Kontrol Sitemleri Taarımı Kök Yer Eğrii ile Kontrolcü Taarımı Prof. Dr. Bülent E. Platin
Kontrol Sitemlerinde Taarım İterleri Zaman Yanıtı Özellik Kararlılık Kalıcı Rejim Yanıtı Geçici rejim Yanıtı Kapalı Çevrim Sitemin Zaman Yanıtı Özellikleri Zamanla durağanlaşan baamak yanıtı Sıfır ya da küçük kalıcı hata Kıa yerleşme zamanı Hızlı ilk yanıt, kıa yükelme ve aşma zamanı Salınımız yanıt Küçük aşma AÇTF / KÇTF İterler KÇK ların tümü düzleminin olunda Yükek tip numaraı ve/veya büyük değerli hata katayıı Bakın KÇK lar anal ekenden uzakta Bakın KÇK lar gerçek ekenden uzakta ve/veya KÇS ler anal ekene yakın KÇK ların tümü gerçek ekenin üzerinde Bakın KÇK lar küçük eğimli önümleme doğruu üzerinde Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı /45
Kontrol Sitemlerinde Taarım İterleri Zaman Yanıtı Bakın kapalı çevrim kutupları: Sanal ekene diğer kutuplardan en az 4 5 kez yakın olan ve yakınında kapalı çevrim ıfırı bulunmayan KÇK lar. Ana Sonuç: Kalıcı rejim başarımı dışındaki zaman yanıtı özelliklerini bakın kapalı çevrim kutuplarının düzlemindeki konumları belirlemektedir. Dolayııyla, AÇTF in tip numaraı kalıcı rejim iterlerini ağlamalıdır. KYE nin bakın kolları düzleminin arzulanan bölgelerinden geçmelidir. Bu bölgedeki bakın kol üzerindeki AÇ kazanç değerleri kalıcı rejim iterlerini ağlamalıdır. Eğer bu 3 koşulun hepi ağlanıyora, çözüm uygun kazançlı bir P-kontrolcüdür. Bu koşullardan bir ya da bir kaçı ağlanmıyora ne yapılmalıdır? KÖK YER EĞRİSİNİN BASKIN KOLLARI KUTUP VE SIFIR EKLENEREK DEĞİŞTİRİLMELİDİR Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 2/45
Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Kutup Eklemenin Etkii Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 3/45
Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Kutup Eklemenin Etkileri: Kol ve aimtot ayıı artar. Kutup-ıfır kütle merkezi eklenen kutuba doğru kayar. Kollar ağa doğru bükülürler. Göreceli kararlılık azalır. Hatta item kararız bile olabilir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 4/45
Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Sıfır Eklemenin Etkii Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 5/45
Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme Sıfır Eklemenin Etkileri: Aimtot ayıı azalır. Kutup-ıfır kütle merkezi eklenen ıfırın aki yönüne doğru kayar. Kollar ola doğru bükülür. Göreceli kararlılık iyileşebilir. Kararız bir item kararlı hale getirilebilir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 6/45
PD-Kontrolcü: PD (Oranal + Türevel) Kontrolcü Taarımı G c () K p + K d K p (T + ) K d d ( z) Burada K p : Oranal kazanç K d : Türevel kazanç Im T d : Türev zamanı z : PD-kontrolcünün ıfırı θ T d K d / K p K p /K d 0 Re z / T d K p / K d PD-kontrolcü ile eklenen ıfırın açıal katkıı (θ ) pozitiftir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 7/45
PD (Oranal + Türevel) Kontrolcü Taarımı KÇ itemin arzulanan kutup konumunda, bu pozitif θ z açıal katkı, kompane edilmemiş itemin AÇTF nin noktaındaki G( )H( ) açıını açı koşulunu ağlayacak şekilde dengelemelidir. arg[g c ( )G( )H( )] ±(2k+)80 ; k 0,, 2,... Böylece, kompane edilmiş itemin AÇTF i olan G c ()G()H() kullanılarak oluşturulan yeni kök yer eğriinin bakın kolu ola kayarak den geçebilecektir. PD kontrolcü, kalıcı rejim açıından, tip numaraında herhangi bir değişiklik oluşturmaz. Ancak, PD-kontrolcü aracılığıyla ola kaydırılan kök yer eğriinin bakın kolundaki taarım noktaı orijinden daha uzakta olduğu için n > m olan OLTF ler için daha yükek kazanç değerleri kullanılmaına izin verecektir. Bu da kalıcı rejimde daha büyük hata katayıları yaratarak kalıcı hatanın azalmaını ağlamaktır. Kazançtaki bu iyileşmeyi genlik koşulunu kullanarak görmek mümkündür: K p / T d + G( )H( ) Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 8/45
