Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL ARASINAV SORLARI..0 Süe: 80 dakika K olan item için, anfe fonkiyonu 6 a Kutup ve ıfılaı kamaşık düzleminde göteiniz. 7 puan Giiş inyalinin fekanı ıfıa doğu azaltıldıkça itemin kazancı mutlak değece ye yakınıyo. K > 0 olduğuna göe K kaçtı? puan c Sitem kaalı mıdı? puan d Sitemin giişu-çıkışy ilişkiini göteen difeaniyel denklemi yazınız. 8 puan Aşağıdaki iki itemden itediğiniz iinin, önce giişu-çıkışy ilişkiini göteen difeaniyel denklemi ulunuz, ona tanfe fonkiyonunu çıkatınız. puan Biinci meteeden doğual zamanla değişmez i itemin iim aamak tepkii e t y t olduğuna göe itemin tanfe fonkiyonunu yazınız puan. Biim aamak tepkii y t yi çiziniz. Çizimde 0 ve değelei elli olun puan. Giiş fekanı onuza doğu yükeltiliken item kazancı kaça yakına puan? Aşağıda veilen item K nın hangi değe aalığında kaalıdı? puan BAŞARILAR ad. Doç. Ata SEVİNÇ
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL ARASINAV CEVAP ANAHARI..0 a Payın tek kökü, yani i tane ıfı vadı: z. Paydanın ie kökü, yani kutu vadı: p, p m. anda düzleminde göteilmişti., Giiş inyalinin fekanı için mutlak değece kazanç tanfe fonkiyonda yazılıp şeklinde ulunu. 0 için 0 olacağından itemin kazancı K K 0 lim 0 6 6 ve K > 0 olduğuna göe K c Sitem kaalıdı, çünkü ütün kutupla negatif eel kıımlıdı, yani ol yaı ölgededi. Sağ yaı ölgede ıfı olmaının kaalılığa zaaı yoktu. K K d 8 6 K K 8 6 çapanı zaman uzayında tüeve kaşılık geli: y t 8 y t y t 6y t Ku t Ku t He tüevel eleman için i denklem yazılı. L üzeindeki akıma i deek: di u y L i den dienç akımını çıkatıak dt C nin akımını uluuz: y dy i C He iki denklemin de Laplace dönüşümü alınıp düzenleneek R dt L I ve I C ulunu. I i diğeinde yeine yazalım: R L L LC LC R R G LC ulunu. L LC R RC LC τ andaki itemde ve τ τ in yanıtılmışına τ dedik. Buna göe. ekendeki u toku,. ekende u olaak göülü. Diğe yandan,
SMOK V 0 CA ve yazılaili. Bunla. taaftaki tok değeine mauz kalan ileşenledi. Bunlaı. taaftaki toka mauz kalı gii ve ye göe kullanacakak katayılaını i kez daha ile çapaak kullanmalıyız. Böylece yukaıdaki eşdeğe şekli elde edeiz. Buna göe dinamik denklemi yazaak k u Düzenlenip y yazılaak Laplace dönüşümünü alınıa, k Buadan da tanfe fonkiyon şöyle ulunu: k G İteneydi heşey. taafa yanıtılaak da işlem yapılailidi. O zaman payın ve paydanın ile çapılmışı olan, yani yukadakine eşit şu ifade ulunudu: k G t y t e yazılaak lim lim Sonuz yükek fekan kazancı ulunu. Kutu içini G, ve H alaak K K H G G ulunu. Kaalılık için paydanın kökleinin hiçii ağ yaı ölgede olmamalı, unun için de Routh-Huwitz tetinde ilk ütun hep aynı işaetli olmalıdı: K 0 0 0 K 0 K K 0 0 0 K 0 İlk ütun atıyla aşladığı için hep atı olmalıdı. ani K > 0 ve K > 0 olmalıdı. ani 0 < < K
