Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0
Celal Bayar Üniversitesi Yönetim Kurulu'nun 0/08 sayılı ve XV no'lu kararı ile basılmıştır. Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Celal Bayar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Ee Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kapak Tasarım: Serat KOTAN CBÜ Rektörlük Matbaası - 06.7 8 86 / Baskı - Cilt : Celal Bayar Üniversitesi Rektörlük Matbaası -MANİSA. Baskı - 0 ISBN: 978-975-868-4-7 Bu kitabın Türkçe yayın hakları kitabın hukuki yayımcısına ait olup her hakkı saklıdır. Hiçbir bölümü ve pararafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile veya başka herhani bir biçimde çoğaltılamaz, dağıtılamaz yeniden elde edilmek üzere saklanamaz. Normal ölçüyü aşan iktibaslar yapılamaz ancak normal ve kanuni iktibaslarda kaynak österilmesi zorunludur.
ÖNSÖZ E -boyutlu Öklid uzayındaki eğriler ve yüzeyler teorisi, uzun zamandan beri çok iyi bilinmektedir. R -boyutlu reel vektör uzayı üzerinde Öklid iç çarpımı yerine,,, işaretli Lorentz iç çarpımı alındığında, elde edilen uzay Minkowski -uzay olarak isimlendirilir ve R ile österilir. Lorentz iç çarpımı pozitif tanımlı olmadığı için, bu uzaydaki vektörler, eğriler ve yüzeyler çeşitlilik arzeder. Yani; spacelike, timelike ve lihtlike (veya null) olmak üzere üç sınıfa ayrılırlar. Her sınıftaki kavram, diğer sınıftaki bir kavramdan çok farklıdır. Fakat; spacelike olan vektörler, eğriler ve yüzeyler, Öklid uzayındakiler ile büyük benzerlik taşırlar [,]. Timelike ve lihtlike kavramları, Minkowski -uzayında Lorentziyen anlamdaki kavramlardır. Bu nedenle, R uzayındaki çalışmalarda, bu iki kavram son derece önemlidir.. Bölüm; Lorentziyen iç çarpımı, Lorentziyen vektörel çarpımı [] ve hiperbolik açı [4,5] ibi, Lorentz eometride yapı taşı olan temel kavramlar ve bunlarla ilili özelliklere ayrılmıştır.. Bölüm; R uzayındaki katı bir dik üçyüzlü, spacelike ve timelike eğriler için Frenet ve Darboux üçyüzlüleri ve bunların ani dönme vektörlerine ayrılmış olup, Frenet ve Darboux üçyüzlüleri arasındaki ilişkiyi veren bazı sonuçlar elde edilmiştir. E deki eğrilerin küresel österelerine [6] benzer olarak, spacelike ve timelike eğrilerin küresel östereleri, üçüncü bölümde incelenmiş ve bazı önemli sonuçlar elde edilmiştir. Buna öre; bir spacelike veya future pointin timelike c eğrisine ait c * sabit pol eğrisinin, S Lorentziyen ve H 0 hiperbolik birim küreleri üzerinde iki tane küresel involütünün mevcut olduğu österilmiştir. Gauss denkleminin küresel österelere uyulanması, dördüncü bölümde verilmiştir. Spacelike ve future pointin timelike eğrilerinin yay uzunlukları ile R uzayına ve S (veya H 0 ) küresine öre eodezik eğrilikleri elde edilmiştir. 5. bölümde ilk olarak; parametre eğrileri birbirine dik olan x x uv, spacelike yüzeyi, bu yüzey üzerindeki bir P noktası ve bu noktadan eçen keyfi bir c eğrisi öz önüne alınmıştır. deki eodezik eğriliği R, normal eğriliği i R n c eğrisinin P, eodezik burulması T,
teğet birim vektörü t, yüzeyin normal birim vektörü N ve t N olmak üzere, t,, N Darboux üçyüzlüsü ve bu üçyüzlüye ait türev formüllerinden w t T N R n R Darboux ani dönme vektörü tanımlanmıştır. P den eçen, c ve c ile österilen, v sabit ve u sabit parametre eğrilerine karşılık elen Darboux ani dönme vektörleri, sırasıyla, w ve w ile österilmek üzere w w cos w sin N d ds c ve c eğrileri arasındaki temel formülü elde edilmiştir. Burada, spacelike açı ve ds, c eğrisinin yay elemanıdır. Yukarıda verilen temel formül, spacelike yüzeyler teorisi için temel teşkil etmektedir. Çünkü; bu tür yüzeyler için bilinen; Euler, O. Bonnet, Enneper ve Liouville tarafından ifade edilen birçok önemli teorem, bu temel formülün sonuçları olarak ifade ve ispat edilmiştir. Spacelike yüzey üzerindeki Lorentziyen iç çarpım, c eğrisi için Darboux üçyüzlüsü, Darboux Lorentziyen vektörel çarpım, ani dönme vektörü ve temel formül, Öklidyen yüzeyler için bilinenlerden farklı olup, Öklidyen yüzeyler için bilinen teorem ve sonuçların [7,8] karşılıkları elde edilmiştir. İkinci olarak; c ve uv, eçen keyfi bir c timelike eğrisi ele alınmıştır. c parametre eğrileri birbirine dik olan bir y y timelike yüzeyi, bu yüzeyin bir P noktası ve bu noktadan c eğrisinin t,, N Darboux üç yüzlüsü ve bu üçyüzlüye ait türev formüllerinden, t w T R n N R Darboux ani dönme vektörü tanımlanmıştır [9]. Buna bağlı olarak, timelike yüzeyin c timelike ve c spacelike parametre eğrilerine karşılık elen Darboux ani dönme vektörleri de, sırasıyla, w t t N, T R n R w t t N T R n R ii
