T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering ENM 211 MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ Time value of Money Bileşik ve Basit Faiz Eşdeğerlilik Tek-ödeme Bileşik Faiz Formülleri Eşit Serili Ödemeler Skywalker İnş. bankadan %9 faizle 1 yıllığına 20,000$ borç (kredi) çekerek yeni bir ekipman almayı planlamaktadır. a. Faiz miktarını ve toplam geri-ödeyeceği miktarı hesaplayınız. b. Grafik olarak gösteriniz. Faiz miktarı: 20,000$x(0.09)=1,800$ Geri-ödeyeceği miktar: =20,000$+1,800$=21,800$ DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 1 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 2 Orijinal para miktarında oluşan bu artış, paranın zaman değeri olarak adlandırılır ve mühendislik ekonomisinin en önemli kavramlarından birisidir. Paranın zaman değerinin parasal karşılığı FAİZ (interest) olarak isimlendirilir. Bu değer, borç verilen veya yatırıma ayrılan paranın başlangıçtaki orijinal toplamı ile sahip olunan son toplam arasındaki farka eşittir: Faiz miktarı=yığılmalı Toplam Miktar Orijinal Yatırım Faiz miktarı= Şimdiki Toplam Miktar Borç Alınan İlk Para Orijinal yatırım veya borç verilen paraya ANAPARA veya SERMAYE denir. Faiz Oranı (%) Birim Zamanda Olusan Faiz x100 Orijinal miktar DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 3 Faiz oranının ifade edilmesinde kullanılan zaman birimine FAİZ PERİYODU denir. Vergiler gibi, faiz ile ilgili kayıtlar da MÖ 2000 yıllarına (Babil krallığı) kadar dayanıyor. Hz. Musa (A.S.) ın 10 emrinde tefecilik (usury) şiddetle yasaklanmıştır. 16.yy a kadar hiristiyan dünyasında faiz (tefecilik) yasaklanmıştı. 1536 da Protestanlık mezhebi bu yasağı kaldırmış ve bu güne dek gelinmiştir. İslam dini de faizi (riba )şiddetle yasaklamıştır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 4
Katılım Bankacılığı Uluslararası alanda geleneksel bankacılık yapan ülkeler, faizsiz bankacılığa yöneliyor. Amerika, İngiltere ve Almanya'da büyük rağbet gören katılım bankacılığı modeli, dünyanın en güçlü ekonomileri arasında yer alan Hindistan'ın dikkatinden kaçmadı. Faiz Hesapları Zaman ölçüsü yıl olmak üzere, paranın şimdiki zamandaki (t=0) tek toplam değeri P ise, N yılı sonundaki değeri: Paranın Gelecek değeri F N =P+I N I N P 1 periyot P F N Faiz oranı, i Burada, F N, P nin N yılı sonundaki yığılmalı toplam değeri veya P nin gelecek değeri; I N, P nin N yılı sonundaki artışı veya yığılmalı faiz miktarıdır. Buradaki faiz; P, N, ve yıllık faiz oranı i nin bir fonksiyonudur. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 5 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 6 Basit Faiz (Simple interest) Bu yaklaşımda i%, bir yıllık bir periyottaki değişim oranıdır ve P, her yıl P i miktarında bir değişim gösterir. I N ; P, N ve i nin ürünü olacaktır. Faiz : I N =P i N Periyot sonundaki toplam para : F N =P (1+ i N) Örnek: 10,000 $ ı olan bir kişi parasını %5 ten yıllık basit faizle bankaya koymuştur. 4. yıl sonunda toplam para ne kadar olur? Yıllık faiz miktarı, I N =P i N = 10,000 (5/100) 1=500$ olup sabittir. F N =10,000(1+0.054)=12,000$ olarak hesaplanabilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 7 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 8