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL FİNAL SINAVI SORLARI 07.0.0 Süe: 7 dakika alnızca ou çözmeniz eklenmektedi. ouyla uğaşıanız, en düşük puanlı cevaınız ayılmayacaktı. anfe fonkiyonu 8 olan i itemin çıkışını, itenen değeine getimek için geeken u değeini PI kontol ile uygulamak için geeken düzenlemeyi lok şema ile göteiniz. PI kazançlaı KP ve KI hangi şatlaı ağlamalıdı? Bu şatlaı ağlayan keyfi i takım KP ve KI kazanç değelei atayınız. puan Bi itemin açık döngü tanfe fonkiyonuna ilişkin Bode genlikdb ve açı eğilei doğuallaştıılmış yaklaşık paçala halinde aşağıda olda veilmişti. Kamaşık açık döngü kutup veya ıfı yoktu. a Sitemin açık döngü tanfe fonkiyonunu GH ulunuz. 8 puan Sitemin kaalı olup olmadığını, gafikleden naıl anlaşıldığını eliteek öyleyiniz. 7 puan Bi itemin kapalı döngü tanfe fonkiyonunun paydaını ıfı yapan köklein, K nın [0, aalığındaki değişimine göe yeleini göteen kök-ye eğii yukaıda ağdaki şekilde veilmişti Üç adet açık döngü kutup va, açık döngü ıfı yok. Özel azı noktalada K değelei yaklaşık olaak veilmişti. a K nın negatif olmayan hangi değelei için item kaalıdı? puan En ağdaki kapalı döngü kutun veya kutup çiftinin mümkün olduğunca olda olmaını itiyoak K ne eçilmelidi ve u eçim için en ağdaki kapalı döngü kutupla ne olu? 0 puan anfe fonkiyonu duum uzayı modeli elde ediniz. puan ile veilen item için uygun duum değişkenlei tanımlayaak i At 7 9 için e matiini itediğiniz yolla ulunuz. puan BAŞARILAR ad. Doç. D. Ata SEVİNÇ
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL FİNAL SINAVI CEVAP ANAHARI 07.0.0 _ e PI u 8 y PI kontolöün denetleyicinin tanfe fonkiyonu olup ütün itemin tanfe fonkiyonu: 8 8 8 Hatanın e hep ıfıa gitmei ancak ve eğe tüm item kaalı ie olu. Bütün itemin tanfe fonkiyonunun paydaına Routh-Huwitz teti uygulayaak kaalılık şatlaını ulalım: KP 8 0 KI 0 KP 8 KI / 0 0 KI Kaalılık için ilk ütunda işaet değişikliği olmamalıdı. ani KI > 0 ve KP 8 KI / > 0 olmalıdı. Diğe i ifadeyle 0 < KI < KP 6 olmalıdı. Meelâ, KP 0, KI olaili. a GenlikdB eğiindeki tek köşe fekanı 0 ad/ /τ, yani m di. Köşe fekanının olundan ağına eğim -0dB/dekad değiştiği için paydada τ teimi vadı. Açı eğiindeki köşelein ad/ ve 00 ad/ fekanlada dekad öncei ve dekad onaı olmaı ve aadaki eğimin - /dekad olmaı da unu doğula. Köşe fekanından önce en ol taafta genlikdb eğiinin eğimi ıfı olduğundan çapanı ulunmamaktadı. Başkaca i köşe olmamaından anlaız ki açık döngü tanfe fonkiyon: K yı ulmak için db değei ilinen özel i fekanta meelâ < 0 ad/ de GenlikdB 0 olduğu göülmektedi. Bu yaklaşık çizim yönteminde köşe fekanında 0 kaul edilmektedi. Dolayııyla 0 0 Sonuç:, 0 ulunu. Bode açık döngü eğileinde, açının -80 olduğu fekanta genlik kazancı 0dB ie, ya da genlik kazancının 0dB olduğu fekanta açı -80 veya daha aşağıda ie, kapalı döngü item kaaızdı. Buada açı hiç -80 olmamaktadı. Genlik kazancı 0dB iken de açı -80 nin üzeindedi. Kaaızlık duumlaının ikii de olmadığı için item kaalıdı. ile göteilen açık döngü kutuplada K 0 dı. Kök ye eğii oyunca u noktaladan uzaklaşıldıkça K atmaktadı. K > olmaya aşlayınca ağda hiç kök kalmamakta, K 6,9 olunca kökleden ikii -0,7 de çakışmaktadı. K iaz daha atıılınca köklein ikii kamaşık eşlenik çift olmakta, ve nihayet K > 6, için eşlenik çift olan iki kök ağ yaı ölgeye geçmektedi. K nın tüm u değişimi ıaında üçüncü kök - in daha daha ol taafına doğu eel kalaak kaymaktadı. Buna göe, a alnızca < K < 6, için köklein üçü de ol yaı ölgede olduğu için item negatif olmayan adece u K değe aalığı için kaalıdı.