Örnek: PD (Oranal + Türevel) Kontrolcü Taarımı Tranfer fonkiyonu yanda verilen birim geri belemeli H() bir itemi düşünelim. Birincil önceliğimiz en fazla 0.5π aniyelik tepe zamanı olun. İkincil iterler ie 2 aniyelik %2 lik yerleşme zamanı ve ζ 0.707 lik önümleme oranı olun. a) P-kontrolcü ile birincil iterlerin ağlanabildiğini ama ikincil iterlerin ağlanamadığını göterin. b) İterlerin üçünü de ağlayan uygun bir kontrolcü taarlayın. Çözüm: π π π a) tp ωd 2 ωd 2 ωd 4 4 b) t 2 ζωn ζω ζω n n 2 2 ζ 0.707 doğruu doğruu X 2 t 2 G() ( + 2) ζω n 2 K 5 X 0 Im() Re() düzlemi Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 9/45 j2 ω d 2
PD (Oranal + Türevel) Kontrolcü Taarımı Örnek: b) Arzulanan KÇ kutup yeri: 2+j2 Dolayııyla, kök yer eğriinin üt kolu arzulanan KÇ kutup noktaından geçecek şekilde ola bükülmelidir. ζ 0.707 doğruu 2 doğruu t 2 Kompane edilmemiş itemin 2 deki toplam açıal katkıı 225 dir. Kompane edilmiş itemin yök yer X 2 eğriinin 2 den geçebilmei için +45 lik bir katkıya gerek vardır. Bu da ıfırı z 4 olan bit PD-kontrolcü ile ağlanabilir. K p / K d 4 K p 4 K d Ek olarak, genlik koşulu kullanılıra: j2 X 0 Im() ω d 2 Re() düzlemi K d 2 + 4 2 2 +2 K d (2 2) (2 2)(2) K d 2 K p 8 G c () 8 + 2 Daha büyük orantıal kazanç kullanımına dikkat! Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 0/45
P- ve PD-kontrolcü Step Repone ile Denetlendiğinde of P- and PD-Controlled Sitemin Sytem Baamak yanıtları.4.2 P-kontrolcü Amplitude Genlik 0.8 0.6 PD kontrolcü 0.4 0.2 Ek getiriler: Aşma azaldı Yükelme zamanı kıaldı 0 0 2 3 4 5 6 Zaman Time (ec) (aniye) Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı /45
PD (Oranal + Türevel) Kontrolcü Taarımı PD-kontrolcü uygulamaındaki 3 büyük orun:. Türev alma işlemi anlamına gelen -terimi içermei nedeniyle PD-kontrolcülerin fizikel olarak gerçekleştirilmeinde orun vardır. Bu orunu çözmenin 2 yolu bulunmaktadır: a) Türev alma işlemini yaklaşık gerçekleştirmek. b) Çıktının kendiinin yanında türevini de ölçerek geri beleme bilgiine dahil etmek. Ek algılama elemanlarının kullanımını gerektirir. Örneğin, mekanik itemlerde konum ve hız geri belemenin birlikte kullanımı. 2. Referan girdiinde baamak değişimler olmaı durumunda PD-kontrolcüler - terimi nedeniyle darbeli komutlar üretirler. Bu orunu çözmenin 3 yolu bulunmaktadır: a) Referan girdideki baamak değişiklerini dar rampalar şeklinde vermek. b) P-kontrolcünün çıkışında genlik limiti kullanmak. c) b 3. PD-kontrolcünün -terimi algılayıcı gürültüünü daha da abartılı hale getirir. Bu orunu çözmenin 2 yolu vardır: a) Algılayıcının ürettiği gürültülü ölçme inyalini temizlemek için alçak geçirgen üzgeç kullanmak. b) Gürültü düzeyi daha az daha iyi bir algılayıcı kullanmak. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 2/45
PI-Kontrolcü: Burada G c PI (Oranal + İntegral) Kontrolcü Taarımı () K K + K p : Orantıal kazanç K i : İntegral kazanç T i : İntegral zamanı z : PI-kontrolcünün ıfırı T d K p / K i z / T i K i / K p p i K i(t i + ) K p ( z) θ -K i /K p 0 Im θ k Re PI-kontrolcü ile eklenen ıfırın ve kutubun net açıal katkıı (θ θ k ) negatiftir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 3/45
