p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A 3 3 3 3 3 i i olup Şıklar incelenirse II ve IV ün yanlış oldukları görülür.yanıt B 0,9 1 olup Yanıt B (Bu sorunun yanıtı daha sonra değiştirilmiş doğru olan seçenek yanlış verilmiştir ) Her gerçel sayısı için 1 + > 0 olduğundan A şıkkı özdeşliktir. B =1 için değil. C şıkkı (1+cos)/=cos olsaydı özdeşlik olurdu. D şıkkı = 1 için değil.yanıta p q q p olup yanıt A y e y ln yln olduğundan yanıt D e
II doğru III. Doğru Yoğun olan her kümenin enaz bir yığılma noktası olduğundan. IV Doğru. Sınırlı her kümenin en büyük alt sınırı ve bir en küçük üst sınırı vardır.yanit D 3 1 3 1 ( 3 1) ( 3 1) 3 1 3 1 3 1 olup A,B ve C 5 in tam katları olarak yazılamaz. Ancak D yazılabilir. 4 Dizi monoton artan olup limiti en küçük üst sınırıdır. En büyük alt sınırı ise a 1 =1 olup A yanlıştır. (Monoton artan diziler aynı zamanda azalmayan olarak ta adlandırılabilirler.) TANIM: Bir sayısı rasyonel katsayılı bir polinomun kökü ise sayısına cebirsel aksi halde transandant(yada aşkın) sayı denir. A) yanlış. kök cebirsel olduğu halde rasyonel değildir. B) yanlış.(tanıma aykırı) C) yanlış. Kök irrasyonel olduğu halde transandant değildir. D) Doğrudur. Cebirsel sayılar kümesi doğal sayılarla birebir eşlenebileceğinden sayılabilir bir kümedir.reel sayıların alt kümesi olduğu ise açık.yanit D 1 1 çift terimliler ye tek terimliler ye 1 1 yakınsadığından üst limiti alt limiti olup yakınsak değildir.i III IV doğru II yanlıştır.yanit:b Bilgi:Rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz elemanlı bir küme olup her alt kümeside sayılabilirdir.buna göre I yanlış. Bir önceki örnektede görüldüğü üzere bir dizi yakınsak (yada ıraksak) olmayabilir. Rasyonel bir sayı dizisi irrasyonel bir sayıya yakınsayabilir. Örneğin (1+1/n) n dizisi e ye yakınsar. Bu durumda D doğrudur. Sonsuz elemanlı rasyonel bir dizinin en az bir alt dizisi vardır ki yakınsaktır.yanit:d
Simetrik olmadığından (a,b) (b,a) şartı sağlanmadığından denklik bağıntısı değildir. (a,b) (b,a) için a=b ve b a ise a = b olduğundan ters simetrik. Yansıyan ve geçişmeli olduğundan sıralama bağıntısı. Tam sıralama bağıntısı değildir. Tam sıralama olması için her (a.b) ile (c,d) karşılaştırılabilmelidir. Oysa a c için (a,b) ler (c,d) ile bu bağıntıya göre karşılaştırılamaz. YANIT C f çift ise f '() tektir.buna göre şıklar incelenirse A doğru diğerleri yanlıştır. Anlamsız bir şık 0 +yy 0 =5 den ( 0,y 0 )=(4, 3) yerine yazılırsa 4. 3y=5 olup YANIT D Teorem: serisinde seri ıraksaktır. Bu durumda A şıkkında verilen ıraksaktır. Ancak diğer şıkları incelediğimizde olduğu halde hemen yakınsak diyemeyiz. B) p serisi olup p>1 olduğundan yakınsak C) p serisi olup p>1 olduğundan yakınsak D) Geometrik seri olup r<1 olduğundan yakınsak. I yanlış. Bu ilginçtir. Türevlenebildiği halde türevi süreksiz olan fonksiyonlar vardır. Örneğin f()= sin(1/) eğer 0 ise f() = 0 eğer = 0 ise. Bu fonksiyon = 0 da türevlenebildiği halde türevi olan fonksiyon süreksizdir. II zaten doğru III doğru. Burada dikkat edilmesi gereken sınırlı ve sürekli olmasıdır.eğer sınırsız olsaydı integrallenemiyebilirdi. IV yanlış. f()= =0 da sürekli ama türevsizdir örneğin. YANIT:D
=( ) ve y= y( ) olsun. = u = +y v= y Yanıt C dir. u v=.y= 1 olup = bulunur. YANIT:C = f( 1)=f(1)=0 olup olur. Yanıt C B yddy 1 1 1 y 1 6 ydyd d ( )d 0 3 0 3 0 1 3 8 3 8 1 1 1 5 3 8 48 1 0 ÇÖZÜM SAYGIN DİNÇER hocamıza aittir. YANIT B Çözüm..( +4y +z )=(,8y,4z) gradyantı olup teğet düzlemle yüzeyin değme noktası B( 0,y 0,z 0 ) olsun. ( 0,8y 0,4z 0 ) düzleme dik vektördür. Düzlem üzerinde A(1,1,1) ise (,8,4) düzlemin dik doğrultusu olup.( 1)+8(y 1)+4(z 1)=0 aranan düzlem denklemidir. +4y+z=7 YANIT B y = 0 olduğunda yere çarpacağından y = 0 için t= saniye sonra yere çarpar. Birinci türevin t= için değeri o noktadaki hızını vereceğinden 3 t= = olup YANIT:A Çok açık 144 yanıtc
Çok açık 144 yanıtb C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)= 0+15+6+1=4 YANITC 4. ilk satırın birinci elemanı 1 dir. Bu tanıma göre B doğru yanıttır. Yanıt B Dizi sırayla yazıldığında tam ortada kalan sayıya medyan denir. Eğer çift sayıda terim varsa ortadakinin yanlarında bulunan iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Bu durumda 5 medyandır. Yanıt C Yanıt A. Her gerçel sayı IR de 4 ün bir katı olarak yazılabileceğinden {4} tüm gerçel sayıları üretir. B yanlış. Bir baz sıfır vektörünü içeremez.(çünkü sıfır vektörü lineer bağımlıdır) C) yanlış. (1,0)ve(0,1) den farklı bazlar vardır. (a,b) ve (c,d) için eğer a.d bc ise {(a,b) ve (c,d) } bazdır. D) yanlış {1,i} bir baz olup {i} baz değildir. Yanıt B eğer A tersinir ise A.=0 homojen denklem sistemini sağlayan tek bir çözüm vardır o da =0 (matris) dir. Yanıt A c için c.u=0 ancak ve ancak c=0 olmasıyla mümkündür. B ve D 0 vektörünü içerdiklerinden liner bağımsız değillerdir.
