AUKKAE ÜİVESİTESİ ÜHEDİ SİK FAKÜTESİ AUKKAE UIVESITY EGIEEIG OEGE ÜHEDİSİK İ İ Eİ DEGİSİ JOUA OF EGIEEIG SIEES YI İT SAYI SAYFA : 007 : 3 : : 3-33 AGETOEASTİK AZEEEİ SÜEKİ OTA HASA EKAİĞİE DAYAI ÜYE DEKEEİİ GEİŞTİİESİ ustafa eşt USA, Ergün KOKAZ Süleyman Demrel Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes, akne Eğtm ölümü, 360, Isparta Gelş Tarh :.09.006 ÖZET Sürekl-Ortam Hasar ekanğ; kro-çatlak oluşumunun veya mkro boşlukların büyümesnn br sonucu olarak, yapısal zayıflamaya uğrayan mühendslk malzemeler le lglenr. u çalışmada, magnetoelastk hasarlı malzemelern bünye denklemlerne at genel fadeler sürekl ortam hasar mekanğnn temel yasalarından türetlmştr. u matematksel model, mekank br yükün etks altında kalan ve mkro boşluklar çeren magnetoelastk ortamlar çn gelştrlmştr. alzeme normalde zotrop br ortam olup sırf mkro-boşluk dağılımı nedenyle güçlü br anzotrop göstermektedr. u bağlamda csm davranış olarak kendsn gerlme, mıknatıslanma ve Gernme-Eners Yoğunluğunun Değşm Hızı (GEYDH) tarzında fade edecektr. Sonuç olarak, gerlme, mıknatıslanma ve gernme-eners yoğunluğunun değşm hızına at bünye denklemler maddesel koordnat sstemnde elde edlmştr. Anahtar Kelmeler : Sürekl-Ortam Hasar ekanğ, Serbest ener, Gerlme, ıknatıslanma, Gernmeeners-yoğunluğu değşm hızı, ünye denklemler. DEVEOET OF OSTITUTIVE EUATIOS ASED O OTIUU DAAGE EHAIS FO AGETOEASTI ATEIAS ASTAT ontnuum Damage echancs deals wth engneerng materals whch undergo structural weakenng as a result of mcro-crack formaton or vod growth. The general expressons of consttutve equatons for sotropc magnetoelastc damaged materals were derved from the basc laws of contnuum damage mechancs. Ths mathematcal model represents a magnetoelastc meda whch has mcro-vods and subected to a mechancal loadng. Due to mcro-vod dstrbuton, overall structure attans a strong ansotropy, despte the fact that the materal s otherwse sotropc. In ths context the body wll respond by means of stress, magnetzaton and stran-energy densty release rate. In the concluson, consttutve response functons for the stress, magnetzaton and stran-energy densty release rate have been obtaned n materal coordnates. Key Words : ontnuum damage mechancs, Stress, agnetzaton, Stran-energy densty release rate, onsttutve equatons.. GİİŞ ühendslk malzemelernn mkro-yapıları; mkroçatlaklar, dslokasyonlar, mkro-boşluklar ve zayıflamış kohezyon bölgeler gb çok sayıda mkro kusurlar çermektedr. u kusurlar, malat prosesler esnasında veya dış yüklemelern etks altında ortaya çıkmaktadır. Hasar ekanğ; düzensz şekl, ölçü ve yönelmlerde düzensz dağılmış olan brçok mkro-çatlak tarafından zayıflatılmış malzemelern davranışını ve mukavemetn araştıran dsplnler arası br alandır. Genel anlamda Hasar term 3
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz malzemelern bozulması, kırılması, kopması ve şe yaramaması anlamında kullanılmaktadır. Okstlenme, korozyon, dfüzyon, mekank yükler ve yaşlanmadan dolayı zayıflama veya termoelektromanyetk yüklerden dolayı malzemenn yapısal bütünlüğünün bozulması, hasarı başlatıp daha sonra devam ettreblecek etmenlerden bazılarıdır (Onaran, 99; Yüksel, 000). Hasar mekanğ; atomk ölçekte (kuantum mekanğ kapsamında), mkro ölçekte (mkro mekanğn yasaları kapsamında), mezo ölçekte (sürekl ortamlar mekanğ çerçevesnde) ve makro ölçekte (çatlak ve kırılma mekanğ kapsamında) oldukça farklı ve genş araştırma alanlarına konu olmuştur (Wu, 000). u farklı yaklaşımlarda ortaya çıkan ortak görüş; hasarın malzemenn momentum letme özellğnde br gerlemeye neden olduğudur (Kracnovc, 998; 000; 003). Kaya, beton ve seramk gb orta düzeyde kohezf mukavemet taşıyan malzemelern sürekl ortam hasar mekanğ yöntemler le ncelenebldğn blyoruz (Kachanov, 986; ematre, 996; Ibola, 00). ezoelektrk ve ferrmanyetk seramk malzemelern çatlak/kırılma mekanğ bazı araştırmalara konu edlmesne rağmen (Wang et al., 004), bu malzemeler sürekl ortam hasar mekanğ kapsamında nceleyen çok fazla araştırma yapılmamıştır. ünye davranışları olarak ezoelektrk malzemelerde ortaya çıkan polarzasyon ve Ferrmanyetk malzemelerde gözlenen mıknatıslanma olayının