PI (Oranal + İntegral) Kontrolcü Taarımı KÇ itemin arzulanan kutup konumunda, bu negatif θ θ k açıal katkı, kompane edilmemiş itemin AÇTF nin noktaındaki G( )H( ) açıını açı koşulunu ağlayacak şekilde dengelemelidir. arg[g c ( )G( )H( )] ±(2k+)80 ; k 0,, 2,... Böylece, kompane edilmiş itemin AÇTF i olan G c ()G()H() kullanılarak oluşturulan yeni kök yer eğriinin bakın kolu ağa kayarak den geçecektir. Bakın koldaki bu ağa yönelim itenen bir gelişme değildir. Ama, PI-kontrolcünün orijindeki kutubu aracılığıyla itemin tip numaraı artacak ve kapalı çevrim itemin kalıcı rejim başarımı düzelecektir. Dolayııyla, PI-kontrolcüler, kapalı çevrim item yanıtının geçici rejimindeki olumuz değişikliklerin kabul edilebilir düzeyde küçük tutulmaı kaydıyla kalıcı rejim başarımının geliştirilmei amacıyla kullanılabilir. Geçici rejimdeki bu olumuz etkileri en az düzeyde tutabilmek için PI-kontrolcünün açıal katkıının küçük olmaı gerekmektedir. Bu da eklenen ıfırın orijine eklenen kutuba yakın konumlandırılmaıyla elde edilebilir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 4/45
Örnek: PI (Oranal + İntegral) Kontrolcü Taarımı Tranfer fonkiyonu yanda verilen birim geri belemeli H() bir itemi düşünelim. Kapalı çevrim itemin rampa girdileri ıfır kalıcı rejim hataı ile izlemei itenmektedir. Tip 2 AÇTF gerekmekte PI-kontrolcü kullanılmalı! İkincil iter, arzulanan kapalı çevrim kutupların 5 ± j5 olarak konumlandırılmaıdır. Eğer bu mümkün değile, o zaman i) yerleşme zamanının % 5 uzamaına izin verilebilir (kapalı çevrim kutuplar anal ekene yaklaşabilir) ama ii) önümleme oranı (ζ 0.707) olarak abit kalmalıdır (kapalı çevrim kutuplar ζ 0.707 önümleme doğruu üzerinde orijine doğru kaydırılmalıdır). İtenen kapalı çevrim kutup konumu 5+j5 (K 50) x 0 (0.05)(5)0.25 G() 5 ( + 0) ζ 0.707 önümleme doğruu Im PI-kontrolcüyle j5 kapalı çevrim kutubun yeni konumu 2 4.75+j4.75 x 0 Re -düzlemi Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 5/45
PI (Oranal + İntegral) Kontrolcü Taarımı Örnek: Bu tür probleminin çözümünde ilk adım PI-kontrolcünün ıfırının (z K i /K p ) konumunu bulmaktır. Bu işlem, arzulanan kapalı çevrim kutubun yeni konumu olan 2 de açı koşulunu uygulayarak gerçekleştirilir: İtenen kapalı çevrim kutup konumu 5+j5 (K 50) arg(2 z) arg(2 + 0) 2arg(2 ) 80 4243 4243 4 4243 θ θ k θ 90 θ k 35 x 0 5 x 0 Im j5 PI-kontrolcüyle kapalı çevrim kutubun yeni konumu 2 4.75+j4.75 Re -düzlemi Son ifade, p 0 ve z den 2 ye doğru çizilen doğruların birbirine dik olduğunu işaret etmektedir. Bu genelleştirilecek bir kural olmayıp, yalnızca geri kalan kutup ve ıfırlardan 2 ye çizilecek doğruların gerçek ekenle yaptığı açıların toplamlarının 80 den 90 kadar farklı olmaı durumunda geçerlidir. θ k θ z x Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 6/45
Örnek: θ k açıının bulunuşu: θ θ θ θ k k k k tan tan tan - - - PI (Oranal + İntegral) Kontrolcü Taarımı 4.75 0 4.75 4.75 5.25 (0.90476) 42.4 < 45 beklendiği İtenen kapalı çevrim kutup konumu 5+j5 (K 50) gibi x 0 Dolayııyla, θ açıı θ θ k 90 den 32.4 olarak bulunur. θ k 5 θ x z 0 Im j5 PI-kontrolcüyle kapalı çevrim kutubun yeni konumu 2 4.75+j4.75 Re -düzlemi z nin değeri, z den 2 ye çizilen vektörün açıı kullanılarak bulunur: tanθ 4.75 4.75 z Ki z K p 4.75 4.75 4.75 4.75 + tan(32.4 ).05 44 2443.05 0.45 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 7/45