Bileşik Faiz (Compound interest) 1/3 Bileşik Faiz 2/3 Bu yaklaşımda ise; i%, paranın yığılmalı değerindeki değişim oranı olarak yorumlanır. Bileşik faiz hesaplarında önceki periyotlardaki yığılmalı toplam faiz miktarı ve ilk sermaye toplamı için, bir faiz periyodunda faiz hesaplanır. Bileşik faiz, faiz üstüne faizdir. Periyot 0 1 (I) Sahip olunan miktar P P (1+i) (II) İzleyen periyottaki Faiz P i P (1+i) i (III=I+II) İzleyen periyottaki Sahip olunan miktar =P+P i=p (1+i) =P (1+i)+ P (1+i) i =P (1+i) (1+i)= P (1+i) 2 2 P (1+i) 2 P (1+i) 2 i =P (1+i) 3 3 P (1+i) 3 P (1+i) 3 i 3 = P (1+i) 4............ DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 9 N-1 N P (1+i) N-1 P (1+i) N-1 i = P (1+i) N P (1+i) N DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 10 Bileşik Faiz 3/3 Örnek 3-1 N periyodu sonunda sahip olunan miktar: F N =P (1+i) N Faiz periyotları sonucunda oluşan toplam faiz: I N =P (1+i) N -P Yukarıdaki tablodan görüldüğü gibi, herhangi bir periyot sonunda sahip olunan toplam para miktarı ile izleyen periyodun başında sahip olunan para miktarı birbirine eşittir. Yıllık %5 bileşik faiz ile borç verilen 10,000$ için, 4 yıl sonunda geri ödenmesi gereken toplam para miktarını hesaplayınız. i=%5 P=10,000$ Dört yıl sonraki toplam para miktarı: F 4 =P (1+i) 4 =10000 (1+5/100)4 =12,155.06$ DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 11 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 12
Basit ve Bileşik Faizin karşılaştırılması Periyot (1) Periyot başında sahip olunan miktar (2)=(1)5% Faiz tahakkuk (3)=(1)+(2) Periyot sonunda sahip olunan miktar 1 10000 500 10500 2 10500 525 11025 Faiz Miktarı ($) 50000 40000 30000 20000 10000 Basit ve Bileşik Faiz Grafik Gösterimi Bileşik Basit 3 11025 551.25 11576.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 4 11576.25 578.8125 12,155.0625 Zaman (Yıl) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 13 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 14 Terminoloji ve Semboller Simge Açıklama Birimi P : Paranın şimdiki değeri (Present value ) ($, TL vs.) F : Paranın gelecekteki değeri (Future value ) ($, TL vs.) A : Periyodik serilerdeki eşit para miktarları (Annuity), Yıllık Eşdeğer Miktar G : Düzgün eğimli seride eğim miktarı (Gradient) N : Faiz periyotları veya dönemleri sayısı (number of periods) i : Faiz periyodu başına faiz oranı (the rate of interest per period) ($/periyod, TL/yıl vs.) ($/periyod vs.) (yıl, ay) (% yıl) P ve F, tek bir zamanda oluşan toplam değerleri gösterir. A, belirli periyot sayıları için, her bir faiz periyodunda aynı para değeri ile oluşur. Sembollerin birimleri, onların anlamlarının açıklanmasına yardımcı olur. P ve F nin birimleri para birimidir. A nın birimi ise para birimi/faiz periyodu N, genellikle yıl olarak ifade edilir i, bileşik faiz oranı olup % faiz periyodu olarak ifade edilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 15 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 16
Nakit akışı (Cash Flow Diagrams) P, herhangi bir mal veya hizmetin bugünkü değerini ifade eder (şimdiki zaman t=0 kabul edilir). F ve A daima faiz periyodunun sonunda oluşacağı dikkate alınır. Her yılın sonu olan 31 Aralık tarihinin dönem sonu olarak dikkate alınması gerektiği şeklinde değildir. Yılın sonu, dikkate alınan tarihten itibaren 1 yıllık süreyi kapsar. Genellikle faiz periyodu bir yıllık süre olduğundan A simgesi, birbirini izleyen N sayıdaki ardışık yıllar için bir yılın sonundaki kazanç veya ödeme miktarıdır. Nakit