DOKTORA TEZİ. Metin KOÇ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ Metin KOÇ SONLU SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2010

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SONLU SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez.../.../... tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.... Doç.Dr.Hayrullah AYIK DANIŞMAN... Prof.Dr.Yusuf ÜNLÜ ÜYE... Prof.Dr.Bilal VATANSEVER ÜYE... Doç.Dr.Gonca AYIK ÜYE... Yrd.Doç.Dr.Ersin KIRAL ÜYE Bu tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof.Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

Sevgili Annem e ve Babam a

ÖZ DOKTORA TEZİ SONLU SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman: Doç.Dr.Hayrullah AYIK Yıl: 2010, Sayfa: 55 Jüri: Doç.Dr.Hayrullah AYIK Prof.Dr.Yusuf ÜNLÜ Prof.Dr.Bilal VATANSEVER Doç.Dr.Gonca AYIK Yrd.Doç.Dr.Ersin KIRAL X n {1,2,...,n} kümesi üzerindeki, tüm sırakoruyan dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrup ile tüm sırakoruyan ve azalan dönüşümlerin oluşturduğu oluşturduğu yarıgrup sırasıyla O n ve C n ile gösterilsin. Herhangi bir α dönüşümü için fix(α) {x X n : xα x} olarak tanımlayalım. Bu çalışmada bir Y X n için O n,y {α O n : fix(α) Y } ve C n,y {α C n : fix(α) Y } şeklinde tanımlı kümelerin eleman sayılarını bulacağız. Ayrıca O n ve C n yarıgruplarının r tane sabit noktalı elemanlarının sayılarını bulacağız. Anahtar Kelimeler: Dönüşüm yarıgrupları, kısmi dönüşüm, sıra-koruyan,orbit, sabit nokta. I

ABSTRACT PhD THESIS ORBITS IN FINITE SEMIGROUPS OF ORDER PRESERVING TRANSFORMATIONS Metin KOÇ DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor: Assoc.Prof.Dr.Hayrullah AYIK Year: 2010, Pages: 55 Jury: Assoc.Prof.Dr.Hayrullah AYIK Prof.Dr.Yusuf ÜNLÜ Prof.Dr.Bilal VATANSEVER Assoc.Prof.Dr.Gonca AYIK Asst.Prof.Dr. Ersin KIRAL Let O n and C n be the semigroup of all order-preserving transformations and of all order-preserving and order-decreasing transformations on the finite set X n {1,2,...,n}, respectively. Let fix(α) {x X n : xα x} for any transformation α. In this thesis, for any Y X n, we find the cardinalities of the sets O n,y {α O n : fix(α) Y } and C n,y {α C n : fix(α) Y }. Moreover, we find the numbers of transformations of O n and C n with r fixed points. Key Words: Transformation semigroups, partial transformation, orderpreserving,orbit,fixed point. II

TEŞEKKÜR Yüksek lisans çalışmamda olduğu gibi bu çalışmamın her aşamasında benden desteğini esirgemeyen değerli hocam Doç.Dr. Hayrullah Ayık a çok teşekkkür ederim. Ayrıca aileme, değerli arkadaşım Orhan Sönmez e, jüri üyelerinden Prof. Dr Yusuf Ünlü, Prof. Dr. Bilal Vatansever, Doç. Dr. Gonca Ayık ve Yrd. Doç. Dr. Ersin Kıral a ve Ç. Ü. Matematik bölümünün tüm öğretim elemanlarına yardımları ve destekleri için teşekkür ederim. III

İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ........................................ I ABSTRACT................................... II TEŞEKKÜR................................... III İÇİNDEKİLER.................................. IV 1 GİRİŞ..................................... 1 2 TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR................... 3 2.1 Orbit................................... 5 2.2 Parçalanış................................ 8 3 SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ... 11 3.1 Tek-orbitli Sırakoruyan Dönüşümler.................. 11 3.2 Sırakoruyan Dönüşümlerde Tek-Orbitli Elemanların Sayısı...... 16 4 SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI............ 23 4.1 Sırakoruyan dönüşümlerde iki tane Sabit Noktası Olan Dönüşümlerin Sayısı.................................. 23 4.2 Sırakoruyan dönüşümlerde r 2 tane sabit noktası olan dönüşümlerin sayısı.................................. 27 5 AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER...................... 33 5.1 Azalan ve Sırakoruyan Dönüşümlerde Belirli r Sabit Noktası Olan Dönüşümlerin sayısı.......................... 33 5.2 Azalan ve Sırakoruyan Dönüşümlerde r Orbitli Dönüşümlerin Sayısı. 35 6 KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN ORBİTLERİ........ 41 6.1 Kısmi Sırakoruyan Dönüşümlerde Tek-orbitli Nilpotent Elemanların Sayısı.................................. 47 KAYNAKLAR.................................. 53 ÖZGEÇMİŞ................................... 55 IV

1. GİRİŞ Metin KOÇ 1. GİRİŞ Yarıgrup teorisi, matematikte bir çalışma alanı olarak yaklaşık 60 yıldır çalışılmaktadır. Dönüşüm yarıgrupları ise yarıgrup teorisinde en çok çalışılan konulardan biridir. Her sonlu yarıgrup sonlu bir dönüşüm yarıgrubuna gömülebileceğinden sonlu dönüşüm yarıgrupları, yarıgrup teorisindeki en önemli konulardan biridir. Bu çalışmada temel olarak, sonlu X n {1,2,...,n} kümesi üzerindeki sırakoruyan dönüşümerin oluşturduğu yarıgrubun,sırakoruyan ve azalan dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrubun ve kısmi sırakoruyan dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrubun bir ve birden fazla orbitli elemanların sayılarını veren formüller verilmiştir. Tez boyunca X n {1,2,...,n} kümesi üzerindeki tüm dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrubu T n ile göstereceğiz. T n yarıgrubunun bir altyarıgrubu olan sırakoruyan dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrubu O n,sırakoruyan ve azalan dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrubu C n ile ve kısmi sırakoruyan dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrubu PO n ile göstereceğiz. Bu dönüşüm yarıgrupları yarıgrupları ile ilgili bilinen ilk çalışmalar, Tainiter (1968) in T n yarıgrubunun idempotent elemanlarının sayısını vermesiyle başlamıştır. Howie (1970) ise, O n yarıgrubunun eleman sayısını hesaplamış ve O n yarıgrubunun idempotent elemanlarının sayısının 2n-inci Fibonacci sayısına eşit olduğunu göstermiştir. Higgins (1993) ise, C n yarıgrubunun eleman sayısının n-inci Catalan sayısına eşit olduğunu göstermiş ve C n yarıgrubunun idempotent elemanlarının sayısını hesaplamıştır. Ayık G., Ayık H., Howie J. M. ve Ünlü Y. (2005) T n yarıgrubunun orbit yapısını inceledililer. Laradji A. ve Umar A. (2006) ise O n yarıgrubunun bir ve birden fazla sabit noktası olan elemanlarının sayısını hesaplamıştır. Sabit nokta ve orbit kavramı O n yarıgrubunun önemli özelliklerinin ortaya çıkmasını sağlamaktadır. Bu tezde elde edilen en önemli sonuç,sırakoruyan bir dönüşümün sabit noktalarıyla orbitleri arasında birebir ilişki olmasıdır. Tezin üçüncü bölümünde sırakoruyan bir dönüşümün tek orbitli olması için gerek ve yeter koşulun tek sabit noktası olması gösterilmiştir. Ayrıca bu özellikten faydalanarak sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunun tek orbitli elemanlarının sayısı hesaplanmıştır. Sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunda bir elemanının orbitlerini in- 1

1. GİRİŞ Metin KOÇ celediğimizde bu orbitlerin X n {1,2,...,n} kümesini sıralı ayrık parçalara ayırdığını ve böylece iki veya daha fazla orbitli sırakroyan dönüşümlerin sayısını veren formül dördüncü bölümde verilmiştir. Beşinci bölümde, O n de tüm azalan dönüşümlerin tek orbitli elemanlarının sayısını veren formülden ve dördüncü bölümdeki gibi sıralı ve parçalanıştan faydalanarak C n yarıgrubunun iki veya daha fazla orbitli elemanlarının sayısını veren formül verilmiştir. Altıncı bölümde kısmi sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunda orbit kavramını, buna bağlı olarak kısmi sırakoruyan dönüşümlerin nilpoten elemanların yapısı incelenmiştir. Sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunun orbitleri incelenirken sabit nokta ile arasındaki ilişkiye benzer ilişki kısmi sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunda orbitlerla sabit nokta ve boş nokta arasında kurulmuştur. Kısmi sırakoruyan bir dönüşümün nilpotent bir dönüşüm olması için gerek ve yeter koşulun en az bir boş noktasının olması ve sabit noktasının olmaması gerektiği ispatlanmıştır. Ayrıca kısmi sırakoruyan dönüşümlerde tek orbitli nipotent elemanların sayısının sırakoruyan dönüşümlerdeki tek orbitli elemanların sayısına eşit olduğu gösterilmiştir. 2

