9. ÇİZGİSEL (OĞRUSAL) OENTU VE ÇARPIŞALAR 9. Kütle erkez Ssten kütle erkeznn yern ssten ortalaa konuu olarak düşüneblrz. y Δ Δ x x + x = + Teraz antığı le düşünürsek aşağıdak bağıntıyı yazablrz: Δ= x e x Δ = olak üzere Δ =Δ Topla kütley aşağıdak gb fade edeblrz: n = = O halde kütle erkez en genel şekl le aşağıdak gb yazılablr: n = x = Csn kütle erkeznn konuu eya yer ta olarak kütle erkez konu ektörüyle fade edlr: r = x + y j+ z k e r = r n = Katı cslern kütle erkez: Katı csde hoojen kütlr dağılıının olduğu arsayılır yan atolar arası uzaklık konula değşeektedr. topla kütle e d dferansyel kütle olak üzere, x = xd y = yd z = zd feransyel kütle eleanını koordnatlara göre yazak daha uygundur. Bunu aşağıdak gb yapablrz:
Hoojen kütle dağılıı olduğuna göre her yerde yoğunluk aynıdır. O halde d e d sırasıyla dferansyel kütle e hac eleanı olak üzere, ρ = d V d O halde d = d şeklnde yazablrz. V x = V xd y = yd V z = V zd 9. Parçacık eya cs Ssteler çn Newton un İknc Kanunu Parçacık sste çn aşağıdak Teore geçerldr: F = a F Sste üzerne etkyen tü ış kuetle = a Kapalı Sste (sste hareket ettkçe kütles sabt) Ssten kütle erkeznn es Not: Ssten br parçasının dğer br kısı üzerne etkdğ kuetler olarak tanılanan İç kuetler burada hesaba katılaıştır. Yukarıdak teoredek eştlğ bleşenlere ayıralı: F = a F = a,, Y,, Y Z,, Z F = a Şd F = a teoren spat edel: Kütle erkez: r = r + r +... + r n n Türe alalı: dr = e dt d a = dt = + +... + nn a = a+ a +... + nan O halde a = F+ F +... + F n Yukarıdak denklen sağ tarafı: Ssten parçacıklarının br br üzerne etkdğ kuetler (ç kuetler) e ssten dışından sste parçacıkları üzerndek kuetlern toplaı.
Newton un üçüncü yasasını kullanırsak (Etk-Tepk Prensb), etk-tepkden dolayı toplada ç kuetler brbrn yok eder (Katı cs). O halde SAĞ taraf sadece dış kuetlern toplaına eşttr. Böylece spat taalanış olur. 9.3 Çzgsel oentu Kuet karaını KÜTLE e İVE le fade edyoruz. oentu karaını se KÜTLE e HIZ le fade edyoruz. O halde br csn kütlesnn sahp olduğu hız le çarpıı bze o csn oentuunu err. oentu ektörel br büyüklüktür. P= Br csn oentuunun zaanla değş hızı (zaana göre türe) csn üzerne etkyen net kuet le orantılı olup yönü uygulanan net kuetle aynı yöndedr. P F = d d ( ) dt = dt = a Şd br parçacık ssten ele alalı: P= P + P +... + P = + +... + n n n Kütle erkeznn oentuu: P= Br parçacık sstenn çzgsel oentuu ssten topla kütles le kütle erkeznn hızının çarpıına eşttr. O halde ΣF topla dış kuet olak üzere: dp d = = a e dt dt dp F dt = şeklnde yazılır. 9.4 Çzgsel oentuun Korunuu Şd şu kabuller yapalı: İzole br ssten arlığını kabul edel yan sstedek parçacıklar üzernde etk eden bütün dış kuetlern toplaı sıfırdır. Sste kapalı br sste oluş olsun yan ssteden ayrılan eya sstee katılan her hang br parçacık olasın. Şd böyle br sste ateatksel olarak fade edel: Etk tepk prensbnden dolayı: dp F = 0 e dolayısıyla 0 dt = 3