malzemede ortaya çıkan hasar mekanzmasından etklenmemes mümkün değldr. u tür malzemelere at bünye denklemlernn elde edlmesnn hem bu konuda yapılacak deneysel çalışmalara hem de sayısal analzlere katkı sağlayacağı beklenmektedr. Ferrmanyetk malzemeler olarak blnen ve genellkle demr okst çeren (nfe O 4, ZnFe O 4 ) seramk malzemelern davranışı sürekl ortamlar hasar mekanğ alanında çok fazla rdelenmemştr. Ferrmanyetk seramk mıknatıslar TV ve F alıcılarında yüksek frekanslı transformatör yapımına uygun malzemelerdr. u tür malzemelerdek hasar proses sadece malzemenn mekank davranışını değl aynı zamanda manyetk davranışını da etklemektedr. urada gelştrlen model, magnetoelastk malzemelern öneml br alt sınıfını oluşturan Ferrmanyetk seramk malzemelern manyetomekank davranışını temsl etmek çn kullanılablr. u araştırmanın teork temellern oluşturan çalışmalarda fber takvyel elastk delektrk ortamların elektro-termomekank davranışına at matematksel br model oluşturulmuş ve elektrostatk alanlarla mekank alanların nonlneer etkleşmler ele alınmıştır (Usal, 994; Usal, 00). r dğer çalışmada, mkro-boşluklu elastk ortamlar çn bünye denklemlernn oluşturulmasına at matematksel br formülasyon sürekl ortam hasar mekanğ kapsamında gelştrlmştr. Hasarın mekank temsl ve br ç durum değşken olarak hasar tansörünün göz önüne alınışı daha detaylı olarak verlmekle brlkte sadece mekank büyüklükler göz önüne alınmış, manyetostatk kaynaklı kuvvet ve kuvvet-çft fadelerne yer verlmemştr (Usal ve ark., 006). u çalışmada se manyetostatk alanlar çn geçerl olan axwell denklemler daha başlangıçta dkkate alınmış ve mkro-boşluklu manyetoelastk malzemeler çn sürekl ortamlar mekanğ çerçevesnde matematksel br model kurulmuştur... Hasarın ekank Temsl Şekl de görülen temsl hacm elemanı, (F = n F ) şeklnde br kuvvetle yüklendğnde blnen tek eksenl gerlme σ = F S olur. alzeme çersnde yer alan mkro boşlukların dışarıdan uygulanan çekme kuvvetne karşı herhang br drenç göstermedğ dolayısı le yük taşımadığı düşünülürse, efektf olarak yük taşıyan yüzeyn dk kest alanından mkro boşlukların alanını çıkararak elde edlen yüzey (S-S D ) olur. Dolayısıyla da efektf gerlme, ~ F σ = () S S D şeklnde yazılablr. Hasar parametresn mkro boşlukların toplam alanının toplam kest alanına oranı SD D () S olarak tanımlayablrz (haboche, 98; 987; 988). Kachanov (986), malzeme çersndek bell br kest boyunca sürekllk parametresn hasar parametres le lşklendrmş ve sürekllk parametresn Ψ D şeklnde tanımlamıştır. u durumda () ve () fadelern dkkate alarak, ~ F F / S σ σ σ = = = = (3) S D D Ψ S D S yazablrz. Yukarıda verlen fadeler göz önüne alarak aşağıdak sınırlamaları yazılablr; 0 D (4) D = 0 (başlangıçtak hasarsız durum, Ψ = ) D = (malzemenn kopma durumu, Ψ = 0 ) ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 4 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz S S D S şeklnde tanımlanan br kest alanına sahp hayal br elemanı göz önüne alablr ve bu durumu hasarsız br durum olarak adlandırablrz. Eğer mekank olarak eşdeğer olan bu k durumdak S ve S alanları arasındak lşk br şeklde belrleneblrse hasar değşken D de belrlenmş olur. Şekl. Tek eksenl çekme altındak br çubukta hasar parametresnn tanımı. ematre (985) ve aynı şeklde Smo ve Ju (978), efektf gerlme lkesne benzer şeklde efektf gernme çnde uygun tanımlar kullanarak zotropk hasar durumu çn eşdeğer gernmey ~ ε = ( D ) ε şeklnde fade etmşlerdr. u aşamada gernme eşdeğerlğ ve gerlme eşdeğerlğ hpotezlern vermek açıklayıcı olacaktır: Gernme eşdeğerlğ hpotez : Hasarlı br malzemenn gernme davranışı ornal veya hasarsız malzemenn bünye denklem le temsl edleblr, ancak hasarsız malzemenn bünye denklemnde ortaya çıkan gerlme yerne efektf gerlme kullanılmalıdır. aşka br fadeyle, uygulanan gerlme altında malzemenn hasarlı durumu le lgl gernme, efektf gerlme altında malzemenn hasarsız durumu le lgl gernmeye eş değerdr. Efektf gerlme kavramı ve gernme eşdeğerlğ hpotez doğal olarak bünye denklemlernn gernme-tabanlı formülasyonları çn kullanılablr. Gerlme eşdeğerlğ hpotez : Uygulanan gernme altında hasarlı durumla lgl gerlme, efektf gernme altında