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ 2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Tanım 2.1 S bir yarıgrup olsun. z S olmak üzere her a S için za z ise z ye S nin bir sol sıfır elemanı, eğer her a S için az z ise z ye S nin bir sağ sıfır elemanı denir. Hem sağ sıfır hem de sol sıfır olan bir elemana sadece sıfır eleman denir. Bir yarıgrupta sıfır eleman mevcut ise tektir. Ayrıca sıfır içeren bir yarıgrub, en az iki elemanlı kabul edilir. Tanım 2.2 S bir yarıgrup olsun. Eğer e S için e 2 e ise e ye bir idempotent eleman denir. Ayrıca her elemanı idempotent olan bir yarıgruba da bir band denir. S yarıgrubunun tüm idempotentlerinin kümesi E(S) ile gösterilir. Tanım 2.3 S bir yarıgrup ve z de S nin sıfır elemanı olsun. Eğer a S için a k z olacak şekilde bir k Z + varsa a ya nilpotent eleman denir. S yarıgrubunun tüm nilpotent elemanlarının kümesi N(S) ile gösterilir. Eğer z S sıfır eleman ise z N(S) Tanım 2.4 S bir yarıgrup ve T S olsun. Her a,b T için ab T ise T ye S nin bir altyarıgrubu denir. Tanım 2.5 X n {1,2,...,n} olmak üzere X n üzerindeki tüm dönüşümlerin bileşke işlemi ile oluşturduğu yarıgruba, X n üzerindeki tüm dönüşümler yarıgrubu denir, ve T n ile gösterilir. Tanım 2.6 Her α T n için im(α) {k X n : iα k, i X n } ve def(α) X n im(α) {k X n : iα k ( i X n )} olarak tanımlanır. Tanım 2.7 X n {1,2,...,n} olmak üzere X n üzerindeki tüm kısmi dönüşümlerin bileşke işlemi ile oluşturduğu yarıgruba, X n üzerindeki kısmi dönüşümler yarıgrubu denir, ve P n ile gösterilir. 3

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ Tanım 2.8 Her α P n için dom(α) {k X n : kα im(α)}, olarak tanımlanır. Eğer α P n ise 0 dom(α) n Tanım 2.9 X n üzerindeki doğal sıralama ile α T n için 1α 2α nα ise α ya sıra koruyan dönüşüm denir. X n üzerindeki tüm sırakoruyan dönüşümlerin oluşturduğu küme O n ile gösterilir. Tanım 2.10 X n üzerindeki doğal sıralama ile α P n için dom(α) {x 1,x 2,...,x r } ve x 1 < < x r olsun. Eğer x 1 α x 2 α x r α ise α ya kısmi sıra koruyan dönüşüm denir. X n üzerindeki tüm sırakoruyan dönüşümlerin oluşturduğu küme PO n ile gösterilir. Kolayca gösterilir ki O n, T n nin bir alt yarıgrubudur, ve O n e X n üzerindeki (tüm) sırakoruyan dönüşümler yarıgrubu denir. Benzer şekilde PO n e X n üzerindeki (tüm) kısmi sırakoruyan dönüşümler yarıgrubu denir. Ayrıca, O n, PO n nin bir alt yarıgrubudur. Tanım 2.11 α T n ve m X n olsun. Eğer mα m ise m ye α nın bir sabit noktası denir. α nın tüm sabit noktalarının kümesini fix(α) ile göstereceğiz. Bu durumda fix(α) {x X n : xα x} Tanım 2.12 Herhangi bir Y X n için O n,y {α O n : fix(α) Y } olarak tanımlıdır. Eğer bir m X n için Y {m} ise O n,{m} nin eleman sayısı c n,m ile gösterilir. 4

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ 2.1. Orbit P n, X n üzerinde tanımlı tüm dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrup olsun. X n üzerinde bağıntısını aşağıdaki gibi tanımlayalım: Her x,y X n için x y xα r yα s olacak şekilde negatif olmayan r, s tamsayılarının mevcut olmasıdır. Bu şekilde tanımlanan bağıntısı bir denklik bağıntısı olup, denklik sınıfları Ω 1,Ω 2,...,Ω m şeklinde semboller ile gösterilir, ve α nın orbitleri denir. Örnek 2.13 α O 9 elemanını α olarak alalım. Böylece α nın orbitleri; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 3 3 6 6 6 9 9 Ω 1 {1,2,3,4}, Ω 2 {5,6,7}, Ω 3 {8,9} Ayrıca, dikkat edilir ise orbitler konvekstir, yani x < y < z ve x,z Ω ise y Ω dir. Örnek 2.14 α PO 9 elemanını α olarak alalım. Böylece α nın orbitleri; Ayrıca orbitler konvekstir. sayısı kadardır. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 3 3 6 6 9 Ω 1 {1,2,3,4}, Ω 2 {5,6,7}, Ω 3 {8,9} Kolayca görülür ki PO n orbitlerinin sayısı en az X n dom(α) kümesinin Herhangi bir α P n için köşe kümesi X n olan diyagramı (yönlendirilmiş grafiği) Γ α aşağıda ki gibi tanımlayalım: Köşe Kümesi: Kenar Kümesi: V (Γ α ) X n E(Γ α ) {(x,xα) : x dom(α)}. 5

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ Dolayısıyla Γ α, n köşeli ve en fazla n kenarı olan bir diyagramdır. Eğer α T n ise Γ α, n köşeli ve n kenarlı bir diyagramdır. loop denir. Ayrıca, eğer xα x ise (x, xα) sıralı ikilisine Örnek 2.15 α Γ α : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 3 3 6 6 6 9 9 1 r r r 3 r 2 4 r r 6 r 5 7 Yukardaki örnekte görüldüğü gibi α O n O 9 için alalım. O zaman r8 r9 ise α nın herbir orbiti Γ α nın bağlantılı bir bileşenidir. Ayrıca herbir bileşen bir loop ve ona (loop a) eklenmiş bir ağaçtan ibarettir. Önerme 2.16 α O n olsun. O zaman Γ α nın herbir bağlantılı bileşeni bir loop ve ona (loop a) eklenmiş bir ağaçtan ibarettir. Ayrıca, her bir orbit konvekstir. İspat için bakınız (Higgins,1993). Tanım 2.17 Herhangi bir n Z + için C n 1 ( ) 2n n + 1 n olarak tanımlanan C n sayısına n. Catalan sayısı denir. Tanımdan kolayca görüleceği üzere C n 1 ( ) 2n 1 ( ) 2n, n n 1 n n + 1 ve ayrıca, C 1 1 Biz C 0 1 kabul edeceğiz. 6

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ Tanım 2.18 α O n olsun. Eğer her x X n için xα x ise α ya azalan ve sıra koruyan dönüşüm denir. Tüm azalan ve sırakoruyan dönüşümlerin kümesi C n ile gösterilir. Tanım 2.19 α O n olsun. Eğer her x X n için x xα ise α ya artan ve sıra koruyan dönüşüm denir. Tüm artan ve sırakoruyan dönüşümlerin kümesi C n ile gösterilir. Kolayca gösterilir ki C n {α O n : xα x ( x X n )} C n {α O n : x xα ( x X n )} olmak üzere, C n ve C n, O n nin alt yarıgruplarıdır. Ayrıca, C n ye tüm azalan ve sırakoruyan dönüşümler yarıgrubu ve C n ye de tüm artan ve sırakoruyan dönüşümler yarıgrubu denir. Kolayca görülür ki C n ve C n yarıgrupları isomorfiktir. Her α C n için 1α 1 ve her α Cn için nα n olduğuda açıktır. Ayrıca 0 1 2 n C n 1 1 1 1 olup, her α C n için α0 0 0α olduğundan 0 dönüşümü C n nin sıfır elemanıdır. Benzer şekilde da C n nin sıfır elemanıdır. n 1 2 n n n n n Önerme 2.20 1. α N (C n ) fix(α) {1}. 2. α N (C n ) fix(α) {n}. İspat için bakınız (Laradji ve ark,2004). C n Önerme 2.21 C n 1, (n 1). catalan sayısını göstermek üzere N (C n ) N (C n ) C n 1 7