Yan oentu sabttr. Buradan Ssten başlangıçtak oentuu ne se başka br zaandak oentuu da aynıdır dyeblrz. 9.5 İpuls e oentu Çarpışa zole br olay olup şddetl kuetler çarpışaya gren csler üzernde çok kısa sürel olarak etk ederler. Çarpışa Önces Çarpışa Anı Çarpışa Sonrası Çarpışa: Ssten sınırları L -F(t) R F(t) Bu çarpışaya knc yasayı uygulayalı: dp= F() t dt ntegral alarak: Ps P Tanı: s dp= F() t dt t t t J= s F( tdt ) t Çarpışa kuetnn şddet e çarpışa süresne puls denr. F <F> J F(t) t Δt t s t İpuls F(t) nn altındak topla alana eşttr. P P =Δ P= J İpuls-Çzgsel oentu teore s J=< F> Δ t Δt: çarpışa süres 4
<F> kuetnn değer dkdörtgen çndek alanın F(t) eğrs altındak alana eşt olacak şeklde seçleldr. Şd aşağıdak şekle bakalı: R Eğer Δt zaan aralığında n tane cs çarpışıyorsa, bu Δt süresnce R cs üzerne etkyen J pulsu bu duruda: J = nδp İle bulunur. < n n F >= P Δt Δ = Δt Δ Eğer çarpışan csler çarpışada duruyorlarsa: Δ = = 0 = s Eğer yukarıdaknn yerne çarpışan csler R cs le çarpışada hızlarında br değşklk oladan ger saçılıyorlarsa bu duruda: Δ = = = s Δt zaan aralığında Δ = n ktarında kütle R csyle çarpışaktadır. Bu duruda: Δ < F >= Δ Δt Δ Δt ncelğ R csyle çarpışakta olan kütlenn çarpışa hızı. 9.6 Br Boyutta Esnek Çarpışa A. uran Hedefle çarpışa: Burada kafa kafaya çarpışayı nceleyeceğz. Çarpışan csler farklı kütlelere sahp olablrler e br tanes durgun (hedef dye adlandırdığıız) dğer se fırlatılan eya atılan cs (top eya gülle) olarak adlandırılablr. Stez kapalı br sstedr yan sstee dışardan kütle grds eya çıktısı yoktur. Sstez İzole (ışardan etk eden kuet net kuet sıfır) Çarpışa elastk: Knetk enerj korunulu. 5
Çarpışa ster elastk sterse elastk olasın çarpışaya gren kuetler ç kuetler olduğundan dolayı kapalı e zole br sstede çzgsel oentu daa korunur. Şd bu çarpışayı forülleştrel: Çarpışa önces V V = 0 V Çarpışa anı V s V s Çarpışa sonrası = s + s oentu korunuu = s + s Knetk enerj korunuu s = e + s = + B. Hareket eden hedef: Bu çarpışa yne elastk olduğu e cslern her ksnn de çarpışa öncesnde bell br hıza sahp olduğu kabul edlektedr. Çzgsel oentu tabî k korunaktadır: + = s + s Çzgsel oentuun korunuu + = + s s Enerj korunuu = + + + s s = + + + 9.7 Br boyutta Elastk olayan Çarpışa Elastk olayan çarpışa: Knetk enerj korunaz. Cslerden br hareket halnde dğer urgun halde: 6
durgun halde Çarpışa önces Çarpışa sonrası + V oentu korunuu: = ( + ) V V = + Cslern herks de hareket halnde: Çarpışa önces + Çarpışa sonrası V + = ( + ) V 9.8 İk Boyutta Çarpışa Sste: Fırlatılan cs e hedef cs (durgun halde). y V s θ x V θ V s oentu korunuu: = cosθ + cosθ s s 7
0= snθ + snθ s s Eğer çarpışa elastk se knetk enerj korunur: = + s s 9.9 eğşken Kütleye Sahp Ssteler: Roket Hareket 8
