BÖLÜM 5 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM 5 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 5.- Kısm dferansyel denlemlern türler 5.- Elpt denlemler 5.. Levha boynca sıcalı dağılımının hesaplanması 5.. İteratf yöntemler 5.. Lebmann yöntemnde yaınsamanın hızlandırılması 5..4 Posson denlem 5..5 Türev cnsnden sınır oşl 5..6. Değşen yönlü apalı formülasyon (ADI) yöntem 5.- Parabol denlemler 5.. Isı denlemnn çözümü 5.. Cran-Ncolson yöntem 5.. Teta yöntem 5.4- Hperbol denlemler 5.4. Ttreşen yay problem: 5.4. D Alembert çözümü 5.4. Başlangıç anında hızların sıfır olmaması hal 5.4.4 İ boytl dalga denlem E- Sonl far formülasyonları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü BÖLÜM 5 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 5. Kısm dferansyel denlemlern türler Kısm dferansyel denlemler üç tp olara sınıflandırılır. ve y değşenlerne bağlı olara A By Cy F şelnde tanımlanan nc dereceden br polnomn eğrs adr br eğrdr. B eğr: B 4 AC < se br elpstr B 4 AC se br paraboldür B 4 AC > se br hperboldür. ve y bağımsız değşenlernn fonsyon olan br değşen çn nc dereceden br ısm dferansyel denlem genel olara A B y C y f ( y ) şelnde tanımlandığında benzer termnolo llanılara denlemn B 4 AC < se elpt B 4 AC se parabol B 4 AC > se hperbol oldğ fade edlr. Kısm dferansyel denlemler çeştl tpte sınır şartlarıyla brlte verlr. Sınır şartı cnsnden verlmşse Drchlet tp sınır şartı olara nn gradyantı cnsnden verlmşse Nemann tp sınır şartı olara adlandırılır. ve gradyantı brlte verldğ tatrde arışı sınır şartı söz ons olr. Elpt denlemler potansyel adı verlen br büyülüğün bölge çnde değşmn temsl ederler. Potansyel br büyülüğün esafetn (sılığını) ölçer. Örneğn sıcalı ve onsantrasyon brer potansyel büyülütür. Bağımlı değşen potansyeln herhang br notada sınırda değerlere bağlı olara aldığı denge (eqlbrm) veya dam-drm (steady state) değerlern belrtr. Dolayısıyla elpt denlemler aynı zamanda potansyel denlemler olara da adlandırılır. Elpt denlemn -boytl hal çn genel tanımı y f ( y / / y ) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü şelndedr. Potansyeln farlı br başlangıç drmndan tbaren erştğ dam drm değerler br parabol denlemle temsl edlr. Dolayısıyla b denlemler t zaman değşenn de bağımsız değşenlerden br olara çerr. Gerçete başlangıç drmndan tbaren zaman lerledçe nha denge drmna doğr adım adım lerlenr. Öneml br parabol denlem cρ t olp b denlem br çb boynca sıcalığın çlarda şartlara bağlı olara zamanla nasıl değştğn temsl etmetedr. Brada c ρ ve büyülüler parametreler olp sırasıyla ısıl apaste yoğnl ve ısıl letenl atsayısını belrtmetedr. B örnete A B ve C ve dolayısıyla B - 4AC olp parabol le aynıdır. B denlem ısı denlem olara adlandırılır. Aynı denlem cρ/ yerne D yayınım (dfüzyon) atsayısı olma üzere /D onlması halnde yayınım (dfüzyon) denlem olara adlandırılır. B baımdan cρ/ atsayısı da bazen ısıl yayınablrl (dfüzvte) olara adlandırılır. Üçüncü tp (hperbol) denlemler de zamana bağlıdır. Dalgaların nasıl yayıldığını fade ettlernden dalga denlem olara adlandırılırlar. Br boytl halde yayların ttreşmn gösterr. Ttreşen br yay çn ısm-dferansyel denlem Tg w t şelnde olp brada T g ve w büyülüler sırasıyla yayda gerlmey yer çem vmesn ve brm znl başına ağırlığı belrtmetedr. Bütün b parametreler poztf büyülüler olp A B C< ve B - 4AC > dır. B bölümde ısm dferansyel denlemlern sayısal çözümler çn llanılan tenler zah edlecetr. B yöntemler denlemler yerne sonl-far eşdeğerlern llanırlar. 5. Elpt denlemler: Elpt ısm dferansyel denlemlern standart bçm vardır. İ-boytl halde Laplace denlem c c y a y y Posson denlem c c a f ( y ) y Brada c c y ve a sstemn parametreler olp y ve değşenlerne bağlı olablrler. se çersnde değer blnma stenen büyülü yan potansyeldr. Laplace denlem çoğ zaman potansyel denlem olara adlandırılır. Brada daha zyade c c y c sabt a oldğ özel br halle lglenlecetr b drmda yarıda denlemler y y c ve c f ( y ) şelne gelr. Brada parantez çersnde geçen nc-dereceden türevlern toplamı çoğ zaman M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü y şelnde br sembolle gösterlr b ² sembolü Laplasyen olara adlandırılır. Laplace denlemnn br ço yglaması vardır. Bnlardan brs de boytl br csm üzernde dam-drm sıcalı dağılımıdır brada ncelemelerde örne model olara çoğ nsanın olaylıla gözünde canlandırableceğ b problem ele alınacatır. Şel 5. de ünform τ alınlığında ddörtgensel br levha yer almatadır. Levhanın O le belrtlen sol alt öşes başlangıç notası olma üzere düzenlenen br (y) artezyen oordnat sstemnde sol alt öşes P(y) notasında yer alan ve (ddyτ) enar znllarına sahp br hacm elemanını ele alalım. Hacm elemanına doğrltsnda brm zamanda gren ısı O y d dy τ A ( τdy ) Şel 5. şelnde fade edleblr. Elemandan doğrltsnda brm zamanda çıan ısı se d estnde gradyant hesaplanara ( τ dy) d ( τ dy) d şelnde gösterleblr. Benzer şelde elemana y doğrltsnda brm zamanda gren ve çıan ısılar da sırasıyla olacatır. ( τd ) y dy y y y y y ( τd ) dy ( τd ) Hacm elemanının ayrıca alt ve üst yüzeylernden ısı aybı oldğ varsayılırsa b yolla brm zamanda çıan ısı Q d dy şelnde belrtleblr. Brada Q büyülüğü brm zamanda brm yüzey başına (alt ve üst yüzeyden) ısı aybını belrten br atsayıdır. Dam-drmda elemana gren ve çıan ısılar toplamı eşt olacağından: y y y ( τdy ) ( τd ) ( τdy ) d ( τd ) dy Q d dy şelnde br denge denlem yazılablr. B denlem sadeleştrmeler ve düzenlemeler sonc M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 y Q τ (5.) şelne gelr. -boytl halde b denlem yerne benzer br ncelemeyle y z Q denlem elde edleblr. Brada Q büyülüğü brm hacm başına brm zamanda aybolan ısıyı belrtr. (B drmda ısı aybı genellle csm çne gömülü br soğtc vasıtasıyla olmatadır.) (5.) denlemn Laplasyen operatörünü llanara ısaca Q τ şelnde de fade etme mümündür. Şayet levhanın alınlığı ve y le değşyorsa (5.) denlem yerne τ τ Q y y τ (5.) şelnde br denlem yazılablr. Hem levhanın alınlığı ve hem de ısıl letenl atsayısı değşen se b defa τ τ τ τ Q τ y y y (5.) şelnde br denlem elde edleblr. 5.. Levha boynca sıcalı dağılımının hesaplanması: (5.