PI (Oranal + İntegral) Kontrolcü Taarımı Örnek: K p nin değeri genlik koşulu kullanılarak bulunur: K K K p p p 2 2 2 2 z 49.9 50 + 0 2 (6.72) 6447 448 7.08 6444 74448 2 4.75 + j4.75 4.75 + j4.75 + 0 4.75 + j4.75 + 0.45 44424444 3 6.4 İtenen kapalı çevrim kutup konumu 5+j5 (K 50) x 0 Buradan, K i nin değeri K i (0.45)(50) 22.5 olarak bulunur. 5 Im θ z x z 0 j5 PI-kontrolcüyle kapalı çevrim kutubun yeni konumu 2 4.75+j4.75 Re -plane Dolayııyla, taarlanan kontrolcünün tranfer fonkiyonu aşağıdaki gibi olacaktır. 22.5 50( + 0.45) 22.5(2.22 + ) G c () 50 + θ p Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 8/45
0.497 deki 3. KÇ kutubun item üzerindeki etkii 0.45 teki KÇ ıfırı nedeniyle ihmal edilebilir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 9/45
P- ve PI-kontrolcü Ramp Repone ile Denetlendiğinde of P- and PI- Controlled Sitemin Sytem Rampa yanıtları 4 3 Input Girdi P PI Amplitude Genlik 2 0 0 2 3 4 Zaman Time (ec) (aniye) Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 20/45
PI (Oranal + İntegral) Kontrolcü Taarımı İntegral Birikim/Kurma (Windup): PI-Kontrolcü uygulamaındaki başlıca orundur. Özellikle referan değerlerindeki ani değişimler onucu kontrolcü girişindeki hata bilgiindeki artış, bu hatanın integralinin alınmaı ile kontrolcü çıktıının çok büyük değerlere erişmeine ve bu çıktının kumanda bilgii olarak kullanıldığı eyleyicileri ve bunların ürücülerinin doyma değerlerine erişmeine ve itemin doğrual olmayan davranışlar (genellikle aşırı aşmalar) ergilemeine neden olur. İki integral birikim önleyici (anti-windup) düzenleme örneği: Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 2/45
PID (Oranal + İntegral + Türevel) Kontrolcü Taarımı PID-Kontrolcü: 2 K K d + Kp + K i i K d( z)( z2) Gc() Kp + + K d Burada, K p : Oranal kazanç K d : Türevel Kazanç K i : İntegral Kazanç z,z 2 : PID-kontrolcünün ıfırları o z o z 2 Im x 0 Re -düzlemi o o z z 2 Im x 0 Re -düzlemi Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 22/45
PID (Oranal + İntegral + Türevel) Kontrolcü Taarımı PID-Kontrolcü: Kök Yer Eğrii ile Kontrolcü Taarımı Bu kontrolcü, itemin hem ürekli rejim hem de geçici rejim davranışını iyileştirmek için kullanılır. K p, K i, ve K d, parametreleri bu kontrolcünün taarımında 3 farklı başarım iterinin ağlanmaı için gerekli erbetlik dereceini ağlar. Orijindeki kutup ve ıfırlardan biri kontrolcünün PI kımını, diğer ıfır ie PD kımını oluşturur. Kontrolcünün PI etkiiyle ilgili ıfır, kök yer eğrilerinin bakın kolunu ağa çok fazla kaydırmamak için orijine yakın eçilir. Kontrolcünün ikinci ıfırı ie, kök yer eğriinin bakın kolunu PD etkiiyle yeterince ola bükmek amacıyla o kolun olunda bir konuma yerleştirilir. PID kontrolcünün bir başka amaçlı kullanımı, anal ekene itenmedik şekilde yakın karmaşık kutupları olan itemlerde, bu kutupların item üzerindeki etkilerini batırmak içindir. Bu amaçla, PID-kontrolcünün ıfırları bu kutuplara olabildiğince yakın yerleştirilir. Böylece, aralarında kıa ama bakın olmayan bir kök yer eğrii kolu oluşturulur. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 23/45