Konu le lgl Çözülüş Örnekler Örnek : =. kg, =.5 kg e 3 = 3.4 kg kütleler kenar uzunluğu 40 c olan eşkenar üçgenn kenarlarına yerleştrlştr. Bu üç kütlenn eydana getrdğ ssten kütle erkezn bulunuz. Çözü: 0 3 00 80 a =40 c 60 40 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 Topla kütle: =.+.5+ 3.4 = 7. kg Aşağıdak tabloda gerekl blgler hesaplarsak: Cs Kütle (c) Y(c). 0 0.5 40 0 3 3.4 40cos60 = 70 40sn60 = = x + x + x x = 3 3 = n x.*0 +.5*40+ 3.4*70 = = 83 c 7. Y = y+ y + y y = 3 3 = r = 83 + 58j c n y.*0 +.5*0+ 3.4* = = 58 c 7. Örnek : Aşağıda erlen üçgen kenar ortaylarının geçtğ doğrudan asılak stenektedr. Üçgen her br kenar ortaydan sırasıyla asıldıktan sonra oluşacak yöneller bulunuz. B A C Çözü: 9
B A C C B A C B A Örnek 3: Şeklde görülen R yarıçapına sahp daresel br etal tabakadan R yarıçaplı br tabaka şekldek gb keslyor. Ger kalan kesk csn kütle erkezn bulunuz. C cs y R =R/3R R cs R C x cs Çözü: C = Ta dsk, = cs uzaklaştırılış dsk, = Boş dsk. e csler arış gb düşünürsek Kütle erkeznn sıfır noktasında olduğunu fade eder. C x + = = 0 + x : csnn kütle erkez (Kütle arış gb düşünüyoruz). x = / e = R olduğu görülektedr. ρ = Yoğunluk, t = kalınlık. = V ρ= πr tρ = V = R t R t ρ ( π( ) π ) ρ πr tρ( R) R [ π( R) t πr t] ρ 3 = = Örnek 4: Şekldek parçacık sstende bütün csler başlangıçta durgun halde olup her br cs üzerne farklı dış kuetler etk etektedr. Böyle br ssten kütle erkeznn esn bulunuz. Çözü: Şd öncelkle kütle erkeznde noktasal br cs arış gb düşünel: Bu csn kütles olsun. F = Ssten kütle erkezne x yönünde etkyen dış kuetlern toplaı, F Y = Ssten kütle erkezne y yönünde etkyen dış kuetlern toplaı, 0
y 4 = 4 kg 6 N 3 (,.5) = 8 kg -4-3 - - 0 3 4 N x - - -3-4 3 = 4 kg 4 N = 4+ 8+ 4= 6 kg topla kütle. F = 4 6+ *cos 45 = 6.5 N, F y = *sn 45 = 8.5 N, F = + = 6.5 8.5 8.6 N a F 8.6 = = =.6/s 6 θ = = = tan (8.5/6.5) tan (0.55) 7 Örnek 5: Şeklde görüldüğü gb oyuncak br boya tabancası le yapışıcı boya topları yatay olarak fırlatılarak br ağaç bloğa saplanaktadır. Topların kütleler = 38 gra e hızları 0 /s dr. Ağaç bloğun kütles kg olup sürtünesz yatay br düzlede bulunaktadır. Toplar ağaç bloğa çarpınca yapıştıkları kabul edlerek ağaç bloğa 8 top saplanınca kazanacağı hızını bulunuz. V Çözü: Sste kapalı olup 8 plastk top e ağaç bloktan oluşaktadır. Sste zole değl: Sste üzerne br çok dış kuet etkektedr. Çzgsel oentuun korunuundan faydalanalı: P lk Ssten sınırı = n ( )
Pson = ( + n) V n ( ) = ( + nv ) 3 8*38 0 33.44 n V = = *0 = =.7 3 + n + 8*38 0.304 /s Örnek 6: Kütles = 300 kg olan gülle atan br top kütles 7 kg olan br gülley yatay olarak topa göre t bağıl hızıyla fırlataktadır. Bu esnada top yatay eksende yere göre V bağıl hızıyla ger tepektedr. a) Topun ger tepe hızını yere göre bulunuz. b) Güllenn yere göre hızını bulunuz. t V Çözü: a) Sste = top + gülle Ateşlee esnasındak kuetler ç kuetler olup bunlarla lgleneze