-) denlemlernden büyülüğünü elde etmenn standart yol hesap bölgesn br ağ sstemyle sonl sayıda elemana bölere herbr eleman üzernde türevlern sonl-farlarla fade edlmesdr. Brada ncelemede merez farlar llanılaca ve elemanların bütün hesap bölgesnde eşt büyülüte are elemanlar oldğ yan ağ notalarının eşt aralıla dağıldıları abl edlecetr. Levha ddörtgensel oldğ ve en/boy oranı ygn seçldğ tatrde b drm olaylıla sağlanablr. Eleman enar znlları ısaca yh olara gösterlecetr. Şelde problemn ayrılaştırılması çn llanılan ağ sstem ve ağ düğüm notalarının ndsleme sstem gösterlmetedr. N - y yh P h - N Şel 5. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 5 Türevlern sonl far açılımlarının Taylor serler yardımıyla elde edlmes mümündür. B onyla lgl blgler E 5 de yer almatadır. değşennn ve y ye göre nc türevlernn herhang br P notası cvarında merez far açılımları sırasıyla ( ) ve y ( y ) olp b drmda nn Laplasyen çn y h ( ) 4 (5.4) elde edlr. Örne: cm genşlte ve cm yüselte br düz levhanın üst ve alt yüzeylernn zole edldğn varsayara üst alt ve sol enarlarında sıcalı C sağ enarında sıcalı C en levhanın.5 cm aralıla belrlenmş notalarında sıcalıları hesaplayınız. B problem (5.) denlemnn Q özel halnde N h y yh P denlemyle ncelenecetr. B denlemn sayısal çözümü çn şelde gösterldğ gb br ağ yapısı llanılablr. B ağ yapısında notalar.5 cm aralıla yerleştrldğnden toplam 7 adet ç nota ve 4 adet de sınır notası mevcttr. Denlem b ağın br P notası cvarında - - N 4 h 4 (5.5) şelnde ayrılaştırılablr. Görüldüğü gb ayrılaştırılmış denlem P notasında blnmeyen sıcalı değern b notanın sol sağ üst ve altında yer alan notalarda yne blnmeyen sıcalı değerlerne bağlamatadır. Yan denlemde 5 adet blnmeyen blnmatadır. Ayrılaştırılmış denlem bütün ç notalarda yazılaca olp böylece adet denlem elde edlecetr. İç notalardan br ısmı (6 adet) sınıra omş notalar olp b notalarda yazılan denlemlerde sınır notalarda blnen sıcalı değerler de yer almatadır. Örneğn P notasında ayrılaştırılmış denlem 4 4 şelnde olacatır. Brada ve 4 değerler sınırlar üzernde blnen sıcalılar oldğ çn denlemn sağına yazılmıştır. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 6 Blnmeyen sıcalı değerler sadece ç notalarda olp toplam blnmeyen sıcalı sayısı dr. Yan denlem sayısına eşttr. İç notaların ve sınır notalarının lstes aşağıda tabloda görülmetedr: U 4 U 4 U 4 U 4 U 44 U 54 U 64 U 74 U 84 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 U U U U U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 Denlemler ç notalarda (U U U U U ) şelnde br sıra zlenere yazılır ve olşan denlem sstem de matrs bçmnde düzenlenrse aşağıda gb matrs eştlğ elde edlr. -4 U -4 U -4 U -4 U 4-4 U 5-4 U 6-4 U 7 - -4 U -4 U -4 U -4 U 4-4 U 5-4 U 6-4 U 7 - -4 U -4 U -4 U -4 U 4-4 U 5-4 U 6-4 U 7 - B denlem sstemnn Gass elmnasyon yöntem le çözümünden elde edlen sonçlar aşağıda tabloda snlmştr. 4.5.9. 4.957 9.5 9.66 4..4989.894.84 6.94.658 6.894 5.774.5.9. 4.957 9.5 9.66 4. 4 5 6 7 8 B denlem sstemnn atsayılar matrs 5 dyagonall br bant matrs olp çözümü çn Gass elmnasyon yöntemnn daha özel br şel llanılablr. Levha üzernde sıcalı dağılımını daha hassas şelde hesaplama çn ağ yapısı daha sıılaştırılablr. Hassasyet arttırmanın br dğer yol da Laplasyen hesaplaren P notasının sağ sol alt ve üst tarafında yer alan omş notalar yanında çaprazda dğer 4 notayı da (sol ve sağda alt ve üst öşelerde yer alan notalar) atara 9 notalı br ayrılaştırma llanmatır. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 7 5.. İteratf yöntemler: Yarıda örnete llanılan çözüm tenğyle lgl en öneml sorn hassasyet arttırma çn ağ yapısı ço sılaştırıldığında ço büyü boytl matrslere htyaç doğmasıdır. h.5 cm hücre genşlğ çn elemanlı br atsayılar matrs olştrlmştr. Hücre genşlğ yarıya ndrlere h.5 cm yapıldığı tatrde atsayılar matrsnn boyt 5 5 olacatır. Hücre genşlğnn br ez daha yarıya ndrlere h.65 cm yapılması halnde se matrs boyt 465 465 olacatır. Matrsn boytnn ço büyü olması hem ço büyü blgsayar hafızası hem de ço büyü şlem zamanı geretrecetr. Oysa yarıda örnete oldğ gb b tp problemlerde arşılaşılan matrsler genellle seyre (çoğ elemanı sıfır olan) matrslerdr. Ve seyre matrs sstemlernn çözümü çn deal ten teratf yöntemlerdr. Yarıda örnete elde edlen (5.5) denlem 4 şelnde düzenlenere Lebmann yöntem olara blnen br teratf ten yglanablr. Böylece herhang br adımda blnen sıcalı değerler olma üzere br sonra adımda sıcalılar yarıda formül vasıtasıyla (5.6) 4 şelnde hesaplanablr. Herhang br terasyon adımında hesap notasının sağında ve üstünde değerler çn önce terasyon adımında blnen değerler alınıren solnda ve altında değerler çn b terasyon adımında hesaplanan yen değerler alınmatadır. Sınıra omş notalarda b formül yglanıren sınır notalarında değerler sınır oşllarından blnmetedr. İterasyonn başlangıcında sadece sınır değerler blnmete olp ç notalarda değerler çn br tahmnde blnma geremetedr. Başlangıç değerlern eyf (örneğn bütün ç notalarda sıfır) alma mümündür. Anca ygn değerler alınması (örneğn sınır değerlern br ortalaması) terasyon sayısını azaltacatır. Aşağıda tabloda 8 terasyondan sonra. hassasyetle yaınsamış çözüm sonçları yer almatadır. \ 4 5 6 7 8 4.5.9.5 4.959 9.5 9.66 4..499.896.85 6.95.659 6.895 5.775.5.9.4 4.958 9.5 9.66 4. 5.. Lebmann yöntemnde yaınsamanın hızlandırılması: Lebmann yöntemnn yaınsamasını ardarda aşırı gevşetme sccessve overrelaaton (SOR) yöntem yglayara hızlandırma mümündür. Lebmann yöntem çn SOR yöntem 4 w 4 M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 8 terasyon formülüyle yglanır. Brada w büyülüğü aşırı gevşetme çarpanı olara adlandırılır. Yarıda örne problemde aşırı gevşetme çarpanının çeştl değerler çn. hassasyetle yaınsamanın sağlandığı terasyon sayıları aşağıda tabloda snlmştr. Aşırı gevşetme çarpanı.....4.5.6.7 İterasyon sayısı 8 5 5 7 9 9 Aşırı gevşetme le terasyon sayısının hayl azaldığı görülmetedr. Anca aşırı gevşetme çarpanının büyü değerlernde terasyon sayısının terar arttığı dat çemetedr. Aşırı gevşetme çarpanının optmm değer her zaman olaylıla tahmn edlemez. Uygn değer blma çn terasyonn başlangıcında braç adıma at sonçları llanan bazı yöntemler mevcttr. Drchlet tp sınır oşllarının llanıldığı ddörtgensel br hesap bölges çn önerlmş br yöntem [ ( π / p ) cos( π / q) ] ω 6ω 6 cos (5.8) denlemnn en üçü öüdür. Brada p ve q büyülüler hesap bölgesnn her yönde hücre sayılarını belrtmetedr. Örne problem çn b denlemn öler. 66ω 6ω 6 ω. 668 ω 4. 