TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların her birine kümenin elemanı denir. ümenin elemanları sembolü ile gösterilir. ümenin elemanı olmayanlar ise sembolü kullanılarak gösterilir. a c e b d ir topluluğun küme belirtmesi için;. ümeyi oluşturan elemanların açık ve kesin belli olması gerekir.. ümenin elemanlarının farklı olması gerekir.. ümelerde her eleman bir kez yazılır.. ümeler büyük harf ile adlandırılır. ÜEERİN GÖSTERİİ. İSTE YÖNTEİ ümenin elemanlarının { } sembolü içine elemanlar virgülle ayrılarak açık olarak gösterilmesidir., 5, 7, b, x,,, 0,, 7, elemanlarını kümesinde liste yöntemi ile gösterelim. = {b, x,, 5, 7,,, 0} şeklinde olur. üme oluşturulurken aynı elemanlar bir defa yazılır.. ORT ÖZEİ YÖNTEİ ümenin elemanlarının ortak özelliklerinin küme sembolü içerisinde açık olarak belirtilmesidir. Ortak özellik yönteminde : veya sembolleri kullanılır. u semboller öyleki anlamına gelir. 9 dan küçük doğal sayıların oluşturduğu kümeyi ortak özellik yöntemiyle gösterelim. = {x x, 9 dan küçük} = {x x < 9 ve x N}. ir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. = {a, b, c, d}={b, c, a, d} ={a, c, b, d}. Her küme ortak özellik yöntemiyle yazılamaz. ÜENİN EEN SYISI ir kümedeki elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir. n tane elamanı bulunan bir kümesinin eleman sayısı s() = n şeklinde gösterilir.. VENN ŞESI YÖNTEİ ümenin elemanlarının kapalı bir düzlemsel bölge içerisinde gösterilmesidir. = {x x, 7 den küçük doğal sayılar} kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 ) ) 7 D) 8 7 T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER x bir doğal sayı olmak üzere kümesinin elemanları 0 x < 7 aralığındadır. u aralıkta 7 tane doğal sayı vardır. Dolayısıyla kümesinin eleman sayısı s()=7 olur. evap dir. OŞ ÜE Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. oş küme veya { } sembolleri ile gösterilir.. { } kümesi boş küme değildir. u küme bir elemanlı bir kümedir. { }. {0} kümesi boş küme değildir. {0} = {x 78 x < 7, x N} kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 0 ) 7 ) 5 D) 78 kümesi dir. Çünkü kümesinin elemanları doğal sayılardır. Doğal sayılar pozitif değerli olduğundan 78 ile 7 arasında bir doğal sayı yoktur. Dolayısıyla kümesinin eleman sayısı 0 dır. evap dır. ÜEERİN RŞIŞTIRISI. DEN ÜEER Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. Denk kümeler sembolü ile gösterilir. s() = s() dir. = {x < x, x N} kümesine denk olan küme aşağıdakilerden hangisidir? ) = {a, b,, } ) = {, a,,, b} ) = {,,,, 5, } D) N = {,,, } = {x < x, x N} kümesinin = 5 tane elamanı vardır. Yani s() = 5 dir. s() =, s() = 5, s() =, s(n) = dür. s() = s() = 5 olduğundan ve kümeleri denk kümelerdir. evap dir.. EŞİT ÜEER ütün elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. Eşit kümeler = sembolü ile gösterilir. = {çift rakamlar} kümesine eşit olan küme aşağıdakilerden hangisidir? ) ) P S 0 0 0 ) D) kümesinin elemanları 0,,,, 8 olur. Dolayısıyla kümesi ile Ş kümesinin elemanları aynı ve eleman sayıları eşit olduğundan ile Ş eşit kümelerdir; yani = Ş dir. evap D dir. R Ş 8 0 Eşit kümeler her zaman denk kümelerdir. Fakat denk kümeler her zaman eşit küme olmayabilir. 8 T E O G TETİ O N U N T I I 8
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r. FRI ÜEER azı elemanları aynı olan veya tamamen farklı elemanlardan oluşan kümelere denir. Farklı kümeler sembolü ile gösterilir. Venn Şeması ile gösterelim., şağıda verilen kümelerden hangisi farklı kümelerdir? ) = {a, b, c} = {x, y, z} ) = {ir basamaklı tek sayılar} = {,, 5, 7, 9} ) = {,, O, } = {,,, O} D) = {, a,,, b} = {,,, a, b},, D seçeneklerindeki kümeler aynı elemanlardan oluştuklarından eşit kümelerdir. Fakat seçeneğindeki küme tamamen farklı elemanlardan oluştuklarından farklı kümelerdir. evap dır. T ÜENİN ÖZEİERİ. oş küme her kümenin alt kümesidir.,, herhangi üç küme olsun.,, dir.. Her küme kendisinin alt kümesidir. herhangi bir küme olsun dır.. irbirinin