Fırat Ünv. Fen ve Müh. Bl. Dergs cence and Eng. J of Fırat Unv. (), 99-, (), 99-, Yü Yoğunluğu ve Nota Yü İçeren Eletr Alan Problemlernn ınır Elemanları Yöntemyle İncelenmes Hüseyn ERİŞTİ ve elçu YILDIRIM Fırat Ünverstes Tuncel Mesle Yüseoulu, Tuncel Fırat Ünverstes Ten Eğtm Faültes Eletr Bölümü, Elazığ herst@frat.edu.tr (Gelş/Receved: 7..7; Kabul/Accepted:7..7) Özet: Bu çalışmada, yü yoğunluğuna sahp eletr alan problemlern tanımlayan Posson denlemler sınır elemanları yöntemyle çözülmüştür. Problem bölgesnn sınırları, lneer sınır elemanlarıyla ayrıştırılmıştır. Yü yoğunluğunun uygulandığı problem bölges se üçgen elemanlarla bölmelendrlmştr. Bölge ntegral çeren sınır ntegral denlem çözülere, sınırda blnmeyen u ve q değerler bulunmuştur. Daha sonra ç notalarda potansyel değerler hesaplanmıştır. Ayrıca nota yü yoğunluğu olması durumunda çözümler yapılara potansyel dağılımları elde edlmştr. Posson denlemnn çözümü çn MATLAB da HBEM sml br program yazılmıştır. H-BEM le elde edlen sonuçlar, ELECTRO ve MATLAB PDE toolbox sonuçları le arşılaştırılmıştır. Anahtar Kelmeler: Posson Denlem, ınır Elemanları Yöntem, Eletr Alanı, Potansyel Dağılımı. Investgaton of Electrc Feld Problems Havng Charge Densty and Pont Charge wth the Boundary Element Method Abstract: In ths study, Posson Equatons defnng electrc feld problems havng charge densty was solved by BEM. Boundares of problem regons were dscreet by means of lnear boundary elements. Problem regon, whch was appled charge densty, was subdvded as trangular elements. Unnown boundary values (u and q) were obtaned after boundary ntegral equaton ncludng doman ntegral was solved. Then, potental values at nternal ponts were calculated. Furthermore, potental dstrbutons were obtaned from solutons made when pont charge was beng exsted. To solve Posson equatons, a program named HBEM was developed by usng MATLAB. Results obtaned from HBEM program was compared to ELECTRO and MATLAB toolbox results. Key Words: Posson s Equaton, Boundary Element Method, Electrc Feld, Potental Dstrbuton.. Grş ınır elemanları yöntem, sınır değer problemlernn çözümü çn sayısal br metottur. ınır elemanları yöntemyle, brço mühendsl problemnn analz sadece problem bölges sınırının bölmelendrlmesyle rahat, hızlı ve hassas br şelde yapılmatadır. Bu yöntemde, problem bölgesn tanımlayan ısm dferansyel denlemler, sınırların bölmelenmesyle elde edlen sınır elemanlarının brbrne etsnden oluşan et ntegraller yardımıyla çözülür. ınır elemanları yöntemyle yapılan analzlerde problem bölgesne at ntegral denlem sınır üzernde tanımlanmasından dolayı sonlu elemanlar yöntem ve sonlu farlar yöntemnden farlı olara problemn boyutsallığı br derece ndrgenr. Bu özellğnden dolayı lneer denlem sstemler, ver yapıları ve hesaplama şlemler daha ısadır. Bu yöntemle açı alan ve armaşı sınırlı problemlern çözümü rahatlıla yapılablr [-]. Problem bölgesnn sınırlarının ayrıştırılması çn çeştl sınır elemanları gelştrlmştr. Bu elemanlar genel olara sabt, lneer ve parabol elemanlardır. Buna göre, sabt elemanda br düğüm bulunur ve bu düğüm elemanın merezndedr. Lneer elemanda se düğüm bulunur ve bu düğümler elemanın uç notalarındadır. Parabol elemanda se üç düğüm bulunur. Bu düğümlern brs elemanın mereznde, dğer s de elemanın uç notalarındadır. Bu sınır elemanları, ayrı ayrı nterpolasyon fonsyonları le fade edlmetedr [5].
