MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod n) dir. Z/n ={ 0,1,2,..., n 1 } kümesine n in kalan sınıflarının kümesi denir. Yukarıdaki tanımları bir örnekle şekillendirelim; Z tamsayılar kümesinde tanımlı = {(x,y): 5 x-y } = {,(-3,7),(-8,-3),(-2,-2),(1,16), } bağıntısını incelediğimizde bir denklik bağıntısı olduğu görülür. Bağıntıyı oluşturan ikililerin elemanları denktir. (-3,7) β olduğundan -3 7 (mod 5) dir. Yukarıdaki bağıntı; farkları 5 ile bölünebilen tamsayıların (mod 5) e göre denk olduklarını gösterir. Bu aynı zamanda; 5 ile bölündüklerinde aynı kalanı veren tamsayıların (mod 5) e göre denk olduklarını da göstermektedir. Tanım gereği; 2008-x = 5.k ( k Z + ) olmalıdır. x=3 ve x=8 eşitliği sağlayan en küçük iki pozitif tamsayıdır. Toplamları: 3+8=11 olur. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-1 2008 x (mod 10) Denkliğini sağlayan en küçük pozitif iki tam sayının toplamı kaçtır? A)8 B)13 C)18 D)23 E)26 DNA-2 2009 x ( mod 5 ) Denkliğini sağlayan en büyük negatif iki tam sayının toplamı kaçtır? A)-1 B)-6 C)-7 D)-8 E)-9 2009-x = 5.k ( k Z + ) olmalıdır. x=-1 ve x=-6 eşitliği sağlayan en büyük iki negatif tamsayıdır. Toplamları: -1+(-6)=-1-6=-7 olur. Doğru Seçenek C dir. DNA-1 2008 x (mod 5) Denkliğini sağlayan en küçük pozitif iki tam sayının toplamı kaçtır? GENETİK KOPYA-2 2009 x ( mod 10 ) Denkliğini sağlayan en büyük negatif iki tam sayının toplamı kaçtır? A)-22 B)-21 C)-19 D)-12 E)-11
DNA-3 x+5 4 (mod 6) olduğuna göre, x in alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı kaçtır? A)5 B)9 C)13 D)16 E)18 x+5-4 = 6.k ( k Z ) olacağından, x+1 = 6.k x=5 ve x=11 eşitliği sağlayan en küçük pozitif iki tamsayıdır. Toplamları: 5+11=16 dır. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-3 x+3 1 (mod 7) olduğuna göre, x in alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı kaçtır? eşitliklerinden; x-3=35k (k Z) bulunur. x-3=35 x=38 x-3=70 x=73 İstenen değerlerin toplamı: 38+73=111 dir. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-4 x iki basamaklı bir doğal sayı, x 2 (mod 4) ve x 2 (mod 5) olduğuna göre, x in en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır? A)82 B)94 C)104 D)110 E)116 A)5 B)9 C)12 D)16 E)17 DNA-4 x iki basamaklı bir doğal sayı, x 3 (mod 5) ve x 3 (mod 7) olduğuna göre, x in en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır? IŞIK-1 x,y,z,v Z için: x y (mod n) ve z v (mod n) ise x+z y+v (mod n) ve x.z y.v (mod n) dir. A)73 B)78 C)102 D)111 E)123 x 3 (mod 5) denkliği; x sayısının 5 e bölümünden kalanın 3 olduğunu, IŞIK-2 a, b Z / n için: a b a b ve a b a. b dir. x 3 (mod 7) denkliği; x sayısının 7 ye bölümünden kalanın 3 olduğunu verir. x=5m+3 x-3=5m (m Z) x=7n+3 x-3=7n (n Z) IŞIK-3 m asal sayı iken; (m-1)!+1 0 (mod m) dir.