alt kümesi olan iki küme eşittir. ve = dir.. kümesi kümesinin alt kümesi, kümesi de kümesinin alt kümesi ise kümesi kümesinin alt kümesidir. ve dir. ir ümenin lt üme Sayısı. YRI ÜEER Hiç ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. n tane elemanı bulunan bir kümenin alt küme sayısı, n tanedir. ve ayrık ise, = dir. T ÜE (ÜE PRÇSI) ve iki küme olsun. kümesinin her elemanı kümesinin de eleman oluyor ise kümesine kümesinin alt kümesi denir. kümesi kümesinin alt kümesi ise şeklinde gösterilir. kümesi kümesinin alt kümesi değilse şeklinde gösterilir. oş kümenin alt küme sayısı dir. elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı kaçtır? = {,,,,, } = {,, } kümelerini göz önüne alalım. kümesinin her elemanı kümesinin de elemanı olduğundan dır. ) ) 8 ) D) üme elemanlı olduğundan alt kümelerinin sayısı, = tanedir. evap dir. www.akademitemellisesi.com 9 T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER ÖZ T ÜE ir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine o kümenin öz alt kümeleri denir. Öz lt üme Sayısı: n tane elamanı bulunan bir kümenin öz alt küme sayısı, n dir. = {,,,, 5, {a, b}} kümesine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) lt küme sayısı 7 = 8 tanedir. ) {a, b} dır. ) {,,, a} dır. D) {a, b} dır. oş kümenin öz alt küme sayısı sıfırdır. = {x 0 x 5, x Z} kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır? ir kümede elemanlar virgülle ayrıldığından kümesinin elemanları,,,, 5 ve {a, b} olur. O halde; alt küme sayısı = tanedir. {a, b} dır. Çünkü {a, b} dır. {,,, a} dır. Çünkü a dır. {a, b} dır. evap D dir. ) ) ) D) ÜEERDE İŞEER kümesini yazalım. = {0,,,,, 5} kümesinin eleman sayısı dır. kümesinin öz alt küme sayısı, n = = = tanedir. evap dir. Öz alt küme sayısı 7 olan küme kaç elemanlıdır?. ümelerin irleşimi: İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye birleşim kümesi denir. irleşim sembolü ile gösterilir. ve iki küme olsun. ile kümelerinin birleşim kümesi şeklinde gösterilir. kümesinin elemanları veya kümesinin elemanlarıdır. = {x: x veya x } dır. kümesi şekildeki taralı kısımdır. ) 7 ) 8 ) 9 D) 0 üme n elemanlı olsun. Öz alt küme sayısı n = 7 dir. n = 7 n = 8 n = 7 n = 7 dir. evap dır. = {,,, 5} = {, {, 8}, {a, b}} kümelerinin birleşim kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 9 ) 8 ) 7 D) 5 T E O G TETİ O N U N T I I 0
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r = {,,, 5} = {, {, 8}, {a, b}} ise = {,,,, 5, {, 8}, {a, b}} olur. s( ) = 7 olur. nin alt küme sayısı, 7 = 8 dir. evap dir. = {,,, 8, 0} = {,,,, 5, } kümelerinin kesişim kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) ) 8 ) D) irleşimin Özellikleri:. ir kümenin kendisiyle birleşimi yine kendisidir. = dır.. ir kümenin boş küme ile birleşimi yine kendisidir. =, = dir.. irleşim işleminin değişme özelliği vardır. = dır.. irleşim işleminin birleşme özelliği vardır. ( ) = ( ) 5. ir küme ile alt kümesinin birleşimi yine kendisidir., = dir.. İki kümenin birleşimi boş küme ise, kümeler boş kümedir. = ise = ve = dir. ve kümelerinin kesişimi Venn şeması ile gösterirsek; 8 olur. 0 = {,, } dir. s( ) = olur. nin alt küme sayısı = 8 tanedir. evap dir. esişimin Özellikleri:. ir kümenin kendisiyle kesişimi yine kendisidir. = dır. 5. ir kümenin boş küme ile kesişimi boş kümedir.. ümelerin esişimi: İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir. esişim sembolü ile gösterilir. ve iki küme olsun. ve kümelerinin kesişim kümesi şeklinde gösterilir. kümesinin elemanları ve kümesinin elemanlarıdır. = {x: x ve x } kümesi şekildeki taralı kısımdır. www.akademitemellisesi.com =, =, =. esişim işleminin değişme özelliği vardır. = dır.. esişim işleminin birleşme özelliği vardır. ( ) = ( ) dir. 5. ir küme ile alt kümesinin kesişimi alt kümesine eşittir., = dır.. yrık iki kümenin kesişimi dir. = ise ve ayrık kümelerdir. 7. esişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği, birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER. Ortak elemanlar birleşim kümesine bir kez yazılır.. irleşim kümesinin eleman sayısı; kümelerin eleman sayıları toplamından, kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur. ise, s( ) = s() + s() s( ) b c a f g 5 d e 9 h ı Yukarıda verilenlere göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {e, f, g, h, ı} ) {e, h, ı} ) {f, g} D) {e} kümesi, ve kümelerinin ortak elemanlarından oluşur. = {e} olur. 7 evap D dir. s() = 0, s() = ve kümesinin öz alt küme sayısı 5 ise, kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 8 ) ) D) kümesinin öz alt küme sayısı 5 olduğuna göre, n = 5 n = n = olur. öylece s( ) = bulunur. s( ) = s() + s() s( ) = 0 + = 8 bulunur. evap dır. ve ayrık olmayan iki küme ve s() = s() = olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en çok kaç olur? ) ) 0 ) 9 D) ( ) nin eleman sayısının en çok olabilmesi için kesişim kümesinin eleman sayısı az olmalıdır. ümeler ayrık olmadığından ( ) s( ) = seçilirse s( ) en büyük değerini alır. una göre, s( ) = s() + s() s( ) = + = 9 bulunur. ve iki küme olsun s() = s() = 7 evap dir. olduğuna göre, kümesi en az kaç elemanlı olur? ) ) 7 ) D) 8 I. Yol: s( ) nin eleman sayısının en az olabilmesi için kesişim kümesinde çok eleman bulunmalıdır. u da nin eleman sayısı az olan kümeye eşit olmasıyla mümkün olur. Yani; s( ) = s() = olur. s( ) = s() + s() s( ) II. Yol: = + 7 = 7 bulunur. ümeleri Venn Şeması ile gösterelim. s( ) = s() = 7 olur. evap dir. T E O G TETİ O N U N T I I
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r. İki ümenin Farkı: ve herhangi iki küme olmak üzere, nın elemanı olduğu halde nin elemanı olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark kümesi denir \ veya şeklinde gösterilir. \ = {x: x ve x } irleşim kümesinin eleman sayısını fark kümeleri yardımıyla bulabiliriz. s( )=s( \ )+s( \ )+s( ) = {,,, } = {,, 5, } = {, 7, 8} kümelerine göre, ( ) \ kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {} ) {} ) {, } D) {, 7, 8} = {,,, } {,, 5, } = {, } ( ) \ = {, } \ {, 7, 8} = {, } evap dir. a b Şekilde verilen Venn Şemasına göre, (\) (\) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {, a, b} ) {,, } ) {,,, c} D) {,,,, a, b} Venn Şemasına göre \ = {, a, b} \ = {,, } olur. ( \ ) ( \ ) = {, a, b} {,, } e d c = {,,,, a, b} bulunur. evap D dir. ve kümeleri için \ kümesinin alt küme sayısı, kümesinin öz alt küme sayısı 55 olduğuna göre, kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır? ) ) 7 ) 5 D) \ kümesinin alt küme sayısı ise, n = n = olur. kümesinin öz alt küme sayısı 55 ise m = 55 m = 5 m = 8 olur. s() = 8 = bulunur. kümesinin öz alt küme sayısı = olur. www.akademitemellisesi.com evap dır. D. Tümleme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E sembolü ile gösterilir. Herhangi bir kümenin dışında kalan ve evrensel kümeye ait olan elemanların oluşturduğu kümeye o kümenin tümleyeni denir. herhangi bir küme olsun. nın tümleyeni ı veya t ile gösterilir. ı = {x x ve x E} E T E O G TETİ O N U N T I I ı
ÜEER. ir küme ile bu kümenin tümleyenin eleman sayılarının toplamı evrensel kümenin eleman sayısını verir. s() + s( ı ) = s(e). \ = ı ( ) ve, E evrensel kümesinin alt kümeleri olsun. s(e) = 5 s( ı ) = s( \ ) = s( \ ) = olduğuna göre, nin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 ) ) D) \ ( ) ( ) D ( ) D ( \ ) ( \ ) \ ( ) Verilenler Venn Şemasında yerlerine yazılırsa x 9 s(e) = s() + s( ı ) 5 = s() + s() = olur. s() = + x = + x x = bulunur. s( ) = olduğundan alt küme sayısı = bulunur. evap dir. ( ) \ ( ) \ ( ) TRI ÖGE U şağıda Venn Şemalarının altında taralı bölgeye karşılık gelen kümeler yazılmıştır. ÜE PROEERİ ( ) \ üme problemlerinin çözümleri için aşağıdaki bilgileri inceleyiniz.. F V a b c [( ) ( ) ( )] \ ( ) F = Futbol oynayanların kümesi V = Voleybol oynayanların kümesi a = Sadece futbol oynayanların sayısı b = Futbol ve voleybol oynayanların sayısı c = Sadece voleybol oynayanların sayısı a + c = Sadece bir oyun oynayanların sayısı T E O G TETİ O N U N T I I