H. Erşt ve.yıldırım Yü yoğunluğu ve nota yü çeren eletr alan problemlernn potansyel dağılımı Posson denlemnn çözümüyle elde edlr. Problem bölgesnde herhang br yü ets bulunmayan eletr alan problemlernn çözümünde se Laplace denlem ullanılır. ınır üzernde potansyel ve aının hesaplanması çn gerel sınır ntegral denlem, Laplace veya Posson denlemne ez ısm ntegrasyon uygulanmasının sonucunda elde edlr. Problem bölges çersnde herhang br notanın potansyel ve aı değer, sınır ntegraller ullanılara sınır üzernde değerlerden elde edlr []. Posson denlemnden elde edlen sınır ntegral denlemnde Laplace denlemne e olara br bölge ntegral vardır. Posson denlemnden elde edlen sınır ntegral denlemn sınır elemanları yöntemyle çözme çn bazı yöntemler gelştrlmştr. Bunlar, hücre yalaşımı, DRM (Dual Recprocty Method), MRM (Multple Recprocty Method) gb yöntemlerdr [7]. ınır elemanları yöntemyle yoğunlaştırılmış br eletr yüü aynağına göre hesaplamalar yapılması olduça olaydır. Anca bu aynağa göre hesaplamaların yapılması sonlu elemanlar ve sonlu farlar yöntemnde olduça zordur []. Bu çalışmada, lneer sınır elemanları ve hücre yalaşımı yöntem ullanılara yü yoğunluğu ve nota yü çeren eletr alan problemlernn potansyel dağılımları ncelenmştr.. Formülasyon Gauss anununa göre, ρ v hacmsel yü yoğunluğu çeren, ε deletr atsayılı homojen br ortamda Posson denlem, ρ v V = () ε V = () olur ve bu denlem Laplace denlem olara adlandırılır. Posson denlemne at sınır ntegral denlem: c u + u q d+ b u db= B q u d (3) şelnde fade edlr. Bu denlem, yönteme at lneer nterpolasyon fonsyonları ullanılara, c u + N [ Hj Hj][ u j u j ] j= = N [ G G ][ q j q j ] j j j= T + d... T () şelnde fade edlr. Bu denlemde; N sınır eleman sayısı, H ve G et atsayıları, u potansyel, q aı ve d bölge ntegral termdr. c atsayısının se, sınır üzernde düğümü çn düğümden önce ve sonra elemanların yaptığı açıya bağlı olara hesaplanması gerer. İç notalarda hesaplamalarda, br ç notası çn c = alınır. Ayrıca H ve G atsayıları, tablo. de verlen formüllere göre hesaplanır. 3. Bölge İntegrallernn Hesaplanması Eletr alan problemlernn hesaplamalarında ncelenlen problem bölges matematsel olara Posson denlem tp le tanımlanıyorsa, problem bölgesne at sınır ntegral denlemlernde ayrıca br bölge ntegral bulunur. Bölge ntegral term Gauss alan hesabı yöntemyle çözüleblr. Buna göre, her sınır düğümü le bütün hücreler arasında lş şelnde gösterlr ve bu denlem br bölgede loal yü dağılımına bağlı potansyel dağılımını fade etmetedr. Eletrostatte letenlern yüzeynde yü dağılımlarını çeren bazı problemler vardır. Bu durumlarda, lgl bölgede çoğu notalarda hacm yü yoğunluğu sıfırdır. Böylece, ρ v nn olmadığı bölgede (),
Yü Yoğunluğu ve Nota Yü İçeren Eletr Alan Problemlernn ınır Elemanları Yöntemyle İncelenmes Tablo. H ve G et atsayılarının hesaplanması H et atsayısı ınır ve ç notaları çn j H = ( ) (Gauss alan hesabı ullanara) ± ξ j L π n = Tel ntegraller çn (Analt olara) H = -(Köşegen olmayan termlern toplanması) ınır ve ç notaları çn L n j G = ( ) (Gauss alan hesabı ullanara) ± ξ ln w j π = r G et atsayısı Tel ntegraller çn L j 3 (Analt olara) G = + ln π L j n: Gauss notası sayısı, ξ :Gauss loal oordnatları, w :Gauss ağırlıları, L j : Eleman uzunluğu, d j : d uzalı d r j w y ınır elemanı Hücre ınır Şel. Bölgenn hücrelere ayrıştırılması x sonucunda bölge ntegraller hesaplanır. Bu hesaplamalarda hücre üzernde Gauss notaları baz alınır. Den. de fade edlen d bölge ntegral term, analz yapılan düğümü le bütün ç hücreler arasında lşye göre hesaplanır. Bu durumda, sınır ntegral denlemlernde fade edlen ve her br sınırda düğümüne göre tanımlanan d bölge ntegral fades Gauss alan dönüşümü ullanılara, d M R b u db = B e= = ( bu ) Ω e = w (5) denlemyle sayısal olara hesaplanablr. Bu denlemde, M toplam hücre sayısı, w Gauss ntegrasyon ağırlığı ve b Posson sabt, Ω e her br e hücresnn alanıdır.