DNA-5 3 45 in (mod 7) ye göre denk olduğu bir sayı A)0 B)1 C)2 D)4 E)6 3 45 x (mod 7) Denkliğindeki x sayısı aranmaktadır. 3 3 (mod 7) Her sayı kendisine denktir. Her iki tarafın karesini aldığımızda; 3 2 9 2 (mod 7) Taraf tarafa çarptığımızda; 3.3 2 3.2 (mod 7) 3 3 6-1 (mod 7) Her iki tarafın 15. Kuvvetini aldığımızda; (3 3 ) 15 (-1) 15 3 45-1 6 (mod 7) bulunur. Bir başka deyim ile; 3 45 sayısının 7 ye bölümünden kalan 6 dır. Doğru Seçenek E dir. UYARI Denkliğin sağ tarafında 1 (veya -1) bulunduğunda; her iki tarafın kuvveti alınarak sonuca gidilir. GENETİK KOPYA-5 99 9 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? DNA-6 1+9+9 2 +9 3 + +9 2001 toplamının birler basamağı kaçtır? A)0 B)1 C)2 D)7 E)9 Sayının birler basamağı, 10 a bölündüğünde bulunan kalandır. Toplamın mod 10 a göre denk olduğu sayı isteniyor. 9 9 (mod 10) 9 2 1 (mod 10) 9 3 9 (mod 10) 9 4 1 (mod 10) 9 2n 1 ve 9 2n+1 9 olduğu görülüyor. 9 un çift kuvvetleri 1 kalanını, 9 un tek kuvvetleri 9 kalanını vermektedir. Toplamda 9 un çift ve tek kuvvetleri eşit sayıda olduğundan; 9+1 10 0 (mod 10) olur. Doğru Seçenek A dır. GENETİK KOPYA-6 9 9 9 hesaplandığında bulunan sayının birler basamağı kaç olur? A)0 B)1 C)2 D)7 E)9
DNA-7 2 34 hesaplandığında bulunan sayının birler basamağı kaç olur? A)0 B)2 C)4 D)6 E)8 2 2 (mod 10) 2 2 4 (mod 10) 2 3 8 (mod 10) 2 4 6 (mod 10) 2 5 2 (mod 10) 2 nin kuvvetleri alındığında, sağ taraf 2,4,8,6,2,4,8,6,2,4,. Olarak devretmektedir. 2 nin kuvveti, 4 ün katından 1 fazla ise, sayı 2 ye denk olmaktadır. 2 4k+1 2 (mod 10) dir. 3 4 =81 81=4.20+1 2 81 =2 4.20+1 2 (mod 2) bulunur. Doğru Seçenek B dir. DNA-8 3 444 +4 333 toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? Terimleri tek tek incelediğimizde; 3 3 (mod 5) 3 2 9 4 (mod 5) 3 3 3.4 12 2 (mod 5) 3 4 3.2 6 1 (mod 5) (3 4 ) 111 3 444 3 4k 1 (mod 5) Diğer taraftan; 4 4 (mod 5) 4 2 16 1 (mod 5) (4 2 ) 166 4 332 1 (mod 5) 4.4 332 4 333 =4 2k+1 4 (mod 5) 3 444 +4 333 1 4 0 (mod 5) Doğru Seçenek A dır. GENETİK KOPYA-8 2 2008-2 sayısının birler basamağı kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 GENETİK KOPYA-7 (2001+2001) 2001+2001 sayısının birler basamağı kaçtır? A)0 B)2 C)4 D)6 E)8
DNA-9 2222 5555 +5555 2222 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? DNA-10 97 100 +96 100 +95 100 Toplamının birler basamağı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 7 2222 3 (mod 7) 2222 2 2 (mod 7) 2222 3 6 (mod 7) 2222 4 4 (mod 7) 2222 5 5 (mod 7) 2222 6 1 (mod 7). 5555=6.925+5 2222 5555 6k 5 5 2222 2222 5 (mod 7) 97 7 (mod 10) 97 2 9-1 (mod 10) (97 2 ) 50 97 100 1 (mod 10) 96 6 (mod 10) 96 2 6 (mod 10). 96 100 6 (mod 10) 5555 4 (mod 7), 5555 2 2 (mod 7) 5555 3 1 (mod 7) 2222=3.740+2 5555 2222 3k 2 2 5555 5555 2 (mod 7) 95 5 (mod 10) 95 2 5 (mod 10). 95 100 5 (mod 10) 97 100 +96 100 +95 100 1+6+5 2 (mod 10) Doğru Seçenek C dir. 2222 5555 +5555 2222 5 2 0 (mod 7) Doğru Seçenek A dır. GENETİK KOPYA-9 2 10 10 10 10 10... 10 10 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? GENETİK KOPYA-10 44 10 +55 10 +66 10 Toplamının birler basamağı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 7