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ İspat için bakınız (Higgins,1993). Önerme 2.22 C k, k. catalan sayısını göstermek üzere n C m 1 C n m C n. İspat için bakınız (Higgins,1993). 2.2. Parçalanış Herhangi n,r Z + için x 1 + x 2 + + x r n denkleminin negatif olmayan tamsayılardan oluşan bir (m 1,m 2,...,m r ) çözümüne n nin bir (r li) parçalanışı denir. parçalanışlarının sayısı p r (n) ile gösterilir. n nin negatif olmayan tamsayılardan oluşan r li Örneğin; x 1 + x 2 + x 3 2 denkleminin negatif olmayan tamsayılardan oluşan 3 lü parçalanışlarının kümesi {(2,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,1,1),(0,0,2)} ve sayısı p 3 (2) 6 Kolayca görüleceği üzere ( ) ( ) n + r 1 n + r 1 p r (n) n r 1 dir. Herhangi n,r Z + için x 1 + x 2 + + x r n denklemin sadece pozitif tamsayılardan oluşan r li parçalanışlarının sayısı p + r (n) ile gösterilir; ve p + r (n) ( ) n 1 r 1 8

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ Örneğin x 1 + x 2 + x 3 6 denkleminin pozitif tamsayılardan oluşan çözümlerinin kümesi {(4,1,1), (3,2,1), (3,1,2), (2,3,1), (2,2,2), (2,1,3), (1,4,1), (1,3,2), (1,2,3), (1,1,4)} ve sayısı p 3 (6) 10 Pozitif tamsayıların parçalanışları ile ilgili temel bilgi ve kavramlar için bakınız (Grimaldi,1994). Şimdi dördüncü bölümde çok önemli bir görev üstlenen bir özdeşliğii verelim: a,b,c, p,q,n Z olmak üzere ( )( ) ac(p + qk) a + bk c + b(n k) (a + bk)(c + bn bk) k n k n k0 İspat için bakınız (Riordan 1968 syf. 169). p(a + c) + aqn a + c + bn ( ) a + c + bn Yukarıdaki denklemde sırasıyla a,b,c,n, p ve q nun yerlerine 2r,2,2,n r 1,1 ve 0 yazılır ise aşağıdaki sonuçda verilen denklem elde edilir. n Sonuç 2.23 n Z +,n 2 ve 1 r n 1 olmak üzere n r 1 k0 r (r + k)(n r k) ( 2r + 2k k )( ) 2n 2r 2k n r 1 k r + 1 ( 2n n r + 1 n ) n r 1 ( ) 2n n + r + 1 Ayrıca yukarıdaki denklemde sırasıyla a,b,c,n, p ve q nun yerlerine r, 2, 2, n r 2, 1 ve 0 yazılır ise aşağıdaki sonuçda verilen denklem elde edilir. 9

2. TEMEL TANIMLAR VE SONUÇLAR Metin KOÇ Sonuç 2.24 n Z +,n 3 ve 1 r n 2 olmak üzere n r 2 k0 ( r r + 2k (r + 2k)(n r 1 k) k ( ) 2n r 2 n r 2 r + 2 2n r 2 )( 2n 2r 2 2k n r 2 k ) 10

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ 3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ 3.1. Tek-orbitli Sırakoruyan Dönüşümler Biz bu kısımda n tamsayısını en az iki kabul edeceğiz. Önerme 3.1 Eğer α O n ise her bir x X n için xα m xα m+1 ve her 0 i < j m için xα i xα j ve olacak şekilde bir negatif olmayan bir m tamsayısı vardır. Ayrıca, eğer x / fix(α) ise m 1 İspat: α O n ve x X n olsun. Eğer x fix(α) ise m 0 alınır. Kabul edelim ki x / fix(α) olsun. O zaman x,xα,xα 2,...,xα m,xα m+1,...,xα m+r,... dizisi düşünülür ise α O n (aslında α T n ) olduğundan 0 i < j m+r 1 n 1 için xα i xα j ve xα m xα m+r olacak şekilde m,r Z + vardır. Biz şimdi r 1 olduğunu olmayana ergi yöntemi ile gösterelim. Kabul edelim ki r 1 olsun. Bu durumda xα m xα m+r 1 olup, ya xα m < xα m+r 1 ya da xα m > xα m+r 1 Eğer xα m < xα m+r 1 ise α O n olduğundan xα m+1 < xα m+r xα m xα m+2 < xα m+1 xα m+3 < xα m+2 olup, bu şekilde α uygulamaya devam edilir ise xα m+r 1 < xα m+r 2 Böylece xα m+r 1 < xα m+r 2 < < xα m+2 < xα m+1 < xα m xα m+r dizisi elde edilir. Fakat xα m+r 1 < xα m+r 2 olup, xα m+r > xα m+r 1 çelişkisi elde edilir. Eğer xα m > xα m+r 1 ise α O n olduğundan xα m+1 > xα m+r xα m xα m+2 > xα m+1 11

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ olup, bu şekilde α uygulamaya devam edilir ise xα m+r 1 > xα m+r 2 Böylece xα m+r 1 > xα m+r 2 > > xα m+2 > xα m+1 > xα m xα m+r dizisi elde edilir. Fakat xα m+r 1 > xα m+r 2 olup, xα m+r < xα m+r 1 çelişkisi elde edilir. Böylece r 1, yani xα m xα m+1 olmak zorundadır. Ayrıca x / fix(α) ise doğal olarak m 1 Kolayca görüleceği üzere, bir α O n için de f (α) olması için gerek ve yeter koşul α nın birim dönüşüm olmasıdır. Ayrıca, bir α O n için de f (α) 1 ise α bir m-potent Önerme 3.2 α O n nin bir tek orbiti var ise α nın bir tek sabit noktası vardır. İspat: α O n nin bir tek orbiti olsun. Bu durumda α birim dönüşüm olmayacağından de f (α) Şimdi x def(α) alalım. Yukardaki Önerme 3.1 den dolayı xα m xα m+1 ve her 0 i < j m için xα i xα j olacak şekilde bir m Z + vardır. Ayrıca r x (α) { x,xα,xα 2,...,xα m} olarak tanımlayalım. Bu durumda xα m fix(α) olup r x (α) f ix(α) {xα m } Ayrıca, her k Z + için xα k r x (α) Eğer X n r x (α) ise fix(α) {xα m } Kabul edelim ki X n r x (α) olsun. Bu durumda herhangi bir y X n r x (α) alalım. α nın bir tek orbiti olduğundan yα r xα s olacak şekilde r,s Z + vardır. Ayrıca biz r Z + yi yα r xα s r x (α) olacak şekilde ki en küçük tamsayı olarak seçelim. Bu durumda bir önceki önermeden, her 0 i < j r için yα i yα j Dolayısıyla yα y, yani fix(α) r x (α) O halde fix(α) {xα m } olup, α nın bir tane sabit noktası vardır. Önerme 3.3 α O n ve fix(α) {m} olsun. Eğer 1 < m < n ise (m 1)α (m + 1)α m Ayrıca fix(α) {1} ise 2α 1 ve fix(α) {n} ise (n 1)α n 12

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ İspat: α O n ve fix(α) {m} olsun. Eğer m n 1 ise fix(α) {m} olduğundan (m + 1)α m + 1 ve α O n olduğundan m mα (m + 1)α (m + 2)α nα olup, ya (m + 1)α m ya da (m + 1)α m + 2 olmalıdır. Kabul edelim ki (m + 1)α m + 2 olsun. Bu durumda (m + 2)α (m + 3), (m + 3)α m + 4,...,(n 1)α n olup, (n 1) α n olur, ve dolayısıyla nα n (m n) olması gerekir ki bu α nın bir tek sabit noktası olması ile çelişir. O halde (m + 1)α m olmak zorundadır. Eğer 2 m ise benzer şekilde 1α 2α (m 1)α mα m olup ya (m 1)α m ya da (m 1)α m 2 olmalıdır. Benzer şekilde kabul edelim ki (m 1) α m 2 olsun. O zaman (m 2)α m 3, (m 3)α m 4,...,2α 1 olup, 2α 1 olur, ve dolayısıyla 1α 1 (m 1) olması gerekir ki yine benzer çelişkiyi elde ederiz. O halde (m 1) α m olmak zorundadır. Dolayısıyla 1 < m < n ise (m 1)α mα (m + 1)α m Ayrıca fix(α) {1} olduğunda 2α 1 ve fix(α) {n} olduğunda da (n 1)α n olduğunu göstermiş olduk. Tanım 3.4 α O n ve m X n olmak üzere fix(α) {m} olsun. O zaman i) x < m X n ise x + 1 xα (x + 1)α ii) x > m X n ise (x 1)α xα x 1 koşullarını sağlayan sıra koruyan dönüşümlerin kümesini O n,m ile gösterelim. Böylece, eğer α O n,1 ise x X n {1} için (x 1)α xα x 1 13