74796 olp üçü ö çn blnan değer yarıda tabloda elde edlen sonçları doğrlamatadır. Ntem aşırı gevşetme çarpanı çn.668 değer llanılara terasyonn 5 adımda yaınsadığı tespt edlmştr. 5..4 Posson denlem: Posson denlem R şelnde olp brada R büyülüğü (y) onmnn br fonsyon olablr. Laplace denlemnn çözümünde llanılan yöntemde fa br değşl yapara Posson denlemn çözme mümündür. Örne: Ddörtgensel estl br çbğn est boytları 6n 8 n dr. B çb çn brlma fonsyonn çözünüz. Çbğn brlması halnde teğetsel gerlmeler brlma fonsyonnn ısm türevleryle orantılı olp brlma fonsyon çn ϕ şelnde br denlem elde edlr. Sınır oşl çb estnn enarlarında φ şelndedr. B denlemn çözümü çn bast açı terasyon formülü ϕ ϕ ϕ ϕ h ϕ 4 şelnde veya SOR terasyon formülü ϕ ϕ ϕ ϕ 4ϕ h ϕ ϕ ω 4 M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 9 şelnde yazılablr. h n olma üzere olştrlan br ağ yapısı çn optmm aşırı gevşetme çarpanı.8 olp b değer llanılara 4 terasyonda. hassasyetle yaınsayan çözüm sonçları aşağıda tabloda snlmştr. \ 4 5 6 8....... 7..4.47.5.47.4. 6.. 4.794 5.9 4.794.. 5..657 5.686 6.5 5.686.657. 4..88 5.959 6.647 5.96.88...657 5.686 6.5 5.686.657... 4.794 5.9 4.794.4...4.48.54.48.4........ 5..5 Türev cnsnden sınır oşl: Bazı problemlerde sınırlarda fonsyonn türev cnsnden (Nemann tp) veya arışı tpte sınır şartı söz ons olablr. Sınır oşlları genel br bçmde A B C ' şelnde fade edleblr. Brada A B ve C büyüler brer sabttr. - Drchlet tp sınır oşl çn C - Nemann tp sınır oşl çn A B / ' B / C A - Karışı tpte sınır oşl çn A B C B bağıntı örneğn br yüzeyden ısı aybı çn A H B H s C alınara ' H ( ) s şelne gelr. Örne: Kalınlığı.5cm olan 5cm 9cm boytlarında düz levhanın dam-halde sıcalı dağılımını hesaplayınız. Levhanın her yernde Q.6 cal/cm³s büyülüğünde ısı üretm olp alt enarda T/y5 şddetnde br ısı aybı mevct en yan enarlar C sabt sıcalıta ttlmatadır. Üst enarda se çevre le - T/yH (TO-T s ) formülü yarınca ısı alışverş söz onsdr. Brada (ısıl letenl atsayısı).6 H (ısı transfer atsayısı).7 ve T s (çevre sıcalığı) 5 C dır. TO büyülüğü levhanın zn üst enarında sıcalıları belrtmetedr. Levha yüzey zole edmş olp çevre le ısı alışverş yotr. Hücre genşl ve yüsellern eşt ve cm alınız. Levha çnde ısı üretm söz ons oldğndan b problemn çözümünde llanılaca denlem br şaret farıyla (5.) denlemnn benzer olp T τ Q şelnde br Posson denlemdr. B denlem merez farlarla ayrılaştırılara M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü T T T T 4T Q h τ bçmnde yazılablr. Denlem düzenlenere T T T T T 4T Qh T ω 4 4τ şelnde br SOR terasyon formülü elde edleblr. N -.6 (T/y).7 (-5) Probleme lşn sınır oşlları yanda şel N - üzernde belrtlmştr. T Levhanın yan yüzlernde Drchlet tp sınır oşl b enarlarda düğüm notalarında sıcalılar sabt C sıcalıta ttlara gerçeleştrlecetr. B değerler ve N - ndsl düğüm notalarında - denlemlerde yer alacatır. T/y 5 N N - T Levhanın alt enarında T/y5 şelnde sıcalı gradyantı cnsnden br sınır şartı verlmş olp b gradyant ndsl düğüm notaları le çevre ortamda levha enarından h adar zata yer aldığı varsayılan - ndsl hayal düğüm notaları arasında T T 5 y h T T h şelnde hesaplanara şlemlere atılablr. (Brada sıcalı gradyantı poztf en ısının levhadan çevreye doğr -negatf y yönünde- aacağı dolayısıyla ısının problemde belrtldğ gb aybedleceğ görülmetedr.) B drmda levhanın alt enarı boynca ( ndsl düğüm notalarında) sıcalılar T T T T T 4T Qh T ω 4 4τ T T h Levhanın üst enarında sınır oşl y H ( ) T O T s şelnde verlmştr. Brada sıcalı gradyantı levhanın üst enarına omş (N - ndsl) düğüm notaları le yne çevre ortamda levhadan h zalıta hayal düğüm notaları (N ndsl) arasında T y T h N N şelnde hesaplanara sınır oşlnda llanılırsa T T H T T N N hh ( N ) s TN ( ) y h TN TN T s M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü elde edlr. B drmda levhanın üst enarında (N ndsl) düğüm notalarında sıcalılar T T N T N T N T N 4T N Qh T ω 4 4τ N N hh T T T T N N N s bağıntılarıyla hesaplanır. Aşırı gevşetme çarpanının ω.4 değer çn 59 terasyon soncnda. hassasyetl yaınsama le elde edlen sonçlar aşağıda tabloda yer almatadır. \ 4 5 6 7 8 9 6 45.9 6.86 7.96 76.876 76.876 7.96 6.86 45.9 5 7.5 7.95 8.859 8.86 8.86 8.859 7.95 7.5 4 9.95 7.476 66.7 8.74 8.74 66.7 7.476 9.95 99.79 55.6 89.855 6.669 6.669 89.855 55.6 99.794.98 6.9.956 9.49 9.49.956 6.9.98.76 6.59.44.6.6.44 6.59.76 94.589 5.84 9.669.958.958 9.669 5.84 94.589-7.76.59 7.44 9.6 9.6 7.44.59 7.76 5..6. Değşen yönlü apalı formülasyon (ADI) yöntem B bölümün başında ısm dferansyel denlemler sonl farlarla doğrdan çözülmeye çalışıldığında atsayılar matrs seyre olan denlem sstemler ortaya çımıştı. Kllanılan ağ notası sayısı arttırıldıça b seyrel oransal olara artacatır. Örneğn düğüm notası halnde atsayılar matrsnn elemanlarının %8 sıfır en düğüm sayısı 5 oldğnda sıfır eleman sayısı %96 ya çımatadır. düğüm notalı üç boytl br problemde se sıfırdan farlı eleman sayısı sadece %. dr. İ- ve üç-boytl problemlerde atsayılar matrs sadece seyre olmayıp ayrıca bant şelndedr. Yan sıfır olmayan elemanlar dyagonale paralel bell genşlte br bant bölgenn çnde almatadır. Bant matrsler çözen özel yöntemler gelştrlmştr. Anca bazı hallerde bant genşlğ büyü olmata ve çözüm güçleşmetedr. Sadece üç-dyagonall sstemlern bast ve etn br çözümü mümündür. İ- ve üç-boytl problemler üçdyagonall denlem sstemlerne ndrgeyere çözmenn br yol değşen yönlü apalı formülasyon (Alternate Drecton Implct ADI) yöntem llanmatır. N yh P h Yöntem açılama çn Laplace denlem örne olara alınırsa denlemn şelde gb br ağ yapısında herhang br P notası etrafında sonl far ayrılaştırması - - N T T T T T T T ( ) ( y) şelnde yapılablr. yh alınması halnde b büyülüler denlemden atılara M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü ( ) ( ) T T T T T T yazılablr. B denlemn teratf çözümünde herhang br terasyon adımı aşamalı olara gerçeleştrleblr. Önce y doğrltsnda türev önce adımdan blnen değerlerle ve doğrltsnda türev de yen adımda hesaplanaca olan değerlerle fade edlere / ( T T