PID Kontrolcülerin Analitik Taarımı Buradaki amaç, PID-kontrolcünün K p, K i ve K d parametrelerini ayarlayarak AÇTF i G()H() olan kompane edilmemiş bir itemin kapalı çevrim bakın kutuplarının itenen bir konuma yerleştirilmeidir. Aşağıdaki tanımları kullanarak, jβ e ve G ( )H( ) taarım denklemleri aşağıdaki şekilde yazılabilir: K p G in(β + ψ) p ( )H( )inβ inψ K d + G ( )H( )inβ p p 2K icoβ K i 2 Bu denklemler, PID ile kontrol edilmiş bir itemin dominant KÇ kutubunun arzulanan noktaından geçmei için gerekli koşullar kullanılarak türetilmiştir. Bu iki denklem içinde 3 adet bilinmeyen (K p,k i,k d kazançları) olduğu için bu kazançlardan birii ek bir taarım koşulunu (kalıcı rejim başarımı gibi) ağlamak üzere eçilebilir. G p ( )H( ) e jψ Bu denklemler, uygun kazançları ıfırlayarak PI ve PD-kontrolcülerin taarımında da kullanılabilir: PD-kontrolcü için K d 0 PI-kontrolcü için K i 0 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 24/45
PID Kontrolcülerin Analitik Taarımı Eğer noktaı negatif gerçek eken üzerinde eçilmişe, taarım denklemleri aşağıdaki genlik koşulunu ifade eden tek denkleme indirgenir: Örnek: 2 K d + Kp + Ki AÇTF aşağıdaki gibi olan bir item için G()H() ( + )( + 2) hedeflenen kapalı çevrim kutup konumu,2 4 ± j 4 şeklinde tanımlanmıştır. G p ( )H( Bu itere ek olarak, baamak girişi için ıfır kalıcı hata ve rampa girişi için %0 dinamik hata oluşmaı itenmektedir. Sıfır kalıcı hata için kompane edilmiş itemin tip numaraı olmalıdır. Tüm bu koşulları ağlamak üzere uygun bir PID-kontrolcü kullanılmalıdır. ) Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 25/45
PID Kontrolcülerin Analitik Taarımı Örnek: jβ j35 e 4 + j4 4 2e 4 2 and β 35 jψ j243.4 Gp()H() Gp()H()e e ( 3 + j4)( 2 + j4) 0 5 Gp()H() 0.0447 and ψ 243.4 0 5 Dolayııyla, taarım denklemleri aşağıdaki gibi yazılır. in(35 243.4 ) 2K co35 K + (/0 5)in35 4 2 in( 243.4 ) Ki K d + 4.999 + 0.033K 2 4 2(/0 5)in35 (4 2) i p 30.0 0.25K i % 0 dinamik hata koşulu kullanılıra, K i 20 K p 35 and K d 5.63 K /2 0 i G c () 35 + 5.63 + 20 5.63 2 + 35 + 20 i 5.63( + 0.637)( + 5.58) Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 26/45
PID Kontrolcülerin Analitik Taarımı Örnek: G c () 35 + 5.63 + 20 5.63 2 + 35 + 20 5.63( + 0.637)( + 5.58) Bu PID kontrolcü iteme aşağıdaki AÇ (ve KÇ) ıfırları ekler. z 0.637 PI etkiiyle ilgili ıfır z 2 5.58 PD etkiiyle ilgili ıfır Bu ıfırlar kapalı çevrim tranfer fonkiyonunun da ıfırları olur. Kapalı çevrim kutupları p,2 4 ± j4 ve p 3 0.625 olarak elde edilir. p 3 0.625 kutubu ilk görünüşte rahatızlık verici olabilir. Ama, bu kutubun item yanıtındaki etkii 0.637 deki ıfır nedeniyle çok önemli değildir. Sitemin P-kontrolcüyle ve PID kontrolcüyle kontrol edilmiş durumlarına karşılık gelen baamak yanıtları bir onraki yanıda verilmiştir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 27/45
.2 Baamak Yaniti Yanıtı Çıktı Çikti 0.8 PID kontrolcüyle Kontrolcü ile kompane denetim Kompane P Kontrolcü edilmemi ile denetim item 0.6 0.4 0.2 0 0 2 3 4 5 6 Zaman (aniye) (aniye) Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 28/45
İlerlemeli Kontrolcü: Bu kontrolcünün ıfırı orijine kutubundan daha yakındır. Dolayııyla, ilerlemeli kontrolcünün açıal net katkıı (θ θ k ) pozitiftir. İlerlemeli Kontrolcü Taarımı + T Kc z z /T Gc () Kc ; 0 < α < + αt α p p / αt Bu nedenle, bu kontrolcünün etkii PDkontrolcüye benzerdir. Sitemin geçici rejim davranışını düzeltmek üzere bakın kapalı çevrim kutuplarını ola doğru kaydırır. PD-kontrolcüde belirlenecek 2 katayı varken, bu kontrolcüde belirlenecek 3 katayı (Kc, T, α) vardır. Bu da daha fazla erbetlik derecenin olduğu anlamına gelir. θ k Im θ p z 0 Re Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 29/45
