KONTROL SİSTEMLERİ Prof. Dr. İlhan KOCAARSLAN 1
Otomatik Kontrol Sistemleri- Benjamin C. Kuo Otomatik Kontrol- İbrahim Yüksel Çözümlü Kontrol Problemleri İbrahim Yüksel Moderne Regelungstechnik- Richard C. Dorf- Robert H.Bishop Otomatik Kontrol -Prof. Dr. İbrahim Deniz Akçalı Theorie der Regelungstechnik- Hugo Gassman 2
KONTROLÖRLER Oransal Kontrolör (P) İntegral Kontrolör (I) Türev Kontrolör (D) KONTROLÖRLERİN TASARIMI KARARLILIK Kök Yer Eğrileri Yöntemi Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü Nyquist Yöntemi Bode Yöntemi 3
22. KONTROLÖR NEDİR? Bir kapalı döngü kontrol sistemi içinde kontrol organının görevi ölçme elemanı üzerinden geri beslenen çıkış büyüklüğünü referans giriş büyüklüğü ile karşılaştırmaktır. Karşılaştırmadan ortaya çıkabilecek hata değerinin yapısına ve kendi denetim etkisine bağlı olarak uygun bir kumanda denetim sinyali üretmektir.
Kontrol organlarında kullanılan belli başlı dört temel kontrol etkisi vardır. Bunlar: İkili veya aç kapa kontrol etkisi Oransal kontrol etkisi (P etki) İntegral kontrol etkisi (I etki) Türev kontrol etkisi (D etki) Bu temel kontrol etkilerinin bir veya birkaçının bir arada uygun şekilde kullanılmasıyla değişik kontrol etkilerinde çalışan kontrol organları oluşturulur. Bunlar: Orantı + integral tipi kontrol organı ( PI tipi) Orantı + türev tipi kontrol organı ( PD tipi) Orantı + integral artı türev tipi kontrol organı ( PID tipi)
P : Oransal Kontrolör Etkisi Normal olarak kararlı bir çalışma oluşturur. Hata daima mevcuttur. (kalıcı-durum hatası) K ile bu hata düşürülebilir. K çok büyürse, sistem kararsız olur.
Oransal kontrolörün yükselteç devresi. Direnç değerleri uygun bir şekilde seçilerek istenen K p değeri elde edilebilir.
I : Integral Kontrolör Etkisi Hatayı sıfırlar (kalıcı hatayı). Yavaş bir kontrol sağlar. Sisteme 90 derece faz gecikmesi getirir. Blok diyagramı Basamak girişine cevabı. 8
Integral kontrolör yükselteç devresi. 9
D : Türev Kontrolör Etkisi Hatanın büyümesini önceden kestirir. Sisteme bir faz önceliği getirir. Sistemin kararlılığını arttırır. Bir sabitin türevi sıfır olduğu için zamanla değişmeyen hata üzerinde etkisi yoktur. Diğer denetim organları ile kullanılır. Pratikte türev alıcı organ bozucu sinyallere çok duyarlıdır. Bu yüzden diğer kontrolör organları ile beraber kullanılır. Blok diyagramı 10
Türev kontrolör yükselteç devresi 11
ORANSAL+İNTEGRAL(PI-TİPİ) KONTROL ORGANI Bu kontrol organı oransal ve integral kontrol etkilerinin birleştirilmesinden meydana gelir ve aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: PI- kontrol organın blok diyagramı Birim basamak cevabı 12
Orantı etkiye integral etki ilavesi orantı etkinin tek başına kullanılması halinde sistemde ortaya çıkan kalıcı durum hatasını ortadan kaldırır. İntegrasyon işlemi kalıcı durum hatasını ortadan kaldırmakla beraber aynı bağıl kararlılık koşullarında sistemin cevap hızını düşürür. İntegral etki kazancını artırmak sureti ile cevap hızı artmakla beraber kazanç değerinin çok fazla artırılması sistemi kararsızlığa götürebilir. PI denetim organı yapısı basit olup özellikle süreç kontrol sistemlerinde oldukça fazla kullanılmaktadır 13
PI tipi kontrol organının işlemsel yükselteçlerle gerçeklenmesi Buradaki direnç ve kapasite değerleri ayarlanarak istenen K I ve K P değerleri elde edilebilir. 14
ORANSAL+TÜREV(PD-TİPİ) KONTROL ORGANI PD tipi kontrol blok diyagramı gösterimi
PD kontrol, D(türev) etkiden dolayı hızlı bir çalışma sağlar. D (türev) etki sisteme 90 derece faz avansı getirir. Ancak sistemde sıfır yapılamayan bir hata bulunur. Bu durum için basamak girişine verdiği cevap çizilecek olursa, 16
PD tipi kontrol organının işlemsel yükselteçlerle gerçeklenmesi 17
Orantı ve türevli İşlemsel Kuvvetlendiricinin diğer bir bağlantı düzeni. Pratikte çoğunlukla, orantı ve türevli kontrol elemanı olarak bu sistem kullanılmaktadır. Bu bağlantıda, sistemin girişi ile çıkışı arasındaki transfer bağıntısının varsayımı ile elde edilmektedir. Alınarak işleme başlanırsa, 18
19
ORANSAL-İNTEGRAL-TÜREV (PID-TİPİ) KONTROL ORGANI PID tipi kontrol organının blok diyagramı gösterimi 20
PID basamak yanıtı cevabı 21
İntegralli, orantılı ve türevli işlemsel kuvvetlendirici. 22
Elde edilir. Denklemi benzetirsek; 23
24
ORANSAL+İNTEGRAL(PI-TİPİ) KONTROL ORGANI PI tipi kontrol organı yapısı nispeten basit olup, özellikle basınç, seviye ve akış kontrolünde kullanılır. Integral etki kontrol edilen çıkış büyüklüğünde meydana gelebilecek kalıcı durum hatalarını ortadan kaldırır. Integral etkinin kullanım amacı sistemin değişen talepleri üzerinde yeterli bir kontrol etkisi sağlamaktadır. Eğer sistemden istenen talep yalnız başına oransal(p) etkisi ile karşılanabiliyorsa, Integral(I) etkinin kullanılması gereksizdir. Eğer P(orantı) etkisine I(integral) etkisi ilave edilecek olursa, Kontrol organı çıkışında sürekli artan (integre olan) kontrol etkisi elde edileceğinden motor elemanının, hatanın ortadan kalkmasını sağlayacak kadar hareket etmesi temin edilmiş olur. Bu işlem sonucu kontrol edilen çıkış büyüklüğünde ortaya çıkan sapma sıfırlanmış olur. 25
ORANSAL+TÜREV(PD-TİPİ) KONTROL ORGANI Orantı etkiye türev etki ilavesi ile elde edilen PD Kontrol; Kalıcı durum hatasını sıfırlayamamak la beraber, bozucu girişten doğan kalıcı durum hatasının fazla önemsenmediği, fakat buna karşılık orantı etkiye göre geçici durum davranışının iyileştirilmesi istenen konum servo mekanizmalarında tercih edilir. Türev etki ilavesi kararsız veya kararsızlığa yakın bir sisteme sönüm ilave ederek sistemi daha kararlı hale getirir. Türev etki ilavesinin en önemli sakıncası kontrol sinyalleri yanında sistemde ortaya çıkan bozucu sinyallerini de kuvvetlendirmesidir. Bunun sonucu olarak son kontrol organı çıkışında salınımlı bir hareket meydana gelir.