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r. İ F y x z p t s r İ = İngilizce bilenlerin kümesi F = Fransızca bilenlerin kümesi = lmanca bilenlerin kümesi x = Sadece İngilizce bilenlerin sayısı z = Sadece Fransızca bilenlerin sayısı s = Sadece lmanca bilenlerin sayısı t = Üç dil bilenlerin sayısı y + p + r = Sadece iki dil bilenlerin sayısı y + p + r + t = En az iki dil bilenlerin sayısı x + z + s + y + p + r = En fazla iki dil bilenlerin sayısı ir sınıftaki 0 öğrenciden 0 u yalnız matematik dersinden, 7 si yalnız Türkçe dersinden geçmiş, 8 i her iki dersten de kalmıştır. una göre, her iki dersi geçen kaç öğrenci vardır? ) 0 ) 8 ) 5 D) S T İ F Şemada görüldüğü gibi kafilede 58 kişi vardır. evap D dir. ir sınıftaki öğrencilerin tamamını müzik veya sporla ilgilenmektedir. 7 si sadece müzik si sporla, ilgilendiğine göre sınıf mevcudu kaçtır? Yukarıdaki sorunun çözümü için aşağıdaki verilerden hangisine ihtiyaç vardır? ) üzik ve sporla ilgilenmeyen öğrencilerin sayısı ) üzik ve sporla ilgilenen öğrencilerin sayısı ) Yalnızca sporla ilgilenenlerin sayısı D) Veriler yeterlidir. 0 x 7 8 S S = 0 + x + 7 + 8 S = 5 + x 0 = 5 + x x = 5 evap dir. ir turist kafilesindeki kişi lmanca, kişi İngilizce 9 kişi Fransızca bilmektedir. 7 kişi lmanca ve Fransızca, kişi lmanca ve İngilizce 0 kişi İngilizce ve Fransızca ve kişi her üç dili bilmektedir. una göre, kafilede kaç kişi vardır? 7 Tüm sınıfı venn şeması ile gösterirsek, sınıf mevcudu 7 + = 9 kişidir. Dolayısıyla veriler yeterlidir. aşka bir veriye gerek yoktur. evap D dir. ) ) 0 ) D) 58 www.akademitemellisesi.com 5 T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER Ü TEST 7. NR kelimesinin harflerin oluşturduğu kümenin özalt küme sayısı kaçtır? ) 7 ) 5 ) D). = {, {a},, {b, c}} kümesi veriliyor. şağıdakilerden hangisi doğrudur? ) lt küme sayısı dir. ) {b, c} ) a D) {, }. ve boş olmayan iki küme olarak, aşağıdakilerden hangisi, kesinlikle kümesini kapsamaz? ) ) ) \ D) \. s() = s() = olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı en fazla kaç olabilir? ) ) 8 ) D) 8. = [,,, } olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) {, } ) {, } ) {,,, } D) { } 9. ve kümelerinin alt kümelerinin toplamı 0 dir. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) s() = s( ) ) s( \ ) = s() ) s( \ ) = s( ) D) s() =.s(). ir kümenin alt küme sayısı x +, özalt küme sayısı x dir. una göre, bu küme kaç elemanlıdır? ) ) 5 ) D) 5., s( ) =s() + s() olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? 0. ve denk kümelerdir. S( ) = 7 Olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi, \ kümesinin eleman sayısını bulmak için gerekli değildir? ) s( \ ) = s( \ ) ) s() ) s( \ ) D) s() ) = ) \ = ) = D) \. ir kümenin elemanı sayısı artırılırsa, aşağıdakilerden hangisi gerçekleşir? ) lt küme sayısı artar. ) lt küme sayısı kat artar. ) lt küme sayısı 7 kat artar. D) Özalt küme sayısı 8 artar.. = {a 5 < a <, a Z} = {b b, b N} olduğuna göre, \ kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) {, } ) {,,, } D) { 5} T E O G TETİ O N U N T I I
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r. ve kümeleri için, s( ) = s() olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) = ) = ) \ = D) \ =.. Yandaki şemada bir toplulukta İngilizce, lmanca ve Fransızca bilenler kümesi sırasıyla, I, ve F kümeleri ile gösterilmiş ve her sayı bulunduğu kümenin eleman sayısı göstermektedir. I 5 7 Şemada verilenlere göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. lmanca ve Fransızca bilenlerin sayısı, sadece İngilizce bilenlerin sayısına eşittir. II. Sadece bir dil bilenlerin sayısı, üç dili de bilenlerin sayısının katıdır. III. En az iki dil bilenlerin sayısı 5 tür. IV. lmanca veya Fransızca bilmeyenlerin sayısı 5 tir. F ) I ve II ) III ve IV ) I, II ve IV D) Hepsi. Yukarıdaki şemada taralı olarak verilen küme aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) \ ) [ \ ( )] [ ] D) ( ) \ Ü 7. ir sınıfta bulunan öğrencilerin futbol veya voleybol I. hiç birini oynamayanların sayısı kişi II. sadece birini oynayanların sayısı kişi III. en az birini oynayanların sayısı kişi olduğuna göre, yukarıdaki bilgilerin hangisi verilmezse, sınıfın mevcudu yine de bulunur? ) I ) II ) III D) Hepsi verilmelidir. D a d b h f c g Yukarıdaki şemada verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) D Ü = {f} ) (Ü ) \ D = {b, h, c, g, e} ) (D ) Ü = Ü D) Ü (D ) = {f, h, c} e 8. İngilizce, Türkçe ve Rusça dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu turist kafilesinde, Türkçe bilen herkes İngilizce bilmekte, fakat Rusça bilmemektedir. afilede yalnız iki dil bilenlerin sayısı, yalnız bir dil bilenlerin sayısı olduğuna göre, kafilede kaç kişi bulunmaktadır? ) 5 ) ) 0 D) 8 5. 0 kişilik bir sınıfta kişi atematikten, 8 kişi Fenden geçerli not almıştır. una göre, her iki dersten geçerli not alan kaç kişi vardır? ) 0 ) ) D) 9. ir sınıftaki öğrencilerin % 0 pop müzik, % 70 rock müzik dinlemektedir. Her iki müzik türünü dinleyenlerin sayısı kişi olduğuna göre, sınıfın mevcudu kaçtır? ) 8 ) 0 ) D) www.akademitemellisesi.com 7 T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER ER. {a} ve {b, c} birer elemandır. u yüzden de s() =, = {b, c}, a ve nin birer elemanı olduğuna göre, {, } kümesi nin alt kümesidir. evap D dir.. irleşim kümesi her iki kümenin elemanlarını bulundurduğuna göre, ( ). olursa, = olur ve her küme kendisini kapsar. Dolayısıyla seçeneğinde kesinlik yok. \ kümesi, nın, de olmayan elemanlarından oluştuğuna göre, \ kesinlikle yi kapsamaz. = olursa, \ olur ve her küme kendisini kapsadığına göre, D seçeneğinde kesinlik yok. evap dir. 7. NR kelimesindeki harflerin oluşturduğu küme = {, N,, R] dır. s() = olduğundan özalt küme sayısı = 5 dir. evap dir. 8. kümesinde elemanı bulunmadığına göre, {, } kümesi kümesinin alt kümesi olamaz. evap dır. 9. Toplamları 0 olan, nin kuvvetleri ve olduğuna göre, s() =, s() = s() = s() =. = yani ve ayrık küme olurlarsa s( ) = 5 olur. 5 = evap D dir.. ir kümenin alt küme sayısı, özalt küme sayısından fazladır. x + = x + x = ümenin eleman sayısı n olsun. n = x + = + = 8, n = evap D dir. 5. s( ) = s() + s() s( ) = s() + s() Olduğundan s( ) = 0 = Yani kümeleri ayrık kümelerdir. ve boş olmayan kümeler olduğundan = olamaz. evap dir.. u kümenin eleman sayısı n olursa, alt küme sayısı n olur. Eleman sayısı artırılırsa, alt küme sayısı n+ = n. = 8. n olur. 8. n n = 7. n lt küme sayısı 7 kat artmıştır. evap dir. Şemadan görüldüğü gibi, ve seçeneklerindeki ifadeler doğrudur. Fakat s().s() evap D dir. 0. ve kümeler olduğuna göre, şema aşağıdaki gibidir. a x a verilen: a + x = 7 istenilen: s( \ ) = a seçeneklere baktığımızda, seçeneğindeki bilgiyi, kümelerin denk olmasından elde ederiz. Diğer seçeneklerdeki bilgiler ise s( ) yi bulmak için yeterlidir. evap dır.. ve kümeleri liste yöntemiyle yazarsak, = {,,, 0,, } = {0,,,, } una göre, \ = {,,, } evap dir. T E O G TETİ O N U N T I I 8
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r. s( ) = s() olduğuna göre, kümesi, kümesinin alt kümesidir. una göre, seçeneklerden kesinlikle doğru olanı = dir. evap dir. 7. F V x y z. Taralı bölgeyi ikiye ayırırsak. taralı bölge,. taralı bölgeye \ ( ). unların birleşimi [ \ ( )] [ ] dir. evap dir. Yukarıdaki şemada F ve V sırasıyla sınıfta futbol ve voleybol oynayanlar kümesi, x, y, z ve bulundukları kümenin eleman sayısını göstermektedir. Soruda istenilen x + y+ z + toplamıdır. urada x + y + z toplamı en az bir dil bilenlerin sayısını göstermektedir. + = 0 sınıf mevcudu bulunur. O halde sadece birini oynayanların sayısı (x+z) bilgisine gerek kalmıyor. evap dir.. Ü (D ) = {f, c} Fakat D seçeneğinde Ü (D ) = {f, h, c} olarak verilmiştir. evap D dir. 5. = {atematikten geçenler} F = {Fenden geçenler} olmak üzere s( F ) = s() + s(f) s( F) 0 = + 8 s( F) s( F) = evap dir. 8. I R T x z t y Yukarıdaki şemada i, T ve R kafilede İngilizce, Türkçe ve Rusça bilenlerin kümesini göstermektedir. Yalnızca iki dil bilenlerin sayısı x + z = kişi Yalnız bir dil bilenlerin sayısı y + t = kişi afiledeki turist sayısı x + y + z + t = + = 5 kişi evap dır.. I. lmanya Fransızca bilenlerin sayısı + = 5 kişidir. Sadece İngilizce bilenlerin sayısı 5 kişidir. II. Sadece bir dil bilenlerin sayısı 5 + 7 + = 8 kişidir. www.akademitemellisesi.com I 5 7 Üç dili de bilenlerin sayısı kişidir. 