biçiminde tanımlanmıştır. Bu kesimin en orijinal tarafı, yukarıda spacelike yüzeyler için elde edilen temel formülün, timelike yüzeylerdeki karşılığı olan w w cosh w sinh N d ds c ve c timelike eğrileri formülünü kapsamasıdır. Burada;, arasındaki hiperbolik açı ve ds, c eğrisinin yay elemanıdır. Şu erçeği de belirtelim ki; burada, c eğrisini spacelike olarak seçmek de mümkündür. Timelike yüzey üzerinde keyfi olarak seçilen c timelike eğrisi yerine, bu 0 eğriye dik olan c spacelike eğrisi seçilirse, temel formül w w sinh w cosh N 0 biçimine dönüşür. Bu formüller yardımıyla, yukarıda ifade edilen temel teoremlerin timelike yüzeyler için karşılıkları elde edilmiştir. Spacelike ve timelike yüzeyler üzerindeki spacelike ve timelike eğriler için Darboux ani dönme vektörlerinin tanımlanması ve, hiperbolik ve spacelike açı kavramlarının zarif bir şekilde kullanılması, ispatlarda büyük kolaylık sağlamıştır. Bu kitabın, Üniversitelerimizin Fen-Edebiyat (veya Fen) Fakültelerinin Matematik ve Fizik Bölümlerinde okuyan bütün öğrenciler ile Geometri Anabilim Dalında araştırma yapanlara yararlı olacağı ve yeni çalışmaların yapılmasına katkıda bulunacağı kanaatindeyiz. Bu kitabın yazılmasında ve şekillerin çizilmesinde emeği eçen Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Kocayiğit e, Dr. Mehmet Önder e, Öğr. Gör. Osman Kılıç a, Öğr. Gör. Ali Topal a, Arş. Gör. Burak Şahiner e ve kitabın basımında büyük emeği eçen üniversitemiz matbaa müdürü Çetin Temiz ve personeline teşekkürü borç biliriz. d ds H. Hüseyin Uğurlu Ali Çalışkan Haziran 0, Manisa. Haziran 0, İzmir. iii
Notasyonlar E E R : -boyutlu Öklid uzayı : Öklidyen düzlem : Öklid iç çarpımı : -boyutlu Minkowski uzayı, : Lorentziyen iç çarpımı S : Lorentziyen birim çember H A : : Hiperbolik birim çember E deki dönme matrisi A : R deki dönme matrisi : R uzayında norm x uv, : Space-like yüzey y uv, : Time-like yüzey S S H 0 H 0 H 0 : Lorentziyen birim küre : Hareketli Lorentziyen birim küre : Hiperbolik birim küre : Hareketli hiperbolik birim küre : Sağ hiperbolik küre H 0 : Sol hiperbolik küre c : x uv, veya uv, c : x uv, veya uv, y üzerinde u sabit parametre eğrisi y üzerinde v sabit parametre eğrisi c : Işık konisi : Keyfî eğri iv
c : f w 0 c ye dik olan eğri : Frenet ani dönme vektörü : Darboux ani dönme vektörü D : R uzayının koneksiyonu D : S Lorentziyen birim kürenin koneksiyonu D : H 0 Hiperbolik birim kürenin koneksiyonu p ( p ) K : Sabit pol eğrisi : Hareketli pol eğrisi : Gauss eğriliği v
İÇİNDEKİLER.BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR.. Giriş.... R uzayında açı kavramı 9 R uzayında vektörel çarpım 7. BÖLÜM SPACE LIKE ve TIME LIKE EĞRİLERİN ANİ DÖNME VEKTÖRLERİ.. Katı bir dik üçyüzlünün ani dönme vektörü.. Timelike eğriler için ani dönme vektörleri 4.. Timelike asal normalli spacelike eğriler için ani dönme vektörleri 8.4. Timelike binormalli spacelike eğriler için ani dönme vektörleri 56. BÖLÜM SPACELIKE ve TIMELIKE EĞRİLERİN KÜRESEL GÖSTERGELERİ.. F.p.t.l. bir eğrinin küresel östereleri 74.. F.p.t.l. asal normalli bir spacelike eğrinin küresel östereler 8.. F.p.t.l. binormalli bir spacelike eğrinin küresel östereleri 84 4. BÖLÜM GAUSS DENKLEMİNİN KÜRESEL GÖSTERGELERE UYGULANMASI 4.. F.p.t.l. eğriler 87 4.. F.p.t.l. asal normalli spacelike eğriler 98 4.. F.p.t.l. binormalli spacelike eğriler 08 5. BÖLÜM SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ 5.. Spacelike yüzeyler eometrisi 9 5.. Timelike yüzeyler eometrisi 4 Kaynaklar 68 İndeks 69