T ) ( T T T ) (... NI ) şelnde br denlem sstem daha sonra da bnn ters yapılara / ( T T T ) ( T T T ) (... NJ ) şelnde br dğer denlem sstem elde edlr. Dat edlrse her denlem sstem de üçdyagonall denlem sstemlerdr. İ sınırda (brnc sstem çn ve NI de nc sstem çn ve NJ de) sınır değerler verldğnde Thomas yöntem llanılara çözüleblrler. y çözümün blndğ düğüm notası çözümün arandığı düğüm notası NJ y NJ - y NJ - - NI - - nc adım (y yönünde apalı şema le çözüm) NI - ıncı adım (bütün düğüm notalarında çözümler blnyor) NI ½ nc adım ( yönünde apalı şema le çözüm) B denlem sstemlernden l doğrltsnda aynı sırada düğüm notalarında yazılmış denlemler fade etmetedr. Denlem sstem önce sınıra omş l sırada () yazılıp Thomas yöntemyle çözülür. Aynı şlem nc üçüncü ve daha sonra sıralar çn dğer sınıra omş en son sıraya (NJ-) adar gerçeleştrlr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü Daha sonra yön değştrlere benzer şlemler y yönünde denlem sstem çn terarlanır. Yan önce sınıra omş sıra () çn ardından nc üçüncü ve dğer sınıra omş sıraya (NI-) varıncaya adar bütün sıralar çn denlem sstem yazılıp çözülür. B -aşamalı teratf çözüm tenğ yeterl br yaınsama elde edlnceye adar terarlanır. Örne: 6cm 8cm boytlarında br düz levhanın zn olan üst enarı C sağ enarı 5 C ve dğer enarı da sıfır derece sıcalıta ttlmatadır. Levha yüzey zole edlmş olp çevre le ısı alışverş yotr.dam-drm sıcalı dağılımını ADI yöntemn llanara cm aralılarla hesaplayınız. terasyon adımı soncnda. hassasyetle yaınsamış çözüm sonçları tabloda snlmştr. \ 4 5 6 7 8 6....... 5 48.5 66.88 74.669 78.4 79.4 77.985 7.464 5 4 7.6 44. 5.644 58.84 6.78 6. 57.87 5 6.44 8.754 6.98 4.89 45.45 47.495 48.894 5 9.599 7.58.44 7.55.878 4.59 4. 5 4.484 8.6.5.78 6.4 9.49 7.45 5 5.. Parabol denlemler: Kısm-dferansyel denlemlern parabol araterde nc sınıfı tp örneler madde yayınımı veya bölge çnde ısı aışı oldğndan genellle yayınım denlem veya ısı denlem olara adlandırılır. Brada ncelemelerde de örne olara ısı problemler ele alınacatır. Bnların daha öncelerden farı artı dam drm problem olmayıp zamana bağlı yan sıcalığın zamanla değştğ problemler olmasıdır. İl olara br çb boynca br-boytl ısı aışı problem ele alınacatır. Şayet zaman yeternce zn ttlr ve sıcalılar dam-drm şartlarına erşrse b problem de daha önce elpt problem örneğyle özdeş olr. Şelde L znlğnda br çb üzernde d genşll br çb elemanı şaretlenmştr. Çbğn çevresnn zole oldğ ve b yüzden çevreyle ısı alışverş olmadığı varsayılmatadır. esen çb boynca soldan sağa doğr yönlenmş olp esen boynca Gren ısı Çıan ısı d L dt A d formülü yarınca amata olan ısı [cal/s] olara ölçülmetedr. Brada es şaretnn ısının sıcatan soğğa doğr amasıyla lgl oldğ blnmetedr. d znlğnda çb elemanının sağ tarafından çıan ısı da A d d T dt d d şelnde fade edleblr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 Dam-drmda b çb elemanına gren ve çıan ısılar eşt olr. Zamana bağlı olayda se çb elemanına brm zamanda gren ısı le çıan ısı arasında far b süreçte çb elemanının bünyesnde depolanan ısıya eşt olacatır. Depolanan b ısı da çb elemanının sıcalığını arttıracatır. Çb elemanının sıcalı değşmyle lgl olara brm zamanda depolanan ısı mtarı elemanının hacm (A*d) malzemenn yoğnlğ (ρ) ve malzemenn ısıl apastesne (c brm ütle ve brm sıcalı başına depolayabldğ ısı - cal/gr C) bağlıdır: dt c ρ ( Ad ) dt B üç fade llanılara dt dt d T A A d d d d c ρ dt ( Ad ) dt veya b eştl düzenlenere d T d dt c ρ dt (5.) denlem elde edlr. İ- veya üç-boytl halde de b denleme eşdeğer T dt c ρ dt (5.) denlem elde edlr. Bazı hallerde malzeme homoen olmayablr. Böylece ısıl özelller onma bağlı olara değşeblr. Bazı hallerde de malzeme çnde Q [cal/s cm³] büyülüğünde br ısı üretm olablr. B gb drmlar çn de yarıda denlemler yerne T T T ( y z ) ( y z ) ( y z ) c( y z ) ρ( y z ) y z dt şelnde br denlem yazma mümündür. Brada örneler bast ttlara sadece (5.) ve (5.) denlemleryle lglenlecetr. Yarıda bütün denlemler de onm dışında ayrıca zamana bağlıdır. B denlemlern bell br başlangıç zamanında verlen başlangıç şartlarıyla başlatılması gereldr. Ayrıca sınır değerlernn blnmesne de htyaç vardır. Dolayısıyla b tp problemler onma göre sınır değer zamana göre de başlangıç değer problem olara ntelendrlmeldr. dt 5.. Isı denlemnn çözümü: Çb boynca ısı aışı nedenyle sıcalığın zamanla değşm problemn çözme çn üç farlı yöntem ncelenecetr. Üç yöntemde de benzer nota olara onmsal türevler merez farlarla ayrılaştırılmatadır. Yöntemlern farlılıları se zamansal türevlern ayrılaştırılma şelnden aynalanmatadır. Önce açı formülasyon (eplct method) ncelenecetr. B yöntemde zamana göre türev ler farlarla T t T T t (5.) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 5 şelnde ayrılaştırılmatadır. B fade notasında t anında zamana göre türev fade ederen T büyülüğü b notada t anında sıcalığı T büyülüğü se t (veya t t) anında sıcalığı belrtmetedr. B yöntemde onmsal türev se t anında notası etrafında merez farlarla T T T ( ) T (5.4) şelnde ayrılaştırılmatadır. Yöntem ayrılaştırma şel nedenyle lteratürde çoğ zaman FTCS (Forward Tme Central Space) yöntem olara da adlandırılmatadır. Zamanda ayrılaştırma brnc dereceden oldğ çn hata O( t) mertebesnde en onmda ayrılaştırma nc dereceden oldğ çn hata O( )² mertebesnde olmatadır. Hata mertebelernde b farlılı yöntemn ararlılığı üzernde et yaratmatadır. Ayrılaştırılmış türevler (5.) denlemnde yerleştrlere d T d dt c ρ dt T T T T cρ ( ) t T veya düzenlenere elde edlr. Brada ( r ) T rt T rt (5.5) r cρ t ( ) dr. (5.5) bağıntısı çözümü zamanda t adım znlğ le lerleten br bağıntı olp çözüm br tt başlangıç anında T sıcalığının bütün notalarında blnen başlangıç değerler le başlatılmatadır. Sonra zaman adımlarında önce adımda blnan sıcalılar ve sınır oşlları gereğ çbğn cnda blnen sıcalı değerler llanılmatadır. Yönteme açı (eplct) şema denlmesnn neden notasında sıcalığın önce adımdan ve sınır oşllarından blnen sıcalı dğerler llanılara doğrdan hesaplanablmesdr. Örne cm alınlığında ço genş br çel levha çnde sıcalı dağılımını zamanın fonsyon olara hesaplayınız. Çel çn. cal/s cm C c. cal/gr C ve ρ7.8 gr/cm³ olara verlmştr. Levha ço genş oldğ çn yanal doğrltlarda ısı aışları hmal edlere sadece levha yüzeylerne d doğrltda ısı aışı date alınacatır. t anında levha çnde sıcalı dağılımı ve sınır oşlları da T() T() - T() C ve T() C olara verlmştr. Levha alınlığını 8 e bölere.5 alınız. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 6 Problemn çözümünde t zaman adımının büyülüğü r büyülüğünün seçmne bağlıdır. r.5 alınması halnde (5.5) denlem ( ) T 5. T T (5.6) şelne gelr. Zaman adımı da r t cρ ( )... (. ) rcρ 5 78 5 t. 6 s. olr. (5.6) bağıntısı llanılara çeştl zaman adımlarında elde edlen çözümler aşağıda tabloda gösterlmştr. Levhanın alt ve üst yarılarında çözümlern smetr olması nedenyle tabloda levhanın sadece üst yarısında sonçlara yer verlmştr. r.5.5.5.75. zaman adımı t sayısal sayısal analt sayısal sayısal analt 5. 5. 5. 75....6 5. 5. 49.58 75. 75. 8.6.4 5. 5. 47.49 6.5 75. 7.8.69 5. 4.75 44.68 6.5 6.5 65.46 4.85.88 4.75 4.7 5. 6.5 6. 5..88 7.5 8.79 5. 5. 55.4 6.8 8.75 7.5 5.99 45. 5. 5.8 7.444 8.75..7 45. 45. 47. 8.65 6...9 8.67 45. 4.79 9.856 6. 7.4 8.6 8.67 8.67 4.5.6.67 7.4 6.5. 8.67 7.5.69.67.4 4.55.. 4.7.475.67.4.7 8.7..5.68.67 9.9.4 8.7 8.7 9.76 4.888 9.96 9.9 9.48 4.5 8.7 7.55 8 6 4..5 4 6 8 4 6 B problemn oşlları gereğ t çn dam-drma erşleceğ ve her yerde sıcalığın C olacağı açıtır. Tabloda değerler de bn doğrlamatadır. Yapılan nceleme sonc sıcalıların 85 nc zaman adımında. hassasyetle sıfıra erştğ görülmüştür. Sayısal değerler genel olara analt değerler zlemete sadece br dalgalanma göstermetedr. Bn yarıda graften de far etme mümündür. B grafte sürel M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 7 çzgler analt çözümler dareler de üçgenler se.5 de sayısal çözümler belrtmetedr. Şayet r büyülüğünün.4 ve.6 gb farlı değer çn hesaplar terarlanırsa ( b drmda t zaman adımı da değşecetr) lgnç sonçlar tespt edleblr. r.4 çn sayısal değerler ço daha doğr olmata analt çözümle farlar başlangıç adımlarında yarı büyülüte en lerleyen adımlarda onda br büyülüğe adar nmetedr. r.6 çn se son derece hatalı sonçlar elde edlmetedr. Sadece 8 zaman adımından sonra bazı çözümler negatf olmatadır. Çözümde ararsızlı olmaması çn r nn alableceğ en büyü değer r.5 olmatadır. 5.. Cran-Ncolson yöntem: r>.5 oldğnda ararsızlığın neden zaysal ve zamansal türevlern sonl far ayrıştırmalarında mertebelern farlı olmasıdır. Cran-Ncolson yöntem b sonl far açılımlarını aynı mertebeye getren br tentr. Zamansal türevn sonl-far açılımı T t / T T t şelnde zaman aralığının ortasında (t / anında) alınmış br türev olara düşünülürse b açılım merez farlarla yapılmış br ayrılaştırma olara değerlendrleblr. B drmda onmsal türevn ayrılaştırması da aynı zaman adımında (yan t / anında) gerçeleştrleblr. Bnn çn ²T/² türev br ez zaman adımının başlangıcında ve br ez de sonnda ayrılaştırılara b snn artmet ortalamasından yararlanılır: t anında t anında t / anında T T T T ( ) T T T T ( ) T ( T T T ) ( T T T ) ( ) Ayrılaştırılmış türevler denlemde yerleştrlere ( T T T ) ( T T T ) T T t cρ ve b denlem düzenlenere ( ) rt r T rt rt r T rt (5.7) elde edlr. Brada t r cρ ( ) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 8 B denlem her br P notasında br ez yazılara LT DT UT R... NI şelnde br denlem sstem elde edlr. Brada NI (... ) (... ) (... ) L L r D r NI NI U U r NI R rt r T rt rt R rt r T rt... NI R rt r T rt rt NI NI NI NI NI dr. B denlem sstemnn atsayılar matrs üç-dyagonalldr ve Thomas yöntemyle çözüleblr. B ten apalı (mplct) formülasyonl br yöntem olp en öneml avantaı r nn herhang br değer çn ararlı olmasıdır. Yöntem örne olara br önce örnete ele alınan problem çn yglanmış olp levhanın ortasında (.) çeştl zaman adımlarında r.5 ve r. çn elde edlen sonçlar aşağıda tabloda snlmştr. r.5 r. Comman t analt sayısal hata t analt sayısal hata.6 8.6 8..8.4 7.8 7..9.4 7.8 7.48..85 6. 6.5.4.69 65.46 66.86..8 5.8 5.97.5 4.85 6. 6.4..65 4.79 44.67. 5. 55.4 56.5..6 7.5 8.9. 6.8 5.8 5...475.5.88. 7.444 47. 48...888 7.55 8..5 8.65 4.79 44.7...6 4..6 9.856 4.5 4.4..6 7.5 8.6. 8 6 4 4 Tabloda ayrıca oransal hatalara da (sayısal sonçlarla analt sonçlar arasında farların analt sonçlara oranı) yer verlmştr. r.5 çn hatalar %.-.7 arasında en r. çn %.9-.6 arasındadır. Her halde hatalar da daha önce açı formülasyonla r.5 çn hesaplanan değerlerden üçütür. 5.. Teta yöntem: Cran-Ncolson yöntemnde zamana göre türevn merez far açılımı zaman aralığının ortasında olara yormlanmıştı. Teta yöntemnde daha genel br yalaşım yapılara b türev zaman aralığının ortasında değl ama daha farlı br notasında değerlendrlmetedr. Yan t M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 9 zaman aralığının br θ esr alınara zamana göre türevn sonl far açılımının b notada alındığı varsayılmata onma göre türevn de zaman aralığının başında ve sonnda açılımlarının b çarpana göre ağırlılı ortalamaları alınmatadır: ( θ)( T T T ) θ( T T T ) T T t cρ ( ) B bağıntıda θ.5 alınması halnde terar Cran-Ncolson yöntemne dönüleceğ θ çn açı formülasyonn ve θ çn de apalı formülasyonn elde edleceğ görülmetedr. Yarıda bağıntı t zamanında blnmeyenler cnsnden düzenlenere rθt rθ T rθt rθt r θ T rθt (5.8) elde edlr. B denlem yne Cran-Ncolson yöntemnde oldğ gb bütün notalar çn br ez yazılara üç-dyagonall br denlem sstem elde edlr ve Thomas yöntemyle çözüleblr. Brger (987) çözüm çn optmm br değern θ/ cvarında elde edleceğn belrtmştr. B yöntem çn de örne olara yarıda problem ele alınmış olp r.5 olma üzere levhanın orta çzgsnde (.) θ nın çeştl değerler çn zaman adımında elde edlen sonçlar aşağıda tabloda snlmştr. r.5 sayısal çözümler hatalar t analt η /.878..5. η /.878..5......6 8.6 8.6 84.94 85.57 8. 75..57 4.88 5.5.6-5.6.4 7.8 74.8 75.5 75.95 7.48 75..48.55 4.5.68..69 65.46 67.44 68.5 68.74 66.86 6.5.98.79.8.4 -.96 4.85 6. 6.8 6.48 6.89 6.4 6.5.7.7.78..9 5. 55.4 56.95 57.5 57.88 56.5 5..5..46. -. 6.8 5.8 5.6 5.5 5.47 5. 5..4.97.9..95 7.444 47. 48.68 49.9 49.49 48. 45..5.86.6.97 -. 8.65 4.79 45.9 45.59 45.88 44.7 45...8.9.9.5 9.856 4.5 4.79 4.8 4.56 4.4 8.67.7.76.4.88 -.85.6 7.5 8.74 9. 9.5 8.6 8.67..7..85.6 θ nın seçlen örne değerler arasında en az hatanın θ.5 çn (Cran-Ncolson çözümü) elde edldğ yan belrtldğ gb optmm değern <θ</ aralığında oldğ görülmetedr. Optmm değern tam olara blnması çn θ nın başa değerlernn denemes geremetedr. 