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ Ayrıca, eğer α O n,n ise x X n {n} için x + 1 xα (x + 1)α Teorem 3.5 α O n olsun. α nın bir tek orbitinin olması için gerek ve yeter koşul α O n,m olacak şekilde bir 1 m n olmasıdır. İspat: ( ) α O n tek orbitli olsun. O zaman yukardaki Önerme 3.2 den fix(α) {m} olacak şekilde bir 1 m n vardır. Eğer 2 m ise x m 1 için xα x olacağından ya xα x + 1 ya da xα x 1 Kabul edelim ki xα x 1 olsun. O zaman α sırakoruyan olduğundan (x 1)α x 2, (x 2)α x 3,...,2α 1 olup 2α 1 olur, ve dolayısıyla 1α 1 olur ki bu α nın bir tek sabit noktası m 1 olması ile çelişir. Dolayısıyla xα x + 1 olmalıdır. Ayrıca α O n olduğundan xα (x + 1)α olup, x + 1 xα (x + 1)α eşitsizliği elde edilir. Eğer m n 1 ise x > m + 1 için xα x olacağından ya xα x 1 ya da xα x+1 Kabul edelim ki xα x+1 olsun. O zaman α sırakoruyan olduğundan (x + 1)α x + 2, (x + 2)α x + 3,...,(n 1)α n olup (n 1)α n olur, ve dolayısıyla nα n olur ki bu α nın bir tek sabit noktası m n olması ile çelişir. Dolayısıyla xα x 1 olmalıdır. Benzer şekilde (x 1)α xα x 1 eşitsizliği elde edilir. 14

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ ( ) α O n,m alalım. O zaman, x X n için xα k m olacak şekilde bir k Z + olduğunu gösterelim. x m ise k 1 alınabileceğinden sonuç aşikardır. Eğer m > x X n ise x + 1 xα (x + 1)α olduğundan x m 1 için k 1, yani (m 1)α m Ayrıca x m 2 ise m 1 (m 2)α (m 1)α m olup, yukardaki eşitsizliğe tekrar α uygulanır ise m (m 1)α (m 2)α 2 mα m yani (m 2)α 2 m Benzer şekilde devam edildiğinde, her 0 k m 1 için (m k)α k m olduğu kolayca görülür. Eğer m < x X n ise (x 1)α xα x 1 olduğundan x m + 1 için k 1, yani (m + 1)α m Ayrıca x m + 2 ise m (m + 1)α (m + 2)α (m + 1) olup, yukardaki eşitsizliğe tekrar α uygulanır ise m mα (m + 2)α 2 (m + 1)α m 15

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ yani (m + 2)α 2 m Benzer şekilde devam edildiğinde, her 0 k n m için (m + k)α k m olduğu kolayca görülür. Böyelece α nın bir tek orbiti vardır. Teorem 3.5 ve O n,m kümesinin tanımı gereği aşağıdaki sonucu yazabiliriz. Sonuç 3.6 α O n nin bir tek orbitinin olması için gerek ve yeter koşul α nın bir tek sabit noktasının olmasıdır. Ayrıca bir önceki bölümde tanımlanan O n,{m} ile O n,m aynı kümedir. 3.2. Sırakoruyan Dönüşümlerde Tek-Orbitli Elemanların Sayısı Yukarda ifade ettiğmiz gibi bir sırakoruyan dönüşümün tek orbitinin olması için bir tek sabit noktasının olması gerekli ve yeterli koşuldur. Her m 1,2,...,n için c n,m, O n de sabit noktası m olan eleman sırakoruyan dönüşümlerin sayısı olmak üzere c 1,1 c 2,1 c 2,2 1 olduğu kolayca görülür. Ayrıca O 3,1 1 2 3, 1 2 3 1 1 1 1 1 2 O 3,2 1 2 3 2 2 2 O 3,3 1 2 3, 1 2 3 2 3 3 3 3 3 16

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ ve O 4,1 O 4,2 1 2 3 4, 1 2 3 4, 1 2 3 4, 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 3 4, 1 2 3 4 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 4, 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 3 Benzer şekilde n ve m nin küçük değerleri için O n,m kümesinin yukarıda yazdığımız özellikleri dikkate alınarak aşağıdaki tabloyu kolaylıkla yazabiliriz: c n,m n m 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 1 1 3 2 1 2 4 5 2 2 5 5 14 5 4 5 14 6 42 14 10 10 14 42 7 132 42 28 25 28 42 132 Yukardaki tabloda, örneğin; c 6,3 10, c 6,6 42, c 7,1 132 olduğu gösterilmektedir. Tanım 3.7 n Z + ve 1 r n olmak üzere F(n,r), r tane sabit noktası olan sırakoruyan dönüşümlerin sayısı olarak tanımlanır. Diğer bir ifade ile F(n,r) {α O n : fix(α) r} olarak tanımlanır. 17

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ Önerme 3.8 O n,1 N (C n ) ve O n,n N (Cn ). İspat: α O n,1 olsun. O zaman, her x > 1 için Tanım 3.4 ve Teorem 3.5 den (x 1)α xα x 1 < x olduğundan α C n olur, ve ayrıca, α k 0 olacak şekilde k pozitif tamsayısı vardır. Dolayısıyla, α N (C n ) Diğer taraftan, Önerme 2.20 de belirtildiği üzere, α N (C n ) olması için gerek ve yeter koşul fix(α) {1} olduğundan ve Teorem 3.5 den O n,1 N (C n ) α O n,n olsun. O zaman, her x < n için Tanım 3.4 ve Teorem 3.5 den x < x + 1 xα (x + 1)α olduğundan α Cn olur, ve ayrıca, α k 0 olacak şekilde k pozitif tamsayısı vardır. Dolayısıyla, α N (Cn ) Diğer taraftan, Önerme 2.20 de belirtildiği üzere, α N (Cn ) olması için gerek ve yeter koşul f ix(α) {n} olduğundan ve Teorem 3.5 den O n,n N (Cn ) Böylece Önerme 2.21 ve Önerme 3.8 den aşagıdaki sonuca sahipiz: Sonuç 3.9 1. O n,1 c n,1 C n 1. 2. O n,n c n,n C n 1. m 1 ve m n olmak üzere α O n,m ise Önerme 3.3 den α 1 2 m 1 m m + 1 n 1 n 1α 2α m m m (n 1)α nα 18

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ şeklinde Şimdi bu sırakoruyan dönüşümden faydalanarak, aşağıdaki iki dönüşümü tanımlayalım: α l 1 2 m 1 m 1α 2α m m α r 1 2 3 n m n m + 1 1 1 (m + 2)α m + 1 (n 1)α m + 1 nα m + 1 (Diğer bir ifade ile α l, α nın X m {1,2,...,m} kümesi üzerine kısıtlanmışı ve α r de α nın {m, m + 1,..., n} kümesi üzerine kısıtlanmışının, yani m m + 1 n 1 n m m (n 1)α nα dönüşümünün her teriminden m 1 çıkartılarak elde edilmiştir. Yani X n m+1 {1,2,...,n m + 1} olmak üzere α r : X n m+1 X n m+1 için xα r xα (m 1) olarak tanımlanmıştır.). dönüşümü her x X n m+1 Böylece, kolayca görülür ki hem α l : X m X m dönüşümü hem de α r : X n m+1 X n m+1 dönüşümü, sıra koruyan dönüşümlerdir. Önerme 3.10 Her m 1,2,...,n için O n,m kümesi ile O m,m ve O n m+1,1 kümelerin kartesyen çarpım O m,m O n m+1,1 kümesi arasında birebir ve örten dönüşüm vardır. İspat: O 1,1 1 olduğundan m 1 veya m n olması durumda sonuç 1 aşikar. Biz m 1,n kabul edelim, ve Φ : O n,m O m,m O n m+1,1 dönüşümünü yukardaki notasyonlar ile her α O n,m için αφ (α l,α r ) olarak tanımlayalım. Kolayca görüleceği üzere Φ, α l ve α r nin tanımları gereği birebir dönüşümdür. Ayrıca, her (β,γ) O m,m O n m+1,1 için 1 m 1 m m + 1 n α β,γ 1β (m 1)β m 2γ + m 1 (n m + 1)γ + m 1 olarak tanımlayalım. O halde (m 1)β m ve 2γ + (m 1) 1 + (m 1) m ve α β,γ O n,m Dolayısıyla α β,γ Φ (β,γ) olduğundan Φ : O n,m O m,m O n m+1,1 dönüşümü, ayrıca, örtendir. 19

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ Yukarda ki Önerme 3.10 ve Sonuç 3.9 dan O n,m O m,m O n m+1,1 O m,m O n m+1,1 C m 1 C n m olacağından aşağıdaki sonuçu yazabiliriz. Sonuç 3.11 Her m 1,2,...,n için O n,m C m 1 C n m Şimdi de O n deki tek orbitli dönüşümlerin sayısını aşağıdaki sonuçta verelim: Sonuç 3.12 F(n,1) n+1 1 2n. n n İspat: Teorem 3.5 den O n deki tek orbitli dönüşümlerin kümesi O n,m Ayrıca, her m,r X n için m r ise O n,m O n,r olduğundan n n O n,m O n,m Böylece, Sonuç 3.11 ve Önerme 2.22 den n n F(n,1) O n,m C m 1 C n m C n 1 2n n + 1 n Önerme 3.13 Her n 1 için c n+1,n c n,n ve c n+1,2 c n,1 dir. İspat: Eğer n 1 ise sonuç aşikar. Biz n 2 alalın. O zaman, Önerme 3.10 ve c 2,1 c 2,2 C 1 1 olduğundan c n+1,n O n+1,n O n,n O 2,1 O n,n O 2,1 c n,n c 2,1 c n,n Benzer şekilde c n+1,2 O n+1,2 O 2,2 O n,1 O 2,2 O n,1 c 2,2 c n,1 c n,1 Ayrıca, aşağıdaki sonuca sahibiz: 20