8 =. III. En az iki dil bilenlerin sayısı yalnız iki dil ve yalnız üç dil bilenlerin sayısının toplamına eşittir. + + + = 0 IV. lmanca ve ya Fransızca bilmeyenler kümesinin dışında kalanlardır. unların sayısı 5 tir. u durumda I, II ve IV doğru, III yanlıştır. evap dir. F 9 9. P R % 0 % 0 % 0 Şemada P ve R sırasıyla pop müzik ve rock müzik dinleyenler kümesini göstermektedir. % 00 = %0 + %70 % x x = 0 0 00..y 0y = 00 y = 0 evap dir. T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER EVPI TEST 5. kümesinin özalt küme sayısı, kümesinin alt küme sayısı ve olmak üzere, s( ) nin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı nedir?. Yandaki taralı bölge aşağıdakiler den hangisi ile ifade edilir? ) 8 ) 0 ) D) 8 ) [( ) / )] ( ) ) ( ) [ / ( )] ) ( ) / D) ( ) /. ={ x: < x 5, x Z} ={ x: x <, x Z} ümeleri veriliyor. kümesinin elemanları toplamı kaçtır? ) 7 ) ) D) 0. = { İ, {R,E}, } = { E,, {R,E}} ümeleri veriliyor. una göre; s( ) s( ) kaçtır? ) ) ) D) 8 7. = {,,, } ümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, bulunur bulunmaz? ) ) 8 ) D). = {, {0},,,, {} } ümesi veriliyor. una göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?.. {0}. {,,,}. {} 5. {} ) ) ) D) 5 8. ve boş olmayan iki küme olmak üzere, s() = s() s( ) + s( ) = 7 olduğuna göre, s() kaçtır? ) ) ) 8 D) 0. s( ) =, kümesinin alt küme sayısı, 8; nin özalt küme sayısı 7 ise s() kaçtır? ) ) 7 ) 8 D) 0 9. = {,,, D, E, F} = {, } kümeleri veriliyor. olacak şekilde ve den farklı kaç tane kümesi yazılabilir? ) ) ) 0 D) T E O G TETİ O N U N T I I 0
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r 0. ir dil kursu; İngilizce, lmanca, Fransızca dilini bilenler ve hiçbir dil bilmeyenlerden oluşmaktadır ve aşağıdaki kümelerde rakamlar eleman sayılarını göstermektedir. una göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?. elemanlı bir kümeye bu elemanlardan farklı x tane eleman katılırsa yeni oluşan kümenin alt küme sayısı; başlangıçtaki kümenin alt küme sayısından kaç fazla olur? ) + x ) (x ) ) x D) ( x ) 5 0. en çok bir dil bilen kişi. en az iki dil bilen 8 kişi. en çok iki dil bilen 8 kişidir; ) ve ) ve ) Yalnız D), ve 5. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısıyla, özalt küme sayısının toplamı 7 ise bu kümenin eleman sayısı kaçtır? ) ) 5 ) D) 7. ir geziye katılan 5 kişiden yalnız voleybol oynamak isteyenler her iki oyunu da oynamak isteyenlerden fazla, Futbol oynamak isteyenler de Voleybol oynamak isteyenlerden eksiktir. u gezide 0 kişide hiçbir oyun oynamamaktadır. una göre voleybol oynayan kaç kişi vardır?. ={ ile bölünen iki basamaklı sayılar} ={5 ile bölünen iki basamaklı sayılar} Yukarıda tanımlanan ve kümeleri için kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) ) ) 8 D) 0 ) ) 8 ) D) 8 7. = {x: x 9, x Z} kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 ) ) D) 8. 0 kişilik bir sınıfta Gözlüksüz erkekler, gözlüklü kızların katı, Gözlüksüz kızlar, gözlüklü erkeklerden 5 eksiktir. u sınıfta 5 kız varsa, Gözlüklü erkek sayısı kaçtır? ) 0 ) 5 ) 8 D) 0 8. x + x x x x x + 5., ve kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 5,, olduğuna göre, kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? ) ) ) D) s[( ) / ] = olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 5 ) 0 ) 5 D) www.akademitemellisesi.com T E O G TETİ O N U N T I I