malzemenn ornal (hasarsız) durumu le lgl gerlmeye eşdeğerdr. Efektf gerlme lkesn kullanarak hasarlı br malzeme le hasarsız br malzemenn elastste modülü arasındak lşk aşağıdak gb verleblr: ~ σ σ σ ~ ε = = = ~ E = E ( D) (5) E ( D ) E E urada, D E hasar nedenyle elastste modülünde meydana gelen azalmayı, E ~ se hasarlı malzemenn elastste modülünü göstermektedr. Şmd, gerçek hasarlı duruma mekank olarak eşdeğer olan ve F yükünün etks altında, Hasar değşkenlern belrleyeblmek çn K sayıda mkro çatlak çeren br Temsl Hacm Elemanı (THE) göz önüne alınmıştır. Herhang br k-ıncı mkro çatlağın açık veya aktf kısmı A (k) le, bu mkro çatlağın kapalı veya pasf yüzey de A *(k) le gösterlmştr. r çatlağa at aktf veya pasf yüzeyler gerlme, sıcaklık ve nem oranına göre kend aralarında yer değştreblr. una rağmen Wetsman bu açık ve kapalı yüzeylern bell br zaman aralığında malzemenn durumunu karakterze eden bağımsız değşkenler olarak seçlebleceğn fade etmektedr (Wetsman, 988a; 988b). Şekl. a) K sayıda mkro çatlak çeren temsl hacm elemanının düzlemsel görüntüsü (Wetsman, 988b), b) r mkro çatlağın açık ve kapalı yüzeyler. akro sevyede gerlmeler ve gernmeler THE nın hacm üzernde ortalama büyüklüklerdr. THE nın davranışını tam anlamıyla dkkate almak çn A (k) ve A *(k), (k=,...,k) yüzeylern temsl eden K sayıda çatlak parametresn dkkate almak gerekr. u yüzeylern gerçek şekl mezo ölçekte tam olarak blnmedğnden, Wetsman bunları eşdeğer düzlemsel yüzeyler olarak düşünerek * * A = A n vea = A n vektörler le (k) temsl etmştr, (k =,...,K). urada n, br mkro çatlak düzlemne at brm normal vektörü göstermektedr (Wetsman, 988a). smn çersnde br maddesel nokta cvarında konveksteler farklı olan k mkro çatlak göz önüne alalım. Eğrlk yarıçapları çok büyük olan farklı nfntesmal çatlak yüzeyler topolok ve mekank açıdan eş değer kabul edleblr. u durumda çatlak yüzeynn topolok temsl çatlak yüzeynn yönünden bağımsız olarak fade edleblr. atematksel olarak bu temsl, k vektörün dyadk ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 5 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz çarpımı le oluşturulan br smetrk tansör kullanarak göstereblrz. Her br mkro çatlağı aşağıdak gb smetrk dyadlarla tanımlayablrz. Z A A = ve A A *( k) * * Z A A =, Z = (6) A (k) ve A *(k) yüzeylernn ölçüsü ve yer hakkında detaylı blgler ancak statstksel olarak mkro ölçekte mevcut olduğundan, Sürekl-Ortamlar ekanğnn kullanıldığı mezo ölçekte (6) fades le verlen tansörel fadelern brleşk etklern aşağıdak dyadk çarpımların toplamları le göstereblrz. u şlem, mkro ölçekten mezo ölçeğe geçerken yapılan homoenleştrme şeklnde de yorumlanablr. K Z = k= A A, Z K * * * = A A k= (7) öylece hasarın etks mezo ölçekte k adet ç durum değşken le fade edlmektedr. u k durum değşken de tanımları gereğnce knc dereceden smetrk tansörel karakter taşır. u çalışmada bünye değşken olarak, sadece açık mkro yüzeylern etksn dkkate alan br tek hasar tansörü göz önüne alınmış ve bu tansör br ç durum değşken olarak kullanılmıştır. Açık mkro-çatlak yüzeylernn temsl hacm elemanı çersndek A X,t vektörü le bu vektörün ortalama değerlern ( ) zamanla değşmn A & ( X,t) le göstereblrz. u vektörlern, THE na at herhang br karakterstk yüzeyn alanına bölerek boyutsuzlaştırıldığını düşünmek formülasyonun genel yapısını etklemez. Dğer taraftan, malzeme mkro-çatlak yüzeylernn poztf ve negatf taraflarını fark edemeyeceğ çn, A ve A & ( X,t) vektörlerne olan bağımlılığı (7) fadesn de göz önüne alarak, matematksel olarak ( X,t) Z A A Z& A& A A A& (7) formundak tansörel çarpımlarla fade edeblrz. u tansörler lerde verlecek olan gerlme potansyelnn argümanları arasında yer alacaktır.. ATEYA VE ETOD.. Denge Denklemler... Elektrostatk Denge Denklemler mekank olmayan kuvvetlern tab olduğu quazstatk manyetk alanı yöneten ntegral denklemler Genelleştrlmş Gauss ve Stokes teoremler kullanılarak yerelleştrldğnde aşağıdak dferansyel fadeler elde edlmş olur (Erngen ve augn, 990): = 0 V(t) çnde (8) H = 0 H = φ V(t) çnde (9) µ 0 ( H ) ( H ) φ = µ (0) r 0 r r urada, nabla (del) operatörü, manyetk ndüksyon vektörü, H manyetk alan vektörü, φ manyetostatk