10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir tam sayısının mutlak değeri 7. Tam sayılar kümesinde bölme ve kalanlı bölme 8. Bir tam sayısının bölenleri 9. Tam sayılarının ortak bölenleri 10. Aralarında asal sayılar 11. Alıştırmalar 1.Tam sayılar kümesi 1.Tanım: Eğer ise ve yalnız böyle ise ( ) ikilisi ( ) ikilisine denktir, denir. Simgesi:. Örnek: doğrudur. 3+3 = 2+4 yanlıştır. 3+5 2+4 1.Teorem: kümesinde biçiminde tanımlanan bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. 1. Yansıyan: ( ) 2. Simetrik: 3. Geçişli: [ ve ] ve ( ) {( ) ( ). 1
2.Tanım: ( ) olmak üzere kümesinde tanımlanan denklik bağıntısına göre ( ) yi eleman olarak alan ( ) denklik sınıfına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi ile gösterilir. 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 1.Tanım: Tam sayılar kümesinde tanımlanan, (( ) ( ) ) ( ) işlemine toplama denir. ( ) tam sayısına ( ) ( ) tam sayılarının toplamı denir. ( ) ( ) biçiminde gösterilir. Yani, ( ) ( ) ( ) Tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. 2.Tanım: Tam sayılar kümesinde tanımlanan, (( ) ( ) ) ( ) işlemine çarpma denir. ( ) tam sayısına ( ) ( ) tam sayılarının çarpımı denir. ( ) ( ) biçiminde gösterilir. Yani, ( ) ( ) ( ) Tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. 1.Teorem: ( ) matematik yapısı değişmeli ve birimli bir halkadır. 2.Teorem: ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) b) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) 3.Teorem: ( ) halkası bir tamlık bölgesidir. 3.Pozitif ve negatif tam sayılar olmak üzere, önermelerin biri ve yalnız biri doğrudur. 1.Teorem: ( ) ve bir için aşağıdaki önermelerden sadece bir tanesi doğrudur: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 1.Sonuç: ( ) a) ( ) ( ) 2
b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 2.Teorem: {( ) ( ) ve ( ) matematik yapısı, ( ) matematik yapısına izomorftur. 1.Tanım: ( ) a) ( ) sayısına pozitif tam sayı denir. b) ( ) sayısına negatif tam sayı denir. c) ( ) sayısına sıfır denir ve ( ) yazılır. - pozitif tam sayılar kümesi, - negatif tam sayılar kümesi. olmak üzere her tam sayı ( ) veya ( ) biçiminde yazılabilir. ( ) ve ( ), { 4.Tam sayılar kümesinde çıkarma 1.Tanım: ( ) tam sayısına nin farkı denir. Farkı bulmak işine çıkarma denir. Simgesi: x-y 1.Teorem: a) ( ) b) ( ) 5.Tam sayılar kümesinde sıralama 1.Tanım: ( ) ve ( ) yerine bazen yazılır. veya ifadesi biçimde yazılır. 1.Teorem: olsun olması için, olacak biçimde pozitif bir sayısının var olması gerektir ve yeter. 2. a) b) ( ) dir. c) için, d) için, 3.Teorem: de tanımlanan bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır. kümesi bu bağıntıya göre tam sıralı bir kümedir. 3
1.Tanım: { 6. Bir tam sayısının mutlak değeri biçiminde tanımlanan sayısına x in mutlak değeri denir. fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir. 1.Teorem: olduğuna göre, ( ) 2.Teorem: a) b) c) d) ( ) e) ( ) f) = g) h) i) j) 7.Tam sayılar kümesinde bölme ve kalanlı bölme 1.Tanım: ve b=ax olacak biçimde bir x tam sayısı varsa, a ya b nin bir çarpanı (veya b ye a nin bir katı) denir. x sayısına b nin a ya bölümü denir. a sayısı b nın br çarpanı ise, b sayısı a sayısına bölünebiliyor denir ve a b biçiminde gösterilir ve a böler b diye okunur. 2.Tanım: x ve y herhangi tam sayılar olduğuna göre, ax+by tam sayısına a ve b sayılarının bir lineer toplamı denir. 1.Teorem: ve ( ) 2.Teorem: ve veya 3.Teorem: 4