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ Sonuç 3.14 Her 1 m n için c n,n m+1 c n,m dir. Özel olarak, c n,n c n,1 dir. İspat: Sonuç 3.11 den. c n,n m+1 O n,n m+1 C n m C m 1 C m 1 C n m O n,m c n,m Teorem 3.15 n 2 için İspat: Önerme 2.22 den c n,1 c n,1 C n 1 n 1 c n 1,m. Dolayısıyla, Sonuç 3.9 ve Önerme 3.10 dan elde edilir. c n,1 n 1 O m,m O n m,1 n 1 C m 1 C n m 1 n 1 n 1 O n 1,m c n 1,m Ayrıca, aşağıdaki teoremi ifade ve ispat edelim. Teorem 3.16 n 2 için O n,n n 1 O n 1,m. n 1 O m,m O n m,1 İspat: Sırasıyla, Önerme 3.13, Sonuç 3.14 ve Teorem 3.15 den O n,n c n,n c n,1 n 1 n 1 c n 1,m O n 1,m Sonuç 3.11 den de her m 1,2,...,n için O n de sabit noktası m olan dönüşümlerin sayısı O n,m c n,m C m 1 C n m ve C n 1 2n n + 1 n 21

3. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ Metin KOÇ olduğundan c n,m 1 m 2m 2 m 1 1 n m + 1 2n 2m n m Ayrıca, Önerme 3.13 ve Sonuç 3.14 den Böylece, Sonuç 3.16 den O n+1,2 O n,1 O n,n O n+1,n n 1 O n 1,m n n c n,m O n,m O n+1,n+1 c n+1,n+1 c n+1,1 C n O halde aşağıdaki eşitliği yazabiliriz: Sonuç 3.17 Her n 1 için 1 n(m n + 1) n 2m 2 m 1 2n 2m n m 1 n + 1 2n n.. 22

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ 4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Biz bu bölümde r X n {1,2,...,n} ve 1 m 1 < m 2 < < m r n olmak üzere Y {m 1,m 2,...,m r } X n ve α O n,y alacağız. 4.1. Sırakoruyan dönüşümlerde iki tane Sabit Noktası Olan Dönüşümlerin Sayısı Önce Y 2 durumunu inceleyelim: Önerme 4.1 Eğer r 1 olmak üzere Y {m,m + r} X n ise O n,y C m 1 C r C n m r İspat: Y {m,m + r} olmak üzere α O n,y olsun. Önerme 2.16 dan sα m + q ( s m + q) ve tα m + q + 1 ( t m + q + 1) olacak şekilde bir tek 0 q r 1 vardır. Bu durumda orbitlerden biri {1,2,...,m + q} ve diğeri {m + q + 1,m + q + 2,...,n} Ayrıca birinci orbit α nın m sabit noktasını ikinci orbit ise m + r sabit noktasını içerir. Şimdi α 1 : X m+q X m+q ve α 2 : X n m q X n m q dönüşümlerini, sırası ile, α 1 1 2 m + q ve 1α 2α (m + q)α α 2 1 2 n m q (m + q + 1)α m q (m + q + 2)α m q nα m q olarak tanımlayalım. Önerme 3.10 dan hemen önce ve ispatında belirtildiği gibi α 1 O (m+q),m ve α 2 O (n m q),(r q) 23

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ Bu notasyonlar ile Θ : O n,y r 1 q0 ( O(m+q),m O (n m q),(r q) ) dönüşümünü her α O n,y için αθ (α 1,α 2 ) olarak tanımlayalım. Θ,α 1 ve α 2 nin tanımları gereği Θ, birebir dönüşümdür. Ayrıca, her 0 q r 1 ve her (β,γ) O (m+q),m O (n m q),(r q) için 1 m + q m + q + 1 n α (β,γ) 1β (m + q)β 1γ + m + q (n m q)γ + m + q olarak tanımlayalım. O zaman kolayca görülür ki α (β,γ), orbitleri {1,2,...,m + q} ve {m + q + 1,m + q + 2,...,n} olan bir sırakoruyan dönüşüm olup mα (β,γ) mβ m ve (m + r)α (β,γ) (r q)γ + (m + q) r q + m + q m + r olduğundan fix(α (β,γ) ) {m,m+r} Böylece α (β,γ) O n,y olup α (β,γ) Θ (β,γ) olduğundan Θ, birebir ve örten dönüşümdür. Ayrıca, her farklı q 1 ve q 2 çiftleri için ( ) ( ) O(m+q1 ),m O (n m q1 ),(r q 1 ) O(m+q2 ),m O (n m q2 ),(r q 2 ) olduğundan O n,y r 1 ( ) O(m+q),m O (n m q),(r q) q0 r 1 O (m+q),m O (n m q),(r q) q0 r 1 q0 (C m 1 C q ) ( C r q 1 C n m r ) r 1 C m 1 C n m r C q C r q 1 C m 1 C n m r q0 r q1 C q 1 C r q (Sonuç 3.11) C m 1 C n m r C r (Önerme 2.22) 24

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ olup ispat tamamlanmış Özel olarak m 1 ve r n 1 alınır ise C 0 1 olduğundan O n,{1,n} C1 1 C n 1 (n 1) C n 1 C 0 C 0 C n 1 C n 1 Böylece aşağıdaki sonucu yazabiliriz. Sonuç 4.2 O n,{1,n} Cn 1. X n nin tüm farklı iki elemanlı altkümeleri {1,2}, {1,3},...,{1,n}, {2,3}, {2,4},...,{2,n},. {n 2,n 1}, {n 2,n}, {n 1,n} olup, bu kümeleri 1 m n 1 ve m+1 r n olmak üzere X m,r şeklinde etiketleyebiliriz. Eğer m 1 m 2 veya r 1 r 2 ise O n,{m1,r 1 } O n,{m2,r 2 } olduğu açık olup, böylece O n de tam 2 tane sabit noktası olan dönüşümlerin sayısını bulabilecek konumdayız. Teorem 4.3 F(n,2) 2 n ( 2n n+2). İspat: Önce F(n,2) hesaplamada kullanıcağımız özdeşlikleri gösterelim: n C m 1 C n m C n ve C 0 1 olduğundan n C m C n m n+1 m2 C m 1 C n+1 m n+1 C m 1 C n+1 m C 0 C n C n+1 C n 25

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ Böylece n C m C n m C n+1 C n (1) özdeşliğini elde ederiz. Ayrıca, s Z + için olduğundan n C m 1 C n+s m n+s C m 1 C n+s m (C n C s 1 + +C n+s 1 C 0 ) C n+s s C m 1 C n+s m n C m 1 C n+s m C n+s s C m 1 C n+s m (2) özdeşliğini elde ederiz. Son olarak ( ) 1 2n + 2 C n+1 1 (2n + 2)! n + 2 n + 1 n + 2 (n + 1)!(n + 1)! 2(2n + 1) (2n)! (n + 2)(n + 1) n!n! ( ) 4n + 2 C n+1 C n (3) n + 2 X n nin iki elemanlı tüm altkümelerinin kümesi {{m,m + r} : 1 m n 1 ve 1 r n m} 26

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ ve O n,{m,m+r} ayrık olduğundan F(n, 2) O n,y Y X n ve Y 2 n 1 n m r1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 ( O n,{m,m+r} n 1 ( n m r1 O n,{m,m+r} ) n m C m 1 C r C n m r (Önerme 4.1) r1 n m C m 1 C r C n m r r1 C m 1 (C n m+1 C n m ) C m 1 C n+1 m C m 1 C (n 1)+2 m C n+1 2 n 1 n 1 C m 1 C n m ((1) den) C m 1 C (n 1)+1 m C m 1 C n+1 m ) (C n 1 (C n+1 C n C n 1 ) (C n C n 1 ) ( ) 4n + 2 C n+1 2C n n + 2 2 C n 2n 2 1 (2n)! n + 2 n + 1 n!n! 2 (2n)! n (n + 2)!(n 2)! 2 ( ) 2n n n + 2 olup ispat biter. C m 1 C n m ) ((3) den) ((2) den) 4.2. Sırakoruyan dönüşümlerde r 2 tane sabit noktası olan dönüşümlerin sayısı Bir önceki kısımda iki sabit noktalı sırakoruyan dönüşümlerin sayısını bulmuştuk. Bu kısımda r 2 olmak üzere r tane sabit noktası olan sırakoruyan dönüşümlerin sayısını bulacağız. Önce α O n olmak üzere eğer α nın r tane sabit noktası var ise r tane de orbitinin olduğunu ve ayrıca bu r tane sabit nokta X n yi r tane sıralı ayrık parçaya ayırdığını hatırlatalım. 27

