1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde hat rlatmay amaçlad k. ÖSS de bu konudan ortalama 1 soru ç kmaktad r. Derginin bundan sonraki say s nda a nt ve Fonksiyon konusu ele al nacakt r. = {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. fla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a II. {a, b} III. {c} IV. {b} V. c ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 ) 5 a, {a, b} ve {b} ifadeleri do ru, {c} ile c ifadeleri yanl flt r. 3 tanesi do rudur. 1. Yol s() = n ise alt küme say s, 2 n ve özalt küme say s, 2 n 1 dir. 2 n (2 n 1) = 1 olur. (4 + 12) (3 + 16) = 1 = 5 bulunur. 2 n = 4. 5 + 12 2 n = 32 n = 5 olur. 2. Yol lt küme say s, özalt küme say s ndan 1 fazla oldu undan, 4+12 (3+16) = 1 = 5 2 n = 20+12 n = 5 olur. Yan t : = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a veya f elemanlar ndan en az biri bulunur? = {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6,, 8, 9} oldu una göre, kaç farkl kümesi yaz labilir? ) 4 ) 16 C) 32 D) 64 ) 128 s() = 5 oldu undan, 2 5 = 32 tane alt kümenin her birinin içine {6,, 8, 9} kümesinin tüm elemanlar yaz larak oluflturulacak her küme kümesi olabilece inden, 32 tane farkl kümesi yaz labilir. ) 64 ) 58 C) 54 D) 48 ) 42 Soruda isteneni bulmak için, tüm alt küme say s ndan, a ve f elemanlar n n ikisinin de bulunmad alt küme say s n ç karmal y z. 2 6 2 4 = 64 16 = 48 olur. Yan t : D ir kümenin, alt küme say s n kat kadar art rmak için, eleman say s n kaç art rmak gerekir? ) 5 ) 4 C) 3 D) 2 ) 1 lt küme say s 4+12 ve özalt küme say s 3+16 olan bir kümenin eleman say s kaçt r? ) 5 ) 6 C) D) 8 ) 9 s() = n ise alt küme say s 2 n dir. lt küme say s n kat kadar art rmak, 8 kat na ç karmak demektir. 2 n = (1 + ) 2 m 2 n = 2 3+m n = m + 3 olmal d r. u durumda, eleman say s n 3 art rmak gerekir. 3
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, } kümesinin 3 elemanl alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift say bulunur? ) 29 ) 31 C) 35 D) 40 ) 42 Tüm 3 elemanl alt küme say s ndan, tek say lardan oluflan tüm 3 elemanl alt küme say s n ç kararak bulabiliriz. 3 4 3 Yan t : = 35 4 = 31 bulunur. ve kümeleri, ayn evrensel kümesinin alt kümeleridir. s( ) = s( ) = 8 s( ) = 12 ise, = oldu undan, flema yandaki gibidir. s( ) = s( ) = 8 s( ) = s() s( ) = 14 8 = 6 s( ) = s() s( ) = 9 6 = 3 s( ) = s( ) = 3 + 8 = 11 bulunur. Yan t : n elemanl = {a, b, } kümesinin a veya b elemanlar ndan en az birini bulunduran alt kümelerinin say s 384 oldu una göre, kümesinin 2 elemanl kaç alt kümesi vard r? ) 10 ) 15 C) 21 D) 28 ) 36 (9) 3 8 6 (14) Tüm alt küme say s ndan, a ve b nin birlikte bulunmad alt küme say