Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan rasgele değşken üretme teknklernn ncelenmes. Ters Dönüşüm (Inverse-transform) teknğ Acceptance-rejecton teknğ Özel ntelkl üreteçler
İstatksel Dağılımların Örneklenmes Tahmn edlemeyen veya belrsz aktvtelern modellenmesnde statksel dağılımların kullanılması faydalıdır. Varışlar arası süreler, kuyruklarda servs süreler, br ürün çn talepler genellkle tahmn edleblr değldr (en azından bell br ölçüde) Bu tür değşkenler bell br statksel dağılıma sahp rasgele değşkenler olarak modellenrler. Rasgele Değşken Üretme Teknkler Bahsedlecek teknklern tümü [0,] aralığında unform dağılmış R, R 2, R 3,... rasgele sayıların elmzde hazır olduğunu varsayar. Herbr R rasgele sayı çn pdf : f R, ( x) = 0, 0 x dğer durumlarda cdf: F R 0, ( x) = x,, x < 0 0 x x > 2
Inverse-transform Teknğ Üssel, unform, Webull veya deneysel dağılımların yanısıra genel prenspler le çok çestl ayrık dağılımdan örnekleme yapmaya uygun br teknktr. Hesaplama yönünden en bast ve drek teknk olmasına rağmen her zaman en etkn teknk değldr. Inverse-transform Teknğ Temel mantığı: Br r = F(x) cdf fonksyonu çn, Unform (0,) aralığında r y üret ve buradan x bul: r = F(x) x = F - (r) r x 3
Üssel Dağılım çn Inverse-Transform Teknğ Üssel dağılıma at, pdf: cdf E( ) = X λ λe f ( x) = 0, λx, x 0 x < 0 x λx λt e, x 0 F( x) = λe dt = 0, x < 0 Mesela X, X 2, X 3,... varışlar arası süreler λ parametres le üssel dağılıma sahp se, λ her brm zaman aralığındak ortalama varış sayısı olarak yorumlanablr. Amacımız üssel dağılıma sahp X, X 2, X 3,... değerlern üretmek. Üssel Dağılım çn Inverse-Transform Teknğ - İstenlen X raasgele değşken çn kümlatf yoğunluk fonksyonu (cdf) hesaplanır: Üssel dağılım çn: λx F( x) = e, x 0 2- X aralığında F ( X ) = R ataması yapılır: e λx = R, x 0 çn X rasgele br değşken dolayısı le değşkendr. e λx da rasgele br 4
Üssel Dağılım çn Inverse-Transform Teknğ 3- F ( X ) = R eştlğ X ' R cnsnden fade edecek şeklde çözülür : e λx = R λx e = R λx = ln( R) X = ln( R) λ Bu fade üssel dağılım çn rasgele değşken üretec olarak adlandırılır. Genel gösterm: X = F ( R) Üssel Dağılım çn Inverse-Transform Teknğ 4- R, R 2, R 3,... rasgele sayıları üretlerek X = F ( R ) eştlğ yardımı le stenen rasgele değşkenler hesaplanır. Üssel dağılım çn : X = ln( λ R ) Hem R ' nn hem de ( R )' nn unform dağılmış olması neden le ( R ) yerne yazılarak eştlk braz daha R bastleştrleblr: X = ln R λ 5
Üssel Dağılım çn Inverse-Transform Teknğ Üssel Dağılım çn: Üssel cdf: r = λx F( x) = e, x 0 X, X 2, X 3 rasgele değşkenlern üretmek çn: X = F ( R ) ln( R ) λ exp(λ = ) çn Inversetransform Üssel Dağılım çn Inverse-Transform Teknğ Örnek: exp(λ= ) dağılımına sahp 200 adet X rasgele değşken üretmek steyelm: U(0,) olan 200 rasgele sayı üretlp X = ln R eştlğ λ kullanılırsa elde edlecek X lere at hstogram: 6
Dğer Dağılımlar Ters cfd uygulamasının kullanılableceğ dğer dağılımlar: Unform dağılım Webull dağılımı Üçgen dağılım 7
Deneysel Sürekl Dağılımlar çn Inverse- Transform Teknğ Teork dağılımların kullanılamadığı durumlarda Deneysel ver toplamak çn: Gözlemlenen verler tekrar örneklenr Boşlukları doldurmak çn gözlemlenen ver noktaları arasında nterpolasyon uygulanır. Küçük br örnek kümes çn (n boyutlu): Verler küçükten büyüğe sıralanır x () x (2) x (n) Her br aralığa /n olasılığı atanır x (-) x x() x ) x( ) x( ) x( a = = / n ( ) / n / n ( ) olmak üzere, X = Fˆ ( R) = x( ) ( ) + a R n Deneysel Sürekl Dağılımlar çn Inverse- Transform Teknğ Örnek: 00 adet bozuk chaz çn onarım sürelernn aşağıdak şeklde toplandığını varsayalım: Aralık (Saat) Frekans Bağıl Frekans Kümülatf Frekans, c Eğm, a 0.25 x 0.5 3 0.3 0.3 0.8 2 0.5 x.0 0 0.0 0.4 5.0 3.0 x.5 25 0.25 0.66 2.0 4.5 x 2.0 34 0.34.00.47 R = 0.83 olduuğunda: c 3 = 0.66 < R < c 4 =.00 X = x (4-) + a 4 (R c (4-) ) =.5 +.47(0.83-0.66) =.75 8