C ise u+( u)=0 olup sıfırdan farklı iki katsayı var olduğundan (1 ve 1) lineer bağımsız değildir. T nin matris gösterilimi T( 1, )=(0. 1, 1 +0. ) olup T= dır. Yanıt:C K ve L matrislerine baktığımızda Birinci ve ikinci sutunları (-1) ile çarpılmış olduğundan determinantları eşit. K nın.satırı ile birinci satırı yer değiştirdikten sonra 1 ile çarpılıp M elde edildiğinden K ile M nin determinantı da eşit. Ancak K nın sadece. Sutunu 1 ile çarpılıp N elde edildiğinden N nin determinantı K nın determinantının ters işaretlisine eşittir. Böylece doğru yanıt B W,{(,1),(6,1),(4,0)} lineer bağımsız en az iki vektör tarafından üretilebileceğinden {(,1)} W alt uzayı üretemez.(geremez) Yanıt:D =(b-a)(c-a)(c-b) olup Yanıt:C Yanıt D: A tersinir, bir başka deyişle Determinantı sıfırdan farklı olup A.=0 denkleminin sıfırdan farklı bir çözümü yoktur. Bu da aşikar çözüm dediğimiz çözümdür.aşikar olmayan(sıfırdan farklı) bir çözüm bulunamaz.
diğer gruba taşınmalıdır) Aynı nedenle II de yanlış olup III doğrudur. dönüşümü bir grup izomorfizmasıdır. Her zaman doğru olmayanı aradığımıza göre C şıkkı nın her zaman doğru olmadığını görürüz. a sıfırdan farklı olup u=0 ise a.u=0 dır. Ya da u sıfırdan farklı olup a=0 ise yine a.u=0 dır. Alt grubun mertebesi(eleman sayısı) grubun mertebesini bölmesi gerektiğinden 18 in pozitif bölen sayısı kadar alt grubu vardır.18=.3 den.3=6 tane alt grubu vardır. YanıtC Bilgi: eğer her g için g = olacak şekilde öyle bir a ve n varsa G ye devirli grup ve a ya da G nin üreteci (ya da doğuranı) denir. Buna göre ; A) 1, Z nin bir üretici olup devirlidir. B) {n: n kümesi toplamsal grup olup <>{n:n üretecidir. C) Z Z ={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)} Toplamsal grubu devirli değildir. Hiçbir elemanı üretici değildir. D) Z/<>=Z ={0,1} olup 1 denklik sınıfı Z yi üretir. Z 9 un tüm alt grup sayısı 3 den dolayı 3 tanedir. Z 9 devirli grup olduğundan her alt grubu devirli olup alt grup sayısı kadar devirli alt grubu vardır. YanıtB D şıkkı her zaman doğru değildir.örneğin Z 6 da.3=.0 olduğu halde 3 0 dır. Q rasyonel sayılar kümesinin toplamsal grubu devirli bir grup değildir. Oysa Z devirli grup olup Q Z ye izomorf olamaz.(izomorfizma eş yapıdır.yani bir gruptaki her özellik eş yapı dönüşümle bir Yanıt:D
denklemleri ortak çözümü yapılıp ' ve y' çekilirse '=.+y+1 y'= 1 YANIT:A ortak çözülürse olup olup denklemler Cos( = = dir. Yanıt: D olup aralarındaki açı 180 olup =300(pozitif yönde) 60 derece negatif yönde döndürülmüştür. Yanıt:C A) p() Q da çarpanlara ayrılamadığından Q da indirgenemezdir. DOĞRU B) p()= indirgenebilir. YANLIŞ C) IR de indirgenirse C de zaten indirgenir. YANLIŞ D) Yanlış ( Q da indirgenebilir) : Yıldıray sancağın çözümü Genel çözüm A(,y) y = 1 B (',y') doğru üzerinde olduğundan denklem sağlanır. m AB = 1 olduğundan