İlerlemeli Kontrolcü Taarım Adımları: İlerlemeli Kontrolcü Taarımı. P-kontrolcü kullanılmış item için kök yer eğrii çizilir. 2. Geçici rejim iterleri kullanılarak kapalı çevrim itemin bakın kutubunun - düzlemindeki itenen konumu P-kontrolcü kullanılmış itemin bakın kolunun olunda olacak şekilde eçilir. 3. P-kontrolcü kullanılmış itemin deki 80 den olan açı farklılığı Φ 80 arg[g( )H( )] > 0 olarak heaplanır. Bu fark ilerlemeli kontrolcü tarafından ağlanacaktır. 4. İlerlemeli kontrolcünün kutup ve ıfırının konumları (ya da T ve α), de bu açı farkını kapatacak şekilde eçilir. Eğer bu Φ açıı çok büyüke, birden fazla ilerlemeli kontrolcü kullanılabilir. Verilen bir Φ açıını kapatmak üzere ilerlemeli kontrolcünün kutup ve ıfırının konumları için bir çok eçenek vardır. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 30/45
İlerlemeli Kontrolcü Taarım Adımları: İlerlemeli Kontrolcü Taarımı Bu kontrolcünün kurup ve ıfırlarının konumları için bir çok eçenek araında α (dolayııyla K c ) için en büyük ( e en yakın) değer verenini bulmak üzere aşağıdaki geometrik yapı kullanılır. Şekilde, PA gerçek ekene paralel ve PB de PA ve PO araındaki β açıının açı ortayıdır. A P ( ) Im Bu şekilde inü teoremi kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilir: φ/2 φ/2 β T OD in[(β φ)/2] in[(β + φ)/2] C B D 0 Re αt OC in[(β + φ)/2] in[(β φ)/2] Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 3/45
Örnek: İlerlemeli Kontrolcü Taarımı İleri beleme yolundaki tranfer fonkiyonu aşağıda verilen birim geri belemeli, H(), bir kontrol itemini düşünelim. G() ( + )( + 5) Kapalı çevrim itemin baamak yanıtında % 20 aşma (M p ) ve 4 aniye %2 lik yerleşme zamanı (t ) hedeflenmektedir. Bu iterler kullanılarak, o ζ 0.456 β 80 co (0.456) 7. 2 2 + ( π/mp ) + ( π/0.2) 4 4 t 4 ζωn ωn 2.93 ζω 4 0.456 Dolayııyla, bakın kapalı çevrim kutup konumları aşağıdaki gibi bulunur. 2.93 e j7, + j.952 80 den olan açı farkı: n Φ 80 arg[g p ( )H( )] 80 26.9 53. o Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 32/45
Örnek: İlerlemeli Kontrolcü Taarımı Taarım denklemleri aracılığıyla T ve α bulunur. in[(7. 53. )/2] 2.93.66 T in[(7. + 53. )/2] in[(7. + 53. )/2] 2.93 4.23 αt in[(7. 53. )/2] Genlik koşulu yardımıyla K c bulunur. + + 5 + 4.23 K 0.283 +.66 c 0.4 T 0.858 Böylece ilerlemeli kontrolcünün tranfer fonkiyonu aşağıdaki gibi yazılır. + 0.858 +.66 G c () 0.4 35.83 + 0.243 + 4.23 αt 0.243 α 0.283 Bu kontrolcüyle, kapalı çevrim kutuplar: p,2 ± j.952, p 3.27, p 4 6.86 Bu kontrolcüyle elde edilen kök yer eğrileri bir onraki yanıda verilmiştir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 33/45
İlerlemeli Kontrolcüyle Root Locu Denetlenmiş of Lead Compenated Sitemin Yer Sytem Kök Eğrii 4 0.78 0.66 0.52 0.36 0.8 3 2 X: -0.9998 Y:.952 Sanal Imag Axi Eken 0-7 X: -6.857 Y: 0 6 KÇ bakın kutuplar 5 4 3 2 X: -.266 Y: 0-2 X: -0.9998 Y: -.952-3 0.78 0.66 0.52 0.36 0.8-4 -7-6 -5-4 -3-2 - 0 Gerçek Real Axi Eken Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 34/45