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ Teorem 4.4 m 1 < m 2 < < m r olmak üzere Y {m 1,m 2,...,m r } kümesi X n nin herhangi bir alt kümesi olsun. Eğer k 1 m 1 1, k j m j m j 1 (2 j r) ve k r+1 n m r olarak tanımlanır ise O n,y r+1 C k j j1 İspat: r 2 ve m 1 < m 2 < < m r olmak üzere Y {m 1,m 2,...,m r } kümesi X n nin herhangi bir alt kümesi olsun. Ayrıca k 1 m 1 1, k j m j m j 1 (2 j r) ve k r+1 n m r olarak alalım. Bu durumda her α O n,y olmak üzere α 1 α j α r+1 1 k 1 k 1 + 1 1α k 1 α k 1 + 1 için α yı 2 j r 1 m 1 1 m 1 1α (m 1 1)α m 1 1 2 k j k j + 1 1 ( m j 1 + 1 ) α m j 1 + 1 (m j 1)α m j 1 + 1 k j + 1 1 2 k r+1 k r+1 + 1 1 (m r + 1)α m r + 1 (n 1)α m r + 1 nα m r + 1 dönüşümlerini tanımlayalım. Kolayca görülür ki α 1 O k1 +1, k 1 +1 O m1, m 1 α j O k j +1, {1, k j +1} (2 j r) ve α r+1 O kr+1 +1,1 Şimdi On,Y O k1 +1, k 1 +1 O k2 +1, {1, k 2 +1} O kr +1, {1, k r +1} O kr+1 +1, 1 kümesini yukarıdaki gibi r + 1 tane kümenin kartezyen çarpımı şeklinde tanımlayalım. Ayrıca Ψ : O n,y On,Y 28

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ dönüşümünü yukarıdaki notasyonlar ile her α O n,y için αψ (α 1,α 2,...,α r+1 ) sıralı (r + 1) lisine olarak tanımlayalım. Kolayca görülür ki Ψ ve α j (1 j r + 1) lerin tanımları gereği Ψ birebir dönüşümdür. Ayrıca her (β 1,β 2,...,β r+1 ) On,Y için α (β1,β 2,...,β r+1 ) 1 m 1 m 1 + 1 1β 1 m 1 β 1 2β 2 + (m 1 1) m 2 (m 2 m 1 + 1)β 2 + (m 1 1) m r m r+1 (m r m r 1 + 1)β r + (m r 1 1) 2β r+1 + (m r 1) n (n m r + 1)β r+1 + (m r 1) olaral tanımlayalım. Benzer şekilde α (β1,β 2,...,β r+1 ) bir sırakoruyan dönüşüm olduğu görülür. Ayrıca m 1 α (β1,β 2,...,β r+1 ) m 1 β 1 m 1 m j α (β1,β 2,...,β r+1 ) ( m j m j 1 + 1 ) β j + ( m j 1 1 ) m j (2 j r) olduğundan fix(α (β1,β 2,...,β r+1 )) {m 1,m 2,,m r } Y Böylece α (β1,β 2,...,β r+1 ) O n,y olup, α (β1,β 2,...,β r+1 )Ψ (β 1,β 2,...,β r+1 ) olduğundan Ψ birebir ve örten dönüşümdür. Bu durumda aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz; O n,y ( r O k1 +1, k 1 +1 olup, Sonuç 3.9 dan O k1 +1, k 1 +1 den O k j +1, {1,k j +1} O k j +1, {1,k j +1} j2 ) O kr+1 +1, 1 Ck1 ve O kr+1 +1, 1 Ckr+1 ; ve ayrıca Sonuç 4.2 C k j (2 j r) olduğundan ( r O n,y C k1 C k j )C kr+1 j2 r+1 C k j j1 29

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ olup istenen elde edilir. Sonuç 3.9, Önerme 4.1 ve Teorem 4.4 de elde edilen sonuçları aşağıdaki sonuçta tek bir ifade ile verelim. Sonuç 4.5 m 1 < m 2 < < m r olmak üzere Y {m 1,m 2,,m r } kümesi X n nin herhangi bir alt kümesi olsun. O zaman k 1 m 1 1,k j m j m j 1 (2 j r) ve k r+1 n m r olmak üzere O n,y r+1 j1 C k j C m1 1C m2 m 1...C mr m r 1 C n mr Şimdi sırakoruyan dönüşümlerde sabit noktaları verilen bir r elemanlı küme değilde herhangi r tane sabit noktası olan sırakoruyan dönüşümlerin sayısını F(n,r) {α O n, : fix(α) r} bulalım. Bilindiği üzere bir sırakoruyan dönüşümün tam r tane sabit noktası var ise bu dönüşümün tam r tane orbiti vardır ve bu orbitler X n yi tam r tane sıralı ayrık parçaya ayırır. 1 m 1 < m 2 < < m r n olmak üzere Y {m 1,m 2,...,m r } kümesi X n nin herhangi bir altkümesi olsun. Şimdi k 1 m 1 k j m j m j 1 (2 j r) k r+1 n + 1 m r olarak alalım. Kolayca görülür ki (k 1,k 2,...,k r+1 ) sıralı (r + 1)-lisi x 1 + x 2 + + x r+1 n + 1 denkleminin pozitif tamsayı çözümü yani (k 1,k 2,...,k r+1 ) P r+1 + (n + 1) Ayrıca her (k 1,k 2,...,k r+1 ) P r+1 + (n + 1) için m 1 k 1 ve m j k j + + k 2 + k 1 (2 j r) olarak tanımlanır ise {m 1,m 2,,m r } X n Bu işlemler birbirlerinin tersi olup aşağıdaki teoremi ifade ve ispat edebiliriz. 30

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ Teorem 4.6 Yukarıdaki notasyon ile; F(n,r) (k 1,k 2,...,k r+1 ) P + r+1 (n+1) C k1 1C k2 C k3 C kr C kr+1 1 r n ( ) 2n n + r İspat: Yukarıda açıklandığı üzere birinci eşitlik Sonuç 4.5 ten elde edilir. Dolayısıyla ispatı tamamlamak için F(n,r) r n ( ) 2n n + r olduğunu göstermemiz yeterlidir. Bunu göstermek için de r üzerinden tümevarım yapalım: r 1 için Sonuç 3.12 den F(n,1) 1 ( ) 2n 1 ( ) 2n n + 1 n n n + 1 r 2 için Teorem 4.3 F(n,2) 2 n ( ) 2n n + 2 r 2 ve F(n,r) r n ( 2n n+r) olsun. Varsayalım ki α On nin m 1 < m 2 < < m r < m r+1 olack şekilde r + 1 tane sabit noktası olsun. Şimdi m r+1 elemanını içeren orbiti göz önüne alalım. Önerme 2.16 den m r+1 elemanını içeren orbit Y k {k,k + 1,...,n} olacak şekilde bir m r < k m r+1 vardır. Eğer α nın Y k kümesi üzerine kısıtlanması ile elde edilen dönüşüm α Yk ise α Yk : Y k Y k dönüşümü sabit noktası m r+1 olan sıra koruyan bir dönüşüm Eğer α nın X n Y k X k 1 kümesi üzerine kısıtlanması ile elde edilen dönüşüm γ α Xk 1 ise γ : X k 1 X k 1 31

4. SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA İKİ VEYA DAHA FAZLA ORBİTLİ DÖNÜŞÜMLER VE SAYILARI Metin KOÇ dönüşümü r sabit noktalı sıra koruyan bir dönüşüm fix(γ){m 1,...,m r } ve γ O k 1,{m1,...,m r } Eğer β : X n k+1 X n k+1 dönüşümü Diğer bir ifade ile β 1 2 n k + 1 kα k + 1 (k + 1)α k + 1 nα k + 1 şeklinde tanımlanırsa fix(β) {m r+1 k + 1} olup β O (n k+1),(mr+1 k+1) Ayrıca benzer şekilde α Yk ile β birebir eşleyebiliriz. Dolayısıyla her r + 1 k n için O (n k+1) de bir tek sabit noktası bulunan dönüşümlerin sayısı C n k+1 ve O k 1 de r tane sabit noktası bulunan dönüşümlerin sayısıda tümevarım hipotezi gereği ( F (k 1,r) 2k 2 k 1+r) r k 1 Böylece r + 1 k n aralığında her değeri alabileceğinden F (n,r + 1) F (r,r)c n r + F (r + 1,r)C n r 1 + + F (n 1,r)C 1 n r 1 k0 n r 1 k0 n r 1 k0 r + 1 n F (r + k,r)c n r k r ( ) 2r + 2k 1 ( ) 2n 2r 2k r + k 2r + k n r k n r 1 k r ( )( ) 2r + 2k 2n 2r 2k (r + k)(n r k) k n r 1 k ( ) 2n (Sonuç 2.23) n + r + 1 olup ispat tamamlanır. 32

