etkn nds değer le sonlu farklar yöntemyle oluşturduğumuz özdeğer matrsnn çözümünden elde ettğmz değer brbrne yakındır. Etkn nds değerler arasındak fark, % 0,6 gb küçük br değerdr. Dalga kılavuzu yapısında ışığın daha verml hareket edeblmes çn kılavuzlayıcı

36 Çğdem HARMANKUYU, Al ÇETİN ortamın kırılma ndsnn seçlen alt tabakanın ndsnden büyük olması gerekr. Bu sonucu her k yöntemden elde edlen sonuçlar sağlamaktadır. Çalışmamızda referans kırılma ndsnn değern alt tabakanın kırılma nds olarak seçtğmz çn sonlu farklar yöntem le bulduğumuz sonuç da bu referans değernden büyüktür. Bunlara göre sonlu farklar yöntem de alternatf br teknk olarak asmetrk delektrk dlm dalga kılavuzu yapılarının etkn kırılma nds hesaplamalarında kullanılablr. V. KAYNAKLAR [] T. B. Koch, J. B. Davdes, D. Wckramasnghe, Fnte Element/Fnte Dfference Propagaton Algorthm For Integrated Optcal Devce, Electroncs Letters, Vol. 5 No.8., pp. 54-56, 989. [] C. L. Xu, W.P. Huang, Fnte-Dfference Beam Propagaton Method For Gude Wave Optcs, Progress In Electromagnetcs Research, PIER, vol., pp. -49, 995. [3] Ahmed A. Abou El-Fadl, An Optmal Method To Study The Propagaton Charactercs Of Rectangular Optcal Wavegudes, Ffteen Natonal Rado Scence Conference, Feb. 4-6, 998, Helvan, Caro, Egypt. [4] M. D. Fet, J. A. Fleck, Jr, Computaton Of Mode Egenfunctons In Graded Index Optcal Fbers By The Propagatng Beam Method, Appled Optcs, Vol. 9 No.3, pp. 40-46, 980. [5] M. D. Fet, J. A. Fleck, Jr, Computaton Of Mode Propertes In Optcal Fber Wavegudes By A Propagatng Beam Method, Appled Optcs, Vol. 9, No.7, pp. 54-64, 980. [6] M. D. Fet, J. A. Fleck, Jr, Calculaton Of Dsperson For Two Optcal Fber Profles By The Propagatng Beam Technque, Appled Optcs, Vol. 9, No.7, pp. 36-39, 980. [7] Y. Chung, N. Dağlı, An Assessment Of Fnte Dfference Beam Propagaton Method, IEE Journal Of Quantum Electroncs, Vol. 6 No. 8, pp. 335-338, 990. [8] D. Marcuse, Theory Of Delectrc Optcal Wavegudes, Academc Press, Boston, 99. [9] M. S. Stern, Semvectoral Polarsed Fnte Dfference Method For Optcal Wavegudes Wth Arbtrary Index Profles. IEE Proc. J., Vol. 35, No., pp. 56-63. 988.

Asmetrk Br Delektrk Dlm Dalga Klavuzunun Etkn Kırılma İndsnn Teork Olarak Hesaplanması 37 [0] M. S. Stern, Semvectoral Polarsed H Feld Solutons For Delectrc Wavegudes Wth Arbtrary Index Profles. IEE Proc. J. Vol. 35, No. 5, pp. 333-338, 988. [] A. S. M. Supa at, A. B. B. Mohammad, N. M. Kassm, R. Omar, Analyss Of Mode Felds In Optcal Wavegudes, Proceedngs Of IEEE, TENCON, pp. 89-83, 00. [] M. A. Matn, M. T. Benson, P. C. Kendall, M. S. Stern, New Technque For Fnte Dfference Analyss Of Optcal Wavegude Problems, Internatonal Journal Of Numercal Modellng: Electronc Networks, Devces And Felds, Vol. 7, pp. 5-33, 994. [3] N. M. Kassım, A. B. Mohammad, M. H. İbrahm, Optcal Wavegude Modellng Based On Scalar Fnte Dfference Scheme Jurnal Teknolog, Vol. 4 (D), pp. 4-54, 005. [4] K. Kawano, T. Ktoh, Introducton To Optcal Wavegude Analyss, John Wley & Sons, New York, 00. [5] M. Khalaj-Amrhossen, Analyss of Lossy Inhomogeneous Planar Layers Usng Taylor s Seres Expanson, IEEE Transactons On Antennas And Propagaton, Vol. 54, No., pp. 30-35, 006. [6] Y. Won-Young, C. Wenwu, T. S. Chung, J. Morrs, Appled Numercal Methods Usng Matlab, John Wley & Sons, New Jersey, 005. [7] M. M. Spühler, D. Wesmann, P. Freuler, M. Dergardt, Drect Computaton Of Hgher- Order Propagaton Modes Usng The Imagnary-Dstance Beam Propagaton Method, Optcal And Quantum Electroncs, Vol. 3. pp. 75-76, 999. [8] K. Jaan, Numercal Methods In Engneerng Wth Matlab, Cambrdge Unversty Press, England, 006. [9] V. A. Popescu, N. N. Puscas, Determnaton Of Normalzed Propagaton Constants For The Double-Clad Planar Nd:YAG and Yb:YAG Wavegude Lasers, Journal Of Optoelectroncs And Advanced Materals, Vol. 8, No. 3, pp. 6 66, 006.