SMOK F 0 CA En ağdaki kökün geldiği en ol nokta ayılma noktaıdı. Bu noktada K 6,9 ve en ağdaki çakışan iki kök -0,7 olmaktadı. Kök-ye eğiindeki kökle, o noktadaki K değei için kapalı döngü kutuptu.,. Ana denklemde yeine yazılıa 0 0 0 0 7 9 için matiini ulunuz. Çözüm:. ol: 7 9 6 8 0,. ve ulunu. Sağlamaı, t 0 için. 0 0 7 9,,,,,,,,. yol: L 7 9 6 8 9 7 He i eleman ait keilee ayılı. Bildiğiniz için uada atlandı 7 7 7 7 e Laplace dönüşümü alınınca önceki yönteminkiyle aynı onuç ulunu:,,,,,,,,
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL BÜÜNLEME SINAVI SORLARI 8.0.0 Süe: 7 dakika alnızca ou çözmeniz eklenmektedi. ouyla uğaşıanız, en düşük puanlı cevaınız ayılmayacaktı. anfe fonkiyonu olan i itemin çıkışını, itenen değeine getimek için geeken u değeini PI kontol ile uygulamak için geeken düzenlemeyi lok şema ile göteiniz. PI kazançlaı KP ve KI hangi şatlaı ağlamalıdı? Bu şatlaı ağlayan keyfi i takım KP ve KI kazanç değelei atayınız. puan Bi itemin açık döngü tanfe fonkiyonuna ilişkin Bode genlikdb eğii doğuallaştıılmış paçala halinde ve açı eğii yaklaşık olaak aşağıda veilmişti. Kamaşık açık döngü kutup veya ıfı yoktu. a Sitemin açık döngü tanfe fonkiyonunu GH ulunuz. 8 puan Sitemin kaalı olup olmadığını, gafikleden naıl anlaşıldığını eliteek öyleyiniz. 7 puan Açık döngü tanfe fonkiyonu olan itemin kapalı döngü kutuplaının, K nın [0, aalığındaki değişimine göe yeleini göteen kök-ye eğiini çiziniz. Sönüm oanı ξ 0, iteniyoa kökle ne olu? Bu kökle için K ne olu? puan anfe fonkiyonu 7 duum uzayı modeli elde ediniz. puan ile veilen item için uygun duum değişkenlei tanımlayaak i 6 At için e matiini itediğiniz yolla ulunuz. puan BAŞARILAR ad. Doç. D. Ata SEVİNÇ
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL ARASINAV SORLARI..0 Süe: 80 dakika anfe fonkiyonu olan item naıl i filteleme yapa alçak geçien, yükek geçien, and geçien, neden? Sitem kaalı mıdı? Sitemin giişu-çıkışy ilişkiini göteen difeaniyel denklemi yazınız. puan Aşağıda doğual zamanla değişmez DZD i itemin lok diyagamı veilmişti. He alt itemin tanfe fonkiyonu haflele göteilmişti. Bütün itemin tanfe fonkiyonunu A, B, C, D cininden ulunuz. Keili teim olua pay veya paydaında aşka kei kalmaın. puan andaki ya da aşağıdaki itemin önce giişu- çıkışy ilişkiini göteen difeaniyel denklemi ulunuz, ona tanfe fonkiyonunu çıkatınız. puan 6 anfe fonkiyonu olan itemin iim aamak tepkiini y t ulunuz ve çiziniz puan. Sitemin alçak fekan lim 0 ve yükek fekan lim kazançlaını ulunuz. Bu kazançlaın y 0 ve y değeleiyle ilişkiini de yazınız. 8 puan andaki itemin iim aamak tepkiinde makimum aşma M %0 ve % lik duulma zamanı aniye iteniyo. Buna göe K ve a ne olmalıdı? Bu duumda yükelme zamanı, önüm katayıı ξ, tepe zamanı ne olu? puan t d % α t y π φ d t p π α co φ ξ d n BAŞARILAR ad. Doç. D. Ata SEVİNÇ