ve 1.Tanım: ve, yı b ye kalanlı olarak bölmek demek, ve olacak biçimde bir tam sayısı ile r doğal sayısını bulmak demektir. Bu durumda a ya bölünen, b ye bölen, q sayısına bölüm, r sayısına kalan denir. 1.Teorem: a sayısı b sayısına kalanlı bölünebilir. Kalanlı bölmede elde edilen bölüm ve kalan birer tanedir. 8.Bir tam sayısının bölenleri ise sıfırdan farklı her tam sayı a nın bir bölenidir. ise -1,1, -a, a sayilarından biri a nın bir bölenidir. {B(a)} ile a tam sayısının bölenlerinin kümesi gösterilir. {B(0)}= { {B(8)}={-8, -4, -2, -1,1,2,4,8} 9.Tam sayılarının ortak bölenleri 1.Tanım: Sıfırdan farklı iki ve b tam sayısının her ikisini tam bölen x tam sayısına bu sayıların ortak bir böleni denir. ve b tam sayılarının ortak bölenlerinin kümesi {OB(a,b)} biçiminde gösterilir. Tanıma göre, { ( ) { ( ) { ( ) Örnek: { ( ) ={-2,-1,1,2} 1.Teorem: {. 2.Teorem: ve ise { ( ) { ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) { ( ) ( ) ( ( )) ( ) { ( ) Örnek: { ( ) ={-4,-2,-1,1,2,4} 36=28.1+8 28=8.3+4 { ( ) { ( ) 2.Tanım: Sıfırdan farklı tam sayılarından her birini tam plarak bölen bir x tam sayısına bu sayıların ortak bir böleni denir. tam sayılarının ortak bölenlerinin kümesi {OB( )} biçiminde gösterilir. Tanıma göre, { ( ) { ( ) { ( ) { ( ). 3.Tanım: En az biri sıfırdan farklı iki tam sayı ve b ve b sayıların ortak bölenlerinin kümesinin en büyük elemanına ortak bölenlerin en büyüğü denir. 5
ve b tam sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü OBEB(a,b) biçiminde gösterilir. Tanıma göre, OBEB(a,b)=OBEB( a, b ). OBEB(38,28) =4 3.Teorem: En az biri sıfırdan farklı iki tam sayı ve b OBEB(a,b)=r n olacak biçimde bir ve yalnız bir tane pozitif r n tam sayı vardır. Bu sayı ve b tam sayıların lineer toplamı olacak yazılabilir: r n =ma+nb. a>b {OB(a,b)}= {OB (b, )} {OB (b, )}= {OB ( )} {OB ( )}= {OB ( )} {OB(a,b)}= {OB (b, )}= {OB ( )}= {OB ( )}= = {OB ( )}=B{ } =ma+nb Bu yönteme Öklid Algoritması denir. Alharezmi Musa Oğlu Harezmi Mehmet (İX yüzyılın başı) Örnek: OBEB{-118,26}=? Çözümü: OBEB{-118,26}= OBEB{118,26} 118=26.4+14 26=14.1+12 14=12.1+2 12=2.6+0 OBEB{118,26}=2 2=14-12=14-(26-14)=2.14-26; 14=118-26.4 2=2.14-26=2.(118-26.4)-26=2.118-9.26 10.Aralarında asal sayılar 1.Tanım: En az biri sıfırdan farklı olan ve b tam sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü 1 ise bu iki sayıya aralarında asal sayılar denir. ve b tam sayılarının aralarında asal olduğu ( ) biçiminde gösterilir. 1.Teorem: En az biri sıfırdan farklı olan ve b tam sayılarının aralarında asal olması için, olacak biçimde m ve n tamsayılarının bulunması gerekir ve yeter. ( ) 6
iki tam sayınını OBEB, bu tam sayıların lineer toplamı olarak yazılabildiğinden, olacak biçimde m ve n tamsayıları vardır. ( ) olacak biçimde m ve n tamsayılarının var. ( ) d>0 2.Teorem: ( ) ve ( ) ise ( ) 3.Teorem (Gauss Teoremi): ( ) ve ( ) ise 4.Teorem: ve ( ) ise ( ) 11.Alıştırmalar 1. ( ) ( ) =? 2. Tam sayıların hangileri pozitif, hangileri negatif, hangileri sıfırdır: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 3. 3x+4 + x 20 açık önermesinin de doğruluk kümesi nedir? 4. n çift sayı olduğuna göre, 48 n (n 2-4) olduğunu gösteriniz. 5. OBEB(1517,2021)=? 6. ve ( ) ise ( ) olduğunu gösteriniz. 7. OBEB(108,64)=d ve d=108x+64y olduğuna göre d,x,y tam sayıları bulunuz. 8. için 7 (11a+b) ise 7 (10a+3b) olduğunu gösteriniz. 7