kazanımlar gelir, nakit harcamalar gider olarak adlandırılır. Gelir ve giderlerin farkı, genellikle nakit akışı (cashflow) olarak isimlendirilir ve bu nakit akışı, aynı faiz periyodunda elde edilen gelirlerin ve giderlerin sonucunda oluşan net kazanç veya net borç olarak tanımlanabilir. Nakit akış diyagramları, mekanik problemlerinin çözümünde kullanılan serbest cisim diyagramları gibidir. Diyagramda; sıfır zaman, yani t=0 şimdiki zaman, t=1 ise birinci zaman periyodunun sonunu gösterir. Periyotlar genellikle yıl olarak kabul edilir. Nakit akışlarının sadece yıl (periyot) sonlarında oluşacağı hatırlanmalıdır DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 17 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 18 Nakit akışı (Cash Flow Diagrams) Tipik bir nakit akış diyagramı Draw a time line Always assume end-of-period cash flows Time 0 1 2 n - 1 n One time period Show the cash flows (to approximate scale) F = $100 0 1 2 n-1 n P = $-80 Cash flows are shown as directed arrows: + (up) for inflow - (down) for outflow DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 1-19 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 20
ÖRNEK 30/09/2014 tarihinde borç alınan 1000$ para, %10 yıllık faiz oranı ile 3 yıllık periyot sonunda toplam [F=1000(1+0.1) 3 ] 1464.10 $ olarak bir defada geri ödendiğinde oluşacak yıllık nakit akışlarını bir çizelge halinde gösteriniz. Nakit akışı (cash flow) 1/2 t=0 «bugün» olmak kaydıyla, 8 yıllık nakit akışı tabloda verilmektedir. Nakit akış diyagramını çizelim Yıl sonu Gelir Gider Net nakit akışı Tarih Gelir Gider Nakit Akışı 1000$ t=0 30/09/2014 1000$ 0 1000$ i=10% t=1 30/09/2015 0 4 0 Periyot 0 0 1 2 3 (Yıl) t=2 30/09/2016 0 0 0 t=3 30/09/2017 0 1464.10$ 0 0 t=4 30/09/2014 0 1331.0$ -1331.0$ DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 21 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 22 Nakit akışı (cash flow) 2/2 Örnek Skywalker Ltd., bir Fotokopi makinesi için 4 yıl önce 8000$ yatırmıştır. Fotokopi makinesinin kullanımından elde edilen yıllık gelir 2000 $ dır. İlk yıl boyunca 200 $, daha sonraki her yıl için de önceki yıldakine ek olarak 50 $ tamir-bakım harcaması yapılmıştır. Sakarya Ltd. gelecek yıl sonunda (5.yıl) fotokopi makinesini 1500 $ lık hurda değer ile satmayı düşünmektedir. Fotokopi makinesinin yıllık nakit akışlarını çizelge halinde gösteriniz. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 23 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 24
Çözüm Yıl Sonu Gelir ($) Gider ($) Nakit Akışı ($) -4 0 8000-8000 -3 2000 200 1800-2 2000 250 1750-1 2000 300 1700 Bugün: t=0 0 2000 350 1650 t=1 1 2000+1500 400 3100 Ekonomik Eşdeğerlilik (Economic Equivalence) Eşdeğerlilik, iki farklı nakit akışı serisinin belirli bir faiz oranında, eşit miktarlı, şimdiki, veya gelecek değere sahip olması durumunu ifade eder. Ekonomik eşdeğerlik, verilen bir faiz oranında eşdeğer bir miktar para için farklı zaman periyotlarında oluşan para miktarlarının dönüştürülmesini içerir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 25 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 26 Eşdeğerlilik Örnek Şimdiki 1000 ın %10 faiz oranının geçerli olduğu bir ortamda N=5 yıl sonra değeri ne olur? F=P(1+i) N =1000(1+0.1) 5 =1610.51 1,000 = 1610.51 bugün 5 yıl sonra Nakit akışi diyagramında, bugünkü 1000 yerine 5 yıl sonra 1610.51 yazılabilir. TEK-ÖDEME BILEŞIK FAIZ FORMÜLLERI DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 27 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 28
