TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir taraftar içi istatistik, maç esasıda yapıla faul sayısı, atıla korer sayısı, topa sahip olma oraları gibi değerleri, bir aile reisi içi açıklaa aylık eflasyo oralarıı, başka bir birey içi ülke üfusu, ihracat değerleri, ithalat değerleri, işa edile kout sayıları gibi rakamları ifade ederke, akademik çalışma yapa bir bilim adamı içi ise sayısal aalizleri ifade etmektedir. istatistik, ziraatta iktisada, tıpta sosyolojiye, diş hekimliğide eğitim bilimlerie kadar pek çok alada yaygı kullaım alaı ola bir bilim dalıdır. İSTATİSTİĞİN TANIMI İstatistik; herhagi bir kouyla ilgili verileri toplaması, düzelemesi, özetlemesi, suulması, uygu yötemlerle aalizi ve bu aalizlerle elde edile souçları yorumlaması ve bir karara bağlaması ile ilgileir. Taımda da alaşıldığı üzere istatistikte söz edebilmek içi ilk öce veriye ihtiyaç duyulmaktadır. Veriler elde edildikte sora aalize uygu hâle getirilmesi içi düzelemesi gerekebilir. Veriler düzeledikte sora aaliz içi uygu istatistiksel yötem veya yötemler seçilir. göre istatistik, deskriptif (tasviri) ve idaktif (tahlili) istatistik olmak üzere ikiye ayrılmaktadır: Deskriptif (tasviri) İstatistik Tasviri istatistik olarak da adladırıla deskriptif istatistik, herhagi bir kouyla ilgili verileri toplaması, düzelemesi, özetlemesi, söz kousu verileri tablo ve grafikler hâlide gösterilmesi ile ilgileir. Frekas dağılımları, merkezî eğilim ölçüleri (aritmetik ortalama, mod, medya,. ), dağılma ölçüleri (stadart sapma, varyas, değişim aralığı...), asimetri ve basıklık ölçüleri gibi koular verileri özetlemesi ve tasviri ile ilgili olduğuda, deskriptif istatistiği kousuu teşkil etmektedir. İdaktif (tahlili) İstatistik İdaktif istatistik, ilgileile kouyla ilgili tüm veriler arasıda seçile alt veriler kullaılarak aalizleri yapılması ve bu aalizler ile elde edile souçlar kullaılarak tüm birimler hakkıda yorum yapılması ve bir karara bağlaması ile ilgileir. Bu taımda yola çıkarak idaktif istatistik tahlili istatistik olarak da adladırılmaktadır. Örekleme teorisi, hipotez testleri, regresyo ve korelasyo aalizleri gibi koular ise idaktif istatistiği kousuu teşkil etmektedirler. ANAKÜTLE VE ÖRNEK KAVRAMLARI Bir istatistiki araştırmada, araştırmaya kou ola bütü birimlere aakütle deir. Aakütlei çerçevesi yapılacak araştırmada araştırmaya değişiklik göstermektedir. İktisadi ve idari bilimler fakültesii birici sııfıda okuya öğrecilerii sıav otları ilgili bir araştırma yapıldığıda söz kousu fakültede okuya birici sııf öğrecilerii tamamı aakütleyi oluştururke, fakültede okuya tüm öğrecilerii sıav otları ilgili bir araştırma yapıldığıda ise fakültede okuya tüm öğreciler aakütleyi ifade etmektedir. Bazı durumlarda üzeride araştırma yapıla aakütle sayılamayacak kadar birim ihtiva edebilir. Öreği Karadeiz deki hamsiler üzeride bir araştırma yapılacaksa Karadeiz deki tüm hamsiler aakütleyi ifade etmektedir ki hamsileri tamamıı saymamız imkâsızdır. Bu durumda karşımıza sıırlı ve sıırsız aakütle kavramları çıkmaktadır. Sıırlı,aakütle: Araştırma kousu ile ilgili birimleri çerçevesi çizilebiliyorsa bu aakütle sıırlı aakütledir. Sıırsız aakütle:. Araştırma kousu ile ilgili birimleri çerçevesi çizilemediği durumlar sıırsız aakütleyi ifade etmektedir. TAM SAYIM VE ÖRNEKLEME Birim aakütleyi oluştura e küçük parçadır. Öreği bir ilde yaşaya aileleri mutfak giderleri ile ilgili bir araştırmada; söz kousu ilde yaşaya aileleri tamamı aakütleyi oluştururke, ilde yaşaya her bir aile ise aakütlei birimlerii oluşturmaktadır. Aakütle ile ilgili bilgi toplamak istediğide tüm birimleri teker teker icelemesi gerekmektedir. Bu işleme tam sayım adı verilmektedir. Araştırmaya kou ola bütü birimleri tamamıa ulaşmak mümkü veya gerekli olmayabilir. Bu gibi durumlarda aakütlede tesadüfi yötemlerle aakütle birim sayısıda daha az sayıda birimleri seçilme işlemie örekleme deir. Aakütlede örekleme yardımıyla seçile birimler ise örek olarak ifade edilmektedir. ANAKÜTLE VE ÖRNEK HACMİ Aakütle hacmi, aakütleyi oluştura birimler topluluğudur ve geellikle N ile gösterilir. Örek hacmi ise öreğe seçile birim sayısıdır ve ile gösterilir. Öreği Atatürk Üiversiteside okuya öğrecileri kitap okuma alışkalıkları ile ilgili bir araştırma yapılacaksa, üiversitede okuya 70000 öğreci aakütle hacmii (N) ifade ederke, bu öğreciler arasıda tesadüfi yötemlerle seçile 500 öğreci ise örek hacmii() ifade etmektedir. Eğer araştırma İktisadi Ve İdari Bilimler Fakültesi içi yapılıyorsa, fakültede okuya 3500 öğreci aakütle hacmii, bu öğreciler içeriside tesadüfi olarak seçile 100 kişilik öğreci grubu ise örek hacmii ifade etmektedir. Bu tip bir öreğe şas öreği deir. PARAMETRE VE İSTATİSTİK KAVRAMLARI Aakütledeki bütü birimler üzeride hesaplaa ölçülere parametre adı verilir. Öreği bir fakültede okuya öğrecileri istatistik derside aldıkları otlar ile ilgili bir araştırma yapıldığıda; istatistik dersii ala tüm öğreciler aakütleyi temsil etmektedir. Aakütleyi temsil ede tüm öğrecileri ot ortalaması hesapladığıda elde edile değer parametre değerii ifade etmektedir. Aakütleyi temsil etme gücüe sahip bir örekteki verilerde hesaplaa ölçülere istatistik adı verilir. Yukarıda verile örekte istatistik dersii ala tüm öğreciler arasıda tesadüfi olarak seçile 30 öğrecii ot ortalaması istatistik değerii ifade etmektedir. İstatistik bilgilerii hesaplaması daha çok tasviri istatistiği kousudur. Eldeki istatistik değerlerii kullaarak aakütle parametreleri hakkıda bir kısım yargılara varmak tahlili istatistik veya istatistik aalizi kousuu teşkil etmektedir.