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ 5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER C n {α O n : xα x x X n } ile O n de tüm azalan dönüşümleri gösterelim. Kolayca görülür ki C n, O n nin bir altyarıgrubudur, bu altyarıgruba azalan sırakoruyan dönüşümler yarıgrubu denir. Her α C n için 1α 1 olup 1 fix(α) olduğunu hatırlayalım. Dolayısıyla azalan sırakoruyan dönüşümlerin sabit noktalar kümesi Y {1,m 2,m 3,...,m r } şeklindedir. Y {1,m 2,m 3,...,m r } ve 1 < m 2 < < m r olmak üzere sabit noktalarının kümesi Y olan X n üzerindeki azalan sırakoruyan dönüşümlerin kümesi C n,y {α C n : fix(α) Y } şeklinde tanımlanır. N (C n ), C n deki nilpotent dönüşümlerin kümesi ve C n 1, (n 1). catalan sayısını olmak üzere Önerme 2.20 den C n,{1} N (C n ) ve Önerme 2.21 den de C n,{1} N (Cn ) C n 1 1 ( ) 2n 2 n n 1 olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla biz Y 2 olması durumunu incelememiz gerekli ve yeterlidir. 5.1. Azalan ve Sırakoruyan Dönüşümlerde Belirli r Sabit Noktası Olan Dönüşümlerin sayısı O n yarıgurubundan alınan herhangi bir dönüşümün orbit sayısıyla sabit nokta sayısının birbirine eşit olduğunu biliyoruz. C n, O n nin bir altyarıgrubu olduğundan C n yarıgrubundan alınan herhangi bir dönüşümün de orbit sayısıyla sabit nokta sayısı birbirine eşit Benzer şekilde C n yargrubundan alınan r tane sabit noktası bulunan herhangi bir dönüşümün X n yi r tane ayrık konveks parçaya ayırır (bkz. Önerme 2.16). Dolayısıyla biz bundan sonra önceki bölümlerde olduğu gibi sabit noktalarla ilgili özelliklerden faydalanarak azalan dönüşümler yarıgrubunda bir veya daha fazla orbitli elemanlar için formül bulacağız. 33

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ Teorem 5.1 1 m 1 < m 2 < < m r (1 r) olmak üzere Y {1,m 2,...,m r } kümesi X n nin herhangi bir alt kümesi olsun. Her j 1,2,...,r 1 için k j m j+1 m j ve k r n m r + 1 olsun. O zaman C n,y r C k j 1 j1 İspat: Y {1} yani r 1 ise Önerme 2.21 den sonuç aşikar. Biz Y {1,m 2,...,m r } ve r 2 kabul edelim. Bu teoremin ispatını yaparken Teorem 4.4 deki yöntemi benzer şekilde kullanalım. Her α C n,y ve her 1 j r 1 için k j m j+1 m j (1 j r 1) ve k r n m r + 1 olmak üzere α j α r 1 2 k j 1 ( m j + 1 ) ( α m j + 1 m j+1 1 ) α m j + 1 1 2 k r 1 (m r + 1)α m r + 1 nα m r + 1 ve dönüşümlerini tanımlayalım. O zaman kolayca görülür ki her 1 j r için α j N ( C k j ) Şimdi kümesini ve N n,y N (C k1 ) N (C k2 ) N (C kr ) Φ : C n,y N n,y dönüşümünü yukarıda tanımlanan α j ler ile her α C n,y için αφ (α 1,α 2,...,α r ) sıralı r-lisi olarak tanımlayalım. Benzer şekilde Φ nin bire-bir dönüşüm olduğu açıktır. Ayrıca, her (β 1,β 2,...,β r ) N n,y için Teorem 4.4 ün ispatında tanımlanan α (β1,β 2,...,β r ) azalan ve sıra koruyan bir dönüşüm olup, fix ( α (β1,β 2,...,β r )) {1,m2,...,m r } Y 34

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ Böylece α (β1,β 2,...,β r ) C n,y olup α (β1,β 2,...,β r )Φ (β 1,β 2,...,β r ) olduğundan Φ, ayrıca, örten bir dönüşümdür. Böylece Önerme 2.21 den C n,y N n,y r j1 ( ) r N Ck j j1 C k j 1 5.2. Azalan ve Sırakoruyan Dönüşümlerde r Orbitli Dönüşümlerin Sayısı Şimdi azalan ve sırakoruyan dönüşümlerde sabit noktaları verilen bir r elemanlı küme değilde herhangi r tane sabit noktası olanların sayısını bulalım. Tanım 5.2 n Z + ve 1 r n olmak üzere N (n,r), r tane sabit noktası olan azalan ve sıra koruyan dönüşümlerin sayısı ve N (n,r) de r tane sabit noktası olan artan ve sıra koruyan dönüşümlerin sayısı olarak tanımlanır. Diğer bir ifade ile N (n,r) {α C n : fix(α) r} ve N (n,r) {α C n : fix(α) r} C n ile Cn e izomorfik olduğundan N (n,r) N (n,r) olup, sadece N (n,r) yi bulmak yeterlidir. Bilindiği üzere sıra koruyan bir dönüşümün r tane sabit noktası var ise r tane orbiti vardır ve bu orbitler X n yi r tane sıralı ayrık parçaya ayırır. 1 m 1 < m 2 < < m r n olmak üzere Y {1,m 2,...,m r } kümesi X n nin herhangi bir altkümesi olsun. Her 1 j r 1 için k j m j+1 m j 35

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ ve k r n m r + 1 olarak alalım. Kolayca görülür ki (k 1,k 2,...,k r ) sıralı r-lisi x 1 + x 2 + + x r n denkleminin bir pozitif tamsayılı çözümü yani (k 1,k 2,...,k r ) P + r (n) Ayrıca her (k 1,k 2,...,k r ) P + r (n) için m 1 1 ve m j k j 1 + + k 2 + k 1 + 1 (2 j r) olarak tanımlanır ise {1,m 2,...,m r } X n Bu işlemler birbirlerinin tersi olup P + r (n) ile X n nin 1 i içeren r elemanlı {1,m 2,...,m r } altkümeleri arasında bire bir eşleme vardır. Şimdi aşağıdaki teoremi ifade ve ispat edebiliriz. Teorem 5.3 Yukarıdaki notasyon ile N (n,r) (k 1,k 2,...,k r ) P + r (n) ( ) r 2n r 2n r n C k1 1C k2 1 C kr 1 İspat: Yukarıda açıklandığı gibi, P + r (n) ile X n nin 1 i içeren r elemanlı altkümeleri {1,m 2,...,m r } arasında bire bir eşleme olduğundan birinci eşitlik Teorem 5.1 den elde edilir. Dolayısıyla ispatı tamamlamak için N (n,r) r ( ) 2n r 2n r n olduğunu göstermemiz yeterlidir. Bu eşitliği r üzerinde tümevarım ile gösterelim: r 1 için Önerme 2.20 ve Önerme 2.21 den 36

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ olduğundan eşitlik sağlanır. N (n,1) ( ) 1 2n 1 1 (2n 1)! 2n 1 n (2n 1) (n 1)!n! (2n 1)(2n 2)! (2n 1)n(n 1)!(n 1)! (2n 2)! n(n 1)!(n 1)! 1 ( ) 2n 2 C n 1 n n 1 N(C n ) r 1 ve N (n,r) r 2n r ( 2n r ) n olsun. Varsayalım ki α Cn nin 1 m 1 < m 2 < < m r+1 olacak şekilde r +1 tane sabit noktası olsun. O zaman m r+1 elemanı içeren orbiti düşünelim. Önerme 2.16 ve α azalan dönüşüm olduğundan m r+1 elemanını içeren orbit Y r+1 ile gösterilir ise Y r+1 {m r+1,m r+1 + 1,...,n} Ayrıca α nın Y r+1 e kısıtlanmışı α Yr+1 : Y r+1 Y r+1 bir azalan ve sırakoruyan dönüşüm olup bir ) tek sabit noktası vardır, diger bir ifade ile fix (α Yr+1 {m r+1 } Eğer α nın X n Y r+1 X mr+1 1 e kısıtlanmışı α Xmr+1 1 : X m r+1 1 X mr+1 1 ise α Xmr+1 1 de bir sırakoruyan ve azalan dönüşüm olup r tane sabit noktası vardır, ( ) diger bir ifade ile fix α Xmr+1 1 {1,m 2,...,m r } Eğer β : X n mr+1 +1 X n mr+1 +1 dönüşümünü β 1 2 n m r+1 + 1 m r+1 α m r+1 + 1 (m r+1 + 1)α m r+1 + 1 nα m r+1 + 1 şeklinde tanımlanır ise fix(β) {1} olup β C (n mr+1 +1),{1} Benzer şekilde, bu şekilde tanımlanan α Yr+1 ler ile β C (n mr+1 +1),{1} leri birebir eşleyebiliriz. Dolayısıyla, her r + 1 m r+1 n için C (n mr+1 +1) de bir tek sabit noktası olan dönüşümlerin sayısı C n mr+1 Ayrıca C mr+1 1 de r tane sabit noktası olan dönüşümlerin sayısı tümevarım hipotezi gereği ( ) r 2(mr+1 1) r N (m r+1 1,r) 2(m r+1 1) r (m r+1 1) 37