Tek-ödeme Bileşik Faiz Formüllerinin Türetilmesi Bileşik faizde, paranın faizine de faiz ödemesi yapılmaktadır. t=0 zamanında yatırım yapılan paranın miktarı P ise, 1 yıl sonra elde edilecek yığılmalı para miktarı F 1 : F 1 =P+P i = P (1+i) olur. 2. yıl sonundaki yığılmalı toplam para miktarı F 2 =1.yıl sonundaki miktar + 1.yıl sonundan 2. yıl sonuna kadar oluşan faiz: F 2 =F 1 +F 1 i = P (1+i)+ P (1+i) i = P (1+i) 2 P (F/P, i%, N) Burada (1+i) N veya (F/P, i%, N) ifadesi Tek Ödemede Bileşik Miktar (Gelecek Değer) Faktörü olarak adlandırılır F N =P (1+i) N genel formülünden: 1 P=F (1+i) N = F = F (P/F, i%, N) N 1 i elde edilir. Burada P, şimdiki zamandaki (t=0) eşdeğer para miktarı veya şimdiki değerdir. N yılı için ise F N =P (1+i) N = P (F/P, i%, N) veya (P/F, i%, N) ifadesi Tek Ödemede Şimdiki Değer Faktörü dür. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 29 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 30 Örnek Verilen bir F değerinden P nin bulunmasına yönelik nakit akışı diyagramı şöyledir: Yıllık %10 bileşik faiz ile 5000 para borç alınmıştır. Para 3 yıl sonra bir defada toplu olarak geri ödenecektir. Geri P=? N ödenecek toplam para miktarı ne kadardır? (F=?) t=0 1 2 N-1 veya, diğer bir ifade (faktör) ile: P= F (P/F,%i, N) F F N =P (1+i) N =5,000 (1+10/100) 3 =5,000 (1.3310)=6,655 veya Tablodan i=%10 ve N=3 için (F/P, i%, n) değeri 1.3310 okunur! P (F/P, i%, n) = 5,000 1.3310=6,655 bulunur. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 31 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 32
Bileşik Faiz Tablo Örnek Yıllık %10 oranında bileşik faiz ödemesi yapan bir tasarruf hesabında, 8 yıl sonra 15000 birikmesi isteniyor. Bugün hesaba kaç para yatırılmalıdır? (P=?) 1 = 1+ P=F(P/F, i%, N)=15,000*0.4665=6,997.5 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 33 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 34 Örnek Bir aile, şimdiden itibaren 5 yıl, 7 yıl ve 10 yıl sonunda okul harçları için 2500 elde etmek için %6 faizle kaç para yatırması gerekir? ÇÖZÜM çözüm 2500 nun 5. yıldaki değeri P 5 = 2,500 (P/F, 6%, 5) =2,500 (0.74726) =1,868.145 2500 nun 7. yıldaki değeri P 7 = 2,500 (P/F, 6%, 7) =2,500 (0.665057) =1,662.64 2500 nun 10. yıldaki değeri P 10 = 2,500 (P/F, 6%, 10) =2,500 (0.55839) =1,395.98 TOPLAM P=4,926.772 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 35 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 36
Örnek: Faiz oranı %4 olduğu takdirde, 14 sene sonra (14. yılın sonunda) 2,000 almak için şimdi kaç luk bir yatırım yapılması lazımdır? veya Faiz haddi %4 olduğu takdirde, 14 sene sonraki muhtemel 2,000 nun yerine şimdi kabul edilebilecek meblağ kaç dur? veya %4 faiz haddi üzerinden 14 sene sonraki 2,000 nun şimdiki değeri nedir? Bu sorular yatırımcılar tarafından şu şekilde nakit akışı tablosuna geçirilebilir. Yıl Nakit Akışı F=2000 0? 14 +2.000 P=? n = 14 i = %4 P = F / (1+i) N ; P=2000 1 / (1+0.04) 14 P=2000 * 0.5775 = 1.155 veya P = F (1+i) -N veya P = (P/F, %i, n) formüllerinden hesaplanabilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 37 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 38 Eşit Serili Ödemeler P: şimdiki değer F: gelecekteki değer N : zaman periyodu sayısı A: eşit miktardaki yıllık ödemeler serisi (uniform series formulas) EŞIT SERILI ÖDEMELER (P/A, A/P, F/A, A/F) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 39 olmak üzere (P,F ve N) eşit serili periyot sonu ödemeleri A ile ve verilen herhangi bir efektif faiz oranı i% ile dört yolla birbirine bağlanırlar. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 40