İSTATİSTİK VERİLERİ GİRİŞ Herhagi bir araştırma kousu ile ilgili toplaa işlememiş ham bilgilere veri deir. Veri, araştırma kousu ile ilgili istatistiksel çalışmaı temelii oluşturur. Veri bir alamda araştırma kousuu delillerii teşkil eder. İstatistiksel aalizler kou ile ilgili toplaa ham bilgilere dayaılarak yapılır. Dolayısıyla İstatistiksel aalizlerde doğru souçları alıması elde edile bilgileri doğruluğua bağlıdır. Verileri yalış ya da hatalı toplaması, soucu da yalış veya hatalı çıkmasıa ede olacaktır. Veri toplamada öce araştırma ile ilgili amacı e olduğu çok et bir şekilde ortaya koulmalı ve bu amaç çerçeveside bilgiler toplamalıdır. VERİ TÜRLERİ Veriler karakterlerie göre farklı şekillerde grupladırılabilir. Veriler değişke sayısıa göre, ölçüm türüe göre ve kayıt türüe göre üç aa başlık altıda iceleebilir: Değişke Sayısıa Göre Veriler Değişke sayısıa göre veriler tek değişkeli veriler, iki değişkeli veriler ve çok değişkeli veriler olmak üzere üçe ayrılır. Tek değişkeli veriler Tek değişkeli verilerde araştırmaya kou her birim içi tek bir veri elde edilir. Tek değişkeli veri, kümelerdeki verileri değerleri açısıda birbirleride e kadar farklı veya bezer olduklarıı tespit etmede kullaılabilir. İki değişkeli veriler Bu tarz veri kümeleri içi birimler ile ilgili iki veri tespit edilir. İki değişkeli veri türleride değişkeler arasıda bir ilişkii olup olmadığı, e yöde olduğu veya değişkeler açısıda birimler arasıda bezerlikler olup olmadığı araştırılabilir. Çok değişkeli veriler Araştırma kousu içi üç ya da daha fazla veri elde edilmek istediğide çok değişkeli verilerde söz edebiliriz. Çok değişkeli veri türüe aşağıdaki gibi bir örek verebiliriz. Ölçüm Türüe Göre Veriler Veriler ölçüm türlerie göre itel veriler (kalitatif) sayısal olmaya veriler ve icel veriler (katitatif) sayısal ola veriler şeklide geel olarak iki şekilde sııfladırılır. Araştırmaı kousu gereği cisiyet, medei durum gibi ölçülemeye acak sııfladırılabile verilere ihtiyaç duyulabileceği gibi sayısal değer alabile yaş, boy, gelir gibi değişkelere ait verilere ihtiyaç duyulabilir. Değişkeleri sayısal değer alıp almamasıa göre veriler itel ve icel olarak sııfladırılır. Nitel veriler Nitel veri, değişkei vasfı ile ilgili sayısal olmaya bilgilerdir. Özellikle sosyal bilimlerde araştırma kouları gereği daha fazla itel (kalitatif) veri kullaılmaktadır. Nitel veriyle birimlere ait sıfatlar ya da durumlar tespit edilir. Nitel veriler sııflayıcı (omial) ve sıralayıcı (ordial) olmak üzere iki şekilde iceleebilir: Sııflayıcı (Nomial) Veriler Bu tür veriler içi elde edile değerler sayısal bir büyüklük ifade etmezler. Öreği araştırma kousua göre sorula cisiyet, medei durum, saç regi, göz regi gibi değişkelere verile cevaplar omial verilerdir. Sıralayıcı (Ordial) Veriler Sıralayıcı verilerde ilgili değişkei aldığı değerler açısıda birbirlerie üstülükler ya da öem derecesie göre bir sıralama söz kousudur. Öreği yie araştırma kousua göre sorula öğreim durumu, akademik uva, belirli bir öermeye katılma seviyesi gibi değişkelere verile cevaplar sıralayıcı verilerdir. Nicel Veriler Nicel veriler birimleri sayısal özelliklerii göstere değerlerdir. Araştırma kousu ile ilgili elde edile her türlü sayısal değer icel veri olarak ifade edilir. Nicel veriler kesikli ve sürekli olmak üzere iki şekilde iceleebilir: Kesikli Veriler Kesikli veriler, birimlere ait özellikleri tam sayılarla ifade edildiği veri setleridir. Araştırma kousua göre sorulacak sorularda elde edile değerler tam sayıdır (0, 1, 2, 3, vb). Mesela evli bir kadıa Kaç çocuğuuz var? sorusuu sorduğuuzda alacağıız cevap kesikli veridir. Sürekli Veriler Tam sayılar arasıda sosuz değer alabile ölçü birimi ve kesirli değerler içere veri setleridir. 86.25, 76.56, 78.89 gibi değerler sürekli verilere örek verilebilir. İki tür sürekli veri vardır. Aralık ölçeği ile ölçülmüş veriler: Bu ölçekte üzeride durula değişke belirli iki değer arasıda sosuz değer alabilir. Bu ölçekteki 0 değeri, ölçüle karakteristiği olmadığıı göstermez. Ora ölçeği ile ölçülmüş veriler: Zayıfta kuvvetliye doğru sıraladığımız yukarıdaki ölçekleri e hassas olaıdır. Ölçüle karakteristiği sıfır olması o karakteristiği olmadığıı gösterir. Ayı şekilde ölçüle bir karakteristik diğerii katları ile ifade edilebilir. Ağırlık ve boy ölçümleri bu ölçeğe verilebilecek e iyi öreklerdir. Kayıt Türüe Göre Veriler Kayıt türüe göre veriler kesit veriler, zama serisi verileri ve pael veriler olmak üzere üç şekilde iceleebilir: Kesit Veriler Kesit veriler, belirli bir ada veya belirli bir zama aralığıda toplamış verilerdir. Bu tür verilerde veri değerlerii öemi vardır. Farklı birimlere ait değerleri ayı zamada toplaması ile elde edile veriler kesit verilerdir. Öreği farklı gelir gruplarıı belli bir zama döemide yaptıkları tüketim harcamaları ile ilgili değerler kesit verilerdir. Zama Serisi Verileri Araştırma kousu ile ilgili değişkei zama içerisideki değişimii göstere bilgi zama serisi verisi olarak ifade edilir. Zama serileri araştırma kousua göre gülük, haftalık, aylık veya yıllık şeklide zama periyoduda suulabilir. Pael Veriler Aile, firma veya birey gibi ele alıa mikro birimlere ait kesit verileri zama serisi hâli pael veridir.. Pael veriler birimler arasıdaki farklılıkları ya da bezerlikleri belirli zama periyodu içeriside gözlemlemesi ile elde edilir. VERİNİN TAŞIMASI GEREKEN ÖZELLİKLER Bir araştırmaı başarısıı kou ile ilgili toplaa verii taşıması gereke tüm özellikler belirler. Bu özellikler dört aa grupta toplaabilir.