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL ARASINAV CEVAP ANAHARI..0 olup 0 lim 0 ve 0 lim ve 0 < < için 0 olduğu için and geçien filte olaak davanı. t u t y t y t y En alttaki iim geieleme kolu ile B üzeinden geieleme paaleldi. B diye negatif geieleme yönünde ileştiileili. Dolayııyla tanfe fonkiyon: CD AB A AD Elektik devei: L üzeindeki akıma i diyelim. L ve L üzeindeki geilimlein toplamı u olduğu için dt dy L dt di L u Ayıca R üzeindeki akım R dt dy L olduğu için R L I dt dy R L y i Bunu, ilk denklemin Laplace dönüşümünde yeine yazalım: L L R L L L R L L L L I En ağdaki eşitlikten L L R L L R Mekanik item:. yol: Heşeyi. ekende düşünüek,, ve yi ile, giiş tokunu ie ile çapaak yanıtıız: u k k Θ. yol: Heşeyi. ekende düşünüek,, k ve i ile çapaak yanıtıız: u k Ayıca y olduğundan,
Θ k SMOK V 0 CA İki çözümün de aynı onucu vediğini göünüz. Biim aamağın Laplace dönüşümü olduğu için 6 a 0 6 6 a 6 ve 0 6 t y t e, t 0 Alçak fekan kazancı lim 0 6 y 0 ükek fekan kazancı lim y 0 Kapalı döngü itemin tanfe fonkiyonu K a K a K a K n Bunu α n diye düşünüüz. ani K n ve a α. Dikkat: ukaıdaki Laplace dönüşümü değişkenidi. Aşağıdaki ifadeledeki ie aniyedi. Duulma zamanından α 0,8 a α t d a,6 0,8 π ln M απ d d ad, 09 ad ln 0,0 K n α d 0,8,09 ad K,8ad K,8 ad n, ad ξ α 0,8, ξ 0, 9 o π ξ 0,9 coφ φ,8,8 ad 0, 98 ad φ 80 n π 0,98 t y, 09 π t p, 09 t y, 0 t p, 88
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL FİNAL SINAVI SORLARI 06.0.06 Süe: 7 dakika Souladan itediğiniz taneini cevaplayınız. Fazla cevaplaanız en iyi dödü dikkate alını. anfe fonkiyonu 6 olan i itemin çıkışını, itenen değeine getimek için geeken u değeini PI kontol ile uygulamak için geeken düzenlemeyi lok şema ile göteiniz. PI kazançlaı KP ve KI hangi şatlaı ağlamalıdı? Bu şatlaı ağlayan keyfi i takım KP ve KI kazanç değelei atayınız. puan Sanal K 0,6 Reel 8, K, K Bi itemin kapalı döngü tanfe fonkiyonunun paydaını ıfı yapan köklein, K nın [0, aalığındaki değişimine göe yeleini göteen kök-ye eğii yukaıdaki şekilde veilmişti. Kökleden ii kalın düz, diğei ince düz, eel ve anal ekenle ie keikli çizgilele göteilmişti. Özel azı noktalada K değelei yaklaşık olaak veilmişti. a Açık döngü ıfı ve açık döngü kutuplaın değeleini ve kök-ye eğiinde u noktalada K nın değeleini elitiniz. 7 puan K nın negatif olmayan hangi değelei için item kaalıdı? 8 puan c En ağdaki kapalı döngü kutun veya kutup çiftinin mümkün olduğunca olda olmaını itiyoak K ne eçilmelidi ve u eçim için en ağdaki kapalı döngü kutupla ne olu? 0 puan anfe fonkiyonu duum uzayı modeli elde ediniz. puan ile veilen item için uygun duum değişkenlei tanımlayaak i 8 6 At için e matiini itediğiniz yolla ulunuz. puan 0 0 x x u, y [ ]x C ile veilen itemde y çıkışının, y * ait efean talep değeine, -8 ve -0 özdeğeleiyle yakınamaı, duum geielemeli kontol uygulanaak iteniyo. Bunun için u giişi ne olmalıdı? puan adımcı fomül: ek giişli tek çıkışlı denetleyici kanonik içimli item için C 0 şatıyla, α 0 itenen kaakteitik polinomun ait teimi K α C 0 BAŞARILAR ad. Doç. D. Ata SEVİNÇ