EVPI TEST 5. 5 7 ÜEER. TTÜR kelimesinin harfler kümesini, TÜRİYE kelimesindeki harfler kümesini oluşturuyorsa aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) \ kümesinin özalt küme sayısı 7 dir. ) s( \ ) = s( \ ) dır. ) ( ) kümesinin alt küme sayısı 5 dır. D) s( \ ) = tür. 8 Yukarıdaki şemaya göre, {,, 7} kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {( ) \ } ) { \ ( )} ) [ \ ( )] ( \ ) D) [ \ ( )] ( \ ). s() = 7 ve s() = 9 olduğuna göre, s( ) en az kaçtır? ( ) ) ) ) 0 D) 9. \,, kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla, 8, olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) ) 0 ) 9 D) 8. = {,, {, }, a, {a}, {b, c, d}} kümesi ile ilgili verilenlerden kaç tanesi doğrudur? I. s() = 9 II. kümesinin alt küme sayısı tür. III. {a, b} IV. {, } 7. = {, {},, {a}} = {{},{a},,, 5} kümelerine göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {{},, {a}, } ) {{}, } ) {{a}, } D) {, {}, {a}, } ) ) ) D). Taralı bölgeyi gösteren küme aşağıdakilerden hangisidir? ) \( ) ) ( ) \ ) \ ( ) D) ( ) \ 8. s() = 5 s() = 7 olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi daima doğrudur? I. ise s( ) = 7 II. ise s( ) = III. ise nin alt küme sayısı en çok 7 dir. IV. ise nin eleman sayısı en az 8 dir. ) ) ) D) T E O G TETİ O N U N T I I
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r 9. s() = s() = D olacak şekilde kaç farklı D kümesi yazılabilir? ) ) ) D). ve kümeleri için, s() = s( \ ) = olduğuna göre, s( ) nin alt küme sayısı en çok kaçtır? ) ) ) D) 0 0. Herkesin Türkçe bildiği 9 kişilik bir sınıfta her üç dili de bilen 7 kişi, lmanca bilen 0 kişi ve İngilizce bilenler yalnız bir dil bilenlerin katı olduğuna göre, Türkçe ve lmanca bilenlerin sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) İki basamaklı rakamları farklı en küçük asal sayıdır. ) İki basamaklı en küçük doğal sayıdır. ) İki basamaklı rakamları farklı en küçük doğal sayıdır. D) Yalnızca İngilizce bilenlerin sayısının iki katıdır. 5. \,, \ kümelerinin özalt küme sayıları sırasıyla 7,, tür. s() + s() için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) sal sayıdır. ) İki basamaklı en küçük doğal sayıdır. ) ir basamaklı en büyük doğal sayıdır. D) İki basamaklı en küçük asal sayıdır.. şağıdakilerden hangisi ya da hangileri kesinlikle yanlıştır? I. Her küme kendisinin alt kümesidir. II. s() = s() = ise = dir. III. oş kümenin özalt küme sayısı dir. IV. oş küme her kümenin alt kümesidir.. s() + s() = s( \ ) = 5 s( \ ) = olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) ) ) 8 D) 0 ) Yalnız l ) Yalnız lll ) l ve lll D) ll ve lll 7.. = {,, {}, {}, 5} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kümesinin alt kümesidir? ) {,, } ) {, {}, 5} ) {, {}} D) {{}, 5} Şekildeki taralı bölgeye aşağıdaki kümelerden hangisi ilave edilirse,. kümesi rakamlardan, kümesi asal sayılardan oluşmaktadır. una göre, ( \ ) kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) 5 elemanlı bir kümedir. ) Özalt küme sayısı 5 dir. ) 5 tane elemanı çift sayıdır. D) tane özalt kümesi vardır. www.akademitemellisesi.com taralı bölgesi elde edilir? ) \ ( ) ) ( ) \ ) ( ) \ D) ( ) \ T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER Ç I I Ş S O R U R.. şağıda taralı olarak gösterilen kümelerden hangisi P kümesinde olup, R kümesinde olmayan elemanların kümesidir? ) ) R P P ) D) R P P Şekildeki şemada taralı kısma karşılık gelen kümeler arasındaki işlem aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? ) [ ( )] \ [ ( )] ) ( ) \ ( ) ) \ ( ) D) [( ) )] \ [( ) ] (999 - GS) R R (998 - ÖO). 55 kişilik bir sınıfta her öğrenci futbol veya basketbol oyunlarından en az birini oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı, basketbol oynayanların sayısının katıdır. İki oyunu birden oynayanların sayısı 5 kişi olduğuna göre, futbol oynamayan kaç kişi vardır? ) 8 ) 0 ) D) 5 (000 - ÖO). c a b Şema ile gösterilen kümelerde aşağıda verilen taşıma işlemlerinden hangisi yapılırsa = ve = N olur? ) daki, N ye; deki b, ya ) deki, ye; deki b, N ye ) deki b, ya; deki, N Ye D) deki a, ye; deki, N ye c b N a (999 - GS) 5. Şemadaki T, ve İ harfleri sırasıyla bir sınıftaki Türkçe, atematik ve İngilizce derslerinden geçen öğrencilerin kümelerini göstermektedir. T I 7 7 Sayılar, alt kümelerin eleman sayılarını gösterdiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) u derslerin en az ikisinden geçenlerin sayısı dır. ) Türkçe ve atematikten kalanların sayısı tür. ) atematikten geçenlerin sayısı dir. D) u derslerin sadece birinden geçenlerin sayısı 0 tır. (000 - GS) 9 T E O G TETİ O N U N T I I