Verii Foksiyoel Olması Foksiyoel veri toplayabilmek veri toplama ölçeklerii doğru hazırlamakla mümküdür. Araştırma kousu içide problem doğru belirleip sıırı çok et tespit edilmelidir. Veri hagi yötemle toplaacaksa o yötemi veri toplama aracı belirlee sıırı dışıa taşmayacak, problemi çözümü içi gerekli tüm bilgileri içerecek şekilde hazırlamalıdır. Verii Yeterli Olması Veri toplama aracıı hazırlaması aşamasıda, araştırma problemi, problemi oluştura alt problemlere ayrılmalıdır. Hazırlaa her alt problemi altıa o alt probleme ilişki toplaması gereke verileri sağlayacak sorular hazırlamalı ve hazırlaa her soru alt problem ile ilişkiledirilerek soruları gerekliliği ya da gereksizliği saptamalıdır. Ayrıca hazırlaa soruları getireceği varsayıla verii alt problemii taımlaması içi yeterliliği kotrol edilmelidir. Verii Güveilir Olması Bir kouda elde edile verii ayı koşullar oluşturularak tekrarladığıda ayı verii elde edilmesi, ayı bireyde ayı yaıtı alıması verii güveilir olduğu alamıa gelmektedir. Bilgi doğru ya da yalış olabilir. Verii güveilirliği veri toplaa yer ya da kişi ile de ilgilidir. Verii Doğru Olması Gerçek durumu olduğu gibi yasıta veri doğru olarak kabul edilmektedir. Taraflı olmada doğru öreklemde doğru bilgiler elde edilmelidir. VERİ KAYNAKLARI Calı Veri Kayakları Bitki ve hayvalar Bu calılara ilişki veriler geelde gözlem ya da deeysel yötemle toplamaktadır. Verileri toplaması uzu bir zama dilimi gerektirmektedir. Bu calılara ilişki araştırmalar daha çok o calıları yaşam biçimleri ile calılar ve doğa degesi ilişkisii belirlemeye yöelik olmalıdır. İsalar E çok kullaıla veri kayağı isalardır. İsalar gülük yaşatılarıda çeşitli koulara ilişki öemli görüşler geliştirmekte; soruları görmekte ve hatta bireysel çözümler üretebilmektedirler. Belgesel Veri Kayakları Yayılamış belgesel veri kayakları Bular kitap, asiklopedi, gazete, dergi, araştırma, istatistikler vb. veri kayaklarıdır. Her araştırma çalışmasıda kouya ilişki yeterli miktarda belge taraması gerekmektedir. Özellikle öceki zamalara ilişki olay ve olguları araştırılmasıda ya da problemi geçmişle ola ilişkisi yöüde icelemeside yayılamış belgesel veri kayakları çok kullaılmaktadır. Yayılamamış belgesel veri kayakları Yayılamamış belge, bulgu, arşiv evraklar ve diğer dokümalar birer veri kayağıdır. Bu veriler ilgili olay ve olgularla ilişkiledirilerek araştırmayı belli souçlara götürebilecek itelikte olabilmektedir. Doğal Veri Kayakları Yaşaya doğal veri kayakları Doğada bulua çeşitli varlıklar ve olaylar çeşitli alet ve yötemlerle icelediğide araştırma içi gereke veriler elde edilebilir. Toprak bilimi, deiz bilimi, gök bilimi, çevre bilimi vb. doğaya ilişki bilim dallarıda çalışa araştırmacılar, ilgili alada doğada bol miktarda veri toplayabilmektedirler. Kalıtı doğal veri kayakları Bular toprak altıda ve üstüde ola, daha öceki zamalara ilişki doğa kayaklarıda elde edile verilerdir. Yapı kalıtıları, fosiller, mezarlar, tapıaklar, yaşaa döeme ilişki araçlar vb. veri kayaklarıı oluşturmaktadır. Daha çok arkeoloji, saat tarihi, uygarlık tarihi gibi daha öceki zamalara ilişki kültür yapısıı ortaya koymaya çalışa bilim dallarıdaki araştırmacılar tarafıda başvurula veri kayaklarıdır.
İSTATİSTİK SERİLERİ GİRİŞ Elde edile ham verileri alaşılabilirliğii ve hesaplaabilirliğii kolaylaştırmak içi belli bir kurala göre sııfladırılarak tablolaştırılması soucu oluşa diziye seri deir. ZAMAN SERİLERİ Gözlemleri zama birimlerie göre sııfladırıldığı serilere zama serileri deir. Dakikada aka su miktarı, bir web sitei saatlik tıklama sayısı, bir firmaı aylık satış miktarı, bir ülkei yıllara göre işsizlik oraı vb. durumlar zama serilerie örek olarak verilebilir. MEKÂN SERİLERİ Söz kousu gözlemler mekâa göre sııfladırılarak elde ediliyorsa bu serilere mekâ serileri deir. İllere göre üfus sayıları, bölgelere göre doğalgaz tüketim miktarları mekâ serilerie örek olarak verilebilir. BİLEŞİK SERİLER İki ya da daha fazla değişkei birlikte değişimii göstere serilere bileşik seriler deir. FREKANS (BÖLÜNME) SERİLERİ Gözlemleri maddi bir özelliğe göre sıralamasıyla bölüme serisi elde edilir. Mekâ ve zama özelliğii dışıda kala özellikler maddi özellikler olarak kabul edilir. Öreği cisiyet, medei durum, öğreim durumu, üretim miktarı gibi özellikler birer maddi özelliktir. Bölüme serileri sııflama özelliklerie göre itel ve icel bölüme serileri olmak üzere iki grupta icelemektedir. Nitel (Kalitatif) Bölüme Serileri Gözlemleri itel bir özelliğe göre bölüerek oluşturulduğu seri itel bölüme serisidir. Nitel özellik, sayısal değer alamaya özelliklerdir. Medei durum, eğitim durumu ve cisiyet itel özelliklere örek olarak verilebilir. Nicel (Katitatif) Bölüme Serileri Sayısal değer ala özellikleri sııfladırılması ile icel seriler oluşmaktadır. İstatistiksel aalizler bakımıda oldukça öemli ola bu seriler üç başlıkta iceleebilir: Basit Seriler, Sııfladırılmış Seriler ve Grupladırılmış Seriler Mutlak frekas serileri Basit Seriler:Verileri küçükte büyüğe veya büyükte küçüğe doğru sıralamasıyla elde edile serilerdir. Geelde Xi olarak taımlaırlar. Basit serilerde gözlem sayısı ile gösterilirse, serideki gözlem değerlerii toplamı = X1+X2+X3+ Xi şeklide ifade edilebilir. Sııfladırılmış Seriler:. Her gözlem değerii karşısıa bu gözlem değerii kaç kez tekrarladığı (frekas) yazılırsa elde edile seriye sııfladırılmış seri deir. Mesela 100 kişilik bir sııfta 20 farklı ot varsa 100 kişii otu 20 sııf hâlide özetlemiş olur. Grupladırılmış Seriler: Sııfladırılmış serileri bir basamak daha geişleterek grupladırılmış seriler oluşturulur. Geelde gözlem sayısıı çok fazla olduğu durumlarda kullaılır. Böylece durum daha et görülebilir. Gruplamada gruplar geellikle eşit büyüklükte alıır. Grupladırılmış bir seri altı adımda oluşturulabilir: Adım 1: Elde dile veriler basit seri hâlie getirilir. Adım 2: Verileri e büyüğüde e küçük çıkarılarak değişim aralığı buluur. Adım 3: Olayı kaç grupta iceleeceği (m) belirleir. Değişim Aralığı (K) = Xmax - Xmi Adım 4: Sııf büyüklüğü (a) belirleir. Sııf büyüklüğü dağılımdaki e büyük değerde e küçük değeri çıkarılıp grup sayısıa bölümesiyle elde edilir. Sııf büyüklüğü ayı zamada sııf üst sıırı ile alt sıırı arasıda farktır. a= = Adım 5: Serideki e küçük değere sııf büyüklüğü ekleerek m adımda serideki e büyük değere ulaşacak şekilde gruplar oluşturulur. Adım 6: Her guruba düşe değer sayısı belirleir. İki tip grupladırılmış seri hazırlaabilir: Sürekli grupladırılmış seriler ve kesikli grupladırılmış seriler. Nispi frekas serileri Nispi frekas dağılımları hazırlaırke her değere veya sııf aralığıa karşı gele frekas toplam frekasa oralamaktadır. Bu şekilde her değeri tüm değerler içideki ispeti belirlemektedir. Baze karşılaştırma kolaylığı olsu diye ispi frekaslar yüz ile çarpılarak yüzde frekaslar da elde edilmektedir. Kümülatif frekas serileri Kümülatif kelimesi, yığılmış, birikmiş veya toplamış alamıa gelir. İki tip kümülatif frekas serisi hazırlamak mümküdür: de az kümülatif frekas serileri ve de çok kümülatif frekas serileri. de az kümülatif frekas serileri oluşturulurke belirli bir değerde az ola değerler sayılır. Grupladırılmış serilerde ise sııf üst sıırıda küçük ola değerler sayılır. de az kümülatif frekas değerleri toplam frekasa oralaarak de az ispi kümülatif frekas değerleri elde edilebilir.