lar n ç kararak bulabiliriz. ( ) kümesinin kaç eleman vard r? 2 n 2 n 2 = 384 2 n 1 1 4 = 384 ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 ) 2 n. 3 4 = 384 n = 9 bulunur. c + d = + a + d = 8 a + c + d + d = 15 a + c + d = 12 oldu undan, d = 3 bulunur. ( ) kümesinin 3 eleman vard r. Yan t : d kümesinin 2 elemanl alt kümesi say s, C(9,2) = 36 olur. Yan t : ve olmak üzere, s( ) = 2.s( ) s( ) = 12 oldu una göre, s() en çok kaç olabilir? ) 6 ) C) 8 D) 9 ) 10 evrensel küme olmak üzere, = s( ) = 8 s() = 9 ve s() = 14 ise, s( ) kaçt r? ) 6 ) 8 C) 9 D) 10 ) 11 4 s( ) = ise, s( ) = 2 olur. s( ) = 3+y = 12 ise, 2+(+y)=12 yaz labilir. u eflitlikte in en küçük de eri için, +y en büyük de erini al r. =1 için s() = +y = 10 olur. Yan t : 2 y
ve, ayn evrensel kümenin bofl olmayan alt kümeleridir., ve Ø ise, [ \ ( )] \ kümesi afla dakilerden hangisine eflittir? ) \ )\ C) D) ) 2. Yol: Verilenlere uygun flema çizilip elemanlar yaz l rsa, ( ) ( ) =({1}) ({1,2}) = {2,3,4} {3,4} = {2} = bulunur. Yan t: D C 1 2 3 4 1. yol: Kümelerdeki ifllem bilgileri kullan larak yap labilir. [ \ ( ) ] \ = [ \ ( ) ] \ = [ ( )] \ = [ ] \ = \ olur. = { 600, = 3n+5, n Z + } = { > 100, = 4m, m Z + } kümeleri veriliyor. una göre, kümesinin eleman say s kaçt r? ) 3 ) 42 C) 50 D) 55 ) 60 2. yol: Sembolik bir flema çizilerek görülebilir. 1 2 3 4 [ \ ( ) ] \ = [{1, 2, 3, 4} \ {4} ] \ {1, 2} = [{1, 2, 3}] \ {1, 2} = {3} = \ olur. Yan t : Ortak elemanlar, =3n+5=4m (m,n Z + ) koflulunu sa layan ve [101,600] aral ndaki say lard r. +4=3n+9=4m+4 +4=3(n+3)=4(m+1) +4=OKK(3,4)k =12k 4 olur. [101, 600] aral ndaki ilk terim, k=9 için =104 ve son terim, k=50 için =596 d r.,, C ayn evrensel kümenin bofl olmayan alt kümeleri ve C olmak üzere, Terim say s = = 596 104 12 Yan t: son terim ilk terim art fl miktar + 1 + 1 = 41+1=42 bulunur. ( ) ( ) eflittir? ifadesi afla dakilerden hangisine ) ) C) C D) ) C 1. Yol = ve = oldu undan, ( ) ( ) = = ( ) = olur. ir okuldaki ö renciler; resim, müzik ve tiyatro aktivitelerinden en az birine kat lmaktad r. Resim ile müzik ayn gün ve ayn saatte yap lmaktad r. u ö rencilerden; 140 resim, 160 müzik ve 180 i tiyatro aktivitelerine kat lmamaktad r. u aktivitelerden ikisine kat lanlar n say s 40 ise, okulda kaç ö renci vard r? ) 230 ) 250 C) 260 D) 280 ) 310 5