ORANSAL-İNTEGRAL-TÜREV (PID-TİPİ) KONTROL ORGANI Üç temel Kontrol etkisinin üstünlüklerini tek bir birim içinde birleştiren bir Kontrol etkisidir. İntegral etki sistemde ortaya çıkabilecek kalıcı durum hatasını sıfırlarken türev etkide yalnızca PI Kontrol etkisi kullanılması haline göre sistemin aynı bağıl kararlılığı için cevap hızını arttırır. Buna göre PID kontrol organı sistemde sıfır kalıcı durum hatası olan hızlı bir cevap sağlar. Sıcaklık, ph, yoğunluk karışım v.b. ölçümlerinde ortaya çıkan ölüzamanın gecikmeleri PID tipi kontrol organı kullanılarak telafi edilebilir. PI Kontrolörü ile ayarlanan bir sisteme geniş zaman aralıkları içerisinde büyük şiddetli bozucu girişler etki edecek olursa, PI etki tek başına hatada meydana gelen değişimleri izlemeye ve düzeltmeye yeterli olamaz. Bu durumda bir türev etki ilavesi orantı kazancı ayarının daha yüksek tutulmasını sağlayarak Kontrol organı tepki süresini hızlandıracaktır. Böylece PID kontrol organı ile bir taraftan kalıcı durum hatası sıfırlanırken diğer taraftan da sistemin geçici durum davranışı iyileştirilmiş olur.
23. KONTROLÖR PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİ YÖNTEMLERİ PID kontrolör için; Bu parametrelerin ayarı sistemin kalıcı durum ve dinamik davranışı arasında bir uyuşma sağlayacak şekilde yapılır. Bu parametrelerin belirlenmesinde başlıca yöntemler aşağıdaki gibidir: 1) Pratik Belirleme Yöntemi 2) Titreşim Yöntemi (Deneysel Yöntem) 3) Sistem Cevap Eğrisi Yöntemi Sistem Cevap Eğrisine Göre Ziegler-Nichols Yöntemi Sistem Cevap Eğrisine Göre Chien-Hrones-Reswick Yöntemi 28
1. Pratik Belirleme Yöntemi 1) Orantı etki KR=0 Integral etki Türev zaman sabiti Olarak ayarlanır. TI=en yüksek TD=0 2) Sistem cevabında sürekli salınımlar görülene kadar KR (oransal etki) arttırılır. 3) TI integral zaman sabiti, orantı etkiden ortaya çıkan kalıcı hatalar ortadan kalkıncaya ve ayar değer etrafında düşük salınımlar görülünceye kadar azaltılır. 4) Daha sonra tüm titreşimler ortadan kalkana kadar türev zaman sabiti adım adım arttırılır. Birkaç denemeden sonra ayar yapılır. 29
2. Titreşim Yöntemi (Deneysel Yöntem) Ziegler ve Nichols tarafından geliştirilen sürekli titreşim yöntemi deneysel yöntemlerin en tanınmış olanlarından birisidir. Bu yöntemin öngördüğü ayarlar hemen hemen denetim sistemi alanında standartlar olarak kabul görmektedir 30
Bu yöntemin esası başlangıçta integral ve türev etkilerini devre dışı bırakıp denetim organın sadece orantı etki ile deneye tabi tutulmasına dayanır. Tablodan da görüldüğü gibi PI denetim organı için öngörülen orantı kazancı Kp sadece orantı tipine göre öngörülenden %10 daha küçüktür. Bunun nedeni integral etkinin sisteme faz gecikmesi katarak sistemin kararlılığını azaltmasıdır. Etki Türü KR TI TD P 0.5KPmax ---- ---- PI 0.45KPmax 0.85P ---- PID 0.6KPmax 0.5P 0.125P 31
3. Sistem Cevap Eğrisi Yöntemi P-kontrolü; PI-kontrolü; PID-kontrolü; 32
3. Sistem Cevap Eğrisine Göre Ziegler- Nichols Yöntemi 33
1. a>10 => sistem iyi kontrol edilebilir ve tek döngülü kontrol organı yeterlidir. 2. a=6 => tek bir kontrol organı ile kontrol güçtür. 3. a<=3 => çok zor kontrol edilebilir, karmaşık kontrol cisimleri gerekir. 34
5.Sistem Cevap Eğrisine Göre Chien - Hrones Reswick Yöntemi Taşma ve dalgalanma yok %20 Dalgalanma var Dalgalanma ve taşma yok %20 taşma var 35
Proses P Hata I Hata Yok Kontolör PI Hata Yok P - + Gerekli değil PID Hata Yok PD Hata PT1 + + + Gerekli Değil 2PT1 Serisi o o + + o npt1 Serisi - - + + o Tt - + o - - Tt-PT1 Serisi - o o + - I + - o - o I-PT1 Serisi + - - o + Kriterler + çok uygun o açıklama yok (parametrelere bağlı) - uygun değil 36