GRAFİKLER GİRİŞ Grafik:. Daha çok göze hitap ede grafikler, gözlem değerlerii matematiksel ve bilimsel temellere sahip şekiller hâlide ifade edilmesi şeklide taımlaabilir. Grafikler gözlem değerlerii daha kolay alaşılmasıı sağlamaktadır. Çükü grafikler temsil ettikleri olayları bileşimii ve değişmelerideki aa eğilimi tüm calılığı ile ilk bakışta ortaya koymaktadırlar. Bu edele rakamlarla uğraşmak istemeye veya rakamlarda alam çıkarmakta zorluk çekeler içi grafikler daha çok yardımcı olmaktadır. HİSTOGRAM Histogram, grupladırılmış seriler içi oluşturula bir dikdörtgeler dizisidir. Histogram, yatay eksede değişkei aldığı değerleri, düşey eksede ise frekasları buluduğu ve her aralığı frekası ile oratılı yüksekliklere sahip dikdörtgeleri gösterildiği bir yoğuluk grafiğidir. Bu dikdörtgeleri tabaları grupladırılmış serideki her bir sııfı sııf büyüklüğüü, yükseklikleri ise sııf frekasıı göstermektedir. Histogram çizilirke yatay eksede grupladırılmış serii sııf sıırları, dikey eksede ise frekaslar yer almaktadır. Sııf aralıkları ve frekas değerleri ekselerde belirledikte sora sııf sıırlarıı alt ve üst sıırlarıda frekas değerlerie kadar birer dikme çizilir. Grupladırılmış serilerde sııfları frekaslarıı sııf sıırları içeriside düzgü dağıldığı kabul edildiğide, çizile dikmeler yatay eksee paralel bir çizgi ile birleştirilerek dikdörtgeler elde edilir. Bu dikdörtgeleri tamamı histogramı oluşturmaktadır. FREKANS POLİGONU Frekas poligou, histogramdaki sııf sıırlarıı orta oktalarıı apsis sııf frekaslarıı ordiat kabul ede oktaları doğru parçaları ile birleştirilmesi ile elde edile grafik çeşididir. Kısacası histogramı oluştura dikdörtgeleri üst kearlarıı orta oktaları birleştirilmek suretiyle elde edile grafiğe frekas poligou deir. Frekas poligou sııf sıırlarıı mümkü olduğuca küçültülmesi durumuda bir eğriye döüşür. Söz kousu eğriye ise frekas eğrisi adı verilmektedir. Frekas poligouu yatay ekse üzerideki başlagıç oktası ilk sııfta bir öceki farazi sııfı orta oktası, bitiş oktası ise so sııfta bir soraki farazi sııfı orta oktasıdır. Histogramları kapladığı ala ile poligou altıda kala ala birbirie eşittir. KÜMÜLATİF FREKANS GRAFİKLERİ Grafikleri çizimide yatay eksede değişke değerleri, düşey eksede ise kümülatif frekas değerleri buluur. Değişkei aldığı değerler ile kümülatif frekasları kesiştiği oktaları birleştirilmesi ile kümülatif frekas dağılımlarıı grafiği çizilmiş olur. Nispi ve kümülatif frekas dağılımlarıa ait grafikleri elde etmek içi düşey eksee ispi veya kümülatif frekas değerleri yerleştirilmelidir. Kümülatif frekas poligolarıa ojiv eğrileri de deir. SÜTUN GRAFİĞİ Nitel veya başka bir ifade ile kategorik veriler değişkei vasfı ile ilgili sayısal olmaya verilerdir. Özellikle sosyal bilimlerde araştırma kouları gereği, daha fazla itel veriler kullaılmaktadır. Nitel veride birimlere ait sıfatlar ya da durumlar tespit edilir. Nitel verileri suumu grafiklerle yapılabilir. Sütu grafiği, yatay eksede kategorileri, düşey eksede ise bu kategorileri frekasları gösterilerek elde edilir. Çizile sütuları geişlikleri birbirie eşittir. Çizile sütular birbirie bitişik olabileceği gibi birbiride ayrık da olabilir. DAİRE GRAFİĞİ Daire grafiği, omial ölçekle elde edilmiş veriler, kategorik veriler veya az sayıda sııfa ayrılabile veriler içi kullaılabilecek bir grafik türüdür. Daire grafiğide her sııf veya kategori sahip olduğu frekasla oratılı büyüklükteki dilimlerle gösterilmektedir. Şekil itibarıyla dilimlemiş pastaya bezediği içi bu grafiğe pasta grafiği de deilmektedir. PARETO GRAFİĞİ İlk kez İtalya Ekoomist Pareto (1848-1923) tarafıda bulua Pareto grafiği söz kousu bilim adamıı adıyla aılmaktadır. Pareto grafiği gelir dağılımları ile ilgili çalışmalarda tespit edilmiştir. Grafik hata ve maliyet aalizleri içi kullaıla basit bir yötemdir. Pareto grafiği; bozuk ürüler, tamirler, arızalar, talepler, oksalıklar veya kazalar ile mali kayıplar ve buları sebepleri gibi, olayları görsel olarak meydaa gelme frekaslarıı göstere bir tür frekas dağılım grafiğidir. Pareto grafiği bir soruu oluştura edeleri öem sırasıa göre sıralayarak, öemlileri öemsizlerde ayırt etmeye ve dikkatleri öemli edeler üzeride toplamaya imkâ vermektedir. Grafikte solda sağa doğru gidildikçe küçüle sütulara sahip veri sııfları sıralamaktadır. Pareto grafiğide e öemli problemler sol tarafta yer alırke, öemsiz olalar sağ tarafta yer alır. Baze Diğerleri adı altıda çok öemsiz durumlar bir sııf altıda toplaıp birleştirilebilir. Diğerleri kategorisi kullaıldığıda bu sııf e sağda yer alır. Maliyet, frekaslar veya % gibi değerler de dikey eksede gösterilir.pareto grafiği bazı özellikleri bakımıda histograma bezemektedir. Histogramda şu özelliği ile ayırt edilebilir: Pareto grafiğide yatay ekse kategorik verileri gösterirke, histogramda yatay ekse umerik verileri göstermektedir. Bazı durumlarda pareto grafiğide kümülatif eğri gösterilmektedir. Söz kousu eğri solda sağa doğru eklee veri sııflarıı toplamıı göstermektedir. Şekil 8 de örek bir pareto grafiği verilmiştir.
