ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:5-Sayı/No: : 343-349 (004 DÜZELTME/ERRATUM Dergimizde Cilt 5, Sayı 'de, Sayfa 5'de yer ala yazıı tümü üzeride, şekil ve formülleri dizilişide hatalar buluduğu içi, makalei tümüü yeide basılması zorululuğu doğmuştur. I Volume 5, Number, p.5 of our joural, this paper was misprited due to pritig formulas ad figures. From this poit of view, this paper is reprited. ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE DAİRESEL VERİLERE UYGULANAN TANIMLAYICI İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER VE METEOROLOJİK BİR UYGULAMA K. Özgür PEKER, Sevil BACANLI ÖZ Bu çalışmaı amacı, dairesel verileri özelliklerii ve doğrusal verilere uygulaa temel istatistiksel yötemlerle arasıdaki farkları icelemektir. Çalışmada, dairesel veriler içi temel parametre değerlerii hesaplaması açıklamış ve dairesel veri aalizideki temel olasılık dağılımı ola vo Mises dağılımı icelemiştir. Ardıda, dairesel veriler içi ortalama yö testleri taımlamış ve vo Mises dağılımı içi ortalama yö testie ilişki kuramsal bilgiler verilmiştir. Ayrıca, Aadolu Üiversitesi Sivil Havacılık Yüksekokulu Meyda Meteoroloji İstasyo Müdürlüğü de, Aadolu Üiversitesi havaalaı içi ölçülmüş ola rüzgar yöleride oluşa veri değerlerie icelee yötemler uygulamış, elde edile souçlar değerledirilmiştir. Aahtar Kelimeler: Dairesel veri, Ortalama yö, vo Mises dağılımı, Rüzgar yöü. DESCRIPTIVE STATISTICAL METHODS APPLIED TO CIRCULAR DATA AND A METEOROLOGICAL APPLICATION ABSTRACT The aim of this study is to ivestigate the properties of circular data ad the differeces from pricipal statistical techiques of liear data. I the study, calculatios of descriptive statistics for circular data are explaied ad vo Mises distributio which is the mai probability distributio i circular data aalysis is examied. The, mea directio tests for circular data are described ad the theoretical iformatios about testig of mea directio for vo Mises distributio is give. A applicatio is also show, usig the wid directios o Aadolu Uiversity airport, obtaied from Aadolu Uiversity School of Civil Aviatio Airfield Meteorology Statio Admiistratio ad the obtaied results are evaluated. Key Words: Circular data, Mea directio, vo Mises distributio, Wid directio. Aadolu Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü, Yuusemre Kampusu, Eskeşehir; Faks: 0-30490; E-Posta: opeker@aadolu.edu.tr Hacettepe Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü Beytepe, Akara; E-Posta: sevil@hacettepe.edu.tr Geliş: 7 Ekim 003; Düzeltme: 06 Şubat 004; Kabul: Mart 004