T E T İ w w w. a k a d e m i v i z y o n. c o m. t r., ve herhangi üç küme olmak üzere, aşağıdaki şemalardan hangisi ve şartına uygun gösterim değildir? 9. şağıda verilen şemalardaki taralı bölgelerden hangisi, ( ) \ kümesinin bir gösterimi değildir? ) ) ) ) ) D) ) D) (00 - ÖO) (000 - GS) 7. a c b 0. a = {,,,5,} ve b = {,5,,7,8}} kümeleri veriliyor. nın alt kümelerinden kaç tanesi nin alt kümelerine eşittir? ) 5 ) ) 8 D) (00 - ÖO) b c 5 + Şemalarla gösterilen, ve kümelerindeki a, b ve c harflerinin yerine aşağıdaki hangi rakamlar yazılırsa, = = olur? a b c ) 5 ) 5 ) 5 D) 5 (000 - ÖO). ir sınıftaki öğrencilerin %70 i matematik, %0 ı Türkçe dersinden başarılı olmuştur. Her iki dersten başarılı olan öğrencilerin sayısı dir. Her iki dersten de başarısız öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır? u problemin çözülebilmesi için, aşağıdakilerden hangisi gereklidir? ) aşka verilere gerek yoktur, mevcut verilerle çözülebilir. ) Her iki dersten başarısız olan öğrencilerin sayısı verilmelidir. ) Her iki dersten de başarısız olanlara ait yüzde verilmelidir. D) Yalnız bir dersten başarılı olan öğrencilerin sayısı verilmelidir. (00 - GS) 8., ve kümeleri yanda şema ile verilmiştir. una göre; 5, aşağıdaki kümelerden hangisinin elemanı değildir? 5 7 ) ( ) \ ) ( ) ) ( ) \ ( ) D) ( ) \ (00 - GS). ir sınıftaki öğrencilerin % 70 i futbol, % 0 ı voleybol oynamaktadır. Hem futbol hem de voleybol oynayanların sayısı dır. u verilere göre, aşağıdakilerden hangisi doğru olur? ) Sınıf mevcudu en az 0 kişidir. ) Sınıf mevcudu en fazla kişidir. ) Sınıf mevcudu kesinlikle 0 kişidir. D) Sınıf mevcudu kesinlikle kişidir. (00 - ÖO) www.akademitemellisesi.com 5 T E O G TETİ O N U N T I I
ÜEER. USTF sözcüğünü oluşturan harflerin kümesi, US sözcüğünü oluşturan harflerin kümesi D olsun. una göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. kümesinde olup, D kümesinde olmayan elemanların sayısı tür. II. nin alt kümelerinin sayısı, D nin alt kümelerinin sayısına eşittir. III. D nin alt kümeleri, nin de alt kümeleridir. IV. D nin eleman sayısı, nin eleman sayısına eşittir. ) I ve II ) I ve IV ) II ve III D) III ve IV (00 - GS) 7. s( ) = 8 ve s() = olduğuna göre, aşağıdaki şartlardan hangisinin sağlanması durumunda s() en küçük olur? ) ise ) = ise ) s( \ ) s( \ ) ise D) s( \ ) = ise 8. Şemadaki taralı bölgeler, aşağıdaki kümelerden hangisinin gösterimidir? (00 - ÖO). Şemaya göre, aşağıdaki kümelerden hangisi {} kümesine eşit değildir?.....5 ) ( ) \ ) ( \ ) ) ( \ ) \ D) ( ) \ (00 - ÖO) ) \ ( ) ) ( \ ) ) ( \ ) D) ( ) \ (00 - ÖO) 9. Şemadaki \ ( ) kümesinin belirttiği bölge kesilerek çıkartılıyor. 5. Şema ile gösterilen, ve kümelerine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? Çıkartılan bölgeyi gösteren şekil aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) = ) \ = ) \ = D) = (00 - GS) ) D). kişilik bir sınıfta kişi matematik dersinden, kişi de hem Türkçe hem matematik dersinden 00 puan almıştır. una göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) 00 puandan az alan öğrencilerin sayısı en fazla tür. ) Yalnız Türkçe den 00 puan alanların sayısı en fazla 8 dir. ) Türkçe den 00 puan alanların sayısı en fazla dır. D) atematik ten 00 puanın altında alan öğrencilerin sayısı en fazla dır. (00 - GS) 0. Şemada verilen, N ve P kümelerine göre, / (P N) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (00 - GS) ) {,, } ) {,,, } ) {,,,, 9} D) {,,,,, 7, 8, 9} (005 - GS) N 9 5 8 7 P T E O G TETİ O N U N T I I