potansyel, µ 0 boşluğun manyetk geçrgenlğ (permeabltes), mıknatıslanma vektörünü göstermektedr.... Termomekank Denge Denklemler enzer şeklde global balans denklemler (kütle, lneer momentum, açısal momentum, ener, ve entrop üretm) yerelleştrldğ takdrde elde edlen dferansyel fadeler aşağıdak gb yazılır. u denklemler bell br V(t) hacm çn geçerldr. Kütlenn Korunumu: ρ& ρ v, = 0 () 0 ( X) ( x, t) ρ ρ ( x, t) = () J (addesel göstermde kütle korunumu) neer omentumun Denges: v l, l ρ & = t ρ f F (3) Açısal omentumun Denges: ε n r p ε ( t n r p r p t r p r p = 0 t ) = 0 r p = t p r (4) t r p = tr p r p (5) Ener Korunumu: v, q, ρ h h ρ & ε = t ρ w (6) Göz önüne aldığımız ve t anında V(t) hacmn kaplayan ortamın çevres le olan etkleşmnde ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 6 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz lausus Duhem Eştszlğ : h ρ & η ρ q, q θ, ρ γ 0 θ θ (7) θ urada, v sürekl ortamın hızı, u sürekszlk yüzeynn hızı, ρ0 deformasyondan öncek kütle yoğunluğu, ρ deformasyondan sonrak kütle yoğunluğu, J akobyen, v& vme, t gerlme tansörü, f brm kütle başına mekank hacmsel kuvvet, F brm hacm başına manyetostatk gövde kuvvet, t antsmetrk gerlme tansörü, t smetrk gerlme tansörü, brm hacm başına manyetostatk kuvvet çft, ε brm kütle başına ç-ener yoğunluğu, q ısı akısı vektörü (brm zamanda ve brm yüzey alanından ssteme gren ısı mktarı olup bu vektör dama yüzey dışına doğru yönlenmş olarak seçlmektedr ve bu durum, ener denklem yazılırken dkkate alınmıştır), h brm kütle başına ısı kaynağı, h manyetostatk ener kaynağı, w açısal hız, η brm kütle başına entrop yoğunluğu, θ ( X,t ) br t anında mutlak sıcaklık dağılımı, ρ γ brm kütle başına entrop üretm olup ε permütasyon tansörünü göstermektedr. k Denge denklemlernde geçen manyetostatk kaynaklı kuvvet ve kuvvet-çft ve ener kaynak fadeler F, F = = (8) = ε (9) E n ρ h t : d ρ h = t d (0) ( ) I t = () şeklnde olup burada, sembolü tansörel çarpımı, t axwell gerlme tansörünü göstermektedr ve (0) fadesndek ( ) şaret aşağıdak anlamda kullanılmıştır. & () v, v, deformasyon hızları tansörü d v, ) ( v, v, ) = d n d k l se, E ( (3) şeklnde fade edlmektedr. v(, ) hız gradyanı tansörünün smetrk kısmı olarak tanımlanmakta; bu tansörün antsmetrk kısmı da spn tansörü olarak w v [, ] ( v, v, ) = w (4) şeklnde tanımlanmaktadır. u ayrışım = d w veya v, = d w (5) şeklnde de gösterlmekte olup knematk olarak brnc term br maddesel noktanın maruz kaldığı deformasyon hızlarını, kncs de rd dönme hızlarını temsl etmektedr. Yukarıda verlen () fadesnn dveransı alınıp ve (8) fades le brlkte (3) denklemnde yerlerne yazılırsa v p = ρ f p t r p, r r, r p ρ & (6) şeklnde lneer momentum denklemmz smetrk br gerlme tansörü cnsnden yazılmış olur. Dğer taraftan (), () ve (3) fadelern (0) de yerne yazıp, açısal hızı spn tansörünün düalnden w = v şeklnde çekerek ve (9) da verlen nn tanımını göz önüne alırsak, yerel ener denklem olan (6) fadesnn son k term h w = & ρ (7) şeklnde elde edlr. (7) fades (6) da yerne yazıldığında ener korunumu çn & = t ρ h (8) ρ ε v, q, yerel denklem ortaya çıkmış olur. Yukarıda verlen balans denklemler elde edlrken, daha önce pezoelektrk ortamlar çn sürekszlk yüzeylern de çerecek şeklde gelştrlen matematksel model yol gösterc olmuştur (Erdem ve ark., 005a; 005b)... Termodnamk Kısıtlar Ener denklem le entrop eştszlğ uygun şeklde brleştrlr ve serbest ener çn aşağıdak şeklde br egendre transformasyonu kullanarak, ψ ε θη (30) entrop eştszlğ maddesel formda aşağıdak gb elde edlr. ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 7 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz ( Σ & η & θ ) T & θ & 0 ρ 0, (3) θ elde edlmş olur. urada geçen yen büyüklüklerle lgl termler aşağıda verlmektedr: Σ ψ ( Σ : gerlme potansyel) (3) ρ 0 & = dl n xl, xn, d l n & X, l X, n = (33) T J X, l X, n tl n t l n J xl, xn, T J X, l q l q l J xl, = (34) = (35) J X, l l l J xl, xl, l l X, l θ, = x l, θ, l, l X, l θ, = (36) = (37) θ = (38) (3) eştszlğ, quaz-manyetostatk br alanın etksnde bulunan termomekank ortamlar çn entrop üretmnn genel br fadesdr. Σ gerlme potansyel genelde argümanları Sürekl- Ortamlar aksyomlarına göre belrl olan ( t ) = Σ[, Z, Z&,, θ ] Σ X (39), şeklnde br fonksyondur. u fonksyonun zamana göre maddesel türevn alırsak & Σ = Z& & Z&& Z fadesn elde ederz. Z& & & θ θ (40) (40) fades (3) eştszlğnde yerne yazılır, ortak termlern parantezler alınırsa aşağıdak eştszlğe ulaşırız. ( T Z& Σ & ) Z& Z Σ Z&& ( ) & ρ 0 ( η ) & θ θ, 0 (4) ρ θ θ 0 argümanları çnde bulunmayan &, Z &, &, & θ, ve θ, termlern katsayılarının sıfıra eşt olması gerekr. Z &, Σ nın argümanları çersnde yer aldığından bu eştszlktek Z & nn katsayısı sıfıra eştlenemez). Z & nn katsayısına, Gernme- Eners Yoğunluğunun Değşm Hızı (GEYDH) olarak adlandırılan ve Y le tanımlanan br atama yapılırsa Y (4) Z yazılablr. Ayrıca poztf br büyüklükle uğraşmak çn; Y Y tanımlaması kullanılarak, GEYDH aşağıdak gb fade edleblr. Y (43) Z (4) eştszlğndek &, Z &, &, & θ, ve θ, nın katsayıları sıfıra eştlenerek aşağıdak fadeler elde edlr: T, = 0 Z &, =, η =, = 0 (44) ρ θ 0 Y Z & 0, Y Z & 0 Y Z & 0 Yukarıda verlen (44) fadelernde, başlangıçta belrttğmz gb ortamda ısı letmnn olmadığı ve serbest ener yoğunluğunun da hasarın maddesel değşm hızına bağlı olmadığı görülmektedr. Asmetrk formda ortaya çıkan toplam gerlmenn (5) maddesel koordnatlardak fades sürekl ortamlar mekanğnn rutn hesaplamaları le aşağıdak gb bulunmuştur: = T X, l X, l = T T (45) urada, = X, m X, n ola şekl değştrme tansörü olarak blnr. Dğer taraftan, serbest ener yoğunluğunun bağlı olduğu argümanlar ve ç ener aşağıdak gb yazılablr. [ Z,, θ ], Σ = Σ (46) (4) eştszlğnn keyf her bağımsız termodnamk proseste sağlanablmes çn gerlme potansyelnn ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 8 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz ε = ρ0 Σ ρ0 ( Σ ρ θ η ) 0 ρ θ θ = (47) (44) fadesn, (34) fadesne götürürsek, smetrk gerlme tansörü çn, ρ = ρ 0 t l n xn, xl, (48) fades elde edlr. Ortam sıkışmaz olduğu takdrde J = det = veya III = şartı sağlanmalıdır (Erdem, ve ark., 005a; 005b; Korkmaz, 00). una göre (48) denklemnde Σ yerne kendsne eşdeğer olan ve fakat sözü edlen kısıtlamayı çeren aşağıdak fonksyon alınablr. Σ (, t )( J ) p x (49) urada p, br agrange çarpanıdır. u fadedek fonksyonun x r, ye göre türev alınıp (48) denklemnde yerne yazılırsa, tl n = p l n x l, xn, δ (50) elde edlr. u fadenn maddesel koordnatlardak formu se T = p (5) olur (Korkmaz, 00). GEYDH, blndğ gb daha önce Y şeklnde tanımlanmıştı. u Z fadede Σ nın deformasyon gradyanına göre türev yer almadığı çn agrange çarpanı sıfır olur. u durumda elde etmemz gereken bünye denklemler, yapılan kabullere bağlı olarak T, ve dr ve bunların serbest ener fonksyonu Σ ya Y bağlı olduğu (43) ve (44) denklemlernden açıkça gözükmektedr. O halde yapılacak lk ş Σ nın açık formunu ortaya koymak olacaktır. 3. UGUA VE DEĞEEDİE 3.. ünye Denklemler u çalışmada, mekank yüklemeye maruz mkroboşluklu manyetoelastk br ortamın zotrop olduğu kabul edlmştr. u durumda Σ ya at argümanların somut olarak belrlenmes çn nvaryantlar teorsne at sonuçlar kullanılmıştır. Ortamın anzotrops sadece mkro-boşluklardan kaynaklanmaktadır. u yaklaşıma göre Σ gerlme potansyelnn formu maddesel koordnat sstemnn ful-ortogonal transformasyon grubu altında nvaryant kalmalıdır (Spencer, 97). u durumda Σ aşağıdak kısıtlamayı sağlamalıdır: T T (,Z,, θ ) = Σ (, Z,,θ ) Σ (5) urada, maddesel koordnat sstemlernn ful ortogonal transformasyonlarını gösterdğnden T ortogonal br matrs olup, = şartını sağlamaktadır. İnvaryantlar teorsne göre, bu argümanların skaler br fonksyonu olan Σ nın, bu argümanlara müşterek nvaryantları vasıtası le bağlı olması gerekr. u durumda,, Z smetrk matrsler le vektörünün brbrnden bağımsız 6 adet müşterek nvaryantları aşağıdak gb belrlenmştr: 3 I =tr, I = tr, I 3 = tr, I 4 =tr Z, I 5 = tr Z, 3 I 6 = tr Z, I 7 =, I 8 = El, I = I 0 = Z, (53) 9, I = Z Z, I = Z, I 3 =tr Z, I 4 =tr Z, I 5 = Z Z, I = 6 Z Z Z hasar tansörü, A vektörünün kend kends le tansörel çarpımı (7) olarak seçldğnden I = I 4 I0, I5 = I 4 I3 ve I6 = I4 I4 yazılableceğ görülmektedr. u sebepten, I, I5 ve I 6 nvaryantlar lstesnden çıkarılablr. İnvaryantların kendsn oluşturan