Fıra Ünv. Fen ve Müh. Bl. Dergs Scence and Eng. J of Fıra Unv. 9 (4), 55-530, 007 9 (4), 55-530, 007 Lneer Olmayan Yaı Ssemlernn Analz İçn Yay-Boyu Meodu Cengz OLA ve Yusuf CALAYIR Fıra Ünverses eknk Blmler MYO, Elazığ Fıra Ünverses Mühendslk Faküles İnşaa Mühendslğ Bölümü, Elazığ cola@fra.edu.r (Gelş/Receved: 0.03.007; Kabul/Acceed: 5.04.007) Öze: Yaıların lneer olmayan davranışını nceleyeblmek çn yük-deformasyon eğrs am olarak elde edlmeldr. Yük konrollü br meo olan Newon-Rahson meodu lm nokaları cvarında çözüm vermedğnden delasman konrollü meolar gelşrlmşr. Bununla brlke, vurgu veya ers vurgu burkulması davranışı göseren ssemlerde bu meolar haalara neden olablmekedr. Yay-boyu meoları kullanılarak bu haalar en al düzeye ndrgeneblr. Anahar Kelmeler: Yay-boyu meodu, vurgu ve ers vurgu burkulması. he Arc-Lengh Mehod for Nonlnear Analyss of Srucural Sysems Absrac: o nvesgae he nonlnear behavor of srucures, he comlee load-deformaon curve mus be obaned. he dslacemen conrolled echnques have been develoed due o falng of load conrolled mehods (such as Newon-Rahson mehod) near he lm ons. However, hese echnques may lead o errors for sysems whch are exhbng sna-hrough or sna-back behavors. hese errors can be mnmzed by usng Arclengh mehods. Keywords: Arc-lengh mehod, sna-hrough and sna-back behavors.. Grş Yaıların lneer olmayan davranışını nceleyeblmek çn yük-deformasyon eğrs am olarak elde edlmeldr. Yük konrollü br meo olan Newon-Rahson meodu lm nokası cvarlarında çözüm vermedğnden delasman konrollü meolar gelşrlmşr. Faka vurgu burkulması (sna-hrough) veya ers vurgu burkulması (Sna-back) davranışı göseren ssemlerde bu meolar haalara neden olmakadır. Bu roblemler aşmak çn yük konrollü meolarla, delasman konrollü meoları brlke kullanmak br çözüm yönem olablr []. Yaıların lneer olmayan davranışını elde emek çn kullanılan yay-boyu (archlengh) meodu daha genel br meo olu, lk olarak Rks [,3] ve Wemner [4] arafından gelşrlmş ve daha sonraları brçok araşırmacı [5-0] bu yönem yenden düzenleyerek kullanmışır. Yay-boyu meolarıyla lm nokaları (maksmum ve mnmum yükler) geçen çözüm algormaları üreleblr... Yay-Boyu Meodu Yük veya delasman konrollü meolarda br adımdak yük sevyes arameres veya delasman sab uulmakadır. Buna karşılık, yay-boyu meodunda se yük sevyes arameres her erasyonda yenden elde edlerek yakınsama nokasına ulaşılır (Şekl ). Dolayısıyla, bu meoa yük sevyes arameres λ, denge denklemlerne lave br değşken olarak grer. Bu yönemde lneer olmayan yaı ssemlernn denge denklemler R ( u, λ) = F( u) λ = 0 () şeklnde yazılablr []. Burada R arık kuvve, F ç kuvve, dış yük vekörünü ve u yer değşrme vekörünü gösermekedr. Yay-boyu meodunun amacı () denklem le l sab yay boyu arasındak kesşm bulmakır. Ψ yük ölçeklendrme arameresn gösermek üzere, l sab yay boyu dferansyel olarak