5.4 Hperbol denlemler Kısm türevl dferansyel denlemlern üçüncü br sınıfı olan hperbol denlemler çoğ ez zamana bağlıdır. Br ortam çersnde ttreşmlern ve özellle dalgaların nasıl yayıldığını tanımlarlar. B nedenle de dalga denlemler olara adlandırılırlar. Dalga denlemlernn en bast brs br-boytl halde salınım yapan yay problemne at olanıdır. İ-boytl halde br davlcnn ttreştrdğ davl zarı örne olara düşünüleblr. Üçboytl haln hayal edlmes braz daha zor olsa da örne olara şeffaf br elatn çersnde br sıvı çersnde sspansyon halnde yer alan taneclern elatn zarfa br çarpma oldğnda M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü hareet problem alınablr. Her üç halde hareetlern de sürtünme vvetlernn etsyle zaman çersnde sönümleneceğ söyleneblr. 5.4. Ttreşen yay problem: Hperbol ısm-dferansyel denlemlere br örne olara sabt ç notası arasında gerlmş olan br yayın oslasyon hareetlern modelleyen -boytl dalga denlem date alınablr. Şelde br yay ç notalarını brleştren doğrya göre ötelemeler ço abartılmış olara gösterlmetedr. Yayın A ve B gb yaın notası arasında alan d znlğnda br elemanı şelde ayrıca büyütülmüş olara gösterlmştr. A ve B notalarında teğetlern eğm açıları sırasıyla α A ve α B le belrtlmş olp yayın eğlmelernn de abartılı oldğna dat edlmeldr. Yayın ötelemeler cn brleştren doğrya d olara ölçülmete olp le gösterlecetr. Yaya etyen gerlme vvet A ve B notalarında T le belrtlmştr. A B α A A B α B T L d T Yarı doğr vvetler poztf şaretl olma üzere yay elemanının her cna etyen vvetlern düşey bleşenler sırasıyla Tsnα Tsnα (5.9) A B olacatır. Ötelemelern şel üzernde aşırı abartılı gösterldğ terar hatırlatılara açıların aslında ço üçü oldğ belrtlrse açıların tanantları le snüsler aynı abl edleblr. Bna göre TsnαA T tanαa T A TsnαB T tanαb T T d B A ve böylece yay elemanına düşey yönde etyen net (bleşe) vvet de T d olr. Şmd düşey doğrltda Newton ann yglanara b vvet yayın ütles le vmenn çarpımına eştlenrse w yayın brm znl başına ağırlığı olma üzere wd T d g t veya düzenlenere Tg t w (5.) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü elde edlr. B denlem nc-dereceden ısm dferansyel denlemlern standart bçm çn daha önce tanımlanan denlemle arşılaştırılırsa A B C-Tg/w oldğ ve b büyülülerle brlte b denlemn hperbol denlemler sınıfına grdğ görülür. Br yay yerne gerlmş br membran (davl zarı gb) date alınırsa (5.) denlem Tg t w (5.) şeln alır. (5.) ve (5.) denlemlernn çözümü sınır oşllarını ve t anında başlangıç oşllarını sağlamalıdır. Problem t zamanına göre nc dereceden oldğ çn başlangıç oşlları yayın bütün notalarında başlangıç hızlarını ve başlangıç vmelern çermeldr. Ttreşen yay problemnn sayısal çözümü (5.) denlem türevler sonl-far yalaşımıyla ayrılaştırılara çözüleblr. Ayrılaştırmalar zayda hesaplanmış zaman adımında merez farlarla ( ) şelnde ve zamanda da hesaplanmış zaman adımı etrafında merez farlarla şelnde yapılara t ( t) Tg ( t) w ( ) sonra zaman adımında ötelemeler çn veya düzenlenere elde edlr. Şayet ( t) Tg w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w Tg t Tg t ( ) ( ) Tg t w t w Tg alınırsa ( b değer ararsızlığın olmayacağı en büyü değerdr) denlem (5.) M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü şelne gelr. B son denlem zamanda nasıl lerleneceğn açı br bçmde göstermetedr. Bna göre yayın br notasında ötelemenn yen br zaman adımında hesaplanması çn omş notaların br önce zaman adımında ötelemeler toplanara hesap notasında zaman adımı önce ötelemenn değer bndan çıartılmatadır. Yan herhang br zaman adımında hesaplamalar çn daha önce zaman adımına at değerlere geresnm olmatadır. Yarıda hesaplama tenğnn anca nc zaman adımından tbaren yürütülebleceğ açıtır. Bnn çn de t anında ve t t l zaman adımında ötelemelern blnmes gerer. Anca brada t t l zaman adımında ötelemelern nasıl elde edleceğ hss açı değldr. Zra yarıda hesaplama tenğne göre l zaman adımında hesaplama yapılablmes çn t anında ve bndan daha önce (!) br t- t anında ötelemelern blnmes gerer. Aslında ttreşen br yayın salınımlarının zamana göre peryod br fonsyon oldğ date alınırsa ortada öneml br sorn olmadığı görülür. Bna göre problemn başlangıç anı eyf br an olp çözüm çn b anda hızların ve vmelern blnmes geremetedr. Başlangıç anında hızlar verldğ tatrde t- t anında ötelemeler blnablr. Hızlar ötelemelern zamana göre türev olp başlangıç oşllarından brs olara hızların t t da g olara verldğ varsayılırsa b türev çn merez farlarla ayrılaştırma yapılara veya g t t g t ve b fade de (5.) denlemnde llanılara elde edlr. g t (5.) Bna göre l zaman adımı çn (5.) denlem ve daha sonra bütün zaman adımları çn de (5.) denlem llanılara çözüm gerçeleştrleblr. Örne: Br bano yayı 8 cm znlğnda ve gr ağırlıta olp 4 gr lı br vvetle gerlmştr. Br cndan cm mesafede br notadan denge onmna ıyasla.6 cm çelere bıraılmıştır. Yay boynca ötelemeler zamanın fonsyon olara hesaplayınız. Çözüm çn l adımda (5.) ve daha sonra adımlarda da (5.) denlemn llanınız. Hesaplamalarda cm alınız. Yay çeldten hemen sonra bıraıldığı çn başlangıç hızları sıfır alınacatır. Ötelemelern her 6 adımda br terarlandığını gösternz. Verlen büyülülerle zaman adımı w / 8 t. 79 s Tg 4 98 M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü ve başlangıç hızları sıfır olp g l zaman adımında ötelemeler ve sonra zaman adımlarında ötelemeler şelnde hesaplanacatır. Başlangıçta ötelemeler çn de.6 cm verlmş olp bna göre dğer hesap notalarında ötelemeler < çn > çn..6 -. (-) şelnde hesaplanablr. Çeştl zaman adımları çn elde edlen sonçlar tabloda yer almıştır. çeştl onmlarında değerlernn zamanla değşm 4 5 6 7 8...6.5.4.......4.5.4.........4..... -........ 4. -. -. -...... 5. -. -. -. -. -.... 6. -. -. -. -.4 -. -. -.. 7. -. -. -. -.4 -.5 -.4 -.. 8. -. -. -. -.4 -.5 -.6 -.. 9. -. -. -. -.4 -.5 -.4 -... -. -. -. -.4 -. -. -... -. -. -. -. -..... -. -. -....... -........ 4.....4.... 5...4.5.4.... 6...6.5.4.... 7...4.5.4.... 8.....4.... 9. -......... -. -. -...... Tablodan görüldüğü gb yay 6 t zaman adımından sonra terar es onmna gelmete ve daha sonra da aynı hareet terar etmetedr. Bna göre hareetn freansı hesaplanırsa f 5 hz 6. 