[]. Yoğunlaştırılmış aynalarda se, ç ayna notasında b fonsyonu çn özel br durum ortaya çıar. Bu durum, b = () Q denlemyle tanımlanır. Bu denlemde Drac delta fonsyonu ve Q aynağın büyülüğüdür. Bu duruma at sınır ntegral fades, c u + P = + N [ Hj Hj][ u j u j ] Q j= u = N [ G G ][ q j q j ] j j j= T + d... T (7) şelnde tanımlanır. Bu denlemde P bölge çersnde yoğunlaştırılmış aynalarının sayısını
H. Erşt ve.yıldırım ve u notasında temel çözümü fade eder [9].. HBEM Programı HBEM programı, hacmsel yü yoğunluğu veya nota yü çeren eletr alan problemlernn çözümü çn MATLAB da yazılmıştır. Bu programda lneer sınır elemanları le hücre yalaşımı yöntem ullanılmatadır. Problem bölgesn otomat üçgen elemanlara bölmeleme çn MATLAB da Delaunay üçgenleme yöntem ullanılmıştır. HBEM yardımıyla, problem bölges üzernde hacmsel veya nota yü bulunması durumlarında potansyeller hesaplanara, sonuçlar eşpotansyel eğrler şelnde gösterlmetedr []. Bu çalışmada sonuçların arşılaştırması amacıyla ELECTRO ve PDE toolbox ullanılmıştır. ELECTRO, Integrated Engneerng oftware (IE) tarafından hazırlanan ve boyutlu eletrostat alan analz yapan br paet programdır. Hacmsel yü yoğunluğu çeren eletr alan problemler ELECTRO yardımıyla olaylıla çözüleblr []. PDE toolbox se, MATLAB da sonlu elemanlar yöntemn ullanara eletrostat alan analzler yapmatadır []. (,) U= V (,) 3 U= V y (,) ε = r U= V (,) U= V Şel 3. Yü yoğunluğuna sahp problem bölges.. x 5. Düzlemsel Eletrot stem Bu uygulamada Şel 3 de görüldüğü gb, Drchlet sınır şartlı ve her br enarı m olan düzlemsel eletrot sstem seçlmştr. Problem bölgesnn bağıl deletr atsayısı, ε r = dr. Problem bölges 3 adet üçgen eleman ve adet lneer sınır elemanıyla bölmelenmştr. y Şel. Düğüm-Hücre lşs Hücre Gauss notaları x Düğüm ınır.... Şel. Düzlemsel eletrot sstemnn 3 adet üçgen, adet sınır elemanıyla bölmelenmes Bu örnete, Şel 3 de sstemn sınırlarına U= Volt (Drchlet tp sınır şartı) uygulanmıştır. Aşağıda yüler çn analz yapılmıştır. a) Problem bölgesnde nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu, b) Problem bölgesnde x=. y=.5 de nc lu nota yü, c) Problem bölgesnde nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu, x=., y=.5 de nc ve x=., y=.5 de nc lu nota yüler,
Yü Yoğunluğu ve Nota Yü İçeren Eletr Alan Problemlernn ınır Elemanları Yöntemyle İncelenmes d) Problem bölgesnde nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu, x=., y=.5 de nc ve x=. y=.5 de - nc lu nota yüler. 5.. Analz onuçları a)problem bölgesnde nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu bulunması: Bu analzde, problem bölgesnde homojen olara nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu bulunması durumunda potansyel dağılımı hesaplanmıştır. Bu durumda Posson sabt, ρ = nc/m ρ ε 3 9. = 9. 3π = 7π =,9 olur. HBEM, ELECTRO ve PDE toolbox programları yardımıyla bulunan sonuçlar Tablo de arşılaştırılmıştır. Şel 5 de se HBEM programıyla elde edlen problem bölgesnn eşpotansyel dağılımı gösterlmştr. Tablo. Problem bölgesnde nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu bulunan düzlemsel eletrot sstemnn çözümü x y Potansyel (V) HBEM ELECTRO PDE..5.57.5.59..5..3..3.5.337.33.33..5.95.97.93.5.5...3..5.9..93.7.5.337.3.33..5.39.3..9.5.5.57.57 ρ b = =,9 ε.. 3 U=. U= U=...... U= Şel 5. Problem bölgesnde nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu bulunan düzlemsel eletrot sstemnn eşpotansyel dağılımı 3