C. ola ve Y. Calayr l = du du + dλ Ψ () şeklnde veya arımsal olarak a(, λ) = + λ Ψ = 0 (3) bçmnde fade edleblr. Burada u arımsal yer değşrmeler, λ arımsal yük fakörünü, l belrlenen arımsal yay boyunu emsl emekedr. λ λ λ. erasyon. erasyon Yakınsama nokası Denge eğrs yer değşrme veköründek eraf değşm ve δ λ yük faköründek eraf değşm çn yenden düzenlenrse, K R = δλ λ Ψ a (6) eşlğ yazılablr. K mars ekl (sngular) olsa dah köşel aranez çndek genşlelmş rjlk mars ekl olmayablr. Bununla brlke, K mars smerk olmasına karşılık bu mars smerk değldr. Bu nedenlerden dolayı (6) denklemnn nümerk çözümü zorlaşmakadır. Söz konusu denklem çözmek yerne, Baoz ve Dha [] ın eknğ kullanılarak br ek nokadak yer değşrme konrolü çn (5) bağınısındak sınırlama doğrudan kullanılablr. Bunun çn δ u eraf yer değşrmes k kısma ayrılır. Yen blnmeyen yük sevyes λ + = λ + δλ (7) λ 0 u 0 0 Şekl. Yay-boyu meodunun grafksel göserm. Yay-boyu meodunda yük sevyes arameres λ lave br değşken olarak ele alındığından, k yer değşrme veköründek olam serbeslk derecesn gösermek üzere, denge denklemlerndek olam blnmeyen sayısı k + olur. Bu durumda () ve (3 ) denklemler brlke kullanılarak çözüm elde edleblr. Kısalılmış aylor açılımları kullanılarak, () ve (3) denklemler sırasıyla, R + R R = R + + δλ u λ (4) = R + K δλ = 0 + = a = a + + λ Ψ δλ 0 (5) formunda yazılablr. Burada K eğe rjlk marsdr. Denklem (4) ve (5) brleşrlerek, δ u u şeklnde fade edlecek olursa, bu yük sevyesnde eraf yer değşrme (4) bağınısından = K = K R( u, λ ( R( u, λ ) δλ ) + şeklnde elde edleblr. Bu eşlk = K R ) + δλ K = + δλ (8) (9) formunda yenden yazılablr. Burada δ u, λ yük sevyesndek Newon-Rahson meodundan elde edlen eraf yer değşrmey ve δ u se sab dış yük vekörü ye karşılık gelen yer değşrmey gösermekedr. + erasyonundak arımsal yer değşrmeler u + = + = + + δλ (0) olarak elde edleblr. Bu eşlkek ek blnmeyen olan δλ, denklem (3) dek sınırlama kullanılarak bulunablr. (3) sınırlayıcı denklem 56
Lneer Olmayan Yaı Ssemlernn Analz İçn Yay-Boyu Meodu + λ = = + + + λ + Ψ Ψ şeklnde yenden yazılır ve (0) eşlke kullanılırsa, 3 = () bağınısı bu c δλ + c δλ + c 0 () knc dereceden denklem bulunur. Burada c, c ve c 3 sırasıyla Ψ c = + (3a) c = + ) + λ Ψ (3b) ( c3 = ( + ) ( + λ Ψ Τ + ) (3c) şeklnde anımlanmakadır. Crsfeld [3], bu denklemlerde yük ölçeklendrme arameresn sıfır almanın ( Ψ = 0 ) çözümler fazla eklemedğn belrmşr. (3a-c) denklemler çözülerek δλ eraf değşm çn k kök elde edleblr. δλ ve δλ köklernden k ane arımsal yer değşrme u + = + + δλ (4a),, u + = + + δλ (4b) olarak bulunur. Bu yer değşrmelerden, br öncek u arımsal yer değşrmesnn doğrulusuna en yakın doğruluyu sağlayanı seçlerek, yük-deformasyon eğrsnn kend z üzernde ekrar emes (doublng-back) önleneblr. Bunu belrlemek çn u ve + arasındak en küçük açıyı sağlayan δλ değer çözümlerde kullanılır. Yan cos θ = = + ( δ + ) u + δλ (5) bağınısından maksmum kosnüs değern veren θ açısı genellkle senlen çözümü verr. Bununla brlke, bazı