GİRİŞ Merkezî eğilim ölçüleri, istatistiği özetleme görevii e ileri seviyede göre istatistik ölçülerdir. Şöyle ki, 1000 birimlik bir seri, mesela 80 sııf, yahut 15 grup hâlide özetleebildiği gibi serii ortalaması alımak suretiyle bu 1000 sayı bir tek birimle temsil edilebilmektedir. Merkezî eğilim ölçüleri başlıca iki gruba ayrılır: 1-) Serii bütü birimlerie tabi ola merkezî eğilim ölçüleri 2-) Serii bütü birimlerie tabi olmaya merkezî eğilim ölçüleri Birici gruba gire merkezî eğilim ölçülerie parametrik merkezî eğilim ölçüleri de demektedir. Bu gruptaki merkezî eğilim ölçüleri serideki tek bir rakamı değişmeside doğruda doğruya etkileirler. Bu sebeple parametrik merkezî eğilim ölçülerii tamamı serideki aşırı uçları etkiside kalırlar. Sııf uçları belli olmaya grupladırılmış serilerde sııf değerleri hesaplaamayacağı içi parametrik merkezî eğilim ölçülerii hiçbiri hesaplaamaz. Bu gruptaki merkezî eğilim ölçüleri, aritmetik ortalama ( X ), geometrik ortalama (G), harmoik ortalama (H) ve kareli ortalamadır (K). İkici grupta iceleecek merkezî eğilim ölçüleri ise serideki her bir değerde direkt olarak etkilemeyebilir. Medya, mod, katiller ve ortalama kartil değerleri bu gruba gire merkezî eğilim ölçüleridedir. ARİTMETİK ORTALAMA ( X ) İstatistiki uygulamalarda e çok kullaıla merkezî eğilim ölçüsüdür. Basit bir seride aritmetik ortalama serideki birimleri toplamıı birim sayısıa bölümüyle elde edilir. Yai, X i X = i 1 şeklide hesaplaır. Sııfladırılmış ve grupladırılmış serilerde ise aritmetik ortalama, f i X i X = i 1 f i i 1 formülüyle hesaplaır. Grupladırılmış serilerde X değerleri sııf orta oktalarıı yai sııf değerlerii gösterirler. X değerlerie ait tartılar varsa frekaslar yerie tartılar kullaılarak tartılı aritmetik ortalama hesaplaır. Tartılar t ile gösterilmek üzere tartılı aritmetik ortalama formülü, t i X i X = i 1 t i i 1 şeklidedir. Tartılı aritmetik ortalama hesaplaırke kullaıla tartılar sııfladırılmış ve grupladırılmış serideki frekaslar gibi işlem görür. Aritmetik Ortalamaı Özellikleri Aritmetik dizi şeklide artış veya azalış göstere serileri e iyi temsil ede parametrik merkezî eğilim ölçüsüdür. Basit bir sayıya belirli bir sayıı katlarıı ilave edilmesiyle elde edile diziye aritmetik dizi deir. Mesela 5 sayısıa sabit bir sayı ola 3 sayısıı sürekli olarak ilave edilmesiyle 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 36, serisi elde edilir. Bu seri aritmetik dizi şeklide artışları göstere bir seridir. Aritmetik ortalama aritmetik diziye bezeye serileri de e iyi temsil ede merkezî eğilim ölçüsüdür. Serideki birimleri aritmetik ortalamada sapmalarıı toplamı sıfırdır. X i (X i X) 10-5 12-3 18 3 20 5 Yukarıdaki basit serii aritmetik ortalaması 15 tir. Serideki değerlerde serii aritmetik ortalaması çıkarıldığıda bazı farklar egatif, bazı farklar pozitif işaretli çıkmaktadır. Bu farklar topladığıda sıfır çıkmaktadır. (X i X) 0 Serideki birimleri aritmetik ortalamada sapmalarıı kareleri toplamı miimumdur. Bir serii aritmetik ortalaması serii toplam frekası ile çarpılırsa serideki rakamları toplamı elde edilir. Yai yukarıdaki basit seride (X) X i olmalıdır. 4(15) = 60 dir. Sııfladırılmış ve grupladırılmış serilerde ise ( f )X fx olur. Bir serideki rakamlar iki veya daha fazla serii ayı hizadaki rakamlarıı toplamıa eşitse bu serii aritmetik ortalaması diğer serileri aritmetik ortalamaları toplamıa eşittir. Serideki rakamlara belirli bir sabit sayıı eklemesi hâlide buluacak ortalama öceki ortalamaı söz kousu sabit sayı ile toplamıa eşittir. GEOMETRİK ORTALAMA (G) Geometrik ortalama da aritmetik ortalama gibi serii bütü birimlerie tabi bir ortalama çeşididir. Bu ortalama, serideki tae birimi çarpımıı ici derecede kökü alımak suretiyle hesaplaır. Seride sıfır veya egatif değer varsa geometrik ortalama hesaplaamaz. Geometrik ortalama, geometrik dizi şeklide artış göstere serileri e iyi temsil ede parametrik merkezî eğilim ölçüsüdür. Geometrik dizi bir sayıı katlaarak değerler alması durumuda oluşa seridir. Mesela 2 değeri katlaarak değerler alırsa 2, 4, 8, 16, 32, serisi elde edilir.
Basit serilerde geometrik ortalama, G X 1. X 2..... X formülüyle hesaplaır. Bu formül seride çok sayıda rakam varsa pek elverişli değildir. Eşitliği her iki tarafıı logaritması alıdığıda, logaritması alımış geometrik ortalama, log G log X 1 log X 2... log X formülü ile hesaplaır. logg elde edildikte sora her iki tarafı ati logaritması alıarak geometrik ortalama hesaplaır. Sııfladırılmış ve grupladırılmış serilerde geometrik ortalama, G f X f 1. X 2 1.... 2. X f formülüyle buluur. Formül bu haliyle kullaılamaz. Her iki tarafı logaritması alıdığıda, log G f f 1 log X 1 f 2 log X 2... f log X olur. logg buludukta sora her iki tarafı ati logaritması alıarak geometrik ortalama buluur. HARMONİK ORTALAMA (H) Harmoik ortalama serideki birimleri çarpmaya göre terslerii aritmetik ortalamasıı tersidir. Seride sıfır veya egatif birim buluması hâlide harmoik ortalama kullaılmaz. Basit serilerde harmoik ortalama, H 1 i 1 X i formülüyle hesaplaır. Sııfladırılmış ve grupladırılmış serilerde harmoik ortalama, formülüyle hesaplaır. KARELİ ORTALAMA (K) H f i f i i 1 X i Kareli ortalama, serideki birimleri karelerii aritmetik ortalamasıı kareköküdür. Basit serilerde kareli ortalama, 2 X i i 1 K formülüyle hesaplaır. Sııfladırılmış ve grupladırılmış serilerde kareli ortalama, 2 f i X i i 1 K f i formülüyle hesaplaır.
Parametrik Olmaya Merkezî Eğilim Ölçüleri; Mod Medya Katiller olmak üzere üç grupta sııfladırılırlar. Ayrıca katiller de kedi aralarıda Kartiller Desiller Pörsetiller olmak üzere üç grupta iceleirler. MOD Herkesi çok iyi bildiği moda kelimesi modda türetilmiş bir kelimedir. Mod, icelee bir seride e fazla tekrar ede ya da başka bir ifadeyle frekası e yüksek ola gözlem değeridir. Mod, grafiksel olarak gösterildiğide grafiği tepe oktasıda olduğuda tepe değer olarak da ifade edilebilir. MEDYAN Veriler büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe doğru sıraladığıda serii tam ortasıa karşılık gele değere medya ya da ortaca deir.büyüklük sırasıa göre sıralamış basit bir serideki veri sayısı olmak üzere; tek ise medya (+1)/2 ici değerdir. Örek hacmi çift ise medya /2 ici değer ile (/2)+1 ici değeri aritmetik ortalamasıdır. Sııfladırılmış seride medya buluabilmesi içi öcelikle de az kümülatif frekas değerlerii buluması gerekir. Medyaı göstere /2 ici değeri ilk kez içeriside buludura kümülatif frekasa sahip ola değer medya değeridir. Grupladırılmış seride de medyaı buluabilmesi içi öcelikle de az kümülatif frekas değerlerii buluması gerekir. Kümülatif frekas seriside /2 ici değeri ilk kez içeriside buludura sııf medya sııfıdır. KANTİLLER Katiller bir seriyi 4, 10 ve 100 eşit parçaya ayırarak bu serideki değerleri, dörtte, oda ve yüzde e kadarıı belirli bir değere göre yerii saptamak içi kullaılır. Kartiller Büyüklük sırasıa dizilmiş bir serii dört eşit parçaya bölümesi soucu üç kartil buluur. Küçükte büyüğe doğru sıralaa seriyi dört parçaya bölebilmek içi üç böle gerekir. Birici kartil Q1, ikici kartil Q2 ve üçücü kartil Q3 ile gösterilir. Her bir kartil aralığı yaklaşık serideki rakamları %25 ii kapsar. Bir serii ikici kartili medyadır. Desiller Büyüklük sırasıa dizilmiş bir serii o eşit parçaya bölümesi içi dokuz böle gerekir. E küçük desil birici desil, e büyük desil dokuzucu desildir. Birici desil D1, ikici desil D2,, dokuzucu desil D9 ile gösterilir. Her bir desil aralığı serideki rakamları yaklaşık %10 uu kapsar. Beşici desil ayı zamada serii medyaıdır. Pörsetiller Büyüklük sırasıa dizilmiş bir serii yüz eşit parçaya bölümesi içi 99 böle gerekir. E küçük pörsetil birici pörsetil, e büyük pörsetil 99 ucu pörsetildir. Birici pörsetil P1, ikici pörsetil P2,, 99 ucu pörsetil P99 ile gösterilir. Her bir pörsetil aralığı serideki rakamları yaklaşık %1 ii kapsar. 50 ici pörsetil ayı zamada serii medyaıdır.
Merkezî eğilim etrafıdaki dağılma durumuu ortaya koymak amacıyla değişkelik ölçüleride yararlaılır. Bazı durumlarda istatistiksel serileri ortalamaları birbirie eşit olsa da serileri dağılımları birbiride farklı olabilir. İstatistiksel bir seriyi oluştura gözlem değerlerii değer itibarıyla birbirleride ya da herhagi bir ortalamada uzaklıkları esas alıarak hesaplaa ölçülere değişkelik ölçüleri deir. Değişkelik ölçüleri serideki gözlem değerlerii dağılımlarıı bir ölçüsüdür. Bu ölçüler serideki gözlem değerlerii ortalama etrafıda e kadar sık dağıldıklarıı belirtirler. Değişkelik ölçüsü küçük ola seriler karşılaştırma yapıla diğer serilere göre daha homojedirler. Gözlem değerleri ortalama etrafıda daha sık dağıla bir başka bir ifade ile homoje ola serilerde, ortalamaı seriyi temsil etme gücü daha yüksektir. Bu bölümde parametrik değişkelik ölçüleride ortalama sapma, varyas, stadart sapma ve değişim katsayısı alatılacaktır. Takip ede üitede ise parametrik olmaya değişkelik ölçüleride değişim aralığı, kartil aralığı, desil aralığı ve pörsetil aralığı taıtılacaktır. ORTALAMA SAPMA Değişkeliği hesaplamasıda kullaıla ölçülerde biri de ortalama sapmadır. Ortalama sapmaı hesaplamasıda serideki bütü gözlem değerleri kullaıldığıda bir öceki kouda ifade edile dezavataj giderilmektedir. Ortalama sapma, değişkeliği ölçülmeside serideki gözlem değerlerii aritmetik ortalamada e kadar uzak olduklarıı belirlemeye çalışa değişkelik ölçüsüdür. Bu amaçla ortalama sapmaı hesaplaması içi gözlem değerlerii aritmetik ortalamada farklarıı toplamı elde edilir. VARYANS Varyas hesaplaırke ortalamada sapmaları karesi alıarak fark toplamlarıı sıfıra eşit çıkma soruu giderilmiştir. Böylece ortalama sapmaı matematik işlemlere elverişli olmama dezavatajı da bu değişkelik ölçüsüde ortada kaldırılmıştır. Örek değerleri kullaılarak hesaplaa varyas değeri s 2 ile ifade edilirke aakütledeki tüm değerler kullaılarak hesaplaa varyas değeri ise 2 ile gösterilir. STANDART SAPMA Stadart sapma serideki gözlem değerlerii aritmetik ortalamada sapmalarıı bir başka ifade ile ortalamada uzaklıklarıı ifade ede değişkelik ölçüsüdür. Bir serideki gözlem değerleri içi hesaplaa varyası karekökü alıdığıda stadart sapma elde edilir. Stadart sapma, istatistiki uygulamalarda e çok kullaıla değişkelik ölçüsüdür. Stadart sapma ölçüm birimide bağımsız değildir. Yai aakütle veya örekteki gözlem değerleri hagi ölçekle ölçülmüşse stadart sapma da o ölçekle ölçülür. Öreği aakütledeki gözlem değerleri cm ile ifade edilmiş ise aakütlei stadart sapması da cm ile ifade edilir. Uygulamada geellikle örek stadart sapması s, aakütle stadart sapması ise ile gösterilir. Bir serideki gözlem değerleri içi hesaplaa stadart sapma değeri küçük olduğuda gözlem değerlerii aritmetik ortalamaya daha yakı olduklarıı aksi durumda ise uzak olduklarıı ifade etmektedir. Bu durum e az iki istatistiksel seri karşılaştırıldığıda daha iyi alaşılabilir. Öreği X serisii stadart sapma değerii 1.79, Y serisii stadart sapma değerii ise 2.06 olarak elde edildiğii farz edelim. Bu durumda iki seri değişkelik bakımıda karşılaştırılmak isteildiğide Y serisideki değişkeliği X serisie göre daha fazla olduğu söyleir. Örek 7-) Örek 11 deki basit serii varyası 22.67 olarak elde edilmişti. Bu değeri karekökü alıırsa ayı serii stadart sapması 4.76 olarak elde edilir. DEĞİŞİM KATSAYISI Gerek stadart sapma gerekse diğer değişkelik ölçüleri, ölçü birimide bağımsız değildirler. Buda dolayı ayı seri farklı ölçü birimleriyle (mesela, kg yerie gram ile) ifade edildiğide değişik stadart sapma değerleri elde edileceği gibi, farklı ölçü birimleriyle ifade edilmiş iki ayrı serii karşılaştırılması da yaıltıcı souçlar verecektir Değişim katsayısı hesaplaırke mutlak dağılma yerie ispi dağılma esas alımıştır. Değişim katsayısı yüzde olarak ifade edildiğide dolayı ölçü birimide bağımsızdır.
Parametrik değişkelik ölçülerii kullaılamadığı durumlarda parametrik olmaya değişkelik ölçüleride yararlaılır. Parametrik olmaya değişkelik ölçülerii elde edilmesi kolaydır. Serideki tüm değerlere tabi olmadığı içi hesaplamaları pratiktir. DEĞİŞİM ARALIĞI Değişim aralığı; serileri değişkeliği hakkıda yorum yapabilmek içi kullaılabilecek e basit ve hesaplaması içi uzu matematiksel işlemler gerektirmeye bir ölçüdür. Aşırı uç değerlere sahip olmaya ve simetrik dağılımlarda değerleri dağılım aralığıı göstermesi bakımıda kullaışlı bir ölçüdür. KARTİL ARALIĞI Değişim aralığıı hesaplamasıda sadece iki değeri kullaılması edeiyle, değişim aralığıı aşırı uç değerleri direkt etkisi altıda olduğu daha öce ifade edilmişti. Değişim aralığıı bu dezavatajıı gidermek amacıyla kullaıla bir başka değişkelik ölçüsü kartil aralığıdır. DESİL ARALIĞI Değişim aralığıı hesaplamasıda sadece iki değeri kullaılması edeiyle buda daha iyi bir değişkelik ölçüsü olarak kartil aralığıda bahsedilmişti. Desil aralığı e büyük desil ola dokuzucu desilde e küçük desil ola birici desili çıkarılmasıyla elde edilir. Böylece e küçük ve e büyük %10 u oluştura rakamlar dikkate alımaz. Bu sebeple desil aralığı, kartil aralığı gibi değişim aralığıa ispete uç değerlerde etkilememektedir. Dahası desil aralığıı hesaplamasıda her iki uçta yer ala %20 yi oluştura değerler dikkate alımaz. Bu ora kartil aralığıa orala daha düşüktür. PÖRSENTİLARALIĞI Serideki değişkeliği ölçmede kullaılabilecek bir başka ölçü pörsetil aralığıdır. Pörsetil aralığı e büyük pörsetil ola doksa dokuzucu pörsetilde e küçük pörsetil ola birici pörsetili çıkarılması ile elde edilir. Ölçüm, tartım veya kayıt hatalarıda kayaklaa bir problemle seride aşırı küçük veya aşırı büyük bir değer yer alabilir.
ÇARPIKLIK KATSAYILARI Asimetri ölçüleri ile dağılma şekilleri belirleecek serileri bir kısmı belli bir değere göre simetrik dağılım göstermektedir. Bu tür serilere simetrik seriler adı verilmektedir. Dağılımı simetrik olmayıp belirli değerlerde yoğulaşa serilere ise asimetrik seri adı verilmektedir. Asimetrik seriler dağılımı yoğulaştığı değere göre sağa veya sola çarpık seriler olabilmektedir. Çarpıklık katsayısı sıfıra eşit olduğuda serii simetrik bir seri olduğu ifade edilir. Çarpıklık katsayısı egatif olduğuda seri sola çarpık, pozitif olduğuda ise sağa çarpıktır. Bu durum aşağıda verile Şekil 1 de daha iyi alaşılacaktır. Pearso Çarpıklık Ölçüleri İlk kez Karl Pearso (1895) tarafıda ortaya koula bu asimetri ölçüleri, merkezî eğilim ölçüleri arasıdaki ilişkiye dayamaktadır. Kartillere Dayalı Çarpıklık Ölçüsü Kartiller küçükte büyüğe doğru sıralaa değerleri dört eşit parçaya böle değerlerdir. Herhagi bir serii çarpıklığıı hesaplamasıda kullaıla bir ölçü de kartillere dayalı çarpıklık ölçüsüdür. Mometlere Dayalı Çarpıklık Ölçüsü Gerek Pearso çarpıklık ölçüleri, gerekse kartillere dayalı çarpıklık ölçüsü bir serii asimetri durumu hakkıda yaklaşık bir fikir vermektedir. Çarpıklığı daha duyarlı bir şekilde ölçebilmek amacıyla mometlere dayalı çarpıklık ölçüsü kullaılabilir. Serideki gözlem değerlerii sıfırda veya aritmetik ortalamada farklarıı çeşitli kuvvetlerii aritmetik ortalamalarıı tamamıa momet adı verilmektedir. Mometler, sıfır etrafıdaki mometler ve aritmetik ortalama etrafıdaki mometler olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Her iki momet çeşidide sıfırda veya aritmetik ortalamada farkları derecesi mometi derecesii belirlemektedir. BASIKLIK ÖLÇÜSÜ İstatistiki bir seride gözlem değerleri simetrik dağılmadıkları durumlarda merkezî eğilim ölçüsü etrafıda baze toplu hâlde baze de yaygı olabilir. Serii asimetri ölçüsüde farklı olarak basıklık kavramıda, serideki gözlem değerlerii belli bir aralıkta yoğuluğu veya seyrekliği ile ilgileilir
BASİT İNDEKSLER İdeksler, basit veya bileşik bir iktisadi olayı, zama veya mekâ itibarıyla gösterdiği değişmeleri, bir ispet hâlide ifade ederler. Fiyat İdeksi: İdeksi hesaplaacak yılı fiyatı temel yılı fiyatıa bölüerek 100 ile çarpılırsa basit fiyat ideksi elde edilir. Miktar İdeksi: İdeksi hesaplaacak yıldaki miktar temel yıldaki miktara bölüerek 100 ile çarpılırsa basit miktar ideksi hesaplaır. Kıymet İdeksi: Bir mal veya hizmeti kıymeti, fiyat ve miktarıı çarpımıyla elde edilir. Zicirleme İdeks: Bir zama seriside zicirleme fiyat, miktar veya kıymet ideksii hesaplarke ideksi hesaplaacak yıldaki fiyat, miktar veya kıymeti bir öceki döemi fiyat, miktar veya kıymetie bölerek 100 ile çarparız. BİLEŞİK İNDEKSLER Birde fazla mal veya hizmet kalemii fiyat, miktar veya kıymetideki değişmeyi icelemek istediğimizde bileşik idekslerde yararlaırız. Tartısız İdeksler Toplam fiyat ideksi Birde fazla mal veya hizmet kalemii fiyatıdaki ispi değişimi icelemek istediğimizde bu ideksi kullaırız. b) Toplam Miktar İdeksi: Birde fazla mal veya hizmet kalemii miktarıdaki ispi değişimi icelemek istediğimizde bu ideks kullaılır. Kıymet ideksi Birde fazla mal veya hizmet kalemii kıymetideki ispi değişimi icelemek istediğimizde bu ideksi kullaırız. TARTILI İNDEKSLER Fiyat ideksleri hesaplaırke miktarlar, miktar ideksleri hesaplaırke fiyatlar tartı olarak kullaılır. Tartılı Fiyat İdeksleri Laspeyres fiyat ideksi Bir mal veya hizmet grubua ilişki fiyat ideksii hesaplarke, temel döem miktarlarıı tartı olarak alırsak Laspeyres fiyat ideksii elde ederiz. Paasche fiyat ideksi Bir mal veya hizmet grubua ilişki fiyat i-deksii hesaplarke, ideksi hesaplaacak döemdeki miktarları tartı olarak kul-laırsak Paasche fiyat ideksii elde ederiz. Fisher i İdeal Fiyat İdeksi Laspeyres fiyat ideksi ile Paasche fiyat idekslerii geometrik ortalaması alıdığıda Fisher i ideal fiyat ideksi hesaplaır Tartılı Miktar İdeksleri Laspeyres miktar ideksi Bir mal veya hizmet grubua ilişki miktar ideksii hesaplarke, temel döem fiyatlarıı tartı olarak alırsak Laspeyres miktar ideksii elde ederiz. Paasche miktar ideksi Bir mal veya hizmet grubua ilişki miktar ideksii hesaplarke, ideksi hesaplaacak döemdeki fiyatları tartı olarak kullaırsak Paasche miktar ideksii elde ederiz. Fisher i ideal miktar ideksi Bu ideks, Laspeyres miktar ideksi ile Paasche miktar idekslerii geometrik ortalamasıdır. MEKÂN İNDEKSLERİ Bir mal veya hizmete ait fiyat, miktar veya kıymeti yerleşim merkezleri itibarıyla gösterdiği ispi değişimi ortaya koymak içi hazırlaa idekslere mekâ ideksleri deir. Mekâ ideksii hesaplamasıda ilk safha, ilgili mekâlardaki ölçüm değerlerii ortalamasıı bulmaktır. Daha sora, yerleşim merkezlerideki fiyat, miktar veya kıymet ölçümleri bu ortalamaya bölüerek 100 ile çarpılır.
İhtimal (olasılık) kavramı hayatımızı her alaıda karşımıza çıkabilecek olaylar içi kullaılır. Bir olayı olması mümkü olduğu gibi olmaması da mümkü ise bu olay ihtimale kou ola bir olaydır. BASİT VE BİLEŞİK İHTİMALLER Tek bir olayı souçları ile ilgili ihtimaller basit ihtimallerdir. Mesela, yarı yağmur yağması ihtimali, bir sııfta tesadüfi olarak seçile bir öğrecii gözlüklü olması ihtimali gibi ihtimaller ayrı ayrı düşüüldüğüde basit birer ihtimaldir. İki veya daha fazla olayı birlikte vuku bulması ihtimali ise bileşik bir ihtimaldir. Ayı şekilde ikide fazla olayda bazılarıı bazıları ile birlikte vuku bulması ihtimali de bileşik ihtimaldir. Bileşik ihtimal hesaplarıa kou ola olaylar iki gruba ayrılır: a) Bir arada meydaa gelebile olaylar, b) Birbirii egelleye olaylar. ÖRNEK UZAYI İstatistiki bir olayı mümkü ola bütü souçlarıı oluşturduğu sete örek uzayı deir ve S ile gösterilir. Örek uzayıdaki her bir souç, söz kousu örek uzayıı bir elemaıdır. KONTENJANS TABLOLARI VE VENN DİYAGRAMLARI Örek uzayıı başlıca iki yolla gösterebiliriz. İceleecek olayları çapraz sııfladırma yoluyla kotejas tablolarıda gösteririz. Mesela, memurlar arasıda kredi kartı kullaımıı yaygılaştırmaya çalışa kredi kartı şirketleri bir yılsouda memurlar arasıda tesadüfi olarak 200 üü seçerek bulara baka kredi kartı ve/veya seyahat ve eğlece kredi kartı kullaıp kullamadıklarıı sormuş olsular. Alıa cevaplar aşağıdaki kotejas tablosuda gösterilebilir. TOPLAMA KAİDESİ X1, X2,..., X birbirii egelleye tae olay ve bu olayları meydaa gelme ihtimalleri de sırayla P1, P2,... P olmak üzere, bu olaylarda birii veya diğerii meydaa gelme ihtimali, P1 + P2 +... + P olur.bua toplama kaidesi deir. ÇARPMA KAİDESİ Bir olayı vuku bulması bir başka olayı gerçekleşme şasıa bağlı değilse, bu gibi olaylara bağımsız olaylar deir. X1, X2,..., X gibi tae bağımsız olayı ihtimallerii P1, P2,..., P ile gösterirsek, bu olayı birlikte meydaa gelme ihtimali, (P1).(P2)..(P)olur. Bu kaideye çarpma kaidesi deir. İHTİMAL DAĞILIM TABLOSU Bir X olayıı meydaa gelmeside mümkü ola hâller; X1, X2,..., X ve bu hâlleri meydaa gelme ihtimalleri de sırayla; P1, P2,..., P ise söz kousu olaya ait ihtimal dağılım tablosu aşağıdaki gibi olur. Xi X1 X2... X Toplam P(Xi) P1 P2... P 1 BEKLENEN DEĞER (MATEMATİK ÜMİT) adet deemede X1 olayı P1 ihtimalle, X2 olayı P2 ihtimalle,... X olayı P ihtimalle meydaa geliyorsa, X1 i matematik ümidi veya beklee değeri, E(X1) P1, X2 i beklee değeri, E(X2) P2, X i beklee değeri, E(X) P dir
Tekrarlaa olaylara ilişki souçları kesikli değişke değerleri olması hâlide; bu tür olayları souçlarıı gerçekleşme ihtimallerie ait dağılımlara kesikli ihtimal dağılımları deir.kesikli değişke belirli değerler arasıda sadece tamsayı değerler alabile değişkedir. Mesela 0 ila 5 değerleri arasıda 0 ve 5 dâhil edilirse sadece 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 gibi belirli tamsayı değerleri vardır. Kesikli değişke değerleri geellikle sayımla elde edilirler. Mesela bir derslikteki öğreci sayısı, bir otobüsteki yolcu sayısı, bir ailedeki çocuk sayısı, bir para beş kez atıldığıda yazı gelme sayısı, bir siema saloudaki izleyici sayısı kesikli değişke değerlerie verilebilecek öreklerdedir. KESİKLİ TESADÜFİ DEĞİŞKENLER Kesikli değişke, souçları sayımla elde edile değişkedir. Bu sebeple kesikli değişkelere ait souçlar yalızca belirli tamsayı değerler alabilir. KESİKLİ İHTİMAL DAĞILIMLARI X değişkei tesadüfi bir değişke olmak üzere, X değişkeie ait mümkü souçları ve bu souçları meydaa gelme ihtimallerii göstere dağılımlara kesikli ihtimal dağılımları deir. KESİKLİ İHTİMALLERLE İLGİLİ BAZI KURALLAR 1. kural: Ayı ada vuku bulmaları imkâsız ola birbiride farklı k adet olay defa tekrarlaırsa, mümkü souç sayısı, k olur. Mesela bir para 10 kez atıldığıda mümkü souç sayısı, 2 10 1024 tür. 2. kural: İlk deemede k1, ikici deemede k2 ve ici deemede k adet olayla karşılaşıyorsak mümkü souç sayısı, 3. kural: Sıra öemli olduğuda adet olay, (k1)(k2) (k) şeklide hesaplaır.! (-1)..(1) yolla vuku bulabilir. 4. kural: Sıra öemli olduğuda adet olayda X adedi, ( X)! farklı yolla birlikte vuku bulabilirler. Bua permutasyo kuralı deir. 5. kural: Sıra öemli olmadığıda adet olayda X adedi,!! X!( X)! X
kadar farklı yolla birlikte vuku bulabilirler. Bu kurala kombiasyo kuralı deir. BİNOM DAĞILIMI Bir X olayıı meydaa gelmeside sadece iki hâl söz kousu ise bu olayı biom dağılımı gösterdiği söyleir. Uygulamada başarılı veya başarısız, kusurlu veya kusursuz, yazı veya tura, erkek veya kız gibi iki souçlu olaylar biom dağılımı gösterirler. Biom dağılımıda başarılı olma ihtimali, p; başarısızlık ihtimali ise 1 p ile gösterilir. POİSSON DAĞILIMI Poisso dağılımı da biom dağılımı gibi kesikli bir ihtimal dağılımıdır. Poisso olayları biom olaylarıa çok bezer. Biom dağılımıda farklı olarak bu dağılımda üzeride durula olayı meydaa gelme ihtimali çok küçüktür. i büyümesi p i de küçülmesi hâlide, biom formülü yerie poisso formülü kullaılır. Daha et bir ifadeyle, p değeri 5 te küçük olduğuda biom dağılımı poisso dağılımıa döüşür.
SÜREKLİ İHTİMAL DAĞILIMLARI Sürekli tesadüfi değişkeler; souçları ölçüm ve tartımla elde edilmiş, belirli iki değer arasıda sosuz sayıda değer alabile değişkelerdir. Sürekli değişke değerleride birii gözlemesi ihtimali bu sebeple sosuzda bir, yai sıfırdır. Bu sebepledir ki sürekli değişke değerlerii belirli aralıklarda gösterebiliriz. Bu şekilde bir sürekli değişke değerii belirli bir aralıkta gözlemesi ihtimali hesaplaabilir. NORMAL DAĞILIMIN KARAKTERİSTİKLERİ İstatistik aalizii temelii teşkil ede ormal dağılım sürekli bir ihtimal dağılımıdır. Yai, ormal dağılımı meydaa getire birimler ölçme yahut tartma yoluyla elde edilmiş verilerdir ve - ile + arasıda sosuz sayıda değer alabilirler STANDART NORMAL DAĞILIM Normal dağılım foksiyoudaki X x x ifadesii Z ile gösterirsek, Z değerleri dağılımıı ortalaması Z 0 ve stadart sapması Z 1 e eşitlediğide; ormal dağılım, stadart ormal dağılıma döüşür. Bu durumda Z değişkeii stadart ormal dağılım foksiyou, STANDART NORMAL EĞRİ ALANLARI Stadart ormal dağılım içi hazırlaa tablolarda yaralaabilmek içi verile X değerlerii stadart Z değerlerie döüştürülmesi gerekir.
KESİKLİ DAĞILIMLARIN NORMALE YAKLAŞIMI Örek hacmi i büyük olduğu hâllerde kesikli ihtimal dağılımlarıa ait formülleri kullaılması uzu hesaplamalar gerektirir. Örek hacmi yeterice büyük olduğuda, X değerlerii dağılımı ormal dağılıma yaklaşır. Stadart ormal değerleri bulmayı sağlaya, Z X x x formülüdeki X ve X ormal dağılımı parametreleridir Kesikli ihtimal dağılımları ile kesikli değişkei belirli bir değeri alması ihtimali hesaplaabilmektedir. Acak ormal dağılım söz kousu olduğuda belirlee iki değer arasıda sosuz sayıda değişke değeri olduğu içi sürekli değişkei belli bir değere eşit olması ihtimali sosuzda bir olur. Yai sıfır olur. Bu sebeple ormal dağılımda okta değerii ihtimalii bulabilmek içi, verile X değerie 0.5 ilave edilip çıkarılarak belirli bir aralığı tarif edilmesi gerekir. Bua süreklilik düzeltmesi deir. BİNOM DAĞILIMININ NORMALE YAKLAŞIMI 1) Biom olaylarıı souçları kesikli tesadüfi değişkelerle ifade edilir. 2) Biom olayları iki souçlu olaylardır. Souçlarda birii gözlemesi ihtimali p ile gösterilirse diğer soucu gözlemesi ihtimali 1 p ile ifade edilir. 3) Olayları gözlemesi ihtimali p deemede deemeye değişiklik göstermez. 4) Olayları tekrarlaması birbiride bağımsızdır. Olay defa tekrarladığıda x i 0 da başlayıp e kadar ola souçları içi souçları gerçekleşmesi ihtimali, POİSSON DAĞILIMININ NORMALE YAKLAŞIMI Poisso olayları yapıları itibarıyla biom olaylarıa çok bezer. Biom olayıı alatırke söyleeleri tümü poisso olayları içi de söyleebilir. Acak poisso olayları biom olaylarıı özel bir hâlidir. Poisso olayları adir rastlaa olayları ihtimalleridir