Eşit Seri Gelecek Değer Faktörü ( F/A, i%, N ) Eşit Seri Gelecek Değer Faktörü (Uniform series compound amount) [ F/A, i%, N ] Amortisman Sandığı Faktörü (Sinking Fund) [ A/F, i%, N ] Eşit Seriler Sermaye Geri Dönüş Faktörü (Capital recovery) [ A/P, i%, N ] Eşit Seriler Şimdiki Değer Faktörü (Uniform series Present worth) [ P/A, i%, N ] F A 1 i i N 1 1 i N i 1 ( F / A,% i, N) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 41 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 42 Örnek: 5 yıllık bir dönem içinde her yıl ödenen 100 luk taksitler ve %6' lık bileşik faiz oranı kullanılarak 5 yıl sonunda ödenmiş para ne olacaktır? F=A(((1+i) N -1) / i) = 100 (((1+0.06) 5-1) / 0.06) F= 100 (5,637) = 563,70 Örnek Bir tasarruf hesabında, 10 yıl süre ile yıllık 1500 tasarruf yapılırsa, yıllık %6 bileşik faiz koşullarında, son tasarruf yatırıldıktan hemen sonra hesapta ne kadar para birikmiş olacaktır? F=A (F/A, 6%, 10) =1500 (13.181)=19,771.5 (13.181 faktör değeri tablodan alınır) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 43 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 44
Amortisman Sandığı Faktörü (A/F, i%, N ) Örnek: A i i F 1 i N 1 1 i N ( A/ F,% i, N) 1 Faiz haddi %5 olduğu takdirde, 6. yıl sonunda 100,000 amortisman birikmesini isteyen bir yatırımcının ayıracağı yıllık amortisman miktarı ne olacaktır? A=F[i / [(1+i) N -1]] = 100000[0.05 / [(1+0.05) 6-1]] = 100000*0.147 = 14,700 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 45 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 46 Örnek 5 yıl boyunca bir amortisman sandığında eşit serili bir tasarruf yapılarak şantiyedeki bir vidanjör değiştirilecektir. %8 lik bir faiz oranı verilmektedir. 30,000 sağlayabilmek için yıllık yapılması gereken tasarruf ne kadardır? A=F (A/F, %7, 5) =30,000 (0.1705) =5,115 /yıl DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 47 Eşit Seriler Sermaye Geri Dönüş Faktörü (A/P, i%, N) i 1 i A P N 1 i 1 N i 1 i N 1 i N ( A/ P,% i, N) 1 Bu faktör, faiz oranı i% olduğunda verilen bir yatırımın P, N yıllık bir süre boyunca eşit miktarlardaki yıllık değerinin A eşdeğerini verir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 48
Örnek: %5 cari faiz haddi üzerinden, şimdiki değeri 10,000 olan bir yatırım için 5 yıl boyunca ödenecek yıllık taksitler nedir? %5 faiz ile 5 yıllığına borç alınan 10,000 ın yıllık eşit taksitleri ne olacaktır? Faiz haddi %5 olduğu takdirde, şu andaki 10,000 lık bir harcamaya eşdeğer olabilecek yıllık tasarruf 5 senelik dönemde ne olmalıdır? İlk değeri 10,000 olan bir makinanın, %5'lik bir faiz haddi, sıfır hurda değeri ve 5 senelik ömrü üzerinden yıllık sermaye karşılama maliyeti ne olacaktır? Çözüm A=P[i(1+i) N / [(1+i) N -1]] A=10000 [0.05(1+0.05) 5 / [(1+0.05) 5-1]] A=10000 0.231 A=2310 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 49 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 50 Örnek Yıllık %8 oranında bileşik faiz ödeyen bir hesaba 12,000 para yatırılmıştır. Para yatırıldıktan bir yıl sonra başlamak üzere, yıllık eşit miktarlarda 8 defa paranın geri çekilmesi istenirse, her yıl ne kadar para çekilebileceğini hesaplayınız? A=P (A/P, 8, 8) = 12000 (0.1740)=2088 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 51 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 52