. GİRİŞ Bir çok bilim dalı içi, yapıla herhagi bir araştırmada veri toplaması aşamasıda ölçümler açısal olarak elde edilmektedir. Bu tür yösel verileri özellikle jeoloji, meteoroloji, biyoloji, fizik, psikoloji, tıp, astroomi gibi alalarda kullaıldığı sıkça görülür. Açısal gözlemler, deeylerde farklı biçimlerde ortaya çıkarlar. Öreği biyolog, kaplumbağaları hareket yöüü icelerke, jeolog da fay hatlarıa ilişki bir araştırma yapabilir. İlk örekteki yösel araştırma iki boyutlu olarak iceleirke, ikici örekteki araştırma düya yüzeyi yaklaşık olarak bir küre şeklide olduğu içi üç boyutta iceleir. Dolayısıyla, yölere ilişki herhagi bir gözlem kümesi, yösel veri olarak adladırılır. Bu gözlemleri elde edilmeside kullaıla iki temel dairesel ölçüm aracı pusula ve saattir. Pusula ile yapılabile gözlemler arasıda, rüzgar yöleri ve kuşları uçuş yöleri sayılabilir. Bezer türdeki verilere ilişki ölçümler bir açıölçer yardımıyla da yapılabilir. Saatle yapılabilecek gözlemlere örek olarak da, bir hastaedeki acil servis birimie gele hastaları 4 saat içerisideki servise geliş zamalarıı dağılımı verilebilir. Bu türdeki veriler ay ya da yıl ciside de elde edilebilir. İki-boyutlu yöler, uygu biçimde seçilmesi gereke bir sıfır yöü ve döüş doğrultusu a göre ölçüle açılar biçimide gösterilebilirler. Burada, sıfır yöü başlagıç oktasıı ve döüş doğrultusu da pozitif yö olarak saat yöüü mü yoksa saat yöüü tersii mi kullaılacağıı belirtmektedir. Yö kavramıda herhagi bir büyüklük söz kousu olmadığıda, açısal bir gözlem değeri, merkezi oriji ola bir birim çemberi çevresi üzeride oktalarla ya da orijii bu oktalarla birleştire birim vektörlerle gösterilebilir. Bua göre derece ciside ölçülmüş tek bir gözlem θ (0 <θ?360, birim vektör olacaktır. Bu dairesel gösterimde dolayı, iki-boyutlu yölere ilişki gözlemler dairesel veri olarak da adladırılır. Burada θ ; vektör ile pozitif x- ekseii, saat yöüü tersi yöüde yaptığı açıyı gösterir. İki-boyutlu bir yöü, açı ya da birim vektör şeklideki sayısal gösterimii tek bir tae olması beklememelidir. Çükü dairesel gözlemi değeri, sıfır yöüe ve döüş doğrultusuu saat yöüde olup olmaması seçimie bağlıdır. Elde edile souçlar verile gözlem değerlerii bir foksiyoudur ve bulara verile keyfi değerlere bağlı değildir. Bu özellikleride dolayı dairesel veri aalizi, bilie istatistiksel aalizde oldukça farklıdır. Keyfi sıfır yöü ve döüş doğrultusu seçimie ilişki ölçülere duyula ihtiyaç, bilie birçok istatistiksel tekiği ve ölçüleri tamame alamsız olmasa da çoğu zama hatalı kılar. Kouyla ilgili ilk öemli çalışmalar, Mardia (97 tarafıda yapılmıştır. Mardia bu çalışmalarıda istatistik teorisii dairesel veri aalizie asıl uygulaabileceği üzeride yoğulaşmıştır. Bu alada yapıla diğer çalışmalar arasıda Fisher (993, Mardia ve Jupp (000 ve Jammalamadaka ve Se Gupta (00 bulumaktadır.. DAİRESEL VERİLER İÇİN TANIMLAYI- CI İSTATİSTİKLER.. Ortalama Yö, Bileşke Uzuluğu ve Ortalama Bileşke Uzuluğu Dairesel verilere ilişki yapıla ölçümler geellikle derece ciside yapılır. Fakat, bazı durumlarda, özellikle teoride, derece ciside ölçüle bir θ açısal gözlemii (. eşitliği yardımıyla radya ciside θ açısıa döüştürülmesi tercih edilir. ο πθ θ =, 0 < θ < π (. 