brmlern smetrk br fonksyonu olması gereğne dayanarak, yukarıda hasar tansörü çn yaptığımız bu kabul teornn genel sstematğn bozmaz. u durumda serbest ener fonksyonumuz yukarıda verlen argümanların fonksyonu olarak aşağıdak şeklde yazılablr: ( I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I I ) Σ = Σ (54) 3 4 5 6 7 8 9 0 3, 4 İknc dereceden br tansör olan Green deformasyon tansörünün asal nvaryantlarının 3 ( I I ), III = ( I 3 I I ) I = I, II = I3 (55) 3! şeklnde olduğu dkkate alınarak (53) fadesndek (I, I, I 3 ) nvaryantları yerne, (55) fadeler le verlen asal nvaryantlar kullanılablr. Ortam ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 9 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz sıkışmaz kabul edldğnden III= olur. u durumda Σ nın bağlı olduğu nvaryantlar, (53) ve (55) fadeler yardımıyla aşağıdak gb verleblr. ( I, II, I, I, I,..., I, I, I I ) Σ = Σ (56) 4 5 6 0 3, Ortam sıkışmaz olduğundan gerlmenn, mıknatıslanmanın ve GEYDH nın bünye denklem aşağıdak gb ortaya konulmuştur. T = p 4 (57) =, (58) ( ) = [ 7 8 ( ) ( Z ) 9 0 ( Z Z )] ( ) ( Z ) Y = δ 4 5 3 ( Z Z ) ( ) I6 I0 3 4 ( ) ( ) ( ) (64) (65) Y = (59) Z (57) (59) fadelerndek kısm türevler (56) fadesn dkkate alarak aşağıdak gb yazılablr. I 8 = I I 9 3 4 9 3 4 I 9 I7 = I7 I9 I 0 I8 I8 I0 I I 8 (60) (6) 4 5 6 = Z 4 Z 5 Z 6 Z (6) 0 3 4 0 Z Z 3 Z 4 Z (53) ve (55) fadeler le verlen nvaryantların sırasıyla, ve Z ya göre türevler (60), (6) ve (6) denklemlernde yerne yazılır ve elde edlen fadeler (57), (58) ve (59) denklemlerne taşınırsa; mekank br yüklemeye maruz, mkroboşluklu ve sıkışmaz olarak kabul edlen manyetoelastk br ortamdak smetrk gerlme, mıknatıslanma ve GEYDH na at bünye denklemler, maddesel koordnatlardak bleşenler cnsnden aşağıdak gb elde edlmş olur. T = p [ ( δ ) ( δ ) I ( ) ( ) 8 9 ( Z ) ( Z ) I I3 ( Z Z ) ] 4 (63) (63) denklemnde gözüken agrange çarpanı p, hdrostatk basınç olarak blnr ve alan denklemler ve sınır şartları le belrleneblr. (63), (64) ve (65) denklemlernn daha somut şekln elde etmek çn bu denklemlerdek Σ nın nvaryantlarına göre türevlernn değerlendrlmes gerekr. Σ nın bağlı olduğu nvaryantlar daha önce (56) fades le verlmş ancak bu nvaryantlara nasıl bağlı olduğu henüz belrlenmemştr. Σ, bu nvaryantların analtk br fonksyonu se, Σ çn uygun br polnom seçleblr. Σ nın kaçıncı mertebeden br polnomla temsl edleceğ deformasyon büyüklüklernn olaydak etkleşm paylarına kısacası nonlneerlk mertebelerne bağlıdır (Erdem ve ark., 005a; 005b; Korkmaz, 00; Spencer, 97). İç ener poztf tanımlı olduğundan bu polnomun poztf tanımlı olması gerekr. Ayrıca nvaryantların sırasının Σ yı etklememes çn bu polnomun smetrk katsayılı olması, yan kuadratk br form şeklnde olması gerekr. Serbest ener yoğunluğu fonksyonu çn mevcut nvaryantlar cnsnden br polnom seçlmes durumunda aşağıdak fade yazılablr. Σ = a, I I, a a = (66) (, =,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 3, 4 ), u fadedek a katsayılarının heps, X parçacığına ve ortamın θ sıcaklığına bağlıdır. (63), (64) ve (65) fadelernde yer alan Σ nın nvaryantlara göre türevler (66) polnom açılımından faydalanarak bulunablr. (66) fadesnn htva ettğ nvaryantlara göre Σ nın kısm türevler alınarak (63), (64) ve (65) denklemnde yerne yazıldıktan sonra deformasyon tansörü nn brnc dereceden, manyetk ndüksyon vektörü ve hasar tansörü Z nn knc dereceye kadar olan termler dkkate alınırsa, ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 30 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz T = p [ a δ a4 Z δ a 5 Z Z δ a 7 δ a δ a Z δ 8,0 a Z δ a δ,,3 a δ a Z Z δ 4 5 a δ a Z δ 7,0 a 4 Z a 5 Z Z a 7 Z a, 0 a 3 Z a 8 8, a, Z a, 3 Z Z a 3 Z a Z Z ] (67), 3, 3 [ 4a a Z = 7 4 7, 3 4 Z Z (68) a,0 Z 4a0, 3 Y = a4 δ a4 4 Z δ a45 Z Z δ a47 δ a48 δ a4, 0 Z δ a4, Z δ a4,3 Z δ 4a5 Z 4a57 Z 4a58 Z 4a5,0 Z Z 4a5, Z Z 4 a 5, 3 Z Z 6 a 6 Z Z 6 a67 Z Z 6 a68 Z Z Z (69) a,0 a0, 3 denklemler bulunur. nn brnc dereceden etklernn dkkate alınma sebeb, seramk malzemelerde ortaya çıkan deformasyonların nfntesmal olmasıdır. İnfntesmal br deformasyonun kares hmal edleblr br etk olarak düşünülmüştür. Yukarıda verlen (67), (68) ve (69) denklemndek katsayılar aşağıdak gb tanımlanablr. γ 4a, γ 4a4, γ 3 4a5, γ 4 4a7, γ 5 4a8, γ 6 4a,0, γ 7 4a,, γ 8 4a, 3, γ 9 4a 4, γ 0 4a 5, γ 4a7, γ 4a, 0, γ 3 4a 8, 3, γ 4 4a,3, γ 5 4a 3, 3, µ 4a 7, µ 4a 7, 3, µ 3 4a,0, µ 4 4a 0, 3, ξ a 4 4, ξ a 4 5, ξ 3 a 4 7, ξ 4 a 4 8, ξ 5 a 4, 0, ξ 6 a 4,, ξ 7 a 4,3, ξ 8 4a 5 7, ξ 9 4a 5 8, ξ 0 4a 5, 0, ξ 4a 5,, ξ 4a 5, 3, ξ 3 6a 6, ξ 4 6a6 7, ξ 5 6a 68 (70) Smetrk gerlme tansörü, mıknatıslanma ve GEYDH na at bünye denklemler maddesel koordnatlarda aşağıdak gb fade edleblr: q ] T = p γ δ γ γ 3 Z Z δ δ γ 4 Z δ γ 5 δ γ 6 Z δ γ 7 Z δ Z δ δ γ 0 γ 8 γ 9 Z Z Z δ γ δ Z δ γ 9 Z γ 0 Z γ Z γ γ Z γ 5 γ Z γ Z 3 7 γ Z Z Z 4 γ Z Z (7) 5 γ 8 [ µ µ Z = µ Z Z (7) 3 Z µ 4 Y = γ δ ξ Z δ ξ Z Z δ ξ 3 δ ξ 4 δ ξ5 Z δ ξ 6 Z δ ξ 7 Z δ γ 3 Z ξ 8 Z ξ 9 H ξ 0 Z Z ξ Z Z ξ Z Z ξ 3 Z Z ξ 4 Z Z ξ5 Z Z γ 6 µ 4 Z (73) (45) denklem dkkate alındığı zaman asmetrk toplam gerlme tansörü de aşağıdak gb fade edleblr. T = p γ δ γ γ 3 Z Z δ δ γ 4 Z γ 5 δ Z δ γ 6 δ ] γ 7 Z δ Z δ γ 8 γ 9 Z δ Z Z δ γ 0 γ δ Z δ γ 9 Z γ 0 Z γ Z γ γ Z γ 5 γ Z γ Z 3 7 γ Z Z Z 4 γ Z Z [ µ µ Z 5 3 γ 8 4 Z Z ] ES S µ Z µ (74) ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 3 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz 4. SOUÇA Gerlmenn, mıknatıslanmanın ve GEYDH nın bünye denklemler, (7), (7) ve (73) denklemler le verlmştr. Son olarak, (45) fades dkkate alındığında asmetrk br formda ortaya çıkan toplam gerlme (74) denklem le fade edlmştr. u bünye denklemler uygun lneerleştrme şlemler le daha bast formlara da dönüştürüleblr. Smetrk gerlme bünye denklem (7) de yer alan termlere baktığımızda; lk term sıkışmazlık kabulünden kaynaklanmaktadır. İknc term deformasyon tansörünün lneer etksnden, üçüncü term hasar tansörünün lneer etksnden, 4. term hasar tansörünün nonlneer etksnden kaynaklanmaktadır. 5. term manyetk ndüksyon alanının karesn çermekte olup bu etk manyetostrksyon adını alır. anyetostrksyon karesel (knc mertebeden) br etk olduğundan manyetk ndüksyon vektörünün yönüne bağlı değldr. neer etkleşmler dkkate alındığında bu etk gözlenmez. anyetk ndüksyon şddetnn çok küçük olduğu durumlarda se hmal edleblr. 6. term ve ondan sonrak termler kapıl (brleşk) etkleşmler göstermektedr. 6,, 6 ve 8. termler manyetk ndüksyon vektörünün nonlneer deformasyon tansörünün lneer etkleşmlernden, 7. term manyetk ndüksyon vektörünün nonlneer hasar tansörünün lneer etkleşmlernden, 8, 3, 7, 9 ve 0. termler manyetk ndüksyonun nonlneer hasar ve deformasyon tansörünün se lneer etkleşmnden kaynaklanmakta olup üçlü etkleşmler fade eder. 9, 0, 4 ve. termler deformasyon ve hasar tansörlernn lneer etkleşmnden,, 3 ve 5. termler se deformasyon tansörünün lneer hasar tansörünün se nonlneer etkleşmlernden kaynaklanan termlerdr.. term hasar tansörünün ve manyetk ndüksyon vektörünün nonlneer deformasyon tansörünün lneer etkleşmlernden kaynaklanan br term olup üçlü etkleşmlere lgnç br örnektr. ıknatıslanma denklemne (7) baktığımız zaman se bütün termlerde manyetk ndüksyon vektörü brnc dereceden yer almakta olup manyetostrksyon etknn mıknatıslanmaya katkısı gözükmemektedr. rnc term deformasyon tansörü ve manyetk ndüksyon vektörünün lneer etkleşmnden, knc ve üçüncü term üçlü etkleşmlerden olup deformasyon ve hasar tansörü le manyetk ndüksyon vektörünün lneer etkleşmnden, son term se hasar tansörünün nonlneer deformasyon ve manyetk ndüksyon vektörünün lneer etkleşmnn br sonucudur. GEYDH nın bünye denklem (73) de lk term deformasyon tansörünün lneer etksnden, knc term hasar tansörünün lneer etksnden, üçüncü term se hasar tansörünün nonlneer etksnden kaynaklanmaktadır. 4. term manyetostrksyon katkısını göstermektedr. 5 ve 8. termler manyetk ndüksyon vektörünün nonlneer deformasyon tansörünün lneer etkleşmnden, 6 ve 0. termler manyetk ndüksyon vektörünün nonlneer hasar tansörünün lneer etkleşmlernden, 7, ve 9. termler manyetk ndüksyon vektörünün lneer hasar ve deformasyon tansörlernn lneer etkleşmlernden kaynaklanan termler fade eder. 8 ve 9. termler hasar ve deformasyon tansörlernn lneer etkleşmlern, ve 6. termler manyetk ndüksyon vektörü ve hasar tansörünün nonlneer etkleşmlern, 4 ve 5. termler deformasyon tansörünün lneer hasar tansörünün nonlneer etkleşmlern gösterr. 