79 elde edlr. Fzte b dalga hareet çn verlen standart formül yglanırsa f Tg 4 98 5 hz L w 8 / 8 şelnde aynı sonç elde edlr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 Görüldüğü gb yglanan sayısal yöntem freanslar çn tam (eact) sonç vermştr. Çözüm yöntemnn ararlı oldğ da anlaşılmatadır. Ötelemeler çn blnan çözümlern ne adar doğr oldğ se zleyen bölümde analt çözümle daha y anlaşılacatır. 5.4. D Alembert çözümü Ttreşen yay problem aslında analt çözümü elde edleblen br problemdr. B analt çözüm D Alembert çözümü olara blnr. Yayın ötelemeler çn çözümün F ve G eyf fonsyonlar olma üzere ( ) t F ct G ct (5.4) şelnde oldğn varsayalım. B fadenn zamana ve onma göre nc türevler hesaplanırsa F ct G ct Fc ' Gc ' t ct t ct t c ( F' ' G' ' ) F ct G ct F' G' ct ct F' ' G' ' ve yayın oslasyon hareet çn daha önceden çıartılan (5.) denlemnde llanılırsa Tg t w denlemn c ( F'' G'' ) ( F'' G'' ) Tg c w Tg w çn sağlandığı görülür. B sonç F ve G fonsyonlarının başlangıç ve sınır oşlları sağlanaca bçmde blnması halnde (5.) denlemnn çözümünün elde edleceğ anlamına gelmetedr. Başlangıç oşllarının f g t ( ) ; ( ) şelnde verldğn varsayalım. Çözüm çn ct ( t) f ( ct) f ( ct) g d c ν ν (5.5) ct şelnde br ombnasyonn (5.4) bağıntısıyla aynı bçmde oldğ ve sınır oşllarını sağladığı gösterleblr. Ntem (5.5) bağıntısında t ondğnda M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 5 c ( ) [ f ( ) f ( )] g( ν) dν f ( ) elde edlmete olp hızlar çn başlangıç oşllarının sağlandığı görülmetedr. Ayrıca (5.5) bağıntısının t ye göre türev alınırsa l term çn ct ( t) f ( ct) f ( ct) g d t c t ν ν ct f ( ct) f ( ct) c f '( ct) ( c) f '( ct) t c f '( ct) f '( ct) ve ntegral term çn de I(ν) fonsyon g(ν) fonsyonn ntegral olma üzere c t c t ct g ct ct c t ct ( ν) dν [ I ( ν) ] [ I ( ct ) I ( ct )] c [ c g( ct ) ( c) g( ct )] [ g( ct ) g( ct )] olp b bağıntıda t onara başlangıç anında türev çn c t ( ) f ' f ' g g g elde edlr. Böylece vme çn de başlangıç oşllarının sağlandığı görülmetedr. B şelde (5.5) denlemnn ttreşen yay problemnn analt çözümü oldğ gösterlmştr. Şmd daha önce (5.) bağıntısıyla önerlen sayısal çözümün yarıda örne problem çn (5.5) denlemn ne ölçüde arşıladığını görmeye çalışalım. Öncelle ( t) ( ) ( t) ( ) Tg c c t w olp şayet herhang br tt t anında herhang br onmnda öteleme le gösterlrse ct c t c t olp b öteleme çn (5.4) bağıntısından F ct G ct F G F G (5.6) blnr. B bağıntı yardımıyla M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 6 (5.) denlemnde her br term yazılırsa F G F G F G F G Verlen örnete F ve G fonsyonları değşennn lneer fonsyonları olp F( a) F( b) F( a b) G( a) G( b) G( a b) özelller geçerldr. B oşlla yarıda l üç bağıntı (5.) denlemnn sağ tarafında yerleştrldğ tatrde F G F G F G F G F G elde edlr. Görüldüğü gb (5.) eştlğ sağlanmatadır. B ncelemeden elde edlen sonç bast (5.) bağıntısının l zaman adımı çn tam (eact) sonç verdğ şelndedr. Bna göre daha sonra adımlar da tam (eact) sonç verecetr. 5.4. Başlangıç anında hızların sıfır olmaması hal Önce örnete başlangıç hızları sıfır olma üzere br yayın oslasyon hareet ncelenmşt. Şmd başlangıç hızının sıfır olmaması halnde ne yapılableceğn görmeye çalışalım. (5.) denlem hesapların başlatılması çn hayl bast br denlem olmala brlte verdğ sonçların doğrlğ önce örnete sadece g() hal çn gösterlmştr. İzleyen örnete g() sıfır olmadığı tatrde (5.) denlemnn nasıl doğr olmayan sonç verdğ gösterlece ayrıca başlangıç çn daha y br yol ortaya onacatır. Örne: 9 brm znlta br yay başlangıçta ç notası arasında br doğr parçası bçmnde denge drmndadır. Oslasyon hareet b yaya çarpılara başlatılmata olp b baımdan başlangıç anında hızlar sıfırdan farlıdır ve /tsn(π/l) şelnde verlmştr. Br t zaman adımının sonnda ötelemeler hesaplayınız. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 7 Hesaplamalar çn ve c Tg/w4 alınız. ve yayın znlğ 9 brm oldğ çn yay üzernde 9 aralı ve 8 adet ç hesap notası blnacatır. Hesaplamalarda elde edlr. ( ) Tg c 4 alınması öngörülmüş olp ayrıca w ( ) t t c t 5. c c Tg w ( t) ( ) oldğndan Brnc zaman adımında ötelemelern hesaplanması çn daha önce (5.) denlem llanılmıştı. Anca (5.5) denlem date alınara hesaplar çn br başa yol daha oldğ görüleblr. Ntem (5.5) denlemnde t t onrsa ve c t oldğ date alınırsa ( t) f ( ) f ( ) g d c ν ν ( t ) [ ] g( ν) dν (5.7) c elde edlr. B denlemn (5.) denlemnden te farı sonnc termdr. Şayet g()sb alınırsa b termler de aynı olacatır. Anca şmd örnete oldğ gb g() sabt olmadığında (5.7) denlemnde ntegraln br şelde hesaplanması geremetedr. Aşağıda tabloda yayın sadece sol yarısında 4 nota çn her tenle (5. ve 5.7 denlemler llanılara) elde edlen sonçlar analt sonçlarla brlte verlmştr. Yayın sağ yarısında çözümler smetr olacatır. Başlangıç hızları sıfır oldğ çn b denlem doğrdan πν ( t ) g( ) t ve ( t ) g( ν) dν g( ) sn c şelnde yglanmıştır. (5.7) denlemnde ntegraln sayısal hesabında Smpson / yöntem llanılmış 4 c c ( t ) g( ν) dν [ g( ) g( ) g( )] analt ntegral se πν L π π ( t ) g( ν) dν sn dν cos cos c şelnde hesaplanmıştır. c L c π L L L M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 8 () g ( ) (5.) denlem... Smpson / ntegral Analt ntegral...66.5.57.567...986.9648.9448.9447...5988.994.79.78 4...9544.477.4475.4479 5...9544 (5.5) denlem B sonçlar göstermetedr sayısal ntegral llanılara (5.5) denlem le elde edlen sonçlar analt sonçlarla hemen hemen aynı en (5.) denlemyle elde edlen sonçlar daha az doğrdr. (5.) denlem llanılıren n (ve sonç olara t nn) üçültülmesyle hassasyet arttırılablr. 5.4.4 İ boytl dalga denlem Sonl far yöntem - veya üç-boytl hperbol ısm dferansyel denlemlern çözümü çn de yglanablr. İ-boytl hal çn tp br problem br membranın ttreşm hareetdr. Ddörtgensel br çerçeve çne gerlmş nce büüleblr br membranın ttreşm problem w Tg c y c t hperbol denlemyle modellenr. Brada ve y oordnatları t zamanı ve da ötelemeler belrtmetedr. T brm znl başına ünform gerlme g yer çem vmes w de brm alan başına ağırlıtır. yh olma üzere merez farlarla ayrılaştırma yapılara 4 h c t (5.8) ve yen zaman adımı çn düzenleme yapılara h t c h t c (5.9) elde edlr. Şayet h t c alınırsa sonnc term yo olr (5.4) Brnc zaman adımında çözüm çn başlangıç anında zamana göre merez farlarla y g t t y g t