Örnek Yukarıdaki örnekteki ilk para çekme işlemi 2 yıl geciktirilirse, 8 yıl boyunca her yıl hesaptan çekilecek para miktarını hesaplayınız. Para bu durumda 2 yıl duruyor. Fondaki t=2 için para miktarı: F 2 diyelim. F 2 =P (F/P, 8, 2)=12000 (1.1664)=13,996.8 Hesaptan çekilecek yıllık para miktarı A: A=F 2 (A/ F2, 8, 8)= 13,996.8 (0.174)=2,435.44 İki yıl geciktirilmesi ile her yıl çekilecek para miktarı, bir önceki örneğe nazaran Fark, =2435.44-2088=347.44 daha fazla olduğu görülmektedir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 53 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 54 Eşit Seriler Şimdiki Değer Faktörü (P/A, i%, N) Eşit seriler şimdiki değer faktörü: P A N i 1 1 N i 1 i N i 1 1 ( P / A,% i, N) N i 1 i i% faiz oranında, 1. yıl sonunda başlayıp N. yıla kadar uzanan eşit miktardaki yıllık ödemeler serisinin A, şimdiki değerini P verir. A, P nin yatırılmasından 1 (bir) yıl sonra oluşacaktır. P, ilk ödeme A dan daima 1 periyot önce oluşmaktadır. Not: Formülasyon veya faktörker yukarıda verilen nakit akışı esas alınarak bulunmuştur. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 55 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 56
Örnek: Faiz haddi %10 olduğu takdirde, 6 yıl boyunca, her yılın sonunda 200 elde etmek için ne kadarlık bir yatırım yapmak lazımdır? (veya) Faiz haddi %10 olduğu takdirde, 6 yıl süreyle yılda 200 olarak yapılan ödemelerin toplamının bugünkü değeri nedir? (veya) Faiz haddi %10 olduğu takdirde, gelecek 6 yılın her birinin sonunda 200 nakit ödemeye imkan verecek paranın şimdiki değeri ne olacaktır? Örnek Yıllık %5 bileşik faiz oranıyla bir tasarruf hesabına yatırılan toplam para, yıllık eşit miktarlarda olmak üzere, 7 yıllık süre boyunca her defasında 3000 olarak geri çekilecektir. İlk para çekmenin, hesaba para yatırıldıktan 1 yıl sonra olacağı dikkate alındığında, tasarruf hesabına yatırılması gereken para ne kadar olmalıdır? P=A[[(1+i) N -1] / i(1+i) N ] P=200[[(1+0,1) 6-1] / 0.1(1+0.1) 6 ] P=200 4,355 =871 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 57 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 58 Nakit akış diyagramı P=A (P/A, 5, 7)=3000 (5.7865)=17,359.2 olur. Yani, tasarruf hesabına toplam olarak 17,359.2 yatırılırsa, bu para daha sonra yılda 3000 olmak üzere eşit miktarlı 7 ödeme ile geri alınabilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 59 Örnek Önceki örnekte sözü edilen ilk geri para çekmenin, para yatırıldıktan iki yıl sonra başlayacağını farz edersek, hesaba yatırılması gereken toplam para miktarı ne olmalıdır? P=A (P/A, 5, 7) (P/F, 5, 1) bağıntısında (P/A, 5, 1) terimi ile t=1 deki değer t=0 a taşınıyor. P=3000 (5.7864) (0.9524)=16532.9 İlk geri çekmenin 1 yıl geciktirilmesi, hesaba yatırılması gereken tasarruf miktarını: Fark=17359.2-16532.9=826.3 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 60