80 Tek bir yöe doğru kümeleme göstere bir dairesel veri seti içi ortalama yö ölçüsüü belirleebilmesi içi, gözlem değerleri birim vektörler olarak düşüülür ve bu vektörleri bileşke vektörüü yöü kullaılır. P i ; birim çember üzeride θ i (i =,..., açısıa bağlı olarak belirlee herhagi bir okta olmak üzere, θ,...,θ açılarıı ortalama yöü θ ; OP,..., OP birim vektörlerii bileşkesii yöü olarak taımlaır. P i oktalarıı ağırlık merkezi (C,S; C = cosθ, S = siθ olmak üzere, bileşke uzuluğu R; i = C S, 0 R (. R + eşitliğide, veya ortalama yö biliiyorsa C S R = =, 0 R (.3 cosθ siθ eşitliği yardımıyla buluur. Burada, θ,..., θ açılarıı vektör bileşkesii yöü θ ; ta ( S / C, S 0, C > 0 ta ( S / C + π, C < 0 θ = ta ( S / C + π, S < 0, C 0 π/, S > 0, C = 0 ta ms ι z ι, S = 0, C = 0 (.4 biçimide taımlaır ve ortalama yö olarak adladırılır. Ortalama bileşke uzuluğu R ise; R = R /, 0 R (.5 olarak verilir. Dolayısıyla, verile bir açısal gözlem kümesi içi, öcelikle bu değerler dik koordiatlara döüştürülür ve bileşke vektörü buluabilmesi içi toplaır. Böylece bu bileşke vektörü yöü ola θ, (.4 eşitliği kullaılarak elde edilir. Burada, R = 0 durumuda (C = 0 ve S = 0, dairesel ortalama taımsızdır. Bileşke vektörü sıfır uzuluğa sahip olması, verii çember üzeride herhagi bir yöe doğru yoğulaşma göstermediğii, yai düzgü dağıldığıı gösterir. Bu durumda, verii i
herhagi bir tercih edile yöü ya da ortalama yöü bulumamaktadır. Gruplamış dairesel serilerde ise geel bir yaklaşım olarak, bir aralıktaki tüm gözlem değerlerii o aralığı orta oktası olduğu varsayımı kullaılır. Öreği, sayıda orjial gözlem değeri k tae sııfa göre grupladığıda, i-ici sııfı orta oktası θ i ve sıklığı k f i, i =,...,k ; f i = olmak üzere; k k C = f i cosθ i, S = f i siθ i, = C S (.6 R + değerleri hesaplaır... Yoğulaşma Parametresi Yoğulaşma parametresi κ ı e çok olabilirlik tahmii κˆ ; A ( ˆ κ = R / = R (.7 Eşitlik (.7 ı çözümüdür. Burada R ; A (x = I (x / I 0 (x (.8 döüştürülmüş iki Bessel foksiyouu oraıdır. Eşitlik (.7 i çözümü içi uygu bir yaklaşım ise; 3 5 R + R + 5R / 6 R < 0.53 ˆ κ = 0.4 +.39R + 0.43/( R 0.53 R < 0.85 (.9 3 /( R 4R + 3R R 0.85 ile verilir (Fisher 993..3. Dairesel Varyas Bileşke uzuluğu R, verii ortalama yö etrafıdaki yoğulaşma miktarıı gösterir. Bütü gözlem oktaları (birim vektörler ayı yöe doğru büyük bir yoğulaşma gösteriyor ise, R değerii büyüklüğü e yakı buluacaktır. Buu aksie, veriler herhagi bir yoğulaşma göstermeksizi çember üzeride düzgü bir dağılım gösteriyor ise, R değeri sıfıra çok yakı bir değer alacaktır. V = cos( θ i θ ile taımladığıda (Mardia 97; V = (cosθ i cosθ + siθi siθ = ( C cosθ + S siθ = ( R cosθ cosθ + Rsiθ siθ = R olur ve souç olarak; V = R, 0 V (.0 değerie ulaşılır. (.0 