24. KONTROL SİSTEMLERİNİN KALICI DURUM DAVRANIŞI VE HATA e (t), hata sinyali e (t) = r (t) H (t). C (t) e (t) = r (t) H (t). G (t). e (t) e t = r (t) 1 + G t. H (t) Başlangıç koşulları sıfır ise; E S = R (S) 1 + G S. H (S) e (t), hata sinyali e (t) = r (t) H (t). C (t) e (t) = r (t) H (t). G (t). e (t) Kararlı hal hatası; e SS = lim t e t = lim S 0 S. E (S) 37
Statik Hata Katsayıları Statik hata katsayıları denetim sistemlerinin kalıcı durum davranışının birer ölçüsü olarak ele alınabilirler. Katsayılar ne kadar büyük olursa kalıcı durum hatası da o kadar küçük olur. Verilen bir sistemde çıkış değişkeni konum,hız,sıcaklık, v.s. olabilir. Çıkış konum olarak isimlendirildiğinde çıkışın zamana göre türevi de hız olarak isimlendirilir. 38
Giriş Birim Basamak Fonksiyonu ise; r t = 1, R S = 1 S e SS = lim S 0 S. E (S) = lim S 0 S. 1/S 1 + G S. H (S) e SS = lim S 0 1 1 + G S. H (S) K p, duruma bağlı hata katsayısı K p = lim S 0 G S. H (S) e SS = 1 1 + K p 39
Giriş Rampa Fonksiyonu ise; r t = t, R S = 1 S 2 e SS = lim S 0 S. E (S) = lim S 0 S. 1/S 2 1 + G S. H (S) e SS = lim S 0 1 S + S. G S. H (S) e SS = lim S 0 1 S. G S. H (S) K V, duruma bağlı hız hata katsayısı K V = lim S 0 S. G S. H (S) e SS = 1 K V 40
41
Bozucu Giriş Hataları Birim geribesleme halinde H(s)=1 42
Örnek: Girişler sırasıyla birim basamak fonksiyonu, rampa fonksiyonu ve t2 2 durum için hata sinyalini ve kararlı hal hatasını bulunuz. olmak üzere her C S = C S = C S = C S = G S 1 + G S. H (S) R (S) 2 S 2 + 3S R (S) 2 1 + S 2 + 3S 2 S 2 + 3S + 2 R (S) 2 (S + 1)(S + 2) R (S) 43
1. Durum: R S = 1 ise r (t) = 1 S C S = 2 S(S + 1)(S + 2) = C 1 S + K 1 S + 1 + K 2 S + 2 C 1 = 1, K 1 = 2, K 2 = 1 C S = 1 S 2 S + 1 + 1 S + 2 C t = 1 2e t + e 2t e (t) = r (t) C (t) ise hata sinyali; e (t) = 2e t e 2t Kararlı hal hatası; e SS = lim t e t = 0 44
1. Durum: R S = 1 S2 ise r (t) = t C S = 2 S 2 (S + 1)(S + 2) = C 2 S 2 + C 1 S + K 1 S + 1 + K 2 S + 2 C 2 = 1, C 1 = 3 2, K 1 = 2, K 2 = 1 2 C S = 1 S 2 3/2 S + 2 S + 1 1/2 S + 2 C t = t 3 2 + 2e t 1 2 e 2t e (t) = r (t) C (t) ise hata sinyali; e (t) = 3 2 2e t 1 2 e 2t Kararlı hal hatası; e SS = lim t e t = 3 2 45
R S = 1 S 3 ise r (t) = t2 2 C S = 2 S 3 (S + 1)(S + 2) = C 3 S 3 + C 2 S 2 + C 1 S + K 1 S + 1 + K 2 S + 2 C 3 = 1, C 2 = 3 2, C 1 = 7 4, K 1 = 2, K 2 = 1 4 C S = 1 S 3 3/2 S 2 + 7/4 S 2 S + 1 + 1/4 S + 2 C t = t2 2 3 2 t + 7 4 2e t + 1 4 e 2t e (t) = r (t) C (t) ise hata sinyali; e (t) = 3 2 t 7 4 + 2e t 1 4 e 2t Kararlı hal hatası; e SS = lim t e t = 46
Hata Katsayılarından yararlanarak Kararlı hal hatasının bulunması: K p = lim S 0 G S. H (S) = lim S 0 2 S(S + 3) = e SS = 1 1 + K p = 1 1 + = 1 = 0 K V = lim S. G S. H (S) = lim S 0 S 0 S 2 S(S + 3) = 2 3 e SS = 1 = 1 K V 2 3 = 3 2 K a = lim S 0 S 2. G S. H (S) = lim S 0 S 2 2 S(S + 3) = 0 e SS = 1 K a = 1 0 = 47
Kontrolör Kullanılması Durumunda: e (t), hata sinyali e (t) = r (t) H (t). C (t) e (t) = r (t) H (t). GK (t). G (t). e (t) e t = r (t) 1 + G K (t). G t. H (t) Başlangıç koşulları sıfır ise; E S = R (S) 1 + G K (S). G S. H (S) Kararlı hal hatası; e SS = lim t e t = lim S 0 S. E (S) 48
Örnek: Giriş birim basamak fonksiyonu iken kontrolörler sırasıyla P kontrolör ve PD kontrolör olmak üzere her durum için hata sinyalini ve kararlı hal hatasını bulunuz. R S = 1 ise r (t) = 1 S G S = H S = 1 P S = 1 2 S 2 + 3S PD S = 3 + S 49
G K S = P S = 1 ise; C S = G K S. G S 1 + G K S. G S. H (S) R (S) C S = C S = C S = 2 S 2 + 3S R (S) 2 1 + S 2 + 3S 2 S 2 + 3S + 2 R (S) 2 (S + 1)(S + 2) R (S) C S = 2 S(S + 1)(S + 2) = C 1 S + K 1 S + 1 + K 2 S + 2 C 1 = 1, K 1 = 2, K 2 = 1 C S = 1 S 2 S + 1 + 1 S + 2 C t = 1 2e t + e 2t e (t) = r (t) C (t) ise hata sinyali; e (t) = 2e t e 2t Kararlı hal hatası; e SS = lim t e t = 0 50
G K S = PD S = 3 + S ise; C S = C S = G K S. G S 1 + G K S. G S. H (S) R (S) 2 (S + 3) C S = S 2 + 3S R (S) 2 1 + (S + 3) S 2 + 3S C S = 2S + 6 S 2 + 5S + 6 R (S) C S = 2S + 6 (S + 2)(S + 3) R (S) 2S + 6 S(S + 2)(S + 3) = C 1 S + K 1 S + 2 + K 2 S + 3 C 1 = 1, K 1 = 3, K 2 = 2 C S = 1 S 3 S + 2 + 2 S + 3 C t = 1 3e 2t + 2e 3t e (t) = r (t) C (t) ise hata sinyali; e t = 3e 2t 2e 3t Kararlı hal hatası; e SS = lim t e t = 0 51
25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 52
53
54
55
a) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü Routh Hurwitz kararlılık ölçütü bir polinom denkleminin pozitif gerçel kısımlı köklerin bulunup bulunmadığını denklemi çözmeden belirlemeye yarar. R.H ölçütü özellikle yüksek derecede polinomlarda köklerin incelenmesinde önemli kolaylık sağlar. Kontrol sistemleri uygulamalarında sistemlerin kararlılığı bu yöntemle özyapısal denklemin köklerinden incelenebilir. 56
Gerekli Şartlar Polinom denkleminin gerçel negatif kısmı köklere sahip olması dolayısıyla kararlı olabilmesi için denklemin tüm katsayılarının pozitif ve sıfırdan farklı olması gerekir. 57
Yeterlilik Şartı : Routh tablosu pozitif değerli katsayılara sahip bir sistemin kararlılığını kesin olarak belirlenebilmesi Routh kararlılığının ileri sürülen tablo ile belirlenir. Bunun için polinomun katsayıları cinsinden Routh tablosu aşağıdaki gibi satır ve sütunlardan oluşur. Bu yoldan gidilerek n+1 satırına kadar tüm elemanları hesaplanır. Tablonun 1. sütununda yer alan elemanlar sistemin kararlılığının belirlenebilmesinde kullanılır. Polinom denkleminin pozitif gerçel kısımlı köklerin sayısı tablonun 1. sütunundaki elemanların işaret değiştirme sayısına eşittir. Gereklilik şartının sağlayan bir sistemin kararlı olabilmesi için, Routh tablosunun 1. sütunundaki elemanlardan hiçbiri işaret değiştirmemesi gerekir, bu durum bu yöntemin yeterlilik şartıdır. Bu şartı sağlamayan sistem kararsızdır. 58
59
Dördüncü satır oluşturmak üzere aynı yol izlenerek Gereklilik şartını sağlayan bir sistemin kararlı olabilmesi için Routh tablosunun birinci sütunundaki elemanlardan hiçbirinin işaret değiştirmemesi gerekir. Bu durum bu ölçütün yeterlilik şartıdır. Bu şartı sağlamayan sistem kararsızdır. 1. sütundaki işaret değiştirme sayısı sistemin sağ yarı düzlemde yer alan kutuplarının sayısını verir. 60
Örnek Özyapısal denklemi 4. dereceden bir polinom olarak verilen aşağıdaki sistemi ele alalım. Birinci sütunda biri +2 den -1 e geçerken ve biri de -1 den +8 e geçerken olmak üzere iki işaret değişimi vardır. Buna göre sistemin sağ yarı düzlemde iki kökü mevcuttur ve dolayısıyla sistem kararsızdır. 61
Örnek 2 3 10 1 5 0 10 0 0 0 10 0 0 Listelemenin ilk sütununda iki işaret değişimi görüldüğünden denklemi sağ yarı s- düzleminde iki kutbu bulunur. Denklemin dört kökü çözülürse s 1,2 =-1,0055±j0,7555 ve s 3,4 =-0,7555±j1,444 elde edilir. Açıkça görüldüğü gibi son iki kök sağ yarı s-düzleminde bulunduğundan sistemi kararsız kılar.
Örnek 1 2 3 1 2 0 0=ε 3 0 SistemKararsızdır 3 0
Örnek 1 8 7 4 8 4 6 6 4 4 0 0 0 8 0 4 Sistem Sınır Kararlıdır
1 K + 2 3K 4 0 4
Örnek Şekilde verilen kapalı- döngü sistemini ele alalım. Sistemin kararlı çalışmasını sağlayan K değeri veya değerlerini bulunuz.
1 12 K 3 K-16 0 a b=k c d=k a=(52-k)/3, b=k c=(k 2-59K+832)/(K-52) d=k
b) Kök-Yer Eğrileri Yöntemi Kapalı çevrim bir kontrol sisteminin geçici durum davranışının temel özellikleri, kapalı çevrim kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde kapalı çevrim kutupları karmaşık sayı S düzleminde yerleşimi önem arz eder. Kapalı çevrim sistemlerinin incelenmesi ve tasarımında kapalı çevrim kutuplarının ve sıfırlarının S düzleminde arzu edilen konumda yerleşimini sağlama üzere açık çevrim kutuplarının ve sıfırlarının ayarlanması gerekir. Kapalı çevrim kutupları özyapısal denklemin kökleridir. Bu kökleri bulmak için özyapısal polinomun çarpanlara ayrılması gerekir. Bu genelde 3. ve daha yüksel dereceden polinomlarda çok zaman alıcı bir işlemdir. 68
Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Kural 1: Kök-yer eğrisi birden fazla kollardan meydana gelebilir ve bu kolların sayısı özyapısal denklemin derecesine eşittir. Kök-yer eğrilerinin her bir bölümü veya kolu kazancın değişimine bağlı olarak kapalıdöngü sistemin belli bir kutbunun hareketini tanımlar. 69
Kural 2: Açık döngü kutupları kök-yer eğrisinin başlama noktasını (K=0) ve açık döngü sıfırları da kök-yer eğrisinin bitiş noktasını (K= ) tanımlar. Buna göre kök-yer eğrisi açık-döngü kutuplarında başlar ve sıfırlarında sona erer. Eğer G(s)H(s) ın paydasının derecesi payın derecesinden büyük ise kök yer eğrisi sonsuzda biter ve payın derecesi paydanın derecesinden büyükse kök-yer eğrisi sonsuzda başlar. Genellikle paydanın derecesi payın derecesinden büyük olduğundan kökyer eğrisi de sonsuza gider. 70
Kural 3: Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisi kolları açık döngü kutup ve sıfırlarından bulunur. Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisinin her bir kısmı bir kutup veya sıfırdan diğer kutup veya sıfıra doğru uzanır. Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisi kolunu çizmek için bir test noktası alınır. Eğer bu test noktasının sağında yer alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer ekseni üzerinde yer alıyor demektir. 71
Kural 4: Kök-yer eğrisinin asimptot açısı aşağıdaki denklem yoluyla bulunur. Burada n=açık-döngü, G(s)H(s) kutuplarının sayısı m=açık-döngü, G(s)H(s) sıfırlarının sayısı 72
Örnek in asimptotlarını bulunuz. Olmak üzere üç adet asimptot mevcuttur. 73
Kural 5: Tüm asimptotlar gerçek ekseni keser ve gerçek ekseni kestiği noktalar aşağıdaki ifade ile bulunur. Veya Bir önceki örnekte ele alınan açık döngü kutupları burada değerlendirilirse; elde edilir. 74
Kural 6: Kök-yer eğrisinin gerçek eksenden ayrılma noktası gerçek eksen üzerindeki kazanç katsayısı, K değerinin minimum ve kök-yer eğrisinin gerçek eksen varış noktası K değerinin minimum olduğu noktadır. Ayrılma ve varış noktaları, özyapısal denklemde K yı çektikten sonra s= koyarak hesaplanabilir daha sonra Şeklinde türevi alındıktan sonra maksimum ve minimum yapan değerleri bulunur. 75
Örnek Sistemin ayrılma ve varış noktalarının bulalım. Özyapısal denklem, Bu köklerden -1.47 ayrılma noktasıdır. -4.53 değeri ise kök-yer eğrisi üzerinde yer almadığından geçerli değildir. 76
Genel Örnek olan sistemin kök-yer eğrisini çiziniz. Kural 1: Özyapısal denklem 3. dereceden olduğundan kök-yer eğrisinin üç kolu vardır. Kural 2: Kutupları; 0, -2, -1/5 ve sıfırı, -1 olduğuna göre kök-yer eğrisi kolları 0, -2 ve -1/5 de K=0 dan başlar sonsuzda biter veya s=-1 de (K= ) biter. Kural 3: Gerçek eksen üzerinde 0 ve -1/5 ve -1 ve -2 noktaları arasında kolları vardır. 77
Kural 4: Asimptot açıları n=2, m=0 olduğuna göre Kural 5: Asimptotların gerçek ekseni kesim noktası Kural 6: Kök-yerin gerçek eksenden ayrılma noktası 78
79
c) Nyquist Yöntemi Nyquist kriteri sayesinde kapalı çevrim sisteminin kararlılığını, açık çevrim sisteminin frekans yanıtı ve açık çevrim sistem kutuplarının yerleşimi üzerinden belirleyebiliriz.aslında bu yöntem köklerin yer eğrisine benzemektedir. Zira köklerin yer eğrisi de açık çevrim kutup ve sıfırlarından başlamaktadır ve bu eğri üzerinde bulunan yerlerden belirli bir nokta(lar) kapalı çevrim kutbunu(kutuplarını) vermektedir. Nyquist diyagramları sadece kararlılık bilgileri vermez; bunun yanı sıra geçici rejim cevabı ve kararlı hal yanıtı hakkında da dolaylı bilgiler verir. Bu bakımdan frekans yanıtı teknikleri, köklerin yer eğrisi yönteminin bir alternatifidir denilebilir. 80