keskn ers vurgu burkulmalarında (shar sna-backs) bu krer de haalı seçme neden olablmekedr [3]. Yukarıdak denklemlerde verlen arımsal yük fakörü, + λ = λ + δλ (6) şeklnde güncelleşrlerek yakınsama sağlanana kadar şleme devam edlr... redkör Çözüm Br öncek kısımda Yay-boyu meodunun uygulanması açıklanmışır. İerasyonların başlangıcında ler Euler eğesel redkörü göz önüne alınarak = K = λ K = λ (7) olarak yazılablr. Burada K erasyonların başlangıcındak eğe rjlk marsn ve al nds se lgl büyüklüğün redkör değern emsl emekedr. Bu eşlk () denklemnde kullanılır ve Ψ = 0 alınırsa, λ = ± = s (8) olarak elde edlr. Denklem (8) dek s, + ve - değerlern alan br arameredr. Çözüm başlangıcında K mars ozf defne se bu aramere + olarak alınır. Çözümün lerk safhalarında bu değşkenn şarenn belrlenmes çn çeşl krerler kullanılmakadır. Bunlardan bazıları aşağıda verlmşr. a) Mevcu eğe rjlk marsnn deermnanının şare sgn( s ) = sgn( K ) (9) Denge eğrsnn lm ve burkulma nokalarında, eğe rjlk marsnde negaf vo oluşur. Söz konusu krer bu k noka 57
C. ola ve Y. Calayr arasındak farkı ayır edememekedr. Burkulma durumunda, redkör denge eğrsn zlemek yerne burkulmanın meydana geldğ noka erafında salınım yamakadır. Dolayısıyla çözüm başarıyla amamlanamayablr. b) Arımsal ş şare enerj krernde se olerans değer 0-4 alınmışır. L olarak H sgn( s ) = sgn( ) (0) Bu krer burkulma nokalarına duyarlı değldr, yan burkulma nokasını geçerek denge eğrsn zlemeye devam edeblr. Bununla brlke ers vurgu burkulma davranışı mevcu olursa çözüm elde edlemeyeblr. c) Öncek yakınsamış arımsal yer değşrme le mevcu eğesel çözüm arasındak ç çarımın şare R Şekl. ee nokasından ekl yüke maruz kemer. Kemer kalınlığı =9.05 mm çn kemern ee nokasının yük-yer değşrme eğrsnde vurgu burkulması davranışı gözlenmemekedr (Şekl 3). Bununla brlke, kemer kalınlığı azalılınca, kemern vurgu burkulması davranışına olan eğlm armakadır (Şekl 4-5). b n sgn( s ) = sgn( ) () Burada u n, öncek yakınsamış arımsal yer değşrme olu, mevcu denge eğrsnn geçmş hakkında blg çermekedr. Bundan dolayı (a) ve (b) krerlernde oluşan roblemler bu krerde kolayca aşılablr. Bununla brlke n arımsal yer değşrmelernn yeernce küçük olması gerekr [4,5].. Sayısal Uygulama Şekl de geomers verlen ve ee nokasından ekl yüke maruz bırakılmış kemern, yay-boyu meodu kullanılarak geomerk bakımdan lneer olmayan davranışı, farklı kemer kalınlıkları kullanılarak ncelenmşr. Kemern yarıçaı R = 338.8 mm, açıklığı L = 863.6 mm, yükseklğ H = 7.8 mm, genşlğ b = 5.4 mm, elasse modülü E = 68950 Ma ve osson oranı ν = 0. olarak alınmışır. Smerden dolayı sadece kemern yarısı dkkae alınmışır. Kullanılan ağ ssem 0 ane dokuz düğümlü dörgen kabuk elemandan oluşmakadır. Yakınsama çn delasman ve enerj krerler seçlmş, delasman krernde olerans değer 0-5 ve 58 Şekl 3. =9.05 mm çn ee nokasının yük-yer değşrme eğrs. Şekl 4. =9.55 mm çn ee nokasının yük-yer değşrme eğrs.