eşitliği, öreklem dairesel varyası olarak taımlaır. Doğrusal veri varyasıda olduğu gibi, dairesel varyas değeri küçüldükçe, dağılım homojeleşir. sayıda dairesel gözlem θ ortalama yöü etrafıda kümelemiş ise R, e yakı bir değer alır ve dairesel varyas sıfıra yakı çıkar. Yöler geiş bir dağılım göstermiş ise, R değeri küçük ve dairesel varyas e yakı olacaktır..4. Dairesel Stadart Sapma V değerii (0, aralığıa uygu bir döüşümü; ν = { log ( V } / e (. biçimide taımlaır. ν ölçüsü, doğru üzerideki bilie stadart sapmaya bezemektedir. Kuramsal araştırmalarda, V ve R değerleri ν değeride daha çok kullaılmaktadır. V i küçük değerleride, dairesel stadart sapma; / ν = ( V (. biçimidedir (Mardia 97..5. Dairesel Saçılım Dairesel saçılım; ρ δ = (.3 R biçimide taımlaır. Eşitlikte; ρ = cos ( θ θ (.4 i değeri merkezi ikici trigoometrik mometi göstermektedir (Fisher 993. Dairesel saçılım daha çok, ortalama yö içi güve aralığıı hesaplamasıda, ortalama yöleri karşılaştırılmasıda ve birleştirilmeside kullaılmaktadır..6. Dairesel Stadart Hata Ortalama yö tahmiii dairesel stadart hatası; δ σ = (.5 formülü ile hesaplaır. Burada, dairesel saçılım değeri Eşitlik (.3 de buluur (Fisher 993. Dairesel stadart hata özellikle, ortalama yö içi güve aralıklarıı belirlemeside kullaılmaktadır..7. Medya Yöü Birim çember üzerideki oktalarda oluşa bir veri kümesii verildiği varsayılsı. Bu oktalarda herhagi bir P oktası aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, P oktası öreklemi medyaı olarak adladırılır. (i Öreklem oktalarıı yarısı P oktasıda geçe PQ çapıı her iki tarafıda bulumaktadır.
(ii Öreklem oktalarıı çoğuluğu P oktasıa Q oktasıda daha yakıdır. Bu koşulları sağlaya OP vektörüe öreklemi medya yöü adı verilir. Medya yöü, θ ~ simgesiyle gösterilir ve ~ ~ θ + π θ + π ~ θ θ + π f ( θ dθ = f ( θ dθ = (.6 ~ biçimide taımlaa itegrali çözümü ile buluur. Simetrik bir dağılım içi, medya yöü simetri ekseide olacaktır. Medya tek bir tae olmayabilir. Fakat, bütü tek modlu dağılımlar tek medyaa sahiptir (Mardia 97. Gruplamış bir seri içi medya yöü; ~ f0 θ = l + h (.7 f + f0 ile verilir. Burada; l: medya sııfıı alt sıırıı, f 0 : medya sııfıı (θ i 80,θ i aralığıdaki sıklığıı, f + : medya sııfıda bir soraki sııfı (θ i 80,θ i aralığıdaki sıklığıı ve h: sııf aralığıı uzuluğuu gösterir..8. Mod Yöü Mod yöü ( θ ; verii e fazla yoğulaştığı yö alamıa gelir. Verile bir sıklık dağılımıı mod yöü, kesim oktası seçimide sora bilie mod hesaplama yötemiyle buluur. Gruplamış bir seride mod yöü; ( f0 f θ = l + h (.8 f0 f f+ eşitliği ile elde edilir. Burada; l: mod sııfıı alt sıırıı, f 0 : mod sııfıı sıklığıı, f : mod sııfıda bir öceki sııfı sıklığıı, f + : mod sııfıda bir soraki sııfı sıklığıı ve h: sııf aralığıı uzuluğuu gösterir (Mardia 97. 