Gecikmeli Kontrolcü: Bu kontrolcünün kutubu orijine ıfırından daha yakındır. Dolayııyla, gecikmeli kontrolcünün açıal net katkıı (θ θ k ) negatiftir. Gecikmeli Kontrolcü Taarımı + T Kc z z /T Gc () Kc ; α > + αt α p p / αt Bu kontrolcü PI-kontrolcünün daha enek bir ürümü olarak düşünülebilir; çünkü, kontrolcü kutubu orijin gibi abit bir nokta yerine itenen bir yere yerleştirilebilmektedir. Gecikmeli kontrolcü, kapalı çevrim bir itemin ürekli rejim performanını tip numaraını yükeltmeden iyileştirmek itenen durumlarda kullanılmaktadır. θ Im θ k z p 0 Re Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 35/45
Gecikmeli Kontrolcü: Gecikmeli Kontrolcü Taarımı Gecikmeli kontrolcünün kök yer eğrii üzerinde önemli değişikler yapmaını önlemek için bu kontrolcünün açıal katkıının kııtlı (en fazla 5-6 ) olmaı itenir. Bunu ağlamak için bu kontrolcünün kutup ve ıfırı orijin civarında birbirine yakın olarak yerleştirilir. Bu ayede, kapalı çevrim kutupları kendi özgün konumlarından çok az yer değiştirirler. Böylece, kapalı çevrim itemin geçici davranışı temel olarak aynı kalır. Bu şekilde yerleştirilmiş kutup ve ıfır olmaı durumunda, gecikmeli kontrolcünün bakın kapalı çevrim kutup noktaındaki ( ) genliği aşağıdaki gibi yazılır. K c z K c Gc() α p α Bu ifade, K c kazancının itemin geçici rejim karakteritiğini değiştirmeden α (>) kat arttırılabileceği anlamına gelir. Dolayııyla, K c kazancındaki her artış ilgili hata katayıında benzer bir artış ve onunda kalıcı rejim hataında benzer oranda bir azalış ağlayacaktır; yani, kalıcı rejim davranışında bir iyileşme olacaktır. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 36/45
Gecikmeli Kontrolcü Taarımı Gecikmeli Kontrolcü Taarım Adımları:. P-kontrolcü kullanılmış item için kök yer eğrii çizilir. 2. Geçici rejim iterleri kullanılarak kapalı çevrim itemin bakın kutubunun - düzlemindeki konumu kök yer eğriinin bakın kolunun ütünde eçilir. 3. deki genlik koşulunu kullanarak açık çevrim kazancı bulunur ve ilgili hata katayıı heaplanır. 4. Kalıcı hata iteri kullanılarak bu hata katayıında yapılmaı gerekli olan arttırma aptanır ve α bu değer olarak alınır. 5. Gecikmeli kontrolcü ıfırının konumu anal ekene den en az 5 kat daha yakın olacak şekilde eçilir. 6. Gecikmeli kontrolcü kutubunun konumu anal ekene ıfırından α kat daha yakın olacak şekilde eçilir. 7. Gecikmeli kontrolcü kullanılan itemin kök yer eğrii çizilir. 8. Hedeflenen bakın kapalı çevrim kutup bu yeni KYE eğrii üzerinde bulunur. 9. K c değeri bu yeni bakın kapalı çevrim kutupta genlik koşulu kullanılarak bulunur. 0.Eğer bulunan K c değeri yeterince büyük bir hata katayıı vermiyora, 6 numaralı adıma daha büyük bir α değeriyle gidilir. Birden çok iterayon gerekebilir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 37/45
Örnek: Gecikmeli Kontrolcü Taarımı İleri beleme yolundaki tranfer fonkiyonu aşağıda verilen birim geri belemeli, H(), bir kontrol itemini düşünelim: G() ( + )( + 5) Geçici rejim iteri ζ 0.45şeklinde verilmiş olun. Buna karşı gelen bakın kapalı çevrim kutubu aşağıdaki gibi bulunur. 0.4039+j0.806 0.8976 e j6,74 Bulunuşu bait bir işlem değil! P-kontrolcü kullanıldığında, bu noktaya karşın gelen kazanç genlik koşulu kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur. K + K K 0.4039 + 4.83 + 5 j0.806 0.4039 + j0.806 + 0.4039 + j0.806 + 5 Kalıcı rejim iteri ilgili (hız) hata katayıının 0 kat artırılmaını gerektiriyor olun. Bu iter, α 0 olmaını gerektirmektedir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 38/45
P-kontrolcü ile Denetlenen Sitemin Yer Kök Eğrii ζ 0.45 Sanal Eken (K 0.07) 63.26 j2.24 (K 30) İtenen bakın KÇ kutup konumu 0.4039+j0.806 (K 4.83) Gerçek Eken Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 39/45