DNA-11 2x 3 (mod 11 ) Denkliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayı kaçtır? A)2 B)4 C)6 D)7 E)9 GENETİK KOPYA-12 3x+1 0 (mod 5) ise x in en büyük negatif tamsayı değeri kaçtır? A)-5 B)-4 C)-3 D)-2 E)-1 2x-3 = 11.k ( k Z ) 2x = 3+11.k x = 3+11.k 2 k = 1 için ; x = 3+11.1 = 7 dir. 2 Doğru Seçenek D dir. DNA-13 n doğal sayı olmak üzere; 4 4n+5 sayılarının 5 ile bölümünden kalan kaç olur? GENETİK KOPYA-11 3x+4 5 (mod 7) Denkliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayı kaçtır? DNA-12 3x-6 0 (mod 9) ise x in alabileceği en küçük üç pozitif tamsayının toplamı kaçtır? 4 4n+5 x (mod 5) 4 4 (mod 5) 4 2 1 (mod 5) 4 4n+5 4 4n.4 5 (4 2 ) 2n.(4 2 ) 2.4 (mod 5) 4 4n+5 1.1.4 (mod 5) 4 4n+5 4 (mod 5) Doğru Seçenek E dir. YADA!!! n=0 için; 4 4n+5 x (mod 5) 4 5 x (mod 5) 4 5 4 (mod 5) A)13 B)15 C)19 D)21 E)23 3x 6 (mod 9) 3, 6 ve 9 sayılarının OBEB i 3 olduğundan Tüm sayıları 3 e böldüğümüzde; x 2 (mod 3) olur. Denkliği doğrulayan sayılar; x 2,5,8 dir. Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-13 Her n doğal sayısı için: 2 5n+1 + 5 n+2 x (mod 27) ise x in alabileceği değerlerden biri A)0 B)3 C)13 D)18 E)21
DNA-14 A iki basamaklı bir doğal sayı, A 5 (mod 6) ve A 8 (mod 9) ise A nın en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır? A)89 B)95 C)106 D)110 E)114 A 5 (mod 6) ise A=6x+5 A 8 (mod 9) ise A=9y+8 dir. A+1=6(x+1)=9(y+1), A+1 OKEK(6,9) 18 36 54 72 90... A nın en küçük değeri 17, en büyüğü 89 dur. Toplamı; 17+89=106 dır. Doğru Seçenek C dir. Saatin akrebi her 12 saatlik süre dolduğunda 12 yi göstereceğinden, 2009 x (mod 12) aranmaktadır. 2009 un, 12 ye bölümünden kalan 5 dir. 2009 = 12.167+5 2009 5 (mod 12) olduğundan Saatin akrebi 5 i gösterir. Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-15 Bu gün Pazar ise 100 gün sonra hangi gün olur? A)Pazar B)Pazartesi C)Salı D)Çarşamba E)Cumartesi GENETİK KOPYA-14 A iki basamaklı bir doğal sayı, A 3 (mod 4) ve A 5 (mod 6) ise A nın en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır? A)95 B)101 C)106 D)109 E)111 DNA-16 x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 2 (mod 7) denkliklerini sağlayan en küçük pozitif x tamsayısı kaçtır? A)16 B)18 C)20 D)23 E)25 DNA-15 Saat tam 12 yi gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi 2009 sattlik süre dolduğunda kaçı gösterir? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 x 2 (mod 3) x=2+3a (a Z) 2+3a 3 (mod 5) 3a 1 (mod 5) a 2 (mod 5) a =2+5b (b Z) a nın bu değeri yerine yazıldığında; x = 2+3(2+5b) =8+15b bulunur. x in bu değeri üçüncü denklikte yerine yazıldığında; x 8+15b 2 (mod 7) ve b=1 için x=23 bulunur. Doğru Seçenek D dir.