3. VON MISES DAĞILIMI Bir θ dairesel raslatı değişkei, vo Mises dağılımıa sahipse, olasılık yoğuluk foksiyou; VM(μ,κ: κ cos( θ μ f ( θ; μ, κ = e, π I0 ( κ 0 θ < π, κ 0, 0 μ < π (3. biçimide taımlaır. Burada, I 0 (κ; birici tür ve sıfır sırasıda döüştürülmüş Bessel foksiyoudur ve π κ cos( φ μ 0 ( κ = e d I φ (3. π 0 olarak verilir. Vo Mises dağılımıda κ değerii büyük olması, aakütle ortalama yöü ve mod yöü etrafıda daha büyük bir kümeleme olduğuu gösterir. Bua göre κ, ortalama yöe ilişki yoğulaşmayı ölçe bir parametredir (Jammalamadaka ve Se Gupta 00. Doğrusal veri setleri içi, ormal dağılım, sıkça kullaıla bir dağılım olmakla birlikte, şekilsel istatistiksel aaliz, σ değerie bakılmaksızı yapılabilmektedir. Fakat, dairesel veri setleri içi temel dağılım ola vo Mises dağılımıda ise, şekilsel istatistiksel aaliz κ değerie bakılmada yapılamamaktadır. Yoğulaşma parametresii, dairesel varyas ile ola ilişkisi; V = ρ = A(κ (3.3 biçimide taımlaır (Mardia 97. Vo Mises dağılımıı mometleri; Ortalama yö : μ Ortalama bileşke uzuluğu : ρ = A (κ Dairesel saçılım : δ = κa ( κ α p = A p (κ β p = 0, p biçimidedir. 4. DAİRESEL VERİLERDE TEK ÖRNEK- LEM ORTALAMA YÖN TESTLERİ 4.. Tek Öreklem Ortalama Yö Testi Belirlee bir α alamlılık seviyeside H 0 : μ = μ 0 hipotezii, H : μ μ 0 alteratif hipotezie karşı testi içi iki durum söz kousudur. Birici yötem, ortalama yö içi güve aralığıı belirlemesi yoluyla test uygulamak, ikicisi ise, öreklem hacmie dayalı olarak doğruda test uygulamaktır. Güve aralığıı belirlemesi yötemide, ortalama yöü dairesel stadart hatasıda yararlaılır. Bua göre sırasıyla; ρ δ ρ = cos ( θi θ, δ = ve σ = R değerleri hesaplaır. Bu işlemlerde sora, ortalama yö içi ( α lık güve aralığı; (μ 0 si (z α/ σ, μ 0 + si (z α/ σ (4. ile buluur. Burada, z α/ ; stadart ormal dağılım tablosuda elde edilir. Kurulacak hipotezler; H 0 : μ = μ 0 H : μ μ 0 (4. olduğuda, ortalama yö değeri (4. de verile aralığı içide ise, α alamlılık seviyeside H 0 hipotezi kabul edilir, aksi halde reddedilir (Fisher 993 ve İal ve Güay 999.
Öreklem hacmie dayalı test ise, uygu bir güve aralığıı belirleemediği durumda doğruda uygulaabilmektedir. Fakat bu test, öreklem hacmi 5 veya daha fazla olduğuda kullaılabilir. Bu yöteme göre, öcelikle dairesel stadart hata σ yukarıda verile testteki gibi hesaplaır. Test istatistiği; si( θ μ0 S = (4.3 σ olarak verilir. Bu değer α güveilirlik seviyeside, stadart ormal dağılım tablosuda elde edile değerle karşılaştırılır. S değeri tablo değeride büyük olduğuda H 0 hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir (Fisher 993. 