Makine Mühendiliği Bölümü SİSEM MODELLEME VE OOMAİK KONROL FİNAL SINAVI CEVAP ANAHARI 06.0.06 PI kontolöün denetleyicinin tanfe fonkiyonu itemin tanfe fonkiyonu: ve iim geielemeli olduğundan, ütün 6 6 6 Hatanın e hep ıfıa gitmei ancak ve eğe tüm item kaalı ie olu. Bütün itemin tanfe fonkiyonunun paydaına Routh-Huwitz teti uygulayaak kaalılık şatlaını ulalım: KP 6 0 KI 0 KP 6 KI / 0 0 KI Kaalılık için ilk ütunda işaet değişikliği olmamalıdı. ani KI > 0 ve KP 6 KI / > 0 olmalıdı. Diğe i ifadeyle 0 < KI < KP 8 olmalıdı. Meelâ, KP 8, KI olaili. a x ile işaetli olanla açık döngü kutup, o ile işaetli olan açık döngü ıfıdı. Açık döngü kutuplada K 0, açık döngü ıfılada ie K du. ani, de ve te açık döngü kutup olup K 0, te açık döngü ıfı olup K. K 0 dan itiaen atıılıken, kapalı döngü kutuplaın köklein ii de, diğei ve te ye almaya aşla, K attıkça iiine yaklaşıla. K > 0,6 olduğunda ağdaki kök ol yaı ölgeye geçe. K > 0,6 için he iki kök de ol yaı ölgede olduğundan ve aşka kök kapalı döngü kutup olmadığından item kaalıdı ve aki halde kaaızdı. ani kaalılık için K > 0,6 olmalıdı ve u yetelidi. c Az önce iiine yaklaştığından ahettiğimiz iki kök, K olunca, te ileşile ve K daha da atıılınca kamaşık eşlenik çift olaak iiinden ayılıla. K daha da atıılınca çeme üzeinde ileleyeek K olunca teka ileşile. K daha da atıılınca u kez eel eken üzeinde ii ağa, ii ola doğu ayılıla. Buna göe en ağdaki kapalı döngü kutun, yani kökün, en olda olduğu duum, K ikendi ve he iki kök de 8, olu. Sayıız faklı içimde model elde edileili. Başlıca yolladan ikiini veelim.. yol: Denetleyici kanonik içimi için duum değişkenleini uzayında şöyle tanımlayalım:, Buna göe. Düzenlenie.
SMOK F 06 CA Ayıca çıkış olu. İkinci ve on iki denklemlei ıaıyla zaman uzayında yazaak:,, Bunlaı mati içiminde yazaak denetleyici kanonik içimli duum uzayı modelini elde edeiz: x 0 x 0 u x x { { A x B y [ ]x 0 D 0 C. yol: Gözleyici kanonik içim için tanfe fonkiyondan giiş-çıkış difeaniyel denklemini yazalım:,, 0 Son iki denklemden ve çekileek ve yazılaak, x 0 x u x x { 0 { A x B 0 0 gözleyici kanonik içimi ulunu. Buadaki giiş ve çıkış haiç emolle, tanımlanmıştı. diğe yoldakinden faklı. yol: 8 6 7 0 0,. Bu iki denklemin fakı olduğundan ulunu. olduğundan ulunu. Sağlamaı, t 0 için 0 0 8 6 olduğunu göeiliiz.. yol: L 8 6 7 0 6 8 He i eleman ait keilee ayılı. Bildiğiniz için uada atlandı ama ınavda göteilmei iteni.
e Laplace dönüşümü alınınca önceki yönteminkiyle aynı onuç ulunu: SMOK F 06 CA Sitem denetleyici kanonik içimde veilmişti. İtenen özdeğele için kaakteitik polinom: λ 8 λ 0 λ 8λ 80 k 80 k 79 k 8 k 6 0 0 0 0 A BK 79 6 A 79 6 80 8 Sağlamaı: [ ] c λ det λi Ac λ 8λ 80 80 λ 8 α 80 α 0 80 0 K C K 0 * * Sonuç: u Kx K y u 79x 6x 0y olmalıdı.