Lneer Olmayan Yaı Ssemlernn Analz İçn Yay-Boyu Meodu doğablmekedr. Buna karşılık, yay-boyu meodunda yük sevyes arameres her erasyonda yenden elde edlerek yakınsama nokasına ulaşılmakadır. 3. Sonuçlar Şekl 5. =4.765 mm çn ee nokasının yük-yer değşrme eğrs. Bu eğrler, yay-boyu yönemnn eknlğn açıkça oraya koymakadır. Yük veya delasman konrollü meolarda br adımdak yük sevyes arameres veya delasman sab uulduğundan, lm nokası cvarında nümerk roblemler Yaıların lneer olmayan davranışını nceleyeblmek çn yük-deformasyon eğrs am olarak elde edlmeldr. Yük konrollü br meo olan Newon-Rahson meodu lm nokaları cvarında çözüm vermedğnden delasman konrollü meolar gelşrlmşr. Bununla brlke, vurgu burkulması veya ers vurgu burkulması davranışı göseren ssemlerde bu meolar haalara neden olablmekedr. Yayboyu meolarında yük sevyes arameres her erasyonda yenden elde edlerek yakınsama nokasına ulaşılmaka ve söz konusu haalar en al düzeye ndrgeneblmekedr. 4. Kaynaklar. Memon, B. A. and Su, X. Z. (004). Arc-Lengh echnque for Nonlnear Fne Elemen Analyss, Journal of Zhejang Unversy, 5(5), 68-68.. Rks, E. (97). he Alcaon of Newon s Mehod o he roblem of Elasc Sably, Journal of Aled Mechancs, 39, 060-065. 3. Rks, E. (979). An Incremenal Aroach o he Soluon of Snang and Bucklng roblems, Inernaonal Journal of Solds and Srucures, 5(7), 59-55. 4. Wemner, G.A. (97). Dscree Aroxmaon Relaed o Nonlnear heores of Solds. Inernaonal Journal of Solds and Srucures, 7(), 58-599. 5. Bergan,. G., Horrgmoe, G., Brakeland, B. and Sorede,. H. (978). Soluon echnques for Non-Lnear Fne Elemen roblems, Inernaonal Journal for Numercal Mehods n Engneerng, (), 677-696. 6. Crsfeld, M. A. (98). A Fas Incremenal/Ierave Soluon rocedure ha Handles "Sna-hrough", Comuers and Srucures, 3(-3), 55-6. 7. Crsfeld, M. A. (983). An Arc-Lengh Mehod Includng Lne Searches and Acceleraons, Inernaonal Journal for Numercal Mehods n Engneerng, 9(9), 69-89. 59 8. Feng, Y.., erc, D. and Owen, D. R. J. (996). A New Creron for Deermnaon of Inal Loadng arameer n Arc-Lengh Mehods, Comuers and Srucures, 58(3), 479-485. 9. Hellweg, H. B. and Crsfeld, M. A. (998). A New Arc-Lengh Mehod for Handlng Shar Sna-Backs, Comuers and Srucures, 66(5), 704-709. 0. Souza, N. E. A. and Feng, Y.. (999). On he Deermnaon of he ah Drecon for Arc- Lengh Mehods n he resence of Bfurcaons and `Sna-Backs', Comuer Mehods n Aled Mechancs and Engneerng, 79(-), 8-89.. Meek, J. L. and an, H. S. (984). Geomercally Nonlnear Analyss of Sace Frames by An Incremenal Ierave echnque, Comuer Mehods n Aled Mechancs and Engneerng, 47(3), 6-8.. Baoz, J.L., Dha, G. (979). Incremenal Dslacemen Algorhms for Nonlnear roblems, Inernaonal Journal for Numercal Mehods n Engneerng, 4(8), 6-66. 3. Crsfeld, M. A. (99). Non-lnear Fne Elemen Analyss of Solds and Srucures: Volume I, John Wley and Sons, New York, 345.
C. ola ve Y. Calayr 4. ola, C. (006). Geomerk Bakımdan Lneer Olmayan Kabuk Yaıların Sak Ve Dnamk Davranışı, Dokora ez, Elazığ. 5. ola, C., Calayr, Y., Ulucan, Z. Ç. (006). osbucklng Behavor of Geomercally Non-lnear Axsymmerc Shells, Sevenh Inernaonal Congress on Advances n Cvl Engneerng, Ocober -3, Yldz echncal Unversy, Isanbul, urkey. 530