3. term manyetk ndüksyon vektörünün ve deformasyon tansörünün lneer hasar tansörünün nonlneer etkleşmn ve 7. term se deformasyon tansörünün lneer manyetk ndüksyon vektörü ve hasar tansörünün nonlneer etkleşmn temsl etmektedr. enzer mülahazalar toplam gerlme tansörü (74) çn de yapılablr. ünye denklemlernde ortaya çıkan katsayıların belrlenmes, gelştrlen analtk modellern doğruluğunun onaylanması ve eksklklern gderlmes çn kapsamlı deneysel çalışmalara htyaç vardır. Doğruluğu onaylanmış deneysel parametreler elde edldkten sonra, sonlu elemanlar gb sayısal yöntemler yardımıyla bu konu daha detaylı olarak nceleneblr. 5. KAYAKA haboche, J.. 98. ontnuous Damage echancs-a Tool to Descrbe henomena before rack Intaton. uclear Engneerng and Desgn, 64, 33-47. haboche, J.. 987. ontnuum Damage echancs: resent State and Future Trends. uclear Engneerng and Desgn, 05, 9-33. haboche, J.. 988. ontnuum Damage echancs: art I-General oncepts. Journal of Appled echancs, 55, 59-64. Erngen, A.., augn, G. A. 990. Electrodynamcs of ontnua, Vol. I. Foundatons and Sold eda, orth Holland. Erdem, A.Ü., Usal,.., Usal,. 005a. Keyf Fber takvyel Vskoelastk ezoelektrk r smn Elektro-Termomekank Davranışı çn ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 3 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33
agnetoelastk alzemelern Sürekl Ortam Hasar ekanğne Dayalı ünye Denklemlernn Gelştrlmes,.. Usal, E. Korkmaz atematksel r odel, Gaz Ünv. üh. m. Fak. Der., 0, 3, 305-39, Ankara. Erdem, A.Ü., Usal,., Usal,.. 005b. İzotropk atrs alzemes Olan Fber Takvyel Delektrk Vskoelastk Ortamların Elektro-Termomekank Davranışı çn atematksel r odel, Gaz Ünv. üh. m. Fak. Der., 0, 3, 3-334, Ankara. Ibola, E. A. 00. On Some Fundamental oncepts of ontnuum Damage echancs, omputer ethods n Appled echancs and Engneerng, 9, 505-50. Kachanov,.. 986. Introducton to ontnuum Damage echancs, artnus hof ublshers, 35 p, Dordrecht. Korkmaz, E. 00. Sürekl Ortam Hasar ekanğ Yardımıyla ekank Davranışın elrlenmes. Süleyman Demrel Ünverstes Fen lmler Ensttüsü, Yüksek sans Tez, 0 s, Isparta. Kracnovc, D. 998. Selecton of Damage arameter Art or Scence?. echancs of aterals, 8, 65-79. Kracnovc, D. 000. Damage echancs, Trends and eeds. Internatonal Journal of Solds and Structures, 37, 67-77. Kracnovc, D. 003. Damage echancs. orth Holland Seres n Appled athematcs and echancs, Volume 4, Amsterdam, Elsever. ematre, J. 985. A ontnuous Damage echancs odel for Ductle Fracture, Journal of Engneerng aterals and Technology, 07, 83-89. ematre, J. 996. A ourse on Damage echancs, Sprnger-Verlag, 8 p, ew York. Onaran, K. 99. alzeme lm, İstanbul Teknk Ünverstes, 39 s, Sayı : 448. Smo, J.., Ju, J. W. 978. Stran and Stress-ased ontnuum Damage odels-i Formulaton, Internatonal Journal of Solds and Structures, 3, 7, 8-840. Spencer, A. J.. 97. Theory of Invarants, In ontnuum hyscs, Vol. I., (Ed., A.. Erngen), Academc res,.y., and ondon. Usal,.. 994. Fber Takvyel Elastk Delektrk Ortamların Elektro-Termomekank Davranışlarına At atematksel r odel, Doktora Tez, Ercyes Ünverstes, Fen lmler Ensttüsü, Kayser. Usal,. 00. yolok r Konstrüksyon Elemanı İçn atematksel odelleme, Doktora Tez, Süleyman Demrel Ünverstes, Fen lmler Ensttüsü, Isparta. Usal,.., Korkmaz, E., Usal,. 006. Hasarlı Elastk Ortamlar İçn ünye Denklemler, S.D.Ü. Fen lmler Ensttüsü Dergs, 0-, 5-35. Wang,.., a, Y. W. 004. Fracture of ezoelectromagnetc aterals, echancs esearch ommuncatons, 3, 65-73. Wetsman, Y. 988a. Damage oupled wth Heat conducton n Unaxally enforced ompostes, Journal of Appled echancs, 55, 64-647. Wetsman, Y. 988b. A ontnuum Damage odel for Vscoelastc aterals. Journal of Appled echancs, 55, 773 780. Wu, T.. 000. cromechancs Determnaton of Electroelastc ropertes of ezoelectrc aterals ontanng Vods, aterals Scence & Engneerng, A80, 30-37. Yüksel,. 000. alzeme lgsne Grş (alzeme Temel lgler), TO, akne ühendsler Odası, Y. o : 45, Denzl. ühendslk lmler Dergs 007 3 () 3-33 33 Journal of Engneerng Scences 007 3 () 3-33