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 9 yazılıp son denlemde llanılara ( ) ( t ) g( y ) 4 (5.4) blnr. Örne: y-düzlemnde y are bölgesnde br çerçeve çersne gerlmş olan membran çn c Tg/w olp membranın çeştl notalarında l hızlar ve ötelemeler y y g ( y ) ( ) y ( y ) 7 8 9 olara verlmştr. Ötelemelern zamanla değşmn hesaplayınız. Hesaplamalar çn yh/ alınız. 4 5 6 Seçlen hücre genşlğ le 9 adet ç nota (hesap notası) elde edlr. Zaman adımı c ( t ) h h. 5 t. 4 c İl hızlar g olp l zaman adımında ( ) sonra zaman adımlarında le hesap yapılacatır. 4 Problemn analt br çözümü a y b bölgesnde ddörtgensel br çerçeveye A a y a y olma üzere gerlmş membran çn başlangıç oşllarında ötelemeler ( y t ) m n m π nπy m n B mn sn sn cos cπt a a a b B mn 6a b A π m n n ( cos m π)( cos π) şelnde verlmetedr. Aşağıda tabloda çeştl zaman adımlarında elde edlmş çözümler yer almatadır. Aynı tabloya ve 5 nmaralı notalarda analt çözümler de onlmştr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü Nota 4 5 6 7 8 9 Analt çözüm.5..5.5..5.5..5.5.. y.5.5.5....5.5.5.5.5. t.4..56.75.56.75..75.56.75.56.56.75..4.75.5.75.5.75.5.75.5.75.8.56.755.48 -.. -...6. -.. -. -.44 -.9.8.6 -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.59 -.8 4.86 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.5 -.746 -.4 5. -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.5 -.75 -.47 -.55 -.69 6.5 -.. -...6. -.. -. -.5.8. 7.49.75.5.75.5.75.5.75.5.75.4.54.688 Sonl-far çözümlernde br smetr mevct olp bell freanslarla terarlanmatadır. Analt çözümlerle tam br ym yotr. c ( t ) h oranının azaltılması ortalama hassasyette br yl yaratmaz. Analt çözümlere yalaşma çn h hücre genşlğnn azaltılması gereldr. B drmda Dt de azalaca olp böylece daha fazla zaman adımında hesap yapılması gereecetr. B da blgsayar süres açısından olmsz br drmdr. B baımdan Cran-Ncolson veya ADI gb apalı yöntemlern llanılması önereblr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü E 5 SONLU FARK FORMÜLASYONLARI Kısm dferansyel denlemlerde yer alan türevlern blgsayarda sayısal hesabı çn yalaşı formda yazılması gerer. B tp ayrılaştırma şlemlerne genel olara sonl far formülasyon adı verlr. Sonl far formülasyonları çoğ zaman Taylor ser açılımına dayanılara yapılır. Bnn yanında polnomlar yardımıyla da ayrılaştırma yapılablr. Taylor ser açılımı ve Brnc türev çn yalaşımlar Br f () fonsyonnn ( ) notasında değer Taylor ser açılımı le f ( f ( ) ) f ( ) ( )! f ( ) n n ( ) f n n! f ( )! f... (E5.) şelnde yazılablr. Bradan brnc türev çelrse; f f ( ) f ( ) f! ( )! f... (E5.) veya ( ) f ( ) f O( )... (E5.)!! hata term olma üzere ısaca f f ( ) f O( ) (E5.4) yazılablr. B fade f büyülüğünün e göre brnc türev çn yapılmış brnc dereceden br yalaşımdır. İndssel formda f f f O ( ) (E5.5) şelnde gösterlr ve türev çn brnc mertebeden ler far formülasyon olara adlandırılır. Adım znlğ azaltıldıça b yalaşı formülün gerçe türeve o adar yaın olacağı açıtır. Taylor açılımı f ( ) f ( ) f f ( ) f ( )... (E5.6)!! M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü şelnde yazılara benzer şlemlerle f f f O (E5.7) şelnde brnc mertebeden ger far formülasyon veya (E5.) ve (E5.6) Taylor açılımları brbrnden çıartılara f ( ) f f ( ) f ( )... (E5.8)! benzer şlemler sonc f f f O ( ) (E5.9) şelnde merez far formülasyon elde edleblr. B formülasyonn nc mertebeden oldğ dat çemetedr. Brnc türev çn yazılan formülasyonlarda hang ağ notalarının llanıldığı aşağıda şelde gösterlmetedr. y f() f( ) y f(- ) f() y f(- ) f() f( ) - - a) İler far b) Ger far c) Merez far İnc türev çn formülasyon Taylor sersnn ( ) ve (- ) notalarında açılımları f ( f ( f ( ) f ( ) f ) f ( ) ( )... (E5.)!! f ( ) f ( ) f ) f ( ) ( )... (E5.)!! şelnde yazılablr. (E5.) eştlğ le çarpıp (E5.) denlemnden çıartılırsa; f f f( ) f( ) f ( ) ( )... (E5.) ve bradan nc türev çelrse M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü f f ( ) f ( ) f ( ) O( ) ( ) (E5.) elde edlr. B bağıntı ndssel formda yazılara nc türevn f f f ( ) f O ( ) (E5.4) şelnde ler far formülü elde edlr. Benzer şlemler (E5.) ve (E5.) ser açılımları arasında yapılırsa nc türevn ger far formülü f f f ( ) f O ( ) (E5.5) şelnde ve (E5.) ve (E5.) bağıntıları brbryle toplanara benzer şlemler sonc nc türevn merez far formülü f f f ( ) f O ( ) (E5.6) şelnde elde edlr. Sonl far denlem Br ısm dferansyel denlemde yer alan bütün türevler yarda gösterlen yöntemlerle ayrılaştırılara denlemn tamamı ayrı formda yazılır ve sayısal çözümü b şelde araştırılır. Örne olara br ff( ty) bağımlı değşenne at f t f f α (E5.7) y denlemn ayrılaştıralım. Zamana göre türevn sonl far açılımında n üst-nds onma göre türevlern sonl far açılımlarında da yönünde alt-nds ve y yönünde de alt-nds llanalım. t anında f fonsyonnn bütün y onmlarında değerler blnsn. Bna göre zamana göre türevn ler farla hesaplanması ygn olr: f t f n f t n O( t ) (E5.8) Konma göre türevlern t n anında veya t n anında ayrılaştırılmasına göre farlı sonl far denlem elde edleblr. t n anında ayrılaştırılma yapılırsa f f n f n ( ) f n O( ) (E5.9) y f f n f n ( y ) f n O( y ) (E5.) Böylece (E5.7) denlemnn sonl far formülasyon M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

Bölüm 5- Kısm dferansyel denlemlern sayısal çözümü 4 n f f t n n n n n n f f f f f f α O ( ) ( y ) ( ) ( y ) [ t ] n (E5.) şelne gelr. t n anında ayrılaştırılma yapıldığı tatrde se elde edlr. n f f t n n n n n n f f f f f f α O ( ) ( y ) ( ) ( y ) [ t ] n (E5.) B formülasyon arasında temel farlılı elde edlen ayrılaştırılmış denlemlerde blnmeyen sayısıdır. (E5.) denlemnde br te blnmeyen var en (E5.) denlemnde 5 blnmeyen vardır. (E5.) denlem bütün ağ notalarında olaylıla hesaplanır ve b formülasyona "açı (eplct) formülasyon" adı verlr. Bna arşılı (E5.) denlemnn her br ağ notasında bağımsız olara çözümü mümün değldr. Bütün ağ notalarında yazıldıtan sonra elde edlen denlem sstemnn eş zamanlı olara çözülmes gerer. B nedenle b formülasyona "apalı (eplct) formülasyon" adı verlr. M.A. Yüselen HM54 Uyglamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları