Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma; toplama ve çarpma, sıralama ve gruplandırma teknikleri kullanılarak problem parçalara ayrılıp çözümlenmektedir. Bundan dolayı problem çözümlerinde bu temel ilkeler arasındaki farklılıkları bilmeniz sizlere kolaylık sağlayacaktır. Öncelikle küme kuramı ve özelliklerini kısaca hatırlamakta yarar var. Tanım 0.1. Belirli özelliğe sahip nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler A, B, C,... gibi büyük harflerle, elemanları ise a, b, c,... gibi küçük harflerle gösterilir. Eğer x bir A kümesinin elemanı ise sembolik olarak x A ile gösterilir. Eğer x elemanı A kümesinin elemanı değilse x / A biçiminde gösterilir. Bir konuyu veya soruyu ele alırken kullanacağımız tüm kümeleri içeren kümeye evrensel küme (veya üst küme) diyelim ve bu kümeyi E sembolüyle gösterelim. A kümesinde olmayan ve E kümesinde olan elemanların kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve sembolik olarak A c ile gösterilir. Tanım 0.2. Eğer B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin bir alt kümesidir denir ve sembolik olarak B A ile gösterilir.
4 BÖLÜM 1. TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Tanım 0.3. A ve B kümeleri boş olmayan iki küme ise bu iki kümenin birleşimi, kesişimi, farkı, kartezyen çarpımı ve simetrik farkı sırasıyla aşağıdaki şekilde tanımlanır; A B = {x : x A veya x B} A B = {x : x A ve x B} A \ B = {x : x A ve x/ B} A B = {(x, y) :x A ve y B} A B =(A \ B) (B \ A) De Morgan kuralı: A ve B evrensel kümenin herhangi iki altkümesi olsun. Bu durumda: (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c A ve B evrensel kümenin herhangi iki altkümesi olsun. s(a), A kümesinin eleman sayısı ise: s(a B) =s(a)+s(b) s(a B) Bununla A ve B kümelerinin toplam eleman sayısı hesap edilir. şekilde üç kümenin toplam eleman sayısı da Benzer s(a B C) =s(a)+s(b)+s(c) s(a B) s(a C) s(b C)+s(A B C)) denklemiyle hesap edilir. n tane kümeniz olsaydı bunların toplam elaman sayısını nasıl hesap ederdiniz? Örnek 0.4. 1 den 200 e kadar (200 dahil) tamsayılardan kaç tanesi 2 veya 5 ile bölünür? Çözüm: A, bu sayı dizisinde 2 ye bölünenlerin kümesi, B de 5 e bölünenlerin kümesi olsun. Bu durumda s(a) = 100 (200 sayısı 2 ye bölündüğünde bölüm 1 den 200 e kadar olan sayılardan kaçının 2 ye bölündüğünü verir), s(b) =40ves(A B) = 20 bulunur. Buna göre yukarıdaki önermemize göre s(a B)=100+40 20 = 120 hesap edilir.
1. TOPLAMA VE ÇARPMA İLKELERİ 5 1 Toplama ve Çarpma İlkeleri Toplama İlkesi: Eğerayrıkolanm küme içinde, birincisinde r 1, ikincisinde r 2,...,m. kümede r m eleman varsa, bu m küme içinden bir nesne farklı yolla seçilir. r 1 + r 2 +...+ r m Örnek 1.1. 15 öğretim üyesi ve 120 öğrencisi olan bir matematik bölümü üniversite senatosuna bir öğrenci veya bir öğretim üyesi temsilcisi gönderecektir. Seçim kaç farklı yolla yapılabilir? Çözüm: 15 öğretim üyesi içinden biri seçileceğinden 15 farklı yolla bu seçim yapılır. 120öğrenci içinden bir öğrencide benzer yolla 120 farklışekilde yapıldığına göre seçim 15 + 120 = 135 farklı yolla yapılabilir. Örnek 1.2. x 2 + y 2 5eşitsizliğini sağlayan kaç tane(x, y) tam sayı ikilisi vardır? Çözüm: x 2 + y 2 ifadesinin alacağı değerler 0, 1, 2, 3, 4, veya 5 tir. Her bir değer için eşitliği tam sayılar için çözdüğümüzde: 0 değerini veren ikililer kümesi {(0, 0)}, 1 değerini veren ikililer kümesi {(1, 0), (0, 1), ( 1, 0), (0, 1)}, 2değerini veren ikililer kümesi {(1, 1), ( 1, 1), (1, 1), ( 1, 1)}, 3için çözüm yok, 4 değerini veren ikililer kümesi {(2, 0), (0, 2), ( 2, 0), (0, 2)}, ve5 değerini veren ikililer kümesi {(1, 2), (2, 1), ( 1, 2), (2, 1), (1, 2), ( 2, 1), ( 1, 2), ( 2, 1)} dir. Buna göre toplama ilkesinden 1+4+4+0+4+8 = 17 tane tam sayı ikilisi verilen eşitsizliği sağlar. Çarpma İlkesi: k farklı aktivite A 1,...A k olsun. Birincisi farklı n 1 yolla, ikincisi n 2 yolla ve benzer şekilde k ıncısı n k yolla yapılabiliyorsa, bu aktiviteler n 1 n 2...n k farklı yolla yapılır. Örnek 1.3. a i {0, 1} olmak üzere terim sayısı n olan kaçtane(a 1,a 2,...,a n ) dizisi bulunur? Çözüm: a 1 iikiyollaseçebiliriz: 0 veya 1. Aynı şekilde a 2 yi,a 3 ü,..., a n yideikişer yolla seçebiliriz. Dolayısıyla dizilerin sayısı 2 } 2 {{... 2} =2 n n olacaktır.
6 BÖLÜM 1. TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ İlkokulda aralarında bire bir eşleme olan ve dolayısıyla aynı sayıda eleman içeren kümelere denk kümeler demiştik. Bazen bir kümedeki elemanları saymak yerine bu kümeye denk olan başka bir kümenin elemanlarını saymak daha kolay olabilir. Örnek 1.4. n elemanlı bir kümenin kaç tane alt kümesi vardır? Çözüm: n elemanlı X = {x 1,x 2,...,x n } kümesinin bir Y alt kümesine aşağıdaki şekilde tanımlanan bir (a 1,a 2,...,a n ) dizisi karşılık getirelim. Her i =1, 2,...,n için x i Y ise a i = 1 dir; x i Y ise a i = 0 dır. Bu durumda X in tüm alt kümeleri ile, a i {0, 1} olmak üzere tüm (a 1,a 2,...,a n ) dizileri arasında bir bire bir eşleme tanımlanmış oldu. O halde X in alt küme sayısı Örnek 1.3 den dolayı 2 n olacaktır. Örnek 1.5. {1, 2,..., 2004} kümesinin tek sayıda eleman içeren kaç alt kümesi vardır? (UİMO2004) Çözüm: X = {1, 2,...,2004} kümesinin tek sayıda eleman içeren alt kümeleriyle çift sayıda eleman içeren alt kümeleri arasında aşağıdaki bire bir eşlemeyi yapalım. Tek sayıda eleman içeren Y X alt kümesi 1 i içeriyorsa, buna çift sayıda eleman içeren Y \{1} alt kümesini; 1 Y ise Y yey {1} alt kümesini karşılık getirelim. Bunun bire bir eşleme olduğu açıktır. O halde tek sayıda eleman içeren alt kümeler tüm alt kümelerin yarısı kadar, yani 22004 =2 2003 tane olacaktır. 2 Örnek 1.6. Bir m pozitif tam sayısı, p i ler farklı asal sayılar olmak üzere m = p k 1 1 p k 2 2...p kr r şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, m nin pozitif tam bölenlerinin sayısı kaçtır? Çözüm: m sayısının bir n pozitif tam böleni, bu sayının asal çarpanlarından bazılarının çarpımından oluşmaktadır. p i asal çarpanının kuvveti 0 ve k i de dahil olmak üzere 0 ve k i aralığında olmak zorundadır, yani 0 s i k i, i =1, 2,...,r olmak üzere n = p s 1 1 p s 2 2...p sr r şeklindedir. Dolayısıyla her bir s i kuvveti k i +1 farklı değer alabilir. O halde çarpma ilkesine göre m sayısının pozitif bölenleri (k 1 +1)(k 2 +1)...(k r +1) tanedir.
1. TOPLAMA VE ÇARPMA İLKELERİ 7 Örnek 1.7. Bir ülkede araba plakaları dört karakterden oluşuyor. İlk iki karakter Latin harfleri, son iki karakter de rakamlar olduğuna göre, bu ülkede en fazla kaç taşıta plaka alınabilir? Çözüm: 29 29 10 10 = 84100 Toplama ve Çarpma İlkeleri Üzerine Sorular 1.1) 27 den 351 e kadar olan (27 ve 351 dahil) tam sayılardan kaç tanesi 3 veya 7 ile bölünür? a) 155 b) 141 c) 156 d) 167 e) 12 1.2) 1 den 500 e kadar olan (500 dahil) tam sayılardan kaç tanesi3ve5ile tam bölünmez? a) 33 b) 100 c) 166 d) 467 e) 400 1.3) A ve B birbirini kapsamayan iki küme, s(a B) =15ves(A B) =6 olduğuna göre, A kümesinde en çok kaç eleman olabilir? a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 1.4) Tavla zarı 5 kere atıldığında kaç değişik sonuç olabilir? a) 5 5 b) 6! c) 6 5 d) 5 e) Hiçbiri 1.5) Bir tavla zarı 5 kere atıldığında, çıkan sayıların toplamının kaçı çift olur? a) 3 5 b) 3 6 4 c) 6 5 d) 5 5 e) Hiçbiri 1.6) Türk alfabesindeki harflerle kaç tane 3 harfli anlamlı anlamsız kelime oluşturulabilir? a) 28 3 b) 28 3 c) 29 3 d) 29 28 27 e) Hiçbiri 1.7) Türk alfabesindeki harfleri kullanarak iki ünlü veikiünsüz yan yana gelmeyecek şekilde kaç tane 5 harfli kelime oluşturulabilir? a) 21 2 8 2 29 b) 21 5 8 5 c) 21 3 8 2 d) 21 2 8 3 e) 2 21 2 8 3 1.8) A, B ve C üç farklı kenti temsil etsin. A dan B ye 3, B den C ye 5 ve A dan doğrudan C ye 2 değişik yol vardır. A dan C ye kaç değişik yolla gidilebilir? a) 15 b) 2 c) 17 d) 10 e) 30
8 BÖLÜM 1. TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ 1.9) Bir önceki problemde B de tam bir kere bulunmak üzere A dan C ye gidip tekrar A ya dönüş kaç yolla mümkündür? a) 60 b) 34 c) 17 d) 15 e) Hiçbiri 1.10) 52 oyunkartındançekilen iki karttan birincisinin as olması ve ikincisinin kız olmaması kaç yolla mümkündür? a) 16 b) 188 c) 52 2 d) 108 e) Hiçbiri 1.11) 52 oyun kartından çekilen iki karttan ilk kart kupa olacak ve ikinci kart kız olmayacak şekilde kaç farklı çekim yapılabilir? a) 564 b) 48 c) 2652 d) 612 e) Hiçbiri 1.12) Birbirinden farklı 7 Türkçe, 6 İngilizce ve 5 Almanca kitap içinden bir kitap kaç farklı yolla alınabilir? a) 13 b) 18 c) 3 d) 9 e) 16 1.13) Birbirinden farklı 7 Türkçe, 6 İngilizce ve 5 Almanca kitap içinden her biri farklı dilden 3 kitap kaç farklı yolla alınabilir? a) 210 b) 3 c) 7! 6! 5! d) 1260 e) Hiçbiri 1.14) 7Türkçe, 6 İngilizce ve 5 Almanca kitap içinden İngilizce kitap içermeyecek şekilde kaç yolla 3 kitaptan oluşan bir dizi oluşturulabilir? a) 7! 5! b) 175 c) 1320 d) 245 e) Hiçbiri 1.15) İki zar atıldığında olabilecek bütün sonuçların kaçında toplam 3 e bölünür? a) 11 b) 12 c) 5 d) 10 e) Hiçbiri 1.16) Beş basamaklı kaç sayı vardır? a) 9 10 4 b) 9 8 7 6 5 c) 9 2 8 7 6 d)5! e)hiçbiri 1.17) Beş basamaklı kaç taneçift sayı vardır? a) 9 10 3 5 b) 9 10 4 c) 9 8 7 6 d) 5! e) Hiçbiri 1.18) 3 rakamını bir kez içeren kaç tane 5 basamaklı sayı vardır? a) 9 3 32 b) 10 4 c) 9 4 5 d) 41 9 3 e) Hiçbiri
Bölüm 2 ÖZEL YÖNTEMLER 5 Güvercin Yuvası İlkesi Bir koltuğa iki karpuz sığmaz. Atasözü Matematik literatüründe Güvercin Yuvası İlkesi (veya Çekmece İlkesi veya Dirihlet İlkesi) olarak yer alan önerme çok basit olmasına rağmen birçok zor problemlerin çözümünde kilit rol oynamaktadır. Güvercin Yuvası İlkesi: n + 1tanegüvercin n yuvaya yerleştirildiğinde en az bir yuvada birden fazla sayıda güvercin bulunacak. Daha genel şekilde: n>kpozitif tam sayılar olmak üzere n elemanlı bir küme k tane alt n 1 kümeye bölündüğünde en az +1 tane eleman içeren bir alt küme k bulunacaktır. n 1 Gerçekten, alt kümelerin her birindeki eleman sayısı en fazla k n 1 olsaydı, toplam eleman sayısı en fazla k k n 1 = n 1 k k olacaktı. Örnek 5.1. 34 kişilik bir grup 17 evli çiftten oluşuyor. Bu grup içinden en az kaç kişi seçmeliyiz ki seçilenlerden en azından ikisi evli bir çift olsun? Çözüm: 17 kişiyi seçmemiz yeterli olmayabilir çünkü bu kişiler farklı çiftlerden olabilir. Öte yandan 18 kişi alındığında, çiftlerin sayısı 17 olduğundan, en az bir çiftten iki kişi almış olacağız. Böylece yanıt 18 dir.
66 BÖLÜM 2. ÖZEL YÖNTEMLER Örnek 5.2. Kenar uzunluğu 1 e eşit olan bir karenin içinde 51 tane küçük böcek bulunur. Her an bu böceklerden en az 3 tanesinin yarıçapı 1/7 olan bir daire ile kapatılabileceğini kanıtlayınız. Çözüm: Karenin her kenarını 5 eşit parçaya bölüp, bunlardan kenarlara paralel doğrular çizerek kareyi 25 eşit haneye bölelim. 51 > 2 olduğundan en 25 az 3 böcek içeren bir hane bulunacak. Bu hanenin çevrel çemberinin yarıçapı r = 1 5 1 < 1 2 7 olduğundan, bu hane içindeki böceklerle beraber, yarıçapı 1 7 olan daire ile kapatılabilir. Örnek 5.3. k, m, n poziitif tam sayılar ve k > m n olmak üzere 1 den k ya kadar tam sayılar herhangi sırayla dizilmiştir. Ya geriye kalan m +1 sayı artan sırayla dizilmiş olacakşekilde k m 1 sayı, ya da geriye kalan n + 1 sayı azalan sırayla dizilmiş olacakşekilde k n 1 sayı silinebilir. Kanıtlayınız. Çözüm: Başka bir deyişle, ya m + 1 elemanlı bir artan, ya da n +1 elemanlı bir azalan alt dizi bulunduğunu kanıtlamamız gerekir. Her i = 1, 2,...,k sayısı için i ile biten ve artan en uzun alt dizinin eleman sayısını l i ile, i ile başlayan ve azalan en uzun alt dizinin eleman sayısını r i ile gösterelim. Herhangi bir i için l i m +1 veya r i n + 1 ise, kanıt bitmiştir. Her i için l i <m+1 ve r i <n+1, yani l i {1, 2,...,m} ve r i {1, 2,...,n} olduğunu varsayalım. O halde (l i,r i )çiftinin alabileceği değerlerin sayısı m n, i lerin sayısı k dan küçük olduğundan (l i,r i )=(l j,r j )olacakşekilde i j bulunur. Örneğin i<jolsun (j <idurumu benzer şekilde incelenir). i sayısı j sayısından daha sonra geliyorsa, r j r i +1 olacak, çünkü i ile başlayan her azalan alt dizinin soluna j yi ekleyerek j ile başlayan daha uzun bir azalan alt dizi elde edebiliriz. Benzer şekilde i sayısı j sayısından daha önce geliyorsa l j l i + 1 elde edilir. Her iki durumda (l i,r i )=(l j,r j )eşitliği ile çelişki elde ediyoruz. Dolayısıyla l i m +1 veya r i n + 1 olacak şekilde bir i bulunur. Örnek 5.4. Her altı kişi arasında ya birbirini tanıyan üç kişinin ya da birbirini tanımayan üç kişinin bulunduğunu kanıtlayınız. Çözüm: Altı kişiden biri olan A nın geriye kalan ya tanıdığı en az üç kişi ya da tanımadığı en az üç kişi bulunur. Birinci durumda tanıdığı B,C,D kişilerinden herhangi ikisi (diyelim B ile C) aralarında tanışıyorlarsa birbirini