4.. Vo Mises Dağılımıa Sahip Aakütlelerde Ortalama Yö Testi Bu kesimde, icelee aakütlei μ ortalama yöü ve κ yoğuluk parametresi ile vo Mises dağılımıa VM(μ,κ sahip olduğu varsayımı altıda, ortalama yöü μ 0 gibi bir değere eşit olup olmadığı testi iceleecektir. İlk olarak, ortalama yö içi güve aralığıı belirlemesi yötemiyle uygulaa test iceleecektir. Doğruda test uygulamasıda ise, yoğulaşma parametresii bilidiği ve bilimediği durum olmak üzere iki durum söz kousudur. Güve aralığı belirleerek uygulaa testte, ortalama yö içi dairesel stadart hata değeri hesaplaır. Fakat, burada vo Mises dağılımı içi özel bir hal ala stadart hata formülü kullaılmaktadır. σ VM = (4.4 R ˆ κ Bua göre; ortalama yö içi ( α lık güve aralığı; (μ 0 si (z α/ σ VM, μ 0 + si (z α/ σ VM (4.5 olur. Ortalama yö değeri (4.5 te verile aralığı içide yer alıyorsa, α alamlılık seviyeside H 0 hipotezi kabul edilir, aksi halde reddedilir. Güve aralığı belirlemede doğruda yapıla test, öreklem hacmi ve yoğulaşma parametresi κˆ tahmi değerii büyüklüğüe bağlı olarak uygulaır. Yoğulaşma parametresii bilimediği durumda, vo Mises dağılımı içi ortalama yöü dairesel stadart hatası σ VM Eşitlik (4.4 teki gibi hesaplaır. Test istatistiği ise; si( θ μ0 E = (4.6 σ VM olarak verilir. Bu değer α güveilirlik seviyeside, stadart ormal dağılım tablosuda elde edile değerle karşılaştırılır. Karşılaştırmalar alteratif hipotezi değişik durumları içi aşağıdaki gibi yapılır: H 0 : μ = μ 0, H : μ μ 0 testi içi E > z α/ ise H 0 red, H 0 : μ = μ 0, H : μ < μ 0 testi içi μ 0 π < θ < μ 0 ve E < z α ise H 0 red, H 0 : μ = μ 0, H : μ > μ 0 testi içi θ < μ 0 + π ve E > z α ise H 0 red. Test, ve κˆ ı aldığı değerlere bağlı olarak aşağıdaki durumlarda kullaılır: Çizelge. ve κ değerlerie bağlı olarak testi uygulaabildiği durumlar κˆ 0.4 κˆ <.0 5.0 κˆ <.5 5.5 κˆ <.0 0 κˆ.0 Bütü ler Yoğulaşma parametresi κ ı κ 0 gibi bilie bir değere eşit olduğu varsayıldığıda; κ 0 ise, Vo Mises dağılımı içi ortalama yöü dairesel stadart hatası σ VM ; σ VM = (4.7 ρκ 0 biçimidedir. Test istatistiği ise; si( θ μ0 E = (4.8 σ VM olarak verilir. Bu değer α güveilirlik seviyeside, stadart ormal dağılım tablosuda elde edile değerle karşılaştırılır. H 0 : μ = μ 0, H : μ μ 0 testi içi E > z α/ ise H 0 red, H 0 : μ = μ 0, H : μ < μ 0 testi içi μ 0 π < θ < μ 0 ve E < z α ise H 0 red, H 0 : μ = μ 0, H : μ > μ 0 testi içi θ < μ 0 + π ve E > z α ise H 0 red. (Fisher 993. 5. UYGULAMA Dairesel verileri e çok kullaıldığı alalarda birisi meteorolojik gözlem çalışmalarıdır. Yukarıda icelee yötemleri gerçek veriler üzeride uygulaması amacıyla, Aadolu Üiversitesi Sivil Havacılık Yüksekokulu Meyda Meteoroloji İstasyo Müdürlüğü de, Aadolu Üiversitesi havaalaı içi ölçüle ve rüzgar yöleri ve rüzgar hızlarıda oluşa veri seti elde edilmiştir. Bu rüzgar yöü verileri açısal gözlemlerde oluşmaktadır. Gözlemler 5 er saiyelik zama aralıklarıda ölçülmektedir. Burada, öcelikle elde edile veriler şematik olarak verilecek, taımlayıcı istatistikleri elde edilecek ve ardıda tek öreklem ortalama yö testi uygulaacaktır. Uygulamada ele alıa veriler 9 Eylül 00 tarihide saat :00 da 8:00 a kadar yapıla 5 er dakikalık rüzgar yöü ve hızı ölçümleride oluşmaktadır. Bu tarihte, verile saat aralığıda 73 er rüzgar yöü ve