Şekildeki yapıyı ele alalım. Burada yapısında olsun. Açık çevrim kazancı bu durumda şeklinde olur. 81
Ayrıca olacaktır. Diğer taraftan Geçerlidir.bu denklemden şu sonuçlar çıkartılabilir: 1+G(s)H(s) in kutupları, açık çevrim transfer fonksiyonu olan G(s)H(s)in kutuplarıdır. 1+G(s)H(s) in sıfırları, T(s) kapalı c evrim transfer fonksiyonunun kutuplarıdır. 82
Çevre Noktalar topluluğudur. Genel olarak kompleks düzlemde bir çevre ve bu çevrenin bir F(s) kompleks değerli fonksiyonu altındaki görüntüsü Şekil de gösterilmiştir. Şekil 1.17de bazı çevre dönüşümleri gösterilmiştir.şekil 1.17deki değişik F(s) fonksiyonları için çevre dönüşümleri incelenirse şu sonuçlar çıkartılabilir: 83
Şayet A çevresi F(s) e ait her hangi bir kutbu veya sıfırı içermiyorsa veya aynı sayıda kutup ve sıfır çevreliyorsa, B çevresi orjini çevrelemez. Şayet A çevresi içersinde F(s) e ait sıfır sayısı kutup sayısından fazla ise B çevresi A ile aynı yönde orjini kutup sıfır farkı kadar çevreler. Şayet A çevresi içersinde F(s) e ait kutup sayısı sıfır sayısından fazla ise B çevresi A ile ters yönde orjini kutup sıfır farkı kadar çevreler. 84
85
Şimdi F(s) fonksiyonunun 1+G(s)H(s) olduğunu düşünelim.sekil 1.18 de F(s) fonksiyonunun kutup- sıfır yerleşimi gösterilmiştir. Yine aynı Şekil üzerinde bir rastgele çevre oluşturulmuş olsun (çevrenin yönü saat yönünde olsun). Açıktır ki Bir önceki grafiklerden çıkartmış olduğumuz sonuçları dikkate alırsak B çevresi orjini A ile aynı yönde 1 defa çevreleyecektir. Şayet N sayısı B çevresinin orjini saat yönünün aksi yönünde çevreleme sayısını işaret ederse; P ise 1 + G(s)H(s) in A çevresi içinde kalan kutuplarının sayısını gösterirse ve son olarak Z, 1 + G(s)H(s) in A çevresi içinde kalan sıfırlarının sayısını gösterirse N= Z-P geçerlidir. 86
Aslında biz P sayısını biliyoruz zira G(s)H(s) in kutupları aynı zamanda 1 + G(s)H(s) in de kutuplarıdır. Ancak 1 + G(s)H(s) in sıfırları kapalı çevrim sisteminin kutupları oldu gundan bunları bilmiyoruz. Eğer s- düzlemindeki çevre, sağ yarı s-düzleminin tümünü kaplayacak şekilde seçilirse ve F(s) fonksiyonu olarak F(s) = G(s)H(s) alınırsa bu bizi Nyquist kararlılık kriterine götürür. 87
ÖRNEK Açık döngü frekans transfer fonksiyonu Olarak verilen sistemin; a)kutupsal eğrisini çiziniz ve Nyquist ölçütüne göre kararlı olup olmadığını belirleyiniz. ÇÖZÜM: a)gh(jw) nın modül ve faz açısı denklemlerini aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. GH(jw) =10\[w 1+(0.2w)*2 1+(0.05w)*2 ] <GH(jw)=-90⁰-Arctan0.2w-Arctan0.05w Sınır değerleri,w=0 için <90 ve w= 0<-270⁰ 88
Buna göre eğri alçak frekans bölgesinde (w 0) -90⁰ eksene sonsuzda teğet olarak başlar ve yüksek frekans bölgesinde (w ) orijinde -270⁰ eksene teğet olarak sona erer.dolayısıyla eğri -180⁰ eksenini kesmek zorundadır.kesişme noktasını bulmak için faz açısını -180 ⁰ eşitlersek w değerini buluruz. -180⁰=-90⁰-Arctan0.2w-Arctan0.05w NOT:Burada ArctanA+ArctanB=Arctan(A+B)\(1-AB) trigonometrik özdeşliğini kullanabiliriz. -90⁰=-Arctan(0.25w)\(1-0.01w ) Arctan =90⁰ olduğuna göre bunu sağlayan koşul 1-0.01 w=0 dır.buradan w=w =10rad\s olarak bulunur. 89
Buna göre eğri alçak frekans bölgesinde (w 0) -90⁰ eksene sonsuzda teğet olarak başlar ve yüksek frekans bölgesinde (w ) orijinde -270⁰ eksene teğet olarak sona erer.dolayısıyla eğri -180⁰ eksenini kesmek zorundadır.kesişme noktasını bulmak için faz açısını -180 ⁰ eşitlersek w değerini buluruz. -180⁰=-90⁰-Arctan0.2w-Arctan0.05w NOT:Burada ArctanA+ArctanB=Arctan(A+B)\(1-AB) trigonometrik özdeşliğini kullanabiliriz. -90⁰=-Arctan(0.25w)\(1-0.01w ) Arctan =90⁰ olduğuna göre bunu sağlayan koşul 1-0.01 w=0 dır.buradan w=w =10rad\s olarak bulunur. 90
Bu değeri modül denkleminde yerine koyarak eğrinin negatif gerçek ekseni kestiği yerdeki modül değerini bulunuz. GH(jw ) =10\[10 1+(0.2.10)*2 1+(0.05.10)*2 ]=0.4 Bu veriler e göre kutupsal eğri yaklaşık olarak kabaca şekilde olduğu gibi elde edilir. Nyquist ölçütüne göre kararlı olup olmadığını belirlemek için ilk önce açık döngü sistemin,gh(s) sağ yarı s-düzleminde kutupları sayısına bakacak olursak bunun P=0 sıfır olduğunu görürüz.bu durumda sistemin kararlı olabilmesi için -1+j0 noktasının GH(jw) eğrisinin solunda yer alması diğer bir deyişle eğrinin -1+j0 noktasını içine almaması gerekir.bu durumun sağladığı çizilen eğriden görülmektedir ve dolayısıyla sistem karalıdır. 91
92