GENETİK KOPYA-16 x 1 (mod3) x 2 (mod5) x 3 (mod7) denkliklerini sağlayan en küçük pozitif x tamsayısı kaçtır? A)25 B)32 C)45 D)47 E)52 HALKA (A,o,#) sistemi aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir halkadır. (A,o) sistemi değişmeli gruptur. A, # işlemine göre kapalıdır. A da # işleminin birleşme özeliği vardır. # işleminin, o işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özeliği vardır. CİSİM (A,o,#) sistemi aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir cisimdir. Doğrudan soru olarak çıkmamasına karşın sorular içinde kullanıldığında sıkıntı yaratan bir konuyu ek bilgi olarak vermeden geçemeyeceğiz. (A,o) sistemi değişmeli gruptur. (A-{0},#) sistemi değişmeli gruptur. # işleminin, o işlemi üzerine dağılma özeliği vardır. MATEMATİK SİSTEMLER Bir küme ile bu küme üzerinde tanımlanmış bir veya daha çok işlem bir matematik sistem oluşturur. GRUP (A,o) sistemi aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir gruptur. A, o işlemine göre kapalıdır. A da o işleminin birleşme özeliği vardır. A da o işleminin birim elemanı vardır. A da her elemanın o işlemine göre tersi vardır. Grupta işlemin değişme özeliği de varsa gruba değişmeli grup denir. DNA-17 Z/7 de; 5x+2=1 denkleminin kökü Z/7 de, 2 nin + işlemine göre tersi 5 tir. 2+5=7 0 (mod 7) 5x+2+5=1+5 5x=6 Z/7 de, 5 in. işlemine göre tersi 3 tür. 5.3=15 1 (mod 7) 3.5x=3.6 x=18 4 (mod 7) Doğru Seçenek E dir.
GENETİK KOPYA-17 Z/5 de; 3x+4=1 denkleminin kökü DNA-18 Z/5 te karekökü olan elemanların kümesi A){0,1,4} B){1,2,3} C){0,2,5} D){0,1,2,3} E){2,3} Z/5={0,1,2,3,4} 0 2 =0.0 0 (mod 5) 1 2 =1.1 1 (mod 5) 2 2 =2.2 4 (mod 5) 3 2 =3.3=9 4 (mod 5) 4 2 =4.4=16 1 (mod 5) 0=0 1 = 1 veya 4 4 = 2 veya 3 Karekökü bulunabilen elemanların kümesi {0,1,4} olur. Doğru Seçenek A dır. GENETİK KOPYA-18 Z/7 de; 2 elemanının karekökleri olan elamanların toplamı
KONU TESTİ 1. 2006 sayısının n sayısına bölümünden kalan 6 dır. Koşulu sağlayan kaç tane n pozitif tamsayısı vardır? 5. n N + için 2 n sayısının 7 ile bölümünden kaç farklı kalanı vardır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20 2. 7 2006 + 25 2007 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır? 6. 2x 4 (mod 6) Denkliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayı kaçtır? A)5 B)4 C)3 D)2 E)1 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. 7. 5 13 x (mod 17) Denkliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayı kaçtır? A)2 B)3 C)5 D)7 E)9 0 ile 2007 arasındaki sayılar yukarıdaki grafik ile verilmiştir. 2004 ile 2007 arasındaki sayılar arasındaki grafik aşağıdakilerden hangisidir? 8. 115 32 sayısının 7 ye bölümünden kalan kaçtır? 9. x 5 (mod 7) x 6 (mod 9) Denkliklerini sağlayan en küçük pozitif tamsayı kaçtır? 4. 11 2003.7 2004.13 2005 sayısının birler basamağı kaçtır? A)23 B)27 C)33 D)41 E)49 A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
10. 3x 3 (mod 6) Denkliğini sağlayan en küçük iki pozitif tamsayının toplamı kaçtır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 15. 3 9 +5 9 +9 9 +11 9 toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? 11. Z/7 de; X+6=2 denkleminin kökü 16. ( ((7 7 ) 7 ) 7 ) sayısında 7. kuvvet 1000 defa alınmıştır. Elde edilen sayının birler basamağı kaçtır? A)1 B)3 C)7 D)8 E)9 12. Z/7 de; 4X+1=6 denkleminin kökü 13. 5X 3 (mod 7) Denkliğini sağlayan en küçük iki pozitif tamsayının toplamı kaçtır? 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.C 12.C 13.C 14.B 15.A 16.C A)9 B)10 C)11 D)12 E)13 14. 44.113 çarpımından elde edilen sayının 12 ile bölümünden kalan kaç olur? A)2 B)4 C)6 D)8 E)10