Örnek Bir inşaat ekipmanının satın alma maliyeti 60,000 dır. Mazot, yağ, vs... ile küçük bakım maliyetleri, ekipmanın kullanıldığı her saat için 12 olacağı düşünülmüştür. Tekerleklerin değiştirilme maliyeti 3000 dır (değiştirmenin, her 3000 çalışma saati sonunda olacağı düşünülmüştür). Önemli tamirlerin 4500 çalışma saatinden sonra yapılacağı ve 6500 olacağı farz edilmiştir. Bu ekipmanın ömrünün 9000 saat olacağı ve hurda değerinin (salvage value) ise satın alma fiyatının %10 u olacağı hesaplanmıştır. Ekipmanın yıllık 1500 saat kullanılacağı beklenmektedir. Bu durumda, ekipmanın her kullanıldığı saat için maliyetinin ne olduğunu hesaplayınız. Yıllık faiz oranı %10 alınacaktır. N=(toplam 9000 saat/1500 saat/yıl)=6 yıl ve i=%10 olmak üzere Önce nakit akış diyagramını çizelim. 60,000 i=%10 0 1 2 3 4 5 6 3000 6500 3000 6000 12x1500 =18,000 /yıl DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 61 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 62 Gelecek değer faktörü: (F/A, i, N) Sermaye geri dönüş faktörü: (A/P, i, N) A 1 =60,000 (A/P, 10, 6)= 60000 (0.2296)=13776 A 2 =12 1500=18000 A 3 =3000 [(P/F, 10, 2)+(P/F,10,4)] (A/P,10,6) =3000 [(0.82644)+(0.68301)] (0.22960) =3000 (1.50945) (0.2296)=1039.79 A1, A2, A3, ve A4, zaman aksının altında (negatif nakit akışı, maliyet); A5 zaman aksının üstünde (pozitif nakit akışı, gelir) dir. Toplam yıllık maliyet A= -(A1+A2+A3+A4)+ A5 =33159.39 Ekipmanın saatlik maliyeti =33,159.39 /1500=2,210 /saat A 4 =6500 (P/F,10,3) (A/P,10,6)=6500 (0.75131) (0.22960)=11 21.25 A 5 =(6000) (A/F,10,6)=6000 (0.1296)=777.6 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 63 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 64
Örnek Bir müteahhit yandaki Tabloda gösterildiği gibi inşaat projesinde negatif nakit akışı ile karşılaşacaktır. Bunun nedeni, aylık hakedişlerin işveren tarafından geç ödenmesi ve nakdî teminatın proje bitimine kadar işveren tarafından tutulmasından kaynaklanmaktadır. Müteahhidin bu negatif para akışını karşılamak için borçlanacağı paranın faizi aylık %1.5 ise toplam bu negatif para akışı için ne kadar faiz ödemesi gerekecektir? Ocak -55000 Şubat -70000 Mart -85000 Nisan -42000 Mayıs -25000 Haziran -10000 Temmuz +15000 Ağustos +272000 Önce nakit akış diyagramını çizelim: Sonra nakit akışının gelecek değeri (F) hesaplanır. Bu nakit akışı içerisinde toplam para sıfıra eşittir: -287+287=0 F = -55000 (F/P, 1.5, 7)-70000 (F/P, 1.5, 6)- 85000 (F/P, 1.5, 5)- 42000 (F/P, 1.5, 4) -25000 (F/P, 1.5, 3)- 10000 (F/P, 1.5, 7)+ 15000 (F/P, 1.5, 1)+272000 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 65 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 66 F = -55000 (1.10984)-70000 (1.09344)- 85000 (1.07728)- 2000 (1.06136)- 25000 (1.04567)- 10000 (1.03022)+ 15000 (1.0000)+272000 F = -23171.87 Bu problemle inşaat esnasındaki, negatif nakit akışlarının potansiyel önemli miktardaki maliyetlerini görüyoruz. Yüksek faiz oranlarıyla oldukça vahim bir tablo ortaya çıkabilir. Problemimizdeki %1.5 aylık faiz: (1+0.015) 12-1=1.1956-1=0.1956 100=%19.56 yıllık faize tekabül eder. Dolayısıyla, müteahhit negatif nakit akışları için ucuz kredi (yani düşük aylık/yıllık faizli) bulmalıdır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 67 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 68
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 69 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ 70 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 71/