d) Bode Yöntemi Bode eğrilerini çizmek için uygulanacak işlem sırası 1. Eğer verilmemişse sistemin transfer fonksiyonu G(s) elde edilir. 2. G(s) fonksiyonunda s yerine jw koyularak frekans transfer fonksiyonu elde edilir. 3. G(jw) fonksiyonun genlik oranını veren modül denklemi IG(jw)I ve giriş çıkış arasındaki faz farkını veren G(jw) faz açısı denklemi elde edilir.bu denklemler çarpanlarına ayırılır. 93
Her bir çarpanın kırılma frekansı bulunur. Çarpanlara ait asimptotlar çizilir Her bir log-modül eğrisi şekil üzerinde toplanarak bileşke log-modül eğrisi elde edilir. GH(jw) nın faz açısı eğrisi her bir çarpana ait faz açısı eğrisini toplayarak elde edilir. 94
Bode (logaritmik) Diyagramının Çizimi Bode diyagramı logaritmik ölçekte frekansa,(ω) karşı çizilen karmaşık fonksiyonun,genliği G(jω) ve bir de faz açısı G(jω) olmak üzere 2 eğriden ibarettir.büyüklüğü genellikle biçiminde ifade ederiz.logaritmik gösterimde eğriler yatay ekseni logaritmik ölçekli ve düşey ekseni doğrusal ölçekli,yarı logaritmik kağıtlara çizilir. 95
Logaritmik yatay eksene frekans değerleri, düşey eksene üste db cinsinden büyüklük, G(jω) değerleri ve alta derece cinsinden faz açısı değerleri yerleştirilerek 2 eğri alt alta gelecek şekilde çizilir.bu 2 eğri tek bir logaritmik diyagrama karşılık gelir. 96
Elektrik mühendisliğinde genliklerin desibel cinsinden verilmesi üzerinde ortak bir antlaşma vardır. Desibel aşağıda verildiği gibi tanımlanır: eğer herhangi bir fonksiyonun genliği G ise desibel sayısı; olarak tanımlanır. Literatürde desibel 20log 10 IGI kısaca (db) olarak gösterilir. 97
Amacımız ifadeyi 20 ile çarpıp db ifadesini bulmak ve sonrada bu ifadenin (ω) açısal frekansının logaritmasına göre değişimini çizmektir. 98
Frekans transfer fonksiyonunun (s yerine jω) genelleştirilmiş biçim iki polinomun oranı olarak aşağıdaki şekilde verilebilir. Frekans cevabı yöntemleri sistemlerin açık döngü transfer fonksiyonlarına uygulanabildiklerinden burada; kapalı döngü sistemin toplama noktasından açılan açık döngü halinin transfer fonksiyonu olarak ele alınabilir. 99
Bir önceki polinomun GH(jω)karmaşık sayı fonksiyonu db cinsinden log-modül(genlik) ve faz açısı denklemleri ile aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz. ve derece cinsinden faz açısı denklemi; olur. 100
Kırılma Frekansı veya Köşe Frekansı -ωkr :Log-modül eğrisinde alçak frekans asimptotu ile yüksek frekans asimptotunun kesiştiği yerdeki frekans değeridir.bu frekans sistemin alçak frekans bölgesinden yüksek frekans bölgesine geçiş frekansının bir ölçütünü verir. 101
1-Sabit Çarpanı : K Sabit çarpanı genellikle kazanç katsayısı,k olup frekanstan bağımsız olarak log-modül denklemi: ve eğrisi yatay düz çizgi şeklindedir.bu değer transfer fonksiyonu log-modül eğrisini belli bir miktar arttırır yada azaltır.faz açısı da sıfırdır. 102
2-İntegral ve Türev Çarpanları(jω) +-1 (jω) çarpanın paydada yer alan ve integral elemanına karşılık gelen log-modül denklemi; türev elemanına karşılık gelen log-modül denklemi 103
104
3-Birinci Dereceden Çarpanlar(1+ jω) +-1 Paydada yer alan birinci derece çarpanın(1+ jω) -1 log-modül denklemi; Alçak frekans bölgesinde, ωt<<1 için çok küçük ω değerlerinde; Lm(1+ jωt)-1 ~=20log1~=0 olur. Yüksek frekans bölgesinde de ω nın çok büyük değerleri için; elde edilir. 105
106
(1+jwT) -1 çarpanın faz açısı denklemi aşağıdaki şekilde verilir. φ= G(jw)=-ArctanwT Payda yer alan log-modül denklemi ise 107
4-İkinci Dereceden Çarpanlar Geri beslemeli denetim sistemi transfer fonksiyonlarında genellikle aşağıdaki biçimde verilen ikinci dereceden çarpan ortaya çıkar; bu ifadenin log-modül denklemi ise; =-20log(w2/wn2)=-40log(w/wn) 108
Örnek:Aşağıda frekans domeninde verilen transfer fonksiyonunun bode eğrisini çiziniz. Öncelikle verilen foksiyonun genliği bulunur. 109
Daha sonra transfer fonksiyonunun faz açısı bulunur, 110
Bulunan genlik grafikleri cebirsel olarak toplanır. 111
Bulunan açı grafikleri de cebirsel olarak toplanır. Bode eğrisi çizilmiş olur. 112
Dönme Yapan Sistemler 2 d d s M J B k 2 2 dt dt () ( ) 1 M s Js Bs k 113
Açısal Konum veya Hız Denetimi 2 d ç M k( g ç) J B 2 dt 2 d ç d ç k g J B k 2 ç dt dt d dt ç () s ç () g k 2 s Js Bs k 114
Dişli Takımı İçeren Dönel Sistemler 2 d ç M 2 kn( g n ç) J B 2 dt d d ç dt dt 2 ç ç kn g J B k 2 d dt ç ç() s kn () s Js Bs kn g 2 2 115