hızı verisi elde edilmiştir. Bu dairesel gözlem değerleri içi elde edile dairesel grafikler aşağıda verilmektedir. Şekil- de, verileri ham veri grafiği görülmektedir. Belirlee gü ve saat içi seçile 73 gözlem değeri içi S-Plus ve Oriaa paket programları kullaılarak elde edile taımlayıcı istatistik değerleri; ortalama rüzgar yöü: θ = 9.364, ortalama rüzgar hızı: 3.6 km/saat, bileşke uzuluğu: R = 69.496, ortalama bileşke uzuluğu: R = 0.95, yoğulaşma parametresi tahmii: κˆ = 0.65, dairesel varyas: V = 0.048, dairesel stadart sapma: ν = 8.003 ve dairesel stadart hata: σ =.06 olarak buluur. Seçile öreklem 9.364 lük ortalama yöü ve 0.65 lik yoğuluk parametresi ile vo Mises dağılımıa VM(9.36, 0.65 sahiptir. Şekil- Rüzgar yöü verilerii ham veri grafiği Şekil- se, rüzgar yöü verilerii 0 lik grup geişliği seçildiği durumdaki dairesel histogramı görülmektedir. Güve aralığıı belirlemesi yötemiyle ortalama yö test edilmek istediğide kurulacak hipotezler; H 0 : μ = 9 H : μ 9 biçimide olsu. Eşitlik (4.4 e göre; σ VM = = 0.0367574 73(0.95(0.65 elde edilir. Bua göre; ortalama yö μ içi ( α lık güve aralığı (4.5 te yararlaılarak; (9.364 si ((.9604(0.0367574, 9.364 + si ((.9604(0.0367574 = (5.3, 33.50 olacaktır. % 95 lik bu güve aralığıı grafik gösterimi Şekil-4 te verilmektedir. Şekil- Rüzgar yöü verilerii dairesel histogramı Şekil-3 te, rüzgar yöü verilerii 0 lik grup geişliği seçildiği durumdaki gül şeması görülmektedir. Şekil-4 Rüzgar yöü verileride ortalama rüzgar yöü içi % 95 lik güve aralığı Burada α = 0.05 olarak alımıştır. H 0 hipotezide verile 9 değeri verile aralığı içide yer aldığı içi, %5 alamlılık seviyeside H 0 hipotezi kabul edilir. Ortalama yö 9 dir. Doğruda test uygulamak istediğide daha öce de belirtildiği gibi, yoğulaşma parametresi κ ı bilidiği ve bilimediği durum olmak üzere iki durum söz kousudur. Şekil-3 Rüzgar yöü verilerii gül şeması Şekillerde de görüldüğü gibi, veriler 84 6 aralığıda değer almakta ve dağılımı şekli vo Mises dağılımıa uymaktadır. Öce κ ı bilimediği durum göz öüe alısı. Buradaki test istatistiği (4.6 eşitliğide; si(9.364 9 E = = 0.78 0.0367574 olarak buluur. 0.78 <.9604 olduğuda 0.05 alamlılık seviyeside H 0 hipotezi kabul edilir. Ortalama yö 9 ye eşittir.
κ ı bilidiği durumda ise, κ 0 = 0 değeri göz öüe alısı. κ 0 olduğuda, vo Mises dağılımı içi ortalama yöü dairesel stadart hatası σ VM (4.7 eşitliğide; σ VM = = 0.0379333 73(0.95(0 olarak elde edilir. Test istatistiği Eşitlik (4.8 de; E si(9.364 9 = = 0.675 0.0379333 buluur. 0.675 <.9604 olduğuda %5 alamlılık seviyeside H 0 hipotezi kabul edilir. Bua göre 9 Eylül tarihide de saat :00 ile 8:00 saatleri arasıdaki ortalama rüzgar yöü 9 ve ortalama rüzgar hızı 3.6 km/saat olacaktır. Dolayısıyla 30 Eylül tarihide Aadolu Üiversitesi havaalaıda kalkış ya da iiş yapacak ola uçaklar bu rüzgar yöü ve hızı bilgiside yararlaabilirler. 