H. Erşt ve.yıldırım b)problem bölgesnde nc lu nota yü bulunması: 3 U=.. 3 3 3 3 3 5 5 3 3 5 5 7 7 3 3 7 9 9 9 9 3 5 5 U= 7 3 U=. 3 5 5 3 3..... U= Şel. x=., y=.5 notasında nc lu nota yü bulunan eletrot sstemnn eşpotansyel dağılımı
Yü Yoğunluğu ve Nota Yü İçeren Eletr Alan Problemlernn ınır Elemanları Yöntemyle İncelenmes c) Problem bölgesnde nc/m 3 lü hacmsel yü yoğunluğu, x=., y=.5 de nc ve x=., y=.5 de nc lu nota yülern bulunması: 3 U= Şel 7... 5 7 3 5 5 5 5. 7 7 9 7 9 9 9 9 9 U= 7 7 7 9 U= 7 3 3. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 5 7 5 5 7 5 77 7 3 5 7 7 77 9 9 33 5 7 9 3 3 3 5 5 5 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3.... U= Problem bölgesnde nc/m 3 hacmsel yü yoğunluğu ve nota yü bulunan eletrot sstem d) Problem bölgesnde x=., y=.5 de nc ve x=., y=.5 de - nc lu nota yülern bulunması: 5
H. Erşt ve.yıldırım Şel. Problem bölgesnde zıt utuplu nota yü bulunan eletrot sstemnn eşpotansyel dağılımı Tablo 3. Uygulama (b), (c) ve (d) ye at düzlemsel eletrot sstemnn çözümü Potansyel (V) x y (b) (c) (d)..5 37.97..7..5.3.5 5.39 75. 5.37..5 3.. 33.9.5.5.77 5....5..399 -..7.5 9.3 75. -7.97..5 5. -.9.5.97. -7.93 Yapılan analzde, nota yüün tanımlandığı notalarda potansyel değer sonsuz olara elde edlmştr. Bu durum, br nota yüün meydana getrdğ potansyel denlemne göre V = πε q r nota yü üzernde (r=) hesaplanan potansyel değernn sonsuz değer olacağını açıça göstermetedr [].. onuçlar Gelştrlen HBEM programıyla, problem bölgesnde hacmsel yü yoğunluğu bulunması durumu le nota yü bulunması durumları analz edlmştr. Bölge ntegraller hücre yalaşımı le çözülmüştür. Düzlemsel eletrot sstem üzernde yapılan uygulamalarda, problem bölgesnde bulunan yülern etsyle meydana gelen potansyeller yüse br doğruluta elde edlmştr. Hacmsel yü yoğunluğu bulunması durumda çözümler, PDE toolbox ve ELECTRO programları le arşılaştırılmıştır. Problem bölgesnde nota yü bulunması durumunda PDE toolbox ve ELECTRO programlarıyla analzler yapılamadığı çn sadece HBEM programıyla çözüm yapılmıştır. ınır elemanları yöntemnde hücre yalaşımı ullanılara nota yü ve yü yoğunluğu çeren eletr alan problemler, olay ve hızlı br şelde analz edleblr.
H. Erşt ve.yıldırım 7. Kaynalar. Gaul L., Kögl M., Wagner M., Boundary Element Methods for Engneers and centsts, prnger, p., 3.. Zheng R., Coleman C.J., Phan-Then N., A Boundary Element Approach for Nonhomogeneous Potental Problems, Computatonal Mechancs Publcaton, prnger-verlag, 7:79-, 99. 3. Lobry J., Broche C., Trecat J., Use of Transmsson-lne Modelng n BEM for oluton of Pece-homogeneous tatc Feld Problems, IEEE Proceedngs, cence, Measurement and Technology, 3:3, 57-, 99.. Erşt H., Posson Denlem Tpnde Eletr Alan Problemler çn ınır Elemanları Yöntem, Yüse Lsans Tez, Fırat Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü, 93s. 5. Yıldırım., Erşt B., Erşt H., oluton of Electrostatc Feld Problem wth Parabolc Boundary Elements, ELECO 3, Eletr- Eletron-Blgsayar Mühendslğ empozyumu, Bursa, 3-3, 3.. Bachtold M., Emmenegger M., Korvn J.G., Baltes H., An Error Indcator and Automatc Adaptve Meshng for Electrostatc Boundary Element mulatons, IEEE transactons on computer-aded desgn of ntegrated crcuts and systems, :, 39-, 997. 7. Brebba C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C., Boundary Element Technques (Theory and Applcatons n Eng.), prnger-verlag, p., 9.. Partrdge P.W., Brebba C.A., Wrobel L.C. The Dual Recprocty Boundary Element Method, Elsever cence Publ., Computatonal Mechancs Publcatons, 7 p., 99. 9. Kythe P.K., An ntroducton to boundary element method, CRC press, 3 p., 995.. Integrated Engneerng oftware Inc., ELECTRO: Two Dmensonal Electrc Feld olver, Verson., User and Techncal Manual, Wnnpeg, Mantoba, Canada, 997.. The Mathwors, MATLAB, Verson.5,.