Dişli Kutusu ve Bir Motor İçeren Dönel Sistemler d 2 m m M m Jm B 2 m M1 dt d dt 2 d y M 2 J y B 2 dt Transfer fonksiyonu ise aşağıdaki şekildeki gibi olur. () 1 () m s y s 1/ n M ( s) s( J s B ) M ( s) s( J s B ) m d d m d d y d dt y 116
Şekildeki örnekleri göz önüne alarak, differansiyel denklemlerini kuralım. Sistem paralel bağlı bir sistem olduğundan aynı kuvveti elemanlarına iletir. son iki denklem toplanırsa 117
PID Örnekler Burada PID parametreleri değiştirilerek simulasyonu çalıştırırsak sistem davranışını Scope ile yandaki gibi görebiliriz 118
ÜÇ TERİMLİ KONTROLÖRLER PID kontrolörünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir: 119
İzleme hatası (e), istenilen giriş değeri (R) ile gerçek çıkış değeri (Y) arasındaki farkı gösterir. Bu (e) hata sinyali PID kontrol ediciye gönderilir ve kontrol edici bu hata sinyalinin hem türevini hem de integralini hesaplar. Bu (u) sinyali kontrol edilen sisteme gönderilir ve yeni çıkış (y) elde edilmiş olur. Bu (y) çıkış sinyali algılayıcıya geri gönderilerek yeni hata sinyali (e) bulunur. Kontrol edici yeni hata sinyaline aynı işlemleri uygular ve bu işlem böyle devam eder. 120
Basit bir kütle, yay ve tampondan oluşan bir problemimiz olduğunu varsayalım. Bu sistemin model denklemi; Mx + bx + kx = F Yukarıdaki denklemin laplace dönüşümünü alırsak; Ms^2X(s) + bsx(s) + kx(s) = F(s) 121
Oransal Kontrol Tablo-1 de oransal kontrol edici (Kp) Yükselme zamanını düşürdüğünü Aşmayı arttırdığını Kararlı hal hatasını azalttığını görmüştük. Yukarıdaki sistemin oransal kontrol edici kapalı döngü transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir. 122
Oransal-Türevsel Kontrol Tablo-1 e göre türevsel kontrol edici (K D ), Yerleşme zamanını azaltır Aşmayı azaltır. PD kontrollü bir sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir 123
Oransal-İntegral Kontrolör Tablo-1 e göre integral kontrol edici (K i ) Yükselme zamanını azaltır, Aşma ve yerleşme zamanını arttırır, Kararlı hal hatasını yok eder. PI kontrollü bir sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir. 124
Oransal-Türevsel-İntegral Kontrolör PID kontrollü bir sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir: 125
PID Kontrolör tasarımında istenilen tepkiyi elde etmek için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Açık döngü tepkisi bulunur ve ihtiyaçlar belirlenir. 2. Yükselme zamanını düzeltmek için oransal kontrol edici eklenir. 3. Aşmayı düzeltmek için türevsel kontrol edici eklenir. 4. Kararlı hal hatasını yok etmek için integral kontrol edici eklenir. 5. İstenilen tepki elde edilene kadar K p, K i ve K D sabitleri ayarlanır. 126
Hangi konrolörün hangi karakteristiği kontrol ettiğini Tablo-1 den yararlanılarak bulabiliriz. Kontrolör tasarımında mümkün olduğu kadar basit tasarıma gidilmelidir. Eğer PI kontrolör ile istenilen tepki sağlanıyorsa, sisteme türevsel kontrolör eklenip sistem karmaşıklaştırılmamalıdır. 127
Örnek: PID tasarım metodu ile DC motor hız kontrolü Rotor eylemsizlik momenti (J) = 0.01 kg.m2/s2 Mekanik sistemin sönüm oranı (b) = 0.1 Nms Elektromotor kuvvet sabiti (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp Rezistans (R) = 1 ohm İndüktans (L) = 0.5 H Giriş (V): kaynak voltajı Çıkış(theta): mil durumu * rotor ve milin sert olmadığı kabul edilir 128
Bu problemde, DC motorun dinamik eşitliği ve açık döngü transfer fonksiyonu ve sistem şeması aşağıdaki gibidir: 1 rad/sn basamak girişli tasarım kriterleri: 2 saniyeden az yerleşme zamanı %5 den az aşma %1 den az kararlı hal hatası 129
Şimdi bir PID kontrolör tasarlayalım ve sisteme dahil edelim J=0.01 b=0.1 K=0.01 R=1 L=0.5 İlk önce kazancı 100 olan oransal kontrol edici kullanarak inceleyelim: 130
Yukarıdaki grafikten kararlı hal hatasının ve aşmanın çok büyük olduğu görülür. İntegral halinin eklenmesinin kararlı hal hatasını yok ettiğini ve türev halinin aşmayı azalttığı görülür. Küçük K i ve K D ye sahip PID denetleyiciyi inceleyelim. Kütüğümüzü aşağıdaki gibi değiştirelim. Bu kütük çalıştırıldığında aşağıda verilen grafik elde edilir. 131
Kp=100;Ki=1;Kd=1 K i =200 olarak değiştirelim 132
Şimdi etkinin öncesinden daha hızlı ama büyük olduğunu görüyoruz. Ki kötü bir geçici tepkiye sahip olur (büyük aşma). Aşmayı düşürmek için K D yi arttıralım. Kütükte K D yi 10 olarak değiştirelim. Bu durumda aşağıdaki grafik elde edilir. Böylece, Kp=100, K i =200, K D =10 alınarak PID kontrolör tasarım için gereklilikler karşılanmış olur. 133