gerek yoktur. ünyaız referans ste olsun. Topun yere göre hızı V Güllenn yere göre hızı Güllenn topa göre hızı t = 55 /s V t = t V = + P = 0 lk P = V ( top) + ( gülle) 0 = V + ( + V son ) V = t 7*55.9 + = 7+ 300 = /s (top ger teptğnden eks şaretl. b) = + V = 55.9 = 5. /s t Örnek 7: Kütles 40 gra olan br beysbol topu yatay eksende = 39 /s lk hızla br beysbol oyuncusu tarafından fırlatılıştır. Top beysbol sopasıyla urularak geldğ yöne ters yönde e aynı hızla ger fırlatılıştır. a) Top beysbol sopası le teas halnde olduğu sürece top üzerne etkyen puls nedr? b) Br beysbol sopası le topunun çarpışa zaanı yaklaşık olarak ortalaa Δt =. l sanye se beysbol topu üzerne etkyen ortalaa kuet nedr? c) Beysbol topunun ortalaa es nedr? Çözü: a) Beysbol sopası poztf yönde hareket etş olsun:
J = Pson Plk = s = 0.4*39 0.4*( 39) = 0.9 kg/s Not: lk = son b) J 0.9 < F >= = = 900 Δt 0.00 N c) < F > 900 0.4 4 < >= = = /s a 6.5 0 3
Örnek 8: İk etal küre düşey eksende başlangıçta brbrne değecek şeklde asılı tutulaktadır. Brnc kürenn kütles = 30 gra olup sola doğru çeklerek küreye başlangıç yükseklğne göre 8 c kadar yükseklk kazandırılarak serbest bırakılıştır. Brnc küre serbest bırakıldıktan sonra şeklde görülen yay yörüngey çzerek kütles = 75 gra olan knc küre le elastk olarak çarpışıştır. a) Brnc kürenn knc küre le çarpışa yapadan öncek e sonrak s hızları nedr? b) Brnc küre çarpışayı yaptıktan sonra sola doğru bulunduğu yay üzernde tekrar hang h yükseklğe çıkar? c) Çarpışanın heen ardından knc kürenn hızı nedr? d) İknc küre çarpışadan sonra hang h yükseklğne çıkar? h h Çözü: a) ekank enerjnn korunuundan: Yan cs h yükseklğnden çarpışa noktasına gelrken potansyel enerjs knetk enerjye dönüşür: = gh se = gh = 9.8 0.08 =.5 /s Aşağıda çarpışa çn en genel oentu e enerj denklelern yazalı: + = s + e s + = s + s s = + + + e s = + + + Çarpışa esnasında hareketn tek boyutlu (yan yatayda) olduğuna dkkat edersek çzgsel oentuun korunuundan stenlen s hızını bulablrz. 0.03 0.075 s = =.5 = 0.537 /s. Burada eks değer brnc küre + 0.03+ 0.075 çarpışadan sonra geldğ yönde ger dönesnden kaynaklanaktadır. b) Yne ekank enerj korunuundan: forülünden: c) s = + + + s gh = e s 0.03 = =.5 = 0.75 /s olarak bulunur. + 0.03+ 0.075 d) Yne ekank enerj korunuundan: gh = e h s s ( 0.537) h = = = 0.047 g 9.8 s 0.75 = = = 0.06 g 9.8 Örnek 9: Şeklde görüldüğü gb aşağıdak çarpışada = 590 gralık brnc cs = - 75 c/s hızla başlangıçta durakta olan, yayın bağlı olduğu noktaya uzaklığı d = 53 c olan 4