6. TARTIŞMA VE SONUÇ Araştırmalarda, elde edile gözlem değerleri doğrusal ya da dairesel olabilir. Fakat, dairesel verileri kullaıldığı araştırmalarda bilie istatistiksel yötemleri kullaılması araştırmacıyı yalış souçlara götürmektedir. Bu çalışmada, dairesel veriler içi istatistiksel gösterim yötemleri, taımlayıcı istatistikleri hesaplaması ve ortalama yö içi hipotez testleri icelemiştir. So yirmi yılda veri gösterimi, korelasyo, regresyo ve zamaa ya da kouma bağlı yapıdaki verileri aalizi üzeride durulmakla birlikte, yösel veri çalışmaları, araştırmacılara çok geiş bir alada ilerleme olaağı vermekte ve yei istatistiksel yötemler geliştirmede çok verimli bir ala olduğu görülmektedir. Ayrıca doğal, fiziksel, tıbbi ve de sosyal bilimlerde ortaya çıka problemler içi yei ve farklı uygulamalar geliştirilebilmektedir (Peker 00. KAYNAKÇA Aje, B. (968. A simple Test For Ui-formity of a Circular Distributio, Biometrika, 55, 343-354. Cheeey, R. F. (983. Statistical Methods i Geology, George Alle ad Uwi (Publishers Ltd., Lodo, UK. Davis, J. C. (986. Statistics ad data aalysis i Geology, d ed., Joh Wiley, New York, USA. Gumbel, E. J., Greewood, J. A. ve Durad, D. (953. The Circular Normal Distributio: Theory ad Tables, J. Amer. Statist. Ass. 48, 3-5. İal, H. C. ve Güay, S. (999. Olasılık ve Matematiksel İstatistik, (4. Baskı H.Ü. Fe Fakültesi Basımevi, Beytepe, Akara. Jammalamadaka, S. R. ve Se Gupta, A. (00. Topics i Circular Statistics, World Scietific Publishig Co. Pte. Ltd., Lodo, Eglad. Mardia, K. V. (97. Statistics of Directioal Data, Academic Press, Lodo, Eglad. Mardia, K. V. ve Jupp, P. E. (000. Directioal Statistics, Joh Wiley & Sos Ltd., Chichester, Eglad. Peker, K. Ö. (00. Dairesel Veriler ve Ardışık Testlerde Kullaımı, Aadolu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Doktora Tezi, Eskişehir. Stephes, M. A. (969. Tests for radomess of directios agaist two circular alteratives, America Statistical Associatio Joural 80-89. Kadir Özgür Peker, lisas öğreimii Hacettepe Üiversitesi İstatistik Bölümü de 994 de, yüksek lisas öğreimii yie ayı bölümde, 998 de, doktorasıı da Aadolu Üiversitesi İstatistik Aabilim da-lıda 00 de tamamlamıştır. 00 de bu yaa ayı bölümde yardımcı doçet olarak çalışmaktadır. Sevil Bacalı, lisas öğreimii Hacettepe Üiversitesi İstatistik Bölümü de 986 da, yüksek lisas öğreimii 988- de, doktorasıı 995 de yie ayı bölümde tamamlamıştır. 995 te bu yaa ayı bölümde yardımcı doçet olarak çalışmaktadır. Er, F. (00. Dairesel (Circular Veri Aalizide Kullaıla İstatistiksel Tekiklere Bir Bakış,. İstatistik Kogresi, Atalya, Türkiye. Fisher, N. I. (993. Statistical Aalysis of Circular Data, Cambridge Uiversity Press, Cambridge, Great Britai.