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ Böylece r + 1 m r+1 n aralığında her değeri alabileceğinden ve gözönüne alındığında N (n,r + 1) N (r,r)c n r 1 + N (r + 1,r)C n r 2 + + N (n 1,r)C ( ) 0 n r 2 N (r + k,r)c n r 1 k + N (n 1,r)C 0 k0 n r 2 k0 r r + 2k ( ) r + 2k r + k 1 n r 1 k ( ) 2n 2r 2 2k n r 2 k +N (n 1,r) n r 2 ( r r + 2k k0 (r + 2k)(n r 1 k) k ( ) r 2n r 2 + (Sonuç 2.24 den) 2n r 2 n 1 ( ) ( ) r + 2 2n r 2 r 2n r 2 + 2n r 2 n r 2 2n r 2 n 1 (r + 2) (2n r 2)! (2n r 2) (n r 2)!n! r + (2n r 2) (2n r 2)! (n r 1)!(n 1)! [ ] (2n r 3)! r + 2 (n r 2)!(n 1)! n + r (n r 1) (2n r 3)! [(r + 2)(n r 1) + rn] (n r 1)!n! (2n r 3)! [(r + 1)(2n 2 r)] (n r 1)!n! (2n r 3)! (2n r 1) [(r + 1)(2n r 2)] (n r 1)!n! (2n r 1) r + 1 (2n r 1)! 2n r 1 (n r 1)!n! ( ) (r + 1) 2n (r + 1) (2n (r + 1)) n )( 2n 2r 2 2k n r 2 k ) olup ispat biter. 38

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ Ayrıca aşağıdaki indirgeme bağıntısını ifade ve ispat edebiliriz: Sonuç 5.4 Yukarıdaki notasyonlar ile her 2 r n için N (n,r + 1) N (n,r) N (n 1,r 1) İspat: Her 2 r n için N (n,r) N (n 1,r 1) ( ) r 2n r r 1 ( ) 2n r 1 2n r n 2n r 1 n 1 r (2n r)! 2n r (n r)!n! r 1 2n r 1 (2n r 1)! (n r)!(n 1)! [ (2n r 1)! r (n r)!(n 1)! n r 1 ] 2n r 1 (2n r 1)! (r + 1)(n r) (n r)!(n 1)! n(2n r 1) (r + 1) (2n r 1) (2n r 1)! (n r)!(n 1)! ( ) (r + 1) 2n r 1 (2n r 1) n N (n,r + 1) 39

5. AZALAN SIRAKORUYAN VE ARTAN SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERDE ORBİTLER Metin KOÇ. 40

6. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN ORBİTLERİ Metin KOÇ 6. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN ORBİTLERİ Bu bölümde kısmi sırakoruyan dönüşümlerde orbit kavramını, buna bağlı olarak kısmi sırakoruyan dönüşümlerin nilpotent elemanlarını inceleyeceğiz. Bunu yaparken sırakoruyan dönüşümlerde orbit kavramında kullandığımız benzer kurallardan ve yöntemlerden faydalanacağız. PO n ile X n {1,2,...,n} kümesi üzerinde tanımlı tüm kısmi sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunu göstereceğiz, yani PO n {α P n : x y xα yα ( x,y dom(α))} olsun. Sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunun, kısmi sırakoruyan dönüşümler yarıgrubunun bir altyarıgrubu olduğunu biliyoruz. Benzer şekilde sırakoruyan dönüşümler yarıgrubundaki orbit ve sabit nokta için bulduğumuz bazı özellikleri genişleterek kısmi sırakoruyan dönüşümler yarıgrubuna geçiş yapacağız. α PO n olsun. Eğer x / dom(α) ise xα şeklinde yazacağız ve bu şekildeki x e bir boş nokta diyeceğiz. Ayrıca aşağıdaki kümeyi tanımlayalım: S(α) X n dom(α) {x X n : xα }. Kolayca görülür ki α O n ise S(α), ve α PO n boş dönüşüm ise S(α) X n Ayrıca, /0 1 2 n (boş dönüşüm) dönüşümü PO n nin sıfır elemanıdır. Biz bu bölümde PO n SPO n PO n O n {α PO n : S(α) } kümesinin orbit yapısını ve buna bağlı olarak nilpotent elemanları inceleyeceğiz. Önerme 6.1 α SPO n olsun. O zaman, her x X n için xα m xα m+1 veya xα m xα m+1 im(α) ve her 0 i < j m için xα i xα j 41

6. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN ORBİTLERİ Metin KOÇ olacak şekilde en küçük bir m Z + tamsayısı vardır. Ayrıca, eğer x dom(α) fix(α) ise o zaman m 2 İspat: α SPO n olsun. Herhangi bir x X n alalım. Eğer x / dom(α) veya xα x ise m 1 Kabul edelim ki x dom(α) ve xα x olsun. O zaman x,xα,xα 2,...,xα m 1,xα m,...,xα m+r,... dizisi düşünülür ise α PO n (α P n ) olduğundan 0 i < j m 1 için xα i xα j ve xα m veya 0 i < j m + r 1 için xα i xα j ve xα m xα m+r im(α) olacak şekilde m,r Z + vardır. Eğer xα m ise sonuç açık. İkinci durumu da ise Önerme 3.1 in ispatında olduğu gibi r 1 olduğu benzer şekilde gösterilir. Eğer α SPO n ise en az bir x X n için xα m xα m+1 ve her 0 i < j m ( m > 1) için xα i xα j olacak şekilde bir m Z + tamsayısı vardır. Tanım 6.2 SPO n nin bir alt kümesi K n {α SPO n : fix(α) } olarak tanımlanır. Tanım 6.3 n Z + ve 1 r n olmak üzere E(n,r),ile K n de r tane boş noktası olan sırakoruyan dönüşümlerin sayısı olarak tanımlanır. Diğer bir ifade ile 1 r n için E(n,r) {α K n : S(α) r} n 2 için K n olduğu açıktır. Örneğin; α 1 2 3 K 3 1 2 olup, K 3 42

6. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN ORBİTLERİ Metin KOÇ Sonuç 6.4 α K n olsun. Eğer x X n ise xα m xα m+1 ve her 1 i < j m için xα i xα j olacak bir m pozitif tamsayısı vardır. Ayrıca x dom(α) ise m 2 İspat: Eğer bir x X n için xα m xα m+1 dom(α) olsaydı xα m fix(α) olurdu ki bu α K n olması ile çelişir. Böylece Önerme 6.1 den istenilen sonuç elde edilir. Önerme 6.5 α K n olsun. Eğer α nın bir tek orbiti var ise α E(n,1) İspat: Her α PO n için α nın orbitlerini düşünelim. Her x S(α) için x in orbiti sadece x ten oluştuğundan α nın orbit sayısı en az S(α) nın eleman sayısı kadardır. Dolayısıyla, α SPO n olduğundan α nın orbitlerin sayısı en az 1 Fakat α SPO n nin bir tek orbiti olduğundan S(α) 1 Dolayısıyla, K n SPO n olduğundan eğer α K n nin α E(n,1) bir tek orbiti var ise S(α) 1yani Önerme 6.6 α K n ve m X n olmak üzere S(α) {m} olsun. O zaman (i) her x < m X n (m 2 ise) için x + 1 xα ve (ii) her x > m X n (m n 1 ise) için xα x 1 İspat: α K n ve S(α) {m}, ve dolayısı ile, α E(n,1) Her x < m 1 (m 2 ise) için x dom(α) ve xα x olduğundan xα x+1 ya da xα x 1 olmak zorundadır. Biz xα x 1 olduğunu kabul edelim: O zaman (x 1) (x 1)α xα (x 1) olduğundan (x 1) α x 2 Benzer şekilde devam edildiğinde (x 1)α x 2, (x 2)α x 3,..., 3α 2, 2α 1 43