e kütles = 350 gra olan knc cse esnek olarak çarpaktadır. a) Bu çarpışadan sonra brnc e knc csn hızlarını bulunuz. b) İlk çarpışadan sonra knc cs yayla çarpıştıktan sonra aynı hızla ger dönerek arkasından gelen brnc csle tekrar çarpışaktadır. İknc çarpışanın olduğu uzaklığı yayın bağlı olduğu noktaya göre le fade edersek bu esafey bulunuz. d V V s V f Çözü: a) Brnc çarpışa çn oentu e knetk enerj korunuunu yazalı. = s + e s = s + s 590 350 s = = ( 75) = 9 c/s + 590+ 350 590 e s = = ( 75) = 94 c/s + 590+ 350 b) İknc çarpışada brnc cs d-x kadar knc cs se d +x kadar esafe kat etektedr. Ortak olan se burada bu esafeler eşt zaanda alış olalarıdır. d x d + x t = = buradan s s 53 x 53+ x = x = 35 c olarak bulunur. 9 94 Örnek 0: Şeklde görüldüğü gb kütles = 5.4 kg olan ple asılı br takoza kütles = 9.5 gra olan br er çekrdeğ saplanarak çnde kalaktadır e takoz bulunduğu lk yükseklkten h = 6.3 c daha yükselektedr. A) Çarpışadan önce ernn hızı nedr? b) ernn çarpışadan öncek knetk enerjs nedr? Bu enerjnn ne kadarı ekank enerj olarak kalır? Çözü: a) Knetk enerj korunaz. ekank enerj korunur. = ( + ) V e ( V ) ( ) gh + = + 5.4 0.0095 = + gh = + 9.8 0.063 = 630 /s 0.0095 h 5
0.0095 630 900 b) Kb = = = E = ( + ) gh= (5.4 + 0.0095) 9.8 0.063 = 3.3 J e 3.3 / 900 eya 0. Örnek : İk buz patencsnden Ahet n kütles A = 83 kg olup doğu yönünde A = 6. k/saat hızı le kayaktadır. ğer buz patencs Berna nın se kütles B = 55 kg olup kuzey yönünde B = 7.8 k/saat hızı le kayaktadır. Bu k patenc elastk olayacak şeklde çarpışarak brbrne tutunaktadır. a) İk patencnn çarpışa sonrası ortak V hızı nedr? b) Çarpışadan dolayı k patencnn knetk enerjlerndek oransal değş nedr? Çözü: Aşağıdak şeklde çarpışanın şeatk görüntüsü erlştr. Çarpışa esnasında doğrusal oentu korunur. = A + B e V k patencnn çarpışadan sonrak ortak hızı olak üzere: B B 55 7.8 A A = Vcosθ e B B = Vsnθ buradan tanθ = = = 0.834 e θ = 39.8 A A 83 6. B B 55 7.8 V = = = 4.86 k/saat sn θ (83 + 55) sn 39.8 y, Kuzey V = A + B Kütle erkeznn yörünges A V A θ x, oğu V B B b) Başlangıçtak knetk enerj: A A + B B = 83 6. + 55 7.8 = 370 kgk /h Sonrak knetk enerj: K (83 55) 4.86 630 s = V = + = kgk/h Ks K 630 370 Oransal değş = = = 0.5 K 370 Böylece başlangıç knetk enerjsnn yarısı çarpışa esnasında kayboluştur. Örnek : Şeklde görüldüğü gb kütleler = 5 gra e hızları = 30 /s olan yatay olarak peş peşe atılan erler başlangıçta durakta olan e kütles = 50 gra olan büyük br ağaç bloğa saplanaktadır. a) Blok le yatay eksen arasındak sürtüne yok se bloğa n = 50 er saplanınca kazanacağı hız ne olur? b) erlern sayısını artırarak ağaç bloğun hızını erlern hızından daha yüksek br değere çıkartablryz? 6
Çözü: Sste kapalı: O halde ssten oentuundak değş uygulanan dış kuete eşt olur. Buradan x eksenndek çzgsel oentu korunur dyeblrz. n tane er ar e bunlar hızına sahpler. eksenndek doğrusal oentu bu duruda: Px = n + b = n + 0 = n Ağaç bloğa n = tane er çarptıktan sonra ağaç bloğun kütles ( + n ) kadar artar ee V hızına sahp olur. Çzgsel oentuun x bleşen böylece: Pxs = ( + n) eksennde çzgsel oentu korunduğuna gore: n = ( + n) n 50 5 = = 30 5 ( + n) (50 + 50 5) = /s 7