Verilenlere uygun flema çizelim. c+d+e =140 a+b+c=160 + a+b+2c+d+e=300 eflitli inde, a+e=180 ve b+d=40 oldu undan, R T d e M ir s n ftaki ö rencilerin 1 ü fizik, 1 si kimya derslerinden kalm flt r. S n f n 5 si her iki dersten geçmifl- 4 tir. Her iki dersten kalanlar n say s 6 oldu una göre, bu s n fta kaç ö renci vard r? ) 28 ) 56 C) 84 D) 112 ) 140 c=40 bulunur. Ö renci say s ; a+e=180, b+d=40 ve c=40 oldu undan, 180+40+40=260 t r. Yan t: C Ö renci say s, 28 olsun. Fizikten K (4) F () kalanlar, kimyadan 3 kalanlar 4 ve her iki 20 dersten geçenler 20 olur. s(k F )=(4++20) 28=3 olur. 3=6 =2 s() = 28=56 bulunur. Yan t: (28) ngilizce ve lmancadan en az birini bilenlerden oluflan bir grubun % 55 i ngilizce ve % 5 i lmanca bilmektedir. Hem ngilizce hem de lmanca bilenlerin say s 6 oldu una göre, grupta bu dillerden yaln z birini bilen kaç kifli vard r? ) 14 ) 15 C) 16 D) 18 ) 20 Matematik, fizik ve kimya derslerinin en az birinden kalan 42 ö renciden; her üç dersten kalan, matematikten kalan 20, fizikten kalan 25 ve kimyadan kalan 26 kiflidir. u derslerden herhangi ikisinden kalanlar n say lar eflit oldu una göre, sadece matematik dersinden kalan ö renci say s kaçt r? Grubun 100 kifli oldu u düflünülerek flemada da l m yap l r. 55+5=130 olup 30 fazlal kesiflime aittir. Orant yard m yla istenen bulunur. % 30 u 6 ise % 0 i olsun Do ru orant = 0.6 = 14 bulunur. 30 Yan t: (55) (5) 25 30 45 6 ) 3 ) 5 C) D) 8 ) 10 u de er, a+2 =13 eflitli inde yerine yaz l rsa, a=3 olur. Yan t: M(20) a c K(26) b F(25)
Gözlüklü ve gözlüksüz 120 yolcunun bulundu u bir uçakta gözlüklü erkeklerin say s, gözlüksüz bayanlar n say s n n iki kat d r. Gözlüklü bayanlar n say s 45 ve uçaktaki yolcular n % 60 erkektir. una göre, uçakta kaç gözlüksüz erkek yolcu vard r? ) 0 ) 66 C) 60 D) 56 ) 54 46 kiflilik bir turist kafilesinde; ngilizce ve Frans zcadan sadece birini konuflabilenlerin say s, hiç birini konuflamayanlar n say s n n 3 kat ve her iki dili de konuflabilenlerin say s n n 5 kat d r. una göre, bu kafilede her iki dili de konuflabilen kaç kifli vard r? ) 3 ) 6 C) 9 D) 12 ) 15 rkeklerin say s, 120 60 = 2 dir. 100 ayanlar n say s, 120 2=48 dir. a+c=3d a+c=5b 3d=5b d=5k ise b=3k olur. F d (48) (2) Gözlüklüler 45 2 Gözlüksüzler y Gözlüksüz bayanlar n say s, =48 45=3 olur. y+2=2 y=66 bulunur. a+c+b+d=46 3d+b+d=46 20k+3k=46 k=2 bulunur. Her iki dili de konuflanlar n say s, b=3k = 6 d r. Yan t: Yan t: ve iki kümedir. kümesinin eleman say s, kümesinin alt küme say s na eflit ve s( ) = 34 ise, kümesi en az kaç elemanl d r? ) 12 ) 14 C) 18 D) 20 ) 24 ve kümeleri, ayn evrensel kümesinin alt kümeleridir. s( ), s( ), s( ) ve s( ) küçükten büyü e do ru s ralanm fl ard fl k çift say lard r. s() = 52 oldu una göre, s( ) kaçt r? ) 36 ) 30 C) 24 D) 20 ) 16 a=2 b a+b+c=34 2 b +b+c=34 eflitli inde, 2 b en çok iken, b+c en az olur. b=5 2 b =32 32+5+c=34 olamaz. b=4 2 b =16 16+4+c=34 c=14 bulunur. s()=b+c=4+14=18 olur. Yan t: C s()=4n+12=52 n=10 s( )=3n+6 =3.10+6=36 Yan t: n n+2 n+4 n+6