Ayrık Dağılımlar çn Inverse-Transform Teknğ Tüm ayrık dağılımlar nverse-transform teknğ le üretleblr Metod: nümerk, table-lookup prosedürü, cebrsel veya formül Uygulama örnekler: Deneysel Ayrık unform Gamma Ayrık Dağılımlar çn Inverse-Transform Teknğ Örnek: Br rıhtımdak yükleme mktarının aynı anda 0,, veya 2 olabldğn varsayalım: Ver Olasılık dağılımı: x p(x) F(x) 0 0.50 0.50 0.30 0.80 2 0.20.00 Metod verlen Rdeğer çn, üretm yöntem şu şeklde olacaktır: 0, R 0.5 x =, 0.5 < R 0.8 2, 0.8 < R.0 R = 0.73 olduğu düşünülürse: F(x - ) < R <= F(x ) F(x 0 ) < 0.73 <= F(x ) Böylece, x = 9
Acceptance-Rejecton teknğ Özellkle cdf kapalı formda fade edlemyorsa kullanışlıdır, Örnek: X ~ U(/4, ) olan rasgele değşkenler üretmek çn Prosedür: Adım. R ~ U[0,] olacak şeklde R değer üret Adım 2a. Eğer R >= ¼ se X=R olarak kabul et. Adım 2b. Eğer R < ¼ se R y reddet ve. adıma dön hayır Ry üret Koşul Çıktı R evet R stenlen dağılıma sahp değldr ama, {R ¼} olayına koşullanmış R değer (R ) stenlen dağılıma sahptr. Etknlk: Büyük ölçüde reddetme adednn nekadar azaltılableceğne bağlı. NSPP (Durağan Olmayan Posson Sürec) çn Acceptance-Rejecton teknğ NSPP: Varış oranının zamana bağlı değştğ br Posson varış sürec d Seyreltme (thnnng) Fkr: En hızlı (yüksek) orana sahp durağan br Posson varış sürec üretlr, λ* = max λ(t) İstenen zamala değşm oranını elde etmey sağlayacak kadar br seyreltme uygulayarak varışların sadece br bölümü kabul edlr. no E ~ Exp(λ*) üretlr t = t + E Koşul R <= λ(t) yes Çıktı E ~ t 0
Acceptance-Rejecton teknğ le br NSPP çn rasgele değşken üretme Ver: Varış Oranları t (dak) Varışlar Arası Ortalama Süre (dak) Varış Oranı λ (t) (#/dak) 0 5 /5 60 2 /2 20 7 /7 80 5 /5 240 8 /8 300 0 /0 360 5 /5 420 20 /20 480 20 /20 Prosedür: Adım. λ* = max λ(t) = /5, t = 0 ve =. Adım 2. R = 0.230 rasgele sayısı çn, E = -5ln(0.23) = 3.3 t = 3.3 Adım 3.R = 0.8830 üretlr λ(3.3)/λ*=(/5)/(/5)=/3 R>/3, olduğu çn varışı üretme Adım 2. R = 0.5530 rasgele sayısı çn, E = -5ln(0.553) = 2.96 t = 3.3 + 2.96 = 6.09 Adım 3. R = 0.0240 üretlr, λ(6.09)/λ*=(/5)/(/5)=/3 Snce R</3, T = t = 6.09, and = + = 2 Özel Ntelkl Üreteçler Bu rasgele değşken üretme teknkler bell br olasılık dağılımının özellklerne dayanır Örnekler: Normal ve lognormal dağılımlar çn Drek Dönüşüm (Drect Transformaton) Konvolüsyon (Erlang veya Bnom rasgele değşken üretmek çn) Beta dağılımı (gamma dağılımından elde edlr)
Drect Transformaton Normal(0,) Dağılımı çn: Düzlemde k nokta olarak çzlmş Z ve Z 2 gb k standard normal rasgele değşken gözönüne alalım: polar koordnatlarda: Z = B cos φ Z 2 = B sn φ B 2 = Z 2 + Z2 2 ~ 2 serbestlk dereces le ch-square dağılımına / 2 sahptr yan = Exp(λ = 2). Böylelkle, B = ( 2ln R) B çapı ve φ açısı karşılıklı bağımsızdır. Z = ( 2ln R) 2 / 2 Z = ( 2ln R) / 2 cos(2πr2 ) sn(2πr ) 2 Drect Transformaton Normal(μ,σ 2 ) dağılımı çn yaklaşım: Z ~ N(0,) üretlr X = μ + σ Z lognormal(μ,σ 2 ) dağılımı çn yaklaşım: X ~ N((μ,σ 2 ) üretlr Y = e X 2
Ödev Ktaptan Bölüm 9 ve 0 (Smülasyon verlernn analz,doğrulanması-sağlaması) Okunacak. İlgl bölümler taranarak dersn web sayfasına eklenecektr. 3