Örnek: Kontrolcü ıfırının konumunu eçelim: Gecikmeli Kontrolcü Taarımı z Re( )/5 0.4039/5 0.08 T 2.5 Buradan kontrolcünün kutup konumunu bulalım: p z/α 0.08/0 0.008 αt 25 Dolayııyla, gecikmeli kontrolcünün tranfer fonkiyonu aşağıdaki gibi yazılır: + 2.5 K c + 0.08 Gc() K c + 25 0 + 0.008 Geçici rejim iteri olan ζ 0.45 i ağlamak için bakın kapalı çevrim kutup konumu ζ 0.45 önümleme doğruu üzerinde ve yeni açık çevrim tranfer fonkiyonu G c ()G() için açı koşulunu ağlayan 2 0.37+j0.737 (ω n 0.825 < 0.8976) olarak, diğer iki kapalı çevrim kutupları ie 5.8 ve 0.088 olarak bulunur. Orijine çok yakın olan 0.088 deki kapalı çevrim kutubunun item davranışı üzerindeki etkii, gecikmeli kontrolcü tarafından 0.08 konumuna eklenen ıfır nedeniyle, ihmal edilebilir düzeydedir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 40/45
Örnek: Gecikmeli Kontrolcü Taarımı Gecikmeli Kontrolcü ile Denetlenmiş Sitemin Kök Yer Eğrii Sanal Eken Sanal Eken Gerçek eken Gerçek eken Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 4/45
Örnek: Gecikmeli Kontrolcü Taarımı Gecikmeli kontrolcünün kazanç K c değeri genlik koşulu kullanılarak aşağıdaki şekilde bulunur. 0 + + 5 + 0.008 / + 0.08 38.85 K c 2 2 2 2 2 Dolayııyla, kazançtaki gerçek artma K c /K 38.85/4.83 9.29 dır. Bu da itenen 0 kat dan % 7. daha azdır. Problemin α için 0 dan daha büyük (0.7?) bir değer eçerek yeniden çözümü için itetratif bir ürecin ilk adımıdır. Çünkü böyle bir eçim, kazancın 0 kat yükelmeini garanti etmeyecektir ve çözümün tekrarlanmaı gerekecektir. Bu problemi, aşağıdaki taarım iterleri için analitik taarım denklemlerini kullanarak çözelim. Hız hata katayıındaki artma tamı-tamına 0 olun. K c 4.83 Bakın kapalı çevrim kutup konumu 3 0.390+j0.774 olun. Bu konumda ζ 0.45 ağlanmaktadır. Ayrıca, 3 ω n 0.867 konumu (ω n 0.898) noktaına 2 (ω n 0.825) noktaından daha yakın olduğundan ağlanmaı daha zor bir iterdir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 42/45
Örnek: Çözüm: Gecikmeli Kontrolcü Taarımı j6.75 3 0.390 + j0.774 0.867e 0.867 & β 6.75 3 K c G p ( 3 )H( K 3 c ) G p 4.83/ ( 3 )H( 3 3 ( 3 + )( ) 0.48 & o 3 + 5) 0.48e j78.03 ψ 78.03 o o o T Bu değerler analitik taarım denklerinde kullanılıra: inβ + 3 K K G c G ( p ( 3 )H( )H( )in(β ψ) 3 )inψ o o in(6.75 ) + 0.48in(6.75 + 78.03 (0.867)(0.48)in( 78.03 ) c p 3 3 o in(β + ψ) + K G ( )H( )inβ o o c p 3 3 in(6.75 78.03 ) + 0.48in(6.75 αt o 3 inψ 0.867in( 78.03 ) α 0.3 ve + 27.6 + 0.0362 G c () 4.83 4.06 + 284.6 + 0.0035 o ) o ) 27.6 284.6 Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 43/45
İlerlemeli-Gecikmeli Kontrolcü Taarımı Eğer kapalı çevrim itemin hem geçici rejim hem de kalıcı rejim yanıtında bazı iyileştirmeler iteniyora, hem ilerlemeli hem de gecikmeli kontrolcü beraber kullanılmalıdır. Bu tür bir kontrolcünün tranfer fonkiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir. + T + T2 Gc () K c, 0 < α <, β > + αt + βt 2 α ve T parametreleri kontrolcünün ilerlemeli kımıyla ilgilidir ve itemin itenen bir dominant kapalı çevrim kutup noktaında geçici rejim yanıtıyla ilgili iterleri karşılamak üzere eçilir. β ve T 2 parametreleri ie, kontrolcünün gecikmeli kımıyla ilgilidir ve K c ile birlikte itemin kalıcı rejim yanıtıyla ilgili iteri ağlamak üzere eçilir. Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 44/45
Sorularınız Prof. Dr. Bülent E. Platin Kontrol Sitemleri Taarımı 45/45